Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
|
|
- Joanna Kowalczyk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = x α dla: α =,, 3, 4; b) α =,, ; c) α =,, / oraz / 3 Zapisz w postaci pojedynczej potęgi dwójki: /64; b ; c) ( )/; d) ( ) 3 ( 3 ) ; e) ( 3 ) 4 ; f) 34 ; g) ( ) 4 Podaj wartości logarytmów: log 4; b) log 4 ; c) log ; d) log4 8; e) log 8 4; f) log Kalkulatory naukowe pozwalają bez trudu obliczać logarytmy dziesiętne i naturalne Wyraź poniższe wyrażenia za pomocą pojedynczego logarytmu dziesiętnego bądź naturalnego: log ; b) log log 5; c) log 3 ; d) log 3; e) log ln 6 Czasem trudno odkryć zależność pomiędzy zmiennymi wielkościami x, y, ale łatwo pomiędzy ich logarytmami Wyraź y jako funkcję zmiennej x, jeżeli log y = 3 log x 7 Naszkicuj wykresy funkcji: y = x ; b) y = log(x + ); c) y = log x ; d) y = x ; e) y = x 8 Znajdź funkcję odwrotną do funkcji: y = x ; b) y = x ; c) y = x, x ; d)* y = x + x, x 9 Badania pokazują, że w dużych zbiorach danych złożonych z przypadkowych liczb, liczby zaczynające się cyfrą k stanowią około log ( + k ) wszystkich danych Oszacuj, jaka część danych zaczyna się cyfrą, jaka cyfrą b) Sprawdź, że ( log + ) ( + log + ) ( + + log + ) = 9 Wykaż, że log jest liczbą niewymierną Za pomocą odpowiedniego logarytmu podaj wzór na liczbę cyfr liczby n Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba?
2 Lista - Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne Podaj wartości funkcji trygonometrycznych: tg π 3 ; b) sin π 3 ; c) cos 5 3 π; d) sin 5 4 π; e) cos 4 3 π; f) ctg π 3 Naszkicuj wykres funkcji: y = sin x; b) y = cos(x + π/4); c) y = sin x + sin x; d) y = sin x + 3 cos x 3 Określ typ parzystości (parzysta, nieparzysta, ani taka ani tak funkcji: y = sin x + sin 3x; b) y = sin x cos x; c) y = cos x + cos x + cos 3 x; d) y = sin x + sin x; e) y = x k cos x; f) y = sin(x + π/4) + cos(x + π/4) 4 Korzystając z okresowości, parzystości bądź nieparzystości i wzorów redukcyjnych oblicz: sin 5 3 π; b) cos 4 π; c) tg 3 π; d) sin ( 7 4 π) ; e) cos 7 6 π; f) sin π 5 + sin 8π 5 5 Wykaż tożsamości: + tg x = cos x ; b) (cos x + sin x) = + sin x; c) cos + cos x x = ; d) sin cos x x = ; e) sin x cos x = sin 3x + sin x ; f) cos 3 x = 3 cos x + cos 3x 4 6 Oblicz wartości czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta sin 5 7 Wyraź sin 3α za pomocą sin α Udowodnij, że sin jest liczbą niewymierną 8 Oblicz wartości funkcji cyklometrycznych: arctg ; b) arcsin( /); c) arctg( 3); d) arcsin( /) 9 Krzywą, którą można otrzymać przesuwając wykres funkcji y = a sin(bx + c) dla ustalonych parametrów a, b, c, nazywamy sinusoidą Wykaż, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą: y = cos x; b) y = sin x; c) y = sin x cos x; d) y = sin x + cos x; e) y = (sin x + cos x) ; f) sin 4 x + cos 4 x Ile różnych wartości przyjmuje wyrażenie sin + sin + sin sin k, gdy k przyjmuje wartości,,,? Pokaż, że jeśli t = tg(x/), to Oblicz: cos x = t t, sin x = + t + t sin π 7 + sin 4π 7 + sin 6π 7 + sin 8π 7 + sin π 7 + sin π 7 3 Udowodnij, że dla dodatnich x zachodzi równość arctg x+arctg(/x) = π Jak wygląda analogiczna równość dla ujemnych x? 4 Naszkicuj wykresy funkcji: y = tg(arctg x); b) y = arctg(tg x) c)* y = cos(arcsin x) 5 * Jednym z pierwiastków równania 4x 3 3x = jest cos Znajdź dwa pozostałe
