POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

Transkrypt

1 POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji wzglȩdem x - zak lada siȩ, że punkt przesuwa siȩ tylko po prostej równoleg lej do osi x. Określimy teraz pojȩcie prȩdkości zmiany lub pochodnej funkcji w dowolnie zadanym kierunku. Niech funkcja f(m) bȩdzie określona w pewnym obszarze otwartym. Rozpatrzmy dowolny punkt M 0 = (x 0, y 0, z 0 ) tego obszaru i dowoln a prost a skierowan a (oś) l przechodz ac a przez ten punkt. Niech M = (x, y, z) oznacza dowolny punkt tej osi a M 0 M - d lugość odcinka miȩdzy M 0 i M wziȩt a ze znakiem plus, gdy zwrot M 0 M pokrywa siȩ ze znakiem osi l i ze znakiem minus w przeciwnym przypadku. Niech M zbliża siȩ do M 0. DEFINICJA Jeśli istnieje granica f(m) f(m 0 ) lim M M 0 M 0 M to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy j a f l (M 0) Pochodna ta określa prȩdkość zmiany funkcji w punkcie M 0 w kierunku l. W szczególności zwyk le pochodne cz astkowe też można rozpatrywać jako pochodne kierunkowe. Za lóżmy, że funkcja f(x, y, z) ma w rozpatrywanym obszarze ci ag le pochodne cz astkowe. Niech oś l tworzy z osiami wspó lrzȩdnych k aty α, β, γ. Pokażemy, że Oznaczmy M 0 M = t, wtedy f l (x 0, y 0, z 0 ) = f f f cos α + cos β + x y z cos γ x x 0 = t cos α, y y 0 = t cos β, z z 0 = t cos γ 1

2 Tak wiȩc wspó lrzȩdne x, y, z wzd luż osi l można rozpatrywać jako funkcje zmiennej t: x = x 0 + t cos α, y = y 0 + t cos β, z = z 0 + t cos γ a funkcjȩ f(m) = f(x, y, z) - jako funkcjȩ z lożon a ϕ(t) zmiennej t. Przy tych oznaczeniach punktowi M 0 odpowiada wartość t równa zero. Otrzymujemy wiȩc f l (M f(m) f(m 0 ) 0) = lim M M 0 M 0 M = lim t 0 ϕ(t) ϕ(0) t = ϕ (0) jeśli tylko istnieje pochodna ϕ (0). Pochodna ϕ (t) istnieje przy przyjȩtych za lożeniach i wyraża siȩ wzorem ϕ (t) = f x dx dt + f y dy dt + f z dz dt Korzystaj ac z wzorów na wspó lrzȩdne x, y, z otrzymamy sk ad wynika nasz wzór. ϕ (t) = f f f cos α + cos β + x y z cos γ Sprawdzimy teraz w jakim kierunku w danym punkcie funkcja bȩdzie ros la najszybciej. Zak ladamy, że pochodne a = f(x 0, y 0, z 0 ) x, b = f(x 0, y 0, z 0 ), c = f(x 0, y 0, z 0 ) y z nie równaj a siȩ jednocześnie zeru; w przeciwnym razie pochodna w dowolnym kierunku by laby równa zeru. Jeśli przekszta lcimy wyrażenie f f f cos α + cos β + cos γ = a cos α + b cos β + c cos γ = x y z = ( a a 2 + b 2 + c 2 a2 + b 2 + c cos α + 2 b a2 + b 2 + c 2 cos β + ) c a2 + b 2 + c cos γ 2 2

