Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej"

Transkrypt

1 Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow Definicja 1. Niech 0 R oraz niech funkcja f będzie określona prznajmniej na przedziale ( 0 r, 0 + r), gdzie r > 0. Ilorazem różnicowm funkcji f w punkcie 0 odpowiadającm przrostowi h, gdzie 0 < h < r, nazwam liczbę f( 0 + h) f( 0 ) h 1.1 Interpretacja geometrczna ilorazu różnicowego Iloraz różnicow jest równ tangensowi kąta nachlenia siecznej przechodzącej przez punkt ( 0, f( 0 )) oraz ( 0 + h, f( 0 + h)) do dodatniej półosi O. f( 0 + h) f( 0 ) 0 = f() α = h 0 + h. f = f( 0 + h) f( 0 ) tg α = f 2 Pochodna funkcji Definicja 2. Niech 0 R oraz niech funkcja f będzie określona prznajmniej na przedziale ( 0 r, 0 +r), gdzie r > 0. Jeżeli istnieje skończona granica f( 0 + h) f( 0 ) h 0 h. to nazwam ją pochodną funkcji f w punkcie 0 i oznaczam f ( 0 ). Mówim wted, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0. 1

2 Jeżeli granica ilorazu różnicowego w punkcie 0 nie istnieje lub jest nieskończona, to mówim, że funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie 0. Pochodna funkcji f w punkcie 0 f ( 0 ) def = h 0 f( 0 + h) f( 0 ) h f ( 0 ) def = 0 f() f( 0 ) 0 Przkład 3. Niech f() = 2. Wted f ( 0 ) def ( = 0 +h)2 2 0 h 0 h f ( 0 ) def = = 0 ( 0 ) (+ 0 ) 0 = 2 0 = h h+h 2 h = 2 0 lub 2.1 Pochodne ważniejszch funkcji elementarnch (c) = 0, gdzie c R. ( p ) = p p 1, dla p R, zakres zmienności zależ od p. ( 1 ) = 1 2, R \ {0}. ( ) = 1 2, R +. (sin ) = cos, R. (cos ) = sin, R. (tg ) = 1 cos 2, π + kπ, k Z. 2 (ctg ) = 1 sin 2, kπ, k Z. (a ) = a ln a, a > 0, R. (e ) = e, R. (log a ) = 1 ln a, > 0 i 0 < a 1. (ln ) = 1, > 0. 2 Opracowała: Małgorzata Wrwas

3 = e = + 1 Budownictwo studia niestacjonarne Definicja 4. Niech 0 R oraz niech funkcja ciągła f będzie określona prznajmniej na przedziale ( 0 r, 0 + r), gdzie r > 0. Prosta jest stczna do wkresu funkcji f w punkcie ( 0, f( 0 )), jeżeli jest granicznm położeniem siecznch wkresu funkcji przechodzącch przez punkt ( 0, f( 0 )) i (, f()), gd 0. f() = f() sieczne f( 0 ) stczna Interpretacja geometrczna pochodnej funkcji w punkcie Pochodna funkcji w punkcie 0 jest równa tangensowi kąta nachlenia stcznej do wkresu funkcji f w punkcie ( 0, f( 0 )) do dodatniej półosi O. = f() stczna f( 0 ) α 0 tg α = f ( 0 ) Równanie stcznej do wkresu funkcji f w punkcie ( 0, f( 0 )): = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ). Przkład 5. Niech f() = e. Wówczas równanie stcznej do wkresu funkcji f w 0 = 0 ma postać: = + 1. (0, 1) Przkład 6. Niech f() = sin. Wówczas równanie stcznej do wkresu funkcji f w 0 = π ma postać: = π. =sin 1 π -1 π 2π 3π 4π = π 3 Opracowała: Małgorzata Wrwas

4 2.3 Pochodna funkcji na przedziale Funkcja ma pochodną na przedziale I otwartm wted i tlko wted, gd ma pochodną w każdm punkcie tego przedziału. Funkcję określoną na przedziale I, której wartości w punktach tego przedziału sa równe f () nazwam pochodną funkcji f na przedziale I i oznaczam smbolem f. f : f (), I. 2.4 Działania artmetczne na pochodnch funkcji Twierdzenie 7. Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie 0, to: (f + g) ( 0 ) = f ( 0 ) + g ( 0 ). (f g) ( 0 ) = f ( 0 ) g ( 0 ). (f g) ( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) + f( 0 ) g ( 0 ). ( f g ) ( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) f( 0 ) g ( 0 ) g 2 ( 0 ), o ile g( 0 ) 0. Twierdzenie 8. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0, zaś c R, to (cf) ( 0 ) = cf ( 0 ). Przkład 9. f() = f () = ( g() = sin ctg, kπ, k Z, g () = cos ctg + sin 1 ) sin 2 = cos ctg 1 sin h() = , R, h () = 2 (2 + 1) ( 2 1) 2 ( 2 + 1) 2 = 4 ( 2 + 1) 2 Twierdzenie 10 (o pochodnej funkcji złożonej). Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0 oraz funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f( 0 ), to funkcja g f jest różniczkowalna w punkcie 0 oraz Przkład 11. f() = sin 3 f () = 3 sin 2 cos (g f) ( 0 ) = g (f( 0 )) f ( 0 ). g() = ( ) 5, g () = 5( ) 4 (6 + 1) Postać logartmiczno wkładnicza funkcji Każdą funkcję złożoną postaci [f()] g() można przedstawić w postaci logartmiczno wkładniczej: [f()] g() = e g() ln f(). Postać logartmiczno wkładniczą stosujem do obliczania pochodnch funkcji danch w postaci [f()] g(). Przkład 12. f() = = e ln f () = e ln (ln + 1 ) = (ln + 1) 4 Opracowała: Małgorzata Wrwas

5 Twierdzenie 13 (o pochodnej funkcji odwrotnej). Niech 0 D f. Niech f będzie funkcją ciągłą i różnowartościową w otoczeniu punktu 0 oraz taką, że f ( 0 ) 0. Wówczas gdzie 0 = f( 0 ). (f 1) (0 ) = 1 f ( 0 ), Pochodne funkcji cklometrcznch (arc sin ) = 1 1 2, ( 1, 1). (arc cos 1 ) = 1 2, ( 1, 1). (arc tg ) = , R. (arc ctg ) = , R. 3 Różniczka funkcji Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu 0. Ponadto niech funkcja f ma pochodną właściwą (jest różniczkowalna) w punkcie 0. Definicja 14. Różniczką funkcji f w punkcie 0 nazwam funkcję zmiennch określoną wzorem: df( 0 )( ) def = f ( 0 ). Różniczkę funkcji f oznacza się także przez df( 0 ) lub krótko df. 3.1 Różniczka i obliczenia przbliżone Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie 0. Wted f( 0 + ) f( 0 ) + f ( 0 ), prz czm błąd jaki popełniam zastępując przrost funkcji f jej różniczką df = f () dąż szbciej do zera niż, tzn. f df 0 = 0. = f() f( 0 ) df f 0 Przkład 15. Wkorzstując różniczkę obliczm wartość przbliżoną wrażenia 15,96. Definiujem funkcję f() =. Przjmujem 0 =16 = 0,04. Ponieważ df d = f () = 1 2,więc 15, ( 0,04) = 3, Opracowała: Małgorzata Wrwas

6 3.2 Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów Niech wielkości fizczne i będą związane zależnością = f(). Ponadto niech oznacza błąd bezwzględn pomiaru wielkości. Wted błąd bezwzględn obliczeń wielkości wraża się wzorem przbliżonm f ( 0 ), gdzie 0 jest wnikiem pomiaru wielkości, prz czm f ( 0 ) jest właściwa. Przkład 16. Czas w biegu na 100 m mierz się z dokładnością t = 0,01 s. Zawodnik uzskał 10 s. Z jaką w przbliżeniu dokładnością można obliczć prędkość V tego zawodnika? Ponieważ V = 100 t, więc V (t) = 100 t 2, więc V V (10) t = 3.3 Związek różniczkowalności z ciągłością funkcji ,01 = 0,01 [ ] m s. Twierdzenie 17. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0, to jest w tm punkcie ciągła. Uwaga 18. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przkład funkcja f() = jest ciągła w punkcie 0 = 0, ale f (0) nie istnieje. 2 = Związek różniczkowalności z monotonicznością funkcji Twierdzenie 19. Niech I oznacza dowoln przedział. Jeżeli dla każdego I funkcja f spełnia warunek: f () = 0, to funkcja f jest stała na I; f () > 0, to funkcja f jest rosnąca na I; f () 0, to funkcja f jest niemalejąca na I; f () < 0, to funkcja f jest malejąca na I; f () 0, to funkcja f jest nierosnąca na I. 4 Pochodne wższch rzędów Pochodne n-tego rzędu funkcji f w punkcie 0 definiujem indukcjnie dla n 1. f (n) ( 0 ) = Przjmujem, że f (0) ( 0 ) = f( 0 ) i f (1) ( 0 ) = f ( 0 ). Piszem: ( f (n 1)) (0 ), f (2) = f, f (3) = f, f (4) = f IV lub f (1) = f, f (2) = f lub f (n) = dn f d n. 6 Opracowała: Małgorzata Wrwas

7 5 Ekstrema funkcji Definicja 20 (minimum funkcji). Funkcja f ma w punkcie 0 D f minimum lokalne, jeżeli δ>0 S( 0,δ) f() f( 0 ). Funkcja f ma w punkcie 0 D f minimum lokalne właściwe, jeżeli Definicja 21 (maksimum funkcji). δ>0 S( 0,δ) f() > f( 0 ). Funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne, jeżeli δ>0 S( 0,δ) f() f( 0 ). Funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne właściwe, jeżeli δ>0 S( 0,δ) f() < f( 0 ). Minima i maksima lokalne nazwam EKSTREMAMI LOKALNYMI. Twierdzenie 22 (tw. Fermata: warunek konieczn istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej). Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0 oraz posiada ekstremum lokalne w tm punkcie, to f ( 0 ) = 0. Uwaga 23. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przkład dla funkcji f() = 3 mam f (0) = 0, a f nie ma ekstremum w punkcie 0 = 0. = 3 Twierdzenie 24 (warunek dostateczn istnienia maksimum funkcji różniczkowalnej). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0, ciągła w punkcie 0 i różniczkowalna prznajmniej w sąsiedztwie punktu 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że ( 0 δ, 0 ) f () > 0 oraz ( 0, 0 +δ) f () < 0 to w punkcie 0 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe. 7 Opracowała: Małgorzata Wrwas

8 Twierdzenie 25 (warunek dostateczn istnienia minimum funkcji różniczkowalnej). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0, ciągłą w punkcie 0 i różniczkowalną prznajmniej w sąsiedztwie punktu 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że ( 0 δ, 0 ) f () < 0 oraz ( 0, 0 +δ) f () > 0 to w punkcie 0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe. Twierdzenie 26 (II warunek dostateczn istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0. Jeżeli 1 f ( 0 ) = f ( 0 ) =... = f (n 1) ( 0 ) = 0, 2 f (n) ( 0 ) 0, to, gd n > 2 jest parzste, funkcja f osiąga w punkcie 0 ekstremum lokalne właściwe, prz czm jest to minimum, gd f (n) ( 0 ) > 0, zaś maksimum gd f (n) ( 0 ) < 0. Gd n jest nieparzste, ekstremum nie wstępuje. 5.1 Ekstrema globalne Definicja 27. Liczba m jest najmniejszą wartością funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli istnieje punkt 0 A, taki że f( 0 ) = m i dla każdego A f() f( 0 ) = m. Liczbę m nazwam minimum globalnm funkcji f na zbiorze A. Definicja 28. Liczba M jest największą wartością funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli istnieje punkt 0 A, taki że f( 0 ) = M i dla każdego A f() f( 0 ) = M. Liczbę M nazwam maksimum globalnm funkcji f na zbiorze A. Minimum i maksimum globalne nazwam EKSTREMAMI GLOBALNYMI. Niech A = a, b R i f : A R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krtcznch, tzn. punktów k, w którch f ( k ) = 0 lub f ( k ) nie istnieje. Jeżeli f jest funkcją ciągłą na na domkniętm i ograniczonm zbiorze A, to funkcja f osiąga na A wartość najmniejszą i największą. 8 Opracowała: Małgorzata Wrwas

9 5.1.1 Algortm znajdowania ekstremów globalnch funkcji Niech A = a, b R i f : A R. Niech f ma pochodną właściwą lub niewłaściwą poza skończoną liczbą punktów przedziału A. Ponadto niech f ma skończoną liczbę punktów krtcznch, tzn. punktów k, w którch f ( k ) = 0 lub f ( k ) nie istnieje. Ekstremów globalnch funkcji f na przedziale A szukam postępując według algortmu: Znajdujem wszstkie punkt krtczne wewnątrz przedziału A i obliczm wartości funkcji w tch punktach. Obliczm f(a) i f(b). Porównujem otrzmane wartości funkcji znajdując wartość najmniejszą i największą. Przkład 29. Niech f : A R R i gdzie A = 0, 3. f(, ) = 1, = 1 jest punktem krtcznm funkcji f, gdż f (1) nie istnieje. Wted f(1) = 0. f(0) = 1 i f(3) = 2. Wówczas m = f najmniejsze = 0 i M = f największe = 2. 6 Zastosowanie pochodnch do obliczanie granic funkcji Twierdzenie 30 (Reguła de l Hospitala). Niech funkcje f i g spełniają warunki: 1 funkcje f,g i f, g będą określone w sąsiedztwie punktu 0 1 f() = g() = 0 albo f() = g() = istnieje granica Wówczas istnieje granica f () 0 g () = a. f() 0 g() oraz f() 0 g() = a. Uwaga 31. Powższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnch, niewłaściwch oraz dla granic w + lub w. 9 Opracowała: Małgorzata Wrwas

10 7 Wklęsłość i wpukłość Definicja 32. Funkcje f nazwam wpukłą na przedziale (a, b) R wted i tlko wted, gd a< 1 < 2 <b 0<t<1 f(t 1 + (1 t) 2 ) < tf( 1 ) + (1 t)f( 2 ). Uwaga 33. Geometrcznie funkcja jest wpukła, jeżeli każd odcinek siecznej wkresu leż powżej fragmentu wkresu położonego miedz punktami, przez które przechodzi sieczna. Definicja 34. Funkcje f nazwam wklęsłą na przedziale (a, b) R wted i tlko wted, gd f(t 1 + (1 t) 2 ) > tf( 1 ) + (1 t)f( 2 ). a< 1 < 2 <b 0<t<1 Uwaga 35. Geometrcznie funkcja jest wklęsła, jeżeli każd odcinek siecznej wkresu leż poniżej fragmentu wkresu położonego miedz punktami, przez które przechodzi sieczna. 7.1 Warunki wstarczające wpukłości i wklęsłości Twierdzenie 36. Jeżeli f () > 0 dla każdego (a, b), to funkcja f jest wpukła na (a, b). Twierdzenie 37. Jeżeli f () < 0 dla każdego (a, b), to funkcja f jest wklęsła na (a, b). Definicja 38. Niech funkcja f będzie określona i różniczkowalna prznajmniej w otoczeniu punktu 0. Punkt ( 0, f( 0 )) nazwam punktem przegięcia wkresu funkcji f wted i tlko wted, gd istnieje liczba δ > 0, taka że funkcja f jest wpukła na ( 0 δ, 0 ) oraz wklęsła na ( 0, 0 + δ) lub odwrotnie. 7.2 Warunki istnienia punktu przegięcia Twierdzenie 39 (warunek konieczn istnienia punktu przegięcia). Jeżeli funkcja f posiada pochodną drugiego rzędu w punkcie 0 oraz posiada w punkcie ( 0, f( 0 )) punkt przegięcia, to f ( 0 ) = 0. Twierdzenie 40 (warunek dostateczn istnienia punktu przegięcia). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0, ciągłą i różniczkowalną w punkcie 0. Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że f () < 0 oraz f () > 0 ( 0 δ, 0 ) ( 0, 0 +δ) lub ( 0 δ, 0 ) f () > 0 oraz ( 0, 0 +δ) f () < 0 to w punkcie ( 0, f( 0 )) funkcja f ma punkt przegięcia. Twierdzenie 41 (warunek dostateczn istnienia punktu przegięcia). Niech 0 R i f będzie funkcją określoną prznajmniej w otoczeniu punktu 0. Jeżeli 1 f ( 0 ) = f ( 0 ) =... = f (n 1) ( 0 ) = 0, 2 f (n) ( 0 ) 0, to, gd n > 3 jest nieparzste, funkcja f ma w punkcie ( 0, f( 0 )) punkt przegięcia.. 10 Opracowała: Małgorzata Wrwas

11 8 Pochodne a wkres funkcji f f f min. lok ma. lok Uwaga 42. Jeżeli f ( 0 ) = 0 i f ( 0 ) 0, to 0 jest punktem przegięcia się wkresu funkcji f. 9 Badanie funkcji Przez badanie przebiegu zmienności funkcji i sporządzanie jej wkresu rozumiem wkonanie następującch cznności: 1. Wznaczenie dziedzin funkcji. 2. Wskazanie podstawowch własności: (a) parzstość lub nieparzstość (b) okresowość (c) miejsca zerowe funkcji (punkt przecięcia wkresu funkcji z osią OX) i punkt przecięcia wkresu funkcji z osią OY (d) ciągłość 3. Zbadanie zachowania się funkcji na "końcach" dziedzin - wznaczenie asmptot wkresu funkcji. 4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczność i ekstrema funkcji. 5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedział wklęsłości i wpukłości oraz punkt przegięcia wkresu funkcji. 6. Sporządzenie wkresu funkcji. Przkład 43. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wkres funkcji f danej wzorem: f() = D f = R \ {0} = (, 0) (0, + ). 2. Podstawowe własności funkcji f: (a) funkcja f nie jest ani parzsta ani nieparzsta. (b) f nie jest funkcją okresową. (c) f() = = 0 = 3 4, zatem P 0 ( 3 4, 0) jest punktem przecięcia wkresu funkcji z osią OX; brak punktów przecięcia wkresu funkcji z osią OY. (d) f jest ciągła w swojej dziedzinie. 3. Ponieważ 3 [ ] = 0 + = +, więc prosta = 0 jest asmptotą pionową obustronną wkresu funkcji f. Ponieważ ± więc wkres funkcji f nie ma asmptot poziomch. 2 = ±, 11 Opracowała: Małgorzata Wrwas

12 Zbadajm istnienie asmptot ukośnch = a + b: b = a = [f() a] = ± f() ± = ± ± ] [ = ± Istnieje więc jedna asmptota ukośna o równaniu = = 1, = ± 2 = ± [ ] = = Monotoniczność i ekstrema: f f () = 0 = Wklęsłość i wpukłość: f f () = = 3 8 3, min. lok f () = 24 4, 0. Ponadto f min (2) = 3. Zauważm, że dla każdego 0 mam f () > 0. f f + + Zatem wkres nie posiada punktów przegięcia jest to wkres wpukł. ( 6., 3 ) 4 3 ( 4 3 ) 4, 0 0 (0, 2) 2 (2, + ) f f f = = 6 = Opracowała: Małgorzata Wrwas

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji wykład 5

Pochodna funkcji wykład 5 Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)

(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych) Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania

Pochodna funkcji. Zastosowania Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.

Bardziej szczegółowo

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n. Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut Miejsce na naklejkę z kodem szkoł OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR Czas prac 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, cz arkusz egzaminacjn zawiera

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR

ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR ZADANIA w semestrze zimowm Teoria zbiorów funkcje. Podać interpretację geometrczną zbiorów: A B jeżeli A = i B = A B X = X X X gdzie X = gdzie A= { : } B = d) { }

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

Zastosowania pochodnych

Zastosowania pochodnych Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi

Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi Róniczka Wraenie d nazwa si róniczk pierwszego rzdu czci liniow przrostu wartoci unkcji Zastosowanie róniczki do oblicze przblionch: Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb Wkorzstam wzór

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim

Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera

Bardziej szczegółowo

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji 4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów 9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ EAIiIB-Inormatyka -Wykład 4- dr Adam Ćmiel cmiel@agedupl RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Niec : R D R Niec D będzie punktem skupienia zboru D Oznaczenia: Ot,δ) K,δ) -δ, +δ) D ; S,δ) Ot,δ)-{

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne pierwszego rzędu

1 Pochodne pierwszego rzędu Pocodne pierwszego rzędu. Podstawowe definicje Def. Niec funkcja f będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt a. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a dla przyrostu nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f

ZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f IMIE I NAZWISKO ZADANIE Poniżej znajduje się fragment wkresu funkcji = f (). -7 -- - - 6 7 Dorsuj brakujac a część wkresu wiedzac, że dziedzina funkcji f jest przedział,, a wkres jest smetrczn względem

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Krzysztof Piszczek. Teoria

Funkcje. Krzysztof Piszczek. Teoria Funkcje Krzsztof Piszczek Teoria Definicja. Niech dane będą zbior X oraz Y. Funkcją f ze zbioru X do (w) zbiór Y nazwam przporządkowanie każdemu elementowi zbioru X jednego i tlko jednego elementu zbioru

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia. rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III) Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera

Scenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera Scenariusz lekcji matematki z wkorzstaniem komputera Temat: Wpłw współcznników a i b na położenie wkresu funkcji liniowej. (Rsowanie wkresów prz użciu arkusza kalkulacjnego EXCEL.) Czas zajęć: 9 min Cele:

Bardziej szczegółowo

Definicja wartości bezwzględnej. x < x y. x =

Definicja wartości bezwzględnej. x < x y. x = 1.9. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Definicja wartości bezwzględnej... gd... 0 =... gd... < 0 Własności wartości bezwzględnej 0 = = = n a n = a, gd n jest liczbą parzstą Przkład 1.9.1. Oblicz: a) b) c) 1 d) 0 e)

Bardziej szczegółowo

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów

Bardziej szczegółowo