MAP1142 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1A. Listy zadań

Transkrypt

1 MAP4 ANALIZA MATEMATYCZNA.A Zdni z listy oznczone gwizdką ) są nieco trudniejsze lbo mją chrkter teoretyczny. Jednk nie wychodzą one poz rmy progrmu kursu. Odpowiedzi do zdń z listy możn zweryfikowć z pomocą progrmów komputerowych. Istnieje wiele progrmów do obliczeń numerycznych i symbolicznych. Progrmy te możn wykorzystć np. do rysowni wykresów funkcji, obliczni grnic ciągów i funkcji, wyznczni cłek i pochodnych, rozwiązywni równń lgebricznych i różniczkowych, bdń sttystycznych. Polecmy stronę internetową Wolfrm Alph orz drmowe progrmy: Mim, Microsoft Mthemtics, Octve, pkiet R, Sge, Scilb, tkże progrmy płtne: Derive, Mthemtic, Mtlb, Mple, Scientific WorkPlce. Uzdolnionych studentów zchęcmy do udziłu w egzminch n ocenę celującą z lgebry i nlizy. Zdni z tych egzminów możn znleźć n stronie internetowej Oprcownie: dr Mrin Gewert, doc. Zbigniew Skoczyls Wrocłw, wrzesień 0 Listy zdń List.. Czy podne wypowiedzi są zdnimi w logice? Jeśli są, to podć ich wrtość logiczną: ) AmsterdmjeststolicąHolndii b) liczb3888jestpodzielnprzez8 c) +b =c d) trójkątobokch3,4,5jestostrokątny e) Npisć zprzeczeni zdń: ) jem śnidnie i słuchm rdi b) kwdrt nie jest pięciokątem c) stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocłw d) jeśli jutro będzie ciepło, to pójdę n bsen e) liczbjestpodzielnprzez6wtedyitylkowtedy,gdyjestpodzielnprzez3..3. Ocenić prwdziwość zdń złożonych: f) =b 4c. ) nieprwd,żefunkcjf)= jestrosnącn R b) ) 44 = lub008jestliczbąprzystą c) funkcjg)=sinjestokresow,funkcjf)=3 nieprzyst d) jeżeli Piotr jest synem Tdeusz, to Tdeusz jest strszy od Piotr e) liczb3579jestpodzielnprzez9wtedyitylkowtedy,gdysum jestpodzielnprzez9..4. Czy podne funkcje zdniowe są prwmi logicznymi: ) p q)= [ p) q)] b)p= [q q)= r] c)p= q) [ p) q] d)[p q)] [ p) q]?.5. Zbiory określone z pomocą formy zdniowej zpisć w prostszej postci: ) { R: =4 } b) { n N:liczbn njestprzyst } c){ R:<3) 5)} d){n N:njestpodzielneprzez5} e) { R:>0)= >0 )} f){,y,z):,y,z N <y<z yz=6}..6. Podć przykłdy wrunków, które spełniją tylko elementy zbiorów: )[,7] b){trójkątrównoboczny,kwdrt} c){,4,6,...} { } d), 3, 5, 7,,... e){} [,3] f){,, 3,3, 5,5, 5,5}.

2 .7. Zbdć, czy podne formy zdniowe z kwntyfiktormi są prwdziwe: ) sin= R d) y R R y=0 b) R +4+3>0 c) R e) Ry Ry ) y>) f) y R y R y =0! R π ),π tg=y..8. DlpodnychprzbiorówA,B RwyznczyćA B,A B,A\B,B\A,A c,b c,a B: )A=0,5), B=[0,7] b)a=,3), B=[, ) c)a={,}, B={,,3,4} d)a=n, B={n:n N}. WskzćtepryA,B,dlktórychA B..9. Wyznczyć wszystkie podzbiory zbioru{,, }..0*.KtórzrelcjiA B,czyB Azchodzi,gdy: )A B=A b)a B A c)a\b=a d)b A B? List.. Określić i nrysowć dziedziny funkcji: )f)= 3 d)f)= +3) 4 b)f)= +4 c)f)= 6 e)f)= f)f)= Określićfunkcjezłożonef f,f g,g f,g gorzpodćichdziedziny,jeżeli: )f)=, g)= b)f)=, g)= 4 c)f)= +, g)= + d)f)=, g)= +..3*. Uzsdnić, że złożenie funkcji: ) rosnących jest funkcją rosnącą b) rosnącej i mlejącej jest funkcją mlejącą c) mlejących jest funkcją rosnącą..4. Znleźćfunkcjefigtkie,żeh=f g,jeżeli: )h)= b)h)= 4 + c)h)= ++ + d)h)= + + e)h)= f)h)=. *Czy funkcje f i g są wyznczone jednozncznie?.5. Uzsdnić, że podne funkcje są różnowrtościowe n wskznych zbiorch: )f)= 3, R b)f)=, R\{0} c)f)=4, [0, ) d)f)= +,, ) e)f)= 3, [0, ) f*)f)= [ ), 4,..6. Korzystjczwykresufunkcjiy= nszkicowćwykresyfunkcji: )y= b)y= c)y= d)y= e)y=+ f)y= +.