3 to u lamki w nawiasach można traktować jako cosinusy kierunkowe pewnego kierunku g: a b = cos λ, a2 + b 2 + c2 c = cos µ, a2 + b 2 + c2 a2 + b 2 + c 2 = cos ν Otrzymamy wiȩc a2 + b 2 + c 2 (cos λ cos α + cos µ cos β + cos ν cos γ) i jeśli oznaczymy przez (g, l) k at miȩdzy kierunkami g i l, to na mocy wzoru z geometrii analitycznej dostajemy f l = a 2 + b 2 + c 2 cos(g, l) Tak wiȩc, jeśli l pokrywa siȩ z g, to pochodna ta osi agnie najwiȩksz a wartość ( f f g = ) 2 ( ) 2 ( ) 2 f f a 2 + b 2 + c 2 = + + x y z Wektor g = [ f x, f y, f ] z nazywa siȩ gradientem funkcji f(x, y, z). Wskazuje on kierunek najszybszego wzrostu funkcji, a jego d lugość g daje wielkość odpowiedniej pochodnej. POCHODNE I RÓŻNICZKI WYŻSZYCH RZȨDÓW Jeśli funkcja u = f(x, y, z) ma w pewnym obszarze otwartym D pochodn a cz astkow a wzglȩdem jednej ze zmiennych, to pochodna ta, bȩd ac też funkcj a zmiennych x, y, z, może mieć w pewnym punkcie (x 0, y 0, z 0 ) pochodne cz astkowe wzglȩdem tej samej lub dowolnej innej zmiennej. Dla funkcji u s a to pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu, które oznaczamy 2 u x 2, 2 u x y... lub odpowiednio u xx, u xy... Analogicznie definiujemy pochodne rzȩdu trzeciego i wyższych. Pochodna cz astkowa rzȩdu co najmniej drugiego wzglȩdem różnych zmiennych nazywa siȩ pochodn a cz astkow a mieszan a. 3

4 Mieszane pochodne cz astkowe tego samego rzȩdu różni ace siȩ tylko kolejności a różniczkowania s a sobie równe dla dość szerokiej klasy funkcji np. dla funkcji spe lniaj acych warunki określone w nastȩpuj acym twierdzeniu. TWIERDZENIE Za lóżmy, że funkcja f(x, y) określona w obszarze otwartym D ma w nim pochodne pierwszego rzȩdu f x i f y i pochodne mieszane drugiego rzȩdu f xy i f yx, które dodatkowo s a ci ag le w pewnym punkcie (x 0, y 0 ) obszaru D. Wtedy w tym punkcie xy(x 0, y 0 ) = yx(x 0, y 0 ) DOWÓD Rozpatrzmy wyrażenie W = f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 + k) + f(x 0, y 0 ) hk gdzie h, k s a różne od zera, np. dodatnie i ma le na tyle, aby prostok at [x 0, x 0 + h] [y 0, y 0 + k] by l zawarty w D. Wprowadźmy teraz funkcjȩ pomocnicz a zmiennej x ϕ(x) = f(x, y 0 + k) f(x, y 0 ) k która na mocy za lożeń twierdzenia ma w przedziale [x 0, x 0 + h] pochodn a ϕ (x) = f x(x, y 0 + k) f x(x, y 0 ) k a zatem jest ci ag la. Wyrażenie W W = 1 [ f(x0 + h, y 0 + k) f(x 0 + h, y 0 ) h k można zapisać za pomoc a tej funkcji w postaci W = ϕ(x 0 + h) ϕ(x 0 ) h f(x ] 0, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) k 4