3 Oblicz granice ciągów: Lista 3 - Granica ciągu a n = (n + 3)(n + ); b) b n = n + n 3 + n + ; c) c n = 3n + 4 n 5 n ; d) d n = n ; n e) e n = n + n; f) f n = n + n n; g) g n = sin n n ; h)* h n = n n + 3 n Znajdź granice niewłaściwe, o ile istnieją a n = (n + )/(n + ); b) b n = n n 3 ; c) c n = 3 n n ; d) d n = 3 n ( ) n 3 Jeżeli dla dodatnich funkcji f, g f(n) lim n g(n) = a, gdzie < a <, to mówimy, że f, g są tego samego rzędu; jeżeli a = mówimy, że są asymptotycznie równe Pokaż, że n jest rzędu n b) Dla jakiego a ( n k) jest asymptotycznie równe an k? 4 Oblicz granice ciągów: a n = ( ( ) + n) n; b) bn = n n; n+ c) cn = ( ) n+ n; n d) dn = ( ) n n 5 Wyjaśnij, wskazując odpowiednie przykłady, dlaczego następujące wyrażenia sa nieoznaczone: ; b) / ; c) 6 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = lim n xn ; Uważaj na dziedzinę! ( b) f(x) = lim + x + x + x n) n 7 Wiadomo, że ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny Czy wynika stąd, że: ciąg rozbieżny nie jest ani ograniczony, ani monotoniczny; b) ciąg rozbieżny nie jest ograniczony lub nie jest monotoniczny; c) ciąg ograniczony niemonotoniczny nie jest zbieżny; d) ciąg zbieżny jest ograniczony i monotoniczny? 8 Niech P n oznacza pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu, L n obwód tego wielokąta Znajdź granice obu ciągów, b) Wywnioskuj stąd granicę ciągu a n = n sin(π/n) 9 Rozważmy ciąg a =, a n+ = a n + a n Wiedząc, że ciąg ten jest zbieżny, znajdź jego granicę Oblicz kilka początkowych wyrazów i porównaj z wynikiem dokładnym b) Podaj analogiczny ciąg o granicy: 3; b) 3 Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród 83 osób przynajmniej jedna obchodzi urodziny w tym samym dniu, co Ty? Rachunki możesz wykonać w pamięci Udowodnij, że lim n n n =
4 Oblicz granice funkcji: lim x x 3 x ; Oblicz granice funkcji: x b) lim ; x x sin x sin x lim ; b) lim x x x sin x ; ln( x) sin x e) lim ; f) lim x x x π x π ; Lista 4 - Granica funkcji c) lim x + x x x sin x ; d) lim x x cos x e x c) lim x x ; d) lim x e x ; g) lim x cos x ; h) lim x sin x x π/ 3 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach znajdź granice: lim x sin x x ; b) lim x[x]; cos x x + sin x c) lim ; d) lim x x x x x + cos x cos x π x 4 Znajdź obie granice jednostronne (właściwe bądź niewłaściwe) we wskazanym punkcie: y = x x 5 Znajdź asymptoty funkcji: w punkcie ; b) y = sgn x x w punkcie ; c) y = x x x y = x3 x ; b) y = x3 + 8 (x 4) ; c) y = x (x + x 6) ; d) y = w punkcie + x x 6 Niech S(h) oznacza powierzchnię całkowitą stożka o ustalonej podstawie r i wysokości h Znajdź granicę S(h) przy h dążącym so zera za pomocą: rozumowania geometrycznego; b) obliczeń 7 Niech S(h) oznacza pole powierzchni tej części Ziemi, jaka widoczna jest z wysokości h Znajdź lim S(h), przyjmując, że Ziemia jest kulą o promieniu R h 8 Obliczając odpowiednią granicę pokaż, że dla a > a + r a + r a Korzystając z tego wzoru pokaż, że: 9/6; b) 5 3/8; c) 99/7 9 Przy stałym tempie wzrostu p% przez okres podwojenia rozumiemy czas, po jakim dana wielkość się podwaja Znajdź okres podwojenia odpowiadający przyrostowi p% b) Uzasadnij, że dla małych p okres ten wyraża się przybliżonym wzorem 7/p c) Czy średni przyrost naturalny w ciągu ostatnich lat był wyższy od promila czy niższy?
