ANALIZA MATEMATYCZNA I

Transkrypt

1 ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność rozwiązania można niemal zawsze sprawdzić za pomocą programu Wolfram Alpha R lub innego pokrewnego. Wykładowcy i Studenci spragnieni większej liczby zadań mogą sięgnąć do bliźniaczej listy 3 tygodni. Przy okazji zachęcam do lektury mojej książki Marek Zakrzewski Markowe wykłady z matematyki Analiza, GIS 23 W serii Markowe wykłady z matematyki omawiam najważniejsze pojęcia i metody, ale szczególny nacisk kładę na konkretne, interesujące problemy. M. Z.

2 Lista - Funkcje elementarne. Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji: a) y =, y = 2, y = ; b) y =, y =. 2. Podaj wartości poniższych wyrażeń w możliwie najprostszej postaci: ( 2 ) 2 2 a) ; b) ( 2) 3 ( 4 2) 2 ; c) ( 8 ) 2 ( ) 8 : 2 ; d) log 3 3+log 2 2; e) log2 3 log 3 4; f) log Wyraź y jako funkcję zmiennej, jeżeli log y = (3/2) log. 4. Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = 2 ; b) y = log(+); c) y = log ; d) y = 2 ; e) y = Dla funkcji f() = log 2 naszkicuj wykresy funkcji: a) y = f(+); b) y = f() ; c) y = f( ); d) y = f(); e) y = f( 2 ). Czy pośród wskazanych wykresów jest wykres funkcji y = log? 2 6. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji: a) y = 2 ; b) y = 2 ; c) y = 2, ; d)* y = 2 +2,. 7. Podaj wartości funkcji trygonometrycznych: a) tg π 3 ; b) sin 2π 3 ; c) cos 5 3 π; d) sin 5 4 π; e) cos 4 3 π; f) ctg2π 3 ; g) sin 5 3 π h) cos 4 π; i) tg 3 π; j) sin( 7 4 π) ; k) cos 7 6 π; l) sin 2π 5 +sin 8π Naszkicuj wykres funkcji: a) y = sin2; b) y = cos(+π/4); c) y = sin +sin; d) y = sin+ 3cos. 9. Wyraź: a) cos 2 oraz sin 2 za pomocą cos2; b) cos 4 za pomocą cos2 i cos4.. Wykaż tożsamości: a) +tg 2 = cos 2 ; b) cos2 = +cos2 2 ; c) sin2cos = sin3+sin. 2. Oblicz wartości czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta Wyraź sin 3α za pomocą sin α. 3. Oblicz wartości funkcji cyklometrycznych: a) arctg; b) arcsin ( ) 2 ; c) arccos( ); d) arcsin 2 2 ; e) arctg( 3); f) arcctg 3; g) arccos 3 2 ; h) arcsin( 2 ); i) arcsin ( sin 4π ) 7 ; j) cos(arccos 2 ). 4. Sinusoidą nazywamy krzywą, którą można otrzymać przesuwając wykres funkcji y = a sin(b + c). Wykaż, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą: a) y = cos ; b) y = sin 2 ; c) y = sincos; d) y = sin+cos; e) y = sin 4 +cos Pokaż, że jeśli t = tg(/2), to cos = t2 2t +t2, sin = +t Za pomocą odpowiedniego logarytmu podaj wzór na liczbę cyfr liczby n. Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba 2? 7. * Jednym z pierwiastków równania = 2 jest cos2. Znajdź dwa pozostałe.