5 Dla funkcji ϕ(x) w przedziale [x 0, x 0 + h] spe lnione s a za lożenia twierdzenia Lagrange a, st ad W = ϕ (x 0 + θh) = f x(x 0 + θh, y 0 + k) f x(x 0 + θh, y 0 ) h 0 < θ < 1 Korzystaj ac z istnienia drugiej pochodnej yx(x, y) stosujemy teraz wzór Lagrange a do funkcji f x(x 0 + θh, y) zmiennej y w przedziale [y 0, y 0 + k] otrzymuj ac W = yx(x 0 + θh, y 0 + θ 1 k) 0 < θ, θ 1 < 1 Teraz możemy zamienić rolami zmienne x i y oraz h i k, wprowadzić now a funkcjȩ pomocnicz a ψ(y) = f(x 0 + h, y) f(x 0, y) h i analogicznie jak poprzednio dostaniemy W = xy(x 0 + θ 2 h, y 0 + θ 3 k) 0 < θ 2, θ 3 < 1 Z powyższych równości na W otrzymujemy yx(x 0 + θh, y 0 + θ 1 k) = xy(x 0 + θ 2 h, y 0 + θ 3 k) Przejście do granicy przy h i k d aż acych do zera daje xy(x 0, y 0 ) = yx(x 0, y 0 ) ponieważ θ, θ i, i = 1, 2, 3 s a ograniczone. Tak wiȩc pochodne mieszane f xy i f yx s a zawsze równe. TWIERDZENIE (o pochodnych cz astkowych funkcji z lożonej) Jeśli f(x 1,..., x n ) jest funkcj a klasy C 1 w pewnym obszarze D R n, x i = x i (u 1,... u m ), i = 1,..., n maj a pochodne cz astkowe pierwszego rzȩdu w D 1 R m oraz (x 1 (u 1,..., u m ),..., x n (u 1,..., u m )) D dla (u 1,..., u m ) D 1, to funkcja z lożona m-zmiennych F (u 1,..., u m ) = f[x 1 (u 1,..., u m ),..., x n (u 1,... u m )] ma pochodne cz astkowe pierwszego rzȩdu w każdym punkcie D zadane wzorem F u j = f x 1 x 1 u j f x n x n u j 5 j = 1,..., m

6 Analogicznie wyprowadzamy pochodne wyższych rzȩdów; dla przyk ladu wyprowadzimy je dla m = n = 2, tzn. = = u ( 2 f x 2 x u + 2 f y x y = 2 f x 2 Analogicznie ( x u F (u, v) = f[x(u, v), y(u, v)] 2 F u = ( ) F = ( f 2 u u u x x u + f y y ) = u ( ) f x x u + f x 2 x u + ( ) f y 2 u y u + f y 2 y u = 2 ) x ( u u + f x 2 x 2 u + f 2 x y x u + 2 f y y 2 u ) f y x x u y ( u + 2 f y y 2 u ) y u + f y 2 y u 2 = ) 2 + f x 2 x u 2 + f y 2 y u 2 2 F v 2 = 2 f x 2 ( ) 2 x f v y x x v y v + 2 f y 2 ( ) 2 y + f v x 2 x v + f 2 y 2 y v 2 Analogicznie 2 F u v = 2 f x x x 2 v u + 2 f y x x y v u + y x x 2 f y f y u y v u + 2 y 2 v + f x 2 x u v + f y 2 y u v WZÓR TAYLORA Dla uproszczenia wypiszemy jedynie pocz atkowe sk ladniki wzoru Taylora dla funkcji dwóch zmiennych f(x, y) w otoczeniu punktu (x 0, y 0 ): f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) = = [f x(x 0, y 0 ) x + f y(x 0, y 0 ) y]+ + 1 [f x 2! 2(x 0, y 0 ) x 2 + 2f xy(x 0, y 0 ) x y + y 2(x 0, y 0 ) y 2 ]+ + 1 [f x 3! 3(x 0, y 0 ) x 3 +3 x 2 y (x 0, y 0 ) x 2 y +3 xy 2(x 0, y 0 ) x y 2 + y 3(x 0, y 0 ) y 3 ]+... 6