5 Lista 5 - Ciągłość Wskaż punkty nieciągłości i określ ich rodzaj:, gdy x, y = x w pp; cos gdy x >, b) y = x x < ; c) y = x, gdy x, x w pp; Korzystając z twierdzenie Bolzana o wartościach pośrednich dla funkcji ciągłych uzasadnij, że równanie: x 5 + x + = ma dokładnie jeden pierwiastek; b) e x = + x + x ma dodatni pierwiastek; c) ln x + ln( + x) = ma dokładnie jeden pierwiastek 3 Za pomocą połowienia przedziału znajdź przybliżoną wartość jedynego pierwiastka równania: x 3 + x = 3 4 Znajdź zbiór wartości funkcji f(x) = e x + x Wskaż, gdzie w uzasadnieniu odpowiedzi korzystasz z twierdzenia Bolzana 5 Gdzie w poniższych rachunkach korzystamy z ciągłości? Jakiej funkcji i w jakim punkcie? ( lim n ln + ) ( = lim n n ln + n ( = ln lim + n n) n = ln e = n n) 6 Czy funkcję y = sin(/x) można dookreślić w punkcie zero tak, aby była ciągła na całej prostej? A funkcję y = x sin(/x)? 7 Korzystając z twierdzenia Bolzana wykaż, że każdy wielomian nieparzystego stopnia ma przynajmniej jeden pierwiastek 8 Za pomocą funkcji sufit lub podłoga określ funkcję, która będzie ciągła we wszystkich punktach z wyjątkiem punktów o współrzędnych będących: liczbami całkowitymi parzystymi; b) liczbami całkowitymi nieparzystymi 9 Zbadaj, w jakich punktach jest ciągła funkcja { x, gdy x wymierna; y = w pp
6 Lista 6 - Pojęcie pochodnej i równanie stycznej Korzystając z definicji oblicz pochodne: y = x + ; b) y = x; c) y = e x Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej oblicz pochodne funkcji: y = x(x ) ; b) y = x ; c) y = x; d) y = x x; e) y = ( x + x) ( x x) 3 Oblicz: f () dla funkcji y = (x + x) 3 ; b) f () dla funkcji y = x + x x 4 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji: y = e x w punkcie (, f()); b) y = ln x w punkcie (e, f(e)) 5 Znajdź kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji y = x poprowadzonej w punkcie (, ) a dodatnią półosią osi Ox Analogicznie dla stycznej w punkcie (, ) 6 Jaki związek zachodzi pomiędzy f () a f ( ) dla funkcji: parzystej; b) nieparzystej? 7 Które z poniższych zdań są prawdziwe: A Każda funkcja ciągła jest różniczkowalna B Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła C Jeżeli funkcja nie jest ciągła, to nie jest różniczkowalna D Jeżeli funkcja nie jest różniczkowalna, to nie jest ciągła 8 Oblicz pochodne niewłaściwe w punkcie x funkcji: y = x, x = : b) y = x, x = ; c) y = arcsin x, x = Jaką informację o wykresie odpowiedniej funkcji możesz stąd wywnioskować? 9 Wskaż punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna (o ile takie istnieją) W punktach nieróżniczkowalności oblicz wartości obu pochodnych jednostronnych y = x + ; b) y = x + x y = x 3 + x ; d) y = x x Pokaż, że funkcja f(x) = x sin(/x) dla x, f() = nie jest różniczkowalna w punkcie zero Czy ma w tym punkcie pochodne jednostronne? A niewłaściwe? Wyraż za pomocą pochodnej związek pomiędzy polem koła a obwodem okręgu oraz pomiędzy powierzchnią kuli a jej objętością Zakładając, ze podobny związek zachodzi także w wyższych wymiarach znajdź powierzchnię kuli czterowymiarowej, wiedząc, że jej objętość wynosi π / Wykaż, że jeśli funkcja różniczkowalna f spełnia warunki f(a + b) = f(f(b) oraz f () =, to f = f W przyszłości pokażemy, że jedyną taką funkcją jest y = e x 3 Pokaż, że styczna poprowadzona do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie P = (a, f() przecina oś Ox w punkcie o współrzędnej x-owej Zapisz ten wzór dla funkcji y = x a = a f( f ( b) Rozważmy ciąg określony warunkami x =, x n+ = x n Oblicz kilka początkowych jego wyrazów i odgadnij jego granicę c) Znajdź w podobny sposób przybliżoną wartość pierwiastka równania x 3 + x = 3
