PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA. Łukasz Jendrzejek

Transkrypt

1 Warzawa 2015 Politechnika Warzawka Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Intytut Automatyki i Informatyki Stoowanej PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Łukaz Jendrzejek Zatoowanie rozmytych modeli Takagi-Sugeno w trukturach terowania nieliniowych obiektów regulacji z optymalizacją punktu pracy kooperującą z algorytmami regulacji predykcyjnej Opiekun pracy: dr inż. Piotr Maruak Ocena: Podpi Przewodniczącego Komiji Egzaminu Dyplomowego

2

3 Kierunek: Automatyka i Robotyka Data urodzenia: 14 lipca 1990 r. Data rozpoczęcia tudiów: 1 października 2013 r. Życiory Urodziłem ię 14 lipca 1990 roku w Rybniku. W latach uczęzczałem do Zepołu Szkolno-Przedzkolnego nr 1 w Rybniku, a natępnie rozpocząłem naukę w Gimnazjum z Oddziałami Dwujęzycznymi przy I Liceum Ogólnokztałcącym im. Powtańców Śląkich w Rybniku. Gimnazjum ukończyłem w roku 2005 i kontynuowałem naukę w I Liceum Ogólnokztałcącym im. Powtańców Śląkich w klaie o profilu matematycznofizyczno-informatycznym z nauczaniem języka angielkiego na poziomie dwujęzycznym. W roku 2009 zdałem egzamin maturalny, a także uzykałem świadectwo dojrzałości z wyróżnieniem i rozpocząłem tudia dzienne na wydziale Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechniki Warzawkiej na kierunku Informatyka o pecjalności Sytemy Informacyjno- Decyzyjne. 25 czerwca 2013 roku obroniłem pracę dyplomową na temat Zmył równowagi robota humanoidalnego uzykując tytuł inżyniera. 1 października 2013 roku rozpocząłem tudia dzienne II topnia na wydziale Elektroniki i Technik Informacyjnych na kierunku Automatyka i Robotyka podpi tudenta Egzamin dyplomowy Złożył egzamin dyplomowy w dn Z wynikiem Ogólny wynik tudiów Dodatkowe wnioki i uwagi Komiji

4 Strezczenie Celem pracy było porównanie jakości działania różnych werji algorytmów regulacji predykcyjnej pracujących w wartwowej trukturze terowania i wykorzytujących rozmyty model Takagi-Sugeno terowanego obiektu. Rozważane były dwa obiekty terowania - reaktor polimeryzacji, jako przykład obiektu o jednym wejściu i jednym wyjściu, a także reaktor ph, jako obiekt o dwóch wejściach i dwóch wyjściach. Praca nad każdym z reaktorów obejmowała trzy równie itotne wątki: opracowanie modelu obiektu opierając ię o teorię rozmytych modeli Takagi-Sugeno, implementację kilku werji algorytmów predykcyjnych i przetetowanie ich działania z wykorzytaniem tworzonych modeli, porównanie działania wartwowej truktury terowania wykorzytującej algorytmy predykcyjne w wartwie regulacji nadrzędnej. Tetowanymi algorytmami predykcyjnymi były: klayczny, liniowy algorytm DMC, rozmyty algorytm DMC oparty na podejściu PDC (FDMC), rozmyty nieliniowy algorytm DMC z ukceywną linearyzacją modelu (FDMC-SL), rozmyty nieliniowy algorytm DMC z nieliniową predykcją i linearyzacją (FDMC-NPL), algorytm z nieliniową optymalizacją (MPC-NO). W układzie regulacji obiektu o jednym wejściu i jednym wyjściu przetetowane zotały wzytkie rozpatrywane algorytmy regulacji predykcyjnej i najlepze z nich zotały zaimplementowane dla obiektu o wielu wejściach i wielu wyjściach. Abtract Topic: Application of Takagi-Sugeno fuzzy model in multilayer control tructure with cooperation between et-point optimization and model predictive control algorithm. The main purpoe of thi thei wa to compare performance of different kind of model predictive control algorithm baed on Takagi-Sugeno fuzzy model in the multilayer control tructure. Two plant were taken into conideration - the polymerization reactor a an example of a ingle-input and ingle-output (SISO) plant and the ph reactor a an example of multiple-input and multiple-output (MIMO) plant. Reearch of both plant conited of three equally important part: formulation of the Takagi-Sugeno fuzzy model of each plant, implementation of a few kind of model predictive algorithm with comparion of the way in which they operate, their performance aement in multilayer control tructure. Model predictive control algorithm which were taken into conideration were: the claical, linear DMC controller, fuzzy DMC controller uing the PDC approach (FDMC), nonlinear fuzzy DMC controller with ucceive linearization of the model of the plant (FDMC-SL), nonlinear fuzzy DMC controller with nonlinear prediction and linearization (FDMC-NPL), model predictive controller with nonlinear optimization (MPC-NO). All of thee controller were thoroughly teted with the SISO plant and the bet one were applied to the MIMO plant.

5 Spi treści 1 Wtęp 7 2 Wprowadzenie Zbiory rozmyte Modele Takagi-Sugeno ANFIS - rozmyta ieć neuronowa Regulacja predykcyjna Algorytm DMC Algorytm FDMC oparty na podejściu PDC FDMC-SL - rozmyty algorytm DMC z ukceywną linearyzacją FDMC-NPL - rozmyty algorytm DMC z nieliniową predykcją i linearyzacją Algorytm z nieliniową optymalizacją Wartwowa truktura terowania Wartwa LSSO - optymalizacja punktu pracy Wartwa SSTO - dotrajanie punktu pracy dla aktualnych wartości zakłóceń Sterowanie reaktora polimeryzacji Charakterytyka proceu Modelowanie rozmyte reaktora Rozmyta ieć neuronowa Model rozmyty opracowany metodą ekpercką Regulacja proceu Strojenie algorytmu DMC Rozmyty parametr kary λ regulatora Zmiana wartości zadanych Kompenacja zakłóceń niemierzalnych i uwzględnianie pomiaru zakłóceń Wartwowa truktura terowania Struktura LSSO+MPC Struktura LSSO+SSTO+MPC Wnioki Sterowanie reaktora ph Charakterytyka proceu Modelowanie rozmyte reaktora Regulacja proceu Strojenie regulatora DMC Zmiana wartości zadanych Kompenacja zakłóceń niemierzalnych i uwzględnianie pomiaru zakłóceń Dobór różnych wartości parametrów kary za przyroty terowania w pozczególnych obzarach rozmytych

6 4.4 Wartwowa truktura terowania proceu Struktura LSSO+MPC Struktura LSSO+SSTO+MPC Wnioki Podumowanie 138

7 1 Wtęp Przedmiotem rozważań niniejzej pracy było wykorzytanie koncepcji modeli rozmytych Takagi-Sugeno w wartwowych trukturach terowania z regulatorami predykcyjnymi. Tematyka zawiera więc w obie trzy główne wątki jakimi ą: modelowanie rozmyte, regulacja predykcyjna i optymalizacja punktu pracy. Modelowanie rozmyte typu Takagi-Sugeno jet uniweralną i kuteczną techniką odwzorowywania dowolnie komplikowanych zależności. Bardzo czętą ytuacją w praktyce przemyłowej jet, że obiekt terowania jet nieliniowy i utworzenie jego modelu w protej potaci liniowej może być zbyt niedokładne. Konieczne jet wtedy opracowanie bardziej komplikowanego, lecz dokładniejzego modelu nieliniowego. Przykładem poobu opracowywania takich modeli obiektów jet koncepcja zbiorów rozmytych, a w zczególności modele rozmyte Takagi-Sugeno, za pomocą których dowolnie komplikowany proce można przybliżyć pewnym zbiorem powiązanych ze obą zależności funkcyjnych. Technika tworzenia takich modeli jet tounkowo łatwa w implementacji, a także intuicyjna w działaniu. Ponadto pozwala uzykać dowolnie dużą dokładność odwzorowania docelowego obiektu. Drugim apektem poruzanym w pracy jet regulacja predykcyjna. Jet to zaawanowana technika regulacji, która odnioła ogromny ukce w praktycznych zatoowaniach w przemyśle. Jej głównymi zaletami ą: możliwość bezpośredniego uwzględniania ograniczeń nakładanych na terowanie i wartość wyjścia, wyznaczanie terowania z wykorzytaniem informacji o interakcjach między ygnałami wejściowymi i wyjściowymi zawartymi w modelu obiektu, a także łatwa do zrozumienia zaada działania i poób doboru nataw, co jet niezwykle ważne przy wprowadzaniu w przemyśle. Wykorzytanie modelu obiektu pozwala ponadto prawnie regulować procey nawet w przypadku nierównej liczby wejść i wyjść. Ronące możliwości przętu pozwalają na pomyślne toowanie w nich modeli nieliniowych, na przykład w potaci rozmytych modeli Takagi-Sugeno. Otatni wątek obejmuje optymalizację punktu pracy. Procey przemyłowe zwykle teruje ię w wartwowych trukturach terowania. Umożliwia to podział zadań pomiędzy pozczególne wartwy, gdzie najniżze z nich realizują zadanie zapewniania bezpieczeńtwa i regulacji bezpośredniej, wyżze - regulację nadrzędną, a najwyżze - optymalizację punktu pracy. Czętotliwość interwencji wartwy jet tym mniejza, im wartwa znajduje ię na wyżzym poziomie truktury. Kiedy zakłócenia wytępujące w proceie zmieniają ię zbyt zybko w tounku do czętotliwości interwencji wartwy optymalizacji wykorzytującej dokładny, nieliniowy, tatyczny model obiektu, wprowadza ię także wartwę pośrednią wpółpracującą z regulatorem nadrzędnym MPC. Jej celem jet bieżąca poprawa rzadko wyznaczanych optymalnych wartości zadanych przez rozwiązanie uprozczonego zadania 7

8 optymalizacji, częto zadania programowania liniowego wykorzytującego zredukowany, przybliżony model obiektu. Celem pracy było opracowanie modeli rozmytych dwóch obiektów regulacji - reaktora polimeryzacji jako przykładu obiektu o jednym wejściu i jednym wyjściu oraz reaktora ph jako przykładu obiektu o wielu wejściach i wielu wyjściach. Prace nad porządzaniem modeli rozmytych rozpoczęto od rozeznania możliwości wykorzytania w tym celu gotowych funkcji dotępnych w programie Matlab. Użycie ich nie dało zadowalających efektów, dlatego do opracowania modeli rozmytych połużono ię podejściem ekperckim. Utworzone modele rozmyte obiektów wykorzytane zotały w kilku werjach algorytmów regulacji predykcyjnej, które wnikliwie zbadano na przykładzie terowania reaktorem polimeryzacji. Proce opracowania i trojenia algorytmów regulacji przeplatał ię z porządzaniem modeli rozmytych. Dotrojone algorytmy regulacji zotały natępnie wykorzytane w wartwowych trukturach terowania - prawdzono i porównano ze obą kilka werji takich truktur. Najlepze z zaprojektowanych truktur i algorytmów zotały także docelowo zaimplementowane do terowania reaktora ph, w celu dalzego porównania ich działania w przypadku obiektu wielowymiarowego. 2 Wprowadzenie 2.1 Zbiory rozmyte Podtawowym zadaniem układów regulacji jet utrzymywanie zmiennych regulowanych jak najbliżej wartości zadanych określających pewien punkt pracy. Standardowym podejściem jet wyznaczenie modelu liniowego obiektu i dobór regulatora na takim modelu bazującego. Liniowy model jet jednak tylko pewnym przybliżeniem rzeczywitego obiektu i jet adekwatny jedynie w określonym otoczeniu przyjętego punktu pracy. Rozwój techniki przyczynił ię do realizacji regulacji adaptacyjnej, w której poprawiane ą na bieżąco parametry modelu. Z drugiej trony natąpił także rozwój regulacji nieliniowej, w której projektowany jet regulator bezpośrednio dla obiektu nieliniowego. Identyfikacja takiego modelu obiektu regulacji mui zotać przeprowadzona dla zerokiego zakreu wartości zmiennych proceu w celu odwzorowania dynamiki i tatyki obiektu dla całego obzaru pracy obiektu. Jednym z podejść do tworzenia modeli nieliniowych jet koncepcja zbiorów i modeli rozmytych. Regulatory oparte na modelach rozmytych okazują ię ilnym narzędziem, zwłazcza w aplikacjach, gdzie trudno jet uzykać pełny, analityczny opi obiektu terowanego, natomiat dyponuje ię wiedzą empiryczną na temat proceu, w zczególności doświadczeniem operatorów, czy wzorcami zgodnie z którymi zachowuje ię rozważany proce. Idea zbiorów rozmytych zotała zaproponowana przez L. A. Zadeha już w roku 1964, jednak potkała ię wtedy z otrą krytyką. Mimo, że pierwze kuteczne zatoowa- 8

9 nie teorii w przemyśle miało miejce już w roku 1976 w duńkiej cementowni, prawdziwy prężny rozwój teorii i praktycznych zatoowań logiki rozmytej miał miejce pod koniec lat 80. XX wieku. Koncepcja przetrwała do dziś i jet z powodzeniem toowana w terowaniu. Obok modelowania neuronowego tała ię jedną z najczęściej toowanych w praktyce od lat 90. ubiegłego wieku [1, 2, 3]. W modelach rozmytych, w przeciwieńtwie do klaycznej teorii zbiorów, topień przynależności zmiennych do zbiorów określony jet za pomocą funkcji zwanych funkcjami przynależności. Funkcja taka nie przyjmuje wartości binarnych (należy lub nie), a tała ię funkcją przyjmującą dowolną wartość rzeczywitą z przedziału [0, 1]. Klaycznie o przynależności określonej funkcją binarną mówi ię, że jet to przynależność otra (ang. crip). Przyjmowanie wartości z zakreu [0, 1] w naturalny poób oznacza, że element może należeć do wielu zbiorów jednocześnie (z określonym topniem przynależności). Matematycznie definicje przynależności ą więc wyrażone za pomocą funkcji, określonych natępująco: µ C (x) = µ F (x) = 1 jeżeli x C 0 jeżeli x C (0, 1] jeżeli x F 0 jeżeli x F (1) (2) gdzie nazwy zbiorów C i F pochodzą odpowiednio od angielkich łów crip i fuzzy. Podział dziedziny na zbiory rozmyte można przedtawić na protym przykładzie przedtawionym na ry. 1. Przykładowa wartość t 1 zmiennej temperatura należy do zbioru średnia ze topniem przynależności 0,77 i do zbioru wyoka ze topniem przynależności 0,23. Zmienna temperatura jet w teorii zbiorów rozmytych nazywana zmienną lingwityczną i w tym przypadku przyjmuje jedną z trzech wartości: {nika, średnia, wyoka}, z określonymi wartościami funkcji przynależności. Zmienne lingwityczne pośredniczą pomiędzy wartościami ymbolicznymi a numerycznymi. Ry. 1. Funkcje przynależności zmiennej temperatura do trzech zbiorów: nika, średnia i wyoka 9

10 W powyżzym przykładzie wykorzytane zotały trapezowe funkcje przynależności. Razem z trójkątnymi funkcjami przynależności ą bardzo częto toowane, ze względu na łatwy i intuicyjny dobór ich parametrów, za pomocą których można dobrze podzielić całą dziedzinę wartości na odpowiednie zbiory. Do pełnego określenia trapezowych i trójkątnych funkcji przynależności wytarczy podać punkty, w których zmienia ię nachylenie funkcji - odpowiednio 3 punkty dla funkcji trójkątnych i 4 dla trapezowych. Nietety poiadają one wadę - nie ą funkcjami różniczkowalnymi, co może powodować problemy w pewnych zczególnych przypadkach. W związku z tym touje ię także funkcje zmieniające woje wartości w poób gładki, jak na przykład igmoidalne czy dzwonowe. Funkcje takie można opiać za pomocą wzoru, np. funkcja dzwonowa dana jet zależnością: µ Bell (x) = 1 [ (x ) ] c 2 a (3) 1 + b gdzie od pozczególnych parametrów funkcji a, b, c zależą odpowiednio: nachylenie funkcji, zerokość dzwonu i środek ymetrii funkcji Modele Takagi-Sugeno Podział wartości zmiennych na zbiory rozmyte jet tylko częścią pełnego modelu rozmytego. Jego podtawą jet zetaw reguł, który opiuje wykorzytanie zbiorów rozmytych. Ogólne reguły takiego modelu kładają ię z dwóch części - poprzednika (ang. antedecent) i natępnika (ang. conequent) i ą formułowane w natępujący poób: JEŚLI poprzednik, TO natępnik (4) W poprzednikach reguł określone ą warunki, dla których reguła jet aktywna, natomiat natępniki zawierają wnioki, które obowiązują kiedy dane warunki ą pełnione. Potać poprzedników może być dowolnie komplikowana. Najprotzy przypadek poprzednika reguły rozmytej kłada ię jedynie z pojedynczego warunku przynależności zmiennej lingwitycznej do jednego ze zbiorów rozmytych, jak w poniżzym przypadku: JEŚLI x jet X, TO natępnik (5) Stopień przynależności zmiennej x jet określony wartością odpowiednio zdefiniowanej funkcji przynależności µ X (x). W ogólności, poprzedniki reguł mogą tanowić dowolne kombinacje warunków protych połączonych operatorami koniunkcji, alternatywy i negacji, na przykład: JEŚLI x 1 jet X 1 lub x 2 jet (nie X 2 )... i x n jet X n, TO natępnik (6) 10

11 Przy opiowym nazewnictwie zmiennych i zbiorów rozmytych zatoowanie łów kluczowych pozwala na zapi reguł rozmytych w języku naturalnym. Przy zapiie ymbolicznym zmiennych, wykorzytanie łów kluczowych w regułach rozmytych tanowi krót myślowy, ponieważ wygodniej jet wykorzytać frazę JEŚLI x 1 jet X 1, TO... niż poługiwać ię w pełni poprawnym gramatycznie formułowaniem jeśli zmienna x 1 należy do zbioru rozmytego X 1, to... Natępniki reguł rozmytych określa ię na jeden z natępujących poobów: Natępnik otry (ang. crip conequent) JEŚLI poprzednik, TO y = y a (7) w którym y a tanowi wartość numeryczną lub ymboliczną, Natępnik rozmyty (ang. fuzzy conequent) JEŚLI poprzednik, TO y jet Y (8) gdzie y jet zmienną lingwityczną, a Y zbiorem rozmytym, Natępnik funkcyjny (ang. functional conequent) JEŚLI x 1 jet X 1 i x 2 jet X 2 i... i x n jet X n, TO y = f(x 1, x 2,..., x n ) (9) w którym f tanowi funkcję zmiennych x 1, x 2,..., x n. Takagi i Sugeno zaproponowali w 1985 roku modele rozmyte oparte na regułach wykorzytujących natępniki funkcyjne [1, 3, 4, 5]. Sytemy wykorzytujące bazę reguł takiej potaci nazywa ię, od nazwik ich twórców, ytemami rozmytymi Takagi-Sugeno. To podejście okazało ię bardzo kuteczne w modelowaniu obiektów nieliniowych. Już wykorzytanie niewielkiej liczby reguł w poób wytarczająco dokładny pozwala odwzorować nawet ilnie nieliniowy obiekt. Najczęściej jako natępniki wykorzytuje ię funkcje liniowe o ogólnej potaci: n y i = a i j x j + a i 0 (10) j=1 Stanowi to dodatkowe uprozczenie modelu, a ponadto można połużyć ię dobrze znanymi metodami identyfikacji parametrów modeli liniowych. Dobrze opiują one zachowanie obiektu w okolicy określonych punktów pracy, przez co zwykle określa ię je mianem modeli lokalnych. Otatecznie baza wiedzy modeli rozmytych Takagi-Sugeno toowanych 11

12 w pracy kłada ię z reguł rozmytych złożonych z zetawu protych warunków połączonych operatorem koniunkcji w poprzednikach i liniowych natępników funkcyjnych. Są więc potaci: R i : JEŚLI x 1 jet X1 i i... i x n jet Xn, i n (11) TO y i = a i j x j + a i 0 j=1 Utworzona baza wiedzy wykorzytywana jet do wniokowania rozmytego. W ytemach rozmytych Takagi-Sugeno kłada ię ono z trzech podtawowych etapów: 1. Wyznaczenie poziomów aktywacji, inaczej ił odpalenia (ang. firing trength) reguł odpowiadających aktualnym wartościom zmiennych wejściowych, 2. Obliczenie wartości natępników funkcyjnych każdej z reguł, 3. Obliczenie konkluzji finalnej polegającej na wyznaczeniu odpowiedniej średniej ważonej wartości natępników pozczególnych reguł, gdzie rolę wag pełnią unormowane poziomy aktywacji reguł. Wartości iły odpalenia reguł wyznacza ię korzytając z funkcji przynależności odpowiadającej danej regule. W przypadku przełanek protych, w których wytępuje tylko odwołanie do pojedynczej zmiennej, iła odpalenia reguły jet po protu wartością funkcji przynależności dla danej wartości x, czyli: w i (x) = µ X i(x) (12) Bardzo częto przełanki zawierają odwołania do więcej niż jednej zmiennej lingwitycznej. Mimo, że poprzedniki reguł rozmytych ą jednorodne i zawierają jedynie prote warunki połączone operatorem koniunkcji, wyznaczenie poziomu aktywacji reguły nie jet jednoznaczne. W celu obliczenia pojedynczej, kalarnej wartości będącej poziomem aktywacji reguły i-tej można bowiem wykorzytać różne operatory. Jednym z częściej toowanych jet operator minimum: a drugim iloczyn: w i (x) = min{µ X i 1 (x 1 ),..., µ X i k (x k )} (13) w i (x) = µ X i 1 (x 1 )... µ X i k (x k ) (14) Warto zwrócić uwagę, że obydwa operatory poiadają wpólną cechę. Waga danej reguły rozmytej jet równa zero, kiedy co najmniej jedna z wartości funkcji przynależności jet równa zero, natomiat wartość 1 jet oiągana tylko wtedy, kiedy wzytkie wartości 12

13 funkcji przynależności wynozą 1. Właściwości te ą zgodne z właściwościami operatora koniunkcji w logice. W ytemach rozmytych utworzonych w pracy wykorzytywany jet operator mnożenia. Do wyznaczania wartości wyjścia modelu rozmytego Takagi-Sugeno wytarczy połużyć ię protym wzorem: L w i (x) y i i=1 y = (15) L w i (x) i=1 gdzie w i ą poziomami aktywacji pozczególnych reguł, a L jet liczbą wzytkich reguł wchodzących w kład bazy wiedzy. Wyjście całego ytemu rozmytego jet więc niczym innym, jak średnią ważoną wartości wyjść pozczególnych modeli lokalnych, gdzie iły odpalenia reguł przyjmują rolę wag. Itotna jet obecność mianownika ułamka wytępującego we wzorze (15), który pełni rolę normującą. Wartości poziomów aktywacji reguł wynikają z wartości funkcji przynależności, tak więc również mogą przyjmować dowolną wartość z przedziału [0, 1]. Częto wprot określa ię znormalizowane poziomy aktywacji reguł, które zdefiniowane ą w natępujący poób: w i (x) = wi (x) L w i (x) Wzór określający wartość wyjścia modelu rozmytego można więc zapiać w potaci: i=1 (16) y = L i=1 w i y i (17) ANFIS - rozmyta ieć neuronowa Sytem rozmyty Takagi-Sugeno może zotać przedtawiony w potaci truktury ieci neuropodobnej. Takie przedtawienie nazywane jet rozmytą iecią neuronową (ang. fuzzy neural network), lub bardzo częto krótem ANFIS (ang. Adaptive Neuro-Fuzzy Inference Sytem) [1, 5, 6, 7, 8]. Struktura taka może być interpretowana jako wielowartwowa ieć neuronowa, gdzie neurony odpowiadają funkcjom przynależności i modelom lokalnym natępników reguł rozmytych. Ogólną trukturę można więc przedtawić w poób zobrazowany na ry. 2: Spoób działania neuronowych modeli poprzedników i natępników ieci neuronowej można przedtawić poługując ię kolejnymi chematami. Ry. 3 przedtawia fragment ieci realizujący funkcję wyznaczania poziomów aktywacji reguł. Pierwza wartwa neuronów reprezentuje funkcje przynależności pozczególnych zmiennych modelu do kolejnych zbiorów rozmytych. Ich wyjścia tanowią wyznaczone wartości funkcji przynależności, które ą natępnie przetwarzane przez kolejne wartwy węzłów ieci realizujących mnożenie, 13

14 Ry. 2. Ogólna truktura rozmytej ieci neuronowej [5] dodawanie oraz dzielenie i w rezultacie otrzymywane ą unormowane poziomy aktywacji reguł. Ry. 3. Struktura neuronowego modelu poprzedników rozmytej ieci neuronowej [5] Fragment ieci odpowiadający natępnikom reguł rozmytych przedtawia ry. 4. Zmienne wejściowe modelu i parametr tały mnożone ą przez toowne wartości modeli lokalnych oznaczone na ryunku przez a i j, gdzie i jet numerem reguły, do której przyporządkowany jet dany model lokalny, a j jet numerem zmiennej wejściowej modelu. Natępnie odpowiednie iloczyny ą umowane aby otrzymać wartości wyjść modeli lokalnych. Struktura realizuje natępniki liniowe przedtawione we wzorze (10). Dzięki modelowi rozmytemu w potaci rozmytej ieci neuronowej możliwe jet wykorzytanie algorytmów uczenia ieci neuronowych w celu optymalizacji wartości parametrów modelu rozmytego. Wielkościami dotrajanymi modelu ą zarówno kztałty funkcji przynależności, jak i parametry lokalnych modeli liniowych w natępnikach reguł. Rozmytą iecią neuronową można połużyć ię do modelowania nieznanej zależności. Typowo wykorzytuje ię wtedy jedynie zbiór danych wejście-wyjście i po wtępnym wybraniu liczby zbiorów rozmytych i kztałtu funkcji przynależności można zatoować dowolny algorytm uczenia ieci neuronowych do dotrojenia parametrów. Najczęściej wykorzytuje ię jeden z dwóch poobów: 14

15 Ry. 4. Struktura neuronowego modelu natępników rozmytej ieci neuronowej [5] 1. Zarówno parametry poprzedników jak i natępników reguł dotraja ię dowolną metodą uczenia ieci neuronowych, np. metodą wtecznej propagacji błędu. 2. Stouje ię tzw. algorytm hybrydowy, w którym za pomocą uczenia ieci dotrajane ą jedynie parametry poprzedników reguł, a parametry natępników dotrajane ą za pomocą metody najmniejzych kwadratów. Metoda ta cechuje ię lepzymi włanościami niż poprzednia [1, 7]. 2.2 Regulacja predykcyjna W klaycznym podejściu do regulacji truktura regulatora jet dobierana tak, aby zapewnić odpowiedni przebieg ygnału terującego i terowanego. Bardzo częto nie uwzględnia ię ograniczeń nakładanych na ygnał terujący. Podejście takie jet toowane, ponieważ zakłada ię, że układ pracuje w blikim otoczeniu punktu pracy, dla którego regulator zotał dotoowany, a wyznaczane przez niego terowanie należy do zbioru dopuzczalnego. Nierzadko punkt pracy, dla którego projektuje ię regulator, znajduje ię jednak bliko ograniczeń. Ponadto ygnały wyprowadzające obiekt ze tanu równowagi mogą miewać duże wartości, przez co regulatory generują bardzo duże terowania lub gwałtowne jego zmiany. Może ię okazać, że taki charakter ygnału terującego jet fizycznie niemożliwy do wykorzytania z punktu widzenia zatoowanego urządzenia wykonawczego, a nawet może doprowadzić do jego uzkodzenia, tąd bardzo ważne jet uwzględnianie ograniczeń na ygnały terujące. Obiektami zczególnie trudnymi w terowaniu za pomocą metod klaycznych ą obiekty nieminimalnofazowe, czyli takie, w których wytępuje opóźnienie lub odpowiedź odwrotna. Ponadto bardzo częto potyka ię obecnie obiekty o wielu wejściach i wielu wyjściach. W celu regulacji obiektów wielowymiarowych można na przykład kolejno projektować kilka regulatorów jednowymiarowych, jednak ich poprawne dobranie gwarantujące tabilność pojedynczych pętli regulacji nie gwarantuje tabilności całego układu regulacji. 15

16 Skutecznym remedium na przedtawione problemy okazała ię idea regulacji predykcyjnej, która odnioła duży ukce i była wielokrotnie toowana w praktyce w ciągu otatnich kilku dzieięcioleci. Sukce metody wynikał z zeregu jej zalet. Po pierwze, toując algorytmy predykcyjne (w werji numerycznej) możliwe jet uwzględnianie ograniczeń nakładanych na przewidywane wartości wyjść obiektu, wartości ygnału terującego jak i makymalne przyroty terowania podcza wyznaczania terowania. Dzięki temu zapewnione zotają warunki zarówno bezpiecznego jak i efektywnego przebiegu regulowanego proceu. Wykorzytanie matematycznego modelu proceu pozwala uwzględniać jego dynamikę, jak i oddziaływania pozczególnych wejść na wyjścia obiektu, dzięki czemu z powodzeniem i tounkowo łatwo można projektować regulatory predykcyjne dla obiektów wielowymiarowych, nawet w przypadkach, kiedy liczby wejść i wyjść nie ą obie równe [1]. Algorytmy regulacji predykcyjnej w woim działaniu wykorzytują dynamiczny model obiektu regulowanego, pomiary aktualnych i poprzednich wartości wyjść obiektu, hitorię zmian terowania, a także znaną trajektorię zadanych wartości wyjść regulowanych. Dyponując takimi danymi w każdej chwili wyznaczana jet nowa wartość terowania w taki poób, aby zminimalizować różnice pomiędzy wartościami zadanymi obiektu, a wartościami wyjść regulowanych wyznaczonych na podtawie wykorzytywanego modelu, w pewnym okreie w przyzłości. Uwzględniana jet także kara za zmienność terowania, dzięki czemu tounkowo łatwo można wpływać na jego wartości generowane z użyciem algorytmów regulacji predykcyjnej. Zaada działania algorytmów regulacji predykcyjnej, a także podtawowe pojęcia zotały zobrazowane na ry. 5. W chwili k-tej dotępna jet hitoria zmian terowań w obiekcie, a także hitoria zmian wartości wyjściowych. Na ich podtawie, z wykorzytaniem modelu proceu, wyznaczana jet wartość d k = y k yk k 1 mod będąca różnicą mierzonej wartości wyjścia obiektu i odpowiadającej jej wartości otrzymanej z modelu proceu, wynikająca z niedokładności modelowania i działania wytępujących w układzie zakłóceń niemierzalnych. Natępnie, dla pewnej określonej liczby chwil w przyzłości oblicza ię przyzłe, przewidywane wartości wyjść obiektu. Podcza wyznaczania tych wartości częto przyjmuje ię, że wartość zakłócenia d k wyznaczona w chwili k-tej jet tała dla wzytkich chwil w przyzłości obliczanych dla chwili k-tej. Przewidywane na podtawie modelu wartości wyjść określane ą jako prognozowana trajektoria wyjść lub predykcja, a odcinek czau na którym jet przeprowadzana oznacza ię ymbolem N i nazywa horyzontem predykcji. Przez pewien odcinek czau predykcji zakłada ię także możliwość zmienności terowań. Odcinek ten określa ię jako horyzont terowania i oznacza przez N u. Horyzont terowania jet nie dłużzy niż horyzont predykcji (N u N). W każdej iteracji wyznacza ię wektor przyrotów terowań na całym horyzoncie terowania. Pierwzy kładnik tego wektora, tj. przyrot terowania na chwilę k-tą ( u k k ) 16

17 Ry. 5. Zaada regulacji predykcyjnej z dekompozycją na kładowe wobodną i wymuzoną predykcji w przypadku liniowym jet aplikowany do obiektu i w natępnej iteracji algorytmu proce wyznaczania optymalnych przyrotów terowania odbywa ię od początku. Taki rodzaj terowania jet częto nazywany terowaniem repetycyjnym z przeuwanym horyzontem. Obliczanie wartości terowań w chwili bieżącej i natępnych realizowane jet przez rozwiązanie zadania optymalizacji polegającego na minimalizacji wartości wkaźnika jakości określającego jakość regulacji. Funkcja taka kłada ię z dwóch podtawowych kładników - koztu odchyleń trajektorii predykcji od trajektorii zadanej, a także kary za zmienność wyznaczanych wartości terowań. Najczęściej wkaźnik jakości w regulacji predykcyjnej formułowany jet w potaci funkcji kwadratowej. Przy uwzględnieniu ograniczeń można formułować zadanie optymalizacji, które jet rozwiązywane w każdej iteracji algorytmu regulacji predykcyjnej: N min y zad 2 u k k,..., u k+nu 1 k k+p k y k+p k + Ψ p p=1 N u 1 p=0 2 u k+p k Λ p przy ogr.: u min u k+p k u max, p = 0,...N u 1 (18) u max u k+p k u max, p = 0,...N u 1 y min y k+p k y max, p = 1,...N 17

18 Częto dąży ię do kracania horyzontu terowania, ponieważ redukuje to wymiarowość rozwiązywanego zadania optymalizacji (zmiennymi decyzyjnymi zadania optymalizacji ą przyzłe przyroty terowania). Wkaźnik jakości w zadaniu optymalizacji (18) zawiera także macierze Ψ p i Λ p. Wartości elementów macierzy Ψ p pełnią rolę wag, umożliwiających zmianę wpływu różnicy pozczególnych kładowych wektora wyjść i wartości zadanych na wartość wkaźnika jakości. Macierz Λ p zawiera natomiat wpółczynniki kary za przyroty terowań. W praktyce dąży ię do tego, aby terowanie obiektu było możliwie zybkie, jednak zachowany zotał kompromi pomiędzy zybkością regulacji a dynamiką zmian wartości terowania, z uwagi na toowane urządzenia wykonawcze, które cechują ię woją określoną wydajnością i naturalną inercją. Odpowiednio dobrane wartości wpółczynników kary za przyroty terowań pozwalają także realizować tłumienie zmienności terowania, dzięki czemu można uzykać więkzą odporność na błędy modelowania [1]. Ważne jet wyzczególnienie przypadku, kiedy model obiektu wykorzytywany w algorytmie jet liniowy. Będzie to pomocne do kontrukcji bardzo kutecznych algorytmów nieliniowych z linearyzacjami. W przypadku liniowym obowiązuje zaada uperpozycji, dlatego można dokonać dekompozycji trajektorii predykcji. Stanowi ona bowiem umę: trajektorii wobodnej - zależnej tylko od przezłych terowań ( {yk+p k 0, p = 1, 2,..., N} ); trajektorii wymuzonej - zależnej od przyrotów terowań wyznaczanych w aktualnej chwili na horyzoncie terowania ( { y k+p k, p = 1, 2,..., N} ). Dekompozycja taka nie jet konieczna, jet jednak bardzo wygodna, ponieważ znacząco przypieza rozwiązywanie zadania optymalizacji. Podcza jego rozwiązywania trajektoria wobodna pozotaje tała, ponieważ nie mają na nią wpływu wartości zmiennych decyzyjnych. Trajektoria wobodna tanowi więc tałe parametry w zadaniu optymalizacji. Trajektoria wymuzona natomiat zależy od zmiennych decyzyjnych. Rozdzielenie trajektorii prognozowanej na część wobodną i wymuzoną zotało przedtawione na ry. 5. Korzytając z takiej dekompozycji wkaźnik jakości ulegnie zmianie. Oznaczając przez M p operatory liniowe wyrażające predykcję elementów trajektorii wymuzonej, a przez U k wektor zmiennych decyzyjnych, czyli przyroty terowania na całym horyzoncie terowania w chwili k-tej, zadanie optymalizacji algorytmu regulacji predykcyjnej zapiano w bardziej zwięzłej potaci (z założeniem liniowego modelu) we wzorze (19). Zadanie to jet wypukłe, co wynika z założenia o dodatnich wartościach wpółczynników kary, tak więc macierze Ψ i Λ ą ściśle dodatnio określone. Wobec tego zadanie ma zereg pożądanych właściwości: ma jednoznaczne minimum będące minimum globalnym (jeżeli ograniczenia nie ą aktywne), 18

19 przy nałożonych ograniczeniach możliwe jet niezawodne i zybkie rozwiązanie numeryczne tego zadania, w przypadku braku ograniczeń możliwe jet otrzymanie rozwiązania analitycznego. min U k N yk+p k zad yk+p k 0 2 M p U k + Ψ p p=1 N u 1 p=0 2 u k+p k Λ p przy ogr.: u min u k+p k u max, p = 0,...N u 1 (19) u max u k+p k u max, p = 0,...N u 1 y min y 0 k+p k + M p U k y max, p = 1,...N Operatory M p można zapiać w potaci pojedynczej macierzy w natępujący poób: M = M 1. (20) M N Macierz M jet nazywana macierzą dynamiczną obiektu i wytępuje w nazwie jednego z pierwzych toowanych w praktyce algorytmów predykcyjnych, który zotanie opiany dokładnie w kolejnym podrozdziale Algorytm DMC Algorytm regulacji predykcyjnej typu DMC (ang. Dynamic Matrix Control) był jednym z pierwzych opracowanych algorytmów predykcyjnych. Powtał już w latach 70. w firmie Shell i jego bezpośrednie zatoowanie w praktyce prawiło, że tał ię bardzo popularny. Oprogramowanie wykorzytujące algorytm DMC wciąż jet jednym z najbardziej rozpowzechnionych w zatoowaniach przemyłowych za prawą wykorzytywania odpowiedzi kokowej jako modelu proceu. Jet to jeden z najprotzych a zarazem kutecznych poobów identyfikacji modelu [1]. Przykład dykretnej odpowiedzi kokowej zotał przedtawiony na ry. 6. Dla podanego przypadku obiekt cechuje ię opóźnieniem trzech okreów próbkowania. Z punktu widzenia modelowania obiektu itotna jet jedynie określona liczba wpółczynników dykretnej odpowiedzi kokowej. Cza, po którym wartość wyjścia obiektu można uznać za utaloną oznacza ię przez D i nazywa horyzontem dynamiki. Tak więc zakłada ię, że D = D+1 = D+2 = =. W ogólności, dla modelu wielowymiarowego, elementy dykretnej odpowiedzi kokowej l będą macierzami opiującymi w jaki poób koki jednotkowe na pozczególnych wejściach przekładają ię na wartości na wyjściach obiektu. 19

20 Ry. 6. Przykładowa odpowiedź kokowa wykorzytywana jako model obiektu w algorytmie DMC Wzór opiujący macierz pojedynczego wpółczynnika wielowymiarowej odpowiedzi kokowej ma potać: S l = 11 l 12 l 13 l 1nu l 21 l 22 l 23 l 2nu l 31 l 32 l 33 l 3nu l ny1 l ny2 l ny3 l nynu l n y n u Zgodnie z zaadą uperpozycji, znając dykretną odpowiedź kokową obiektu można modelować dykretną odpowiedź wyjścia na dowolne terowanie dykretne korzytając z zależności: y k = y 0 + (21) k S j u k j, k = 1, 2, 3,... (22) j=1 Równanie (22) może zotać wykorzytane do wyznaczenia predykcji w algorytmie. Trajektorię przewidywaną można rozdzielić na część zależną jedynie od przezłych wartości terowań i część, na którą wpływ mają ich nowe wartości, wyznaczane na horyzoncie terowania. Uzupełniając zależność o zakłócenie typu DMC, predykcję można zapiać w natępujący poób: y k+p k = y 0 + p S j u k+p j k + j=1 k+p j=p+1 S j u k+p j + d k (23) gdzie pierwza uma tanowi wpływ terowań wyznaczanych w chwili k, a druga jet zależ- 20

21 na od przezłych wartości terowań. Ponadto korzytając z tego, że wartość zakłócenia d k jet różnicą między pomiarem wartości wyjścia a wartością wyjścia obliczaną na podtawie modelu, czyli: d k = y k y k k 1 (24) można tą zależność wtawić do równania predykcji algorytmu DMC i po toownych uprozczeniach otrzymać: p k y k+p k = S j u k+p j k + y k + (S j+p S j ) u k j = j=1 j=1 (25) = y k+p k + yk+p k, 0 p = 1, 2, 3,..., N Trajektorię wobodną i wymuzoną można zatem wyznaczyć wykorzytując do tego celu elementy dykretnej odpowiedzi kokowej obiektu i odpowiednie, dla obydwu trajektorii, wartości przyrotów terowań, zgodnie z poniżzymi zależnościami: y 0 k+p k = y k + D 1 j=1 (S j+p S j ) u k j, p = 1, 2, 3,..., N (26) p y k+p k = S j u k+p j k, p = 1, 2, 3,..., N (27) j=1 Algorytm DMC może zotać zaimplementowany w dwóch werjach - analitycznej i numerycznej. W werji analitycznej ograniczenia nie ą uwzględnianie podcza amego wyznaczania optymalnych przyrotów terowania, natomiat uzykane rozwiązanie jet rzutowane na zbiór ograniczeń. Pełne zadanie optymalizacji w werji analitycznej wyznaczane jet tylko raz, off-line, na początku działania regulatora. W celu przedtawienia werji analitycznej algorytmu konieczne będzie zdefiniowanie wektorów: Y zad k = U k = y zad k+1 k. y zad k+n k u k+1 k., Y k 0 =, Y k = y 0 k+1 k. y 0 k+n k, Y k = y k., U k P = y k+1 k. y k+n k u k 1., (28) u k+nu k y k u k (D 1) a także macierzy: 21

22 Ψ Λ Ψ Ψ = Λ....., Λ = (29) Ψ N Λ Nu 1 Składową wobodną można przedtawić w zwartej potaci wektorowo-macierzowej: gdzie macierz M P poługując ię równaniem (26): Y 0 k = Y k + M P U P k (30) wyznaczono z różnic pozczególnych elementów odpowiedzi kokowej M P = S 2 S 1 S 3 S 2 S 4 S 3 S D S D 1 S 3 S 1 S 4 S 2 S 5 S 3 S D+1 S D 1 S 4 S 1 S 5 S 2 S 6 S 3 S D+2 S D (31) S N+1 S 1 S N+2 S 2 S N+3 S 3 S N+D 1 S D 1 Litera P w górnych indekach pochodzi od angielkiego łowa pat (a także łowa przezłość) i podkreśla, że wyraża wpływ przezłych wartości terowań. W analogiczny poób potępując ze kładową wymuzoną trajektorii prognozowanej, zotała ona przedtawiona w potaci wektorowo-macierzowej: Y k = M U k (32) a natępnie poługując ię równaniem (27) zbudowana zotała macierz dynamiczna M obiektu: S S 2 S S 3 S 2 S M = (33) S Nu S Nu 1 S Nu 2 S 1 S Nu+1 S Nu S Nu 1 S S N S N 1 S N 2 S N Nu+1 (N n y) ((D 1) n u) Poługując ię macierzą dynamiczną, można zapiać wkaźnik jakości w natępujący poób: J k = Y zad k Y 0 k M U k 2 Ψ + U k 2 Λ (34) 22

23 Przy założeniu, że macierze Ψ i Λ ą dodatnio określone, wkaźnik jakości jet funkcją wypukłą. Zatem, przy pominiętych ograniczeniach, warunkiem minimum jet zerowanie ię jej gradientu. Wyznaczenie gradientu i przyrównanie go do zera daje natępujące zależności: M T Ψ [ Y zad k Y 0 k M U k ] + Λ Uk = 0 [ MT Ψ M + Λ ] U k M T Ψ [ ] Yk zad Yk 0 = 0 z których można bezpośrednio wyznaczyć wektor optymalnych wartości przyrotów terowania: Ûk = K [ ] Yk zad Yk 0 (35) gdzie K = [ M T Ψ M + Λ ] 1 MT Ψ (36) Nie jet konieczne wyznaczanie całego wektora przyzłych terowań, ponieważ w każdej iteracji algorytmu do terowania obiektem wykorzytuje ię jedynie pierwzy jego element, tj. przyrot terowania na daną chwilę û k k. Prawo regulacji można zatem przedtawić w potaci: û k k = û k = K 1 [ Y zad k Y k M P U P k ] (37) gdzie podmacierz K 1 macierzy wzmocnień K kłada ię z tylu pierwzych kolejnych wierzy ile wynoi liczba zmiennych terujących proceu. Prawo terowania ma zatem potać liniowego przężenia zwrotnego od różnicy trajektorii zadanej i kładowej wobodnej predykcji. Po wyznaczeniu wartości optymalnego przyrotu terowania konieczne jet rzutowanie uzykanego rozwiązania na zbiór dopuzczalny, czyli przycięcie wartości terowania do ograniczeń itniejących w proceie. Niezbędne do poprawnego działania algorytmu jet zapiywanie w hitorii działania obiektu wartości terowania rzeczywiście wyyłanego do obiektu, czyli wartości po rzutowaniu na zbiór ograniczeń [1]. Drugą werją algorytmu jet werja numeryczna. W przeciwieńtwie do werji analitycznej jet obarczona tą wadą, że w każdej iteracji konieczne jet rozwiązanie zadania optymalizacji, jednak podcza jego rozwiązywania uwzględniane ą ograniczenia na ygnały terujące i wyjściowe obiektu. Ponadto, kiedy model proceu i ograniczenia ą liniowe, zadanie optymalizacji prowadzane jet do zadania programowania kwadratowego, dla którego itnieją niezawodne i efektywne procedury rozwiązywania. Zadanie programowania kwadratowego z ograniczeniami, które jet rozwiązywane w każdym kroku algorytmu DMC przedtawiono w zależności (38). Kolejne ograniczenia w tym za- 23

24 daniu optymalizacji dotyczą wartości ygnału terującego (38b), przyrotów terowania w kolejnych chwilach (38c) i wartości wyjść obiektu (38d). { min Y zad k Y k M P U P 2 k M U k U k Ψ + U k 2 Λ } (38a) przy ogr.: U min U k 1 + J U k U max (38b) U max U k U max (38c) Y min Y 0 k + M U k Y max (38d) O ile ograniczenia na przyroty terowania mogą zotać łatwo zapiane, ponieważ przyroty terowania ą zmiennymi decyzyjnymi zdania optymalizacji, to wartości terowania muzą zotać wyznaczone za ich pomocą. Korzyta ię w tym celu z macierzy J zdefiniowanej natępująco: J = I I I I I... I (39) gdzie I oznacza macierz jednotkową o wymiarze wektora terowania (n u ). W podobny poób wykorzytywana jet macierz dynamiczna do wyrażenia przewidywanych wartości wyjść obiektu za pomocą przyrotów terowania i odpowiedzi wobodnej. Do rozwiązania takiego zadania itnieje zereg niezawodnych i efektywnych metod. Możliwe jet jednak, że dopuzczalny zbiór rozwiązań tego zadania będzie puty. Sytuacja taka może natąpić wtedy, kiedy itnieją ograniczenia na wartości wyjść. Aby tego uniknąć, relakuje ię te ograniczenia i traktuje ię je jako ograniczenia miękkie [1]. Wykorzytanie pomiaru zakłóceń Itotnym apektem, który wykorzytywany jet w pracy jet kompenacja zakłóceń. Projektując układy terowania, jeżeli itnieje możliwość mierzenia wielkości itotnie wpływających na proce, które nie ą wielkościami terującymi, ich wpływ powinien zotać kompenowany w otwartej pętli terowania (tzw. trukturze feedforward). W algorytmie predykcyjnym konieczny będzie także model oddziaływania wejść nieterujących na proce. W przypadku algorytmu DMC model będzie potaci odpowiedzi proceu na kokową zmianę wartości mierzalnych zmiennych zakłócających, analogicznie jak w przypadku toru terowanie-wyjście. Zgodnie z obowiązującą zaadą uperpozycji, podtawowy model 24

25 obiektu może zotać rozzerzona do natępującej potaci: y k = y 0 + k S j u k j + j=1 k S z j z k j (40) j=1 gdzie wartości u k j ą wartościami zrealizowanych przyrotów terowania, z k j ą różnicami pomiędzy kolejnymi przezłymi wartościami zakłócenia, a S z j ą elementami znormalizowanej odpowiedzi na kok zakłócenia. Liczbę elementów dykretnej odpowiedzi kokowej S z jokreśla ię mianem horyzontu dynamiki zakłóceń i oznacza przez D z. Podobnie jak wielkości S j, w przypadku obiektów wielowymiarowych wpółczynniki odpowiedzi na kok zakłócenia również ą macierzami o natępującej potaci: S z l = z l,(11) z l,(12) z l,(13) z l,(1nz) z l,(21) z l,(22) z l,(23) z l,(2nz) z l,(31) z l,(32) z l,(33) z l,(3nz) z l,(ny1) z l,(ny2) z l,(ny3) z l,(nynz) n y n z Ze względu na to, że model wpływu zakłócenia także jet liniowy, można korzytać z zaady uperpozycji i rozdzielić wpływ mierzonych zakłóceń na wpływ wartości przezłych wraz z aktualną i oddzielnie wpływ przyzłych wartości zakłócenia. W pewnych przypadkach można przewidzieć, jak zmieni ię zakłócenie w przyzłości, na przykład dotępna jet informacja o awarii w innej części intalacji i kutkach jakie ona wywoła po pewnym czaie w części terowanej przez rozpatrywany regulator. Kiedy jednak nie dyponuje ię taką wiedzą, przyjmuje ię, że przyzłe wartości przyrotów zakłócenia ą zerowe. Wobec tego uwzględniane ą jedynie wartości, które zotały już zmierzone, zatem zakłócenia oddziałują jedynie na kładową wobodną predykcji. Stoując zapi wektorowomacierzowy, kładową wobodną predykcji uwzględniającą wpływ mierzonego zakłócenia można wyrazić w natępujący poób: (41) Y 0 k = Y k + M P U P k + M zp Z P k (42) gdzie macierz M zp zbudowana jet w analogiczny poób co macierz M P, jednak rozzerzona o pierwzą kolumnę uwzględniającą wpływ zakłócenia zmierzonego w chwili k-tej. W przeciwieńtwie do terowania, pomiar wartości zakłócenia z k jet dotępny, natomiat wartość terowania u k zotanie dopiero wyznaczona. Dokładne formułowanie macierzy M zp przedtawiono zatem we wzorze (43). Uwzględnienie w odpowiedzi wobodnej mierzonego zakłócenia jet więc jedyną zmianą w całym algorytmie. Spoób wyznaczenia terowania pozotaje niezmieniony, czy to realizowany jet algorytm w werji analitycznej czy numerycznej. Uwzględnienie pomiaru zakłócenia uzupełnia wiedzę o proceie i 25

26 zwiękza dokładność modelu, dzięki czemu wyznaczane terowanie jet bardziej adekwatne do rzeczywitego biegu proceu. M zp = S z 1 S z 2 S z 1 S z 3 S z 2 S z D S z D 1 S z 2 S z 3 S z 1 S z 4 S z 2 S z D+1 S z D 1 S z 3 S z 4 S z 1 S z 5 S z 2 S z D+2 S z D S z N S z N+1 S z 1 S z N+2 S z 2 S z N+D 1 S z D 1 Regulator predykcyjny z modelem liniowym działa jednak bardzo dobrze jedynie w okolicy punktu pracy, wokół którego zotał zaprojektowany. Działanie w zerzym zakreie oferuje lepzą jakość regulacji, gdy wykorzyta ię model nieliniowy, którym w zczególności może być model rozmyty. Modyfikacje algorytmu DMC bazujące na nieliniowych modelach rozmytych zotaną przedtawione zerzej w kolejnych rozdziałach. (43) Algorytm FDMC oparty na podejściu PDC Regulatory predykcyjne wykorzytujące modele liniowe mają tą zaletę, że mogą dla nich zotać wyznaczone w poób analityczny prawa terowania. Dzięki temu regulatory działają bardzo zybko, a także w poób proty - nie jet konieczne rozwiązywanie w poób numeryczny zadania optymalizacji w każdej iteracji algorytmu. Analityczne regulatory predykcyjne mogą w kuteczny poób zotać połączone z modelami rozmytymi Takagi- Sugeno. Korzytną cechą tych modeli jet wykorzytywanie natępników funkcyjnych, najczęściej w potaci liniowej. W związku z tym możliwe jet zaprojektowanie zeregu lokalnie działających, analitycznych, liniowych regulatorów predykcyjnych. Lokalne regulatory liniowe działają w poób prawny w okolicach punktów pracy, wokół których pozykane zotały modele liniowe. W połączeniu z wniokowaniem rozmytym może zotać opracowany układ terowania działający bardzo dobrze w zerokim zakreie wartości zadanych. Ry. 7. Schemat układu regulacji opartego na podejściu PDC [5] 26

27 Opiywane podejście do projektowania regulatora określane jet mianem PDC (ang. Parallel Ditributed Compenation), czyli opiera ię na zaadzie równoległej, rozprozonej kompenacji [1, 5, 9]. Wykorzytując ideę PDC zakłada ię tworzenie liniowego regulatora predykcyjnego w werji analitycznej (prawa regulacji) dla każdego z natępników w regułach rozmytych, czyli tylu regulatorów lokalnych ile wynoi liczba reguł rozmytych. Udział pozczególnych regulatorów w końcowej wartości terowania wyznaczany jet zgodnie z wniokowaniem rozmytym przy wykorzytaniu poprzedników reguł. Schemat truktury nieliniowego regulatora predykcyjnego opartego na modelu Takagi-Sugeno przedtawia ry. 7. Celem poprawy działania całego ytemu terowania możliwe jet dotrajanie poprzedników bez zmieniania truktury regulatorów lokalnych. W przypadku algorytmu FDMC natępnikami reguł rozmytego modelu obiektu ą dykretne odpowiedzi kokowe proceu, tak więc reguły rozmyte modelu ą potaci: R i : JEŚLI y k jet B i 1 i... i y k n+1 jet B i n i u k jet C i 1 i... i u k m+1 jet C i m, TO y i k+1 = D 1 j=1 S i j u k j + S i D u k D+1 (44) W celu uzykania poprzedników i funkcji przynależności można połużyć ię analizą charakterytyk tatycznych obiektu regulacji, a także analizą odpowiedzi kokowych (celem wyznaczenia modeli lokalnych uwzględniających itotne różnice w dynamice obiektu). Dla każdego z natępników reguł rozmytych z modelu obiektu wyznaczane jet analityczne prawo terowania, czyli obliczane ą wartości lokalnych macierzy wzmocnień K i i macierzy wpływu przezłych przyrotów terowania M P (jeżeli uwzględniane jet zakłócenie mierzalne, to także macierze M zp ). Wykorzytując poprzedniki do wyznaczania unormowanych poziomów aktywacji pozczególnych regulatorów lokalnych, prawo terowania całego regulatora nieliniowego można zapiać w potaci ważonej umy wzytkich regulatorów lokalnych: û k k = L i=1 [ w i K i 1 Y zad k Y k ( M P ) i U P k ] gdzie w i ą wartościami unormowanych poziomów aktywacji reguł. Prawo regulacji jak poprzednio wytarczy określić jedynie w tounku do wyznaczania wartości na chwilę bieżącą, u k k, ponieważ tylko ten element z całego horyzontu terowania zotanie wyłany do obiektu. Zupełnie innym podejściem charakteryzują ię numeryczne rozmyte algorytmy predykcyjne. W przeciwieńtwie do podejścia PDC nie tworzy ię lokalnie liniowych regulatorów, a bazuje na pełnym modelu nieliniowym, opcjonalnie dokonując jego pełnej lub częściowej linearyzacji w kolejnych iteracjach algorytmu. Pozczególne wykorzytywane w pracy rozmyte algorytmy numeryczne zotaną zerzej omówione w kolejnych rozdziałach. 27 (45)

28 2.2.3 FDMC-SL - rozmyty algorytm DMC z ukceywną linearyzacją Algorytm FDMC-SL jet przykładem algorytmu z rodziny MPC-SL (ang. Model Predictive Control with Succeive Linearization), tj. numerycznych algorytmów regulacji predykcyjnej z ukceywną linearyzacją. Bazują one na nieliniowych modelach obiektów. Aby wykorzytać zarówno więkzą wiedzę o dynamice obiektu jaką nieie jego model nieliniowy, jak i korzytne cechy algorytmów liniowych, zwłazcza zadanie optymalizacji formułowane w potaci liniowo-kwadratowego problemu optymalizacji, można w każdej iteracji algorytmu dokonywać linearyzacji modelu nieliniowego. Wiąże ię to z dodatkowym narzutem obliczeniowym, ponieważ w każdym kroku wyznaczana jet nowa dykretna odpowiedź kokowa proceu, która połuży za model obiektu w danej iteracji. W związku z tym obliczone zotają także wartości elementów macierzy M i M P, a natępnie rozwiązane zotaje zadanie optymalizacji z wykorzytaniem modelu zlinearyzowanego. Podejście to jet uboptymalne, ale umożliwia zachowanie cech niezawodności i gwarantowanej zybkości rozwiązania, jakie mają numeryczne, liniowe algorytmy regulacji predykcyjnej. Przykładem nieliniowego modelu proceu jet model rozmyty Takagi-Sugeno. Zaletą wykorzytania modelu rozmytego jako modelu nieliniowego w nieliniowym algorytmie regulacji predykcyjnej z ukceywną linearyzacją jet tounkowo prota linearyzacja, ze względu na funkcyjne, liniowe natępniki reguł. W związku z tym proce linearyzacji polega na wyznaczeniu wartości unormowanych ił odpalenia reguł, a natępnie umy ważonej lokalnych odpowiedzi kokowych w celu wyznaczenia liniowego modelu obiektu w danej iteracji. Do obliczenia terowania konieczne jet pozykanie modelu liniowego do rozwiązania liniowo-kwadratowego zadania optymalizacji. Reguły rozmyte toowane w algorytmie FDMC-SL ą tej amej potaci co reguły wykorzytywane w algorytmie FDMC i zotały wyrażone w wzorze (44). Model zlinearyzowany wykorzytywany w danej iteracji jet więc potaci: y mod k+1 = D 1 j=1 S j u k j+1 + S D u k D+1 (46) gdzie każdy z elementów zlinearyzowanej dykretnej odpowiedzi kokowej wyznaczany jet zgodnie z zależnością: S j = L i=1 w i S i j (47) Tak otrzymany model obowiązuje na całym horyzoncie predykcji i terowania, na którym rozwiązywane jet zadanie optymalizacji. Ponieważ jet on zlinearyzowany, można dokonać dekompozycji predykcji na trajektorię wobodną i wymuzoną: Y pred k = Ỹ 0 k + M k U k (48) 28

29 gdzie odpowiedź wobodna obliczana jet zgodnie ze wzorem: Ỹ 0 k = Y k + M P k U P k (49) Fakt, że w każdej iteracji algorytmu zmieniają ię wartości macierzy dynamicznej zotał podkreślony przez dodanie do niej dolnego indeku. Elementy macierzy dynamicznej i macierzy przezłych przyrotów terowania obliczane ą w taki am poób, jak w podtawowym przypadku liniowym, jednak z wykorzytaniem parametrów modelu zlinearyzowanego, zatem macierze te ą potaci: M P k = S 2 S 1 S 3 S 2 S 4 S 3 S D S D 1 S 3 S 1 S 4 S 2 S 5 S 3 S D+1 S D 1 S 4 S 1 S 5 S 2 S 6 S 3 S D+2 S D S N+1 S 1 S N+2 S 2 S N+3 S 3 S N+D 1 S D 1 (50) M k = S S 2 S S N S N 1 S N 2 S N Nu+1 (51) Sformułowanie liniowo-kwadratowego problemu optymalizacji pozotaje niezmienione. Jedyną różnicą w porównaniu do tandardowego problemu w przypadku regulatora liniowego ą zmieniające ię w każdej iteracji algorytmu macierze M k i M P k wyekponowane przez dodanie do nich dolnych indektów): { min Y zad k Y k M P k U P 2 k M k U k U k Ψ + U k 2 Λ (co zotało } przy ogr.: U min U k 1 + J U k U max U max U k U max (52) Y min Ỹ 0 k + M U k Y max FDMC-NPL - rozmyty algorytm DMC z nieliniową predykcją i linearyzacją Pełna linearyzacja modelu nieliniowego wiąże ię z utratą pewnej części informacji o jego dynamice. Jak już zotało zaznaczone, zabiegu tego dokonuje ię ze względu na potać liniowo-kwadratowego zadania optymalizacji rozwiązywanego w algorytmie predykcyjnym bazującym na modelu liniowym, które jet zybkie i niezawodne do rozwiązywania. Bez utraty tej właściwości można jednak wykorzytać pełny model nieliniowy do wy- 29

30 znaczania odpowiedzi wobodnej modelu. Wyznaczenie odpowiedzi wobodnej natępuje tylko raz w każdej iteracji algorytmu. Najczęściej nie wiąże ię z dużym nakładem obliczeniowym w porównaniu do amego zadania optymalizacji. Podejście takie przy założeniu dokładnego modelu nieliniowego daje lepze rezultaty niż algorytm typu SL, ze względu na wykorzytanie pełniejzej informacji o proceie, do wyznaczania wartości ygnału terującego. Ten typ algorytmu regulacji tanowi więc rozzerzenie algorytmu z ukceywną linearyzacją. Analogicznie jak w przypadku FDMC-SL, model nieliniowy wykorzytywany w algorytmie jet modelem rozmytym Takagi-Sugeno z regułami wyrażonymi wzorem (44). W przeciwieńtwie do podejścia z ukceywną linearyzacją, wniokowanie rozmyte natępuje wielokrotnie podcza pojedynczej iteracji algorytmu. Na początku każdej iteracji natępuje wyznaczenie unormowanych poziomów aktywacji reguł, na podtawie których obliczone zotają wpółczynniki odpowiedzi kokowej modelu zlinearyzowanego, jak w przypadku algorytmu FDMC-SL, zgodnie z wzorem (46). Na jego podtawie obliczana jet wartość zakłócenia typu DMC d k jako różnica zmierzonej wartości wyjścia proceu i wyjścia wyznaczonego przez model. Odpowiedź wobodna jet wyznaczana za pośrednictwem procedury rekurencyjnej. Do wyznaczenia jej pierwzego elementu touje ię wniokowanie rozmyte wykorzytujące reguły: R i : JEŚLI y k jet B i 1 i... i y k n+1 jet B i n i u k 1 jet C i 1 i... i u k m+1 jet C i m, TO y i,0 D 1 k+1 k = j=2 S i j u k j+1 + S i D u k D+1 (53) Wzór opiujący pierwzy element odpowiedzi wobodnej jet natępujący: y 0 k+1 k = D 1 j=2 S 1 j u k j+1 + S 1 D u k D+1 + d k (54) Zgodnie z założeniem o zerowych przyzłych przyrotach terowania, umowanie natępuje od elementu drugiego. Elementy dykretnej odpowiedzi kokowej oznaczone ą ponadto jedynką w górnym indekie, aby podkreślić że jet to model zlinearyzowany obowiązujący tylko do wyznaczania pierwzego elementu odpowiedzi wobodnej. Dla kolejnych elementów odpowiedzi wobodnej touje ię wniokowanie rozmyte wykorzytując już otrzymane poprzednie wartości odpowiedzi wobodnej, jako przezłe wartości wyjścia. Zatem dla drugiego elementu odpowiedzi wobodnej toowane jet wniokowanie rozmyte wykorzytujące reguły: 30

31 R i : JEŚLI y 0 k+1 k jet B i 1 i... i y k n+2 jet B i n i u k 1 jet C1 i i... i u k m+2 jet Cm, i (55) TO y i,0 S i j u k j+2 + S i D u k D+2 k+2 = D 1 j=3 Drugi element odpowiedzi wobodnej wyznaczany jet zgodnie ze wzorem: y 0 k+2 k = D 1 j=3 S 2 j u k j+2 + S 2 D u k D+2 + d k (56) Procedura jet wykonywana dla całego horyzontu predykcji celem wyznaczenia pełnej odpowiedzi wobodnej obiektu. Macierz dynamiczna budowana jet z zlinearyzowanych odpowiedzi kokowych S p j odpowiadających pozczegolnym chwilom na horyzoncie predykcji, w natępujący poób: M k = S S 2 2 S S N N S N N 1 (57) S N N 2 S N N N u+1 Macierz dynamiczna i odpowiedź wobodna tanowią parametry w rozwiązywanym zadaniu optymalizacji. Jego potać jet równoważna zadaniu rozwiązywanemu w algorytmie FDMC-SL i zotała przedtawiona we wzorze (52) Algorytm z nieliniową optymalizacją Otatnim rozważanym algorytmem jet algorytm określany mianem MPC-NO, czyli algorytm regulacji predykcyjnej z nieliniową optymalizacją (ang. Model Predictive Control with Nonlinear Optimization). Algorytm ten w każdej iteracji rozwiązuje pełne zadanie optymalizacji nieliniowej, w którym do obliczania predykcji wykorzytywany jet nieliniowy model obiektu. Zadanie takie można zapiać w natępujący poób: N min y zad 2 u k k,..., u k+nu 1 k k+p k y k+p k + Ψ p p=1 N u 1 p=0 2 u k+p k Λ p przy ogr.: u min u k+p k u max, p = 0,...N u 1 (58) u max u k+p k u max, p = 0,...N u 1 y min y k+p k y max, p = 1,...N Przedtawione zadanie optymalizacji jet takie amo, jak ogólnie formułowane zadanie algorytmu regulacji predykcyjnej wyrażone wzorem (18). Wykorzytuje ię w nim 31

32 nieliniowy model proceu. W związku z tym rozwiązywane zadanie przetaje być w ogólności zadaniem optymalizacji liniowo-kwadratowej, może także być niewypukłe. Dla takich zadań nie itnieją uniweralne procedury optymalizacji. Rozwiązywanie zadań tego typu bardzo częto wymaga dużego nakładu czau, a także nie ma gwarancji znalezienia rozwiązania o pożądanej dokładności. Z powodu niewypukłości problemu efektywne gradientowe metody optymalizacji znajdują najczęściej jedynie minima lokalne. Problemy te powodują, że praktyczne zatoowanie regulatorów MPC-NO jet dość ograniczone [1]. 2.3 Wartwowa truktura terowania Definicję terowania obiektem można formułować jako wywieranie wpływu na obiekt w taki poób, by powodować że będzie zachowywał ię zgodnie z potawionymi wymaganiami [1]. Obiekt terowania może być jednak dowolnie komplikowany - zarówno o protej trukturze, jak pojedynczy zbiornik, w którym tabilizowany jet poziom cieczy przez terowanie zaworem odpływu, jak i bardzo złożony, czego przykładem może być kolumna detylacyjna. Całe zadanie terowania komplikowanym i złożonym obiektem może być trudne, tąd częto jet ono dekomponowane na różne, wzajemnie ze obą powiązane zadania czątkowe. Podtawowy cel terowania obiektem przemyłowym można podzielić na przykładowe podzadania: 1. Prowadzenie przebiegu proceu w poób zapewniający bezpieczeńtwo przez ograniczenie możliwości wytąpienia awarii i zjawik niekontrolowanych do akceptowalnego poziomu, 2. Dążenie do utrzymania wartości zmiennych wyjściowych na dopuzczalnym poziomie, czyli zapewnienie np. odpowiedniej jakości produktu, 3. Optymalizacja efektywności działania obiektu, najczęściej prowadza ię do makymalizacji zyku przy pewnych nałożonych ograniczeniach. Realizacja każdego z tych zadań odbywa ię na innym poziomie truktury hierarchicznej, z wykorzytaniem różniących ię od iebie dokładnością modeli i z innym czaem interwencji. Klayczny chemat obrazujący trukturę wartwową przedtawia ry. 8 [1]. Wartwą najbliżzą obiektowi terowania jet wartwa regulacji bezpośredniej i zabezpieczeń. Głównym jej zadaniem jet zapewnienie bezpieczeńtwa terowanego proceu. Jako jedyna z wartw bezpośrednio oddziałuje na zmienne wejściowe proceu. Ze względu na konieczność czętych interwencji, w celu zapewnienia bezpieczeńtwa (cza próbkowania regulatorów tej wartwy to zwykle ułamki ekund lub co najwyżej pojedyncze ekundy), na tym poziomie wykorzytywane ą regulatory o tounkowo protej trukturze, najczęściej klayczne lub odpowiednio zmodyfikowane werje algorytmów typu PID. 32

33 Ry. 8. Klayczny chemat wartwowej truktury terowania obiektem przemyłowym [1] Nad wartwą regulacji bezpośredniej znajduje ię wartwa regulacji nadrzędnej. Wyjścia znajdujących ię w niej regulatorów ą wartościami zadanymi dla regulatorów wartwy regulacji bezpośredniej. Głównym celem regulacji nadrzędnej jet zapewnienie odpowiednich wartości zmiennych proceowych o wolniejzej zmienności, które najczęściej tanowią parametry produkcji, jak np. tężenie czy ciężar molowy produktu. Interwencja regulatorów tej wartwy może natępować zdecydowanie rzadziej, ich cza próbkowania jet zwykle na poziomie dzieiątek ekund lub pojedynczych minut. Bardzo ważna jet natomiat dokładność działania, zwłazcza w przypadku nieliniowego proceu. Najczęściej w wartwie tej wykorzytuje ię algorytmy regulacji predykcyjnej. Nad wartwami regulacji znajduje ię wartwa optymalizacji, której głównym celem jet wyznaczanie optymalnych wartości zadanych zarówno dla regulatorów wartwy nadrzędnej jak i regulacji bezpośredniej. Zadanie optymalizacji rozwiązywane w tej wartwie najczęściej zawiera wkaźnik jakości natury ekonomicznej wyrażający np. zyk ze przedawanego produktu, czy kozt działania obiektu. W przeciwieńtwie do regulatorów, w wartwie optymalizacji wykorzytywany jet najczęściej nieliniowy model tatyczny obiektu, ponieważ itotne jet wyznaczenie odpowiedniego punktu pracy. Jego dobór jet uzależniony od aktualnego tanu obiektu i jego otoczenia, które zwykle nie zmienia ię w poób zybki, dlatego częto cza interwencji wartwy optymalizacji jet na poziomie pojedynczych godzin. Najwyżzą wartwą truktury przedtawionej na ry. 8 jet wartwa planowania produkcji. Jet ona ściśle powiązana z apektem ekonomicznym całego przediębiortwa, któ- 33

34 re tanowi otoczenie proceu, a jej głównym celem jet wyznaczenie wartości parametrów dla wartwy optymalizacji. Spoób w jaki ą wyznaczane zależny jet niemal w całości od trategii rynkowej przediębiortwa, brane ą pod uwagę czynniki takie jak ograniczenia produkcyjne, zapotrzebowanie ilościowe i jakościowe na produkt, zmiany cen produktu itp. Typowy cza interwencji na tym poziomie to doba lub kilka dni. W niniejzej pracy uwaga zotaje kupiona na wartwach regulacji nadrzędnej i wartwie optymalizacji. Zaada działania i podział wartwy optymalizacji zotaną przybliżone w kolejnych rozdziałach Wartwa LSSO - optymalizacja punktu pracy Wartwa optymalizacji LSSO (ang. Local Steady-State Optimization), czyli wartwa lokalnej optymalizacji tanu utalonego, wyznacza punkt pracy wydzielonej części proceu, z niezależnymi układami regulacji [10, 11]. Operuje ona na tatycznym, dokładnym i nieliniowym modelu obiektu, ponieważ konieczne jet by optymalny punkt pracy wyznaczany był możliwie dokładnie. Problem optymalizacji rozwiązywany w wartwie LSSO można zapiać w ogólnej potaci: min J( u ut, y ut ) y ut, u ut przy ogr.: y ut = F ( u ut, w ) u ut U y ut Y (59) gdzie y ut i u ut to odpowiednio wartości wyjść i terowań w tanie utalonym, Y i U to ich zbiory wartości dopuzczalnych, a F jet nieliniowym, tatycznym modelem obiektu. Wkaźnik jakości najczęściej ma charakter ekonomiczny, wyrażający zyki, tąd bardzo częto można połużyć ię liniowym wkaźnikiem jakości potaci: J( u ut, y ut ) = n u j=1 p j u ut j n y j=1 q j y ut j (60) gdzie n u i n y ą odpowiednio liczbami terowań i wyjść, a p j i q j ą cenami odpowiednich terowań i wyjść. Zadanie optymalizacji nieliniowej może w ogólności nie być łatwe i zybkie do rozwiązania. Przez to jego rozwiązanie może trwać znacznie dłużej niż okre próbkowania regulatora, dla którego konieczne jet wyznaczenie wartości zadanej. Interwencja wartwy LSSO może też z innych powodów nie być możliwa w każdej iteracji regulatora. W takim przypadku do truktury terowania wprowadza ię dodatkową wartwę optymalizacji, która dotraja wartość zadaną dla regulatora nadrzędnego w każdym kroku jego działania. Określa ię ją nazwą teady-tate target optimization. 34

35 2.3.2 Wartwa SSTO - dotrajanie punktu pracy dla aktualnych wartości zakłóceń Zadaniem wartwy SSTO jet wyznaczanie wartości zadanych dla regulatora nadrzędnego, najczęściej regulatora klay MPC [10, 11]. Stąd jet ono wywoływane w każdej iteracji działania algorytmu, zatem mui bazować na uprozczonym tatycznym modelu obiektu. W tym celu można wykorzytać liniowy model tatyczny. Może on zotać pozykany przez bieżącą linearyzację tatycznego modelu nieliniowego z wartwy LSSO. Zadanie programowania liniowego w wartwie SSTO przyjmuje wtedy potać analogiczną do (59), jednak wzytkie zależności przybliżane ą w poób liniowy: min J lin ( u ut, y ut ) y ut, u ut przy ogr.: y ut = F lin ( u ut, w ) u ut U y ut Y (61) Innym rozwiązaniem jet wykorzytanie modelu obiektu z regulatora. W tym celu wzmocnienie modelu można aprokymować otatnim elementem znormalizowanej odpowiedzi kokowej wykorzytywanej w regulatorze DMC. Zadanie programowania liniowego z ekonomicznym wkaźnikiem jakości dla wartwy SSTO wykorzytujące model z regulatora można zapiać w potaci: min { q T y ut + p T u ut } y ut, u ut przy ogr.: y ut = S D u ut y ut = y 0 k+n k + y ut u ut = u k 1 + u ut u min u ut u max y min y ut y max (62) Ważnym elementem w powyżzym zadaniu jet yk+n k 0. Ulega on najczętzym zmianom podcza całego proceu regulacji. Zawiera on także uwzględnienie pomiaru zakłócenia. Taka definicja zadania programowania liniowego w wartwie SSTO okazała ię wytarczająca na potrzeby wzytkich przeprowadzonych ekperymentów. Kiedy ukceywna linearyzacja modelu pozotaje niewytarczająco dokładna, możliwe jet formułowanie problemu optymalizacji z liniowo-kwadratowym lub kawałkami liniowym wkaźniku jakości [10]. W ogólności, kiedy wytępują ograniczenia nałożone na wartości wyjść może dojść do ytuacji, w której zbiór rozwiązań dopuzczalnych będzie puty. Ograniczenia te relakuje ię wtedy i tanowią dodatkowy człon kary we wkaźniku jakości. [10] 35

36 3 Sterowanie reaktora polimeryzacji Pierwzym obiektem rozważanym w pracy jet reaktor polimeryzacji, jako przykład obiektu o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO). Reaktor jet zbiornikiem z ciągłym miezaniem. Przeprowadzana jet w nim reakcja polimeryzacji rodnikowej metaakrylatu metylu z azobiem w roli inicjatora i toluenu jako rozpuzczalnika. Równania opiujące obiekt i wykorzytywane do ymulacji jego zachowania ą natępujące [12]: ẋ 1 = 10(1 + z)(6 x 1 ) 2,4568x 1 x2 ẋ 2 = 80u 0,1022x 2 10(1 + z)x 2 ẋ 3 = 0, x 1 x2 + 0, x 2 10(1 + z)x 3 (63) ẋ 4 = 245,978x 1 x2 10(1 + z)x 4 y = x 4 x 3 gdzie x 1 jet tężeniem monomeru, x 2 tężeniem inicjatora, a zmienna regulowana jet ilorazem zmiennych x 4 oraz x 3 i określana jet jako ciężar molowy (ang. NAMW - numberaverage molecular weight). W pracy przyjęto, że dopływ monomeru nie jet tały, a podlega zakłóceniom, tąd pierwotne nieliniowe równania tanu modelu zotały rozzerzone o zmienną z tanowiącą zakłócenie dopływu monomeru. 3.1 Charakterytyka proceu Ry. 9. Charakterytyka tatyczna reaktora polimeryzacji Proce jet ilnie nieliniowy. Jego charakterytyka tatyczna zotała przedtawiona na ry. 9. Zwiękzenie dopływu inicjatora powoduje, że otrzymywany jet urowiec o mniej- 36

37 zym ciężarze molowym. Przy nikim dopływie inicjatora, jego względnie niewielkie zmiany powodują dużą zmianę ciężaru produktu, co pokazuje duże nachylenie pierwzej części charakterytyki. Druga jej część jet natomiat zdecydowanie bardziej płaka. Oznacza to, że w celu otrzymania produktu o tounkowo niewiele zmienionym ciężarze molowym, należy w poób znaczący zmienić dopływ inicjatora. W celu dokonania analizy dynamiki proceu zotała przeprowadzona eria ekperymentów kokowych. Odpowiedzi na kokowe zmiany terowania przedtawione ą na ry. 10. Przy zwiękzaniu dopływu inicjatora można zaoberwować zybze zmiany niż przy zmniejzaniu. Ponadto wartość wyjścia utala ię zybciej niż w przypadku zmniejzania dopływu. Stan utalony oiągany jet po około 40 minutach. Na podtawie oberwacji dynamiki obiektu, w pracy przyjęto cza dykretyzacji równy T p = 1 min. Jet to wartość, która w zupełności wytarcza do oddania dynamiki obiektu, a nie prowadzi do nadmiernego wzrotu ilości obliczeń. Długość horyzontu dynamiki dla tak dobranego okreu próbkowania zotała utalona na D = 80, tak aby odpowiedź kokowa modelu w każdym z rozpatrywanych obzarów oiągała wartość utaloną. Ry. 10. Odpowiedzi obiektu na kokowe zmiany wartości terującej Dla podanego w artykule [12] punktu pracy (u 0 = 0, m3 h, y 0 = ,5) zotał wykonany ekperyment kokowy. Ze względu na nieliniowość obiektu wartość ygnału terującego zotała zwiękzona o niewielką wartość du = 0,0001, a natępnie zarejetrowana odpowiedź zotała znormalizowana. Jej przebieg przedtawia ry. 11 i połużyła ona jako liniowy model obiektu w regulatorze DMC. 37

38 Ry. 11. Znormalizowana dykretna odpowiedź kokowa wykorzytana jako model w regulatorze DMC 3.2 Modelowanie rozmyte reaktora Rozmyta ieć neuronowa Pierwzym podejściem do tworzenia modelu rozmytego reaktora polimeryzacji było tworzenie modelu rozmytego w potaci rozmytej ieci neuronowej. Do tego celu wykorzytana zotała implementacja truktury ANFIS z pakietu Fuzzy Logic Toolbox programu Matlab [8]. Aby móc utworzyć model rozmyty poługując ię tym narzędziem, należało otrzymać odpowiedni zbiór danych uczących. W pracy zotało przyjęte, że wartość wyjściowa obiektu będzie zmieniana w zakreie [ ]. Aby model był dobrze dopaowany w całym obzarze zmienności, dane uczące zotały wygenerowane w taki poób, aby w miarę równomiernie pokryć wartości z tego zbioru. Wybranych zotało 100 równo oddalonych od iebie wartości wyjścia, dla których dopaowano odpowiednie wartości terowania. Natępnie równania obiektu zotały zaymulowane przy terowaniu zmieniającym wartość w poób loowy, bez powtarzania, z odpowiednio utworzonego zbioru. Sterowanie zmieniane było co 120 okreów próbkowania. Symulacja obiektu zotała powtórzona, by uzykać zarówno zbiór danych uczących, jak i weryfikujących. Przyjęty zotał model pierwzego rzędu, czyli równanie wyjściowe ieci można zapiać jako: y k = f(y k 1, u k 1 ) (64) Uczenie modelu przebiegało z użyciem procedury anfi, ponieważ daje ona więkzą kontrolę nad przebiegiem uczenia niż graficzny interfej użytkownika. Przy pierwzym podejściu do uczenia rozmywane miało być tylko pierwze wejście modelu, tj. poprzednia wartość wyjścia. Oberwacje działania narzędzia pokazały, że mimo iż taka możliwość itnieje (możliwe jet określenie tylko jednego zbioru rozmytego dla zmiennej u k 1 ), to uczenie nie 38

39 przebiega w poób poprawny. W kolejnych epokach średni błąd dopaowania przyjmował nieprawidłowe wartości (NaN), tąd konieczne było podzielenie dziedziny drugiego wejścia modelu (terowania) na dwa zbiory rozmyte. Wykorzytane zotały dzwonowe funkcje przynależności. Pierwza aprokymacja modelu okazała ię dość dobra, proce uczenia trwał 40 epok, ale najlepze wyniki zotały oiągnięte już po 22. epoce. Na ry. 12 przedtawione zotały zmiany średniego błędu modelu. Wygodną cechą procedury uczącej jet możliwość wykorzytania od razu danych weryfikujących, dzięki czemu podcza uczenia na bieżąco prawdzany jet błąd dla danych weryfikujących i zapamiętywane ą wartości parametrów modelu, dla których był on najmniejzy podcza całego trwania uczenia. Ry. 12. Zmiana średniej wartości błędu modelu dla danych uczących i weryfikujących podcza uczenia rozmytej ieci neuronowej Ry. 13. Dopaowanie modelu liniowego i modelu ANFIS na zbiorze danych weryfikujących 39

40 Model wynikowy jet bardzo dobrze dopaowany do danych, co zotało przedtawione na ry. 13. Już zaledwie cztery reguły rozmyte pozwoliły dobrze odwzorować działanie obiektu. Mimo dobrego odwzorowania zachowania obiektu, model w potaci ANFIS nie prawdził ię w regulatorach. Odpowiedzi układu regulacji z regulatorem FDMC-NPL na proty przypadek kokowej zmiany wartości zadanej o +20% przedtawione zotały na ry. 14. Ry. 14. Odpowiedź układu regulacji FDMC-NPL wykorzytującego model rozmyty o trukturze ANFIS; analityczne wyznaczanie modelu Widoczne jet nietabilne działanie tak zaprojektowanego regulatora. Z dalzej analizy utworzonego modelu wynika, że modele lokalne w trukturze ANFIS nie ą poprawne. Niektóre z nich cechują ie przeciwną wartością wzmocnienia, albo ą modelami nietabilnymi. Przy analitycznym wyznaczeniu modelu w potaci znormalizowanej odpowiedzi na kok jednotkowy, otrzymywany model jet błędny, co prowadzi do wyznaczania złej wartości terowania. Ry. 15. Odpowiedź układu regulacji FDMC-NPL wykorzytującego model rozmyty o trukturze ANFIS i układu regulacji z klaycznym algorytmem DMC; potraktowanie truktury ANFIS jak czarnej krzynki 40

41 Lepze rezultaty z wykorzytaniem truktury ANFIS uzykano traktując ją jako czarną krzynkę. Wtedy odpowiedź wobodna wyznaczana była bezpośrednio z truktury ANFIS, bez analitycznego wyznaczania parametrów modelu. Konieczne było także wykonanie ekperymentu kokowego w każdej iteracji, aby uzykać znormalizowaną odpowiedź kokową do utworzenia macierzy dynamicznej. Wielkość koku nie mogła być zbyt mała, ponieważ przy zbyt małej wartości du uzykiwany model nie był poprawny - wzmocnienie modelu przyjmowało w niektórych przypadkach przeciwny znak. Odpowiedź układu regulacji z regulatorem FDMC-NPL na kok wartości zadanej o +20% przy potraktowaniu truktury ANFIS jako czarnej krzynki przedtawia ry. 15. Dla porównania przedtawiono także działanie regulatora DMC przy takim amym zetawie parametrów: D = 80, N = 50, N u = 2, λ = Wykorzytanie implementacji truktury ANFIS z programu Matlab w bardziej wyrafinowanym algorytmie jakim jet algorytm z nieliniową predykcją i linearyzacją dało gorze rezultaty od klaycznego regulatora DMC z modelem liniowym. Dalze douczanie modelu rozmytego nie przynoiło poprawy rezultatów. Wobec tego zwiękzana była liczba zbiorów rozmytych jednak i w tym wypadku pojawiały ię nietabilne i niepoprawne modele lokalne w trukturze ANFIS. Sprawdzony zotał także przypadek zwiękzenia rzędu modelu. Wiąże ię to ze komplikowaniem jego truktury, ponieważ zwiękza ię liczba wejść, a co za tym idzie zbiorów rozmytych i parametrów modelu. Rozzerzenie jego potaci również nie wyeliminowało problemu z nietabilnymi i nieprawidłowymi modelami lokalnymi. W związku z tym zaproponowane zotało inne podejście do zbudowania modelu rozmytego, w którym modele lokalne ą już w potaci odpowiedzi kokowych. Dokładny opi tworzenia modelu rozmytego zotał przedtawiony w kolejnym rozdziale Model rozmyty opracowany metodą ekpercką Metodyka opracowywania modelu rozmytego dla obiektu polegała na otrzymaniu modeli liniowych w potaci znormalizowanych odpowiedzi obiektu na kok jednotkowy wartości terowania, a funkcje przynależności były dobierane jako zetaw funkcji dzwonowych z uwagi na ich różniczkowalność i ciągłość. Początkowy model rozmyty kładał ię z czterech reguł, jednak rozmywana była tylko wartość wyjścia, więc rozpatrywany zakre zmienności wyjścia zotał podzielony na cztery zbiory rozmyte. W celu odpowiedniego rozmiezczenia modeli lokalnych wykorzytana zotała procedura fcm programu Matlab łużąca do podziału danych wejściowych na zadaną liczbę klatrów. W efekcie model rozmyty kładał ię z czterech liniowych modeli lokalnych pozykanych w punktach pracy odpowiadających natępującym wartościom ciężaru molowego: , , , Początkowo uzykany model był dobry, jego dopaowanie do rzeczywitych wartości obiektu i kztałt znormalizowanych funkcji przynależności przedtawiony zotał na ry

42 (a) Sygnał wyjściowy modelu i proceu (b) Znormalizowane funkcje przynależności Ry. 16. Podział dziedziny proceu na zbiory rozmyte i dopaowanie modelu rozmytego z czterema modelami lokalnymi; J = 12, W celu poprawy dopaowania modelu, parametry funkcji przynależności były dalej optymalizowane. Działanie procedury optymalizacji powodowało, że model rozmyty tawał ię otatecznie modelem z otro przełączanymi liniowymi modelami lokalnymi. Aby tego uniknąć zotały narzucone ograniczenia na wartości parametrów funkcji przynależności. Dopuzczane było, aby parametry a i b funkcji dzwonowych mogły zmieniać ię w zakreie % woich pierwotnych wartości, a parametr c w zakreie %, aby funkcja przynależności nie zotała zbyt oddalona od punktu pracy, w którym zotała pozykana odpowiedź kokowa, a jej nachylenie nie tało ię zbyt trome. W wyniku tak formułowanego zadania optymalizacji uzykany model rozmyty lepiej odwzorowuje obiekt rzeczywity, jednak koztem bardziej otrego przełączania, co zotało przedtawione na ry

43 (a) Sygnał wyjściowy modelu i proceu (b) Znormalizowane funkcje przynależności Ry. 17. Podział dziedziny proceu na zbiory rozmyte i dopaowanie modelu rozmytego z czterema modelami lokalnymi po zoptymalizowaniu parametrów funkcji przynależności; J = 4, Uzykany model rozmyty nie działał w poób prawidłowy. Otrzejze przełączanie pomiędzy modelami lokalnymi przynioło niekorzytne efekty w potaci ocylacyjnego charakteru odpowiedzi wobodnej w algorytmach FDMC-NPL i MPC-NO, co kutkowało niepoprawnym działaniem regulatorów. Początkowy model z płynnie przełączanymi funkcjami przynależności również okazał ię nie dość dokładny, by mógł z powodzeniem zotać wykorzytany w regulatorach. W celu zwiękzenia dokładności modelu rozmytego, baza reguł zotała zwiękzona do 5 reguł rozmytych. Modele lokalne zotały ulokowane zgodnie z wynikiem działania procedury fcm w punktach pracy odpowiadających wartościom: , , , , Dopaowanie uzykanego modelu i kztałt dobranych dzwonowych funkcji przynależności przedtawiony zotał na ry.18. Tak uzykany model, mimo nieco gorzej wartości wkaźnika jakości od poprzedniego, był wytarczająco dokładny dzięki płynnemu przełą- 43

44 czaniu modeli lokalnych i zotał wykorzytany we wzytkich opracowanych regulatorach rozmytych. (a) Sygnał wyjściowy modelu i proceu (b) Znormalizowane funkcje przynależności Ry. 18. Podział dziedziny proceu na zbiory rozmyte i dopaowanie modelu rozmytego z pięcioma modelami lokalnymi; J = 7, Odpowiedzi kokowe dla pozczególnych modeli lokalnych zotały przedtawione na ry. 19. Można zauważyć znaczące zmiany wzmocnienia obiektu w kolejnych obzarach, których uwzględnienie gwarantuje dobre odwzorowanie proceu. Regulatory rozmyte bazujące na uzykanym modelu rozmytym działają prawnie, co zotanie przedtawione w kolejnej części pracy. 44

45 Ry. 19. Znormalizowane odpowiedzi kokowe obiektu odpowiadające pozczególnym regułom modelu rozmytego 3.3 Regulacja proceu Strojenie algorytmu DMC Wykorzytując pozykaną odpowiedź kokową przedtawioną na ry. 11 porządzony zotał klayczny algorytm DMC w werji numerycznej. W celu dotrojenia jego działania konieczne jet dobranie odpowiednich wartości horyzontów predykcji, terowania i parametru kary λ. Do trojenia zotał wykorzytany przypadek zmiany wartości zadanej z na (zmiana wartości zadanej o 20%). Początkowe długości horyzontów predykcji i terowania wynoiły odpowiednio: N = 80 i N u = 40. Dla tej kombinacji wartości parametr kary zapewniający akceptowalną jakość regulacji, jak i łagodny przebieg terowania wynoi λ = Początkowe wartości parametrów zapewniają akceptowalne działanie algorytmu, jednak w celu oiągnięcia lepzych rezultatów konieczne jet prawdzenie zachowania układu regulacji przy różnych wartościach parametrów. W pierwzej kolejności kracany był horyzont terowania. Jego długość określa wymiar zadania optymalizacji, które rozwiązywane jet przez algorytm w werji numerycznej w każdej iteracji. Stąd krócenie jego długości ma kluczowy wpływ na zybkość działania algorytmu. Działanie układu regulacji dla różnych długości horyzontu terowania przedtawiono na ry. 20. Można zauważyć, że dla dłużzych horyzontów terowania cza regulacji jet dłużzy. Skrócenie horyzontu terowania do wartości N u = 2 znacząco poprawia działanie układu. Cza regulacji ulega króceniu, a także znaczącemu zmniejzeniu podlega przeregulowanie. Najlepzy przebieg wartości wyjściowej zotał uzykany dla jednotkowego horyzontu terowania, jednak pogorzeniu ulega wtedy przebieg ygnału terującego, ponieważ generowany jet znacznie więkzy przyrot terowania w początkowej chwili, w porównaniu do horyzontu terowania równego N u = 2. Wobec tego przyjęto horyzont terowania o długości N u = 2. 45

46 Ry. 20. Działanie układu regulacji z regulatorem DMC dla horyzontu predykcji N = 80, utalonego parametru kary λ = i z różnymi długościami horyzontu terowania Kolejnym etapem było krócenie horyzontu predykcji. W ogólności, toowanie długich horyzontów predykcji gwarantuje tabilność algorytmów regulacji predykcyjnej, jednak dłużze horyzonty predykcji wiążą ię z więkzym nakładem obliczeniowym. W przypadku algorytmów w werji numerycznej ich wpływ nie jet tak znaczący jak wpływ horyzontu terowania, warto jednak prawdzić w jakim topniu możliwe jet krócenie horyzontu predykcji, które nie powoduje znacznych różnic w działaniu układu regulacji. Różnice w działaniu układu regulacji z różnymi długościami horyzontu predykcji przedtawiono na ry. 21. Ry. 21. Działanie układu regulacji z regulatorem DMC dla horyzontu terowania N u = 2, utalonego parametru kary λ = i z różnymi długościami horyzontu predykcji Można zauważyć, że kracanie horyzontu predykcji aż do wartości N = 50 nie nieie znaczącego wpływu na działanie algorytmu. Dopiero dalze jego kracanie zwiękza przeregulowanie, a także powoduje więkze zmiany w przebiegu ygnału terującego. Aby dobrze wykorzytać zarówno wiedzę o obiekcie zawartą w modelu, jak i zmniejzyć nakład obli- 46

47 czeniowy związany z wyznaczaniem prognozy przyzłych zmian wartości wyjścia, przyjęto horyzont predykcji o długości N = 50. Ry. 22. Działanie układu regulacji z regulatorem liniowym dla horyzontu predykcji N = 50, horyzontu terowania N u = 2 i różnych wartości parametru kary λ Otatnim parametrem, który podlegał trojeniu był parametr kary za przyroty terowania λ. Ry. 22 przedtawia działanie układu regulacji przy zmianie parametru kary. Zwiękzenie jego wartości powoduje łagodniejze działanie regulatora, jednak prowadzi to do wydłużenia czau regulacji. Zmniejzenie parametru kary wiąże ię natomiat z bardziej agreywnym działaniem regulatora. Sygnał wyjściowy proceu zbliża ię do wartości zadanej z więkzym nachyleniem co powodowane jet ilniejzym terowaniem. Nagły jego przyrot powoduje więkze przeregulowanie, a cza regulacji nie ulega poprawie. Kompromiem pomiędzy łagodnym działaniem regulatora i prawną regulacją proceu jet pozotawienie parametru kary bez zmian na poziomie λ = Przyjęte długości horyzontów dynamiki, predykcji i terowania o wartościach odpowiednio D = 80, N = 50, N u = 2 obowiązują dla wzytkich tetowanych algorytmów regulacji predykcyjnej zaprojektowanych dla reaktora polimeryzacji. W przypadku regulatorów bazujących na modelu rozmytym korzytnym zabiegiem okazało ię rozmywanie parametru kary, co zotanie przedtawione zerzej w kolejnym rozdziale Rozmyty parametr kary λ regulatora Klaycznie dla algorytmów regulacji predykcyjnej dobierana jet wartość wpółczynnika kary, która jet tała. W ogólności możliwe jet różnicowanie wartości parametru kary dla kolejnych chwil na horyzoncie predykcji, jednak ą one dobierane przy trojeniu regulatora i nie ą zmieniane podcza biegu proceu [1]. Wartość parametru kary może jednak być zróżnicowana w pozczególnych obzarach modelu rozmytego. W przypadku podejścia PDC wygodne jet tworzenie regulatorów lokalnych wykorzytujących parametr kary dobrany odpowiednio dla obzaru, w którym 47

48 obowiązują. W ten poób lokalnie działają regulatory zarówno bazujące na dopaowanym do bieżącego obzaru modelu liniowym, jak i na odpowiednio dobranym parametrze kary. W przypadku algorytmów numerycznych z linearyzacją modelu nieliniowego, dla każdej reguły dobierana jet odpowiednia wartość parametru kary. W każdej iteracji bieżąca wartość parametru kary obliczana jet z wykorzytaniem wniokowania rozmytego, w poób analogiczny, w jaki pozykiwany jet model zlinearyzowany obowiązujący w danej chwili. W ten am poób wyznaczana jet wartość parametru kary w regulatorze z nieliniową optymalizacją. Przyglądając ię charakterytyce tatycznej przedtawionej na ry. 9, wzmocnienie proceu diametralnie zmienia ię w obzarze małych ciężarów molowych. Wykorzytanie modelu rozmytego z modelami lokalnymi pozykanymi w obzarze o nikim wzmocnieniu wnieie znaczącą poprawę jakości regulacji. Przy itotnie zmniejzającym ię wzmocnieniu może zaitnieć ytuacja, że tały parametr kary, który dawał dobre rezultaty dla więkzych wartości wzmocnień, może być zbyt duży. W efekcie regulator będzie działał z pewną rezerwą i nie będzie tak zybki jak mógłby być. W obzarze więkzych ciężarów molowych wzmocnienie obiektu nie zmienia ię w poób znaczący, dlatego wartość parametru kary w tym obzarze nie będzie zmieniana. Dobre efekty przynioło zmniejzenie parametru kary dla reguł obowiązujących przy ciężarze molowym o wartościach i Efekt wprowadzonych zmian przedtawiony zotał na ry. 23 na przykładzie działania algorytmu FDMC. Ry. 23. Działanie układu regulacji z regulatorem FDMC przy tałym parametrze λ i przy zmniejzaniu wartości kary w obzarze niżzych ciężarów molowych Wyraźnie widoczne jet generowanie więkzych przyrotów terowania przy rozmywanym parametrze kary, dzięki czemu wartość wyjścia zybciej nadąża za zmianą wartości zadanej. Mimo mniejzej wartości parametru kary, przyroty terowania wciąż pozotają na akceptowalnym poziomie. Wobec tego w dalzych ekperymentach przyjęta zotała wartość parametru kary λ = dla modelu lokalnego odpowiadającego wartości i λ = dla modelu lokalnego odpowiadającego wartości Dla pozotałych re- 48

49 guł odpowiadających wartościom wyjścia proceu równym , i , wartość parametru kary za przyroty terowania wynoi λ = Zmiana wartości zadanych Pierwze tety regulatorów obejmowały ekperymenty polegające na kokowej zmianie wartości zadanych. Punktem tartowym był punkt pracy podany w artykule [12], wartość zadana dla regulatora była zmieniana kolejno o ±20% i w celu lepzego pokazania zalet wykorzytania podejścia rozmytego także o ±60%. Przy zwiękzeniu wartości zadanej o 20% można zauważyć na ry. 24a, że w przeciwieńtwie do regulatora DMC, algorytmy wykorzytujące rozmyty model proceu oiągają wartość zadaną praktycznie bez przeregulowania. Czay utalania ą zbliżone dla wzytkich regulatorów, choć regulator DMC utala wartość wyjścia nieco zybciej od algorytmów opartych na podejściu rozmytym. Jego przewaga nie jet jednak znacząca. Jet to przypadek, dla którego trojony był klayczny regulator DMC, tąd jego dobre działanie jet tu pożądane. Najbardziej agreywnie pośród algorytmów wykorzytujących model rozmyty działa algorytm FDMC, zauważalnie łagodniejze w działaniu ą algorytmy zaimplementowane w werji numerycznej. Nieco mniejze przyroty terowania od klaycznego algorytmu DMC generowane ą przez regulator FDMC-SL, natomiat najłagodniejze terowanie wyznaczane jet przez najbardziej wyrafinowane algorytmy FDMC-NPL i MPC- NO. Zmniejzenie wartości zadanej o 20% przedtawione zotało na ry. 24b. W takich warunkach proce zachodzi wolniej, przez co wymagane jet agreywniejze terowanie. Algorytmy bazujące na modelu rozmytym w tym przypadku radzą obie zdecydowanie lepiej niż regulator DMC. Najwolniejzy z nich, regulator FDMC-SL, oiąga wartość zadaną już w ok. 70 iteracji, podcza gdy wykorzytując algorytm DMC wartość wyjścia utala ię dopiero w ok. 90 iteracji. W przypadku agreywnego regulatora FDMC ytuacja kztałtuje ię jezcze lepiej, wartość zadana oiągana jet w 60 iteracji, co jet wynikiem zbliżonym do algorytmów FDMC-NPL i MPC-NO, które działając niemal w identyczny poób, oiągają wartość zadaną w podobnym momencie co FDMC. Szybze oiąganie wartości zadanej algorytmów wykorzytujących model rozmyty wynika z wniokowania rozmytego, które dotarcza zarówno lepzej niż model liniowy wiedzy o proceie, jak i pozwala zmniejzyć wartość parametru kary do wartości bardziej adekwatnych do bieżącej wartości wyjścia. Więkze oddalanie ię od początkowego punktu pracy powoduje aktywację kolejnych modeli lokalnych, przez co regulatory wykorzytujące model rozmyty działają na ciągle adekwatnym modelu. Przypadek zmiany wartości zadanej o +60% zotał przedtawiony na ry. 24c. Regulator DMC ciągle dyponuje wiedzą o mniejzym wzmocnieniu obiektu, przez co generuje ilne przeregulowanie, a odpowiedź ma charakter ocylacyjny. Cza regulacji jet dużo dłużzy niż w przypadku algorytmów bazujących na modelu rozmytym, 49

50 które oiągają wartość zadaną w poób łagodniejzy. Zarówno przeregulowanie jet znacząco mniejze niż w przypadku algorytmu DMC, jak i przebiegi pozbawione ą ocylacji. Nieco mniejze przeregulowanie powtaje z użyciem algorytmów FDMC-NPL i MPC-NO, które wykorzytują pełniejzą wiedzę o proceie i zybciej redukują wartość terowania. Najbardziej agreywny wciąż jet algorytm FDMC, który jako jedyny z tetowanych algorytmów już w pierwzej iteracji po zmianie wartości zadanej zatrzymuje ię na ograniczeniu. Jet to jedyny algorytm analityczny, więc w jego przypadku ograniczenia nie ą uwzględnianie przy wyznaczniu optymalnego przyrotu terowania, a wyznaczona wartość terowania jet jedynie rzutowana na zbiór wartości dopuzczalnych. Zmniejzenie wartości zadanej o 60% względem podtawowego punktu pracy otatecznie podkreśla iłę podejścia rozmytego do regulacji. Porównując przebiegi odpowiedzi układów regulacji przedtawione na ry. 24d można zauważyć, że regulator DMC działa w poób bardzo wolny. Wynika to z tego, że model liniowy, którym dyponuje charakteryzuje ię więkzym wzmocnieniem obiektu, niż jet w rzeczywitości. Wobec tego, generowane ą niewielkie przyroty terowania, przez co nawet po 120 okreach próbkowania wyjście obiektu nie oiąga pożądanej wartości. Sytuacja ta nie ma miejca w przypadku algorytmów bazujących na modelu rozmytym. Każdy z opracowanych regulatorów predykcyjnych wykorzytującyh model rozmyty obiektu prowadza wyjście obiektu do wartości zadanej znacznie prawniej niż algorytm DMC. Ponownie, najwolniejzym z nich okazuje ię regulator FDMC-SL, zybzy jet analityczny regulator FDMC, a najzybze ą regulatory FDMC-NPL i MPC-NO, które działają niemal identycznie. Po upływie 60 iteracji regulator FDMC działa już w poób bardzo zbliżony do regulatorów FDMC-NPL i MPC-NO. Pocza całej ymulacji widoczne jet wolniejze działanie algorytmu FDMC- SL od pozotałych bazujących na modelu rozmytym proceu, jednak i tak jet on znacznie zybzy od klaycznego regulatora DMC. (a) Zmiana wartości zadanej o +20% 50

51 (b) Zmiana wartości zadanej o 20% (c) Zmiana wartości zadanej o +60% (d) Zmiana wartości zadanej o 60% Ry. 24. Odpowiedzi układów regulacji na kokowe zmiany wartości zadanych 51

52 3.3.4 Kompenacja zakłóceń niemierzalnych i uwzględnianie pomiaru zakłóceń Drugim zadaniem, jakie tawiane jet regulatorom poza nadążaniem za wartością zadaną jet kompenacja zakłóceń, którym podlega proce. Kolejne ekperymenty polegały na porównaniu odpowiedzi układów regulacji na kokową zmianę zakłócenia w każdym z rozpatrywanych poprzednio obzarów. Sprawdzone zotały przypadki, w których dopływ monomeru był zwiękzany jak i zmniejzany o 20%. Pierwzy przypadek tłumienia zakłócenia przy utrzymywaniu wartości zadanej na poziomie zotał przedtawiony na ry. 25a i 25b. Regulator DMC działa najlepiej w tym obzarze. Wykorzytany model liniowy zotał pozykany w punkcie pracy odpowiadającym ciężarowi molowemu , gdzie wzmocnienie obiektu jet mniejze niż w punkcie Sterowanie generowane przez regulator DMC ma przez to nieco agreywniejzy przebieg niż generowane przez algorytmy bazujące na modelu rozmytym, które wykorzytują model dopaowany do bieżącego punktu pracy. Wzytkie z nich przy wzroście dopływu monomeru działają w poób bardzo do iebie zbliżony, a ich cza kompenacji zakłócenia jet nieco dłużzy niż w przypadku algorytmu DMC. Zauważalne jet lepze działanie regulatorów FDMC i FDMC-SL przy zmniejzeniu dopływu monomeru. Sytuacja zmienia ię w przypadku tłumienia zakłócenia przy wartości zadanej , co przedtawiają przebiegi wartości wyjściowych i terowania zamiezczone na ry. 25c i 25d. W tym obzarze wzmocnienie obiektu jet mniejze, tąd zauważalna jet przewaga podejścia rozmytego. Wykorzytanie lepzej wiedzy na temat proceu prowadzi do generowania więkzych przyrotów terowania, dlatego tłumienie zakłócenia zachodzi w poób efektywniejzy niż z wykorzytaniem regulatora bazującego na modelu liniowym. Trudno jednoznacznie wyróżnić, który z algorytmów wykorzytujących model rozmyty w tym obzarze jet najlepzy, ponieważ w zależności od kierunku zmiany zakłócenia lepzy okazuje ię algorytm FDMC lub algorytmy FDMC-NPL i MPC-NO. Przypadek tłumienia zakłócenia przy wartości zadanej zotał przedtawiony na ry. 25e i 25f. Podobnie, jak w przypadku wartości wyjścia , zakłócenie tłumione jet prawniej przez regulator DMC, jednak przy zmniejzaniu dopływu monomeru regulatory oparte na modelu rozmytym zybciej tabilizują wartość niż klayczny regulator predykcyjny. Niepełna wiedza o obiekcie, czyli dyponowanie modelem o mniejzym wzmocnieniu niż jet w rzeczywitości, prowadzi do generowania więkzych przyrotów terowania, a regulacja ma charakter ocylacyjny, jak miało to miejce przy kokowej zmianie wartości zadanej. Algorytmy bazujące na modelu rozmytym ą lepiej dopaowane do zwiękzonego wzmocnienia obiektu, przez co widoczne ą mniejze przyroty ygnału terującego. Wzytkie z nich generują w tym przypadku bardzo zbliżone przebiegi. Otatni przypadek tłumienia niemierzalnego zakłócenia przedtawiony jet na ry. 25g i 25h. Zachowanie układów regulacji przy wartości zadanej na poziomie jet analo- 52

53 giczne do ytuacji tłumienia zakłócenia przy wartości zadanej równej Wzmocnienie obiektu jet znacząco mniejze w porównaniu do tego, którym dyponuje model liniowy, tąd przyroty terowania wyznaczane przez regulator DMC ą zbyt małe i cza regulacji jet zdecydowanie zbyt długi. Klayczny regulator DMC działa gorzej w obzarze niżzych cieżarów molowych, natomiat regulatory wykorzytujące model rozmyty w tym obzarze radzą obie dobrze, ponieważ dyponują lepiej dopaowanym modelem obiektu. Zakłócenie tłumione jet ilniej niż w przypadku algorytmu DMC, ponadto cza oiągania wartości zadanej po wytąpieniu kokowej zmiany zakłócenia jet znacznie krótzy. Nieco gorzej pośród algorytmów opartych na modelu rozmytym działa regulator FDMC-SL, jednak wciąż zdecydowanie lepiej niż algorytm DMC. Pomiędzy pozotałymi regulatorami różnice w uzykanych przebiegach ą niewielkie. (a) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o +20% (b) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o 20% 53

54 (c) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o +20% (d) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o 20% (e) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o +20% 54

55 (f) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o 20% (g) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o +20% (h) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o 20% Ry. 25. Odpowiedzi układów regulacji na kok zakłócenia podcza tabilizacji wartości NAMW; brak pomiaru zakłócenia 55

56 Wykorzytanie pomiaru zakłócenia Zakłócenie w potaci zmiany przepływu może być w łatwy poób mierzone. W przypadku, w którym możliwy jet pomiar lub odpowiednio dobra etymacja wartości zakłócenia, jego wpływ powinien być uwzględniany w pętli otwartej (trukturze feedforward) [1]. W pierwzej kolejności prawdzony zotał wpływ zmiany wartości zakłócenia na tatykę proceu. Na ry. 26 przedtawione zotały charakterytyki tatyczne proceu dla zakłócenia utalonego na wartościach z = 0,5, z = 0 i z = 0,5. Ry. 26. Charakterytyki tatyczne reaktora polimeryzacji przy różnych wartościach zakłócenia Można zauważyć, że wraz ze zmianą wartości zakłócenia, charakterytyka tatyczna przeuwa ię, a także nieco zmiena wój kztałt. Oznacza to, że taka ama wartość wyjścia oiągana jet dla innej wartości terowania, czyli zmienia ię wzmocnienie proceu. Aby model pozotał dobrze dopaowany do zmieniającej ię wartości zakłócenia, podjęta zotała decyzja o pozykaniu dodatkowych odpowiedzi kokowych proceu dla tych amych wartości wyjścia, ale przy wartościach zakłócenia z = 0,5 i z = 0,5. Model rozmyty zotał więc rozbudowany do 15 reguł, dla zmiennej z dopaowano różniczkowalne, dzwonowe funkcje przynależności, które nie były już dalej dotrajane. Dla każdej reguły rozmytej zotała pozykana znormalizowana odpowiedź na kok wartości terowania i kok wartości zakłócenia. Kztałt wzytkich funkcji przynależności i rozmiezczenie centrów obzarów rozmytych przedtawiono na ry. 27. Kolejne dwa ryunki przedtawiają znormalizowane odpowiedzi na kok wartości terowania i kok wartości zakłócenia wykorzytywane jako model w regulatorze liniowym (ry. 28), a także te odpowiadające wzytkim modelom lokalnym modelu rozmytego (ry. 29). Można zauważyć znaczące zmiany zarówno dynamiki jak i wzmocnienia odpowiedzi kokowych dla pozczegołnych modeli lokalnych przy różnych wartościach zakłócenia. Długość horyzontu dynamiki równa D = 80 pozotaje wytarczająca. 56

57 Ry. 27. Kztałt funkcji przynależności i umiejcowienie centrów obzarów rozmytych otatecznego modelu rozmytego obiektu (a) Odpowiedź obiektu na kok terowania (b) Odpowiedź obiektu na kok zakłócenia Ry. 28. Znormalizowane odpowiedzi obiektu na koki wartości terowania i zakłócenia wykorzytywane jako model liniowy obiektu w regulatorze DMC 57

58 (a) Skok wartości terowania; z = 0.5 (b) Skok wartości zakłócenia; z = 0.5 (c) Skok wartości terowania; z = 0 (d) Skok wartości zakłócenia; z = 0 (e) Skok wartości terowania; z = 0,5 (f) Skok wartości zakłócenia; z = 0,5 Ry. 29. Znormalizowane odpowiedzi obiektu na koki wartości terowania i zakłócenia Ekperymenty tłumienia kokowej zmiany wartości zakłócenia zotały powtórzone na rozzerzonym modelu rozmytym z wykorzytaniem mechanizmu kompenacji zakłócenia w pętli otwartej. W celu miarodajnego porównania działania układów regulacji zachowano identyczną kalę wykreów dla odpowiadających obie ekperymentów. 58

59 W pierwzej kolejności rozpatrzony zotał przypadek tabilizacji zadanej wartości wyjścia równej Przebiegi ygnałów przedtawiono na ry. 30a i 30b. Widoczna jet znacząca poprawa działania wzytkich układów regulacji wykorzytujących model rozmyty obiektu. Zakłócenie tłumione jet ilniej, ponieważ regulatory bazując na jego pomiarze generują agreywniejze terowanie. Nieco lepiej wpływ zakłócenia kompenowany jet przez algorytmy z ukceywną linearyzacją i oparty na podejściu PDC, natomiat algorytmy wykorzytujące model nieliniowy w więkzym topniu, ą nieco wolniejze przy zmianie zakłócenia w obydwie trony. Najzybzym pośród algorytmów wykorzytujących model rozmyty jet algorytm FDMC, ponieważ generuje najbardziej agreywne terowanie pośród wzytkich z nich. Regulator DMC generuje zbyt agreywne terowanie, ponieważ dyponuje modelem o mniejzym wzmocnieniu i prowadzi to do odejścia od wartości zadanej w drugą tronę i chwilowe oddalanie ię od niej o ok Jednak wykorzytanie pomiaru zakłócenia i tak przynioło poprawę działania układu regulacji. Tłumienie zakłócenia przy wartości zadanej równej zotało przedtawione na ry. 30c i 30d. Na pierwzy rzut oka widoczne jet agreywniejze działanie wzytkich regulatorów, kiedy pomiar zakłócenia jet wykorzytywany. Regulatory lepiej tłumią zakłócenie, a wykorzytanie dobrze dopaowanego modelu rozmytego daje zyk w potaci zarówno lepzego tłumienia, jak i zybzego oiągania wartości zadanej niż ma to miejce w przypadku regulatora DMC. Tak jak poprzednio, pośród regulatorów bazujących na modelu rozmytym najbardziej agreywne przyroty terowania generowane ą przez regulator FDMC, przez co najlepiej tłumi on zakłócenie i najzybciej oiąga wartość zadaną. Pozotałe z nich oiągają wartość zadaną w podobnym czaie, nieco gorzej zakłócenie jet tłumione przez regulator FDMC-NPL, jednak i tak działa on bardzo dobrze. Przy zmniejzaniu dopływu monomeru regulatory FDMC-SL, FDMC-NPL i MPC-NO wolniej oiągają wartość zadaną, jednak znacznie lepiej tłumią zakłócenie niż regulator DMC. Zdecydowany zyk z wykorzytania modelu rozmytego obiektu widać w obzarach znacznie oddalonych od początkowego punktu pracy. Na ry. 30e i 30f przedtawiono działanie regulatorów podcza tłumienia kokowej zmiany zakłócenia przy wartości zadanej równej Regulator DMC radzi obie z zakłóceniem gorzej, niż miało to miejce bez modelu zakłócenia. Wynika to z faktu, że model obiektu nie jet adekwatny do bieżącego punktu pracy. Liniowy model obiektu ma zbyt małe wzmocnienie, wobec czego algorytm generuje zdecydowanie zbyt agreywne terowanie. Skutkuje to dużym przeregulowaniem i ocylacjami przy oiąganiu wartości zadanej. Regulatory wykorzytujące model rozmyty działają natomiat w poób pożądany. Cza regulacji wzytkich z nich jet bardzo zbliżony, nieco lepiej działają w tym obzarze algorytmy FDMC-NPL i MPC- NO, które prawniej tłumią zakłócenie niż regulatory FDMC i FDMC-SL. Otatni rozważany przypadek tłumienia zakłócenia przedtawiony zotał na ry. 30g i 30h. Wartość zadana była utrzymywana na poziomie , zatem proce ma w tym 59

60 wypadku zdecydowanie mniejze wzmocnienie niż w punkcie pracy rozważanym w artykule [12]. Do kutecznego tłumienia zakłócenia konieczne jet generowanie dużych przyrotów terowania. Mimo uwzględnienia modelu zakłócenia, regulator DMC nie radzi obie z potawionym zadaniem. Wykorzytywany w nim model cechuje ię więkzym wzmocnieniem niż jet w rzeczywitości, zatem regulator działa zbyt wolno w tym obzarze. Przy wykorzytaniu modelu rozmytego pozotałe z zaprojektowanych regulatorów kutecznie tłumią zakłócenie generując bardziej agreywne terowanie. Wynika to ze toowania modelu lepiej dopaowanego do bieżącego punktu pracy. Najlepzy w tym obzarze jet analityczny regulator FDMC, który niezależnie od kierunku zmiany zakłócenia najlepiej tłumi jego wpływ. Najwolniejzym pośród algorytmów wykorzytujących model rozmyty jet algorytm FDMC-SL, a działanie regulatorów FDMC-NPL i MPC-NO jet bardzo do iebie zbliżone. Ponownie można zaoberwować, że zmniejzenie dopływu monomeru powoduje więkze oddalanie ię od wartości zadanej. (a) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o +20% (b) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o 20% 60

61 (c) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o +20% (d) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o 20% (e) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o +20% 61

62 (f) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o 20% (g) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o +20% (h) Stabilizacja wartości NAMW równej ; kok zakłócenia o 20% Ry. 30. Odpowiedzi układów regulacji na kok zakłócenia podcza tabilizacji wartości NAMW z wykorzytaniem pomiaru zakłócenia 62

63 Przeprowadzone ekperymenty wykazały, że wykorzytanie modelu rozmytego w regulatorze umożliwia efektywniejze tłumiemie zakłóceń w zerzym obzarze niż w przypadku toowania regulatora bazującego na modelu liniowym. Znaczące różnice wzmocnienia obiektu pomiędzy obzarami tawiają trudne wymagania przed regulatorami, które muzą być w tanie dopaowywać ię do bieżącego punktu pracy i prawnie kompenować zakłócenia w każdym przypadku. Klayczny regulator DMC tłumi wytępujące zaburzenie w poób dobry jedynie kiedy bieżący punkt pracy nie odbiega znacząco od punktu pracy dla którego regulator ten zotał opracowany. Regulatory wykorzytujące model rozmyty radzą obie dobrze w każdym ze prawdzonych przypadków, a uwzględnienie pomiaru zakłócenia dodatkowo poprawia jakość regulacji. Nieco lepzym tłumieniem na tle rezty pośród nich w przypadku uwzględniania pomiaru zakłócenia wykazał ię regulator FDMC, w którym natępuje przełączanie pomiędzy lokalnie działającymi analitycznymi, liniowymi regulatorami. 3.4 Wartwowa truktura terowania W niniejzym rozdziale przedtawione ą wyniki oiągane przez zaprojektowane regulatory działające w wartwowych trukturach terowania podcza zmieniających ię warunków pracy. Zadaniem wartw optymalizacji, znajdujących ię nad regulatorem nadrzędnym, jet dobór wartości zadanej dla regulatora, która będzie optymalna z punktu widzenia prowadzonego proceu. Najczęściej ma miejce optymalizacja wykorzytująca ekonomiczny wkaźnik jakości. Z punktu widzenia rozważanego obiektu, jakim jet reaktor chemiczny, wkaźnik jakości może określać zyki ze przedaży produktu pełniającego określone kryteria. Zyki ą proporcjonalne do ilości wytworzonego produktu, zatem dąży ię do makymalizacji przepływu przez reaktor. W idealnym przypadku, kiedy nie wytępują zakłócenia w proceie, problem jet trywialny, ponieważ wytarczy raz dobrać odpowiednie wartości zadane dla regulatora. Itotny jet natomiat przypadek rzeczywity, kiedy na proce działa zmieniające ię zakłócenie. Zmiany tego zakłócenia powodują topniowe przeuwanie optymalnego punktu pracy. Ponieważ rozważany jet przypadek jednowymiarowy, w łatwy poób można graficznie przedtawić rodzinę charakterytyk tatycznych proceu dla różnych wartości zakłócenia. Ry. 31 przedtawia w jaki poób zmienia ię położenie optymalnego punktu pracy przy utalonych ograniczeniach nakładanych na proce. Linie przerywane na ryunku określają ograniczenia w dwóch przykładowych rozważanych problemach optymalizacji. Są to ograniczenia dotyczące jakości wytwarzanego produktu, a także wynikające z możliwości produkcyjnych. Można zauważyć, że optymalne punkty pracy znajdują ię na tych ograniczeniach i w zależności od zmieniającego ię zakłócenia aktywne będzie ograniczenie nałożone na makymalną wartość terowania, lub dotyczące pożądanej jakości produktu. 63

64 Ry. 31. Rodzina charakterytyk tatycznych reaktora polimeryzacji dla różnych wartości zakłócenia i optymalne punkty pracy przy nałożonych ograniczeniach (a) przypadek 1 (b) przypadek 2 Ry. 32. Przebiegi zakłócenia działającego na proce w rozważanych problemach optymalizacji Na potrzeby porównania truktur wartwowych regulacji zotały dobrane dwa przypadki tetowe dla reaktora polimeryzacji. Pierwzy problem polega na makymalizacji produkcji polimeru o minimalnym dopuzczalnym ciężarze molowym y min = , przy ograniczeniu na makymalny dopływ inicjatora u max = 0,030 m3 (ograniczenia zaznaczone czerwonymi przerywanymi liniami na ry. 31). Drugi problem również h polega na makymalizacji produkcji, jednak wykorzytywany jet inny zetaw ograniczeń, a mianowicie: u max na ry. 31). = 0,045 m3 h i y min = (oznaczone czarnymi przerywanymi liniami W celu zaymulowania zmieniających ię warunków pracy proceu, będzie on zaburzany inuoidalnie zmiennymi zakłóceniami. Ich przebiegi przedtawione zotały na ry

65 3.4.1 Struktura LSSO+MPC Pełny nieliniowy problem optymalizacji rozwiązywany w wartwie LSSO jet natępujący: min y, u { p u } przy ogr.: x 1 = z z + 2,4568 x 2, x 2 = x 3 = 0, x 1 x2 + 0, x 2, 80u 10, z x 4 = 245,978x 1 x2 (65) y = x 4 x 3, u min u u max, y y min + δ Ograniczenia w problemie optymalizacji (65) zotały wyznaczone z warunków tatycznych równań różniczkowych opiujących obiekt, jet więc to dokładny, nieliniowy model opiujący obiekt. Aby zapewnić utrzymywanie wartości wyjścia obiektu w pożądanych granicach, wartość zadana wyznaczana jet w makymalnej odległości δ = 500 od ograniczeń zdefiniowanych w cenariuzu. Wartość ceny zotała utawiona w algorytmie w wyokości p = Dla niżzych wartości procedura optymalizacji programu Matlab nie wyznaczała w poób poprawny optymalnego punktu pracy, mimo zwiękzania zadanej dokładności rozwiązania. Dla tak utworzonej wartwy LSSO zotało prawdzone działanie regulatorów przy zmieniającej ię wartości zadanej wyznaczanej przez wartwę LSSO i kompenacji wprowadzonych zakłóceń. Ry. 33a przedtawia utrzymywanie ciężaru molowego produktu na poziomie nie mniejzym niż , przy ograniczeniu wartości terowania do 0,03 m3 h. Rozważana jet ytuacja idealna, w której wartwa LSSO aktualizuje optymalny punkt pracy w każdej iteracji regulatora nadrzędnego. Obzar, w którym działają regulatory znajduje ię dość bliko punktu pracy, dla którego zaprojektowany zotał regulator DMC, tąd dość prawnie nadąża on za zmianą wartości zadanej, choć i tak nieco traci na zybkości w porównaniu do regulatorów wykorzytujących model rozmyty. Działają one w poób bardzo do iebie zbliżony, porównując jednak przebiegi terowania można zauważyć, że regulatory FDMC-NPL i MPC-NO przez więkzość czau trzymają ię bliżej ograniczenia na ygnał terujący, przez co działają nieco lepiej. Różnice w działaniu algorytmów bazujących na modelu rozmytym ą jednak niewielkie. Wprowadzenie ograniczeń miękkich do regulatorów numerycznych zapewnia oiąganie zadanej wartości niemal bez przeregulowania. Margine bezpieczeńtwa nie jet praktycznie wykorzytywany, ponieważ model obiektu w regulatorze DMC wciąż jet wytarczająco dokładny i proce regulowany jet prawnie. Można natomiat zauważyć że regulator DMC nie tłumi dość dobrze zakłócenia i wartość wyjściowa od chwili k = 230 zaczyna oddalać ię nieco od wartości zadanej. Pozotaje jednak w obzarze dopuzczalnym, nie naruzając nawet ograniczeń miękkich. 65

66 (a) Okre interwencji wartwy LSSO T e = 1 min (b) Okre interwencji wartwy LSSO T e = 30 min Ry. 33. Odpowiedzi otrzymane w wartwowych trukturach terowania z wartwą LSSO przy ograniczeniach: y , 0,001 m3 h u 0,03 m3 h Przypadek, kiedy interwencja wartwy LSSO natępuje co 30 okreów próbkowania ilutruje ry. 33b. Ponownie widać przewagę regulatorów bazujących na modelu rozmytym nad regulatorem DMC. Wzytkie z nich generują bardziej agreywne terowania, co pozwala na lepzą regulację proceu. Można zauważyć nieco zybze nadążanie regulatorów FDMC-NPL i MPC-NO za zmianami wartości zadanej. Wytępuje ponadto ubtelna różnica w działaniu pomiędzy regulatorami FDMC-NPL i MPC-NO. W okolicach chwili k = 200, kiedy wartość wyjścia zaczyna naruzać ograniczenia miękkie, regulator FDMC-NPL przez kilka natępnych iteracji generuje dodatnie przyroty terowania. Nieliniowa optymalizacja w przypadku MPC-NO prowadzi do zmniejzania wartości terowania w taki poób, że podobna ytuacja nie ma miejca. Różnice w działaniu pomiędzy pozczególnymi regulatorami bazującymi na modelu rozmytym nie ą jednak znaczące, przez więkzość czau przebiegi wartości wyjściowej obiektu uzykane przez wzytkie z nich pozotają bardzo do iebie zbliżone. 66

67 Tabl. 1. Skumulowane wartości wkaźnika jakości dla pozczególnych regulatorów w wartwowej trukturze terowania z wartwą LSSO przy ograniczeniach: y , 0,001 m3 h u 0,03 m3 h T e DMC FDMC FDMC-SL FDMC-NPL MPC-NO , , , , , , , , , ,63 Warto porównać także kumulowane, rzeczywite wartości wkaźnika jakości uzykane przez pozczególne regulatory przy różnych okreach interwencji wartwy optymalizacji nadrzędnej. Zotały one przedtawione w tabl. 1. Zauważalna jet nieco gorza wartość wkaźnika jakości przy rzadzych interwencjach wartwy LSSO. Ponadto agreywniejze i bliżze ograniczeniu terowania generowane przez regulatory wykorzytujące model rozmyty przyczyniają ię do lepzych wartości wkaźnika jakości niż w przypadku regulatora DMC. Nieco lepze wyniki od regulatorów FDMC i FDMC-SL oiągnęły regulatory FDMC-NPL i MPC-NO. Rezultaty uzykane przez algorytm z nieliniową predykcja i linearyzacją i algorytm z nieliniową optymalizacją ą bardzo do iebie zbliżone. Aby lepiej zilutrować zalety podejścia rozmytego rozważony zotał także problem optymalizacji z innym zetawem ograniczeń. Rozważane dwa problemy optymalizacji mogą odpowiadać zadaniom wytwarzania dwóch różnych produktów przez rozpatrywany reaktor polimeryzacji. Nakładane ograniczenia będą więc zależały od typu zamawianego produktu. Tym razem żądane jet otrzymywanie produktu o ciężarze molowym nie mniejzym niż przy ograniczeniu na dopływ inicjatora o wartości 0,045 m3 h. Tak jak poprzednio, zakłada ię że minimalna wartość zadana wyznaczana jet w odległości δ = 500 od ograniczenia na ciężar molowy produktu, zatem dolne ograniczenie na wartość wyjścia w wartwie LSSO wynoi W pierwzej kolejności zotała rozpatrzona ytuacja, w której w każdej iteracji zachodzi interwencja wartwy optymalizacji LSSO. Wyniki ymulacji przedtawione zotały na ry. 34a. Można zauważyć, że algorytm DMC działa wyraźnie gorzej od algorytmów wykorzytujących model rozmyty. Regulator dyponuje nieadekwatnym modelem, przez co wartość wyjścia wyraźnie odbiega od utalonej minimalnej dopuzczalnej wartości zadanej, jednak pozotaje utrzymywana w wyznaczonej trefie bezpieczeńtwa. Dalze zmiany zakłócenia powodują znaczne odejście od wartości zadanej w porównaniu do pozotałych algorytmów, a terowanie oiąga mniejze wartości niż te przez nie wyznaczane. Najzybze pośród regulatorów bazujących na modelu rozmytym to regulatory FDMC-NPL i MPC-NO, nieco wolniejzy od nich jet algorytm FDMC-SL, natomiat regulator FDMC najlepiej tłumi zakłócenie, przez co wartość wyjścia najlepiej trzyma ię wartości zadanej. Sytuacja, kiedy interwencja wartwy optymalizacji zachodzi tylko raz na 30 minut działania regulatora zotała przedtawiona na ry. 34b. Wartość zadana dla regulatorów jet rzadziej aktualizowana, przez co obiekt nie działa z makymalną możliwą wydajnością, co było widoczne w przypadku interwencji wartwy LSSO w każdej iteracji. Przyroty 67

68 terowania wyznaczane przez regulator DMC w porównaniu do regulatorów bazujących na modelu rozmytym ą zdecydowanie mniejze. W efekcie regulator DMC początkowo nie odtaje znacząco od pozotałych regulatorów, co miało miejce w poprzednim cenariuzu. Nieadekwatny do bieżącego punktu pracy model wykorzytywany w regulatorze DMC powoduje, że naruzone zotaje miękkie ograniczenie nałożone na wartość wyjścia, ale tak, jak przy czętej interwencji wartwy LSSO, wartość wyjścia jet utrzymywana w zakładanej trefie bezpieczeńtwa. Wzytkie pośród algorytmów bazujących na modelu rozmytym działają lepiej od algorytmu DMC. Ponownie można zauważyć najbardziej agreywne działanie algorytmu FDMC, przez co tłumi zakłócenie najlepiej. Najłagodniej z nich działa regulator FDMC-SL, a najzybze ą wciąż algorytmy FDMC-NPL i MPC-NO. Zarówno przy czętych jak i rzadkich interwencjach wartwy LSSO można zaoberwować, że zbliżając ię do granicy trefy bezpieczeńtwa, terowanie wyznaczane przez regulatory numeryczne delikatnie ocyluje. Jet to efekt kompenacji zakłócenia i minimalizacji przekroczenia ograniczenia na wartość wyjściową. (a) Okre interwencji wartwy LSSO T e = 1 min (b) Okre interwencji wartwy LSSO T e = 30 min Ry. 34. Odpowiedzi otrzymane w wartwowych trukturach terowania z wartwą LSSO przy ograniczeniach: y , 0,001 m3 h u 0,045 m3 h 68

69 Tabl. 2. Skumulowane wartości wkaźnika jakości dla pozczególnych regulatorów w wartwowej trukturze terowania z wartwą LSSO przy ograniczeniach: y , 0,001 m3 h u 0,045 m3 h T e DMC FDMC FDMC-SL FDMC-NPL MPC-NO , , , , , , , , , ,24 Skumulowane wartości wkaźnika jakości dla drugiego problemu optymalizacji zotały zebrane w tabl. 2. Zauważalnie lepze rezultaty uzykano toując algorytmy wykorzytujące model rozmyty. Ponadto w tym cenariuzu natąpiła poprawa wyników algorytmu FDMC na tle pozotałych z algorytmów bazujących na modelu rozmytym. Wynika to z generowania więkzych wartości terowania. Niezależnie od czętotliwości interwencji wartwy optymalizacji, najgorze wyniki pośród regulatorów z modelem rozmytym obiektu oiągnął algorytm FDMC-SL. Wyniki uzykane przez algorytmy FDMC-NPL i MPC-NO ą zaś bardzo zbliżone. Przy obydwu problemach optymalizacji widoczne jet pogorzenie wkaźników jakości przy rzadzej interwencji wartwy LSSO. Jet to powodowane tym, że przy jej rzadzej interwencji proce nie zachodzi tak intenywnie jak to możliwe, co można zaoberwować porównując ze obą ry. 33a i 33b a także ry. 34a i 34b. Kiedy wartwa LSSO nie interweniuje przy każdej iteracji regulatora, terowanie jet ograniczane, by kompenować zmieniającą ię wartość zakłócenia i utrzymać wyjście na utalonej, przez pewien cza tałej, wartości zadanej. W rzeczywitości powinna ona maleć w każdej iteracji, a wartość terowania można utrzymywać na górnym ograniczeniu. W zatoowaniach praktycznych zadanie pełnej nieliniowej optymalizacji wyznaczającej wartości zadane dla regulatorów może trwać zbyt długo lub nie może nie być rozwiązywane w każdej iteracji regulatora. Wartości zadane nie ą wtedy aktualizowane w poób ciągły, a jedynie cyklicznie. W kolejnym rozdziale przedtawione zotaną ekperymenty, w których z rzadko interweniującą wartwą LSSO wpółpracuje wartwa SSTO, której zadaniem jet bieżące poprawianie wartości zadanych dla regulatorów Struktura LSSO+SSTO+MPC W tym rozdziale przedtawione zotały wyniki ymulacji regulatorów predykcyjnych wpółpracujących z dwoma wartwami optymalizacji - nieliniowej wartwy optymalizacji wykorzytującej dokładny, tatyczny model obiektu i wartwy SSTO z uprozczonym, liniowym modelem obiektu. Rozwiązywane jet w niej zadanie programowania liniowego, którego celem jet poprawienie wartości zadanych dla regulatora, kiedy nie jet dotępna wartość wyznaczona przez wartwę LSSO. Tetowane były podejścia, w których w każdej iteracji regulatora dokonywana jet linearyzacja nieliniowego modelu z wartwy LSSO, jak i z użyciem modelu wykorzytywanego w regulatorze. 69

70 Równania tatyczne obiektu linearyzowane były poprzez rozwinięcie ich w zereg Taylora. Pochodne kolejnych równań tanu obiektu ą natępujące: δx 1 ( z) 2,4568 0,5 = δx 2 x2 ( z + 2,4568 x ) 2 2 δx 2 δu = 80 10, z δx 3 δx 1 = 0, x2 10 (1 + z) 100 (1 + z) 2 δx 3 δx 2 = ( ) 0, x1 0,5 x2 +0, (1 + z) δx 4 = 245,978 x2 δx 1 10 (1 + z) 100 (1 + z) 2 (66) δx 4 δx 2 = δy δx 3 = x 4 ( x 3 ) 2 δy δx 4 = 1 x 3 245,978 x (1 + z) x 2 gdzie wartości z kreką ą wartościami zmiennych z równań tatycznych w punkcie linearyzacji (u, z). Natępnie wyznaczone zotały zmienne pomocnicze: C 1 = x 1 δx 1 δx 2 x 2 C 2 = x 2 δx 2 δu u C 3 = x 3 δx 3 δx 1 x 1 δx 3 δx 2 x 2 C 4 = x 4 δx 4 δx 1 x 1 δx 4 δx 2 x 2 C y = ȳ δy δx 3 x 3 δy δx 4 x 4 T = δx ( 1 δy δx 3 + δy δx ) 4 + δy δx 3 + δy δx 4 δx 2 δx 3 δx 1 δx 4 δx 1 δx 3 δx 2 δx 4 δx 2 V = T C 2 + δy C 3 + δy ( δy C 4 + C y + δx 3 + δy δx ) 4 C 1 δx 3 δx 4 δx 3 δx 1 δx 4 δx 1 (67) 70

71 dzięki którym zadanie programowania liniowego w wartwie SSTO można zapiać w potaci: min y, u { p u } przy ogr.: T δx 2 δu u y = V u min u u max (68) y y min + δ Przetetowana zotała także werja wartwy SSTO wykorzytująca ten am model obiektu, którym poługuje ię regulator. W tym celu wykorzytywany jet element S D jako aprokymacja wzmocnienia obiektu, a także otatni kładnik odpowiedzi wobodnej z horyzontu dynamiki obiektu (yk+d k 0 ), który odgrywa rolę wartości wyjścia w tanie utalonym. Zadanie optymalizacji rozwiązywane w tak zdefiniowanej wartwie SSTO jet natępujące: min { p u } y, u przy ogr.: y = S D u u min u k 1 u u max u k 1 y y min y 0 k+d k + δ (69) a wartość zadana dla regulatora wynoi y zad = y+yk+d k 0. Obydwie werje wartwy SSTO uwzględniają ten am zbiór ograniczeń co wartwa LSSO, tak więc również uwzględniany jet bufor bezpieczeńtwa o zerokości δ = 500 podcza wyznaczania wartości zadanej dla regulatora. Dla zachowania tych amych warunków, parametr ceny wynoi tyle amo co w wartwie LSSO, czyli p = Dla tak utworzonych wartw SSTO ponownie rozpatrzone zotały obydwa cenariuze tetowe przy interwencji wartwy LSSO raz na 30 minut i interwencji warwy SSTO w każdej iteracji. Pierwzy przypadek z wykorzytaniem w wartwie SSTO zlinearyzowanego pełnego modelu nieliniowego przedtawiony zotał na ry. 35a. Wartości zadane wyznaczane przez wartwę SSTO ą oznaczone przerywanymi liniami o kolorach odpowiadających pozczególnym algorytmom. Poprawki obliczane w ten poób przez wartwę SSTO niemal idealnie odtwarzają przypadek, kiedy wartwa LSSO interweniowała w każdej iteracji (por. ry. 33a). Linie wartości zadanych wyznaczane przez wartwę SSTO wpółpracującą z każdym z algorytmów pokrywają ię. Przebieg terowania pozbawiony jet charakterytycznych dla okreowej zmiany wartości zadanej padków wartości. Obiekt działa tak zybko jak jet to możliwe z wykorzytaniem danego regulatora. Charakter ich działania pozotaje niezmienny, w tym obzarze widoczne jet nieco lepze działanie podejścia 71

72 rozmytego nad regulatorem z liniowym modelem obiektu. Wyniki ymulacji wykorzytującej w wartwie SSTO model, na którym bazuje dany regulator, przedtawione zotały na ry. 35b. Widoczna jet zależność, że im dokładniejzy jet model wykorzytywany w regulatorze, tym bliżza trajektorii wartości zadanej wyznaczanej przez wartwę LSSO jet trajektoria wyznaczana przez wartwę SSTO. Dla najmniej dokładnego modelu liniowego, trajektoria wyznaczana przez wartwę SSTO jet znacznie oddalona od chodkowej trajektorii wyznaczanej przez LSSO. Taki jej przebieg powodował jednak wyraźne przypiezenie działania algorytmu DMC. Najdokładniejze odzworowanie proceu zachodzi w algorytmach FDMC-NPL i MPC-NO, gdzie wniokowanie rozmyte przeprowadzane jet na całym horyzoncie predykcji dla każdego elementu przewidywanej trajektorii wyjścia obiektu. Widoczne jet najlepze przybliżenie docelowej trajektorii zadanej i kiedy natępuje interwencja wartwy LSSO, wartości wyznaczane przez obydwie wartwy ą obie najbliżze. Algorytmy FDMC i FDMC-SL do predykcji wykorzytują liniowe przybliżenie modelu nieliniowego, tąd chwilami można zaoberwować oddalenie ię trajektorii zadanej od idealnej. Różnice pomiędzy działaniem obydwu wariantów wartwy SSTO ą dobrze widoczne na przebiegu ygnału terującego. Wykorzytanie w wartwie SSTO model obiektu, na którym działa regulator powoduje, że przez więkzość czau ygnał terujący znajduje ię bliżej górnego ograniczenia. Ponadto można zauważyć charakterytyczne zmniejzenia ygnału terującego, które wynikają z tego, że kiedy dotępna jet wartość zadana wyznaczona przez wartwę LSSO, jet ona bezpośrednio aplikowana do regulatora. Wartwa SSTO działa jedynie wtedy, kiedy nie jet dotępna wartość z wartwy LSSO. Im model wykorzytywany w wartwie SSTO jet mniej dokładny, tym nagłe zachwiania wartości terowania ą więkze. Wykorzytanie pełnego nieliniowego modelu rozmytego w predykcji jet na tyle dokładne, że zachwiania wartości ą pomijalnie małe. Tabl. 3. Skumulowane wartości wkaźnika jakości dla pozczególnych regulatorów w wartwowej trukturze terowania z wartwami LSSO i SSTO przy ograniczeniach: y , 0,001 m3 h u 0,03 m3 h model DMC FDMC FDMC-SL FDMC-NPL MPC-NO z LSSO , , , , ,76 z regulatora , , , , ,44 W tabl. 3 zebrane zotały kumulowane wartości wkaźnika jakości dla obydwu opracowanych odmian wartwy SSTO. Porównując wyniki z tabl. 1 można zauważyć, że wprowadzenie wartwy SSTO polepza wartości wkaźnika jakości, ponieważ dotępna jet ciągła aktualizacja wartości zadanych. Wykorzytanie w wartwie SSTO modelu z regulatora daje ponadto lepze rezultaty niż kiedy wykorzytywany był dokładny, zlinearyzowany model tatyczny z wartwy LSSO. Regulatory utrzymują wtedy wartości terowania bliżej ograniczeń, a regulator DMC oiąga wynik bliżzy wynikom regulatorów bazujących 72

73 na modelu rozmytym. Można wniokować, że wykorzytanie w wartwie SSTO tego amego modelu co w regulatorze prowadzi do poprawy wyników działania truktur regulacji. (a) Wartwa SSTO wykorzytująca model obiektu z wartwy LSSO (b) Wartwa SSTO wykorzytująca model obiektu z regulatora Ry. 35. Odpowiedzi otrzymane w wartwowych trukturach terowania z wartwami LSSO i SSTO przy ograniczeniach: y , 0,001 m3 h u 0,03 m3 h Wyniki ymulacji drugiego problemu optymalizacji z wykorzytaniem linearyzowanego dokładnego modelu obiektu w wartwie SSTO pokazane zotały na ry. 36a. Sukceywna linearyzacja modelu obiektu wyrażonego za pomocą nieliniowych równań tatycznych wnoi poprawę działania truktur regulacji powodując ciągłą aktualizację wartości zadanej, którą śledzić mają regulatory. Za pomocą tego podejścia uzykana zotała najbardziej zbliżona do idealnej trajektoria zadana. Różnice pomiędzy trajektoriami zadanymi dla każdego z algorytmów ą niezauważalne, co pokazują pokrywające ię linie na wykreie. Podobnie jak przy interwencji wartwy LSSO w każdej iteracji regulatora, można zauważyć, że nieadekwatny do bieżącego punktu pracy model wykorzytany w regulatorze DMC powoduje jego zauważalnie gorze działanie na tle regulatorów rozmytych. Algorytmy bazujące na modelu rozmytym natomiat odpowiednio zybko nadążają za zmieniającym ię 73

74 zakłóceniem i zdecydowanie lepiej śledzą trajektorię zadaną tłumiąc przy tym zmieniajęce ię zakłócenie. Zauważalne jet lepze tłumienie zakłócenia uzykane przez analityczny regulator FDMC. (a) Wartwa SSTO wykorzytująca model obiektu z wartwy LSSO (b) Wartwa SSTO wykorzytująca model obiektu z regulatora Ry. 36. Odpowiedzi otrzymane w wartwowych trukturach terowania z wartwami LSSO i SSTO przy ograniczeniach: y , 0,001 m3 h u 0,045 m3 h Na ry. 36b przedtawiono ten am problem optymalizacji, w którym w wartwie SSTO wykorzytane zotały modele obiektu toowane w regulatorach. Ekperyment podtrzymuje zależność przedtawioną poprzednio - trajektoria najbardziej zbliżona do wyznaczonej przez wartwę LSSO jet wyznaczana z wykorzytaniem modelu toowanego w regulatorach FDMC-NPL i MPC-NO. Nieco więkzą odchyłką charakteryzuje ię wykorzytanie w pełni linearyzowanego modelu rozmytego obowiązującego w regulatorach FDMC i FDMC-SL, natomiat najwiękze odchyłki ą po tronie algorytmu DMC wykorzytującego niadekwatny do zmieniającego ię punktu pracy model liniowy. Dzięki temu odchyleniu trajektorii zadanej można jednak zaoberwować przypiezenie działania algorytmu DMC, tak jak miało to miejce w poprzednim cenariuzu tetowym. Charakterytycz- 74

75 ne zachwiania wartości terowania wynikające z przełączania źródła wartości zadanej, choć niewielkie, widoczne ą właściwie jedynie w przypadku algorytmów DMC i FDMC. Ponownie zauważalne jet, że wykorzytanie w wartwie SSTO tego amego modelu co w regulatorze prowadzi do generacji więkzych wartości terowania. Przebieg wartości wyjścia obiektu nie uległ zauważalnym zmianom, regulator DMC wciąż najgorzej radzi obie z potawionym zadaniem, natomiat regulatory wykorzytujące model rozmyty obiektu bardzo dobrze śledzą wartość zadaną podcza całego ekperymentu. Ponownie zakłócenie najlepiej tłumione jet przez analityczny regulator FDMC. Tabl. 4. Skumulowane wartości wkaźnika jakości dla pozczególnych regulatorów w wartwowej trukturze terowania z wartwami LSSO i SSTO przy ograniczeniach: y , 0,001 m3 h u 0,045 m3 h model DMC FDMC FDMC-SL FDMC-NPL MPC-NO z LSSO , , , , ,81 z regulatora , , , , ,31 Skumulowane wartości wkaźnika jakości dla drugiego problemu optymalizacji przedtawione zotały w tabl. 4. Aktualizacja wartości zadanej w każdej iteracji wyraźnie zwiękza wartości wkaźników jakości (por. tabl. 2). Drugi ekperyment potwierdza wnioek, że wykorzytując w wartwie SSTO model obiektu toowanego w regulatorze, uzykiwane ą lepze wyniki. Różnica pomiędzy wynikiem oiągniętym przez regulator DMC a regulatorami wykorzytującymi model rozmyty obiektu zmniejzyła ię, choć wciąż jet zauważalna. Wyznaczane terowanie oiąga wartości bliżze górnemu ograniczeniu, tąd więkzy jet całkowity przepływ przez reaktor. Najlepze wyniki uzykane zotały z wykorzytaniem algorytmów FDMC-NPL i MPC-NO i ą one bardzo do iebie zbliżone. Opóźniony pomiar zakłócenia Rozważony zotał także przypadek, kiedy nie dyponuje ię dokładnym pomiarem zakłócenia. Częto pomiar lub etymacja wartości zakłócenia natępuje z opóźnieniem, tąd prawdzone zotały także przypadki wpółpracy z wartwą SSTO wykorzytującą model obiektu z regulatora, kiedy pomiar zakłócenia trafia do regulatora i wartw optymalizacji z opóźnieniem 2 okreów próbkowania. Modele zakłócenia w regulatorach zotały dotoowane do dwóch taktów opóźnienia pomiaru. Wyniki ymulacji dla pierwzego i drugiego problemu optymalizacji zotały przedtawione odpowiednio na ry. 37a i 37b. Podcza ymulacji pierwzego cenariuza (ry. 37a) widać, że opóźnienie pomiaru zakłócenia wprowadza pewne zaburzenia w działaniu układów regulacji. Na przebiegach ygnałów terujących widoczne ą więkze odchylenia w momencie przełączania pomiędzy wartościami zadanymi z wartw LSSO i SSTO. Wynika to z nieco więkzych odchyleń trajektorii zadanych z wartwy SSTO od tych wyznaczanych przez wartwę LSSO. Zaburzenie 75

76 to jednak nie jet wytarczająco duże by zdetabilizować działanie któregokolwiek z zaprojektowanych regulatorów. Ponownie można zauważyć, że kiedy wartość zadana wyjścia zatrzymuje ię na ograniczeniu, algorytm DMC nieco gorzej radzi obie z kompenacją zakłócenia niż regulatory wykorzytujące model rozmyty. Te zaś działają w poób zbliżony, jednak algorytmy FDMC-NPL i MPC-NO nieco lepiej śledzą trajektorię zadaną. (a) Ograniczenia: y , 0,001 m3 h u 0,03 m3 h (b) Ograniczenia: y , 0,001 m3 h u 0,045 m3 h Ry. 37. Odpowiedzi wartwowej truktury terowania z wartwami LSSO i SSTO wykorzytującej model z regulatora; opóźnienie pomiaru zakłócenia o 2 okrey próbkowania Podobna ytuacja ma miejce przy rozpatrywaniu drugiego cenariuza tetowego. Ry. 37b pokazuje, że opóźnienie pomiaru zakłócenia o 2 okrey próbkowania nie zaburza działania regulatorów w znaczący poób. Algorytmy bazujące na modelu rozmytym obiektu działają bardzo dobrze, a najlepzym tłumieniem zakłócenia cechuje ię ponownie algorytm FDMC. Regulator DMC wciąż radzi obie z potawionym zadaniem i wartość wyjściowa obiektu mieści ię w założonym margineie bezpieczeńtwa. Zdecydowanie gorzej od regulatorów rozmytych śledzi on jednak wartość zadaną. 76

77 W tabl. 5 i 6 przedtawione zotały dla porównania wartości kumulowanego wkaźnika jakości dla truktur z pozczególnymi algorytmami przy opóźnionym jak i przy dokładnym pomiarze zakłócenia. Widoczny jet padek wartości wkaźnika jakości, co jet przyczyną niedokładnego pomiaru zakłócenia. Można jednak zauważyć, że w drugim przypadku tetowym wartość wkaźnika jakości wzroła przy opóźnionym pomiarze zakłócenia dla regulatora DMC. Jet to jednak powodowane niedokładnością modelu liniowego wykorzytywanego przez ten regulator. Tabl. 5. Skumulowane wartości wkaźnika jakości dla pozczególnych regulatorów w wartwowej trukturze terowania z wartwami LSSO i SSTO z modelem obiektu z regulatora, przy różnym opóźnieniu pomiaru zakłócenia i ograniczeniach: y , 0,001 m3 h u 0,03 m3 h opóźnienie DMC FDMC FDMC-SL FDMC-NPL MPC-NO , , , , , , , , , ,07 Tabl. 6. Skumulowane wartości wkaźnika jakości dla pozczególnych regulatorów w wartwowej trukturze terowania z wartwami LSSO i SSTO z modelem obiektu z regulatora, przy różnym opóźnieniu pomiaru zakłócenia i ograniczeniach: y , 0,001 m3 h u 0,045 m3 h opóźnienie DMC FDMC FDMC-SL FDMC-NPL MPC-NO , , , , , , , , , ,90 Rozpatrzony zotał przypadek, kiedy nieznana jet zmiana zakłócenia w przyzłości. Częto możliwa jet etymacja przyzłych zmian zakłócenia, na przykład w przypadku awarii w innych częściach intalacji całego obiektu, którego rozpatrywany reaktor polimeryzacji może być jedynie fragmentem. Jeżeli zakłócenie jet bardzo duże, dopuzcza ię także przełączenie na terowanie ręczne, aby godząc ię z nieoptymalnym działaniem układu regulacji, nie dopuścić do niedotrzymania wymagań na jakość wytwarzanego produktu. Sytuacja taka nie była jednak prawdzana, a w tetowanym przypadku opóźnienia pomiaru zakłócenia wzytkie truktury regulacji wciąż działają prawnie. Sytuacja z malejącą wartością wkaźnikiem jakości jet akceptowalna. 3.5 Wnioki Przeprowadzone ekperymenty pokazały, że modele rozmyte dobrze nadają ię do modelowania ilnie nieliniowych obiektów z dokładnością wytarczającą do wykorzytania w regulatorze predykcyjnym. W modelowaniu wykorzytane zotało podejście ekperckie, z powodu złych rezultatów uzykiwanych z wykorzytaniem gotowego rozwiązania truktury typu ANFIS z programu Matlab. Zaproponowane zotało także wykorzytanie wniokowania rozmytego do dotoowania wartości parametru kary w celu przypiezenia 77

78 proceu regulacji, które prawdziło ię bardzo dobrze. Przetetowane zotało 5 wariantów algorytmu regulacji predykcyjnej, z których bardzo obiecujące wyniki uzykał proty algorytm analityczny FDMC bazujący na podejściu PDC. Pokazane zotały także niewielkie różnice w działaniu pomiędzy algorytmami FDMC- NPL i MPC-NO wykorzytujących zaprojektowany model rozmyty. W takim razie nie jet konieczne rozwiązywanie nieliniowego zadania optymalizacji i można połużyć ię zybzym i odporniejzym, uprozczonym zadaniem optymalizacji liniowo-kwadratowej. Działanie zaprojektowanych regulatorów zotało także prawdzone w trukturach wartwowych z wartwami optymalizacji nadrzędnej. Symulacja działania wartwowych truktur pokazała, że bardzo dobre wyniki przy braku dotępności aktualnych wartości zadanych w każdej iteracji regulatora można oiągnąć toując pomocniczą wartwę optymalizacji SSTO rozwiązującą zadanie programowania liniowego z wykorzytaniem modelu obiektu wytępującego w regulatorze. Struktura taka jet także odporna na pomiar zakłócenia z opóźnieniem. W dalzej części pracy, w celu terowania reaktorem ph opracowano model rozmyty (z wykorzytaniem analogicznego podejścia bazującego na metodach ekperckich), a także porównano działanie wykorzytujących tak zaprojektowany model regulatorów FDMC i FDMC-NPL na tle klaycznego algorytmu DMC. Zaprojektowano także wartwową trukturę terowania, wykorzytującą w wartwie SSTO model toowany w regulatorze. 78

79 4 Sterowanie reaktora ph Drugim obiektem rozważanym w pracy jet reaktor ph. Proce polega na miezaniu kwau, zaady i roztworu buforowego w celu uzykania roztworu o zadanej wartości ph i tabilizacji jego poziomu w reaktorze. Równania tanu opiujące proce ą natępujące [13]: ḣ = Q 1 + Q 2 + δq 2 + Q 3 Q 4 A W a4 = (W a1 W a4 ) Q 1 + (W a2 W a4 ) (Q 2 + δq 2 ) + (W a3 W a4 ) Q 3 A h W b4 = (W b1 W b4 ) Q 1 + (W b2 W b4 ) (Q 2 + δq 2 ) + (W b3 W b4 ) Q 3 A h (70) Q 4 = C v h 0 = W a ph 14 + W b ph pk pk 1 ph + 10 ph pk 2 10 ph gdzie Q 1 to trumień dopływającego kwau (HNO 3 ), Q 2 to dopływ trumienia roztworu buforowego (NaHCO 3 ), Q 3 to dopływ zaady (NaOH), a Q 4 to trumień wypływającego z reaktora produktu. Wielkość h określa poziom miezaniny w zbiorniku, a ph - jej kład. Produkt wypływa ze zbiornika na zaadzie odpływu grawitacyjnego, czyli wypływ produktu jet proporcjonalny do pierwiatka kwadratowego z poziomu miezaniny w zbiorniku. Zmiennymi terującymi ą dopływ kwau i zaady (Q 1 i Q 3 ). Równania uwzględniają także wpływ zakłócenia, którym jet zmiana wielkości dopływającego trumienia roztworu buforowego - δq 2. Wartości nominalne pozczególnych parametrów wynozą odpowiednio: W a1 = M, W a2 = M, W a3 = 3, M, W b1 = 0M, W b2 = M, W b3 = m, (71) A = 207cm 2, C v = 8,75 ml cm, pk 1 = 6,35, pk 2 = 10,25, h = 14cm Pomiar wartości ph natępuje w pewnej odległości od zbiornika, w którym natępuje miezanie ubtratów. Cza opóźnienia pomiaru wartości ph wynoi T d = 30. Proce jet więc trudny w terowaniu ze względu na ilnie nieliniowe opiujące go równania jak i wytępujące opóźnienie. 79

80 4.1 Charakterytyka proceu Aby zaoberwować cechy obiektu, wykreślone zotały charakterytyki tatyczne. Poziom miezaniny w reaktorze w zależności od dopływu kwau i zaady przedtawiony zotał na ry. 38. Nieliniowość tej zmiennej nie jet ilna, najwiękzy jej wpływ można zaoberwować dla nikich wartości. W artykule [13] podana jet wartość poziomu cieczy h = 14 cm, w pracy rozważane będą więc wartości nieznacznie odbiegające od nominalnej wartości. pełna płazczyzna profil charakterytyki Ry. 38. Charakterytyka tatyczna poziomu cieczy w reaktorze Charakterytykę tatyczną wartości ph przedtawia ry. 39a. W przeciwieńtwie do poziomu cieczy w reaktorze, zależność wartości ph jet ilnie nieliniowa. Można wyróżnić obzary o znaczących zmianach wzmocnienia układające ię w poób chodkowy na charakterytyce. Odczyn ph zmienia ię najwolniej w obzarach o krajnych wartościach, natomiat najzybciej w obzarach w okolicy wartości 5 i 8. Pomiędzy nimi znajduje ię trefa o mniejzym wzmocnieniu. Jej wytąpienie warunkowane jet przez dodanie do miezaniny roztworu buforowego, a jej zerokość zależy od ilości tego roztworu, co można zaoberwować porównując ze obą ry. 39a, 39b i 39c. Im więkzy jet udział roztworu buforowego w miezaninie, tym zerzy jet obzar o mniejzym wzmocnieniu pomiędzy wartościami ph = 5 i ph = 8. W celu zbadania dynamiki obiektu zotała dokonana eria ekperymentów kokowych. Pierwze z nich polegały na zarejetrowaniu odpowiedzi obiektu na kokowe zmiany dopływu kwau przy początkowych wartościach h = 14 cm, ph = 7 i dopływie roztworu buforowego na poziomie Q 2 = 0,55 ml. Początkowe wartości dopływu kwau i zaady wynoiły Q 1 = 16,60 ml i Q 3 = 15,60 ml. Przebiegi zmiennych wyjściowych zotały przedtawione na ry. 40a. Można zaoberwować, że poziom w reaktorze utala ię na podobnych wartościach przy tych amych wymuzeniach zarówno w górę jak i w dół. Widoczne ą także niewielkie zmiany w dynamice - zybciej natępuje opróżnianie reaktora, ponieważ intenywność odpływu zależna jet od bieżącego poziomu cieczy (odpływ grawitacyjny). 80

81 pełna płazczyzna (a) Dopływ roztworu buforowego na poziomie 0,55 ml profil charakterytyki pełna płazczyzna profil charakterytyki (b) Zmniejzenie dopływu roztworu buforowego o δq 2 = 0,35 ml pełna płazczyzna profil charakterytyki (c) Zwiękzenie dopływu roztworu buforowego o δq 2 = 0,35 ml Ry. 39. Charakterytyka tatyczna ph przy różnych wielkościach dopływu roztworu buforowego 81

82 (a) Zmiana dopływu kwau (b) Zmiana dopływu zaady Ry. 40. Odpowiedzi obiektu na kokowe zmiany dopływu kwau i zaady Dużo ilniejza jet natomiat nieliniowość wartości ph, co zotało już zaoberwowane na charakterytyce tatycznej. Startując od wartości ph = 7 można zauważyć więkzą wrażliwość na zmniejzanie dopływu kwau, a wzmocnienie proceu znacząco maleje przy przekroczeniu wartości ph w okolicach 9,5. W przypadku zwiękzania dopływu kwau proce przechodzi przez przejściowy, płaki fragment charakterytyki. Dopiero po przejściu do jej tromej częci, czyli po przekroczeniu wartości ph wynozącej ok. 6, oberwuje ię nagły, zybzy padek wartości. Jet to bardzo dobrze widoczne przy dużym wymuzeniu - charakter przebiegu znacząco różni ię od idelnego przebiegu inercyjnego. W drugiej erii ekperymentów oberwowane były zmiany poziomu cieczy i wartości ph przy kokowych zmianach dopływu zaady. Przyjęte zotały te ame warunki początkowe, tj. h = 14 cm, ph = 7, Q 1 = 16,60 ml, Q 2 = 0,55 ml i Q 3 = 15,60 ml. Zarejetrowane przebiegi zotały przedtawione na ry. 40b. Z równań opiujących obiekt (70) wynika, że poziom miezaniny w reaktorze zależy w taki am poób od dopływu zarówno kwau jak i zaady. Potwierdzają to także przebiegi zmiany poziomu cieczy na te ame wymuzenia przedtawione na ry. 40a i 40b. Porównując ze obą poób zmian wartości ph przy 82

83 zmniejzaniu i zwiękzaniu trumieni dopływających ubtancji można zauważyć, że wartość ph zmienia ię podobnie przy zwiękzaniu dopływu kwau, co przy zmniejzaniu dopływu zaady. W drugą tronę, tj. zmniejzając dopływ kwau lub zwiękzając dopływ zaady, charakter zmian również pozotaje zachowany. Można zaoberwować, że dokonując takich amych zmian w dopływach, ph utala ię na trochę innych wartościach. Wynika to ze zmieniającej ię ilości miezaniny w zbiorniku, a co za tym idzie innych proporcji kwau i zaady wchodzących w jej kład. Kluczową cechą nieliniowości ph jet jednak zmieniające ię wzmocnienie w torach terowanie-ph w zależności od bieżącej wartości ph miezaniny w zbiorniku. Ry. 41. Znormalizowane dykretne odpowiedzi kokowe wykorzytane jako model liniowy w regulatorze DMC Analizując obydwie erie ekperymentów można zauważyć, że cza po jakim utala ię wartość ph roztworu w przybliżeniu wynoi 500 ekund. Poziom cieczy tabilizuje ię w czaie dłużzym, bo ok ekund. Aby wytarczająco dokładnie odwzorować charakter zmian zachodzących w obiekcie, utalono okre próbkowania równy T p = 10. Przy takim okreie próbkowania przyjęto długość horyzontu dynamiki reaktora ph równą D = 100. Na potrzeby klaycznego regulatora DMC porządzony zotał model liniowy w pota- 83

84 ci znormalizowanych odpowiedzi na kok jednotkowy. Model zotał pobrany w okolicy punktu pracy: P lin : Q 1 = 18,89 ml, Q 3 = 13,30 ml, h = 14,00 cm, ph = 5,00; Wybór punktu pracy uzależniony zotał od cenariuzy tetowych, które zrealizowane zotały w wartwowej trukturze terowania. Przebieg dykretnych odpowiedzi kokowych przedtawia ry Modelowanie rozmyte reaktora Do utworzenia modelu rozmytego reaktora ph, podobnie jak w przypadku reaktora polimeryzacji, połużono ię podejściem ekperckim. Korzytając z oberwacji tatyki i dynamiki obiektu utalono, że poziom miezaniny w reaktorze nie będzie rozmywany, ponieważ reaktor badany był w warunkach, w których poziom pozotawał tounkowo bliki wartości h = 14cm, podanej w artykule [13]. Charakter wzmocnienia w torze terowaniepoziom cieczy w reaktorze nie ulega dużym zmianom. Znaczną nieliniowością obarczona jet natomiat zmienność wartości ph i to ona zotała zamodelowana za pomocą zbiorów rozmytych. W pracy rozpatrywany był zakre zmian wartości ph ograniczony do zbioru [4, 10]. Wygenerowane zotały dwie trajektorie zmian terowania, które utrzymują poziom miezaniny w reaktorze na poziomie 14 cm, a wartość ph przyjmuje różne wartości z tego zbioru, równomiernie go pokrywając. Jeden z zetawów danych połużył do określenia środków obzarów rozmytych i natępnie do dopaowywania parametrów funkcji przynależności, a drugi wyłącznie do weryfikacji wyników. Wykorzytana zotała funkcja fcm programu Matlab do podzielenia danych wejściowych na określoną ilość obzarów rozmytych. Dla zadanych środków obzarów wyzukiwany był odpowiedni punkt z iatki punktów tworzącej charakterytykę tatyczną obiektu, a natępnie wykonywane były ekperymenty kokowe w celu pozykania modeli lokalnych w potaci znormalizowanych odpowiedzi na kok jednotkowy. Dobrano dzwonowe i igmoidalne funkcje przynależności, z uwagi na ich ciągłość i różniczkowalność. Natępnie parametry funkcji przynależności poddawane były zmianom w celu lepzego dopaowania modelu do danych. Dla parametrów każdej z funkcji przynależności po kolei formułowane było zadanie optymalizacji bez ograniczeń i rozwiązywane pojedynczą iteracją funkcji fminunc. Po każdej uzykanej poprawie wyników, model z nowymi parametrami był prawdzany na danych weryfikujących i jeżeli błąd wzratał, zmiany nie były zapamiętywane. Początkowy model rozmyty kładał ię z pięciu reguł, środki obzarów rozmytych ulokowane zotały w punktach: P 5 1: Q 1 = 18,96 ml, Q 3 = 13,23 ml, h = 14,00 cm, ph = 4,81; 84

85 P 5 2: P 5 3: P 5 4: P 5 5: Q 1 = 18,05 ml, Q 1 = 16,68 ml, Q 1 = 16,09 ml, Q 1 = 15,45 ml, Q 3 = 14,14 ml, h = 14,00 cm, ph = 6,02; Q 3 = 15,51 ml, h = 14,00 cm, ph = 6,94; Q 3 = 16,10 ml, h = 14,00 cm, ph = 8,27; Q 3 = 16,74 ml, h = 14,00 cm, ph = 9,53 (a) Sygnał wyjściowy modelu i proceu (b) Znormalizowane funkcje przynależności Ry. 42. Podział dziedziny proceu na zbiory rozmyte i dopaowanie modelu rozmytego z 5 modelami lokalnymi; J = 495,1843 Na ry. 42 można zauważyć, iż pomimo dużo lepzego dopaowania tak utworzonego modelu rozmytego w porównaniu do modelu liniowego, jego dokładność wciąż nie jet wytarczająca. Przejścia pomiędzy niektórymi obzarami powodują duże błędy w ozacowaniu wartości ph (pojawiające ię zpilki ). Dotrajanie poprzedników reguł poprawiło działanie modelu - po trzykrotnym poprawianiu parametrów kolejnych funkcji przynależności błąd modelu zmalalał o ok. 40% (ry. 43). Niedokładność modelu była jednak zbyt duża by mógł zotać on prawnie wykorzytany w algorytmie FDMC-NPL 85

86 (a) Sygnał wyjściowy modelu i proceu (b) Znormalizowane funkcje przynależności Ry. 43. Podział dziedziny proceu na zbiory rozmyte i dopaowanie modelu rozmytego z 5 modelami lokalnymi po dotrojeniu parametrów funkcji przynależności; J = 289,7833 Ze względu na niewielką poprawę jaką dawały dalze próby optymalizacji parametrów funkcji przynależności, podjęto decyzję o dokonaniu podziału wartości ph na 6 zbiorów rozmytych. Środki obzarów w wyniku nowego podziału zotały umiejcowione w natępujących punktach: P 6 1: P 6 2: P 6 3: P 6 4: P 6 5: P 6 6: Q 1 = 19,01 ml, Q 1 = 18,38 ml, Q 1 = 17,31 ml, Q 1 = 16,35 ml, Q 1 = 16,01 ml, Q 1 = 15,31 ml, Q 3 = 13,18 ml, h = 14,00 cm, ph = 4,68; Q 3 = 13,81 ml, h = 14,00 cm, ph = 5,76; Q 3 = 14,88 ml, h = 14,00 cm, ph = 6,49; Q 3 = 15,84 ml, h = 14,00 cm, ph = 7,35; Q 3 = 16,17 ml, h = 13,99 cm, ph = 8,65; Q 3 = 16,88 ml, h = 14,00 cm, ph = 9,63 86

87 (a) Sygnał wyjściowy modelu i proceu (b) Znormalizowane funkcje przynależności Ry. 44. Podział dziedziny proceu na zbiory rozmyte i dopaowanie modelu rozmytego z 6 modelami lokalnymi; J = 259,9898 Po podziale na 6 obzarów rozmytych jakość modelu polepzyła ię. Poprzedniki reguł były dalej dotrajane i po każdej poprawie parametrów prawdzany był zarówno wkaźnik jakości dla danych tetowych, jak i kztałt funkcji przynależności po dotrojeniu. Jeżeli ich kztałt był zbyt ilnie zdegenerowany wynik również był odrzucany. Niepożądane było zwłazcza zbyt duże rozzerzanie funkcji przynależności, przez co przenikały one przez wiele obzarów. Wkaźnik jakości wciąż wtedy malał, lecz późniejze wykorzytanie takiego modelu w regulatorach powodowało, że kompenacja zakłóceń z uwzględnieniem ich pomiaru tanowczo ię pogarzała. Model zakłócenia, czyli odpowiedź obiektu na kokową zmianę dopływu roztworu buforowego, znacząco różni ię dla różnych obzarów rozmytych i zotanie to pokazane w rozdziale Przenikanie funkcji przynależności przez dużą liczbę obzarów było więc niepożądane, ponieważ prowadziło do uzykania złego modelu zakłóceń w regulatorze. 87