Tydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza. ; e)

Transkrypt

1 Tydzień - Logika. Każde z poniższych zdań wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. B. Dla wykładnika naturalnego n 3 równanie n + y n = z n nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich. C. Każda liczba parzysta większa od jest sumą dwu liczb pierwszych.. Rozważmy zdanie: Jeżeli dzieli jakąś liczbę, to także 3 dzieli tę liczbę. a) Pokaż, ze wynikanie odwrotne nie jest prawdziwe. b) Czy podzielność przez jest warunkiem koniecznym podzielności przez 3? c) Czy podzielność przez 3 jest warunkiem koniecznym podzielności przez? d) Czy podzielność przez jest warunkiem dostatecznym podzielności przez 3? e) Podaj warunek konieczny i dostateczny podzielności przez Rozważmy zdania: p - dostałem co najmniej czwórkę, q - dostałem mniej niz trójkę, r - nie dostałem jedynki. Przyjmując, że nie ma ocen połówkowych wyraź możliwie prosto zdania: a) negację r; b) negację p; c) koniunkcję q i r; d) alternatywę p oraz q; e) negację alternatywy zdań p oraz q; f) koniunkcję negacji p i negacji q. 4. Jedna strona każdej z kart pokazuje kolor (czerwony albo niebieski), druga figurę (kółko albo trójkąt). Na stole leżą cztery karty: pierwsza z nich jest niebieska, druga czerwona, trzecia ma kółko, czwarta trójkąt. Placek twierdzi, że karty niebieskie mają na odwrocie kółko. Które karty trzeba odwrócić, aby sprawdzić, czy ma rację. 5. Załóżmy, że gdy Jacek chrapie, to Agatka śni. Czy wynika stąd, że: a) Gdy Jacek nie chrapie, to Agatka nie śni. b) Gdy Agatka śni, to Jacek chrapie. c) Gdy Agatka nie śni, to Jacek nie chrapie. d) Jacek nie chrapie lub Agatka śni. 6. Które z poniższych równoważności są prawdziwe? a) n jest wielokrotnością 5 5 jest dzielnikiem n; b) a < b b > a c) A jest o % szybszy od B B jest o % wolniejszy od A. 7. George Bernard Shaw twierdził, że przekłady są jak kochanki wierne nie są piękne, piękne nie są wierne. Czy z twierdzenia tego wynika, że: A. Przekład wierny nie jest piękny. B. Jeśli przekład nie jest piękny, to jest wierny. C. Jeśli przekład jest piękny, to nie jest wierny. D. Jeśli przekład nie jest wierny, to jest piękny. E. Żaden przekład nie może być zarazem wierny i piękny. 8. Panu N. odmówiono sprzedaży alkoholu powołując się na przepis, że osobom niepełnoletnim bądź nietrzeźwym alkoholu nie sprzedaje się. Czy wynika stąd, że pan N: a) był niepełnoletni; b) był nietrzeźwy; c) był niepełnoletni i nietrzeźwy; d) był niepełnoletni lub nietrzeźwy; e) jeśli był trzeźwy, to niepełnoletni f) jeśli był niepełnoletni, to trzeźwy. 9. Udowodnij, że istnieją liczby niewymierne a, b takie, że a b wymierna. Wsk.: Rozważ a = b =. Jeżeli a b jest wymierna, to koniec dowodu. A jeśli niewymierna?. Dokończ poniższy dowód niewprost: Załóżmy, że liczb pierwszych jest skończenie wiele. Niech p, p,..., p k będą wszystkimi liczbami pierwszymi. Rozważmy liczbę N = p p... p k +. Wówczas... Jakie twierdzenie udowodniłeś?