7 Lista 7 - Obliczanie pochodnych Oblicz pochodną korzystając z podstawowych wzorów: y = x 4 x + ; b) y = x x; c) y = xe x ; d) y = x ln x e) y = sin x cos x; f) y = x3 + x + ; ln x g) y = x ; sin x h) y = x ; i) y = sin x ; x + sin x j) y = x + cos x Korzystając ze wzorów na pochodne eksponenty e x oraz logarytmu naturalnego oraz wzoru na pochodną funkcji złożonej wyprowadź wzory na pochodną: y = a x ; b) y = log a x, gdzie a dodatnie, różne od 3 Oblicz pochodną korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej: y = e x ; b) y = sin 4x; c) y = ln(x + ); d) y = (sin x + cos x) 3 ; e) y = sin(cos x); f) y = + x ; g) y = ln sin x; h) y = sin( sin(3x)) 4 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = + x + x w punkcie (, f( )); b) y = ex e x w punkcie (, f()); + c) y = ln(x + ) w punkcie (, f()); d) y = tg x w punkcie (π/4, f(π/4)) 5 Sprawdź, że (sin x) = sin x Wywnioskuj stąd wzór napochodną cos x 6 Oblicz pochodną korzystając ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej: y = x; b) y = arctg x; c) y = arcsin x 7 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = x w punkcie ( /, /) dwiema metodami: geometrycznie; b) algebraicznie 8 Znajdź równanie stycznej do wykresu y = tg x w punkcie (π/4, ) Wywnioskuj z niego równanie stycznej do wykresu y = arctg x w punkcie: (, π/4); b) (, π/4) 9 Oblicz cztery pierwsze pochodne w punkcie zero: funkcji y = sin x; b) funkcji y = ln( + x) W obu przypadkach podaj ogólne wzory na n-tą pochodną w zerze W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji y = x x jest równoległa do: osi Ox; b) prostej y = x; c) osi Oy? Wyprowadź wzór na pochodną y = + x nie korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej Korzystając ze wzoru na pochodną y = x n dla wykładników naturalnych oraz wzoru na pochodną funkcji odwrotnej znajdź pochodną y = n x Wywnioskuj stąd wzór na pochodną y = x α dla wymiernych wykładników 3 Załóżmy, że f jest różniczkowalna Korzystając z definicji wyprowadź wzór na pochodną funkcji: y = f(x ); b) y = f(e x )
8 Lista 8 - Monotoniczność, ekstrema i wypukłość Uzasadnij, że funkcja y = x 3 + x + x + jest rosnąca Naszkicuj wykres wielomianu: y = x 3 3x + ; b) y = x 4 4x 4x 3 Znajdź ekstrema podanych funkcji i określ ich rodzaj: x(x + ) 3 ; b) y = x 4 + x + ; c) y = x x ; d) y = x ln x; e) y = x e x 4 Znajdź ekstrema i przedziały monotoniczności: y = x + x ; b) y = x 4 x ; c) y = + ln x ; d)y = x 4 4x + 3 x 5 Naszkicuj wykres funkcji: y = x + x ; b) y = x + x ; c) y = xe x ; d) y = 6 Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: y = x 3 + 3x x + na przedziale [, 3]; b) y = x + x na przedziale [, 4] x x + 7 Wykaż, że równanie x + cos x = ma tylko jeden pierwiastek Jaki? 8 Znajdź zbiór wartości i liczbę rozwiązań równania f(x) = m dla funkcji: y = x + x + x x + ; b) y = x + x + x 3 9 Niech V (r) oznacza objętość walca o podstawie r wpisanego w kulę jednostkową Naszkicuj wykres funkcji V (r) b) Znajdź największą wartość i zbiór jej wartości Podaj przykład funkcji wszędzie dodatniej: rosnącej i wypukłej; b) rosnącej i wklęsłej; c) malejącej i wypukłej; d) malejącej i wklęsłej Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: y = x ln x; b) y = xe x Korzystając z wypukłości odpowiednich funkcji uzasadnij nierówność: e x + x; b) ln( + x) x: c) sin x < x dla dodatnich x Zilustruj nierówność szkicując fragmenty wykresów obu porównywanych funkcji 3 Nie korzystając z kalkulatora rozstrzygnij, która z liczb jest większa: e π czy π e? 4 Pokaż, że dla funkcji różniczkowalnej f zachodzi równość f (x) = [ln f(x)] f(x) Naszkicuj wykres funkcji y = x x 5 Znajdź wszystkie możliwe odległości punktu paraboli y = x od początku układu współrzędnych 6 * Wykaż, że funkcja x x + x + jest rosnąca