7 EKSTREMA, WARTOŚCI NAJWIȨKSZE I NAJMNIEJSZE WARUNKI KONIECZNE Niech funkcja u = f(x 1,..., x n ) bȩdzie określona w obszarze D i niech (x 0 1,..., x 0 n) bȩdzie punktem wewnȩtrznym tego obszaru. DEFINICJA Mówimy, że funkcja f(x 1,..., x n ) ma w punkcie (x 0 1,..., x 0 n) maksimum (minimum) lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu, że dla wszystkich punktów tego otoczenia spe lniona jest nierówność f(x 1,..., x n ) f(x 0 1,..., x 0 n) (f(x 1,..., x n ) f(x 0 1,..., x 0 n)) Jeśli to otoczenie można dobrać tak, aby z wyj atkiem punktu (x 0 1,..., x 0 n), by la spe lniona nierówność f(x 1,..., x n ) < f(x 0 1,..., x 0 n) (f(x 1,..., x n ) > f(x 0 1,..., x 0 n)) to mówimy, że w (x 0 1,..., x 0 n) jest maksimum (minimum) w laściwe; w przeciwnym przypadku jest ono niew laściwe. Maksima i minima nazywamy też ekstremami. TWIERDZENIE Za lóżmy, że funkcja f(x 1,..., x n ) ma w punkcie (x 0 1,..., x 0 n) ekstremum. Jeśli w tym punkcie istniej a skończone pochodne cz astkowe f x 1 (x 0 1,..., x 0 n),..., f x n (x 0 1,..., x 0 n) to musz a one być wszystkie równe zeru, tzn. znikanie pochodnych cz astkowych pierwszego rzȩdu jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum. DOWÓD Przyjmijmy, że x 2 = x 0 2,..., x n = x 0 n, a x 1 pozostawmy zmienne. Otrzymujemy w ten sposób funkcjȩ jednej zmiennej x 1 : u = f(x 1, x 0 2,..., x 0 n) Ponieważ za lożyliśmy, że w punkcie (x 0 1,..., x 0 n) istnieje ekstremum (np. maksimum), to wynika st ad, że w pewnym otoczeniu punktu x 1 = x 0 1 musi być spe lniona nierówność f(x 1,..., x 0 n) f(x 0 1,..., x 0 n) 7

8 a wiȩc określona powyżej funkcja jednej zmiennej ma w punkcie x 1 = x 0 1 maksimum. St ad, na mocy twierdzenia Fermata wynika, że f x 1 (x 0 1,..., x 0 n) = 0 W ten sam sposób można pokazać, że również pozosta le pochodne cz astkowe s a równe zero w punkcie (x 0 1,..., x 0 n). Tak wiȩc ekstrema mog a być tylko w tych punktach, w których wszystkie pochodne cz astkowe rzȩdu pierwszego znikaj a. Wspó lrzȩdne tych punktów można znaleźć, rozwi azuj ac uk lad równań f x 1 (x 1,..., x n ) = 0 f x n (x 1,..., x n ) = 0 Tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej punkty te nazywamy punktami stacjonarnymi. UWAGA Gdy rozpatrywana funkcja ma skończone pochodne cz astkowe w ca lym obszarze, wtedy punktów w których funkcja ma ekstremum szukamy tylko wśród punktów stacjonarnych. Może siȩ również zdarzyć, gdy w oddzielnych punktach niektóre pochodne cz astkowe maj a wartości nieskończone lub nie istniej a, podczas, gdy pozosta le s a równe zeru. Punkty takie należy wraz z punktami stacjonarnymi zaliczyć do tych, które podejrzewamy o istnienie ekstemów; s a to tzw. punkty krytyczne. WARUNKI DOSTATECZNE ISTNIENIA dwóch zmiennych) EKSTREMÓW (przypadek funkcji Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, w punkcie stacjonarnym nie musi być ekstremum. Rozpatrzmy najpierw przypadek funkcji dwóch zmiennych f(x, y). Za lóżmy, że funkcja ta jest określona, ci ag la i ma ci ag le pochodne cz astkowe pierwszego i drugiego rzȩdu w otoczeniu pewnego punktu stacjonarnego (x 0, y 0 ). W punkcie tym mamy f x(x 0, y 0 ) = 0, f y(x 0, y 0 ) = 0 Aby ustalić, czy rzeczywiście funkcja ta ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum, rozpatrujemy przyrost f = f(x, y) f(x 0, y 0 ) 8

9 Rozwińmy tȩ różnicȩ wed lug wzoru Taylora ograniczaj ac siȩ do dwóch wyrazów. Ponieważ punkt (x 0, y 0 ) jest z za lożenia stacjonarny, pierwszy wyraz znika i otrzymujemy f = 1 [ f x 2! 2( x)2 + 2f xy x y + y 2( y)2] Przyrosty x, y s a różnicami x x 0, y y 0 a pochodne liczone s a w pewnym punkcie (x 0 + θ x, y 0 + θ y), 0 < θ < 1. Wprowadźmy oznaczenia oraz x 2(x 0, y 0 ) = a 11, xy(x 0, y 0 ) = a 12, y 2(x 0, y 0 ) = a 22 x (x θ x, y 0 + θ y) = a 11 + α 11 f xy(x 0 + θ x, y 0 + θ y) = a 12 + α 12 y (x θ x, y 0 + θ y) = a 22 + α 22 przy czym, wobec ci ag lości pochodnych drugiego rzȩdu, wszystkie α ij x 0 i y 0. Różnicȩ f możemy teraz zapisać w postaci f = 1 2 0, gdy { a11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 + α 11 x 2 + 2α 12 x y + α 22 y 2} Pokażemy, że zachowanie siȩ różnicy f zależy od znaku wyrażenia a 11 a 22 a Wprowadźmy wspó lrzȩdne biegunowe (wybieraj ac jako biegun punkt (x 0, y 0 ) i prowadz ac przez niego oś biegunow a równolegle do osi x). Niech ρ = x 2 + y 2 bȩdzie odleg lości a miȩdzy punktami (x 0, y 0 ) i (x, y), a ϕ niech oznacza k at utworzony przez l acz acy je odcinek z osi a biegunow a. Wówczas x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ Interesuj ac a nas różnicȩ możemy teraz zapisać w postaci f = 1 2 ρ2 { a 11 cos 2 ϕ + 2a 12 cos ϕ sin ϕ + a 22 sin 2 ϕ+ +α 11 cos 2 ϕ + 2α 12 cos ϕ sin ϕ + α 22 sin 2 ϕ } (I) Przypuśćmy, że a 11 a 22 a 2 12 > 0. Wtedy a 11 a 22 > 0, czyli a 11 0 i pierwszy trójmian w nawiasach {...} można przedstawić tak: 1 [ (a11 cos ϕ + a 12 sin ϕ) 2 + ( ) a 11 a 22 a 2 12 sin 2 ϕ ] a 11 9

10 Wyrażenie w nawiasach [...] jest zawsze dodatnie, czyli trójmian ten (nie bȩd ac dla żadnej wartości ϕ równy zeru) zachowuje znak wspó lczynnika a 11. Jego wartość bezwzglȩdna (jako funkcja ci ag la zmiennej ϕ w przedziale [0, 2π]) ma najmniejsz a wartość m dodatni a: a 11 cos 2 ϕ + 2a 12 cos ϕ sin ϕ + a 22 sin 2 ϕ m > 0 Z drugiej strony, wobec α ij 0 gdy x 0, y 0, drugi trójmian w nawiasach {...} jest α 11 cos 2 ϕ + 2α 12 cos ϕ sin ϕ + α 22 sin 2 ϕ α α 12 + α 22 < m dla wszystkich ϕ, jeśli tylko ρ jest dostatecznie ma le. Ale wtedy ca le wyrażenie w nawiasach {...}, a tym samym i różnica f, bȩdzie mia la ten sam znak, co pierwszy z trójmianów, to jest znak wspó lczynnika a 11. A wiȩc, jeśli a 11 > 0, to i f > 0 i tym samym funkcja w rozpatrywanym punkcie (x 0, y 0 ) ma minimum, zaś gdy a 11 < 0, to również f < 0 i jest maksimum. (II) Za lóżmy teraz, że a 11 a 22 a 2 12 < 0. Niech a 11 0; można wówczas znów zastosować przekszta lcenie jak w poprzednim przypadku 1 [ (a11 cos ϕ + a 12 sin ϕ) 2 + ( ) a 11 a 22 a 2 12 sin 2 ϕ ] a 11 Dla ϕ = ϕ 1 = 0 wyrażenie w nawiasach [...] jest dodatnie, bo sprowadza siȩ do a Natomiast dla ϕ = ϕ 2 wyznaczonego z warunku wyrażenie to sprowadza siȩ do a 11 cos ϕ 2 + a 12 sin ϕ 2 = 0 (sin ϕ 2 0) ( ) a11 a 22 a 2 12 sin 2 ϕ 2 a wiȩc jest ujemne. Dla dostatecznie ma lych ρ drugi trójmian w nawiasach {...} jest dowolnie ma ly zarówno dla ϕ = ϕ 1 jak i dla ϕ = ϕ 2 i znak f jest określony przez znak pierwszego trójmianu. Czyli dowolnie blisko rozpatrywanego punktu (x 0, y 0 ) na pó lprostych tworz acych z osi a x k aty ϕ = ϕ 1 i ϕ = ϕ 2 wartości przyrostu f maj a przeciwne znaki. W punkcie tym nie może wiȩc być ekstremum. 10

11 Jeśli a 11 = 0, to pierwszy trójmian w nawiasach {...} sprowadza siȩ do postaci 2a 12 cos ϕ sin ϕ + a 22 sin 2 ϕ = sin ϕ (2a 12 cos ϕ + a 22 sin ϕ) Korzystaj ac z tego, że musi być teraz a 12 0, można tak określić k at ϕ 1 0, aby a 22 sin ϕ 1 < 2 a 12 cos ϕ 1 Wtedy dla ϕ = ϕ 1 i ϕ = ϕ 2 = ϕ 1 trójmian ten bȩdzie mia l przeciwne znaki i dalsze rozumowanie jest takie samo jak poprzednie. Udowodniliśmy wiȩc nastȩpuj ace TWIERDZENIE Jeśli a 11 a 22 a 2 12 > 0 to w badanym punkcie stacjonarnym (x 0, y 0 ) funkcja f(x, y) ma ekstremum i jest to maksimum w laściwe gdy a 11 < 0 lub minimum w laściwe gdy a 11 > 0. Jeśli zaś a 11 a 22 a 2 12 < 0, to ekstremum nie ma. UWAGA W przypadku a 11 a 22 a 2 12 = 0 powyższe twierdzenie nie rozstrzyga zagadnienia istnienia ekstremum w badanym punkcie. Korzystamy wtedy bezpośrednio z definicji ekstremów. WARUNKI DOSTATECZNE ISTNIENIA EKSTREMÓW (przypadek ogólny) Niech funkcja f(x 1,..., x n ) bȩdzie określona i ci ag la i niech ma ci ag le pochodne pierwszego i drugiego rzȩdu w pewnym otoczeniu punktu stacjonarnego (x 0 1,..., x 0 n). Rozwijaj ac różnicȩ f = f(x 1,..., x n ) f(x 0 1,..., x 0 n) wed lug wzoru Taylora otrzymujemy, tak jak poprzednio f = 1 { } x 2 2 x x 2 x2 n n + 2f x 1 x 2 x 1 x f x n 1 x n x n 1 x n = = 1 2 n i,k=1 x i x k x i x k 11