2 Tydzień - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza. Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn ; b) y = ; c) y = ; d) y = ; e) y = ; f) y = sgn.. Naszkicuj wykresy funkcji potęgowej y = α dla α =,, 3,,, / oraz /. 3. Zapisz w postaci pojedynczej potęgi dwójki: a) /64; b ; c) ; d) ( )/; e) ( ) 3 ( 3 ) f) ( 3 ) 4 ; g) 34 ; h) ( ). 4. Podaj wartości logarytmów: a) log 4; b) log 4 ; c) log ; d) log4 8; e) log 8 4; f) log Wyraź poniższe wyrażenia za pomocą pojedynczego logarytmu: a) log ; b) log log 5; c) log 3 ; d) log 3 log ; e) log ln. 6. Wyraź y jako funkcję zmiennej, jeżeli log y = 3 log. 7. Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = ; b) y = log( + ); c) y = log ; d) y = ; e) y =. 8. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji: a) y = ; b) y = ; c) y =, ; d)* y = +,. 9. Badania pokazują, że w dużych zbiorach danych złożonych z przypadkowych liczb, liczby zaczynające się cyfrą k stanowią około log ( + ) k wszystkich danych. a) Oszacuj, jaka część danych zaczyna się cyfrą, jaka cyfrą. b) Sprawdź, że ( log + ) ( + log + ) ( log + ) =. 9. Wykaż, że log jest liczbą niewymierną.. Za pomocą odpowiedniego logarytmu podaj wzór na liczbę cyfr liczby n. Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba?

3 Tydzień 3 - Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne. Podaj wartości funkcji trygonometrycznych: a) tg π 3 ; b) sin π 3 ; c) cos 5 3 π; d) sin 5 4 π; e) cos 4 3 π; f) ctg π 3.. Naszkicuj wykres funkcji: a) y = sin ; b) y = cos( + π/4); c) y = cos ; d) y = sin + sin e) y = sin + 3 cos. 3. Określ typ parzystości (parzysta, nieparzysta, ani taka ani taka) funkcji: a) y = sin + sin 3; b) y = sin cos c) y = cos + cos + cos 3 ; d) y = sin + sin ; e) y = k + cos ; f) y = sin( + π/4) + cos( + π/4). 4. Korzystając z okresowości, parzystości bądź nieparzystości i wzorów redukcyjnych oblicz: a) sin 5 3 π b) cos 4 π; c) tg 3 π; d) sin ( 7 4 π) ; e) cos 7 6 π; f) sin π 5 + sin 8π Wykaż tożsamości: a) + tg = cos ; b) (cos + sin ) + (cos sin ) = ; c) cos + cos = ; d) sin cos sin 3 + sin = ; e) sin cos = ; f) cos 3 3 cos + cos 3 = Oblicz wartości czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta sin Wyraź sin 3α za pomocą sin α. Udowodnij, że sin jest liczbą niewymierną. 8. Oblicz wartości funkcji cyklometrycznych a) arctg ; b) arcsin( /); c) arctg( 3) d) arcsin( /). 9. Ile różnych wartości przyjmuje wyrażenie sin +sin +sin sin k, gdy k przyjmuje wartości,,,...?. Pokaż, że jeśli t = tg(/), to cos = t t, sin = + t + t.. Oblicz: sin π 7 + sin 4π 7 + sin 6π 7 + sin 8π π + sin 7 7 Uogólnik wynik. Rozważ podobne zadanie dla cosinusów. + sin π 7.. Udowodnij, że dla dodatnich zachodzi równość arctg + arctg(/) = π. Jak wygląda analogiczna równość dla ujemnych? 3. Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = tg(arctg ); b) y = arctg(tg ) c)* y = cos(arcsin ). 4. Krzywą, którą można otrzymać przesuwając odpowiednio wykres funkcji y = a sin(b + c) dla ustalonych parametrów a, b, c, nazywamy sinusoidą. Wykaż, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą: a) y = cos ; b) y = sin c) y = sin cos d) y = sin + cos ; e) y = (sin + cos ) ; f)* sin 4 + cos 4. 5.* Jednym z pierwiastków równania = jest cos. Znajdź dwa pozostałe.

