ANALIZA MATEMATYCZNA 2
|
|
- Piotr Bednarek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ANALIZA MATEMATYCZNA
2 Mrin Gewert Zigniew Skoczls ANALIZA MATEMATYCZNA Definicje, twierdzeni, wzor Wdnie osiemnste powiększone GiS Oficn Wdwnicz GiS Wrocłw 6
3 Mrin Gewert Wdził Mtemtki Politechnik Wrocłwsk pwr.edu.pl Zigniew Skoczls Wdził Mtemtki Politechnik Wrocłwsk pwr.edu.pl Projekt okłdki IMPRESJA Studio Grfiki Reklmowej Copright c Oficn Wdwnicz GiS Utwór w cłości ni we frgmentch nie może ć powieln ni rozpowszechnin z pomocą urządzeń elektronicznch, mechnicznch, kopiującch, ngrwjącch i innch. Pondto utwór nie może ć umieszczn ni rozpowszechnin w postci cfrowej zrówno w Internecie, jk i w siecich loklnch, ez pisemnej zgod posidcz prw utorskich. Skłdwkonnowsstemie L A TEX. ISBN Wdnie XVIII powiększone, Wrocłw 6 Oficn Wdwnicz GiS, s.c., Druk i oprw: Oficn Wdwnicz ATUT 4
4 Spis treści Wstęp 7 Cłki niewłściwe 9. Cłkiniewłściwepierwszegorodzju Krterizieżnościcłekniewłściwchpierwszegorodzju....3 Zieżność ezwzględn cłek niewłściwch pierwszego rodzju Cłkiniewłściwedrugiegorodzju Krterizieżnościcłekniewłściwchdrugiegorodzju... 9 Szeregi liczowe i funkcjne. Definicjeipodstwowetwierdzeni.... Krterizieżnościszeregów Zieżnośćezwzględnszeregów Ilocznszeregów Ciągifunkcjne Szeregifunkcjne Szeregipotęgowe SzeregiFourier* Rchunek różniczkow funkcji dwóch i trzech zmiennch 5 3. Ziornpłszczźnieiwprzestrzeni Funkcjedwóchitrzechzmiennch Grniceiciągłośćfunkcji Pochodnecząstkowefunkcji Płszczznstczniróżniczkfunkcji Pochodnecząstkowefunkcjizłożonch Pochodnkierunkowfunkcji WzórTlor*.Ekstremfunkcji Metodnjmniejszchkwdrtów MetodmnożnikówLgrnge Funkcjeuwikłne
5 4 Cłki podwójne 9 4. Cłkipodwójnepoprostokącie Cłkipodwójnepooszrchnormlnch Zminzmiennchwcłkchpodwójnch* Współrzędneiegunowewcłkchpodwójnch Zstosownicłekpodwójnchwgeometrii Zstosownicłekpodwójnchwfizce Cłki potrójne 3 5. Cłkipotrójnepoprostopdłościnie Cłkipotrójnepooszrchnormlnch Zminzmiennchwcłkchpotrójnch* Współrzędnewlcowewcłkchpotrójnch Współrzędnesfercznewcłkchpotrójnch Zstosownicłekpotrójnchwgeometriiifizce... 8 Litertur 3 Odpowiedzi i wskzówki 3 Skorowidz 53 6
6 Wstęp Niniejsz książk jest pierwszą częścią zestwu podręczników do Anliz mtemtcznej. Pozostłmi częścimi są ziór zdń pt. Anliz mtemtczn. Przkłd i zdni orz oprcownie pt. Anliz mtemtczn. Kolokwi i egzmin. Podręczniki te są przeznczone głównie dl studentów politechnik. Mogą z nich korzstć tkże studenci uczelni ekonomicznch, pedgogicznch i rolniczch orz niektórch wdziłów uniwerstetów. Mterił zwrt w książce oejmuje cłki niewłściwe, szeregi liczowe, ciągi i szeregi funkcjne, rchunek różniczkow i cłkow funkcji wielu zmiennch wrz z zstosownimi. Wszstkie zgdnieni teoretczne zkończone są ćwiczenimi, prz czm początkowe z nich są z reguł njprostsze. Odpowiedzi do ćwiczeń umieszczone są n końcu