Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Transkrypt

1 Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x + + a mn x n = b m () gdzie: a ij to współczynniki układu b i to tzw. wyrazy wolne Układowi temu odpowiadają macierze: a a... a n a a... a n......, B = a m a m... a mn a a... a n b a a... a n b a m a m... a mn b m gdzie: macierz A nazywana jest macierzą podstawową układu () macierz B nazywana jest macierzą rozszerzoną układu ()

2 Układ () możemy zapisać w postaci: Ax = b gdzie: x = x x. x n Definicja. Rozwiązaniem układu () nazywamy każdy układ liczb x, x,..., x n spełniający układ (). Definicja. Rzędem macierzy A nazywamy maksymalną liczbę kolumn liniowo niezależnych i oznaczamy przez rz(a). Uwaga. Obliczając rząd macierzy należy, za pomocą operacji elementarnych na wierszach sprowadzić macierz do macierzy schodkowej, wtedy wszystkie niezerowe wiersze są liniowo niezależne i można łatwo odczytać rząd macierzy. Definicja 3. Przekształceniami elementarnymi układu równań liniowych nazywamy: przestawienie dwóch równań (wierszy) pomnożenie równania (wiersza) przez liczbę różną od zera pomnożenie równania przez dowolną liczbę różną od zera i dodanie go stronami do innego równania danego układu

3 przestawienie dwóch kolumn w macierzy układu Przykład. Obliczyć rząd macierzy 3 3 W celu obliczenia rzędu macierzy musimy sprowadzić macierz A do postaci schodkowej przy użyciu przekształceń elementarnych. 3 3 W W W 3 3W K K W 3 W [ 0 0 Największa macierz schodkowa to macierz x, tak więc rz(a)= ] K K 3 Twierdzenie (Kroneckera-Capellego). Układ równań liniowych () o macierzy głównej A i macierzy rozszerzonej B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rz(a) = rz(b). Wniosek. Układ równań liniowych () ma dokładnie jedno rozwiązanie rz(a)=rz(b)=n, gdzie n jest liczbą niewiadomych w układzie. Wniosek. Jeżeli rz(a)=rz(b) = r < n to układ () ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów. 3

4 Wniosek 3. Układ równań liniowych () jest sprzeczny jeżeli rz(a) rz(b). Definicja 4. Układ nazywamy układem Cramera, jeśli macierz współczynników A jest kwadratową macierzą nieosobliwą tzn. m = n i det(a) 0. Twierdzenie (Cramera). Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to dane jest wzorami (wzory Cramera): x k = det(a k) det(a), k =,,..., n gdzie A k oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie k-tej kolumny kolumną b (kolumna wyrazów wolnych) Przykład. Rozwiązać układ równań: x + x + x 3 = x x + x 3 = 4 5x + x + 6x 3 = 3 Rozwiązanie. Tworzymy macierz współczynników A i obliczamy jej wyznacznik: 5 6 ; det 5 6 = 6. Ponieważ det 6 0, więc jest to układ Cramera. Obliczamy wyznaczniki A, A, A 3 : deta = = 6, deta = =.

5 deta 3 = =. Na podstawie wzorów Cramera otrzymujemy rozwiązanie: x =, x =, x 3 =-. Uwaga. Układ Cramera można rozwiązać tzw. metodą macierzową. Ponieważ deta 0, więc istnieje macierz odwrotna A. Mnożymy układ - zapisany w postaci macierzowej - z lewej strony przez A : Ponieważ A E, otrzymujemy: A Ax = A b x = A b Przykład 3. Rozwiązać układ równań: Rozwiązanie: 3 4 Macierz odwrotna jest postaci: Mnożymy teraz A b: 3x + x x 3 = 4x + x x 3 = x x + x 3 = 3 A = ; det =.

6 x = A b = = Uwaga. Jeżeli układ () jest układem Cramera i b = b = = b n = 0 to układ ten nazywamy jednorodnym. Uwaga. Jednorodny układ Cramera posiada dokładnie jedno rozwiązanie x = x = = x n = 0. W przypadku, gdy liczba niewiadomych n jest duża, obie przedstawione metody rozwiązania układu Cramera stają się mało przydatne, gdyż wymagają dużo obliczenie. Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązując układ m równań liniowych z n niewiadomymi należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to zbiór rozwiązań układu wyjściowego jest równy zbiorowi rozwiązań układu reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną. Przykład 4. Rozwiązać układ równań: 4x + x + 3x 3 = x + 4x + x 3 = x + 3x + x 3 = 4 6

7 Rozwiązanie: ; B = Sprowadzamy macierz B to postaci schodkowej: W 3 4 W W W Otrzymana macierz odpowiada układowi: 4x + x + 3x 3 = 5 4 x + 4 x 3 = 3 x 3 = W 3 3 W Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Przeprowadzamy teraz tzw. redukcję wsteczną, czyli zaczynamy od najniższego schodka(równania), wyznaczamy z niego x 3, następnie wyznaczone x 3 podstawiamy do jednego równania wyżej i wyznaczamy x itd. Otrzymujemy rozwiązanie: x = 7 5, x = 5, x 3 = Metoda eliminacji Gaussa-Jordana Redukcja Gaussa Jordana jest innym sposobem eliminacji niewiadomych, niż metoda Gaussa. Różnica polega na tym, że macierz rozszerzoną układu sprowadzamy do postaci macierzy jednostkowej i w wyniku czego nie musimy przeprowadzać redukcji wstecznej, bo będziemy mieli już gotowe rozwiązanie po sprowadzeniu macierzy rozszerzonej do postaci jednostkowej, będzie nim dodatkowa kolumna (ostatnia) w tej macierzy. 7

8 Przykład 5. Rozwiązać układ równań: Rozwiązanie: x + x + 3x 3 = 4 4x + 3x x 3 = 7 x x + x 3 = ; B = Sprowadzamy macierz B to postaci macierzy jednostkowej: W 3 W W 4W W W 3+3W W W 0 8 W 3 +3W W W W Otrzymujemy rozwiązanie: x =, x =, x 3 = 3 W 3 5 W 3 W + 5 W

9 Przykład 6. Rozwiązać układ równań: x + y + 3z t + u = 4 3x + 6y + 5z 4t + 3u = 5 x + y + 7z 4t + u = x + 4y + z 3t + 3u = 6 W układzie tym mamy 4 równania i 5 niewiadomych. Nie jest zatem możliwe rozwiązanie go metodą Cramera. Układ ten może mieć nieskończenie wiele rozwiązań lub może być to układ sprzeczny. Aby to sprawdzić i ewentualnie wyznaczyć rozwiązanie, skorzystamy z twierdzenia Kroneckera-Capeliego. Budujemy macierz rozszerzoną układu: B = Wykonując elementarne operacje, szukamy rzędu macierzy B. W wyniku tych operacji otrzymujemy macierz: B = x y z t u x t u rz(b)=3 Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelliego stwierdzamy, że układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów. Rozwiązania te wyznaczamy w taki sposób, że po przeniesieniu na prawą stronę niewiadomych uznanych za parametry (w tym przykładzie y i z, bo kolumny się wyzerowały). 9

10 Otrzymujemy układ równań: x + t + u = 4 y 3z 3x 4t + 3u = 5 6y 5z x 3t + 3u = 6 4y z Otrzymany układ równań jest układem typu n x n i jest jednocześnie układem Cramera. Można go rozwiązać metodą Cramera. deta = det (4 y 3z) (5 6y 5z) 4 3 (6 4y z) 3 3 deta 3 = Ostateczne rozwiązanie jest postaci: =. = 4y z 9, deta = (4 y 3z) 3 4 (5 6y 5z) 3 (6 4y z) x = deta deta y R z R t = deta deta = 4y z 9 = 4z 7 u = deta 3 = 4z+3 deta = 4z + 3 (4 y 3z) 3 (5 6y 5z) 3 (6 4y z) 3 = 4z 7 0