Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza"

Transkrypt

1 Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = x α dla: α =,, 3, 4; b) α =,, ; c) α =,, / oraz / 3 Zapisz w postaci pojedynczej potęgi dwójki: /64; b ; c) ( )/; d) ( ) 3 ( 3 ) ; e) ( 3 ) 4 ; f) 34 ; g) ( ) 4 Podaj wartości logarytmów: log 4; b) log 4 ; c) log ; d) log4 8; e) log 8 4; f) log Kalkulatory naukowe pozwalają bez trudu obliczać logarytmy dziesiętne i naturalne Wyraź poniższe wyrażenia za pomocą pojedynczego logarytmu dziesiętnego bądź naturalnego: log ; b) log log 5; c) log 3 ; d) log 3; e) log ln 6 Czasem trudno odkryć zależność pomiędzy zmiennymi wielkościami x, y, ale łatwo pomiędzy ich logarytmami Wyraź y jako funkcję zmiennej x, jeżeli log y = 3 log x 7 Naszkicuj wykresy funkcji: y = x ; b) y = log(x + ); c) y = log x ; d) y = x ; e) y = x 8 Znajdź funkcję odwrotną do funkcji: y = x ; b) y = x ; c) y = x, x ; d)* y = x + x, x 9 Badania pokazują, że w dużych zbiorach danych złożonych z przypadkowych liczb, liczby zaczynające się cyfrą k stanowią około log ( + k ) wszystkich danych Oszacuj, jaka część danych zaczyna się cyfrą, jaka cyfrą b) Sprawdź, że ( log + ) ( + log + ) ( + + log + ) = 9 Wykaż, że log jest liczbą niewymierną Za pomocą odpowiedniego logarytmu podaj wzór na liczbę cyfr liczby n Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba?

2 Lista - Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne Podaj wartości funkcji trygonometrycznych: tg π 3 ; b) sin π 3 ; c) cos 5 3 π; d) sin 5 4 π; e) cos 4 3 π; f) ctg π 3 Naszkicuj wykres funkcji: y = sin x; b) y = cos(x + π/4); c) y = sin x + sin x; d) y = sin x + 3 cos x 3 Określ typ parzystości (parzysta, nieparzysta, ani taka ani tak funkcji: y = sin x + sin 3x; b) y = sin x cos x; c) y = cos x + cos x + cos 3 x; d) y = sin x + sin x; e) y = x k cos x; f) y = sin(x + π/4) + cos(x + π/4) 4 Korzystając z okresowości, parzystości bądź nieparzystości i wzorów redukcyjnych oblicz: sin 5 3 π; b) cos 4 π; c) tg 3 π; d) sin ( 7 4 π) ; e) cos 7 6 π; f) sin π 5 + sin 8π 5 5 Wykaż tożsamości: + tg x = cos x ; b) (cos x + sin x) = + sin x; c) cos + cos x x = ; d) sin cos x x = ; e) sin x cos x = sin 3x + sin x ; f) cos 3 x = 3 cos x + cos 3x 4 6 Oblicz wartości czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta sin 5 7 Wyraź sin 3α za pomocą sin α Udowodnij, że sin jest liczbą niewymierną 8 Oblicz wartości funkcji cyklometrycznych: arctg ; b) arcsin( /); c) arctg( 3); d) arcsin( /) 9 Krzywą, którą można otrzymać przesuwając wykres funkcji y = a sin(bx + c) dla ustalonych parametrów a, b, c, nazywamy sinusoidą Wykaż, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą: y = cos x; b) y = sin x; c) y = sin x cos x; d) y = sin x + cos x; e) y = (sin x + cos x) ; f) sin 4 x + cos 4 x Ile różnych wartości przyjmuje wyrażenie sin + sin + sin sin k, gdy k przyjmuje wartości,,,? Pokaż, że jeśli t = tg(x/), to Oblicz: cos x = t t, sin x = + t + t sin π 7 + sin 4π 7 + sin 6π 7 + sin 8π 7 + sin π 7 + sin π 7 3 Udowodnij, że dla dodatnich x zachodzi równość arctg x+arctg(/x) = π Jak wygląda analogiczna równość dla ujemnych x? 4 Naszkicuj wykresy funkcji: y = tg(arctg x); b) y = arctg(tg x) c)* y = cos(arcsin x) 5 * Jednym z pierwiastków równania 4x 3 3x = jest cos Znajdź dwa pozostałe

3 Oblicz granice ciągów: Lista 3 - Granica ciągu a n = (n + 3)(n + ); b) b n = n + n 3 + n + ; c) c n = 3n + 4 n 5 n ; d) d n = n ; n e) e n = n + n; f) f n = n + n n; g) g n = sin n n ; h)* h n = n n + 3 n Znajdź granice niewłaściwe, o ile istnieją a n = (n + )/(n + ); b) b n = n n 3 ; c) c n = 3 n n ; d) d n = 3 n ( ) n 3 Jeżeli dla dodatnich funkcji f, g f(n) lim n g(n) = a, gdzie < a <, to mówimy, że f, g są tego samego rzędu; jeżeli a = mówimy, że są asymptotycznie równe Pokaż, że n jest rzędu n b) Dla jakiego a ( n k) jest asymptotycznie równe an k? 4 Oblicz granice ciągów: a n = ( ( ) + n) n; b) bn = n n; n+ c) cn = ( ) n+ n; n d) dn = ( ) n n 5 Wyjaśnij, wskazując odpowiednie przykłady, dlaczego następujące wyrażenia sa nieoznaczone: ; b) / ; c) 6 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = lim n xn ; Uważaj na dziedzinę! ( b) f(x) = lim + x + x + x n) n 7 Wiadomo, że ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny Czy wynika stąd, że: ciąg rozbieżny nie jest ani ograniczony, ani monotoniczny; b) ciąg rozbieżny nie jest ograniczony lub nie jest monotoniczny; c) ciąg ograniczony niemonotoniczny nie jest zbieżny; d) ciąg zbieżny jest ograniczony i monotoniczny? 8 Niech P n oznacza pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu, L n obwód tego wielokąta Znajdź granice obu ciągów, b) Wywnioskuj stąd granicę ciągu a n = n sin(π/n) 9 Rozważmy ciąg a =, a n+ = a n + a n Wiedząc, że ciąg ten jest zbieżny, znajdź jego granicę Oblicz kilka początkowych wyrazów i porównaj z wynikiem dokładnym b) Podaj analogiczny ciąg o granicy: 3; b) 3 Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród 83 osób przynajmniej jedna obchodzi urodziny w tym samym dniu, co Ty? Rachunki możesz wykonać w pamięci Udowodnij, że lim n n n =

4 Oblicz granice funkcji: lim x x 3 x ; Oblicz granice funkcji: x b) lim ; x x sin x sin x lim ; b) lim x x x sin x ; ln( x) sin x e) lim ; f) lim x x x π x π ; Lista 4 - Granica funkcji c) lim x + x x x sin x ; d) lim x x cos x e x c) lim x x ; d) lim x e x ; g) lim x cos x ; h) lim x sin x x π/ 3 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach znajdź granice: lim x sin x x ; b) lim x[x]; cos x x + sin x c) lim ; d) lim x x x x x + cos x cos x π x 4 Znajdź obie granice jednostronne (właściwe bądź niewłaściwe) we wskazanym punkcie: y = x x 5 Znajdź asymptoty funkcji: w punkcie ; b) y = sgn x x w punkcie ; c) y = x x x y = x3 x ; b) y = x3 + 8 (x 4) ; c) y = x (x + x 6) ; d) y = w punkcie + x x 6 Niech S(h) oznacza powierzchnię całkowitą stożka o ustalonej podstawie r i wysokości h Znajdź granicę S(h) przy h dążącym so zera za pomocą: rozumowania geometrycznego; b) obliczeń 7 Niech S(h) oznacza pole powierzchni tej części Ziemi, jaka widoczna jest z wysokości h Znajdź lim S(h), przyjmując, że Ziemia jest kulą o promieniu R h 8 Obliczając odpowiednią granicę pokaż, że dla a > a + r a + r a Korzystając z tego wzoru pokaż, że: 9/6; b) 5 3/8; c) 99/7 9 Przy stałym tempie wzrostu p% przez okres podwojenia rozumiemy czas, po jakim dana wielkość się podwaja Znajdź okres podwojenia odpowiadający przyrostowi p% b) Uzasadnij, że dla małych p okres ten wyraża się przybliżonym wzorem 7/p c) Czy średni przyrost naturalny w ciągu ostatnich lat był wyższy od promila czy niższy?

5 Lista 5 - Ciągłość Wskaż punkty nieciągłości i określ ich rodzaj:, gdy x, y = x w pp; cos gdy x >, b) y = x x < ; c) y = x, gdy x, x w pp; Korzystając z twierdzenie Bolzana o wartościach pośrednich dla funkcji ciągłych uzasadnij, że równanie: x 5 + x + = ma dokładnie jeden pierwiastek; b) e x = + x + x ma dodatni pierwiastek; c) ln x + ln( + x) = ma dokładnie jeden pierwiastek 3 Za pomocą połowienia przedziału znajdź przybliżoną wartość jedynego pierwiastka równania: x 3 + x = 3 4 Znajdź zbiór wartości funkcji f(x) = e x + x Wskaż, gdzie w uzasadnieniu odpowiedzi korzystasz z twierdzenia Bolzana 5 Gdzie w poniższych rachunkach korzystamy z ciągłości? Jakiej funkcji i w jakim punkcie? ( lim n ln + ) ( = lim n n ln + n ( = ln lim + n n) n = ln e = n n) 6 Czy funkcję y = sin(/x) można dookreślić w punkcie zero tak, aby była ciągła na całej prostej? A funkcję y = x sin(/x)? 7 Korzystając z twierdzenia Bolzana wykaż, że każdy wielomian nieparzystego stopnia ma przynajmniej jeden pierwiastek 8 Za pomocą funkcji sufit lub podłoga określ funkcję, która będzie ciągła we wszystkich punktach z wyjątkiem punktów o współrzędnych będących: liczbami całkowitymi parzystymi; b) liczbami całkowitymi nieparzystymi 9 Zbadaj, w jakich punktach jest ciągła funkcja { x, gdy x wymierna; y = w pp

6 Lista 6 - Pojęcie pochodnej i równanie stycznej Korzystając z definicji oblicz pochodne: y = x + ; b) y = x; c) y = e x Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej oblicz pochodne funkcji: y = x(x ) ; b) y = x ; c) y = x; d) y = x x; e) y = ( x + x) ( x x) 3 Oblicz: f () dla funkcji y = (x + x) 3 ; b) f () dla funkcji y = x + x x 4 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji: y = e x w punkcie (, f()); b) y = ln x w punkcie (e, f(e)) 5 Znajdź kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji y = x poprowadzonej w punkcie (, ) a dodatnią półosią osi Ox Analogicznie dla stycznej w punkcie (, ) 6 Jaki związek zachodzi pomiędzy f () a f ( ) dla funkcji: parzystej; b) nieparzystej? 7 Które z poniższych zdań są prawdziwe: A Każda funkcja ciągła jest różniczkowalna B Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła C Jeżeli funkcja nie jest ciągła, to nie jest różniczkowalna D Jeżeli funkcja nie jest różniczkowalna, to nie jest ciągła 8 Oblicz pochodne niewłaściwe w punkcie x funkcji: y = x, x = : b) y = x, x = ; c) y = arcsin x, x = Jaką informację o wykresie odpowiedniej funkcji możesz stąd wywnioskować? 9 Wskaż punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna (o ile takie istnieją) W punktach nieróżniczkowalności oblicz wartości obu pochodnych jednostronnych y = x + ; b) y = x + x y = x 3 + x ; d) y = x x Pokaż, że funkcja f(x) = x sin(/x) dla x, f() = nie jest różniczkowalna w punkcie zero Czy ma w tym punkcie pochodne jednostronne? A niewłaściwe? Wyraż za pomocą pochodnej związek pomiędzy polem koła a obwodem okręgu oraz pomiędzy powierzchnią kuli a jej objętością Zakładając, ze podobny związek zachodzi także w wyższych wymiarach znajdź powierzchnię kuli czterowymiarowej, wiedząc, że jej objętość wynosi π / Wykaż, że jeśli funkcja różniczkowalna f spełnia warunki f(a + b) = f(f(b) oraz f () =, to f = f W przyszłości pokażemy, że jedyną taką funkcją jest y = e x 3 Pokaż, że styczna poprowadzona do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie P = (a, f() przecina oś Ox w punkcie o współrzędnej x-owej Zapisz ten wzór dla funkcji y = x a = a f( f ( b) Rozważmy ciąg określony warunkami x =, x n+ = x n Oblicz kilka początkowych jego wyrazów i odgadnij jego granicę c) Znajdź w podobny sposób przybliżoną wartość pierwiastka równania x 3 + x = 3

7 Lista 7 - Obliczanie pochodnych Oblicz pochodną korzystając z podstawowych wzorów: y = x 4 x + ; b) y = x x; c) y = xe x ; d) y = x ln x e) y = sin x cos x; f) y = x3 + x + ; ln x g) y = x ; sin x h) y = x ; i) y = sin x ; x + sin x j) y = x + cos x Korzystając ze wzorów na pochodne eksponenty e x oraz logarytmu naturalnego oraz wzoru na pochodną funkcji złożonej wyprowadź wzory na pochodną: y = a x ; b) y = log a x, gdzie a dodatnie, różne od 3 Oblicz pochodną korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej: y = e x ; b) y = sin 4x; c) y = ln(x + ); d) y = (sin x + cos x) 3 ; e) y = sin(cos x); f) y = + x ; g) y = ln sin x; h) y = sin( sin(3x)) 4 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = + x + x w punkcie (, f( )); b) y = ex e x w punkcie (, f()); + c) y = ln(x + ) w punkcie (, f()); d) y = tg x w punkcie (π/4, f(π/4)) 5 Sprawdź, że (sin x) = sin x Wywnioskuj stąd wzór napochodną cos x 6 Oblicz pochodną korzystając ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej: y = x; b) y = arctg x; c) y = arcsin x 7 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = x w punkcie ( /, /) dwiema metodami: geometrycznie; b) algebraicznie 8 Znajdź równanie stycznej do wykresu y = tg x w punkcie (π/4, ) Wywnioskuj z niego równanie stycznej do wykresu y = arctg x w punkcie: (, π/4); b) (, π/4) 9 Oblicz cztery pierwsze pochodne w punkcie zero: funkcji y = sin x; b) funkcji y = ln( + x) W obu przypadkach podaj ogólne wzory na n-tą pochodną w zerze W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji y = x x jest równoległa do: osi Ox; b) prostej y = x; c) osi Oy? Wyprowadź wzór na pochodną y = + x nie korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej Korzystając ze wzoru na pochodną y = x n dla wykładników naturalnych oraz wzoru na pochodną funkcji odwrotnej znajdź pochodną y = n x Wywnioskuj stąd wzór na pochodną y = x α dla wymiernych wykładników 3 Załóżmy, że f jest różniczkowalna Korzystając z definicji wyprowadź wzór na pochodną funkcji: y = f(x ); b) y = f(e x )

