POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy"

Transkrypt

1 POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji wzglȩdem x - zak lada siȩ, że punkt przesuwa siȩ tylko po prostej równoleg lej do osi x. Określimy teraz pojȩcie prȩdkości zmiany lub pochodnej funkcji w dowolnie zadanym kierunku. Niech funkcja f(m) bȩdzie określona w pewnym obszarze otwartym. Rozpatrzmy dowolny punkt M 0 = (x 0, y 0, z 0 ) tego obszaru i dowoln a prost a skierowan a (oś) l przechodz ac a przez ten punkt. Niech M = (x, y, z) oznacza dowolny punkt tej osi a M 0 M - d lugość odcinka miȩdzy M 0 i M wziȩt a ze znakiem plus, gdy zwrot M 0 M pokrywa siȩ ze znakiem osi l i ze znakiem minus w przeciwnym przypadku. Niech M zbliża siȩ do M 0. DEFINICJA Jeśli istnieje granica f(m) f(m 0 ) lim M M 0 M 0 M to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy j a f l (M 0) Pochodna ta określa prȩdkość zmiany funkcji w punkcie M 0 w kierunku l. W szczególności zwyk le pochodne cz astkowe też można rozpatrywać jako pochodne kierunkowe. Za lóżmy, że funkcja f(x, y, z) ma w rozpatrywanym obszarze ci ag le pochodne cz astkowe. Niech oś l tworzy z osiami wspó lrzȩdnych k aty α, β, γ. Pokażemy, że Oznaczmy M 0 M = t, wtedy f l (x 0, y 0, z 0 ) = f f f cos α + cos β + x y z cos γ x x 0 = t cos α, y y 0 = t cos β, z z 0 = t cos γ 1

2 Tak wiȩc wspó lrzȩdne x, y, z wzd luż osi l można rozpatrywać jako funkcje zmiennej t: x = x 0 + t cos α, y = y 0 + t cos β, z = z 0 + t cos γ a funkcjȩ f(m) = f(x, y, z) - jako funkcjȩ z lożon a ϕ(t) zmiennej t. Przy tych oznaczeniach punktowi M 0 odpowiada wartość t równa zero. Otrzymujemy wiȩc f l (M f(m) f(m 0 ) 0) = lim M M 0 M 0 M = lim t 0 ϕ(t) ϕ(0) t = ϕ (0) jeśli tylko istnieje pochodna ϕ (0). Pochodna ϕ (t) istnieje przy przyjȩtych za lożeniach i wyraża siȩ wzorem ϕ (t) = f x dx dt + f y dy dt + f z dz dt Korzystaj ac z wzorów na wspó lrzȩdne x, y, z otrzymamy sk ad wynika nasz wzór. ϕ (t) = f f f cos α + cos β + x y z cos γ Sprawdzimy teraz w jakim kierunku w danym punkcie funkcja bȩdzie ros la najszybciej. Zak ladamy, że pochodne a = f(x 0, y 0, z 0 ) x, b = f(x 0, y 0, z 0 ), c = f(x 0, y 0, z 0 ) y z nie równaj a siȩ jednocześnie zeru; w przeciwnym razie pochodna w dowolnym kierunku by laby równa zeru. Jeśli przekszta lcimy wyrażenie f f f cos α + cos β + cos γ = a cos α + b cos β + c cos γ = x y z = ( a a 2 + b 2 + c 2 a2 + b 2 + c cos α + 2 b a2 + b 2 + c 2 cos β + ) c a2 + b 2 + c cos γ 2 2

3 to u lamki w nawiasach można traktować jako cosinusy kierunkowe pewnego kierunku g: a b = cos λ, a2 + b 2 + c2 c = cos µ, a2 + b 2 + c2 a2 + b 2 + c 2 = cos ν Otrzymamy wiȩc a2 + b 2 + c 2 (cos λ cos α + cos µ cos β + cos ν cos γ) i jeśli oznaczymy przez (g, l) k at miȩdzy kierunkami g i l, to na mocy wzoru z geometrii analitycznej dostajemy f l = a 2 + b 2 + c 2 cos(g, l) Tak wiȩc, jeśli l pokrywa siȩ z g, to pochodna ta osi agnie najwiȩksz a wartość ( f f g = ) 2 ( ) 2 ( ) 2 f f a 2 + b 2 + c 2 = + + x y z Wektor g = [ f x, f y, f ] z nazywa siȩ gradientem funkcji f(x, y, z). Wskazuje on kierunek najszybszego wzrostu funkcji, a jego d lugość g daje wielkość odpowiedniej pochodnej. POCHODNE I RÓŻNICZKI WYŻSZYCH RZȨDÓW Jeśli funkcja u = f(x, y, z) ma w pewnym obszarze otwartym D pochodn a cz astkow a wzglȩdem jednej ze zmiennych, to pochodna ta, bȩd ac też funkcj a zmiennych x, y, z, może mieć w pewnym punkcie (x 0, y 0, z 0 ) pochodne cz astkowe wzglȩdem tej samej lub dowolnej innej zmiennej. Dla funkcji u s a to pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu, które oznaczamy 2 u x 2, 2 u x y... lub odpowiednio u xx, u xy... Analogicznie definiujemy pochodne rzȩdu trzeciego i wyższych. Pochodna cz astkowa rzȩdu co najmniej drugiego wzglȩdem różnych zmiennych nazywa siȩ pochodn a cz astkow a mieszan a. 3

4 Mieszane pochodne cz astkowe tego samego rzȩdu różni ace siȩ tylko kolejności a różniczkowania s a sobie równe dla dość szerokiej klasy funkcji np. dla funkcji spe lniaj acych warunki określone w nastȩpuj acym twierdzeniu. TWIERDZENIE Za lóżmy, że funkcja f(x, y) określona w obszarze otwartym D ma w nim pochodne pierwszego rzȩdu f x i f y i pochodne mieszane drugiego rzȩdu f xy i f yx, które dodatkowo s a ci ag le w pewnym punkcie (x 0, y 0 ) obszaru D. Wtedy w tym punkcie xy(x 0, y 0 ) = yx(x 0, y 0 ) DOWÓD Rozpatrzmy wyrażenie W = f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 + k) + f(x 0, y 0 ) hk gdzie h, k s a różne od zera, np. dodatnie i ma le na tyle, aby prostok at [x 0, x 0 + h] [y 0, y 0 + k] by l zawarty w D. Wprowadźmy teraz funkcjȩ pomocnicz a zmiennej x ϕ(x) = f(x, y 0 + k) f(x, y 0 ) k która na mocy za lożeń twierdzenia ma w przedziale [x 0, x 0 + h] pochodn a ϕ (x) = f x(x, y 0 + k) f x(x, y 0 ) k a zatem jest ci ag la. Wyrażenie W W = 1 [ f(x0 + h, y 0 + k) f(x 0 + h, y 0 ) h k można zapisać za pomoc a tej funkcji w postaci W = ϕ(x 0 + h) ϕ(x 0 ) h f(x ] 0, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) k 4