podręcznik. Frgment mteriłu oznczone gwizdką niezncznie wkrczją poz stndrdow progrm przedmiotu. W ten sm sposó oznczono trudniejsze ćwiczeni. Uzupełnijąc mterił orz trudniejsze ćwiczeni dołączono z mślą o studentch, którz chcą pogłęić swoje widomości z nliz mtemtcznej. Przkłd ze wzorcowmi rozwiąznimi ilustrujące mterił teoretczn z tego podręcznik umieszczono w drugiej części zestwu pt. Anliz mtemtczn. Przkłd i zdni. Tm też możn znleźć dużą liczę zdń do smodzielnej nuki. Ćwiczeni z tej książki orz zdni z drugiej części zestwu są podonch tpów i mją ten sm stopień trudności jk zdni, które zwkle pojwiją się n kolokwich i egzminch. Zdni, które w poprzednich ltch studenci rozwiązwli n sprwdzinch, są umieszczone w trzeciej części zestwu. Do oecnego wdni zioru dodno now prgrf Metod mnożników Lgrnge. Pondto dokonno zmin redkcjnch, wmieniono kilknście rsunków, dodno kilk nowch ćwiczeń orz poprwiono zuwżone łęd i usterki. Serdecznie dziękujem Koleżnkom i Kolegom z Wdziłu Mtemtki Politechniki Wrocłwskiej z uwgi o wcześniejszch wdnich książki. Dziękujem również nszm Studentom z wskznie łędów w odpowiedzich do ćwiczeń. Uprzejmie prosim Cztelników o przesłnie uwg o podręczniku orz informcji o dostrzeżonch łędch i usterkch. Mrin Gewert Zigniew Skoczls 7
7 Cłkiniewłściwe W tm rozdzile przjmujem, że funkcje są cłkowlne n dowolnm przedzile domkniętm zwrtm w ich dziedzinie.. Cłki niewłściwe pierwszego rodzju Definicj...(cłk n półprostej) Niechfunkcjf ędzieokreślonnprzedzile[, ).Cłkęfunkcjif n[, ) określm wzorem: f()= lim T T f(). Jeżeli grnic po prwej stronie znku równości jest włściw, to mówim, że cłk jestzieżn.jeżeligrnicjestrówn lu,tomówim,żecłkjestrozieżn odpowiednio do lu. W pozostłch przpdkch mówim, że cłk jest rozieżn. T f() =f() f() =f() T Rs.... Ilustrcj cłki n półprostej[, ) Anlogicznie określ się cłkę n przedzile(, ]: f()= lim S S f(). 9
8 Cłki niewłściwe =f() S f() =f() f() S Rs.... Ilustrcj cłki n półprostej(, ] Uwg.Jeżelifunkcjfjestnieujemnnprzedzile[, ),tocłktejfunkcjin tm przedzile jest zieżn lo rozieżn do. Podonie dl cłki n przedzile (,]. Ćwiczenie... Korzstjąc z definicji zdć zieżność cłek(dl cłek zieżnch oliczć ich wrtości): () (e) 9 ; () 3 + ; (f) 4 ; Definicj..3.(cłk n prostej) (c) e ; (g*) + ; (d) π sin; cos ; (h*) + 4. Niech funkcj f ędzie określon n przedzile(, ). Cłkę funkcji f n prostej (, ) definiujem wzorem: f()= f()+ f(), gdzie ozncz dowolną liczę rzeczwistą. Zieżność cłki po lewej stronie znku równości ustlm w zleżności od zieżności cłek po prwej stronie tej równości. Jeżelioiecłkipoprwejsązieżne,tomówim,żecłkpolewejjestzieżn. Jeżelijednzcłekpoprwejjestrozieżndolu,drugjestzieżnlo rozieżnodpowiedniodolu,tomówim,żecłkpolewejjestrozieżndo lu. W pozostłch przpdkch mówim, że cłk po lewej jest rozieżn. f() =f() f() Rs...3. Ilustrcj cłki n prostej
9 Cłki niewłściwe pierwszego rodzju Uwg.Jeżelicłknprzedzile(, )jestzieżndlpewnego R,tojest zieżndldowolnego Rijejwrtośćniezleżod.Cłkipoprzedziłch nieogrniczonch(, ],[, ),(, ) nzwm cłkmi niewłściwmi pierwszego rodzju. Cłki niewłściwe pierwszego rodzju są liniowe. N koniec zuwżm, że jeżeli funkcj f jest nieujemn n przedzile(, ), to cłk niewłściw funkcji fnprostejjestzieżnlorozieżndo. Ćwiczenie..4. Korzstjąc z definicji zdć zieżność cłek niewłściwch(dl cłek zieżnch oliczć ich wrtości): () (e) +4 ; () e ; (f) + ; (c) e sin; (g) FAKT..5.(ozieżnościcłekpostci Cłk niewłściw <p. p ) e ; (d) + ; (h) +4+9 ; ( 3 ). ( > )jestzieżndlp > irozieżndo dl p Uwg. Anlogiczn fkt jest prwdziw tkże dl cłek niewłściwch o ile funkcj podcłkow jest poprwnie określon. = p p(<), p <p< p= p> Rs...4.Wkresfunkcji= pdlróżnchwrtościprmetrup> Ćwiczenie..6. Korzstjąc z powższego fktu zdć zieżność cłek niewłściwch: () 3; () 3 ; (c) ; + 8
10 Cłki niewłściwe (d) ( 3 +5 ) 4 ; (e) ; (f). ( ) Ćwiczenie..7. Zdć zieżność cłki niewłściwej prmetrup>. p ( R)wzleżnościod Ćwiczenie*..8. Funkcję gmm, któr jest uogólnieniem silni, określm wzorem Γ(p)= p e, gdziep>. OliczćΓ()instępniepokzć,żeΓ(p+)=pΓ(p)dlp>orzΓ(n)=(n )! dln N. Definicj..9.(wrtość główn cłki niewłściwej pierwszego rodzju) Wrtość główną cłki niewłściwej pierwszego rodzju funkcji f n(, ) definiujem wzorem v.p. f()= lim T T T f(). Jeżeli grnic po prwej stronie równości nie istnieje, to mówim, że cłk niewłściw nie m wrtości głównej. Uwg. Jeżeli cłk niewłściw n(, ) jest zieżn do w, to wrtość główn cłkitkżesięrównw.zdrugiejstroncłkmożećrozieżn,lemwrtość główną. Ćwiczenie... Wznczć wrtości główne cłek niewłściwch pierwszego rodzju: () + ; () sin e +e ; (c) 3 ; (d). Krterizieżności cłek niewłściwch pierwszego rodzju e. TWIERDZENIE...(krterium porównwcze zieżności/rozieżności cłek) Niechfunkcjefigspełnijądlkżdego [, )nierówności f() g(). Wówczs: () jeżeli cłk g()jestzieżn,tocłk f()tkżejestzieżn;
11 Krteri zieżności cłek niewłściwch pierwszego rodzju 3 () jeżeli cłk f()jestrozieżndo,tocłk g() tkże jest rozieżn do. =g() =f() Rs.... Ilustrcj krterium porównwczego zieżności cłek niewłściwch Uwg. Twierdzenie pozostnie prwdziwe, gd nierówności w złożeniu są spełnione dlkżdego [, ),gdzie >.Anlogicznetwierdzeniezchodzidlfunkcji niedodtnich f i g. Pondto prwdziwe są podone twierdzeni dl cłek niewłściwch n półprostej(, ]. Ćwiczenie... Korzstjąc z krterium porównwczego zdć zieżność cłek niewłściwch: () ; () e + ; (c) + ; (d) (g*) rctg ; (e) + e ; π (h*) (+sin) ; (f) 4 π 4 + ; (i*) π (+sin) ; cos 3. TWIERDZENIE..3.(krterium ilorzowe zieżności/rozieżności cłek) Niechfunkcjefigędądodtnie(ujemne)npółprostej[, )orzniechspełniją wrunek f() lim g() =k,gdzie<k<. Wówczs cłki f(), g() są jednocześnie zieżne lo rozieżne do (). Uwg. Prwdziwe są tkże nlogiczne twierdzeni dl cłek niewłściwch n półprostej(, ].
12 4 Cłki niewłściwe Ćwiczenie..4. Korzstjąc z krterium ilorzowego zdć zieżność cłek niewłściwch: () 4 ; () 3 6 ; (c) e (e ) ; (d) (g*) π 3 +sin ; (e) (+) + ; (h*) 3 e ; π (f) ln(+3 ) ln(+ ; (i*) ).3 Zieżnośćezwzględn cłek niewłściwch pierwszego rodzju e cos ; e 3 e +. Definicj.3..(zieżność ezwzględn cłek niewłściwch pierwszego rodzju) Mówim, że cłk niewłściw pierwszego rodzju funkcji f jest zieżn ezwzględnie, gd cłk niewłściw funkcji f jest zieżn. Ćwiczenie.3.. Zdć zieżność ezwzględną cłek niewłściwch: () sin + ; () e cos; (c) π sin 3 ; (d*) TWIERDZENIE.3.3.(o zieżności cłek zieżnch ezwzględnie) ( ). Jeżeli cłk niewłściw jest zieżn ezwzględnie, to jest zieżn. Pondto f() f(). =f() = f() Rs..3.. Ilustrcj twierdzeni o zieżności cłek niewłściwch zieżnch ezwzględnie
13 Cłki niewłściwe drugiego rodzju 5 Uwg. Powższe twierdzenie jest prwdziwe tkże dl pozostłch rodzjów cłek niewłściwch pierwszego rodzju. Twierdzenie odwrotne nie jest prwdziwe. Np. cłkniewłściwfunkcjif()=(sin)/nprzedzile[π, )jestzieżn,lenie jest zieżn ezwzględnie. Ćwiczenie.3.4. Zdć zieżność i zieżność ezwzględną cłek niewłściwch: () (d) (g*) sin; () sin 5 +3 cos ; (e) ( ) ; (h*) cos e + ; (c) e sin +cos ; (f) e sin 5 ; (i*).4 Cłki niewłściwe drugiego rodzju Definicj.4..(cłk z funkcji nieogrniczonej) sin ( +4) ; (sin+cos) ( +9) ; sin. Niech funkcj f określon n przedzile(, ] ędzie nieogrniczon tlko n prwostronnm sąsiedztwie punktu. Cłkę funkcji f n przedzile(, ] definiujem wzorem: f()= lim f(). A + A Jeżeli grnic po prwej stronie znku równości jest włściw, to mówim, że cłk jestzieżn.jeżeligrnicjestrówn lu,tomówim,żecłkjestrozieżn odpowiednio do lu. W pozostłch przpdkch mówim, że cłk jest rozieżn. =f() =f() A f() f() A Rs..4.. Ilustrcj cłki z funkcji nieogrniczonej n(, ]
14 6 Cłki niewłściwe Anlogicznie definiuje się cłkę funkcji f określonej n przedzile[, ) i nieogrniczonej tlko n lewostronnm sąsiedztwie punktu : =f() f()= lim B B f(). =f() B f() f() B Rs..4.. Ilustrcj cłki z funkcji nieogrniczonej n[, ) Uwg.Jeżelifunkcjfjestnieujemnnprzedzile(,]lo[,),tocłk f() jest zieżn lo rozieżn do. Jeżeli funkcj f jest ogrniczon n przedzile(, ], to cłk f() wznczon według powższej definicji jest zieżn i jej wrtość pokrw się ze zwkłą cłką oznczoną oliczoną z definicji(wrtość f() przjmujem dowolnie). Np. cłk n przedzile[, ). sin jestzieżn.podoniejestdlfunkcjiokreślonej Ćwiczenie.4.. Korzstjąc z definicji zdć zieżność cłek(dl cłek zieżnch oliczć ich wrtości): 4 e () ; () ( ) ; (c) ln; (d) 3 ; (e) 3 π ; (f) π 4 tg; FAKT.4.3.(o zieżności cłek postci Cłk (g) p ) e ln ; (h) ( ). p(>)jestzieżndl<p<irozieżndo dlp.
15 Cłki niewłściwe drugiego rodzju 7 p = p <p< p= p> Rs..4.3.Wkresfunkcji= pdlróżnchwrtościprmetrup> Uwg. Anlogiczn fkt jest prwdziw tkże dl cłek funkcj podcłkow jest poprwnie określon. p(<),oile Ćwiczenie.4.4. Korzstjąc z powższego fktu zdć zieżność cłek: () 4; () ; (c) 3 4 ; (d) (3 ) 4 Definicj.4.5.(cłki z funkcji nieogrniczonch, ciąg dlsz) 3 3 (4 ) 3. Niechfunkcjfokreślonnziorze[,c) (c,]ędzienieogrniczontlkonou jednostronnch sąsiedztwch punktu c. Cłkę funkcji f n[, c) (c, ] definiujem wzorem: c f()= f()+ f(). Jeżeli oie cłki po prwej stronie znku równości są zieżne, to mówim, że cłk jest zieżn.jeżelijednztchcłekjestrozieżndolu,drugjestzieżn lorozieżnodpowiedniodolu,tomówim,żecłkjestrozieżndo lu. W pozostłch przpdkch mówim, że cłk jest rozieżn. =f() c c f() c f() c Rs Ilustrcj definicji cłki z funkcji nieogrniczonej n[, c) (c, ]
16 8 Cłki niewłściwe Uwg. Podonie określ się cłki funkcji nieogrniczonch tlko n sąsiedztwch oustronnchlujednostronnchpunktówc,c,...,c n [,]. =f() d f() d f() d Rs Ilustrcj cłki funkcji nieogrniczonej n(, ) N przkłd dl funkcji f określonej n przedzile(, ) i nieogrniczonej tlko n prwostronnm sąsiedztwie punktu i n lewostronnm sąsiedztwie punktu przjmujem: d f()= f()+ f(), gdzie d jest dowolnm punktem przedziłu(, ). Jeżeli cłk jest zieżn dl pewnegod,tojestzieżndldowolnegod (,)ijejwrtośćniezleżodd.cłki zdefiniowne w tm prgrfie nzwm cłkmi niewłściwmi drugiego rodzju. Ćwiczenie.4.6. Korzstjąc z definicji zdć zieżność cłek niewłściwch(dl cłek zieżnch oliczć ich wrtości): () (e) ; () 8 8 rccos ; (f) 3 ; (c) 4 ; (g) 4 π d ( ) ; (d) cos ; Definicj.4.7.(wrtość główn cłki niewłściwej drugiego rodzju) (h*) π π sin ;. Wrtość główną cłki niewłściwej drugiego rodzju z funkcji f określonej n[, ]\{c} i nieogrniczonej jednie n oustronnm sąsiedztwie punktu c definiujem wzorem: c ε v.p. f()= lim f()+ f(). ε + Jeżeli grnic po prwej stronie równości nie istnieje, to mówim, że cłk niewłściw nie m wrtości głównej. c+ε
17 Krteri zieżności cłek niewłściwch drugiego rodzju 9 Uwg.Jeżelicłkniewłściwzfunkcjifokreślonejn[,]\{c}jestzieżndo w,towrtośćgłówncłkitkżesięrównw. Ćwiczenie.4.8. Wznczć wrtości główn cłek niewłściwch drugiego rodzju: () ; () 4 ; (c) π π sin 4 ; (d)..5 Krterizieżności cłek niewłściwch drugiego rodzju TWIERDZENIE.5..(krterium porównwcze zieżności/rozieżności cłek) Niechfunkcjefigędąokreślonenprzedzile(,]inieogrniczonetlkonprwostronnm sąsiedztwie punktu orz niech dl kżdego (, ] spełniją nierówności f() g().wówczs: () jeżeli cłk () jeżeli cłk do. g()jestzieżn,totkżecłk f()jestrozieżndo,totkżecłk f()jestzieżn; g() jest rozieżn f() g() =g() =f() Rs..5.. Ilustrcj krterium porównwczego zieżności cłek niewłściwch drugiego rodzju Uwg. Twierdzenie powższe pozostnie prwdziwe, gd nierówności w złożeniu są spełnionedlkżdego (, ](< <).Prwdziwejesttkżenlogiczne twierdzenie dl funkcji określonch n przedzile[, ) i nieogrniczonch tlko n lewostronnm sąsiedztwie punktu. Wszstkie wrint tego twierdzeni możn stosowć tkże dl funkcji niedodtnich.
18 Cłki niewłściwe () e ; () (+) sin ; (c) π sin 3 ; (d*) π TWIERDZENIE.5.3.(krterium ilorzowe zieżności/rozieżności cłek) sin 3. Ćwiczenie.5.. Korzstjąc z krterium porównwczego zdć zieżność cłek niewłściwch: Niechfunkcjefigędąokreślonenprzedzile(,]inieogrniczonetlkonprwostronnm sąsiedztwie punktu. Pondto niech spełniją wrunek Wówczs cłki f() lim + g() =k,gdzie<k<. f(), g() są jednocześnie zieżne lo rozieżne do (). Uwg. Prwdziwe są tkże nlogiczne twierdzeni dl cłek niewłściwch n przedzile[, ). Ćwiczenie.5.4. Korzstjąc z krterium ilorzowego zdć zieżność cłek niewłściwch: () (e) π 3 sin 8 ; () ; (f) + 3 ; (c) 4 ln(+) ; (g) (e ) ; (d) π ; (h*) 3 sin ; 5. Ćwiczenie*.5.5. Przjmując odpowiednie definicje zdć zieżność cłek niewłściwch, które są jednocześnie pierwszego i drugiego rodzju: () (e) ln + ; () ln +; (c) e ; (d) e ; (f*) (+ ) ; (g*) ; (h*) Ćwiczenie.5.6. (przkłd z geometrii i fizki) ln ; 3. () Oliczć ojętość i pole powierzchni ocznej rł powstłej z orotu wokół osi
19 Krteri zieżności cłek niewłściwch drugiego rodzju Ooszruogrniczonegoprostmi=,,=iwkresemfunkcji=/. ()OliczćprcęW,jkąnleżwkonć,ciłoomsiem=kgprzenieść z powierzchni Ziemi do nieskończoności. Zniedć opór powietrz. Przjąć promień ZiemiR=638kmorzprzspieszenienpoziomiemorzg =9,8m/s. (c)oliczćwspółrzędne( C, C )środkmsjednorodnegooszruogrniczonego prostmi=,=,=iwkresemfunkcji=/ 3. (d) Oliczć siłę, z jką jednorodnie nłdown półprost przciąg łdunek Q = 4 Cpołożonnprzedłużeniupółprostej,wodległościd=modjejkońc.Gęstość liniowłdunkujestrównλ =C/mpręt. (e*)oliczćsiłę,zjkąjednorodnnieskończonprostoliniowprętogęstościλ przciąg msę m umieszczoną w odległości r od niego.
Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI
Cłki oznzone wkłd z MATEMATYKI Budownitwo, studi niestjonrne sem. I, rok k. 28/29 Ktedr Mtemtki Wdził Informtki Politehnik Biłostok 1 Podstwowe pojęi 1.1 Podził P przedziłu, Nieh f ędzie funkją ogrnizoną
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki
Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna (część II)
Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1
Mtemtyk II Bezpieczeństwo jądrowe i ochron rdiologiczn Semestr letni 2018/2019 Wykłd 1 Zsdy współprcy przypomnienie Wykłdy są nieobowiązkowe, le Egzmin: pytni teoretyczne z łtwymi ćwiczenimi (będzie list)
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Cłk oznczon Wojciech Kotłowski Instytut Informtyki Politechniki Poznńskiej emil: imię.nzwisko@cs.put.poznn.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultcje: piątek 15:10-16:40
Bardziej szczegółowoCałka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux
Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6
Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2
Bardziej szczegółowoIII. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.
III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii
Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 6 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 9 listopd 8r. Cłk oznczon i cłk niewłściw Zstosowni rchunku cłkowego w geometrii
Bardziej szczegółowoCAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)
Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Witold Majdak
Cłk oznczon funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Witold Mjdk 6 Spis treści Definicj cłki oznczonej Riemnn Włsności cłki Riemnn Twierdzenie o średniej cłkowej funkcji Pierwsze zsdnicze twierdzenie
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Ciągi liczbowe Definicj. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg
Bardziej szczegółowoCałka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje
Bardziej szczegółowoCałkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx
Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki:
Bardziej szczegółowoPochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoWyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A
Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7
Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw
Bardziej szczegółowoMAP1142 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1A. Listy zadań
MAP4 ANALIZA MATEMATYCZNA.A Zdni z listy oznczone gwizdką ) są nieco trudniejsze lbo mją chrkter teoretyczny. Jednk nie wychodzą one poz rmy progrmu kursu. Odpowiedzi do zdń z listy możn zweryfikowć z
Bardziej szczegółowoWzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).
Wzory uproszczonego mno zeni: ( + b) = + b + b, ( b) = b + b, b = ( b) ( + b). Dzi ni n pot ¾egch: Dl ; y R orz ; b > 0 (dl pewnych wyk dników ; y z o zeni o ; b mog¾ być os bine w zle zności od sytucji)
Bardziej szczegółowoZastosowania całki oznaczonej
Przkłd 9 Nie kd funkcj okrelon i ogrniczon n [, b] jes cłkowln n [, b], np funkcj Dirichle nie jes cłkowln n przedzile [, ], gd f ( ), gd liczb wmiern odcink [,] liczb niewmiern odcink [,] Gdbm dl kdego
Bardziej szczegółowoWykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji
Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.
Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz 2 82-3 Elblg Mtemtyk p. 1 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem
Bardziej szczegółowoTeresa Jurlewicz Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA. Definicje, twierdzenia, wzory. Wydanie ósme poprawione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz Zbigniew Skoczlas ALGEBRA LINIOWA Definicje, twierdzenia, wzor Wdanie ósme poprawione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław 2015 Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej
Bardziej szczegółowo3. F jest lewostronnie ciągła
Def. Zmienną losową nzywmy funkcję X: tką, że x R : { : X( ) < x }. Ozn.: zmist pisd A = { : X( ) < x } piszemy A = { X < x } zdrzenie poleg n tym, że X( )
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Całka Riemanna
Anliz Mtemtyczn. Cłk Riemnn Aleksnder Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych Wydził Informtyki w Gdńsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdńsk 29 kwietni 217 1 / 2 Cłk Riemnn
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoWektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor
Wektor N fizce w szkole średniej spotkcie się z dwom tpmi wielkości fizcznch. Jedne z nich, np. ms, tempertur, łdunek elektrczn są opiswne przez jedną liczę; te nzwm wielkościmi sklrnmi, w skrócie - sklrmi.
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania =
Vdemecum GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* Mtemtyk - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Prón Mtur z OPERONEM Operon 00% MATURA 07 VA D EMECUM
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ
ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ Marian Gewert Zbigniew Skoczlas ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ Teoria, przkład, zadania Wdanie szóste zmienione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoI POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA Przpomnijm definicję ilorzu róŝnicowego : Definicj (ilorzu róŝnicowego) : Ilorzem róŝnicowm funkcji f : (,b) R odpowidjącm
Bardziej szczegółowo± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi
TYGONOMETRYCZNE Przjmujm, ż znn są dfinicj i podstwow włsności funkcji trgonomtrcznch. Zprzntujm poniżj kilk prktcznch sposobów szbkigo, prktczngo obliczni wrtości funkcji trgonomtrcznch, rozwiązwni równń
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 7.
Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 1 / 20 Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ).
Bardziej szczegółowo( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)
List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
Bardziej szczegółowoWykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne
Wykłd 2 Funkcj rytmiczn, Deinicj rytmu: Włsności rytmu: 2 u 2 u b c c b 2 2 Lorytm nturlny: Funkcje tryonometryczne Funkcje tryonometryczne kąt ostreo: b c sin cos t ct b c b c b Mir łukow kąt wyrż się
Bardziej szczegółowoZapis wskaźnikowy i umowa sumacyjna
Zpis wskźnikow i mow smcjn Pokzć, że e ikm e ikm Pokzć, że e e δ ikm jkm Dn jest mcierzow reprezentcj tensor 7 7 7 ), ), c) 7 7 Podć dziewięć skłdowch d zdefiniownch związkiem: Wrnki nierozdzielności możn
Bardziej szczegółowonazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.
Rozdził 10 Cłk Drboux 10.1 Doln i górn sum Drboux Definicj podziłu. Niech, b R, < b. Kżdy skończony ciąg P postci (10.1) P = (x 0,..., x n ), gdzie n N, = x 0 < x 1
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoWykład 3: Transformata Fouriera
Rchunek prwdopodobieństw MAP64 Wydził Elektroniki, rok kd. 28/9, sem. letni Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 3: Trnsformt Fourier Złóżmy, że f(t) jest określon n R, ogrniczon, okresow o okresie 2T i
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.
Oprownie: Elżiet Mlnowsk FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Określeni podstwowe: Jeżeli kżdej lizie x z pewnego zioru lizowego X przporządkown jest dokłdnie jedn liz, to mówim,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI
MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów
Bardziej szczegółowo9. Całkowanie. I k. sup
9. Cłkownie Zcznijmy od podstwowego dl teorii cłki pojęci podziłu. Podziłem odcink [, b] R nzywmy kżdy skończony zbiór P [, b] zwierjący ob końce odcink. Niech będą punktmi podziłu P. Odcinki = x < x
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowodr inż. Zbigniew Szklarski
Wkłd 3: Kinemtk dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://ler.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Wstęp Opis ruchu KINEMATYKA Dlczego tki ruch? Przczn ruchu DYNAMIKA MECHANIKA Podstwowe pojęci dl ruchu prostoliniowego
Bardziej szczegółowoZbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Bardziej szczegółowof(g(x))g (x)dx = 6) x 2 1
Mtemtyk -. rok Trnsport, stcjonrne. stopie«przykªdowe zdni n kolokwium nr.cªki nieoznczone - cªkownie przez cz ±ci, cªkownie przez podstwienie Denicj F () = f(), f()d = F () + C Cªkownie przez cz ±ci:
Bardziej szczegółowosymbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia
Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P
Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
Bardziej szczegółowoRównania róniczkowe liniowe. = 2. dx x. dy dy. dx y. y dx. dy y. dy 2
Równni róniczkow liniow Równni róniczkow, kór mon zpis w posci + p( q(, gdzi p ( i q ( s funkcjmi cigłmi, nzwm równnim liniowm pirwszgo rzdu Jli q (, o równni nzwm liniowm nijdnorodnm W przciwnm przpdku
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Funkcje Γ i B Eulera oraz ich zastosowania
Rozdził Cłki niewłściwe. Funkcje Γ i B Euler orz ich zstosowni W tym rozdzile omówimy pojęcie cłki niewłściwej. Zjmiemy się też dwom brdzo wżnymi konkretnymi typmi tkich cłek: funkcjmi Γ (gmm i B (bet
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi
Bardziej szczegółowoSTANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI
INTELIGENTNE TECHNIKI KOMPUTEROWE wkłd STNDRDOWE FUNKCJE PRZYNLEŻNOŚCI GUSSOWSK F. PRZYNLEŻNOŚCI ' μ ( ; ', ) ep μ().5 ' środek; określ szerokość krzwej.5 3 F. PRZYNLEŻNOŚCI KLSY s dl - dl c- sc ( ;,,
Bardziej szczegółowoNiewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6
Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni 2010 1 Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q,
Bardziej szczegółowoArkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa
Arkusz - krt prcy Cłk oznczon i jj zstosowni. Cłk niwłściw Zdni : Obliczyć nstępując cłki oznczon 5 d 5 d + 5 + 7 d Zuwżmy, ż d, Stąd d, + 5 + 7 d + ] 7 + + ln d cos sin d d ]. d + d 5, d + 5 + 7 7 7 d
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoPrace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)
Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.
Bardziej szczegółowoe) Kwadrat dowolnej liczby b) Idź na dwór! całkowitej jest liczbą naturalna. c) Lubisz szpinak? f) 12 jest liczbą pierwszą. d) 3 2 =10.
Zdnie. Cz poniższe wrżeni są zdnimi logicznmi: ) wczorj pdł deszcz. e) Kwdrt dowolnej liczb b) Idź n dwór! cłkowitej jest liczbą nturln. c) Lubisz szpink? f) jest liczbą pierwszą. d) =0. Zdni. Podj zprzeczeni
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoWspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad
Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki
Bardziej szczegółowoPowtórka dotychczasowego materiału.
Powtórk dotychczsowego mteriłu. Zdi do smodzielego rozwiązi. N ćwiczeich w środę 7.6.7 grupy 4 leży wskzć zdi, które sprwiły jwięcej problemów. 43. W kżdym z zdń 43.-43.5 podj wzór fukcję różiczkowlą f
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowosin b) Wyznaczyć taką funkcję pierwotną do funkcji sin ( =, która przechodzi przez punkt (0,0)
Kolokwium z mmki 7.. Tm A godz.. Imię i nzwisko Nr indksu Zdni Wznczć cłkę d cos sin Wznczć ką unkcję pirwoną do unkcji cos sin kór przchodzi przz punk Odp. c cos cos F Zdni Nrsowć wrswic unkcji ln odpowidjąc
Bardziej szczegółowoDługo łuku krzywej., klasy. t ; t oraz łuk nie ma czci wielokrotnych, to długo łuku. wyraa si wzorem
Długo łuku kzwj Kzw ( L : [, ] f ( Jli dn js ównni wkoow kzwj pochodn (, ( s cigł w pzdzil W współzdnch igunowch:, kls C, m długo L ( f ( ( α;, pz czm funkcj (, ( oz ich ( ; oz łuk ni m czci wilokonch,
Bardziej szczegółowoO SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx
O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p.
Metody numeryczne Cłkownie Jnusz Szwbiński szwbin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/2002 10:07 p.1/69 Cłkownie numeryczne 1. Kilk uwg ogólnych 2. Kwdrtury Newton Cotes
Bardziej szczegółowo4.6. Gramatyki regularne
4.6. Grmtyki regulrne G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie liniową, jeśli jej produkcje mją postć: ( i) U xv x T * U,V N ( ii) U x G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie regulrną, jeśli jej produkcje
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna
Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoa) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy
04 6. Ztoownie metod hemtów lokowh do nliz włśiwośi ukłdów utomtki Shemt lokow ukłdu utomtki jet formą zpiu mtemtznego modelu dnego ukłdu, n podtwie której, wkorztują zd przedtwione rozdzile 3.7, możn
Bardziej szczegółowo