4 . Oblicz granice ciągów: Tydzień 4 - Granica ciągu a) a n = (n + 3)(n + ); b) b n = n + n 3 + n + ; c) c n = 3n + 4 n 5 n ; d) d n = n ; n e) e n = n + n; f) f n = n + n n g) g n = sin n n ; h)* h n = n n + 3 n.. Znajdź granice niewłaściwe, o ile istnieją. a) a n = (n + )/(n + ); b) b n = n n 3 ; c) c n = 3 n n ; d) d n = 3 n ( ) n. 3. Jeżeli dla dodatnich funkcji f, g f(n) lim n g(n) = a, gdzie < a <, to mówimy, że f, g są tego samego rzędu; jeżeli a = mówimy, że są asymptotycznie równe. a) Pokaż, że n jest rzędu n. b) Dla jakiego a ( n k) jest asymptotycznie równe an k? 4. Jaką częścią sumy liczb naturalnych z przedziału [, n] jest suma liczb nieparzystych z tegoż przedziału? Znajdź granicę tego ilorazu. 5. Oblicz granice ciągów: a n = ( ( ) + n) n; b) bn = n n; n+ c) cn = ( ) n+ n; n d) dn = ( ) n n. 6. Wyjaśnij, wskazując odpowiednie przykłady, dlaczego następujące wyrażenia sa nieoznaczone: a) ; b) / ; c). 7. Naszkicuj wykres funkcji a) f() = lim n n ; ( b) f() = lim n). n Uważaj na dziedzinę! 8. Niech P n oznacza pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu, L n obwód tego wielokąta. a) Znajdź granice obu ciągów, b) Wywnioskuj stąd granicę ciągu a n = n sin(π/n). 9. Rozważmy ciąg a =, a n+ = a n + a n. a) Wiedząc, że ciąg ten jest zbieżny, znajdź jego granicę. Oblicz kilka początkowych wyrazów i porównaj z wynikiem dokładnym. b) Podaj analogiczny ciąg o granicy: a) 3; b) 3.. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród 83 osób przynajmniej jedna obchodzi urodziny w tym samym dniu, co Ty? Rachunki możesz wykonać w pamięci..* Udowodnij, że lim n n n =.

5 . Oblicz granice funkcji: a) lim 3 ;. Oblicz granice funkcji: b) lim ; sin sin a) lim ; b) lim sin ; Tydzień 5 - Granica funkcji c) lim + cos e c) lim ; d) lim e ; sin ; d) lim. e) lim ln( ). 3. Znajdź obie granice jednostronne (właściwe bądź niewłaściwe) we wskazanym punkcie: a) y = 4. Znajdź asymptoty funkcji: w punkcie ; b) y = sgn a) y = 3 ; b) y = ( 4) c) y = w punkcie zero; +. c) y = w punkcie zero. 5. Niech S(h) oznacza powierzchnię całkowitą stożka o ustalonej podstawie r i wysokości h. Znajdź granicę S(h) za pomocą: a) rozumowania geometrycznego; b) obliczeń. 6. Niech S(h) oznacza pole powierzchni tej części Ziemi, jaka widoczna jest z wysokości h. Znajdź lim S(h), przyjmując, że Ziemia jest kulą o promieniu R. h 7. Obliczając odpowiednią granicę pokaż, że dla a > a + r a + r a. Korzystając z tego wzoru pokaż, że: a) 9/6; b) 5 3/8; c) 99/7. 8. Przy stałym tempie wzrostu p% przez okres podwojenia rozumiemy czas, po jakim dana wielkość się podwaja. a) Znajdź okres podwojenia odpowiadający przyrostowi p%. b) Uzasadnij, że okres ten wyraża się przybliżonym wzorem 7/p. c) Czy średni przyrost naturalny w ciągu ostatnich lat był wyższy od promila czy niższy?