3 .7. Znleźć funkcje odwrotne do funkcji: )f)= + b)f)=3 3 + c*)f)= 6 sgn { dl<0, d*)f)= e)f)= f)f)=4 +dl 0 g)f)=log+) h)f)=log i)f)=log3 +). List Korzystjąc z wykresu funkcji y = sin nszkicowć wykresy funkcji: )y=sin b)y=sin 3 c)y=sin + π ) 4 d)y=+sin e)y= sin f)y=sin π ) Nszkicowć wykresy funkcji: )y=sin sin + b)y=+ctg π ) c)y=tg+ tg d)y= tg ctg Korzystjąc ze wzorów redukcyjnych zpisć podne wyrżeni w postci funkcji trygonometrycznych kąt α 0, π ) : ) ) 3π 5π π ) )sin α b)cos +α c)tgπ α) d)ctg +α Uzsdnić tożsmości trygonometryczne: ) +tgα +ctgα =tgα b)sin4 α+cos 4 α= sin α c)tgα+ctgα= sinα d)tg α = cosα sinα e)sin4 α cos 4 α=sin α cos α f) Dljkichkątówαsąoneprwdziwe? 3.5*. Obliczyć wrtości wyrżeń: )tg rccos ) b) ctg rcsin 3 cosα cosα=sinαtgα. ) c) sin rcsin 3 ) 5 +rcsin8 d*)sinrctg+rctg) *. Funkcje odwrotne do podnych zpisć przy pomocy funkcji cyklometrycznych: [ ] π )f)=sin,,3π b)f)=cos, [π,π] c)f)=tg, 3π ), π d)f)=ctg, π,π). Nszkicowć wykresy otrzymnych funkcji odwrotnych. List Zbdć, czy podne ciągi są ogrniczone z dołu, z góry, są ogrniczone: ) n = +cosn 3 sinn b) n= n n + c) n = 4n n +3 d) n = n+8 n+3 e) n = n +n f) n= n 3 n. 3

4 4.. Zbdć, czy podne ciągi są monotoniczne od pewnego miejsc: ) n = n+ n+ b) n= n n + c) n= n! 0 n d) n = n 6n+0 e) n= 4n n +3 n f) n= n + n Korzystjąc z definicji grnicy włściwej lub niewłściwej ciągu uzsdnić równości: 3 n n+ ) lim = b) lim n+4 n =0 c) lim lnn 5)= Korzystjąc z twierdzeń o rytmetyce grnic ciągów obliczyć grnice: ) lim d) lim 3n b) lim n+4 n 0 + ) 3 n 3 0 e) lim +) n + ) n!+ h) lim n+)n+)! n+ n + n 3 +n + c) lim n 3n n ) 5 n 4 n f) lim n 5 n 3 n n +4n+ n +n) i) lim 4.5. Korzystjąc z twierdzeni o trzech ciągch znleźć grnice: n+6 n+ n ). ) lim n+ ) n nπ b) lim 3n+ n c) lim n 3+sinn n d) lim n + 3 n + n 3 n n 3 e) lim n nn + 3n + n n h) lim 5 n +4n i) lim f) lim n + + n ) n +n n+ 3 n +4 n Korzystjąc z definicji liczby e orz z twierdzeni o grnicy podciągu obliczyć grnice: ) lim + 3n ) 5n ) n 5n+ 3n b) lim c) lim n) 5n+ 3n+ ) 5 n ) n+4 n n [ ) 3n+ d) lim e) lim n+3 n f*) lim n + 5n+ List 5 5.*. Korzystjąc z twierdzeni o dwóch ciągch znleźć grnice: ) lim d) lim n nn +5 [ ) n ) n ] e) lim n n b) lim 4n + 3) n ) n 5 0n 6 + ) f) lim 5.. Korzystjąc z twierdzeni o grnicch niewłściwych ciągów obliczyć grnice: n + ) lim n n+ d) lim n rctgn rcctgn ) n e) lim ) n ] 5n+3. 3n+ c) lim sinn )n b) lim n 4 3n 3 n ) c) lim +n 3 n ) n+)! f) lim n!+ n+ h*) lim n [ lnn+) lnn ] n ). π ) n 3 cos n rctg n i) lim n. 4

