ANALIZA MATEMATYCZNA 1
|
|
- Kacper Kulesza
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki nieoznaczone 6 7 Całki oznaczone 6 8 Zadania trudniejsze 7 9 Powtórzenie 8 0 Pierwsze kolokwium Drugie kolokwium 4 Egzamin 5 II Odpowiedzi, wskazówki 9 Elementy logiki, zbiory, funkcje 9 Funkcje trygonometryczne 9 Ciągi 0 Granice funkcji, ciągłość 0 Rachunek różniczkowy Całki nieoznaczone Całki oznaczone
2 Zadania trudniejsze 3 Powtórzenie 4 Pierwsze kolokwium 6 Drugie kolokwium 8 Egzamin 9 Część I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje. Określ jako zdanie, funkcję inaczej: formę, formułę zdaniową na podanym zbiorze X lub jako żadne z powyższych dwóch wyrażenie: a tydzień ma siedem dni, b tydzień ma osiem dni, c 3 < 0, d >, X = 0,, e >, X = R. Zdania określ jako prawdziwe lub fałszywe oraz podaj ich wartości logiczne.. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie a p q p q, b [p q r] [p q p r], c [p q r] [p r q]. Zadanie rozwiąż najpierw analizując wyrażenie, a dopiero później przez wypełnianie tabelki. 3. Niech oznacza spójnik Pierce a, tzn. p q = p q. Za pomocą spójnika Pierce a jedyny, obok kreski Shefera, spójnik dwuargumentowy o tej własności wyraź pozostałe dwuargumentowe spójniki logiczne oraz negację. 4. Zbadaj prawdziwość zdania: [ y 0 < 0 ], a R y R [ y = < 0 ]. b R y R 5. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne lub jeden zawiera się w drugim: a [A B \ C] [A C \ B] oraz A B C, b A \ B A \ C oraz A B C. Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna.
3 Funkcje trygonometryczne. Niech oznacza miarę łukową kąta. Naszkicuj na płaszczyźnie okrąg o środku w 0, 0 i promieniu, a następnie kąt. a Wyjaśnij znaczenie liczby. b Zaznacz na osiach współrzędnych sin, cos, tg, ctg o ile dwie ostatnie wartości istnieją. c Załóżmy, że 0, π. Udowodnij, że sin < < tg.. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór, podaj zbiór wartości i naszkicuj wykres funkcji a f = ctg sin, b f = ctg + tg π, 5 c f = cos π + arc sin, d f = tg arc cos. 3 Ciągi. Wykaż zbieżność ciągu o wyrazach a a n = 7 + arc tg arc tg n + arc tg n, n b f n = k!, k=0 gdzie n N.. Wyznacz granicę ciągu o wyrazach a a n = n 3 n 5 n + 7 n, b a n = n + n + + n + n n + n n + n. 3. Rozważmy niektóre symbole nieoznaczone dla granic ciągów: a, b 0, c 0 0, d. Dla dowolnego λ [, ] podaj przykłady ciągów, by dany symbol nieoznaczony odpowiadał ciągowi zbieżnemu lub rozbieżnemu w przypadku granic niewłaściwych do λ. Podaj przykłady ciągów, aby powyższe symbole nieoznaczone odpowiadały ciągom, które nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do granicy niewłaściwej. 4. Wyznacz granicę ciągu o wyrazach n+3 n a a n =, n n n 3 + n + b a n = n. + n + 5 3
4 4 Granice funkcji, ciągłość. Wyznacz granicę lim 0 f, jeśli a f = sin π, 0 = π, b f = 3 sin π, 0 = π, c f = d f = 3 e f = + sin, 0 = 0, 3 + 3, 0 =, tg , 0 = 0. Uwaga: nie można korzystywać z reguły de l Hospitala.. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji + 3 a f = , b f = 4 + arc sin 5, c f = 3 + ln +, 4 d f = + arc tg, e f = cos. + π 3. Wyznacz asymptoty pionowe wykresu funkcji f = + π cos. 4. Naszkicuj wykres funkcji f : R R, spełniającej warunki: lim f = lim f =, lim f =, lim f =, f = f. + Czy może być ona ciągła w całej swojej dziedzinie? 5. Wyznacz zbiór punktów ciągłości funkcji f = sin π, gdzie symbol oznacza część całkowitą, a m m jest liczbą całkowitą, różną od Dla jakich wartości parametru a R w podpunkcie a i parametrów a, b R w pozostałych podpunktach, funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli { a a f = dla 0, ln dla = 0, ln 4 dla < 0, b f = a + dla = 0, tgb dla S + 0, gdzie S + 0 oznacza pewne sąsiedztwo prawostronne punktu 0 = 0, sinb dla < 0, c f = dla = 0, a + ln + e dla > 0. 4
5 7. Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja sin dla < 0, f = a + b dla 0 5, jest ciągła na R? cos π 3 dla 5 < 8. Wyznacz granicę ciągu lim n lnn + ln n. n 9. Udowodnij, że równanie arc tg + 3 = ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale 0,. 0. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania = 0. 5 Rachunek różniczkowy. Oblicz f 0, jeśli a f = sin π, 0 =, b f = sin + π, 0 = π.. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej 0, jeśli a f = , 5ln + 0, 5, 0 = 0, 5, b f = + e ln+, 0 = Za pomocą różniczki zupełnej wyznacz przybliżoną wartość funkcji f = e + sin w punkcie = 0,. 4. Napisz równanie takiej stycznej do wykresu funkcji f = 3 3 +, która jest prostopadła do 3 prostej y = Wyznacz kąt, pod którym przecinają się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych wykresy funkcji f = i g = Wykaż, że funkcja f ma dokładnie jedno mejsce zerowe w przedziale I, jeśli a f = tg 3 +, I = 0, π, 4 b f = arc tg, I =,. 7. Udowodnij, że dla > zachodzi nierówność ln <. 8. Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji a f = + + e, b f = e. 9. Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji a f = 64, b f = sin cos. 0. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f na przedziale I, jeśli [ ] 3 a f = , I = 4,3. 5