6 Tydzień 6 - Ciągłość. Wskaz punkty nieciągłości i określ ich rodzaj:, gdy ; cos gdy > ; a) y = b) y = w p.p.; <; c) y =, gdy ; w p.p.;. Korzystając z twierdzenie Bolzano o wartościach pośrednich dla funkcji ciągłych uzasadnij, że równanie: a) = ma dokładnie jeden pierwiastek; b) sin = 3 ma dodatni pierwiastek; c) e = + + ma dodatni pierwiastek. 3. Za pomocą połowienia przedziału znajdź przybliżoną wartość: a) jedynego pierwiastka równania: 3 + = 3; b) wszystkich pierwiastków 4 = Gdzie w poniższych rachunkach korzystamy z ciągłości? Jakiej funkcji i w jakim punkcie? ( lim n ln + ) ( = lim n n ln + n ( = ln lim + n n) n = ln e =. n n) 5. Czy funkcję y = sin(/) można dookreślić w punkcie zero tak, aby była ciągła na całej prostej? A funkcję y = sin(/)? 6. Korzystając z twierdzenia Bolzano wykaż, że każdy wielomian nieparzystego stopnia ma przynajmniej pierwiastek. 7. Za pomocą funkcji sufit lub podłoga określ funkcję, która będzie ciągła we wszystkich punktach z wyjątkiem punktów o współrzędnych będących: a) liczbami całkowitymi parzystymi; b) liczbami całkowitymi nieparzystymi. 8. Zbadaj, w jakich punktach jest ciągła funkcja {, gdy wymierna; a) y = w p.p.

7 Tydzień 7 - Pojęcie pochodnej i równanie stycznej. Korzystając z definicji oblicz pochodne: a) y = + ; b) y = ; c) y = e.. Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej i liniowości oblicz pochodne funkcji: a) y = ( ) ; b) y = ; c) y = ; d) y = ; e) y = ( + ) ( + 3. Oblicz: a) f () dla funkcji y = ( + ) 3 ; b) f () dla funkcji y = Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji: ) ( ). a) y = e w punkcie (, f()); b) y = ln w punkcie e, f(e)); c) y = + w punkcie (, f()). 5. Znajdź kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji y = poprowadzonej w punkcie (, ) a dodatnią półosią osi O. Analogicznie dla stycznej w punkcie (, ). 6. Jaki związek zachodzi pomiędzy f () a f ( ) w przypadku funkcji: a) parzystej; b) nieparzystej? Zastanów się nad analogicznym pytaniem dla pochodnych wyższego rzędu. 7. Które z poniższych zdań są prawdziwe: A. Każda funkcja ciągła jest różniczkowalna. B. Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła. C. Jeżeli funkcja nie jest ciągła, to nie jest różniczowalna. D. Jeżeli funkcja nie jest różniczkowalna, to nie jest ciągła. E. Istnieje funkcja ciągła, która nie jest różniczkowalna. 8. Oblicz pochodne niewłaściwe w punkcie funkcji: a) y =, = : b) y =, = ; c) y = arcsin, =. Jaką informację o wykresie odpowiedniej funkcji możesz stąd wywnioskować? 9. Wskaż punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna (o ile takie istnieją). W punktach nieróżniczkowalności oblicz wartości obu pochodnych jednostronnych. a) y = + ; b) y = + y = 3 + ; d) y =.. Pokaż, że funkcja f() = sin(/) dla, f() = nie jest różniczkowalna w punkcie zero. Czy ma w tym punkcie pochodne jednostronne? A niewłaściwe?. Wyprowadź wzór na tangens sumy. Korzystając z definicji pochodnej wyprowadź wzór na pochodną tangensa.. Wyraż za pomocą pochodnej związek pomiędzy polem koła a obwodem okręgu oraz pomiędzy powierzchnią kuli a jej objętością. Zakładając, ze podobny związek zachodzi także w wyższych wymiarach znajdź powierzchnię kuli czterowymiarowej, wiedząc, że jej objętość wynosi π /. 3. Wykaż, że jeśli funkcja różniczkowalna f spełnia warunki f(a + b) = f(a)f(b) oraz f () =, to f = f. W przyszłości pokażemy, że jedyną taką funkcją jest y = e. 4. Pokaż, że styczna poprowadzona do wykresu funkcji y = f() w punkcie P = (a, f(a)) przecina oś O w punkcie o współrzędnej -owej a = a f(a) f (a). a) Zapisz ten wzór dla funkcji y = 3. b) Rozważmy ciąg określony warunkami =, n+ = n. Oblicz kilka początkowych jego wyrazów i odgadnij jego granicę.