5 5.3. Korzystjąc z definicji Heinego grnicy włściwej lub niewłściwej funkcji uzsdnić równości: )lim ) 5 = b) lim 3 π + =4 c) lim + = Wskzując odpowiednie dw ciągi uzsdnić, że podne grnice nie istnieją: )lim 3 3 b)lim c) lim sin d) lim 0 cos e)lim sgn 0sgn+) f)lim 5 ) Korzystjąc z twierdzeń o rytmetyce grnic funkcji obliczyć grnice: )lim 0 + b)lim 4 c)lim + 0 d)lim 3 4 List 6 e)lim 6 f) lim ) 6.. Korzystjąc z twierdzeń o rytmetyce grnic funkcji obliczyć grnicecd.): g)lim 6 6 h) lim 64 j) lim ++) k) lim m) lim π tg + tg n)lim sin 0 cos i)lim l) lim 3 + o) lim π tg cos ). 6.. Zbdć, obliczjąc grnice jednostronne, czy istnieją grnice: )lim 0 sgn d) lim sgn[ )] 3 0 b)lim e)lim 0 c)lim Korzystjąc z twierdzeni o trzech funkcjch uzsdnić równości: e) lim 0 + cos =0 )lim 0 3 rctg =0 +sin +sin c) lim = f) lim +cos =0 3e + h) lim e + =3 i)lim 0 3 f)lim 0 rctg. =0 j*) lim d)lim sinπ)=0 e+sin =0 [ sin+ ) ] sin =0. 6.4*. Korzystjąc z twierdzeni o dwóch funkcjch uzsdnić równości: + +sin ) lim = b)lim 0 = c) lim 3 cos ) ctg= Korzystjąc z grnic podstwowych wyrżeń nieoznczonych obliczyć grnice: )lim 0 sin 3 d)lim 0 rcsin rctg sin tg b)lim 0 sin c) lim 3 tg e) lim rctg f*)lim cos3 cos7 0 5

6 cos5 π cos3 ln+ ) j*) lim m) lim + + h)lim e 3 0 sin i)lim 0 3 k) lim l)lim ) m)lim 0 [+tg)]ctg 6.6. Znleźć symptoty pionowe i ukośne funkcji: )f)= b)f)= 3 +) d)f)= e)f)= g)f)= sin π List 7 h)f)=sin 3 ln+ 3 ) 0 +) o)lim 0 c)f)= + f)f)= e 7.. Nrysowć wykresy funkcji spełnijących wszystkie podne wrunki: ) lim f)=, lim f)=,f)=0, lim f)= 0 b) limf)=e, lim f)=0,funkcjfjestprzyst i)f)= rctg c) prosty=+jestsymptotąukośnąfunkcjifw,prosty= symptotąukośnąw,prost = 0 jest jej symptotą pionową obustronną d) lim f)=0, limf)=3, lim f)= e) lim f)=, lim f)=, lim f)=, lim f)= f) lim f)= 4, lim f)=, lim f)=4 f)=, lim f)=0,funkcjfjestokresowimokrest=3 h) lim f)=4, lim f)=,funkcjfjestnieprzyst. N rysunkch wskzć frgmenty wykresów spełnijące poszczególne wrunki. 7.. Dobrćprmetry,b Rtk,bypodnefunkcjebyłyciągłen R: { + dl<, sin dl π )f)=, +dl<, b)f)= b dl +bdl < π c)f)= dl 0, 3 +bdl>0 { ++bdl <, b dl<π, sin+bcosdl > π d)f)= 4, e)f)= sin 4 dl dl π. f)f)= +tg dl π Określić rodzje nieciągłości funkcji w punkcie jeżeli istnieją) dl funkcji o podnych wykresch: ) y b) y c) y y=f) y=f) y=f) 6

