1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

Transkrypt

1 Ćwiczenia omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia (zad ) Kolokwium nr 1, (do zad 473) Ćwiczenia (zad ) Kolokwium nr 2, (do zad 503) Ćwiczenia (zad ) Kolokwium nr 3, (do zad 538) Ćwiczenia (zad ) Kolokwium nr 4, (do zad 579) 1 Pochodna funkcji Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a 445 Niech f() = 3 2 Korzystając z definicji pochodnej obliczyć f (8) 446 Niech f() = 5 Korzystając z definicji pochodnej wyprowadzić wzór na f () 447 Korzystając z definicji pochodnej wyprowadzić wzór na pochodną funkcji f() = Chcemy zaokrąglić modułowi dzióbek Niech n będzie liczbą naturalną Dobrać takie a, b, c zależne od n, aby funkcja dla 1/n f n () = a 2 +b+c dla < 1/n była różniczkowalna Obliczyć f n Naszkicować wykres funkcji f n oraz wykres jej pochodnej Zadania to zadania do samodzielnego rozwiązania Na ćwiczeniach będą rozwiązane tylko zadania sprawiające kłopoty Obliczyć pochodną funkcji zmiennej o podanym wzorze Podać, w jakim zbiorze istnieje pochodna Wskazówka: A B = e BlnA Uwaga: {} oznacza część ułamkową liczby ( ( ) 1 +1) (1+ )(1+ 1/3 )(1+ 1/4 ) ( ) 1 1/ (+1)e 463 e ln 464 ln e ( 5 +1) (1+2) e ln Lista Strony e

2 467 e e 468 lnln 469 log 10 ( 1) log 2 log 3 (log 5 ) 473 e ln ( ) (ln) e 2 ln ( 6 8) 1/3 ( 481 e ) ln e 2 e +e sgn() dla < 0, 2 dla e {} 490 dla < 0, 2 dla sgn( 5 3 π 10 ) 492 e 493 e dla < 0, 1+ dla e (+e) e e 497 Dla danych różnych liczb rzeczywistych a i b oraz zbioru Z R chcemy formalnie zapisać warunek, ze istnieje w zbiorze Z liczba (ostro) między a i b, nie wiemy jednak z góry, która z liczb a, b jest większa Które z podanych warunków są do tego celu odpowiednie? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a < c < b a < c < b b < c < a a < c < b b < c < a c (0,1) ac+b(1 c) Z ac+b(1 c) Z c>0 c [0,1] c (0,1) c (0,1) bc+a(1 c) Z \{a} a+(b a)c Z a+(a b)c Z c b a (0,1) c b b a (0,1) c a b a (0,1) b a c a > 1 Lista Strony 38-46

3 498 Przyporządkować następującym twierdzeniom podane niżej warunki oraz powiedzieć, co mówi warunek nieprzyporządkowany żadnemu twierdzeniu (i) Własność Darbou funkcji ciągłych: Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b], to (ii) Własność Darbou pochodnej funkcji: Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na przedziale [a,b], przy czym w punktach a i b istnieją odpowiednie pochodne jednostronne, to (iii) Twierdzenie Rolle a: Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b] i różniczkowalna na przedziale (a,b), a ponadto f(a) = f(b), to (iv) Twierdzenie Lagrange a (o wartości średniej rachunku różniczkowego): Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b] i różniczkowalna na przedziale (a,b), to (4 ) (5 ) (6 ) (7 ) (7 ) s (0,1) s (0,1) s (0,1) f (a+t(b a)) = f (a)+s(f (b) f (a)) f(b) = f(a)+(b a)f (a+t(b a)) f(a+t(b a)) = f(a)+s(f(b) f(a)) f(a+t(b a)) = f(a)+s(f(b) f(a)) f (a+t(b a)) = 0 W następującym zadaniu wykorzystać twierdzenie Lagrange a oraz własność Darbou funkcji ciągłych (przypomnienie: funkcja różniczkowalna jest ciągła) 499 Funkcje f 1, f 2, f 3,, f 12 są określone i różniczkowalne na całej prostej rzeczywistej, a ich pochodne są ciągłe Ponadto f 1 (3) = 1, f 1 (5) = 2, f 2 (0) = 3, f 2 (4) = 1, f 3 ( 5) = 0, f 3 (15) = 10, f 4 (1) = 2, f 4() 1, f 5 (0) = 0, f 5 (2) = 10, f 5() 2, f 6 (0) = 7, f 6() > 2, f 7 (3) = 5, f 7() 1, f 8 ( 2) = 0, f 8 (0) = 10, f 8 (3) = 4, Lista Strony 38-46

4 f 9 ( 1) = 0, f 9 (1) = 100, f 9(3) = 40, f 10 (1) = 5, f 10 (11) = 5, 0 < f 10() < 2, f 11 (0) = 0, f 11 (100) = 0, 1 < f 11() < 2, f 12 ( 100) = 100, f 12 (100) = 100, 100 < f 12() < 100 A) Dowieść, że dla co najmniej trzech funkcji f i zachodzi warunek f i() 0 B) Dowieść, że dla co najmniej dwóch funkcji f i zachodzi warunek c f i(c) = 1 C) Dowieść, że dla co najmniej siedmiu funkcji f i zachodzi warunek f i (0) 1 D) Dowieść, że dla co najmniej czterech funkcji f i zachodzi warunek f i (99) > 0 E) Dowieść, że dla co najmniej dwóch funkcji f i zachodzi warunek f c i(c) = 5 F) Dowieść, że dla co najmniej jednej funkcji f i zachodzi warunek f c i(c) = 44 G) Dowieść, że dla co najmniej trzech funkcji f i zachodzi warunek c f i(c) = 1 2 H) Dowieść, że dla co najmniej siedmiu funkcji f i zachodzi warunek f i (1) 8 I) Dowieść, że dla co najmniej czterech funkcji f i zachodzi warunek c f i (c) = 13 J) Dowieść, że dla co najmniej jednej funkcji f i zachodzi warunek c d f i (c) = f i (d) = 7 K) Dowieść, że dla co najmniej dziewięciu funkcji f i zachodzi warunek c, d f i (c) = f i(d) Lista Strony 38-46

5 Konwersatorium Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji f() = 7+sin4 sin 2 7+cos 4 cos 2 Doprowadzić wzór na pochodną do możliwie najprostszej postaci 501 Podać (z wyprowadzeniem i uzasadnieniem poprawności) przykład takiego wielomianu W () stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, że funkcja f() = W ({}) jest różniczkowalna 502 Na potrzeby tego zadania funkcję f nazwiemy pikoróżniczkowalną w punkcie 0, jeżeli istnieje granica f ( 0 ) = lim h 0 f ( 0 +h) f ( 0 ) h 2, którą to granicę nazywać będziemy pikopochodną funkcji f w punkcie 0 Obliczyć pikopochodną funkcji f określonej wzorem f() = we wszystkich punktach jej pikoróżniczkowalności 503 Niech 1+2e e 2 dla 0 f() = 3 A dla = 0 Dla której wartości parametru A istnieje f (0) i ile jest równa? 2 Pochodna funkcji - zastosowania Znajdowanie najmniejszej i największej wartości funkcji na przedziale domkniętym Reguła de l Hospitala 504 Rozważamy graniastosłupy prawidłowe o podstawie trójkątnej i objętości 1 Który z nich ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej? 505 Potrzebna jest kadź w kształcie walca, otwarta u góry, której dno i bok wykonane są z tego samego materiału Kadź ma mieć pojemność 257 hektolitrów Jaki powinien być stosunek średnicy dna do wysokości kadzi, aby do jej wykonania potrzeba było jak najmniej materiału? Lista Strony 38-46

6 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji określonej podanym wzorem w podanym przedziale , [ 2,7] , [ 2,2] , [ 10,10] , [0,1] 510 ln 10, [1,e3 ] 511 sin + 2, [0,2π] 512 1/, [2,4] 513 3sin+sin3, [0,2π] Obliczyć granice lim 0 1 sin 517 lim 0 2cos 2 2 sin 2 e lim 0 ln 523 lim lim e 528 Niech f() = 515 lim 1/ 518 lim e e e e 521 lim 0 ln lim 1 ( 1) lim 2 2 e 2 1 dla 0 cos 1 A dla = 0 Dla którego A istnieje f (0) i ile wynosi? e e 516 lim 0 sin ln 519 lim 522 lim 0 e 1 2 lnln 525 lim e e 2 π 2 dla {kπ;k Z} 529 Niech f() = sin A k dla = kπ, k Z Dla których A k 530 Niech f() = (k Z) istnieją f (kπ) i ile wynoszą? sin 1 cos 2 dla {kπ + π ;k Z} 2 A k dla = kπ + π, k 2 Z Dla których A k (k Z) istnieją f (kπ + π ) i ile wynoszą? 2 ( 1)( 2)( 3) dla Z 531 Niech f() = sin(π) 2 2 dla Z Obliczyć f () dla tych Z, dla których istnieje Lista Strony 38-46