5 Dla funkcji ϕ(x) w przedziale [x 0, x 0 + h] spe lnione s a za lożenia twierdzenia Lagrange a, st ad W = ϕ (x 0 + θh) = f x(x 0 + θh, y 0 + k) f x(x 0 + θh, y 0 ) h 0 < θ < 1 Korzystaj ac z istnienia drugiej pochodnej yx(x, y) stosujemy teraz wzór Lagrange a do funkcji f x(x 0 + θh, y) zmiennej y w przedziale [y 0, y 0 + k] otrzymuj ac W = yx(x 0 + θh, y 0 + θ 1 k) 0 < θ, θ 1 < 1 Teraz możemy zamienić rolami zmienne x i y oraz h i k, wprowadzić now a funkcjȩ pomocnicz a ψ(y) = f(x 0 + h, y) f(x 0, y) h i analogicznie jak poprzednio dostaniemy W = xy(x 0 + θ 2 h, y 0 + θ 3 k) 0 < θ 2, θ 3 < 1 Z powyższych równości na W otrzymujemy yx(x 0 + θh, y 0 + θ 1 k) = xy(x 0 + θ 2 h, y 0 + θ 3 k) Przejście do granicy przy h i k d aż acych do zera daje xy(x 0, y 0 ) = yx(x 0, y 0 ) ponieważ θ, θ i, i = 1, 2, 3 s a ograniczone. Tak wiȩc pochodne mieszane f xy i f yx s a zawsze równe. TWIERDZENIE (o pochodnych cz astkowych funkcji z lożonej) Jeśli f(x 1,..., x n ) jest funkcj a klasy C 1 w pewnym obszarze D R n, x i = x i (u 1,... u m ), i = 1,..., n maj a pochodne cz astkowe pierwszego rzȩdu w D 1 R m oraz (x 1 (u 1,..., u m ),..., x n (u 1,..., u m )) D dla (u 1,..., u m ) D 1, to funkcja z lożona m-zmiennych F (u 1,..., u m ) = f[x 1 (u 1,..., u m ),..., x n (u 1,... u m )] ma pochodne cz astkowe pierwszego rzȩdu w każdym punkcie D zadane wzorem F u j = f x 1 x 1 u j f x n x n u j 5 j = 1,..., m

6 Analogicznie wyprowadzamy pochodne wyższych rzȩdów; dla przyk ladu wyprowadzimy je dla m = n = 2, tzn. = = u ( 2 f x 2 x u + 2 f y x y = 2 f x 2 Analogicznie ( x u F (u, v) = f[x(u, v), y(u, v)] 2 F u = ( ) F = ( f 2 u u u x x u + f y y ) = u ( ) f x x u + f x 2 x u + ( ) f y 2 u y u + f y 2 y u = 2 ) x ( u u + f x 2 x 2 u + f 2 x y x u + 2 f y y 2 u ) f y x x u y ( u + 2 f y y 2 u ) y u + f y 2 y u 2 = ) 2 + f x 2 x u 2 + f y 2 y u 2 2 F v 2 = 2 f x 2 ( ) 2 x f v y x x v y v + 2 f y 2 ( ) 2 y + f v x 2 x v + f 2 y 2 y v 2 Analogicznie 2 F u v = 2 f x x x 2 v u + 2 f y x x y v u + y x x 2 f y f y u y v u + 2 y 2 v + f x 2 x u v + f y 2 y u v WZÓR TAYLORA Dla uproszczenia wypiszemy jedynie pocz atkowe sk ladniki wzoru Taylora dla funkcji dwóch zmiennych f(x, y) w otoczeniu punktu (x 0, y 0 ): f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) = = [f x(x 0, y 0 ) x + f y(x 0, y 0 ) y]+ + 1 [f x 2! 2(x 0, y 0 ) x 2 + 2f xy(x 0, y 0 ) x y + y 2(x 0, y 0 ) y 2 ]+ + 1 [f x 3! 3(x 0, y 0 ) x 3 +3 x 2 y (x 0, y 0 ) x 2 y +3 xy 2(x 0, y 0 ) x y 2 + y 3(x 0, y 0 ) y 3 ]+... 6

7 EKSTREMA, WARTOŚCI NAJWIȨKSZE I NAJMNIEJSZE WARUNKI KONIECZNE Niech funkcja u = f(x 1,..., x n ) bȩdzie określona w obszarze D i niech (x 0 1,..., x 0 n) bȩdzie punktem wewnȩtrznym tego obszaru. DEFINICJA Mówimy, że funkcja f(x 1,..., x n ) ma w punkcie (x 0 1,..., x 0 n) maksimum (minimum) lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu, że dla wszystkich punktów tego otoczenia spe lniona jest nierówność f(x 1,..., x n ) f(x 0 1,..., x 0 n) (f(x 1,..., x n ) f(x 0 1,..., x 0 n)) Jeśli to otoczenie można dobrać tak, aby z wyj atkiem punktu (x 0 1,..., x 0 n), by la spe lniona nierówność f(x 1,..., x n ) < f(x 0 1,..., x 0 n) (f(x 1,..., x n ) > f(x 0 1,..., x 0 n)) to mówimy, że w (x 0 1,..., x 0 n) jest maksimum (minimum) w laściwe; w przeciwnym przypadku jest ono niew laściwe. Maksima i minima nazywamy też ekstremami. TWIERDZENIE Za lóżmy, że funkcja f(x 1,..., x n ) ma w punkcie (x 0 1,..., x 0 n) ekstremum. Jeśli w tym punkcie istniej a skończone pochodne cz astkowe f x 1 (x 0 1,..., x 0 n),..., f x n (x 0 1,..., x 0 n) to musz a one być wszystkie równe zeru, tzn. znikanie pochodnych cz astkowych pierwszego rzȩdu jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum. DOWÓD Przyjmijmy, że x 2 = x 0 2,..., x n = x 0 n, a x 1 pozostawmy zmienne. Otrzymujemy w ten sposób funkcjȩ jednej zmiennej x 1 : u = f(x 1, x 0 2,..., x 0 n) Ponieważ za lożyliśmy, że w punkcie (x 0 1,..., x 0 n) istnieje ekstremum (np. maksimum), to wynika st ad, że w pewnym otoczeniu punktu x 1 = x 0 1 musi być spe lniona nierówność f(x 1,..., x 0 n) f(x 0 1,..., x 0 n) 7

8 a wiȩc określona powyżej funkcja jednej zmiennej ma w punkcie x 1 = x 0 1 maksimum. St ad, na mocy twierdzenia Fermata wynika, że f x 1 (x 0 1,..., x 0 n) = 0 W ten sam sposób można pokazać, że również pozosta le pochodne cz astkowe s a równe zero w punkcie (x 0 1,..., x 0 n). Tak wiȩc ekstrema mog a być tylko w tych punktach, w których wszystkie pochodne cz astkowe rzȩdu pierwszego znikaj a. Wspó lrzȩdne tych punktów można znaleźć, rozwi azuj ac uk lad równań f x 1 (x 1,..., x n ) = 0 f x n (x 1,..., x n ) = 0 Tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej punkty te nazywamy punktami stacjonarnymi. UWAGA Gdy rozpatrywana funkcja ma skończone pochodne cz astkowe w ca lym obszarze, wtedy punktów w których funkcja ma ekstremum szukamy tylko wśród punktów stacjonarnych. Może siȩ również zdarzyć, gdy w oddzielnych punktach niektóre pochodne cz astkowe maj a wartości nieskończone lub nie istniej a, podczas, gdy pozosta le s a równe zeru. Punkty takie należy wraz z punktami stacjonarnymi zaliczyć do tych, które podejrzewamy o istnienie ekstemów; s a to tzw. punkty krytyczne. WARUNKI DOSTATECZNE ISTNIENIA dwóch zmiennych) EKSTREMÓW (przypadek funkcji Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, w punkcie stacjonarnym nie musi być ekstremum. Rozpatrzmy najpierw przypadek funkcji dwóch zmiennych f(x, y). Za lóżmy, że funkcja ta jest określona, ci ag la i ma ci ag le pochodne cz astkowe pierwszego i drugiego rzȩdu w otoczeniu pewnego punktu stacjonarnego (x 0, y 0 ). W punkcie tym mamy f x(x 0, y 0 ) = 0, f y(x 0, y 0 ) = 0 Aby ustalić, czy rzeczywiście funkcja ta ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum, rozpatrujemy przyrost f = f(x, y) f(x 0, y 0 ) 8

9 Rozwińmy tȩ różnicȩ wed lug wzoru Taylora ograniczaj ac siȩ do dwóch wyrazów. Ponieważ punkt (x 0, y 0 ) jest z za lożenia stacjonarny, pierwszy wyraz znika i otrzymujemy f = 1 [ f x 2! 2( x)2 + 2f xy x y + y 2( y)2] Przyrosty x, y s a różnicami x x 0, y y 0 a pochodne liczone s a w pewnym punkcie (x 0 + θ x, y 0 + θ y), 0 < θ < 1. Wprowadźmy oznaczenia oraz x 2(x 0, y 0 ) = a 11, xy(x 0, y 0 ) = a 12, y 2(x 0, y 0 ) = a 22 x (x θ x, y 0 + θ y) = a 11 + α 11 f xy(x 0 + θ x, y 0 + θ y) = a 12 + α 12 y (x θ x, y 0 + θ y) = a 22 + α 22 przy czym, wobec ci ag lości pochodnych drugiego rzȩdu, wszystkie α ij x 0 i y 0. Różnicȩ f możemy teraz zapisać w postaci f = 1 2 0, gdy { a11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 + α 11 x 2 + 2α 12 x y + α 22 y 2} Pokażemy, że zachowanie siȩ różnicy f zależy od znaku wyrażenia a 11 a 22 a Wprowadźmy wspó lrzȩdne biegunowe (wybieraj ac jako biegun punkt (x 0, y 0 ) i prowadz ac przez niego oś biegunow a równolegle do osi x). Niech ρ = x 2 + y 2 bȩdzie odleg lości a miȩdzy punktami (x 0, y 0 ) i (x, y), a ϕ niech oznacza k at utworzony przez l acz acy je odcinek z osi a biegunow a. Wówczas x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ Interesuj ac a nas różnicȩ możemy teraz zapisać w postaci f = 1 2 ρ2 { a 11 cos 2 ϕ + 2a 12 cos ϕ sin ϕ + a 22 sin 2 ϕ+ +α 11 cos 2 ϕ + 2α 12 cos ϕ sin ϕ + α 22 sin 2 ϕ } (I) Przypuśćmy, że a 11 a 22 a 2 12 > 0. Wtedy a 11 a 22 > 0, czyli a 11 0 i pierwszy trójmian w nawiasach {...} można przedstawić tak: 1 [ (a11 cos ϕ + a 12 sin ϕ) 2 + ( ) a 11 a 22 a 2 12 sin 2 ϕ ] a 11 9

10 Wyrażenie w nawiasach [...] jest zawsze dodatnie, czyli trójmian ten (nie bȩd ac dla żadnej wartości ϕ równy zeru) zachowuje znak wspó lczynnika a 11. Jego wartość bezwzglȩdna (jako funkcja ci ag la zmiennej ϕ w przedziale [0, 2π]) ma najmniejsz a wartość m dodatni a: a 11 cos 2 ϕ + 2a 12 cos ϕ sin ϕ + a 22 sin 2 ϕ m > 0 Z drugiej strony, wobec α ij 0 gdy x 0, y 0, drugi trójmian w nawiasach {...} jest α 11 cos 2 ϕ + 2α 12 cos ϕ sin ϕ + α 22 sin 2 ϕ α α 12 + α 22 < m dla wszystkich ϕ, jeśli tylko ρ jest dostatecznie ma le. Ale wtedy ca le wyrażenie w nawiasach {...}, a tym samym i różnica f, bȩdzie mia la ten sam znak, co pierwszy z trójmianów, to jest znak wspó lczynnika a 11. A wiȩc, jeśli a 11 > 0, to i f > 0 i tym samym funkcja w rozpatrywanym punkcie (x 0, y 0 ) ma minimum, zaś gdy a 11 < 0, to również f < 0 i jest maksimum. (II) Za lóżmy teraz, że a 11 a 22 a 2 12 < 0. Niech a 11 0; można wówczas znów zastosować przekszta lcenie jak w poprzednim przypadku 1 [ (a11 cos ϕ + a 12 sin ϕ) 2 + ( ) a 11 a 22 a 2 12 sin 2 ϕ ] a 11 Dla ϕ = ϕ 1 = 0 wyrażenie w nawiasach [...] jest dodatnie, bo sprowadza siȩ do a Natomiast dla ϕ = ϕ 2 wyznaczonego z warunku wyrażenie to sprowadza siȩ do a 11 cos ϕ 2 + a 12 sin ϕ 2 = 0 (sin ϕ 2 0) ( ) a11 a 22 a 2 12 sin 2 ϕ 2 a wiȩc jest ujemne. Dla dostatecznie ma lych ρ drugi trójmian w nawiasach {...} jest dowolnie ma ly zarówno dla ϕ = ϕ 1 jak i dla ϕ = ϕ 2 i znak f jest określony przez znak pierwszego trójmianu. Czyli dowolnie blisko rozpatrywanego punktu (x 0, y 0 ) na pó lprostych tworz acych z osi a x k aty ϕ = ϕ 1 i ϕ = ϕ 2 wartości przyrostu f maj a przeciwne znaki. W punkcie tym nie może wiȩc być ekstremum. 10

11 Jeśli a 11 = 0, to pierwszy trójmian w nawiasach {...} sprowadza siȩ do postaci 2a 12 cos ϕ sin ϕ + a 22 sin 2 ϕ = sin ϕ (2a 12 cos ϕ + a 22 sin ϕ) Korzystaj ac z tego, że musi być teraz a 12 0, można tak określić k at ϕ 1 0, aby a 22 sin ϕ 1 < 2 a 12 cos ϕ 1 Wtedy dla ϕ = ϕ 1 i ϕ = ϕ 2 = ϕ 1 trójmian ten bȩdzie mia l przeciwne znaki i dalsze rozumowanie jest takie samo jak poprzednie. Udowodniliśmy wiȩc nastȩpuj ace TWIERDZENIE Jeśli a 11 a 22 a 2 12 > 0 to w badanym punkcie stacjonarnym (x 0, y 0 ) funkcja f(x, y) ma ekstremum i jest to maksimum w laściwe gdy a 11 < 0 lub minimum w laściwe gdy a 11 > 0. Jeśli zaś a 11 a 22 a 2 12 < 0, to ekstremum nie ma. UWAGA W przypadku a 11 a 22 a 2 12 = 0 powyższe twierdzenie nie rozstrzyga zagadnienia istnienia ekstremum w badanym punkcie. Korzystamy wtedy bezpośrednio z definicji ekstremów. WARUNKI DOSTATECZNE ISTNIENIA EKSTREMÓW (przypadek ogólny) Niech funkcja f(x 1,..., x n ) bȩdzie określona i ci ag la i niech ma ci ag le pochodne pierwszego i drugiego rzȩdu w pewnym otoczeniu punktu stacjonarnego (x 0 1,..., x 0 n). Rozwijaj ac różnicȩ f = f(x 1,..., x n ) f(x 0 1,..., x 0 n) wed lug wzoru Taylora otrzymujemy, tak jak poprzednio f = 1 { } x 2 2 x x 2 x2 n n + 2f x 1 x 2 x 1 x f x n 1 x n x n 1 x n = = 1 2 n i,k=1 x i x k x i x k 11

12 Tutaj x i = x i x 0 i a wszystkie pochodne liczone s a w pewnym punkcie Wprowadźmy oznaczenia (x θ x 1,..., x 0 n + θ x n ) (0 < θ < 1) x i x k (x 0 1,..., x 0 n) = a ik i, k = 1,..., n oraz x i x k (x θ x 1,..., x 0 n + θ x n ) = a ik + α ik przy czym α ik 0, gdy x 1 0,..., x n 0. i, k = 1,..., n Teraz interesuj ace nas wyrażenie f można zapisać w postaci { n } f = 1 n a ik x i x k + α ik x i x k 2 i,k=1 Pierwszym sk ladnikiem w nawiasie jest tzw. forma kwadratowa zmiennych x 1,..., x n. Okazuje siȩ, że od w lasności tej formy kwadratowej zależy rozwi azanie interesuj acego nas zagadnienia. UWAGA 1 W algebrze formȩ kwadratow a i,k=1 n a ik y i y k (a ik = a ki ) i,k=1 zmiennych y 1,..., y n nazywamy określon a dodatnio (ujemnie), jeśli przybiera ona wartości dodatnie (ujemne) dla wszystkich wartości argumentów nie równych jednocześnie zeru. UWAGA 2 (Sylvester) Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to aby forma n a ik y i y k i,k=1 by la określona dodatnio jest ci ag nierówności a 11 > 0, a 11 a 12 a 21 a 22 > 0,..., 12

13 a a 1n a n1... a nn > 0 Forma określona ujemnie scharakteryzowana jest ci agiem nierówności, który powstaje z powyższego przez zmianȩ znaku > na < w nierówności pierwszej, trzeciej, pi atej, itd. Formȩ kwadratow a nazywamy nieokreślon a, jeśli może ona przybierać wartości różnych znaków. Pos luguj ac siȩ tymi pojȩciami sformu lujemy warunek dostateczny istnienia ekstremum w przypadku funkcji dowolnej liczby zmiennych. TWIERDZENIE Jeśli forma kwadratowa n a ik x i x k i,k=1 jest określona dodatnio (ujemnie), to w badanym punkcie (x 0 1,..., x 0 n) jest minimum (maksimum) w laściwe. Jeśli natomiast powyższa forma kwadratowa jest nieokreślona, to w tym punkcie funkcja nie ma ekstremum. UWAGA Dla funkcji f(x) jednej zmiennej powyższa forma sprowadza siȩ do jednego wyrazu (x 0 ) x 2 gdzie x 0 jest badanym punktem. Ta forma jest określona dodatnio, gdy (x 0 ) > 0 i jest określona ujemnie, gdy (x 0 ) < 0 i tym samym warunek wystarczaj acy istnienia ekstremum dla funkcji jednej zmiennej jest szczególnym przypadkiem powyższego kryterium. NAJWIȨKSZE I NAJMNIEJSZE WARTOŚCI FUNKCJI Niech u = f(x 1,..., x n ) bȩdzie funkcj a określon a i ci ag l a w pewnym ograniczonym i domkniȩtym obszarze D, która ma skończone pochodne cz astkowe w ca lym tym obszarze. Z twierdzenia Weierstrassa wynika, że w tym obszarze istnieje punkt (x 0 1,..., x 0 n), w którym funkcja osi aga najwiȩksz a (najmniejsz a) wartość. Jeśli punkt (x 0 1,..., x 0 n) leży wewn atrz obszaru D, to w nim funkcja ma oczywiście maksimum (minimum), 13

14 a wiȩc w tym przypadku punkt ten należy do punktów podejrzanych o to, że jest w nich ekstremum. Jednak swoj a najwȩksz a (najmniejsz a) wartość funkcja u może osi agać i na brzegu obszaru. Dlatego też, dla znalezienia najwiȩkszej (najmniejszej) wartości funkcji u = f(x 1,..., x n ) w obszarze D, trzeba znaleźć wszystkie wewnȩtrzne punkty podejrzane o ekstremum, obliczyć wartości funkcji w nich i porównać z wartościami funkcji na brzegu. Najwiȩksza (najmniejsza) z tych wartości bȩdzie najwiȩksz a (najmniejsz a) wartości a funkcji w ca lym obszarze. 14

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1 3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n. Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej.

Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Zagadnienie diety. Jak wymieszać wymieszać pszenice, soje i maczk e rybna by uzyskać najtańsza

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi 5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Stabilność liniowych uk ladów sterowania

Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Metody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016

Metody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności

Bardziej szczegółowo

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla

Bardziej szczegółowo

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną

Bardziej szczegółowo

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich. 1. Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F

Geometria odwzorowań inżynierskich. 1. Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6F, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)

Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Mateusz Kowalski www.kowalskimateusz.pl 19.07.01 Streszczenie Wzory funkcji cyklometrycznych wraz z wyprowadzeniami. 1 A co to za funkcje? Funkcje cyklometryczne

Bardziej szczegółowo