9 Lista 9 - Aproksymacje, wzór Taylora i reguła de l Hospitala Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość: 3, 9: b) ln, ; c) sin 3; d) tg Porównaj z wartościami dokładnymi Z twierdzenia Lagrange a wynika, że przy odpowiednich założeniach f(x) = f( + f (c)(x Znajdź c o którym tu mowa w przypadku funkcji: f(x) = x, oraz a =, x = ; b) f(x) = ln x oraz a =, x = e 3 Zapisz cztery kolejne przybliżenia taylorowskie dla f(x) = x 3 + x + 3x + 4: wokół a = ; b) wokół a = 4 Oblicz przybliżoną wartość e sumując pięć początkowych składników rozwinięcia Maclaurina dla e x Oszacuj błąd przybliżenia 5 Korzystając ze wzoru Taylora uzasadnij przybliżenie sin x x x3 3! + x5 5! Oszacuj błąd przybliżenie przy założeniu, że x < π/ 6 Znajdź: trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia Maclaurina dla y = + x; b rozwinięcie Maclaurina dla funkcji y = ln( + x) 7 Korzystając z reguły de l Hospitala oblicz granice: ln x arctg x sin ln x lim b) lim ; c) lim x x x ( x x ln x e) lim x x ln x; f) lim + x sin x ) ; g) lim x x x/x ; 8 Naszkicuj wykres funkcji: y = ln x ; b) y = x ln x x x n ; d) lim x e x ; h) lim x ( + sin x) /x 9 Korzystając z twierdzenia Lagrange a wykaż, że jeśli f = f, to f(x) = Ce x Uzasadnij, że błąd aproksymacji f(x) f( + f ((x jest równy co najwyżej iloczynowi połowy maksimum drugiej pochodnej na przedziale [a, x] (bądź [x, a]) i kwadratu jego długości Podaj analogiczne oszacowanie błędu aproksymacji f(x) f( + f ((x + f (/(x Odgadnij asymptoty funkcji y = ln( + e x ) i sprawdź swoje przypuszczenia za pomocą obliczeń Czy wykres przecina którąkolwiek z asymptot?
10 Lista - Całka oznaczona, wzór Newtona-Leibniza i techniki całkowania Oblicz podaną całkę przybliżając ją za pomocą sumy prostokątów: x ; b) x ; c)* x Wsk: b) zachodzi równość n = n(n + )(n + )/6; c) dobierz punkty podziału tak, aby tworzyły ciąg geometryczny Korzystając z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej oblicz całki: 4 4 x ; b) ( + x ) ; c) x ; d) x x 3 Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz: x n ; b) π sin x ; c) x ; d) e x 4 Oblicz przybliżoną wartość całki x, dzieląc przedział na 4 równe odcinki i biorąc wartości: w lewych końcach przedziału; b) w środkach przedziału Porównaj z wartością dokładną 5 Korzystając z całkowania przez podstawienie znajdź całki: (x + ) 7 ; b) e x + e x ; c) x 4 x ; d) e e) x ln x ; f) x e x ; g) ; h) x + ex 6 Korzystając z całkowania przez części znajdź całki: x sin x ; b) xe x ; c) x ln x ; d) arctg x ; e) x e x ; f) e x sin x 7 Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz: xe x ; b) x + x c) e 8 Nie korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz 9 Oblicz lim n ( n n + + n n ln x π sin x x sin x ; x + x ) ( n n + n ; b) lim n n + + n ) n Aproksymując pole pod wykresem y = /x za pomocą prostokątów wykaż, że suma różni się od ln n o mniej niż Oblicz π n sin x bezpośrednio z definicji, korzystając ze wzoru na sumę sin α + sin α + + sin nα = sin nα sin α (n+)α sin
11 Oblicz poniższe całki nieoznaczone: x + : b) (x + ) 3 ; c) Lista - Techniki całkowania - cd x + 4 ; d) x ( + x ) 3 Rozłóż na ułamki proste i znajdź całkę nieoznaczoną: x(x ) ; b) x x 4 ; c) (x + ) x(x + )(x + ) ; d) x + x + x + x 3 ; x (x + 3) (x + ) e) x + 4 ; f) x ; g) + x + x + ; h) x 4x + ; i) x + x + ; j) x x + 6x + ; k) x 3 + 4x ; l) x x 4 3 Oblicz całkę: x 3 + x 4 + x ; b) + x + 4 Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych: tg x ; b) cos x ; c) sin 3 x ; d) e) sin 3x sin x ; f) sin x cos 5x ; g) cos x cos 4x ; h) 5 Pamiętając, że (tg x) = + tg x oblicz tg x cos 4 x ; sin x 6 Znajdź całkę nieoznaczoną x za pomocą podstawienia x = sin t Korzystając z tej całki pokaż, że pole koła x + y jest równe π 7 Wyprowadź zależność x n cos x = x n sin x n x n sin x 8 Funkcje hiperboliczne definiujemy wzorami cosh x = ex + e x, sinh x = ex e x Podaj przykłady analogii (tożsamości, pochodne, całki) pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi b) Czy funkcje hiperboliczne są ograniczone? okresowe? c) Sprawdź, że każdy punkt postaci (± cosh t, ± sinh t) leży na hiperboli x y =, a także (trudniejsza część zadani, iż każdy punkt tej hiperboli ma taką postać 9 Korzystając z podstawienia x = cosh t oblicz całkę + x