8 Tydzień 8 - Obliczanie pochodnych. Oblicz pochodną korzystając z podstawowych wzorów: a) y = 4 + ; b) y = ; c) y = e ; d) y = ln e) y = sin cos ; f) y = ; ln g) y = ; sin h) y = ; i) y = sin ; + sin j) y = + cos.. Korzystając ze wzorów na pochodne eksponenty e oraz logarytmu naturalnego oraz wzoru na pochodna funkcji złożonej wyprowadź wzory na pochodną: a) y = a ; b) y = log a, gdzie a dodatnie różne od. 3. Oblicz pochodną korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej: a) y = e ; b) y = sin 4; c) y = ln( + + ); d) y = (sin + cos ) 3 ; e) y = sin(cos ); f) y = + ; g) y = ln sin ; h) y = sin( sin(3 sin 4)). 4. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji a) y = + + w punkcie (, f( )); b) y = e e w punkcie (, f()); + c) y = ln( + ) w punkcie (, f()); d) y = tg w punkcie (π/4, f(π/4)). 5. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = ln równoległej do osi O. 6. Sprawdź, że (sin ) = sin. Wywnioskuj stąd pochodną cos. 7. Oblicz pochodną korzystając ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej: a) y = ; b) y = arctg ; c) y = arcsin. 8. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = w punkcie (( )/, ( )/) dwiema metodami: a) geometrycznie; b) algebraicznie. 9. Znajdź równanie stycznej do wykresu y = tg w punkcie (π/4, ). Wywnioskuj z niego równanie stycznej do wykresu y = arctg w punkcie: a) (, π/4); b) (, π/4).. Oblicz cztery pierwsze pochodne w punkcie zero: a) funkcji y = sin ; b) funkcji y = ln( + ). W obu przypadkach podaj ogólne wzory na n-tą pochodną w zerze.. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji y = jest równoległa do: a) osi O; b) prostej y = ; c) osi Oy?. Wyprowadź wzór na pochodną y = + nie korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej. 3. Korzystając ze wzoru na pochodną y = n dla wykładników naturalnych oraz wzoru na pochodną funkcji odwrotnej znajdź pochodną y = n. Wywnioskuj stąd wzór na pochodną y = α dla wymiernych wykładników. 4. Załóżmy, że f jest różniczkowalna. Korzystając z definicji wyprowadź wzór na pochodną funkcji: a) y = f( ); b) y = f(e ).

9 Tydzień - Monotoniczność, ekstrema i wypukłość. Uzasadnij, że funkcja y = jest rosnąca.. Naszkicuj wykres wielomianu: a) y = ; b) y = Znajdź ekstrema podanych funkcji i określ ich rodzaj: a) ( + ) 3 ; b) y = ; c) y = ; d) y = ln e) y = e. 4. Znajdź ekstrema i przedziały monotoniczności: a) y = + ; b) y = 4 ; c) y = + ln ; d)y = Naszkicuj wykres funkcji: a) y = + ; b) y = + ; c) y = e ; d) y = Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: a) y = na przedziale [, 3]; b) y = ln na przedziale [, 4]; c) y = + na przedziale [, 4]. 7. Znajdź zbiór wartości i liczbę rozwiązań równania f() = m dla funkcji: a) y = ; b) y = Niech V (r) oznacza objętość walca o podstawie r wpisanego w kulę jednostkową. a) Naszkicuj wykres funkcji V (r). b) Znajdź największą wartość i zbiór jej wartości. 9. Podaj przykład funkcji wszędzie dodatniej: a) rosnącej i wypukłej; b) rosnącej i wklęsłej c) malejącej i wypukłej d) malejącej i wklęsłej.. Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: a) y = ln ; b) y = e.. Korzystając z wypukłości odpowiednich funkcji uzasadnij nierówność: a) e + ; b) ln( + ) : c) sin < dla dodatnich. Zilustruj nierówność szkicując fragmenty wykresów obu porównywanych funkcji.. Nie korzystając z kalkulatora rozstrzygnij, która z liczb jest większa: e π czy π e? 3. Pokaż, że dla funkcji różniczkowalnej f zachodzi równość f () = [ln f()] f(). Naszkicuj wykres funkcji y =. 4. Znajdź wszystkie możliwe odległości punktu paraboli y = od początku układu współrzędnych. 5.* Wykaż, że funkcja jest rosnąca.

10 Tydzień - Aproksymacje, wzór Taylora i reguła de l Hospitala. Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość: a) 3, 9: b) ln, ; c) sin 3; d) tg. Porównaj z wartościami dokładnymi.. Z twierdzenia Lagrange a wynika, że przy odpowiednich założeniach f() = f(a) + f (c)( a). Znajdź c o którym tu mowa w przypadku funkcji: a) f() =, oraz a =, = ; b) f() = ln oraz a =, = e. 3. Zapisz cztery kolejne przybliżenia taylorowskie dla f() = : a) wokół a = ; b) wokół a =. 4. Oblicz przybliżoną wartość e sumując pięć początkowych składników rozwinięcia Maclaurina dla e. Oszacuj błąd przyblizenia. 5. Korzystając ze wzoru Taylora uzasadnij przyblizenie sin 3 3! + 5 5!. Oszacuj błąd przybliżenie przy założeniu, że < π/. 6. Korzystając z reguły de l Hospitala oblicz granice: ln a) lim e) lim + ln ; arctg sin ln b) lim ; c) lim ( ln f) lim sin ) ; g) lim / ; 7. Naszkicuj wykres funkcji: a) y = ln ; b) y = ln. n ; d) lim e ; h) lim ( + sin ) /. 8. Korzystając z tw. Lagrange a wykaż, że jeśli f = f, to f() = Ce. 9. Uzasadnij, że błąd aproksymacji f() f(a) + f (a)( a) jest równy co najwyżej iloczynowi połowy maksimum drugiej pochodnej na przedziale [a, ] (bądź [, a]) i kwadratu jego długości. Podaj analogiczne oszacowanie błędu aproksymacji f() f(a) + f (a)( a) + f (a)/)( a).. Znajdź: a) trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia Maclaurina dla y = + ; b rozwinięcie Maclaurina dla funkcji y = ln( + ).. Odgadnij asymptoty funkcji y = ln( + e ) i sprawdź swoje przypuszczenia za pomocą obliczeń. Czy wykres przecina którąkolwiek z asymptot?

11 Tydzień - Całka oznaczona, wzór Newtona-Leibniza i techniki całkowania. Oblicz podaną całkę przybliżając ją za pomocą sumy prostokątów: a) ; b). Wsk.: b) zachodzi równość n = (n(n + )(n + )/6.. Korzystając z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej oblicz całki: 4 4 a) ; b) ( + ) ; c) ; d). 3. Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz: a) n ; b) π sin ; c) 4. Oblicz przybliżoną wartość całki ; d), e. dzieląc przedział na 4 równe odcinki i biorąc wartości: a) w lewych końcach przedziału; b) w środkach przedziału. Porównaj z wartością dokładną otrzymaną za pomocą wzoru Newtona-Leibniza. 5. Korzystając z całkowania przez podstawienie znajdź całki: a) ( + ) 7 ; b) e + e c) 4 d) e e) ln ; f) e ; g) + e h) 6. Korzystając z całkowania przez części znajdź całki: a) sin ; b) e ; c) ln ; d) sin ; +. arctg ; e) e ; f) e sin. 7. Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz: a) e ; b) + c) e ln. 8. Nie korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz 9. Oblicz a) lim n ( n n + + n n π sin. ) ( n n + n ; b) lim n n + + n ). n. Aproksymując pole pod wykresem y = / za pomocą prostokątów wykaż, że suma różni się od ln n o mniej niż.. Oblicz π n sin bezpośrednio z definicji, korzystając ze wzoru na sumę sin α + sin α sin nα = sin nα sin α (n+)α sin.

12 Tydzień 3 - Techniki całkowania - cd.. Oblicz poniższe całki nieoznaczone: a) + : b) ( + ) 3 c) + 4 ; d) ( + ) 3.. Rozłóż na ułamki proste i znajdź całkę nieoznaczoną: a) ( ) ; b) 4 ; c) ( + ) ( + )( + ) : d) ; ( + 3) ( + ) e) + 4 ; f) ; g) ; h) 4 + ; i) + + ; j) ; k) ; l) Oblicz całkę: a) ; b) Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych: a) tg ; b) cos ; c) sin 3 ; d) e) sin 3 sin ; f) sin cos 5 ; g) cos cos 4 ; h) 5. Pamiętając, że (tg ) = + tg oblicz tg. cos 4 ; sin. 6. Znajdź całkę nieoznaczoną za pomocą podstawienia = sin t. Korzystając z tej całki pokaż, że pole koła + y jest równe π. 7. Wyprowadź zależność n cos = n sin m n sin. 8. Funkcje hiperboliczne definiujemy wzorami cosh = (e + e )/, sinh = (e e )/. a) Podaj przykłady analogii (tożsamości, pochodne, całki) pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi. b) Czy funkcje hiperboliczne są ograniczone? okresowe? 9. Korzystając z podstawienia = cosh t oblicz całkę +.

13 Tydzień 4 - Zastosowania całek oznaczonych. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi: a) y =, + y = ; b) y =, y = ; c) y =, y =, y =, = ; d) =, y = arcsin, y = π/; e) y =, = y ; f) y = 4, y =.. Znajdź średnią wartość funkcji na wskazanym przedziale: a) na [, a]; b) sin na [, π]; c) cos na [, π]; d) ln na [, e]. 3. Oblicz pole figury obszaru ograniczonego elipsą 4 + y =. 4. Oblicz objętość i powierzchnię bryły utworzonej przez obrót łuku sinusoidy y = sin, π wokół osi O. 5. Korzystając ze wzorów na objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót wokół osi Oy oblicz objętość i pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu wokół tej osi: a) odcinka y =, a; b) odcinka paraboli y =, a. Jak rozwiązać b) korzystając z wzorów na obrót wokół osi O? 6. Korzystając ze wzoru na długość łuku: a) długość łuku y =, ; b) oblicz długość łuku krzywej łańcuchowej y = (e + e )/, ; c) sprawdź, że obwód okręgu + y = jest równy π. Uwaga: W zadaniu c) pojawia się całka niewłaściwa (wykraczająca na niektórych kierunkach poza program), ale nie ma to wpływu na obliczenia. 7. Wyprowadź znane wzory na objętość i pole powierzchni kuli o promieniu R. 8. Trąbką Torricellego nazywamy powierzchnię powstałą przez obrót krzywej y = /, wokół osi O. a) Pokaż, że powierzchnia trąbki jest nieskończona, a jej objętość skończona. b) Wypełniając tę trąbkę farbą pomalujemy nieskończoną wewnętrzna powierzchnię za pomocą skończonej ilości farby. Wyjaśnij ten paradoks. Uwaga: W zadaniu tym operujemy tzw. całką niewłaściwą. Dość łatwo jest takiej całce nadać ścisły sens bądź znaleźć definicję w literaturze/internecie. 9. Oblicz powierzchnię torusa utworzonego przez obrót okręgu + (y R) = r (R > r) wokół osi O. Sprawdź, że powierzchnia ta jest równa iloczynowi obwodu okręgu tego okręgu przez drogę, jaka przebywa jego środek.. Oblicz powierzchnię czaszy wyciętej ze sfery + y + z = płaszczyzną z = a, gdzie < a <. Sprawdź, że jest ona równa powierzchni jej rzutu prostokątnego na powierzchnie walca stycznego do tej sfery.