7 d) y e) y f) y y=f) y=f) y=f) 7.4. Wyznczyć punkty nieciągłości podnych funkcji i określić ich rodzj: + ++ dl, { rctg )f)= 0 dl=, b)f)= dl 0, 0 dl=0 dl= + d)f)= dl 0, 0 dl=0 e)f)=sgn [ ] ) f)f)= c)f)= 3 dl= dl 0,), ), cos dl 0, 0 dl= Uzsdnić, że podne równni mją jednoznczne rozwiązni we wskznych przedziłch: [ ) 3 +6 =0,[0,] b)sin=7, π, 5π ] c)= sin [ +, 0, π ] [ ] d) 00 + =0,, e)3 +=3,[0,] f) =,[0,]. Wyznczyć rozwiązni równni ) 0.5. List 8 8.*. Korzystjąc z twierdzeni Weierstrss o przyjmowniu kresów uzsdnić, że podne zgdnieni ekstremlne mją rozwiązni: ) wśród stożków wpisnych w kulę o promieniu r istnieje ten, który m njwiększą objętość b) wśród trójkątów prostokątnych wpisnych w koło o promieniu r istnieje ten, który m njwiększy obwód c) wśród prostokątów wpisnych w trójkąt równoboczny o boku istnieje ten, który m njwiększe polezłożyć, że dw wierzchołki prostokąt nleżą do ustlonego boku trójkąt). 8.. Korzystjąc z definicji zbdć, czy istnieją pochodne podnych funkcji we wskznych punktch: )f)=, 0 = b)f)=, 0 =0 c)f)= π 3 sin, 0 =π { dl, sin dl π, rctg dl 0, d*)f)= e*)f)= dl >, dl > π f*)f)=, 0 dl =0, 0 = 0 = π 0=0. Nszkicowć wykresy funkcji ), b), d) i e) Korzystjąc z definicji obliczyć pochodne funkcji: )f)= 3,gdzie R b)f)= +,gdzie c)f)=,gdzie>0 d)f)=tg,gdzie π +kπdlk Z Bdjąc pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podnych funkcji we wskznych punktch: )f)=, 0 = b)f)=sin sgn), 0 =0 7

8 tg dl π c)f)= < 0, sin dl 0<< π, 0 =0 Nszkicowć wykresy tych funkcji. ) d)f)= dl <, 0 =. dl, List Zbdćzdefinicji,czypodnefunkcjemjąpochodneniewłściwewpunkcie 0 =0: )f)=3 5 b)f)=tg 3 c)f)= sin d*)f)= Korzystjąc z reguł różniczkowni obliczyć pochodne funkcji: )y= + b)y=3cos+tg c)y=e+ sin d)y= 3 + ) e e)y= + 4 ) tg ) f)y=e rctg g)y=ln sin + ) h)y= 3 rcsin ) i)y=e e j)y= sin 3 cos k*)y=tg l*)y=. 9.3*.Korzystjącztwierdzeniopochodnejfunkcjiodwrotnejobliczyćf y 0 ),jeżeli: )f)=+ln, y 0 =e+ b)f)=cos 3, y 0 = c)f)= , y 0 =3 d)f)= 3 +3, y 0 = Obliczyćf,f,f funkcji: )f)= b)f)= 3 c)f)=e d)f)=rctg e)f)=sin 3 +cos 3 f)f)= 3 ln Npisć równni stycznych do wykresów podnych funkcji we wskznych punktch: )f)=rcsin,,f)) b)f)=ln +e ),0,f0)) c)f)=e tg, d)f)= +,3,f3)) List 0 π 4,f π 4)) e)f)= +,,f )) f*)f)=,e,fe)). 0.. )Npisćrównniestycznejdowykresufunkcjif)= 4 +5,którjestrównoległdoprostejy=+3. b)znleźćstycznądowykresufunkcjif)=,którtworzykąt π 4 zdodtniączęściosio. c)wyznczyćrównniestycznejdowykresufunkcjif)=ln,którjestprostopdłdoprostej+6y = 0. d)znleżćrównniestycznejdowykresufunkcjif)=rctg,wpunkciejegoprzecięcizprostąπ=4y. e)wyznczyćrównnieprostej,którjestwspólnąstycznąwykresówfunkcjif)= ig)= ) ) Obliczyć kąty, pod jkimi przecinją się wykresy funkcji: i)f)=,g)= 3,>0 ii)f)=4,g)=4,>0 iii)f)=,g)=,>0 iv)f)=tg,g)=ctg,0<< π. 8