6 [ b f = 3 3, I = 3, 3 ].. Za pomocą wzoru Taylora oblicz sin 0, z dokładnością do Wyznacz wielomian, za pomcą którego można obliczać wartości funkcji cos w przedziale dokładnością do 0 9. [ π 4, π ] 4 z 3. Wyznacz lim 0 f, jeśli a f = ln tg, 0 = 0 +, ln + b f =, 0 = 0. 6 Całki nieoznaczone. Oblicz f d, jeśli a f = cos, b f = +. c f = cos4.. Oblicz całkę f d z funkcji wymiernej a f = , b f = Oblicz całkę f d z funkcji trygonometrycznej a f = 3 sin sin, b f = c f = 7tg sin, ctg cos. 7 Całki oznaczone. Niech oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej. Naszkicuj wykres funkcji f, a następnie korzystając z geometrycznej interpretacji całki oblicz a f =, a = 0, b = 9, b f =, a =, b =, c f =, a =, b =.. Za pomocą całki oznaczonej oblicz lim n n Uwaga: nie ma pomyłki w zapisie ostatniego składnika. b a f d, jeśli tg π π 3π n π + tg + tg tg. 4n 4n 4n 4n 6
7 { dla 0, 3. Wyznacz funkcje H, pierwotne funkcji h = cos dla 0 <. 4. Udowodnij, że πe 5. Oblicz d. π e π cos arc tg d 3πe. 6. Oblicz pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego następującymi krzywymi a y =, y = ln, e b oś OX, y = ln, = e, c y = ln, y = 0, =, d y =, y = ln, y = 0, e y = cos, y = π 4, f y = sin dla [ 0, π 3 ], oś OX, = π Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji [ π a f = tg dla 4, π ], 3 b f = ctg [ ] π dla,, c f = 3 [ cos dla 0, π ] Wyznacz długość wykresu funkcji [ a f = 3, o dziedzinie, 7 ], 3 b f = 3 3, o dziedzinie [,3]. 8 Zadania trudniejsze. Przyjmuje się, że a dla dowolnego zbioru X i obiektu a: a X lub a / X oraz b jeśli ϕ jest dowolną formułą zdaniową na zbiorze X tzn. po podstawieniu elementu a X, wyrażenie ϕa jest zdaniem, to elementy ze zbioru X, spełniające formułę ϕ, tworzą zbiór. Z powyższych dwóch przesłanek wywnioskuj, że nie istnieje twór będący zbiorem złożonym ze wszystkich zbiorów tzw. paradoks Russela.. Udowodnij, że różnica symetryczna zbiorów jest działaniem łącznym i przemiennym. 3. Udowodnij, że różnica symetryczna skończonej liczby zbiorów A, A,... A n składa się z tych elementów n A k, dla których ilość zbiorów A k zawierjących jest nieparzysta. k= 4. Wyprowadź wzory na sinus i kosinus sumy kątów. 7
8 5. Udowodnij, że a b c lim n n =, n lim a n = dla 0 < a <, n n r lim = 0 dla < a <, r R. n an 6. Wykaż zbieżność ciągu o wyrazach e n = 7. Udowodnij, że lim + n = n n k=0 k!. + n n, gdzie n N + = {,, 3,...}. 8. Udowodnij, że jeśli lim a n =, to lim + an n n a n = e. Czy zachodzi twierdzenie odwrotne? 9. Wykaż, że lim 0 sin =. 0. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu O 0 punktu 0 R oraz że przyjmuje w 0 ekstremum lokalne właściwe lub nie. Udowodnij, że jeśli istnieje pochodna f 0, to f 0 = 0 twierdzenie Fermata.. Niech a, b R oraz a < b. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b], różniczkowalna na a, b oraz że fa = fb. Udowodnij istnienie takiego c a, b, dla którego f c = 0 twierdzenie Rolle a.. Niech a, b R oraz a < b. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b] i różniczkowalna na a, b. Udowodnij istnienie takiego c a, b, dla którego f fb fa c = twierdzenie Lagrange a. b a 3. Niech a, b R oraz a < b. Załóżmy, że funkcje f, g : [a, b] R są ciągłe na [a, b] i różniczkowalne na a, b. Udowodnij istnienie takiego c a, b, dla którego [gb ga]f c = [fb fa]g c twierdzenie Cauchy ego. 4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f = sinh 5 na przedziale I = [0, ], gdzie 4 sinh = e e oznacza sinus hiperboliczny. 5. Rozważmy cosinus hiperboliczny cosh = e + e arc cosh d. z dziedziną [0, i funkcję odwrotną arc cosh. Oblicz 6. Wyznacz długość wykresu funkcji a f = ln +, o dziedzinie [ 0, ], b f = e, o dziedzinie [, lne]. 9 Powtórzenie. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie [ p q r ] [ p q p r ], gdzie symbol oznacza albo alternatywę wykluczającą koniunkcję. Zadanie rozwiąż najpierw analizując wyrażenie, a dopiero później przez wypełnianie tabelki. 8
9 . Niech oznacza kreskę Shefera, tzn. p q = p q. Za pomocą kreski Shefera wyraź pozostałe dwuargumentowe spójniki logiczne oraz negację. 3. Zbadaj prawdziwość zdania: a R b R y R y R [ + y > 0 + y < 0], [y = 0 y = ]. 4. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne, jeden zawiera się w drugim lub ogólnie żadna z poprzednich trzech możliwości nie zachodzi: a A B A C oraz A B A C, gdzie różnica symetryczną jest określona wzorem X Y = X \ Y Y \ X, b [A \ B C] oraz [A \ B C] A B C. Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna. 5. Wyznacz dziedzinę naturalną D R funkcji f, uprość wzór, podaj zbiór wartości i naszkicuj wykres, jeśli a f = tg + tg, b f = tg + π sin, π c f = ctg + arc tg, d f = ctg arc sin. 6. Wyznacz granicę ciągu o wyrazach a a n = n 00n + sin n 3 n + 0 n, b a n = n n n n n n n 3 + n. 7. Rozważmy wyrażenia nieoznaczone dla granic ciągów: a, b 0 0, c 0. Dla dowolnego λ [0, ] w a, λ [0, ] w b oraz λ [, ] w c, podaj przykłady ciągów, by dany symbol nieoznaczony odpowiadał ciągowi zbieżnemu lub rozbieżnemu w przypadku granicy niewłaściwej do λ. Podaj przykłady ciągów, aby powyższe symbole nieoznaczone odpowiadały ciągom, które nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do granicy niewłasciwej. 8. Wyznacz lim 0 f, jeśli a f = ln 4, 0 =, b f = + sin, 0 = 0, c f = , 0 =, 9
10 d f = cos ln +, 0 = 0, e f = ln + sin5 ln + sin, 0 = 0. Uwaga: nie można korzystać z reguły de l Hospitala. 9. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f, rozpatrywanej w dziedzinie naturalnej, jeśli a f = + arc tg3, b f = 5 + arc tg 7, c f = cos + ln +, d f = 3 + sin π. 0. Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli e a dla < 0, a f = b dla = 0, sin dla > 0, a ln dla < 0, b f = dla = 0, sinb 4 dla > 0, c f = a ln 4 b dla = 0, sin arc tg8. Udowodnij, że równanie π a ln = sin 4, π b = sin 3, dla < 0, dla > 0? ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale 0,.. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania 3 = Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = f w punkcie o odciętej 0, jeśli a f = + e +, 0 = 0, b f = + ln, 0 =. 4. Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji f = Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji a f = e sin, b f = e arc tg. 6. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f = 8 ln na przedziale I = [, 3]. 0
11 7. Wyznacz lim 0 f, jeśli a f = ln sin ln sin 3, 0 = π, b f = tg 3, 0 = Oblicz f d, jeśli a f = e 4, b f = 3 cos. 9. Oblicz f d z funkcji wymiernej f = Oblicz f d z funkcji trygonometrycznej a f = cos sin + 9, sin b f = cos cos +.. Niech oznacza część całkowitą liczby R. Naszkicuj wykres funkcji f i z pomocą gemetrycznej interpretacji całki oblicz b a f =, a = 0, b = 4, b f = e, a = 0, b = ln. a f d, jeśli. Oblicz pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego następującymi krzywymi: a y = 0, 3y = 0, b 5 + 4y = 0, + y = 0, c y = e, y =, =, d =, y =, y = 8, 8 e y = ln, y = ln Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji a f = [ cos dla 0, π ], b f = e +, dla [0,], c y = lne + dla [0, e]. 0 Pierwsze kolokwium Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału.
12 Zestaw A. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie [p q r] p q. n n 7. Oblicz lim n + 9 n n 3 n n. 3. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = arc sin, rozpatrywanej z dziedziną naturalną. 4. Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli f = sinb dla < 0, dla = 0, a + ln + e dla > 0. Zestaw B. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne, jeden zawiera się w drugim lub ogólnie żadna z poprzednich zależności nie zachodzi: [A B \ C] A C oraz A B C. Odpowiedź uzasadnij za pomocą diagramów Venna.. Oblicz lim n n + arc tg n + arc tg n + n n + arc tg n n. 3. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = + ln, rozpatrywanej z dziedziną naturalną. ln Uwaga: można wykorzystać wzór lim = Dla jakich wartości parametrów a, b R, funkcja f jest ciągła w punkcie 0 = 0, jeśli arc tgb dla < 0, f = dla = 0, a + sin + 3π dla > 0. Zestaw C. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = sin 3π tg. n. Oblicz lim n arc tgn n sin n. n cos 3. Oblicz lim 3π 3π. Uwaga: nie można korzystać z reguły de l Hospitala. 4. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania = 0. Zestaw D. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = ctg + n sin. Oblicz lim n n + + n sin n n sin n n. + n tg + π.
13 3. Oblicz lim 5π ctg 5π. Uwaga: nie można korzystać z reguły de l Hospitala. 4. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania arc tg = 0. Zestaw E. Używając symboli negacji i alternatywy oraz nawiasów wyraź koniunkcję. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki.. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = tg π sin. 3. Oblicz lim n nn + sin. n n 4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = + arc tg, rozpatrywanej z dziedziną naturalną. + Zestaw F. Używając symboli negacji i koniunkcji oraz nawiasów wyraź równoważność. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki. π. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = ctg arc tg. n 3. Oblicz lim n n n n n n n 3. + n 4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = Zestaw G + +ln, rozpatrywanej z dziedziną naturalną. 4. Używając symbli negacji i alternatywy, liter na oznaczenia zdań oraz nawiasów wyraź koniunkcję. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki.. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = tg + 7π sin. 3. Oblicz lim ln + n nn +. n n 4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = arc ctg, rozpatrywanej z dziedziną naturalną. Zestaw H. Używając symboli negacji i koniunkcji, liter na oznaczenia zdań oraz nawiasów wyraź alternatywę. Odpowiedź uzasadnij przez wypełnienie odpowiedniej tabelki. 3π. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = tg + arc ctg. 3. Oblicz lim n n + n 3 + n + n n + n n 3. n 3
14 4. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = naturalną. Drugie kolokwium Zestaw A ln, rozpatrywanej z dziedziną 9. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = ln + cos w punkcie o odciętej 0 = 0.. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = 0, 3y = Oblicz e cos d. Zestaw B. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = sin π + ln w punkcie o odciętej 0 =.. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości wykresu funkcji f = Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5 + 4y = 0, + y = 0, 4. Oblicz e 4 d Zestaw C. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = ln + sin w punkcie o odciętej 0 = π.. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = 0, 3 y = Oblicz e sin d. Zestaw D. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = cos π + ln w punkcie o odciętej 0 =.. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości wykresu funkcji f = Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5y + 4 = 0, y + = 0, 4. Oblicz e d 4
15 Egzamin Zestaw A. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie [p q r] p r?. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f = +arc sin 5, rozpatrywanej z dziedziną naturalną. 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = ln + sin w punkcie o odciętej 0 = Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = 0, 3y = Oblicz e cos d. Zestaw B. Wyznacz dziedzinę naturalną D R, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f =. Wyznacz dwa pierwsze wyrazy ciągu a n n=, a następnie oblicz granicę lim a n, jeśli n a n = n + 3 arc cos n + n + 3 arc cos n n + 3 arc cos n n. 3. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania 3 =. 4. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości funkcji f = Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji f = e 5 dla [0,]. 6. Oblicz + e d. sin π tg. Zestaw C. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne, jeden zawiera się w drugim lub żaden z poprzednich przypadków ogólnie nie zachodzi: [A C \ B] A B, A B C. Odpowiedź uzasadnij na rysunkach diagramach Venna.. Oblicz lim n n 3 n + 5 n 7 n + 0 n n. 3. Dla jakich parametrów a, b R, funkcja f = 0 = 0? a arc tg dla < 0, 5 dla = 0, b + sin + 7π dla > 0. jest ciągła w punkcie 4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f = ln na przedziale [, e]. 5. Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach 5 + y = 0, 5 + y = Oblicz cos sin + d. 5
16 Zestaw D. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = ctg +. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n n=, a następnie oblicz lim a n = n + arc tg n + n + n + arc tg n + n n + arc tg n n + n. n a n, jeśli tg + π. 3. Z dokładnością do 0, 5 wyznacz wszystkie rozwiązania równania arc tg 3 = ln + e. 4. Oblicz lim 0 ln cos4. 5. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji y = ln dla [, e]. sin 6. Oblicz cos + 5 d. Zestaw E. Zbadaj, czy jest prawem rachunku zdań tautologią wyrażenie [p q r] p r?. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji y = ln + arc tg w punkcie o odciętej 0 = Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = Wyznacz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, zakreślonego przez krzywe y 4 = 0, 3y 4 = Oblicz e sin d. 6. Wyznacz wielomian, za pomocą którego można obliczać wartości funkcji funkcji f = sin w przedziale [ π 4, π 4 ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Zestaw F. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f =. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n n=, a następnie oblicz lim a n, jeśli n n arc tg n arc tg n arc tg n a n = n + n n. 3. Wyznacz przedziały ścisłej wypukłości funkcji f = cos π + ctg. 4. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji f = dla [0,]. 5. Oblicz + 3 sin d. 6. Wyznacz wielomian, za pomocą którego można obliczać wartości funkcji f = ln + w przedziale [0, ] z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. 6
17 Zestaw G. Sprawdż, czy następujące dwa zbiory są równe, rozłączne, jeden zawiera się w drugim lub żadna z poprzednich zalezności ogólnie nie zachodzi: [B C \ A] B A, B A C? Odpowiedź uzasadnij na rysunkach diagramach Venna.. Oblicz lim n n 3 n + 5 n + 7 n + 0 n n. 3. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f = ln na przedziale [, e ]. 4. Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, zakreślonego przez krzywe 5 + 8y = 0, 5 + 4y = Oblicz sin tg + d. 6. Wyznacz wielomian, za pomocą którego można obliczać wartości funkcji f = cos w przedziale [ π 4, π 4 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Zestaw H. Wyznacz dziedzinę naturalną, uprość wzór i naszkicuj wykres funkcji f = tg +. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu a n = n=, a następnie oblicz granicę lim a n = n + arc ctg n + n + 3. Oblicz lim 0 ln cos. n + arc ctg n + n n + arc ctg n n + n. n a n, jeśli ctg + π. 4. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji y = ln dla [, e]. cos 5. Oblicz + ctg d. 6. Wyznacz wielomian, za pomoca którego można obliczac wartości funkcji f = e w przedziale [0, ] z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. ] Zestaw I 0 n 3 n n. Oblicz lim. n n + 5 n sina + dla < 0. Dla jakich parametrów a, b R, funkcja f = 0 dla = 0 b + cos ln + e 5 dla > 0 0 = 0? jest ciągła w punkcie 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = lncos + sin w punkcie o odciętej 0 = 0. 4*. Oblicz sin z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. 5. Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, zakreślonego przez krzywe y 8 = 0, 3y 8 = Oblicz e cos4 d. 7
18 Zestaw J n 7. Oblicz lim n n n7 n n7 n n 8. + n. Wyznacz dziedzinę naturalną oraz, o ile istnieją, asymptoty ukośne wykresu funkcji f = 3+arc tg 3. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = *. Wyznacz ln, 5 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku Oblicz objętość bryły zakreślonej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji f = 5 dla [0,]. 6. Oblicz e d. Zestaw K. Oblicz lim n 4 n 3 n 8 n 5 n n.. Dla jakich parametrów a, b R, funkcja f = 0 = 0? a + cos π dla < 0 8 dla = 0 ln+b +4 dla > 0 jest ciągła w punkcie 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f = sin ln + w punkcie o odciętej 0 = 0. 4*. Oblicz cos z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. 5. Oblicz pole ograniczonego obszaru na płaszczyźnie, zakreślonego przez krzywe 8y = 0, 3 8y = Oblicz 7 sin d. Zestaw L n 5 +. Oblicz lim n n 6 + n5 + n n5 + n n 6. n. Wyznacz dziedzinę naturalną oraz, o ile istnieją, asymptoty ukośne wykresu funkcji f = +cos 3. Wyznacz przedziały ścisłej monotoniczności funkcji f = *. Oblicz ln, z dokładnością do trzech miejsc po przecinku Oblicz objętość bryły zakreślonej przez obrót dookoła osi OX obszaru pod wykresem funkcji f = e + dla [0,]. 6. Oblicz 7 d. 8
19 Część II Odpowiedzi, wskazówki Elementy logiki, zbiory, funkcje. a Zdanie prawdziwe o wartości logicznej, b zdanie fałszywe o wartości logicznej 0, c zdanie prawdziwe o wartości logicznej, d funkcja zdaniowa, e ani zdanie, ani funkcja zdaniowa.. a nie, b tak, c tak, d tak. 3. Np. p = p p, p q = p p q q, p q = p q p q. 4. a zdanie prawdziwe, b zdanie fałszywe. 5. L lewa strona, P prawa strona, a L P, b L P =. Funkcje trygonometryczne. a Jest to długość łuku okręgu, odpowiadającego kątowi. b Dla zaznaczenia sin, cos wykorzystaj trójkąt prostokątny o jednostkowej długości przeciwprostokątnej. Dla zaznaczenia tg, ctg wykorzystaj trójkąty prostokątne o jednostkowych przyprostokątnych. c Porównaj pola wycinka koła i odpowiednich trójkątów. { cos dla kπ, k + π. a Dziedzina D f = R \ {kπ : k Z}, f = cos dla k + π, k + π, zbiór wartości W f =,, { ctg dla kπ, π b D f = R \ {kπ : k Z}, f = 0 dla [ π + kπ, kπ, W f = [0,, c D f = [, ], f =, W f = [, ], d D f = [, 0 0, ], f = W f = R. dla [, 0 dla 0, ], 9
20 Ciągi. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.. a 7, b. 3. Np. lim n + λ n = λ R, lim n n =, n n lim n n =, lim n + n n n n nie istnieje. 4. a e, b e. Granice funkcji, ciągłość. a π, b e 3, c e, d, e 4.. a = 4 asymptota pionowa obustronna, y = asymptota ukośna w i w, b y = 4 asymptota ukośna w i w, c = asymptota pionowa lewostronna, = asymptota pionowa prawostronna, y = 3 asymptota ukośna w i w, d y = + π asymptota ukośna w, y = π asymptota ukośna w, e = 0 asymptota pionowa obustronna, y = 0 asymptota ukośna pozioma w i w. 3. = π + kπ, k Z \ {0}. 4. Nie może być ciągła w punkcje 0 =. 5. Funkcja f jest ciągła na zbiorze R \ Z {km : k Z}. 6. a a =, b a =, b = 0, c a = 0, b =. 7. a = 3 0, b = Wykorzystaj własność Darbou na przedziale [0, ]. Dla uzasadnienia jedyności rozwiązania użyj ścisłej monotoniczności 0. Jedno rozwiązanie,
21 Rachunek różniczkowy. a, b.. a y = + 9, b y = f0,,. 4. y = π Do uzasadnienia istnienia miejsca zerowego można wykorzystać własność Darbou. Jedyność miejsca zerowego można uzasadnić za pomocą ścisłej monotoniczności każdej z funkcji, wykazanej za pomocą pochodnej. 7. Obie strony nierówności są funkcjami są ciągłymi na [,. Porównaj pochodne tych funkcji na przedziale, i wartości w punkcie lub równoważnie, rozważ różnicę tych funkcji, jej pochodną na, i wartość w. 8. a Funkcja f maleje na przedziałach, 0], [,, rośnie na przedziale [0, ] i przyjmuje dwa ekstrema lokalne: minimum lokalne właściwe w punkcie 0 = 0, 3 maksimum lokalne właściwe e w punkcie 0 =, b f maleje na przedziałach [, 0, 0, ], rośnie na przedziałach, ], [, i przyjmuje dwa ekstrema lokalne: e minimum lokalne właściwe w punkcie 0 =, e maksimum lokalne właściwe w punkcie 0 =. 9. a Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziałach, 0, [4,, ściśle wklęsła na przedziale 0, 4], a punktem przegięcia wykresu funkcji jest 4, 0, b f jest ściśle wypukła na przedziale [ π, π], przedziałach postaci [kπ, k + π] i przedziałach postaci [ k + π, kπ], gdzie k N + = {,, 3,...}, f jest ściśle wklęsła na przedziałach postaci [k π, kπ] i przedziałach postaci [ kπ, k π, ], gdzie k N +, punkty przegięcia wykresu funkcji są postaci kπ, dla k Z \ {0} oraz k + π, dla k Z. 0. a Największą wartością jest 5, a najmniejszą 0, b największą wartością jest, a najmniejszą 3.. sin 0, 0, 0, 3 3! + 0, 5. 5!. cos! + 4 4! 6 6! + 8 8! 0 0!. 3. a 0, b. Całki nieoznaczone. a tg + ln cos + C, b ln ln + + C.. a arc tg + + C,
22 b ln + arc tg + + C, c ln + ln + + arc tg + + C. 3. a ln 3 3sin + C, b ln 7 7tg + C, c ln ctg + C. Całki oznaczone. a 3,. b 5 ln ln 3, c ln. π 3. H = { + C dla 0, sin + C dla 0 <. 4. Wskazówka: oszacuj największą i najmniejszą wartość funkcji na przedziale arc tg a 4 e 3, b e +, 4 c ln, d e 5 3, e + π3 6, f π 3π π 7. a 3 π, b π, c π 3 0,5π ln 3 + ln a 56 7, b
23 Zadania trudniejsze. Gdyby taki zbiór X istniał, to zbiorem byłby rownież Y = {A X : A / A}, a wtedy jednocześnie Y Y oraz Y / Y.. Wynika to z łączności i przemienności spójnika logicznego albo. 3. Różnica symetryczna n zbiorów powstaje w wyniku obliczenia n razy różnicy symetrycznej. Zauważ, że jeśli element należy do parzystej ilości zbiorów, to przy kolejnym obliczeniu pojawia się, znika lub pozostaje bez miany, a po ostatniej zmianie znika. Podobnie dla przynależności do nieparzystej ilości zbiorow. 4. Niech, y 0, π dla innych, y można wykorzystać wzory redukcyjne. a Naszkicuj trójkąt, aby kąt α przy jednym z jego wierzchołków wynosił α = + y, a wysokość opuszczona z tego wierzchołka dzieliła α na kąty i y. b Oblicz pole dużego trójkąta na dwa sposoby: bezpośrednio i jako sumę pól dwóch mniejszych trójkątów. Z równości pól wyprowadź wzór na sinus sumy kątów. c Zastosuj otrzymany wzór na sinus sumy kątów i wzory redukcyjne sin ϕ + π = cos ϕ, cos ϕ + π = sin ϕ do przekształcania cos + y = sin + y + π 5. a Z jednej strony, n n > dla dowolnego n N+. Z drugiej strony, niech δ > 0 będzie dowolną liczbą. Dla dostatecznie dużych n, n n < +δ, gdyż + δ n nn = +nδ+ δ +...+δ n nn > δ > n. b Dla a, a n < n n od pewnego miejsca. c Oznaczmy a = + δ, gdzie δ > 0. Ustalmy liczbę k, r < k N +. Dla dostatecznie dużych n, a n = + δ n nn = + nδ + δ nn n... n k δ k δ n > k +! nn n... n k δ k+ > k +! δk+ k +! e n = + + n + n 3 b Wywnioskuj, że ciąg e n jest rosnący. n k a Wykorzystując wzór Newtona na potęgę dwumianu zauważ, że n n n 3... n n c Udowodnij, że e n + k oraz że ciag e n jest ograniczony. k=0... n n 7. a Zauważ, że e n f n dla n N +. Wywnioskuj, że e f. b Ustalmy dowolne n 0 N +. Rozważ ciąg g n o wyrazach g n = + + n + n n n n... n 0 n, określonych dla n n 0. Zauważ, że g n e n. Udowodnij, że 3... n 0 lim g n = f n0 i dalej, że f n0 e. Wywnioskuj, że f e. n 8. Niech oznacza część całkowitą liczby R. Dla wystarczająco dużych n zachodzi a n >. an + Jeśli a n, to an a n + a n + a n + an +. a n a n. 3
24 Dla a n < wykorzystaj równość + an = + a n a n an +. a n 9. Zauważ, że lim cos =. Za pomocą twierdzenia o trzech funkcjach i nierówności z zadania. wywnioskuj, że lim =. Dla < 0 skorzystaj z nieparzystości funkcji sin i. 0 + sin Oznaczmy I = f f 0 iloraz różnicowy dla S 0 = O 0 \ { 0 } sąsiedztwo punktu. 0 Zauważ, że ilorazy różnicowe I z jednej strony punktu 0 są niedodatnie, a z drugiej nieujemne.. W pewnym punkcie c a, b funkcja f przyjmuje najmniejszą lub największą wartość na całym przedziale [a, b]; wartość ta jest równocześnie ekstremum lokalnym, zatem f c = 0.. Wystarczy zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji fb fa h = f a. b a 3. Wystarczy zastosować twierdzenie Rolle a do funkcji h = [fb fa]g [gb ga]f. 4. Największą wartością jest 0, a najmniejszą 3 5 ln ln ln a 5 + ln + 5 +, b 5 + ln ln Powtórzenie. Tautologia.. Np. p = p p, p q = p p q q. 3. a Zdanie prawdziwe, b zdanie fałszywe. 4. L lewa strona, P prawa strona, a L P =, b L = P. 5. a Dziedzina D f = R \ { π + kπ : k Z}, { 0 dla π + kπ, kπ, wzór f = tg dla [kπ, π + kπ, zbiór wartości W f = [0,, { cos dla kπ, π b D f = R \ {kπ : k Z}, f = + kπ, cos dla [ π + kπ, kπ, W f =,, c D f = [, ], f =, W f = [, ], 4
25 dla [, 0, d D f = [, 0 0, ], f = dla 0, ], W f = R. 6. a 0, b. 7. Np. lim lim n n 8. a 4, b e, c 3, + n d, e 5. + ln λ n n =. n = λ 0,, lim n = 0, n n 9. a y = + π asymptota ukośna w, y = π asymptota ukośna w, b y = 5 asymptota ukośna w i w, c = asymptota pionowa prawostronna, = asymptota pionowa lewostronna, d = π asymptota pionowa, y = + π asymptota ukośna w i w. 0. a a = b =, b a =, b = 8, c a = ln, b = 4.. Dla różnicy funkcji wykorzystaj własność Darbou na przedziale [δ, ], gdzie liczba dodatnia δ jest wystarczająco mała. Dla uzasadnienia jednyności rozwiązania wykaż ścisłą monotoniczność różnicy funkcji na przedziale 0,.. Jedno rozwiązanie, a y = +, b y = ln ln f maleje na przedziałach, 3], [, ], rośnie na przedziałach [ 3, ], [,, przyjmuje ekstrema lokalne: 0 dwukrotnie jako minimum lokalne właściwe w punktach 0 = 3 i 0 =, 6 maksimum lokalne właściwe w punkcie 0 =., ściśle wklęsła na przedzia- 3 oraz 4 π + kπ, e, [ 3 5. a f jest ściśle wypukła na przedziałach postaci 4 π + kπ, [ 4 łach postaci 4 π + kπ, 3 ] 4 π + kπ, punkty przegięcia są postaci gdzie k Z, ] π + k + π 4 π + kπ, e b f jest ściśle wypukła na przedziale, ], ściśle wklęsła na [,, a wykres ma jeden punkt przegięcia:, e π. 5