7 e 7 1 dla Niech f() = 1 dla = 0 Obliczyć f (0) cos(π)+1 dla Z 533 Niech f() = sin(π) 3 dla Z Obliczyć f () dla tych Z, dla których istnieje 534 Niech Dla którego A istnieje f (0) i ile wynosi? Konwersatorium e 3 3e +2 dla 0 f() = 2 A dla = Niech T będzie zbiorem wszystkich funkcji różniczkowalnych f : R R spełniających warunki f(3) = 7 2 f () 3 dla każdego R W każdym z zadań A-F podaj odpowiedni kres zbioru Za podanie poprawnych odpowiedzi w n zadaniach otrzymasz ma(0, n 1) punktów A sup{f(6) : f T}= B inf{f(5) : f T}= C sup{f(2) : f T}= D inf{f(1) : f T}= E sup{f(9) f(4) : f T}= F inf{f(7) f(0) : f T}= 536 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f() = [ na przedziale 2 3, 1 ] oraz podać, w których punktach te wartości są osiągane 4 Lista Strony 38-46

8 537 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f() = 4 +ln [ ] 1 na przedziale 2, 2 oraz podać, w których punktach te wartości są osiągane 538 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f() = 3+ ( ) 3/2 na przedziale [1, 5] oraz podać, w których punktach te wartości są osiągane 3 Pochodne wyższego rzędu Wzór Taylora Wypukłość funkcji Obliczyć pochodną rzędu 3 funkcji zmiennej danej wzorem 539 (+1) ln 543 e cos 545 ( 2 +1) e ln( 2 ) 548 ( 7) 50 Wyprowadzić wzór na pochodną rzędu n funkcji zmiennej danej wzorem 549 ln( 10 ) 550 ln sin e sin e e 560 sin Dowieść, że (f()g()) (n) = n ) f (k) ()g (n k) () k=0 ( n k Obliczyć przybliżone wartości następujących liczb korzystając z trzech wyrazów (zerowego, pierwszego i drugiego) odpowiednio dobranego szeregu Taylora Oszacować błąd przybliżenia na podstawie wzoru Taylora e Wyznaczyć promień zbieżności szeregu Maclaurina funkcji f() = Wyznaczyć promień zbieżności szeregu Maclaurina funkcji f() = Wyznaczyć promień zbieżności szeregu Maclaurina funkcji f() = ln(+e) Lista Strony 38-46

9 569 Zbadać, w jakim przedziale jest zbieżny szereg 2n n=0 i podać wzór na jego sumę w tym przedziale Znaleźć punkty przegięcia i przedziały wypukłości funkcji danych wzorami: e sin ln Konwersatorium Wyprowadzić wzór na pochodną rzędu 2010 funkcji f() = e sin ( 3 ) Otrzymany wzór powinien mieć prostą postać, nie zawierającą żadnego ze znaków, +, 577 Niech e 2 e dla 0 f() = A dla = 0 a) Dla której wartości parametru A istnieje f (0) i ile jest równa? b) Dla tej samej wartości parametru A wyznaczyć f (0) 578 Funkcja f : (0, + ) R jest dwukrotnie różniczkowalna oraz spełnia warunki Wyznaczyć f(4) f(1) = f(2) = 0 f () = 1 2 dla każdego (0, + ) 579 Niech T będzie zbiorem wszystkich funkcji różniczkowalnych f : R R spełniających warunki f(0) = f (0) = 1 1 f () 2 dla każdego R Dobrać odpowiednie liczby C, D, a następnie: a) Dowieść, że dla dowolnej funkcji f T zachodzi nierówność C f(1) D b) Wskazać takie funkcje f 1,f 2 T, że f 1 (1) = C, f 2 (1) = D Lista Strony 38-46