8 Lista 8 - Monotoniczność, ekstrema i wypukłość Uzasadnij, że funkcja y = x 3 + x + x + jest rosnąca Naszkicuj wykres wielomianu: y = x 3 3x + ; b) y = x 4 4x 4x 3 Znajdź ekstrema podanych funkcji i określ ich rodzaj: x(x + ) 3 ; b) y = x 4 + x + ; c) y = x x ; d) y = x ln x; e) y = x e x 4 Znajdź ekstrema i przedziały monotoniczności: y = x + x ; b) y = x 4 x ; c) y = + ln x ; d)y = x 4 4x + 3 x 5 Naszkicuj wykres funkcji: y = x + x ; b) y = x + x ; c) y = xe x ; d) y = 6 Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: y = x 3 + 3x x + na przedziale [, 3]; b) y = x + x na przedziale [, 4] x x + 7 Wykaż, że równanie x + cos x = ma tylko jeden pierwiastek Jaki? 8 Znajdź zbiór wartości i liczbę rozwiązań równania f(x) = m dla funkcji: y = x + x + x x + ; b) y = x + x + x 3 9 Niech V (r) oznacza objętość walca o podstawie r wpisanego w kulę jednostkową Naszkicuj wykres funkcji V (r) b) Znajdź największą wartość i zbiór jej wartości Podaj przykład funkcji wszędzie dodatniej: rosnącej i wypukłej; b) rosnącej i wklęsłej; c) malejącej i wypukłej; d) malejącej i wklęsłej Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: y = x ln x; b) y = xe x Korzystając z wypukłości odpowiednich funkcji uzasadnij nierówność: e x + x; b) ln( + x) x: c) sin x < x dla dodatnich x Zilustruj nierówność szkicując fragmenty wykresów obu porównywanych funkcji 3 Nie korzystając z kalkulatora rozstrzygnij, która z liczb jest większa: e π czy π e? 4 Pokaż, że dla funkcji różniczkowalnej f zachodzi równość f (x) = [ln f(x)] f(x) Naszkicuj wykres funkcji y = x x 5 Znajdź wszystkie możliwe odległości punktu paraboli y = x od początku układu współrzędnych 6 * Wykaż, że funkcja x x + x + jest rosnąca

9 Lista 9 - Aproksymacje, wzór Taylora i reguła de l Hospitala Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość: 3, 9: b) ln, ; c) sin 3; d) tg Porównaj z wartościami dokładnymi Z twierdzenia Lagrange a wynika, że przy odpowiednich założeniach f(x) = f( + f (c)(x Znajdź c o którym tu mowa w przypadku funkcji: f(x) = x, oraz a =, x = ; b) f(x) = ln x oraz a =, x = e 3 Zapisz cztery kolejne przybliżenia taylorowskie dla f(x) = x 3 + x + 3x + 4: wokół a = ; b) wokół a = 4 Oblicz przybliżoną wartość e sumując pięć początkowych składników rozwinięcia Maclaurina dla e x Oszacuj błąd przybliżenia 5 Korzystając ze wzoru Taylora uzasadnij przybliżenie sin x x x3 3! + x5 5! Oszacuj błąd przybliżenie przy założeniu, że x < π/ 6 Znajdź: trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia Maclaurina dla y = + x; b rozwinięcie Maclaurina dla funkcji y = ln( + x) 7 Korzystając z reguły de l Hospitala oblicz granice: ln x arctg x sin ln x lim b) lim ; c) lim x x x ( x x ln x e) lim x x ln x; f) lim + x sin x ) ; g) lim x x x/x ; 8 Naszkicuj wykres funkcji: y = ln x ; b) y = x ln x x x n ; d) lim x e x ; h) lim x ( + sin x) /x 9 Korzystając z twierdzenia Lagrange a wykaż, że jeśli f = f, to f(x) = Ce x Uzasadnij, że błąd aproksymacji f(x) f( + f ((x jest równy co najwyżej iloczynowi połowy maksimum drugiej pochodnej na przedziale [a, x] (bądź [x, a]) i kwadratu jego długości Podaj analogiczne oszacowanie błędu aproksymacji f(x) f( + f ((x + f (/(x Odgadnij asymptoty funkcji y = ln( + e x ) i sprawdź swoje przypuszczenia za pomocą obliczeń Czy wykres przecina którąkolwiek z asymptot?

10 Lista - Całka oznaczona, wzór Newtona-Leibniza i techniki całkowania Oblicz podaną całkę przybliżając ją za pomocą sumy prostokątów: x ; b) x ; c)* x Wsk: b) zachodzi równość n = n(n + )(n + )/6; c) dobierz punkty podziału tak, aby tworzyły ciąg geometryczny Korzystając z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej oblicz całki: 4 4 x ; b) ( + x ) ; c) x ; d) x x 3 Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz: x n ; b) π sin x ; c) x ; d) e x 4 Oblicz przybliżoną wartość całki x, dzieląc przedział na 4 równe odcinki i biorąc wartości: w lewych końcach przedziału; b) w środkach przedziału Porównaj z wartością dokładną 5 Korzystając z całkowania przez podstawienie znajdź całki: (x + ) 7 ; b) e x + e x ; c) x 4 x ; d) e e) x ln x ; f) x e x ; g) ; h) x + ex 6 Korzystając z całkowania przez części znajdź całki: x sin x ; b) xe x ; c) x ln x ; d) arctg x ; e) x e x ; f) e x sin x 7 Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz: xe x ; b) x + x c) e 8 Nie korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz 9 Oblicz lim n ( n n + + n n ln x π sin x x sin x ; x + x ) ( n n + n ; b) lim n n + + n ) n Aproksymując pole pod wykresem y = /x za pomocą prostokątów wykaż, że suma różni się od ln n o mniej niż Oblicz π n sin x bezpośrednio z definicji, korzystając ze wzoru na sumę sin α + sin α + + sin nα = sin nα sin α (n+)α sin

11 Oblicz poniższe całki nieoznaczone: x + : b) (x + ) 3 ; c) Lista - Techniki całkowania - cd x + 4 ; d) x ( + x ) 3 Rozłóż na ułamki proste i znajdź całkę nieoznaczoną: x(x ) ; b) x x 4 ; c) (x + ) x(x + )(x + ) ; d) x + x + x + x 3 ; x (x + 3) (x + ) e) x + 4 ; f) x ; g) + x + x + ; h) x 4x + ; i) x + x + ; j) x x + 6x + ; k) x 3 + 4x ; l) x x 4 3 Oblicz całkę: x 3 + x 4 + x ; b) + x + 4 Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych: tg x ; b) cos x ; c) sin 3 x ; d) e) sin 3x sin x ; f) sin x cos 5x ; g) cos x cos 4x ; h) 5 Pamiętając, że (tg x) = + tg x oblicz tg x cos 4 x ; sin x 6 Znajdź całkę nieoznaczoną x za pomocą podstawienia x = sin t Korzystając z tej całki pokaż, że pole koła x + y jest równe π 7 Wyprowadź zależność x n cos x = x n sin x n x n sin x 8 Funkcje hiperboliczne definiujemy wzorami cosh x = ex + e x, sinh x = ex e x Podaj przykłady analogii (tożsamości, pochodne, całki) pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi b) Czy funkcje hiperboliczne są ograniczone? okresowe? c) Sprawdź, że każdy punkt postaci (± cosh t, ± sinh t) leży na hiperboli x y =, a także (trudniejsza część zadani, iż każdy punkt tej hiperboli ma taką postać 9 Korzystając z podstawienia x = cosh t oblicz całkę + x

12 Lista - Zastosowania całek oznaczonych Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = x x, x + y = ; b) y = x, y = x ; c) yx =, y = x, y =, x = ; d) x =, y = arcsin x, y = π/; e) y = x, x = y ; f) y = 4 x, y = x Znajdź średnią wartość funkcji na wskazanym przedziale: x na [, a]; b) sin x na [, π]; c) cos x na [, π]; d) ln x na [, e] 3 Oblicz pole obszaru ograniczonego elipsą 4x + y = 4 Oblicz objętość i powierzchnię bryły utworzonej przez obrót łuku sinusoidy y = sin x, x π wokół osi Ox 5 Korzystając ze wzorów na objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót wokół osi Oy oblicz objętość i pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu wokół tej osi: odcinka y = x, x a; b) odcinka paraboli y = x, x a Jak rozwiązać b) korzystając z wzorów na obrót wokół osi Ox? 6 Korzystając ze wzoru na długość łuku: oblicz długość łuku y = x x, x ; b) oblicz długość łuku krzywej łańcuchowej y = (e x + e x )/, x ; c) sprawdź, że obwód okręgu x + y = jest równy π Uwaga: W zadaniu c) pojawia się całka niewłaściwa (wykraczająca na niektórych kierunkach poza program), ale nie ma to wpływu na obliczenia 7 Wyprowadź znane wzory na objętość i pole powierzchni kuli o promieniu R 8 Trąbką Torricellego nazywamy powierzchnię powstałą przez obrót krzywej y = /x, x wokół osi Ox Pokaż, że powierzchnia trąbki jest nieskończona, a jej objętość skończona b) Wypełniając tę trąbkę farbą pomalujemy nieskończoną wewnętrzna powierzchnię za pomocą skończonej ilości farby Wyjaśnij ten paradoks Uwaga: W zadaniu tym operujemy tzw całką niewłaściwą Dość łatwo jest takiej całce nadać ścisły sens bądź znaleźć definicję w literaturze/internecie 9 Oblicz powierzchnię torusa utworzonego przez obrót okręgu x + (y R) = r (R > r) wokół osi Ox Sprawdź, że powierzchnia ta jest równa iloczynowi obwodu okręgu tego okręgu przez drogę, jaka przebywa jego środek Oblicz powierzchnię czaszy wyciętej ze sfery x + y + z = płaszczyzną z = a, gdzie < a < Sprawdź, że jest ona równa powierzchni jej rzutu prostokątnego na powierzchnie walca stycznego do tej sfery

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA I

ANALIZA MATEMATYCZNA I ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co tydzień Choć zadania po symbolu potrójne karo nie są typowe, warto też poświęcić im nieco uwagi Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA I

ANALIZA MATEMATYCZNA I ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera

Bardziej szczegółowo

Tydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza. ; e)

Tydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza. ; e) Tydzień - Logika. Każde z poniższych zdań wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Bardziej szczegółowo

Lista 2 - Granica. 2n d) dn = ( 1 1 ) n 2. 2n+1 n; 1+x

Lista 2 - Granica. 2n d) dn = ( 1 1 ) n 2. 2n+1 n; 1+x Lista - Logika. Każde z poniższych twierdzeń wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1 WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Analiza Matematyczna Ćwiczenia Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x . Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny. Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres rozszerzony

MATeMAtyka zakres rozszerzony MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem

Bardziej szczegółowo

3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.

3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość. 1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 b) + y c) + 1 + 2 2 dla 1 2 d) 8 e) + 1 f) 1 + + 2. 2. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Lista zadań nr 2 z Matematyki II Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna. Lista zadań 10

Analiza Matematyczna. Lista zadań 10 Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644) LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Pochodna i jej zastosowania

Pochodna i jej zastosowania Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania................................ 3....................... 4 II Funkcje trygonometryczne

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres podstawowy

MATeMAtyka zakres podstawowy MATeMAtyka zakres podstawowy Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne 1 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3 4. Rozwinięcie

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Repetytorium z matematyki ćwiczenia Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)

ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.

Bardziej szczegółowo

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1 KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego

Bardziej szczegółowo