Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
|
|
- Martyna Murawska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow Definicja 1. Niech 0 R oraz niech funkcja f będzie określona prznajmniej na przedziale ( 0 r, 0 + r), gdzie r > 0. Ilorazem różnicowm funkcji f w punkcie 0 odpowiadającm przrostowi h, gdzie 0 < h < r, nazwam liczbę f( 0 + h) f( 0 ) h 1.1 Interpretacja geometrczna ilorazu różnicowego Iloraz różnicow jest równ tangensowi kąta nachlenia siecznej przechodzącej przez punkt ( 0, f( 0 )) oraz ( 0 + h, f( 0 + h)) do dodatniej półosi O. f( 0 + h) f( 0 ) 0 = f() α = h 0 + h. f = f( 0 + h) f( 0 ) tg α = f 2 Pochodna funkcji Definicja 2. Niech 0 R oraz niech funkcja f będzie określona prznajmniej na przedziale ( 0 r, 0 +r), gdzie r > 0. Jeżeli istnieje skończona granica f( 0 + h) f( 0 ) h 0 h. to nazwam ją pochodną funkcji f w punkcie 0 i oznaczam f ( 0 ). Mówim wted, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0. 1
2 Jeżeli granica ilorazu różnicowego w punkcie 0 nie istnieje lub jest nieskończona, to mówim, że funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie 0. Pochodna funkcji f w punkcie 0 f ( 0 ) def = h 0 f( 0 + h) f( 0 ) h f ( 0 ) def = 0 f() f( 0 ) 0 Przkład 3. Niech f() = 2. Wted f ( 0 ) def ( = 0 +h)2 2 0 h 0 h f ( 0 ) def = = 0 ( 0 ) (+ 0 ) 0 = 2 0 = h h+h 2 h = 2 0 lub 2.1 Pochodne ważniejszch funkcji elementarnch (c) = 0, gdzie c R. ( p ) = p p 1, dla p R, zakres zmienności zależ od p. ( 1 ) = 1 2, R \ {0}. ( ) = 1 2, R +. (sin ) = cos, R. (cos ) = sin, R. (tg ) = 1 cos 2, π + kπ, k Z. 2 (ctg ) = 1 sin 2, kπ, k Z. (a ) = a ln a, a > 0, R. (e ) = e, R. (log a ) = 1 ln a, > 0 i 0 < a 1. (ln ) = 1, > 0. 2 Opracowała: Małgorzata Wrwas
3 = e = + 1 Budownictwo studia niestacjonarne Definicja 4. Niech 0 R oraz niech funkcja ciągła f będzie określona prznajmniej na przedziale ( 0 r, 0 + r), gdzie r > 0. Prosta jest stczna do wkresu funkcji f w punkcie ( 0, f( 0 )), jeżeli jest granicznm położeniem siecznch wkresu funkcji przechodzącch przez punkt ( 0, f( 0 )) i (, f()), gd 0. f() = f() sieczne f( 0 ) stczna Interpretacja geometrczna pochodnej funkcji w punkcie Pochodna funkcji w punkcie 0 jest równa tangensowi kąta nachlenia stcznej do wkresu funkcji f w punkcie ( 0, f( 0 )) do dodatniej półosi O. = f() stczna f( 0 ) α 0 tg α = f ( 0 ) Równanie stcznej do wkresu funkcji f w punkcie ( 0, f( 0 )): = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ). Przkład 5. Niech f() = e. Wówczas równanie stcznej do wkresu funkcji f w 0 = 0 ma postać: = + 1. (0, 1) Przkład 6. Niech f() = sin. Wówczas równanie stcznej do wkresu funkcji f w 0 = π ma postać: = π. =sin 1 π -1 π 2π 3π 4π = π 3 Opracowała: Małgorzata Wrwas
4 2.3 Pochodna funkcji na przedziale Funkcja ma pochodną na przedziale I otwartm wted i tlko wted, gd ma pochodną w każdm punkcie tego przedziału. Funkcję określoną na przedziale I, której wartości w punktach tego przedziału sa równe f () nazwam pochodną funkcji f na przedziale I i oznaczam smbolem f. f : f (), I. 2.4 Działania artmetczne na pochodnch funkcji Twierdzenie 7. Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie 0, to: (f + g) ( 0 ) = f ( 0 ) + g ( 0 ). (f g) ( 0 ) = f ( 0 ) g ( 0 ). (f g) ( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) + f( 0 ) g ( 0 ). ( f g ) ( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) f( 0 ) g ( 0 ) g 2 ( 0 ), o ile g( 0 ) 0. Twierdzenie 8. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0, zaś c R, to (cf) ( 0 ) = cf ( 0 ). Przkład 9. f() = f () = ( g() = sin ctg, kπ, k Z, g () = cos ctg + sin 1 ) sin 2 = cos ctg 1 sin h() = , R, h () = 2 (2 + 1) ( 2 1) 2 ( 2 + 1) 2 = 4 ( 2 + 1) 2 Twierdzenie 10 (o pochodnej funkcji złożonej). Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0 oraz funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f( 0 ), to funkcja g f jest różniczkowalna w punkcie 0 oraz Przkład 11. f() = sin 3 f () = 3 sin 2 cos (g f) ( 0 ) = g (f( 0 )) f ( 0 ). g() = ( ) 5, g () = 5( ) 4 (6 + 1) Postać logartmiczno wkładnicza funkcji Każdą funkcję złożoną postaci [f()] g() można przedstawić w postaci logartmiczno wkładniczej: [f()] g() = e g() ln f(). Postać logartmiczno wkładniczą stosujem do obliczania pochodnch funkcji danch w postaci [f()] g(). Przkład 12. f() = = e ln f () = e ln (ln + 1 ) = (ln + 1) 4 Opracowała: Małgorzata Wrwas
5 Twierdzenie 13 (o pochodnej funkcji odwrotnej). Niech 0 D f. Niech f będzie funkcją ciągłą i różnowartościową w otoczeniu punktu 0 oraz taką, że f ( 0 ) 0. Wówczas gdzie 0 = f( 0 ). (f 1) (0 ) = 1 f ( 0 ), Pochodne funkcji cklometrcznch (arc sin ) = 1 1 2, ( 1, 1). (arc cos 1 ) = 1 2, ( 1, 1). (arc tg ) = , R. (arc ctg ) = , R. 3 Różniczka funkcji Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu 0. Ponadto niech funkcja f ma pochodną właściwą (jest różniczkowalna) w punkcie 0. Definicja 14. Różniczką funkcji f w punkcie 0 nazwam funkcję zmiennch określoną wzorem: df( 0 )( ) def = f ( 0 ). Różniczkę funkcji f oznacza się także przez df( 0 ) lub krótko df. 3.1 Różniczka i obliczenia przbliżone Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie 0. Wted f( 0 + ) f( 0 ) + f ( 0 ), prz czm błąd jaki popełniam zastępując przrost funkcji f jej różniczką df = f () dąż szbciej do zera niż, tzn. f df 0 = 0. = f() f( 0 ) df f 0 Przkład 15. Wkorzstując różniczkę obliczm wartość przbliżoną wrażenia 15,96. Definiujem funkcję f() =. Przjmujem 0 =16 = 0,04. Ponieważ df d = f () = 1 2,więc 15, ( 0,04) = 3, Opracowała: Małgorzata Wrwas
6 3.2 Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów Niech wielkości fizczne i będą związane zależnością = f(). Ponadto niech oznacza błąd bezwzględn pomiaru wielkości. Wted błąd bezwzględn obliczeń wielkości wraża się wzorem przbliżonm f ( 0 ), gdzie 0 jest wnikiem pomiaru wielkości, prz czm f ( 0 ) jest właściwa. Przkład 16. Czas w biegu na 100 m mierz się z dokładnością t = 0,01 s. Zawodnik uzskał 10 s. Z jaką w przbliżeniu dokładnością można obliczć prędkość V tego zawodnika? Ponieważ V = 100 t, więc V (t) = 100 t 2, więc V V (10) t = 3.3 Związek różniczkowalności z ciągłością funkcji ,01 = 0,01 [ ] m s. Twierdzenie 17. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0, to jest w tm punkcie ciągła. Uwaga 18. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przkład funkcja f() = jest ciągła w punkcie 0 = 0, ale f (0) nie istnieje. 2 = Związek różniczkowalności z monotonicznością funkcji Twierdzenie 19. Niech I oznacza dowoln przedział. Jeżeli dla każdego I funkcja f spełnia warunek: f () = 0, to funkcja f jest stała na I; f () > 0, to funkcja f jest rosnąca na I; f () 0, to funkcja f jest niemalejąca na I; f () < 0, to funkcja f jest malejąca na I; f () 0, to funkcja f jest nierosnąca na I. 4 Pochodne wższch rzędów Pochodne n-tego rzędu funkcji f w punkcie 0 definiujem indukcjnie dla n 1. f (n) ( 0 ) = Przjmujem, że f (0) ( 0 ) = f( 0 ) i f (1) ( 0 ) = f ( 0 ). Piszem: ( f (n 1)) (0 ), f (2) = f, f (3) = f, f (4) = f IV lub f (1) = f, f (2) = f lub f (n) = dn f d n. 6 Opracowała: Małgorzata Wrwas
7 5 Ekstrema funkcji Definicja 20 (minimum funkcji). Funkcja f ma w punkcie 0 D f minimum lokalne, jeżeli δ>0 S( 0,δ) f() f( 0 ). Funkcja f ma w punkcie 0 D f minimum lokalne właściwe, jeżeli Definicja 21 (maksimum funkcji). δ>0 S( 0,δ) f() > f( 0 ). Funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne, jeżeli δ>0 S( 0,δ) f() f( 0 ). Funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne właściwe, jeżeli δ>0 S( 0,δ) f() < f( 0 ). Minima i maksima lokalne nazwam EKSTREMAMI LOKALNYMI. Twierdzenie 22 (tw. Fermata: warunek konieczn istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej). Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0 oraz posiada ekstremum lokalne w tm punkcie, to f ( 0 ) = 0. Uwaga 23. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przkład dla funkcji f() = 3 mam f (0) = 0, a f nie ma ekstremum w punkcie 0 = 0. = 3 Twierdzenie 24 (warunek dostateczn istnienia maksimum funkcji różniczkowalnej). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0, ciągła w punkcie 0 i różniczkowalna prznajmniej w sąsiedztwie punktu 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że ( 0 δ, 0 ) f () > 0 oraz ( 0, 0 +δ) f () < 0 to w punkcie 0 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe. 7 Opracowała: Małgorzata Wrwas
8 Twierdzenie 25 (warunek dostateczn istnienia minimum funkcji różniczkowalnej). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0, ciągłą w punkcie 0 i różniczkowalną prznajmniej w sąsiedztwie punktu 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że ( 0 δ, 0 ) f () < 0 oraz ( 0, 0 +δ) f () > 0 to w punkcie 0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe. Twierdzenie 26 (II warunek dostateczn istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0. Jeżeli 1 f ( 0 ) = f ( 0 ) =... = f (n 1) ( 0 ) = 0, 2 f (n) ( 0 ) 0, to, gd n > 2 jest parzste, funkcja f osiąga w punkcie 0 ekstremum lokalne właściwe, prz czm jest to minimum, gd f (n) ( 0 ) > 0, zaś maksimum gd f (n) ( 0 ) < 0. Gd n jest nieparzste, ekstremum nie wstępuje. 5.1 Ekstrema globalne Definicja 27. Liczba m jest najmniejszą wartością funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli istnieje punkt 0 A, taki że f( 0 ) = m i dla każdego A f() f( 0 ) = m. Liczbę m nazwam minimum globalnm funkcji f na zbiorze A. Definicja 28. Liczba M jest największą wartością funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli istnieje punkt 0 A, taki że f( 0 ) = M i dla każdego A f() f( 0 ) = M. Liczbę M nazwam maksimum globalnm funkcji f na zbiorze A. Minimum i maksimum globalne nazwam EKSTREMAMI GLOBALNYMI. Niech A = a, b R i f : A R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krtcznch, tzn. punktów k, w którch f ( k ) = 0 lub f ( k ) nie istnieje. Jeżeli f jest funkcją ciągłą na na domkniętm i ograniczonm zbiorze A, to funkcja f osiąga na A wartość najmniejszą i największą. 8 Opracowała: Małgorzata Wrwas
9 5.1.1 Algortm znajdowania ekstremów globalnch funkcji Niech A = a, b R i f : A R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krtcznch, tzn. punktów k, w którch f ( k ) = 0 lub f ( k ) nie istnieje. Ekstremów globalnch funkcji f na przedziale A szukam postępując według algortmu: Znajdujem wszstkie punkt krtczne wewnątrz przedziału A i obliczm wartości funkcji w tch punktach. Obliczm f(a) i f(b). Porównujem otrzmane wartości funkcji znajdując wartość najmniejszą i największą. Przkład 29. Niech f : A R R i gdzie A = 0, 3. f(, ) = 1, = 1 jest punktem krtcznm funkcji f, gdż f (1) nie istnieje. Wted f(1) = 0. f(0) = 1 i f(3) = 2. Wówczas m = f najmniejsze = 0 i M = f największe = 2. 6 Zastosowanie pochodnch do obliczanie granic funkcji Twierdzenie 30 (Reguła de l Hospitala). Niech funkcje f i g spełniają warunki: 1 funkcje f,g i f, g będą określone w sąsiedztwie punktu 0 1 f() = g() = 0 albo f() = g() = istnieje granica Wówczas istnieje granica f () 0 g () = a. f() 0 g() oraz f() 0 g() = a. Uwaga 31. Powższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnch, niewłaściwch oraz dla granic w + lub w. 9 Opracowała: Małgorzata Wrwas
10 7 Wklęsłość i wpukłość Definicja 32. Funkcje f nazwam wpukłą na przedziale (a, b) R wted i tlko wted, gd a< 1 < 2 <b 0<t<1 f(t 1 + (1 t) 2 ) < tf( 1 ) + (1 t)f( 2 ). Uwaga 33. Geometrcznie funkcja jest wpukła, jeżeli każd odcinek siecznej wkresu leż powżej fragmentu wkresu położonego miedz punktami, przez które przechodzi sieczna. Definicja 34. Funkcje f nazwam wklęsłą na przedziale (a, b) R wted i tlko wted, gd f(t 1 + (1 t) 2 ) > tf( 1 ) + (1 t)f( 2 ). a< 1 < 2 <b 0<t<1 Uwaga 35. Geometrcznie funkcja jest wklęsła, jeżeli każd odcinek siecznej wkresu leż poniżej fragmentu wkresu położonego miedz punktami, przez które przechodzi sieczna. 7.1 Warunki wstarczające wpukłości i wklęsłości Twierdzenie 36. Jeżeli f () > 0 dla każdego (a, b), to funkcja f jest wpukła na (a, b). Twierdzenie 37. Jeżeli f () < 0 dla każdego (a, b), to funkcja f jest wklęsła na (a, b). Definicja 38. Niech funkcja f będzie określona i różniczkowalna prznajmniej w otoczeniu punktu 0. Punkt ( 0, f( 0 )) nazwam punktem przegięcia wkresu funkcji f wted i tlko wted, gd istnieje liczba δ > 0, taka że funkcja f jest wpukła na ( 0 δ, 0 ) oraz wklęsła na ( 0, 0 + δ) lub odwrotnie. 7.2 Warunki istnienia punktu przegięcia Twierdzenie 39 (warunek konieczn istnienia punktu przegięcia). Jeżeli funkcja f posiada pochodną drugiego rzędu w punkcie 0 oraz posiada w punkcie ( 0, f( 0 )) punkt przegięcia, to f ( 0 ) = 0. Twierdzenie 40 (warunek dostateczn istnienia punktu przegięcia). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0, ciągłą i różniczkowalną w punkcie 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że f () < 0 oraz f () > 0 ( 0 δ, 0 ) ( 0, 0 +δ) lub ( 0 δ, 0 ) f () > 0 oraz ( 0, 0 +δ) f () < 0 to w punkcie ( 0, f( 0 )) funkcja f ma punkt przegięcia. Twierdzenie 41 (warunek dostateczn istnienia punktu przegięcia). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0. Jeżeli 1 f ( 0 ) = f ( 0 ) =... = f (n 1) ( 0 ) = 0, 2 f (n) ( 0 ) 0, to, gd n > 3 jest nieparzste, funkcja f ma w punkcie ( 0, f( 0 )) punkt przegięcia.. 10 Opracowała: Małgorzata Wrwas
11 8 Pochodne a wkres funkcji f f f min. lok ma. lok Uwaga 42. Jeżeli f ( 0 ) = 0 i f ( 0 ) 0, to 0 jest punktem przegięcia się wkresu funkcji f. 9 Badanie funkcji Przez badanie przebiegu zmienności funkcji i sporządzanie jej wkresu rozumiem wkonanie następującch cznności: 1. Wznaczenie dziedzin funkcji. 2. Wskazanie podstawowch własności: (a) parzstość lub nieparzstość (b) okresowość (c) miejsca zerowe funkcji (punkt przecięcia wkresu funkcji z osią OX) i punkt przecięcia wkresu funkcji z osią OY (d) ciągłość 3. Zbadanie zachowania się funkcji na "końcach" dziedzin - wznaczenie asmptot wkresu funkcji. 4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczność i ekstrema funkcji. 5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedział wklęsłości i wpukłości oraz punkt przegięcia wkresu funkcji. 6. Sporządzenie wkresu funkcji. Przkład 43. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wkres funkcji f danej wzorem: f() = D f = R \ {0} = (, 0) (0, + ). 2. Podstawowe własności funkcji f: (a) funkcja f nie jest ani parzsta ani nieparzsta. (b) f nie jest funkcją okresową. (c) f() = = 0 = 3 4, zatem P 0 ( 3 4, 0) jest punktem przecięcia wkresu funkcji z osią OX; brak punktów przecięcia wkresu funkcji z osią OY. (d) f jest ciągła w swojej dziedzinie. 3. Ponieważ 3 [ ] = 0 + = +, więc prosta = 0 jest asmptotą pionową obustronną wkresu funkcji f. Ponieważ ± więc wkres funkcji f nie ma asmptot poziomch. 2 = ±, 11 Opracowała: Małgorzata Wrwas
12 Zbadajm istnienie asmptot ukośnch = a + b: b = a = [f() a] = ± f() ± = ± ± ] [ = ± Istnieje więc jedna asmptota ukośna o równaniu = = 1, = ± 2 = ± [ ] = = Monotoniczność i ekstrema: f f () = 0 = Wklęsłość i wpukłość: f f () = = 3 8 3, min. lok f () = 24 4, 0. Ponadto f min (2) = 3. Zauważm, że dla każdego 0 mam f () > 0. f f + + Zatem wkres nie posiada punktów przegięcia jest to wkres wpukł. ( 6., 3 ) 4 3 ( 4 3 ) 4, 0 0 (0, 2) 2 (2, + ) f f f = = 6 = Opracowała: Małgorzata Wrwas
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji wykład 5
Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowo(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)
Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoFakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowo3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.
WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowooznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim
WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowof x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoElementy algebry i analizy matematycznej II
Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu
Bardziej szczegółowoWykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji
Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoSIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji
SIMR 03/4, Analiza, wykład 5, 0--6 Pocodna funkcji Definicja: Niec będzie dana funkcja f : D R oraz punkt intd. Wtedy pocodną funkcji f w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): f f(
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoII. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05 MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. MINIMUM LOKALNE y y
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowo5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowo4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania................................ 3....................... 4 II Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowoMATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO
IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut
Miejsce na naklejkę z kodem szkoł OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR Czas prac 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, cz arkusz egzaminacjn zawiera
Bardziej szczegółowo