26 6. Największą wartością jest 8 ln 4, a najmniejszą. 7. a, b a 4 e 4 8 e4 + 3 e4 + C, 3 [ ] ln 3 b 4 + ln sin cos + 3 ln 3 + C sin4 + cos4 + C a 3 arc tg sin 3 + C, b ln cos + ln cos + + C.. a 5, b 5 ln ln 3.. a 6, b 5, c e ln, d 8 ln 7 3, e 5 ln a π3 6 π 4, b π e 6, 4 c πe ln. Pierwsze kolokwium Zestaw A. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy prawdziwości zdań p i r oraz fałszywości q.. 3. Po wyłączeniu przed pierwiastek 9/3 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach. 3. Dziedziną naturalną jest zbiór, ] [,. Nie ma asymptot pionowych. Prosta o równaniu y = jest asymptotą ukośną w oraz w. 4. b =, a = 0. 6
27 Zestaw B. Zbiory są równe... Można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. 3. Dziedziną naturalną jest przedział 0,. Prosta o równaniu = 0 jest asymptotą pionową prawostronną. Nie ma asymptot ukośnych. 4. b =, a =. Zestaw C. Dziedzina D = R \ Jedno rozwiązanie, { π } + kπ : k Z, f + kπ = sin dla π, π, k Z. Zestaw D. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, f = { ctg dla kπ, kπ + π, k Z 0 dla kπ + π, k + π, k Z. 4. Jedno rozwiązanie, Zestaw E. p q = [ p q].. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, f = 3.. { cos dla kπ, kπ + π, k Z, cos dla kπ + π, k + π, k Z. 4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu =, asymptoty ukośne w i w, o równaniu y =. Zestaw F. p q = { [p q] [ p q]}.. Dziedzina D = R, f = Asymptota pionowa obustronna o równaniu = 0, asymptota pionowa prawostronna o równaniu =, asymptota pionowa lewostronna o równaniu =. Wskazówka: dziedziną naturalną jest D =, 0 0,. 7
28 Zestaw G. p q = [ p q].. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, f = 3.. { cos dla kπ, kπ + π, k Z, cos dla kπ + π, k + π, k Z. 4. Asymptota pionowa obustronna o równaniu =, asymptoty ukośne w i w, o równaniu y = +. Zestaw H. p q = [ p q].. Dziedzina D = R, f = Asymptota pionowa obustronna o równaniu =, asymptota pionowa prawostronna o równaniu = 3, asymptota pionowa lewostronna o równaniu = 3. Wskazówka: dziedziną naturalną jest D = 3,, 3. Drugie kolokwium Zestaw A. y =. [. Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziałach, 3 ], [,, f jest ściśle malejąca na przedziałach, ], [ 3 ], ; można podać w odpowiedzi przedziały otwarte, natomiast podanie sumy przedziałów jest błędem. 3. Punkty przecięcia wykresów to,, 4,, pole P = 3y y dy = Po dwukrotnym całkowaniu przez części i przeniesieniu szukanej całki I na jedną stronę, otrzymujemy sin + cos I = e + C. Zestaw B. y = +.., 0, [4, ; drugi przedział można podać otwarty, suma przedziałów to błąd. 3. Punkty przecięcia wykresów to 0, 0, 5, 5, pole P = y + y dy = Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = 4 e 4 8 e4 + 3 e4 + C. 8
29 Zestaw C. y = π π + ln π Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziałach [, ], [0,, ściśle malejąca na przedziałach, ], [, 0]; można podać w odpowiedzi przedziały otwarte, natomiast podanie sumy przedziałów jest błędem. 3. Punkty przecięcia wykresów to,,, 4, pole P = 3 d = Po dwukrotnym całkowaniu przez części i przeniesieniu szukanej całki I na jedną stronę, sin cos I = e + C. Zestaw D. y =.., 0, [ 4 3, ; drugi przedział można podać otwarty, suma przedziałów to błąd Punkty przecięcia wykresów to 0, 0,, 5, pole P = d = Po dwukrotnym całkowaniu przez części, I = e e + 4 e + C. Egzamin Zestaw A. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy prawdziwości zdań p i q oraz fałszywości r.. Dziedziną naturalną jest D =, 5] [5,. Nie ma asymptot pionowych. Prosta o równaniu y = jest asymptotą ukośną w oraz w. 3. y =. 4. f = , f jest ściśle rosnąca na przedziałach [ 5, ], [, lub przedziały otwarte, f jest ściśle malejąca na przedziałach, 5], [, ] lub przedziały otwarte; suma, np. [ 5, ] [,, to błąd. 5. Punkty przecięcia to,,,, pole P = 3y 6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = Zestaw B. Dziedzina D = R \ y dy = =. sin + cos e + C. 5 { π } + kπ : k Z, f = sin dla π, π, funkcja jest okresowa o okresie π.. a =, a = π 3 4 = + π 4, lim n a n =. Można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. 9
30 3. Co najwyżej jedno rozwiązanie ze ścisłej monotoniczności funkcji f = 3, przynajmniej jedno z własności Darbou: f0 > 0, f < 0, f < 0. Odpowiedź: f = [ 3, f = , przedziałami ścisłej wypukłości są, 0, 3, ten drugi przedział może być otwarty. Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. 5. V = π e Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = + e + e + 4 e + C. Zestaw C. Zbiory są równe... Po wyłączeniu przed pierwiastek 5/0 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach. 3. a = 5, b = f = =, zbiór możliwych ekstremów globalnych A = {f, f, fe} = {, ln, e}. Łatwo f < fe. Na zadanym przedziale f najpierw rośnie, potem od = maleje, zatem m =, M = ln. 5. Punkty przecięcia to 5,, 0, 0, pole P = 0 5 y + 5 y dy = = Podstawienie t = sin, zatem szukana całka I = t + dt = 5 sin5 3 sin3 sin + C. Zestaw D. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, f = { ctg dla kπ, kπ + π, k Z 0 dla [ kπ + π, k + π, k Z.. a = 4 + π, lim 8 a n =, można wykorzystać twierdzenie trzech ciągach. n 3. Co najwyżej jedno rozwiązanie ze ścisłej monotoniczności funkcji f = arc tg 3 +ln + e, przynajmniej jedno z własności Darbou: f0 = < 0, f = π 3 > 0. Odpowiedź: Można zastosować regułę de l Hospitala dla symbolu 0, otrzymujemy po pierwszym kroku 0 l 4 sin4 m = cos4 = e 5. V = π 0 8 cos4 sin ln d = π [ ln ] e = = π.. 6. Podstawienie t = 5 + cos, zatem szukana całka I = dt dt = ln 5 + cos + C. t
31 Zestaw E. Nie jest tautologią, jest fałszywe przy fałszywości zdań p i r zdanie q dowolne.. f0 = 0, f = + + arc tg, f 0 =, y =. 3. f = , f jest ściśle rosnąca na przedziałach [ 4, ], [0, lub przedziały otwarte, f jest ściśle malejąca na przedziałach, 4], [, 0] lub przedziały otwarte; suma, np. [ 4, ] [0,, to błąd. 4. Punkty przecięcia to 4,,,, pole P = 3y 4 y dy = = Szukana całka I = e sin d = e cos e cos d = e cos e sin I, skąd I = cos + sin e + C. 6. R k+ = k cos c k +! k+ stąd wystarczy k =, zatem sin 3 6. Zestaw F. Dziedzina D = R \ {kπ : k Z}, f = cos dla 0, π, funkcja jest okresowa o okresie π.. a = π 4, n π n a n, lim n a n =. 3. f = , f = , przedziałami ścisłej wypukłości są, 0, przedział może być otwarty. Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. [ 3, ten drugi 4. V = π d = 3π ln. + 3 sin d = + 3 cos cos d = + 3 cos sin + cos + C. 6. R n = n n stąd wystarczy n = 3, zatem ln + n + c n. Zestaw G. Zbiory są równe.. 0. Po wyłączeniu przed pierwiastek 0 występują tylko symbole oznaczone nie potrzeba używać twierdzenia o trzech ciągach. 3. f = =, zbiór możliwych ekstremów globalnych A = {f/, f, fe/} = { /, ln, e/}. Łatwo f/ < fe/. Na zadanym przedziale f najpierw rośnie, potem od = maleje, zatem m = /, M = ln. 4. Punkty przecięcia to 5,, 0, 0, pole P = 0 85 y + 45 y dy = = 30. 3
32 5. Szukana całka I = sin cos d = cos + C. 6. R k = k cos c k stąd wystarczy k = 3, zatem cos / + 4 /4. k! Zestaw H. Dziedzina D = R \. a = 3 + π, n { π } { tg, gdy tg 0, + kπ : k Z, f = 0, gdy tg < 0. n + n a n n + π n + n, lim n a n =. 3. Można zastosować regułę de l Hospitala dla symbolu 0 0, otrzymujemy l m = e 4. V = π 0 sin cos = cos sin. ln e d = π [ ln ] = = π e. 5. Szukana całka I = sin cos d = 3 sin3 + C. 6. R n = ec n! n, stąd wystarczy n = 5, zatem e Zestaw I 4 n=0 n n!.. Po wyłączeniu 0 5 = przed pierwiastek, symbol oznaczony 0 =.. a {3, 3}, b =. 3. y =. 4. Oszacowanie reszty we wzorze Maclaurina dla f = sin : R n c < n! n 0 3, wystarczy n = 5, sin 48 = Punkty przecięcia to 8,,,, pole P = 3y 6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = Zestaw J. Z twierdzenia o trzech ciągach, granica wynosi. 8 y dy = = sin4 + cos4 e + C. 7. D = R \ { }, asymptoty ukośne w obu nieskończonościach o równaniu y = f = , funkcja f rośnie na przedziałach [ 3, ], [,, maleje na przedziałach, 3, ], [, ] dopuszczalne są przedziały otwarte. Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. 3
33 4. Oszacowanie reszty R n we wzorze Maclaurina dla f = ln + : R n c < n n n = 5, ln, V = π ln Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = e e + e + C. Zestaw K. Po wyłączeniu 4 8 = przed pierwiastek, symbol oznaczony 0 =.. b {, }, a = y =. 0, wystarczy 4. Oszacowanie reszty R n we wzorze Maclaurina dla f = cos : R n c < n! n 0 3, wystarczy n = 5, cos + 4! Punkty przecięcia to,,,, pole P = d = = 48. cos + ln 7 sin 6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = + ln 7 + C. 7 Zestaw L. Z tw. o trzech ciągach, granica wynosi.. D = R \ { 4}, asymptoty ukośne w obu nieskończonościach o równaniu y = f = , funkcja f rośnie na przedziałach [ 5, ], [,, maleje na przedziałach, 5, ], [, ] dopuszczalne są przedziały otwarte. Podanie w odpowiedzi sumy przedziałów to błąd. 4. Oszacowanie reszty R n we wzorze Maclaurina dla f = ln + : R n c < n 5 n n = 4, ln, e V = π 4 6. Po dwukrotnym całkowaniu przez części, szukana całka I = ln 7 ln 7 + ln C , wystarczy 33
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania................................ 3....................... 4 II Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoElementy logiki (4 godz.)
Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoLista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoTydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza. ; e)
Tydzień - Logika. Każde z poniższych zdań wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co tydzień Choć zadania po symbolu potrójne karo nie są typowe, warto też poświęcić im nieco uwagi Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowoLISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoPoziom wymagań. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu
Plan wynikowy klasa 2g - Jolanta Pająk Matematyka 2. dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym rok szkolny 2015/2016 Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony
MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowo1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)
Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoUwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowo