Wnioskowanie rozmyte. Krzysztof Patan

Transkrypt

1 Wnioskowanie rozmyte Krzysztof Patan

2 Wprowadzenie Informacja precyzyjna jest to jedyna postać informacji akceptowanej przez konwencjonalne metody matematyczne, najczęściej dostarczana jest przez precyzyjne urządzenia pomiarowe za pomocą wartości liczbowych Przykład: prędkość samochodu wynosi v = 110km/h Informacja nieprecyzyjna jest informacją zgrubną, przybliżoną, często przekazywaną przy pomocy określeń lingwistycznych. Przykładowym źródłem informacji nieprecyzyjnej może być człowiek, formułujący subiektywne oraz nieprecyzyjne oceny opisywanych zjawisk, określeniami znanymi z języka potocznego Przykład: prędkość samochodu jest duża

3 Wprowadzenie Informacja precyzyjna jest to jedyna postać informacji akceptowanej przez konwencjonalne metody matematyczne, najczęściej dostarczana jest przez precyzyjne urządzenia pomiarowe za pomocą wartości liczbowych Przykład: prędkość samochodu wynosi v = 110km/h Informacja nieprecyzyjna jest informacją zgrubną, przybliżoną, często przekazywaną przy pomocy określeń lingwistycznych. Przykładowym źródłem informacji nieprecyzyjnej może być człowiek, formułujący subiektywne oraz nieprecyzyjne oceny opisywanych zjawisk, określeniami znanymi z języka potocznego Przykład: prędkość samochodu jest duża

4 Pojęcie ziarnistości informacji o skończonej szerokości wprowadził do nauki Lofti Zadeh w 1965 roku w artykule zatytułowanym Fuzzy Sets, w którym podał ideę i pierwsze pojęcie teorii, która umożliwiła rozmyty opis systemów rzeczywistych Dział matematyki operujący informacją rozmytą nazywany został teorią zbiorów rozmytych, a najważniejszym jej elementem jest logika rozmyta

5 Stopień ziarnistości vs rozwiązywanie rzeczywistych problemów Badania psychologiczne wykazały, że przeciętnie uzdolniony człowiek stosuje przy opisie zjawisk go otaczających od 5 do 9 ziaren informacji dla każdej zmiennej Taka ziarnistość okazuje się zupełnie wystarczająca do sterowania samolotów, samochodów, wielu innych obiektów i rozwiązywanie tysięcy codziennych problemów Technika komputerowa umożliwia stosowanie praktycznie dowolnej ziarnistości informacji można z jej pomocą uzyskiwać modele rzeczywistości o znacznie wyższej dokładności niż w przypadku człowieka Doświadczenie z modelowaniem systemów rzeczywistych wykazuje, że osiągnięcie pewnego progu dokładności nie jest możliwe i dlatego nie należy do tego dążyć za wszelką cenę Przyczyną takiego stanu rzeczy są następujące zjawiska: istnienie chaosu liczba możliwych rozwiązań brak możliwości pomiaru pewnych sygnałów w rzeczywistym systemie

6 Podstawowe pojęcia Zmienna lingwistyczna Zmienną lingwistyczną jest to wielkość wejściowa lub wyjściowa, którą zamierzamy ocenić stosując oceny lingwistyczne, zwane wartościami lingwistycznymi Przykład: prędkość samochodu, temperatura, napięcie Wartość lingwistyczna Wartość lingwistyczna jest słowną oceną wielkości lingwistycznej Przykład: bardzo duży ujemny, średni ujemny, średni dodatni, bardzo duży, stary, młody, brzydki, prawdziwy, nieprawdziwy Wartości lingwistyczne występują w modelach wraz ze zmiennymi lingwistycznymi których dotyczą Przykład: wysokie cieśninie powietrza, silny strumień wody. Przestrzeń lingwistyczna zmiennej Przestrzeń lingwistyczna zmiennej jest zbiorem wszystkich wartości lingwistycznych stosowanych do oceny danej zmiennej lingwistycznej

7 Podstawowe pojęcia Zmienna lingwistyczna Zmienną lingwistyczną jest to wielkość wejściowa lub wyjściowa, którą zamierzamy ocenić stosując oceny lingwistyczne, zwane wartościami lingwistycznymi Przykład: prędkość samochodu, temperatura, napięcie Wartość lingwistyczna Wartość lingwistyczna jest słowną oceną wielkości lingwistycznej Przykład: bardzo duży ujemny, średni ujemny, średni dodatni, bardzo duży, stary, młody, brzydki, prawdziwy, nieprawdziwy Wartości lingwistyczne występują w modelach wraz ze zmiennymi lingwistycznymi których dotyczą Przykład: wysokie cieśninie powietrza, silny strumień wody. Przestrzeń lingwistyczna zmiennej Przestrzeń lingwistyczna zmiennej jest zbiorem wszystkich wartości lingwistycznych stosowanych do oceny danej zmiennej lingwistycznej

8 Podstawowe pojęcia Zmienna lingwistyczna Zmienną lingwistyczną jest to wielkość wejściowa lub wyjściowa, którą zamierzamy ocenić stosując oceny lingwistyczne, zwane wartościami lingwistycznymi Przykład: prędkość samochodu, temperatura, napięcie Wartość lingwistyczna Wartość lingwistyczna jest słowną oceną wielkości lingwistycznej Przykład: bardzo duży ujemny, średni ujemny, średni dodatni, bardzo duży, stary, młody, brzydki, prawdziwy, nieprawdziwy Wartości lingwistyczne występują w modelach wraz ze zmiennymi lingwistycznymi których dotyczą Przykład: wysokie cieśninie powietrza, silny strumień wody. Przestrzeń lingwistyczna zmiennej Przestrzeń lingwistyczna zmiennej jest zbiorem wszystkich wartości lingwistycznych stosowanych do oceny danej zmiennej lingwistycznej

9 Teoria zbiorów rozmytych Zbiór rozmyty Podzbiór rozmyty jest uogólnieniem zbioru zwykłego lub nierozmytego Definicja Niech A będzie rozmytym podzbiorem przestrzeni X: µ A : X [0, 1] A = µ A(x 1 ) x 1 + µ A(x 2 ) x µ A(x n ) x n A = n i=1 µ A (x i ) x i

10 Operacja rozmywania Rozmywanie to operacja przekształcenia wielkości liczbowej w zmienną lingwistyczną Do rozmywania stosuje się funkcje przynależności x DD A=DU µ A (x) = 1

11 Gaussowska funkcja przynależności y ( ( ) ) x c 2 y = exp d gdzie c centrum, d rozpiętość x

12 Trójkątna funkcja przynależności 1.5 y dla x < b x b dla b x a y = a b c x dla a < x c a b 0 dla x > c x gdzie a, b, c punkty umiejscowienia wierzchołków trójkąta

13 Trapezoidalna funkcja przynależności y dla x < a x a dla a x < b b a y = 1 dla b x c d x dla c < x d d c 0 dla x > d x gdzie a, b, c, d punkty umiejscowienia wierzchołków trapeza

14 Wnioskowanie

15 Implikacja klasyczna Implikacja jest pewnym rodzajem relacji mającym postać reguły stosowanej we wnioskowaniu. Implikacja klasyczna ma postać: jezeli P to Q gdzie P to zdanie zwane przesłanką (poprzednikiem), a Q to zdanie zwane konkluzją (następnikiem) Implikacja rozmyta Rozmyta implikacja A B jest równoważna pewnej relacji rozmytej R X Y o funkcji przynależności µ R (x, y) Implikację rozmytą można zapisać za pomocą nastepującej reguły rozmytej: jezeli x jest A to y jest B gdzie x, y to zmienne lingwistyczne, A, B zbiory rozmyte

16 Implikacja klasyczna Implikacja jest pewnym rodzajem relacji mającym postać reguły stosowanej we wnioskowaniu. Implikacja klasyczna ma postać: jezeli P to Q gdzie P to zdanie zwane przesłanką (poprzednikiem), a Q to zdanie zwane konkluzją (następnikiem) Implikacja rozmyta Rozmyta implikacja A B jest równoważna pewnej relacji rozmytej R X Y o funkcji przynależności µ R (x, y) Implikację rozmytą można zapisać za pomocą nastepującej reguły rozmytej: jezeli x jest A to y jest B gdzie x, y to zmienne lingwistyczne, A, B zbiory rozmyte

17 Regułowe systemy rozmyte Rozmyte modele lingwistyczne przesłanki oraz konkluzje zdefiniowane są za pomocą zbiorów rozmytych. Szczególnym przypadkiem tych systemów są układy singletonowe, które definiują konkluzje za pomocą zbiorów rozmytych typu singleton Rozmyte modele relacyjne mogą być traktowane jako uogólnione modele lingwistyczne. W niniejszym podejściu pojedyncza przesłanka może być skojarzona z wieloma różnymi konkluzjami poprzez rozmytą relację. Rozmyte modele typu Takagi-Sugeno przesłanki identyczne jak poprzednie modele, a konkluzje są nie rozmytymi funkcjami zmiennych zawartych w przesłankach.

18 Wnioskowanie w modelu lingwistycznym Wnioskowanie polega na wyznaczeniu wynikowego zbioru rozmytego na podstawie danych wejść oraz reguły rozmytej. Mechanizm wnioskowania w modelu lingwistycznym opiera się na kompozycyjnej regule wnioskowania zaproponowanej przez Zadeha Każda reguła traktowana jest jako relacja rozmyta: gdzie I jest operatorem implikacji Najczęściejx stosowane implikacje implikacja Mamdaniego implikacja Larsena µ R (x, y) = I(µ A (x), µ B (y)) I(µ A (x), µ B (y)) = min(µ A (x), µ B (y)) I(µ A (x), µ B (y)) = µ A (x) µ B (y))

19 Wnioskowanie w modelu lingwistycznym Wnioskowanie polega na wyznaczeniu wynikowego zbioru rozmytego na podstawie danych wejść oraz reguły rozmytej. Mechanizm wnioskowania w modelu lingwistycznym opiera się na kompozycyjnej regule wnioskowania zaproponowanej przez Zadeha Każda reguła traktowana jest jako relacja rozmyta: gdzie I jest operatorem implikacji Najczęściejx stosowane implikacje implikacja Mamdaniego implikacja Larsena µ R (x, y) = I(µ A (x), µ B (y)) I(µ A (x), µ B (y)) = min(µ A (x), µ B (y)) I(µ A (x), µ B (y)) = µ A (x) µ B (y))

20 Agregacja reguł W ogólnym przypadku system rozmyty skład się z wielu reguł i każda z nich może generować wyniki Należy dokonać kombinacji wszystkich dostępnych wyników w celu wygenerowania pojedynczej odpowiedzi systemu rozmytego Taką operację nazywa się agregacją relacji m R = Stopień zapłonu reguły dla wejścia rozmytego i=1 R i τ i = P (B i A) = x [B i (x) A(x)] dla wejścia w postaci deterministycznej τ i = P (B i A) = B i (x )

21 Agregacja reguł W ogólnym przypadku system rozmyty skład się z wielu reguł i każda z nich może generować wyniki Należy dokonać kombinacji wszystkich dostępnych wyników w celu wygenerowania pojedynczej odpowiedzi systemu rozmytego Taką operację nazywa się agregacją relacji m R = Stopień zapłonu reguły dla wejścia rozmytego i=1 R i τ i = P (B i A) = x [B i (x) A(x)] dla wejścia w postaci deterministycznej τ i = P (B i A) = B i (x )

22 Przykład odpalenia i agregacji reguł przypadek wejścia rozmytego

23 Wyostrzanie Wyostrzanie to wybór właściwego elementu na podstawie rozmytego zbioru wyjściowego W praktyce wymagane jest, aby wynikiem działania systemu rozmytego była wartość precyzyjna Operacja wyostrzania przekształca zbiór rozmyty w pojedynczą wartość numeryczną Metody wyostrzania: metoda środka ciężkości, COG (ang. Center Of Gravity) metoda pierwszego maksimum, FOM (ang. First Of Maxima) metoda średniego maksimum, MOM (ang. Mean Of Maxima) metoda środka sum, COS (ang. Center of Sum) metoda wysokości, HM (ang. Height Method)

24 Najczęściej stosowane metody wyostrzania y COG = ni=1 y i µ(y i ) ni=1 µ(y i ) y MOM = 1 y i m y i G gdzie G zbiór wartości y osiągających wartość maksymalną

25 Przykład wyostrzania metodą COG

26 Baza reguł Blok wnioskowania wykorzystuje bazę reguł do wykonania zadania

27 Przykład rozmytej bazy reguł 1 JEŻELI e(k) jest DD I e(k) jest Z TO u(k) jest DD 2 JEŻELI e(k) jest SD I e(k) jest Z TO u(k) jest SD 3 JEŻELI e(k) jest MD I e(k) jest Z TO u(k) jest MD 4 JEŻELI e(k) jest MU I e(k) jest Z TO u(k) jest MU 5 JEŻELI e(k) jest SU I e(k) jest Z TO u(k) jest SU 6 JEŻELI e(k) jest DU I e(k) jest Z TO u(k) jest DU 7 JEŻELI e(k) jest Z I e(k) jest Z TO u(k) jest Z 8 JEŻELI e(k) jest Z I e(k) jest DD TO u(k) jest DD 9 JEŻELI e(k) jest Z I e(k) jest SD TO u(k) jest SD 10 JEŻELI e(k) jest Z I e(k) jest MD TO u(k) jest MD 11 JEŻELI e(k) jest Z I e(k) jest MU TO u(k) jest MU 12 JEŻELI e(k) jest Z I e(k) jest SU TO u(k) jest SU 13 JEŻELI e(k) jest Z I e(k) jest DU TO u(k) jest DU

28 Realizacja rozmytego regulatora Regulator rozmyty Fuzzy Logic Controller, FLC Nie używa się modelu procesu sterowanego (proces jest trudny do modelowania, proces modelowania jest zbyt kosztowny) Doświadczony operator potrafi, pomimo braku modelu sterowanego procesu, dobrze nim sterować Wiedza ekspertów lub operatorów danego procesu może być tylko wyrażona w postaci werbalnej, a nie w postaci dokładnej (np. numerycznej) Nie optymalizuje sie funkcji jakości sterowania

29 Prawo sterowania konwencjonalnego u(k) = F (e(k), e(k 1),..., e(k r), u(k 1), u(k 2),..., u(k s)) gdzie F oznacza funkcję w ogólności nieliniową W rzeczywistych regulatorach sens fizyczny maja reprezentacje 1 uchyb sterowania e(k) = y r (k) y(k) 2 zmiana uchybu sterowania e(k) = e(k) e(k 1) 3 suma uchybów sterowania k l=0 e(l) 4 sterowanie u(k) 5 zmiana sterowania u(k) = u(k) u(k 1)

30 Rozmyty regulator PI Prawo sterowania u(k) = F (e(k), e(k)) gdzie F oznacza prawo sterowania definiowane poprzez bazę wiedzy Aktualną wartość sterowania uzyskuje sie jako u(k) = u(k 1) + u(k) Prawo sterowania opisuje zależność pomiędzy zmienną sterowania u(k) i uchybem e(k) oraz jego zmianą e(k) Zmienne wejściowe regulatora e(k), e(k), zmienna wyjściowa u(k)

31 Przykład bazy reguł rozmytego regulatora PI 1 JEŻELI e(k) jest dodatni I e(k) jest prawie zero TO u(k) jest dodatni, 2 JEŻELI e(k) jest ujemny I e(k) jest prawie zero TO u(k) jest ujemny, 3 JEŻELI e(k) jest prawie zero I e(k) jest prawie zero TO u(k) jest prawie zero, 4 JEŻELI e(k) jest prawie zero I e(k) jest dodatni TO u(k) jest dodatni, 5 JEŻELI e(k) jest prawie zero I e(k) jest ujemny TO u(k) jest ujemny.

32 Schemat blokowy regulatora Rozmywanie Baza reguł

33 Rozmyty regulator PD Prawo sterowania u(k) = F (e(k), e(k)) gdzie F oznacza prawo sterowania definiowane poprzez bazę wiedzy Prawo sterowania opisuje zależność pomiędzy zmienną sterowania u(k) i uchybem e(k) oraz jego zmianą e(k) Zmienne wejściowe regulatora e(k), e(k), zmienna wyjściowa u(k) Przykład reguły: JEŻELI e(k) jest dodatnie e(k) jest prawie zero TO u(k) jest dodatnie

34 Rozmyty regulator PD Prawo sterowania u(k) = F (e(k), e(k)) gdzie F oznacza prawo sterowania definiowane poprzez bazę wiedzy Prawo sterowania opisuje zależność pomiędzy zmienną sterowania u(k) i uchybem e(k) oraz jego zmianą e(k) Zmienne wejściowe regulatora e(k), e(k), zmienna wyjściowa u(k) Przykład reguły: JEŻELI e(k) jest dodatnie e(k) jest prawie zero TO u(k) jest dodatnie

35 Rozmyty regulator PID Prawo sterowania można wyznaczyć stosując sumy uchybów jako dodatkową zmienną wejściową k e(k) = e(l 1) Postać prawa sterowania l=0 u(k) = F (e(k), e(k), e(k)) gdzie F oznacza prawo sterowania definiowane poprzez bazę wiedzy Prawo sterowania opisuje zależność pomiędzy zmienną sterowania u(k) i uchybem e(k) oraz jego zmianą e(k) oraz sumą uchybów e(k) Zmienne wejściowe regulatora e(k), e(k), e(k) zmienna wyjściowa u(k) Przykład reguły: JEŻELI e(k) jest prawie zero I e(k) jest dodatnie I e(k) jest dodatnie TO u(k) jest dodatnie

36 Rozmyty regulator PID Prawo sterowania można wyznaczyć stosując sumy uchybów jako dodatkową zmienną wejściową k e(k) = e(l 1) Postać prawa sterowania l=0 u(k) = F (e(k), e(k), e(k)) gdzie F oznacza prawo sterowania definiowane poprzez bazę wiedzy Prawo sterowania opisuje zależność pomiędzy zmienną sterowania u(k) i uchybem e(k) oraz jego zmianą e(k) oraz sumą uchybów e(k) Zmienne wejściowe regulatora e(k), e(k), e(k) zmienna wyjściowa u(k) Przykład reguły: JEŻELI e(k) jest prawie zero I e(k) jest dodatnie I e(k) jest dodatnie TO u(k) jest dodatnie

37 Regulator PI nastawy MacVicarda-Whelana Założenia: zmienne e(k) i u(k) są znormalizowane do przestrzeni [ 1, 1] Baza reguł MacVicarda-Whelana e(k) e(k) -L -M -S -Z +Z +S +M +L -L -L -L -L -L -L -M -S -Z -M -L -L -M -M -M -S -Z +S -S -L -M -S -S -S -Z +S +M -Z -L -M -S -Z +Z +S +M +L +Z -L -M -S -Z +Z +S +M +L +S -M -S +Z +S +S +S +M +L +M -S +Z +S +M +M +M +L +L +L +Z +S +M +L +L +L +L +L