3 . Oblicz granice ciągów: Lista 2 - Granica a) a n = (n+3)(2n+) (3n+2)(2n+3) ; b) b n = n2 + n 3 +n+ ; c) c n = 3n +4 n 5 n ; d) d n = n n 2 ; e) e n = n 2 + n; f) f n = n 2 +n n; g) g n = n 2 n +3 n ; h) h n = n 2 n +n Znajdź granice niewłaściwe, o ile istnieją. a) a n = (n 2 +)/(n+); b) b n = n 2 n 3 ; c) c n = 3 n 2 n ; d) d n = 3 n ( 2) n. 3. Jeżeli dla dodatnich funkcji f, g lim n f(n)/g(n) = a, gdzie < a <, to mówimy, że f, g są tego samego rzędu; jeżeli a = że są asymptotycznie równe. a) Pokaż, że n jest rzędu n 2. b) Dla jakiego a ( n k) jest asymptotycznie równe an k? 4. Oblicz granice ciągów: a n = ( ( ) + n) 2n+; b) bn = n 2n; n+ c) cn = ( ) 2n+ n; 2n d) dn = ( ) n 2 n. 5. Naszkicuj wykres funkcji f() = lim n ( n). Uważaj na dziedzinę! 6. Oblicz granice funkcji: a) lim ; b) lim +2 e) lim ; 2 + i) lim 2 7. Oblicz granice funkcji: a) lim sin2 ; e) lim ln( ) ln(+) ; f) lim 3 2 ; ; j) lim π/2 sin3 b) lim sin2 ; sin f) lim π π ; 3 ; c) lim + 2 tg +tg ; g) lim k) lim ; sin ; + d) lim ; ; h) lim cos e 5 c) lim 2 ; d) lim e 3 ; g) lim cos sin ; h) lim π/2 l) lim cos π 2. 2 ; 2 +cos Znajdź obie granice jednostronne (właściwe bądź niewłaściwe) we wskazanym punkcie: a) y = w punkcie ; 9. Znajdź asymptoty funkcji: sgn b) y = w punkcie ; c) y = a) y = 3 2 ; b) y = 3 +8 ( 2 4) 2; c) y = ; d) y = + 2. w punkcie.. Niech P n oznacza pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu, L n jego obwód. Znajdź granice obu ciągów i wywnioskuj z nich granicę ciągu a n = nsin(2π/n).. Przy stałym tempie wzrostu p% przez okres podwojenia rozumiemy czas, po jakim dana wielkość się podwaja. a) Znajdź okres podwojenia odpowiadający przyrostowi p%. b) Uzasadnij, że dla małych p okres ten wyraża się przybliżonym wzorem 7/p. 2. Obliczając odpowiednią granicę pokaż, że dla a > a 2 +r a+ r 2a. Korzystając z tego wzoru pokaż, że: a) 9/6; b) 5 3/8; c) 2 99/7.

4 Lista 3 - Ciągłość i pochodna. Naszkicuj wykresy oraz wskaż punkty nieciągłości podanych funkcji: a) y = (+sgn)/2; b) y = sgn; c) y = ; d) y = ; e) y =. 2. Wskaż punkty nieciągłości i określ ich rodzaj:, gdy, a)y = w p.p.; cos gdy >, b)y = < ; c)y = 2, gdy, 2 w p.p.. 3. Korzystając z twierdzenia Bolzana o wartościach pośrednich dla funkcji ciągłych uzasadnij, że równanie: a) 5 ++ = ma dokładnie jeden pierwiastek; b) e = ++ 2 ma dodatni pierwiastek; 4. Gdzie i w jaki sposób w poniższych rachunkach korzystamy z ciągłości? ( lim nln + ) ( = lim n n ln + n ( = ln lim + n n) n = lne =. n n) 5. Czy funkcję y = sin(/) można dookreślić w punkcie zero tak, aby była ciągła na całej prostej? A funkcję y = sin(/)? 6. Korzystając z definicji oblicz pochodne: a) y = + ; b) y = ; c) y = e. 7. Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej oblicz pochodne funkcji: a) y = ( 2) 2 ; b) y = 2; c) y = ; d) y = ; e) y = ( + )( ). 8. Oblicz: a) f () dla funkcji y = (+ ) 3 ; b) f () dla funkcji y = Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji: a) y = e w punkcie (,f()); b) y = ln w punkcie (e,f(e)).. Znajdź kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji y = 2 2 poprowadzonej w punkcie (,) a dodatnią półosią osi O. Analogicznie dla stycznej w punkcie (,).. Oblicz pochodne niewłaściwe (jedno- lub obustronne) w punkcie funkcji: a) y = 2, = 2; b) y = 2, = ; c) y = arcsin, =. 2. Wskaż punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna (o ile takie istnieją). W punktach nieróżniczkowalności oblicz wartości obu pochodnych jednostronnych. a) y = +2 ; b) y = 2 + ; c) y = ; d) y =. 3. Wykaż, że jeśli funkcja różniczkowalna f spełnia warunki f(a + b) = f(a)f(b) oraz f () =, to f = f. W przyszłości pokażemy, że jedyną taką funkcją jest y = e. 4. Pokaż, że funkcja f() = sin(/) dla, f() = nie jest różniczkowalna w punkcie zero. Czy ma w tym punkcie pochodne jednostronne? A niewłaściwe? 5. Wyraź za pomocą pochodnej związek pomiędzy polem koła a obwodem okręgu oraz pomiędzy powierzchnią kuli a jej objętością. Zakładając, ze podobny związek zachodzi także w wyższych wymiarach znajdź powierzchnię kuli czterowymiarowej, wiedząc, że jej objętość wynosi π 2 /2.

5 Lista 4 - Pochodna cd.. Oblicz pochodną korzystając z podstawowych wzorów: a) y = / 2 ; b) y = ; c) y = e ; d) y = 2 ln; e) y = sincos; f) y = ; ln g) y = ; sin h) y = ; i) y = sin ; j) y = e 2 ; k) y = sin4; l) y = ln( 2 +); m) y = sinsin; n) y = + 2 ; o) y = lnsin. 2. Korzystając ze wzorów na pochodne eksponenty e i logarytmu naturalnego oraz wzoru na pochodną funkcji złożonej wyprowadź wzory na pochodną: a) y = a ; b) y = log a, gdzie a dodatnie, różne od. 3. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji: a) y = e e w punkcie (,f()); + b) y = tg2 w punkcie (π/4,f(π/4)). 4. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = 2 w punkcie ( 2/2, 2/2) dwiema metodami: a) geometrycznie; b) algebraicznie. 5. Naszkicuj wykres wielomianu: a) y = 3 3+; b) y = ; c) (+) Znajdź ekstrema i przedziały monotoniczności podanych funkcji: a) y = 2 2 ; b) y = e c) y = 2 ln; d) y = 4 2 ; e) y = ln. 7. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: y = 3 2 na przedziale [,4]. 8. Znajdź zbiór wartości i liczbę rozwiązań równania f() = m dla funkcji: a) y = ; b) y = Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: a) ; b) y = ; c) y = 2 ; d) y = ln; e) y = e.. Korzystając z wypukłości odpowiednich funkcji uzasadnij nierówność: a) e +; b) ln(+) : c) sin < dla dodatnich. Zilustruj nierówność szkicując fragmenty wykresów obu porównywanych funkcji.. Korzystając z reguły de l Hospitala oblicz granice: ln arctg sinln a) lim b) lim ; c) lim ( ln ; e) lim ; f) lim +ln2 sin ) ; g) lim / ; n d) lim e ; 2. Naszkicuj wykres funkcji: a) y = e ; b) y = ln ; c) y = ln. h) lim (+sin) /. 3. Nie korzystając z kalkulatora rozstrzygnij, która z liczb jest większa: e π czy π e? 4. Pokaż, że dla dodatniej funkcji różniczkowalnej f zachodzi równość f () = [lnf()] f(). Naszkicuj wykres funkcji y =.

6 Lista 5 - Aproksymacje. Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość: a) 3,9; b) ln,; c) sin3. 2. Z twierdzenia Lagrange a wynika, że przy odpowiednich założeniach f() = f(a)+f (c)( a). Znajdź c o którym tu mowa w przypadku funkcji f() = 2, oraz a =, = Zapisz cztery kolejne przybliżenia taylorowskie dla f() = : a) wokół a = ; b) wokół a =. 4. Oblicz przybliżoną wartość /e sumując pięć początkowych składników rozwinięcia Maclaurina dla odpowiedniej funkcji. Oszacuj błąd przybliżenia. 5. Korzystając ze wzoru Taylora uzasadnij przybliżenie sin 3 3! + 5 5!. Oszacuj błąd przybliżenie przy założeniu, że < π/2. 6. Znajdź: a) trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia Maclaurina dla y = +; b) rozwinięcie Maclaurina dla funkcji y = ln(+). 7. Wykaż, że jeżeli funkcja f jest różniczkowalna oraz f(a+b) = f(a)f(b) i f() =, to f = f. Wywnioskuj z twierdzenia Lagrange a, że f() = e.

7 Lista 6 - Całka oznaczona. Techniki całkowania I. Oblicz podaną całę przybliżając ją za pomocą sumy prostokątów: a) d; b) 2 d: c)* 2 d. Wsk.: b) zachodzi równość n 2 = (n(n+)(2n+)/6; c) dobierz punkty podziału tak, aby tworzyły ciąg geometryczny. 2. Korzystając z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej oblicz całki: a) d; b) (+ 2 )d; c) 2 d; d) 2 2 d. 3. Oblicz za pomocą całek pole obszaru ograniczonego krzywymi: a) y = 2 2, +y = ; b) y =, y =, y =, = 2; c) =, y = arcsin, y = π/2. 4. Korzystając z całkowania przez podstawienie znajdź całki: a) (2+) 7 d; b) e +e d; c) 4 2 d; d) sin 2 d; d e e) ln ; f) e d d; g) 2 +e2; h) + d. 5. Korzystając z całkowania przez części znajdź całki: a) sind; b) e 2 d; c) 2 lnd; d) e) 2 e d; f) e 2 sind; g) e sincosd; h) arctgd; arcsin d. 6. Znajdź całkę nieoznaczoną 2 d za pomocą podstawienia = sint. Korzystając z tej całki pokaż, że pole koła 2 +y 2 jest równe π. 7. Znajdź średnią wartość funkcji: a) 2 na [,a]; b) sin na [,π]; ]c) cos na [,π]. 8. Nie korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz π sin 2 d. 9. Udowodnij, że k +2 k +...+n k jest asymptotycznie równe n k+ /(k +).. Oblicz a) lim n ( n n n n ) ( n n 2 +n 2 ; b) lim n n+ + n ). 2n. Aproksymując pole pod wykresem y = / za pomocą prostokątów wykaż, że suma różni się od lnn o mniej niż n 2. Funkcje hiperboliczne definiujemy wzorami cosh = (e +e )/2, sinh = (e e )/2. a) Podaj przykłady analogii (tożsamości, pochodne, całki) pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi. b) Czy funkcje hiperboliczne są ograniczone? okresowe?

8 Lista 7 - Techniki całkowania II. Całka niewłaściwa i zastosowania. Oblicz poniższe całki nieoznaczone: d a) 2+ : b) d 2 +4 ; c) d (2+3) 5; d) (+ 2 ) Rozłóż na ułamki proste i znajdź całkę nieoznaczoną: d a) ( ) ; b) d 2 4 ; c) (+)d (+)(+2) : d) 2 d ; d (2+3)d (2+)d e) 2 +4 ; f) 2 ; g) ; h) d ; d i) ; j) 2d ; k) d 3 +4 ; l) d Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych: a) tg ; b) cos 2 d; c) sin 3 d; d) sin3sind; e) d sin. 4. Oblicz objętość i powierzchnię bryły utworzonej przez obrót łuku sinusoidy y = sin, π wokół osi O. 5. Korzystając ze wzorów na objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót wokół osi Oy oblicz objętość i pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu wokół osi Oy: a) odcinka y =, a; b) odcinka paraboli y = 2, a. Jak rozwiązać b) korzystając ze wzoru na obrót wokół osi O? 6. Korzystając ze wzoru na długość łuku: a) oblicz długość łuku krzywej łańcuchowej y = (e +e )/2, ; b) sprawdź, że obwód okręgu 2 +y 2 = jest równy 2π. 7. Oblicz całki niewłaściwe lub uzasadnij, że są rozbieżne: d a) d; b) +2 ; c) d + ; d) d ln ; e) d ln. 8. Trąbką Torricellego nazywamy powierzchnię powstałą przez obrót krzywej y = /, wokół osi O. a) Pokaż, że powierzchnia trąbki jest nieskończona, a jej objętość skończona. b) Wypełniając tę trąbkę farbą pomalujemy nieskończoną wewnętrzną powierzchnię za pomocą skończonej ilości farby. Wyjaśnij ten paradoks. 9. Oblicz całkę /(+ 2 ) 2 d kontynuując obliczenia: d (+ 2 ) 2 = + 2 (+ 2 ) 2 d 2 2d (+ 2 ) 2 =.... Oblicz powierzchnię torusa utworzonego przez obrót okręgu 2 +(y R) 2 = r 2 (R > r) wokół osi O. Sprawdź, że powierzchnia ta jest równa iloczynowi obwodu okręgu tego okręgu przez drogę, jaka przebywa jego środek.. Oblicz powierzchnię czaszy wyciętej ze sfery 2 + y 2 + z 2 = płaszczyzną z = a, gdzie < a <. Sprawdź, że jest ona równa powierzchni jej rzutu prostokątnego na powierzchnię walca o osi Oz stycznego do tej sfery.