12 Tutaj x i = x i x 0 i a wszystkie pochodne liczone s a w pewnym punkcie Wprowadźmy oznaczenia (x θ x 1,..., x 0 n + θ x n ) (0 < θ < 1) x i x k (x 0 1,..., x 0 n) = a ik i, k = 1,..., n oraz x i x k (x θ x 1,..., x 0 n + θ x n ) = a ik + α ik przy czym α ik 0, gdy x 1 0,..., x n 0. i, k = 1,..., n Teraz interesuj ace nas wyrażenie f można zapisać w postaci { n } f = 1 n a ik x i x k + α ik x i x k 2 i,k=1 Pierwszym sk ladnikiem w nawiasie jest tzw. forma kwadratowa zmiennych x 1,..., x n. Okazuje siȩ, że od w lasności tej formy kwadratowej zależy rozwi azanie interesuj acego nas zagadnienia. UWAGA 1 W algebrze formȩ kwadratow a i,k=1 n a ik y i y k (a ik = a ki ) i,k=1 zmiennych y 1,..., y n nazywamy określon a dodatnio (ujemnie), jeśli przybiera ona wartości dodatnie (ujemne) dla wszystkich wartości argumentów nie równych jednocześnie zeru. UWAGA 2 (Sylvester) Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to aby forma n a ik y i y k i,k=1 by la określona dodatnio jest ci ag nierówności a 11 > 0, a 11 a 12 a 21 a 22 > 0,..., 12

13 a a 1n a n1... a nn > 0 Forma określona ujemnie scharakteryzowana jest ci agiem nierówności, który powstaje z powyższego przez zmianȩ znaku > na < w nierówności pierwszej, trzeciej, pi atej, itd. Formȩ kwadratow a nazywamy nieokreślon a, jeśli może ona przybierać wartości różnych znaków. Pos luguj ac siȩ tymi pojȩciami sformu lujemy warunek dostateczny istnienia ekstremum w przypadku funkcji dowolnej liczby zmiennych. TWIERDZENIE Jeśli forma kwadratowa n a ik x i x k i,k=1 jest określona dodatnio (ujemnie), to w badanym punkcie (x 0 1,..., x 0 n) jest minimum (maksimum) w laściwe. Jeśli natomiast powyższa forma kwadratowa jest nieokreślona, to w tym punkcie funkcja nie ma ekstremum. UWAGA Dla funkcji f(x) jednej zmiennej powyższa forma sprowadza siȩ do jednego wyrazu (x 0 ) x 2 gdzie x 0 jest badanym punktem. Ta forma jest określona dodatnio, gdy (x 0 ) > 0 i jest określona ujemnie, gdy (x 0 ) < 0 i tym samym warunek wystarczaj acy istnienia ekstremum dla funkcji jednej zmiennej jest szczególnym przypadkiem powyższego kryterium. NAJWIȨKSZE I NAJMNIEJSZE WARTOŚCI FUNKCJI Niech u = f(x 1,..., x n ) bȩdzie funkcj a określon a i ci ag l a w pewnym ograniczonym i domkniȩtym obszarze D, która ma skończone pochodne cz astkowe w ca lym tym obszarze. Z twierdzenia Weierstrassa wynika, że w tym obszarze istnieje punkt (x 0 1,..., x 0 n), w którym funkcja osi aga najwiȩksz a (najmniejsz a) wartość. Jeśli punkt (x 0 1,..., x 0 n) leży wewn atrz obszaru D, to w nim funkcja ma oczywiście maksimum (minimum), 13

14 a wiȩc w tym przypadku punkt ten należy do punktów podejrzanych o to, że jest w nich ekstremum. Jednak swoj a najwȩksz a (najmniejsz a) wartość funkcja u może osi agać i na brzegu obszaru. Dlatego też, dla znalezienia najwiȩkszej (najmniejszej) wartości funkcji u = f(x 1,..., x n ) w obszarze D, trzeba znaleźć wszystkie wewnȩtrzne punkty podejrzane o ekstremum, obliczyć wartości funkcji w nich i porównać z wartościami funkcji na brzegu. Najwiȩksza (najmniejsza) z tych wartości bȩdzie najwiȩksz a (najmniejsz a) wartości a funkcji w ca lym obszarze. 14