9 b)dljkichwrtościprmetru R,wykresyfunkcjiy=e,y=e przetnąsiępodkątemprostym? 0.3. Korzystjąc z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wrtości wyrżeń: ) b) c)ln d)ln e)e 0.04 f)rccos0.499 g) h) +sin33π e i*)ln ). ) Frgment terenu m ksztłt trójkąt równormiennego o boku b = 00 m. Kąt przy wierzchołku tego trójkt,zmierzonyzdokłdnością0.0rdwynosi π 3.Zjkąwprzybliżeniudokłdnościąmożnobliczyćpoletego terenu? b)objętośćkulkimetlowej,wyznczonzdokłdnościącm 3,wynosi36πcm 3.Zjkąwprzybliżeniudokłdnością możn obliczyć średnicę tej kuli? c)doszybupuszczonoswobodniekmieńizmierzonoczsjegospdnizdokłdnością0.s.zjkąwprzybliżeniu dokłdnością możn wyznczyć głębokość sztolni, jeżeli czs spdni kmieni wyniósł 4. s? Przyjąć g=9.8m/s. d) Średnic kuli zmierzon z dokłdnością 0. mm wynosi.7 mm. Z jką w przybliżeniu dokłdnością możn obliczyć objętość tej kuli? e) Przekątn sześcinu zmierzon z dokłdnością mm wynosi 4.3 cm. Z jką w przybliżeniu dokłdnością możn obliczyć pole powierzchni cłkowitej tego sześcinu? f)wbiegun00mczsmierzysięzdokłdnością0.0s.zjkąwprzybliżeniudokłdnościąmożnobliczyć średnią prędkość zwodniczki, jeśli uzyskł on czs.50 s? 0.5*. Korzystjąc z twierdzeni Lgrnge uzsdnić podne nierówności: ) rctg rctgy y dl,y R b)ln y <y dl <y c) rcsin dl 0 < d)e >e dl >. List..NpisćwzoryTylorzresztąLgrnge dlpodnychfunkcjif,punktów 0 orzn: )f)= 3, 0 =,n=4 b)f)=, 0=,n= c)f)=sin, 0 =π,n=3 d)f)=e, 0 =0,n=5 e)f)=, 0=,n=3 f)f)=ln, 0 =e,n=4... Npisć wzory Mclurin z n-tą resztą Lgrnge dl funkcji: )f)=sin 3 b)f)=ch c)f)=cos d)f)= e..3. Oszcowć dokłdności podnych wzorów przybliżonych n wskznych przedziłch: )tg, π b)cos, 0. c) + +, 0.5 d)ln ) 8 3 3, < Stosując wzór Mclurin obliczyć: ) e zdokłdnością0 3 b) zdokłdnością0 3 c)ln.zdokłdnością0 4 d)sin0.zdokłdnością0 5. 9

10 .5. Korzystjąc z reguły de L Hospitl obliczyć grnice: π ln +) lnsin ) lim b) lim ln rctg c) lim d)lim e)lim lncos 0lncos3 f) lim 0 +ln j)limcos) 0 List h) lim π π )tg k) lim π rctg.. Znleźć przedziły monotoniczności funkcji: i) lim 0 ctg ) l) lim +) ln. 0 + )f)= b)f)= c)f)=4+ d)f)= 3 3 e)f)= 3 3 f)f)=e 3 g)f)=ln.*. Uzsdnić tożsmości: ) h)f)= ln i)f)= ln. )rctg+rcctg= π dl R b)rcsin + =rctgdl,) c)rctg= π 4 rctg + dl, ) d)rcsin=rctg dl,)..3. Znleźć wszystkie ekstrem loklne funkcji: )f)= 3 4 b)f)=+ c)f)= 4 d)f)= e)f)= f)f)= 5 6 g)f)=ln h)f)= 3 3 i)f)=rctg ln + )..4. Znleźć wrtości njmniejsze i njwiększe podnych funkcji n wskznych przedziłch: )u)= ,[,5] b)v)=rctg +,[0,] c)w)= 3) e,[,4] e)g)=,[0,5] List 3 d)z)= 9,[ 5,] f)h)=sin+sin, [0, 3 ] π. 3.. ) Pltform wiertnicz jest zkotwiczon n morzu 0 km od brzegu. Rop z tej pltformy będzie dostrczn rurociągiem do rfinerii położonej nd brzegiem morz, 6 km od punktu brzegu njbliższego pltformie.kosztułożenikmrurociągundniemorzwynosi00000euro,nlądzie 00000euro.Do którego miejsc n brzegu nleży doprowdzić rurociąg, by koszt jego budowy był njmniejszy? Pltform wiertnicz 0km 6km Rfineri b) Jk powinn być mir kąt α przy wierzchołku trójkt równormiennego o dnym polu, by promień koł r wpisnego w ten trójkąt był njwiększy? 0

11 α r c)prostopdłościennykontenermmiećpojemność.50m 3 ikwdrtowąpodłogę.kosztm blchypotrzebnejdowykonnijegopodłogiipokrywywynosi0zł,ścinbocznych 30zł.Jkiepowinnybyćwymiry kontener, by koszt jego budowy był njmniejszy? d) Jkie powinny być wymiry, b prostokątnego pol o powierzchni S, którego jednym nturlnym bokiem jest brzeg rzeki, by n jego ogrodzenie zużyć jk njmniej sitki? rzek S b e) Odcinek o długości l podzielić n dwie części tk, by sum pól kwdrtów zbudownych n tych częścich był njmniejsz. 3.. Określić przedziły wypukłości orz punkty przegięci funkcji: )f)=e b)f)= 3 + c)f)=ln + ) d)f)= e)f)= 3 3 4ln f)f)=sin+ 8 sin g)f)=e rctg h)f)= ln Zbdć przebieg zmienności podnych funkcji i nstępnie sporządzić ich wykresy: )f)= ) +) b)f)= 3 c)f)= d)f)=3 4 4 e)f)= f)f)= ln. List Obliczyć podne cłki nieoznczone: ) ) 3 d )d b) 3 4 c) d + d) cosd 3 cos sin e) d f) 0 d. 4.. Korzystjąc z twierdzeni o cłkowniu przez części obliczyć cłki nieoznczone: rctg ) e 3 d b) d c) d e) sind f) rccosd g) + d) d cos ln+)d h) rccosd i) e sind j) sinsin3d k) sin3cosd l) coscos5d.

12 4.3. Stosując odpowiednie podstwieni obliczyć cłki nieoznczone: ) e) i) cos +4 d b) d c) +)sin ++ ) d d) d ch f) 5 3) 0 d g) ln d j) 4.4*. Obliczyć cłki nieoznczone: d h) e d 5sind e + k) 3 cos l) cosd +sin d + 3 e d. ) +)d b) min {, } d c) d d) e d. List Obliczyć podne cłki z ułmków prostych pierwszego rodzju: d d ) 3) 7 b) +5 c) 5d 8d 7) 3 d) Obliczyć podne cłki z ułmków prostych drugiego rodzju: d 6+3)d ) +4+9 b) ++4 c) 4+)d 0+9 )d d) e*) d 5d f*) 4+5) +) Obliczyć podne cłki z funkcji wymiernych: +)d ) ) b) d + c) 4+)d 3 )d e) ++ f) + g) 5 4)d i) 4+0 j) d ++5 k) d ) d) d ++8 h) +)d ++ l) 5.4. Obliczyć podne cłki z funkcji trygonometrycznych: ) sin 3 d b) sin 4 cos 3 d c) cos 4 d d +) +4) d +6+8 d +4). d) sin 3 cos 6 d e) cos cosd f*) sin sin d Obliczyć podne cłki z funkcji trygonometrycznych: d +tg ) sin+tg b) d d c) cos +cos sin d d) +cos e) d sin 5 tg f) d cos 3 d g) cos h) d sin+cos i) d 3sin+4cos+5.