12 Lista - Zastosowania całek oznaczonych Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = x x, x + y = ; b) y = x, y = x ; c) yx =, y = x, y =, x = ; d) x =, y = arcsin x, y = π/; e) y = x, x = y ; f) y = 4 x, y = x Znajdź średnią wartość funkcji na wskazanym przedziale: x na [, a]; b) sin x na [, π]; c) cos x na [, π]; d) ln x na [, e] 3 Oblicz pole obszaru ograniczonego elipsą 4x + y = 4 Oblicz objętość i powierzchnię bryły utworzonej przez obrót łuku sinusoidy y = sin x, x π wokół osi Ox 5 Korzystając ze wzorów na objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót wokół osi Oy oblicz objętość i pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu wokół tej osi: odcinka y = x, x a; b) odcinka paraboli y = x, x a Jak rozwiązać b) korzystając z wzorów na obrót wokół osi Ox? 6 Korzystając ze wzoru na długość łuku: oblicz długość łuku y = x x, x ; b) oblicz długość łuku krzywej łańcuchowej y = (e x + e x )/, x ; c) sprawdź, że obwód okręgu x + y = jest równy π Uwaga: W zadaniu c) pojawia się całka niewłaściwa (wykraczająca na niektórych kierunkach poza program), ale nie ma to wpływu na obliczenia 7 Wyprowadź znane wzory na objętość i pole powierzchni kuli o promieniu R 8 Trąbką Torricellego nazywamy powierzchnię powstałą przez obrót krzywej y = /x, x wokół osi Ox Pokaż, że powierzchnia trąbki jest nieskończona, a jej objętość skończona b) Wypełniając tę trąbkę farbą pomalujemy nieskończoną wewnętrzna powierzchnię za pomocą skończonej ilości farby Wyjaśnij ten paradoks Uwaga: W zadaniu tym operujemy tzw całką niewłaściwą Dość łatwo jest takiej całce nadać ścisły sens bądź znaleźć definicję w literaturze/internecie 9 Oblicz powierzchnię torusa utworzonego przez obrót okręgu x + (y R) = r (R > r) wokół osi Ox Sprawdź, że powierzchnia ta jest równa iloczynowi obwodu okręgu tego okręgu przez drogę, jaka przebywa jego środek Oblicz powierzchnię czaszy wyciętej ze sfery x + y + z = płaszczyzną z = a, gdzie < a < Sprawdź, że jest ona równa powierzchni jej rzutu prostokątnego na powierzchnie walca stycznego do tej sfery
Lista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co tydzień Choć zadania po symbolu potrójne karo nie są typowe, warto też poświęcić im nieco uwagi Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera
Bardziej szczegółowoTydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza. ; e)
Tydzień - Logika. Każde z poniższych zdań wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowoLista 2 - Granica. 2n d) dn = ( 1 1 ) n 2. 2n+1 n; 1+x
Lista - Logika. Każde z poniższych twierdzeń wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres rozszerzony
MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowo3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 b) + y c) + 1 + 2 2 dla 1 2 d) 8 e) + 1 f) 1 + + 2. 2. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy
Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Lista zadań 10
Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.
ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowo1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)
Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania................................ 3....................... 4 II Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres podstawowy
MATeMAtyka zakres podstawowy Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne 1 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3 4. Rozwinięcie
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowo