Teresa Jurlewicz Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA. Definicje, twierdzenia, wzory. Wydanie ósme poprawione. GiS

Transkrypt

1 ALGEBRA LINIOWA

2 Teresa Jurlewicz Zbigniew Skoczlas ALGEBRA LINIOWA Definicje, twierdzenia, wzor Wdanie ósme poprawione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław 2015

3 Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copright c 1994, 1995, 1997, 1999, 2000, 2002, 2005, 2015 b Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczlas Utwór w całości ani we fragmentach nie może bć powielan ani rozpowszechnian za pomocą urządzeń elektronicznch, mechanicznch, kopiującch, nagrwającch i innch. Ponadto utwór nie może bć umieszczan ani rozpowszechnian w postaci cfrowej zarówno w internecie, jak i w sieciach lokalnch, bez pisemnej zgod posiadacza praw autorskich. Printed in Poland. Składwkonanowsstemie L A TEX. ISBN Wdanie VIII poprawione, Wrocław 2015 Oficna Wdawnicza GiS, s.c., Druk i oprawa: Oficna Wdawnicza ATUT 4

4 Spistreści Wstęp 7 1 Przestrzenie liniowe Podstawowedefinicje Podprzestrzenieprzestrzeniliniowej Liniowaniezależnośćwektorów Bazaiwmiarprzestrzeniliniowej Współrzędnewektorawbazie Sumaprostapodprzestrzeni* Układ równań liniowch Rządmacierz TwierdzenieKroneckera Capellego Układjednorodneiniejednorodne Przekształcenia liniowe Podstawoweokreślenia Jądroiobrazprzekształcenialiniowego Macierzprzekształcenialiniowego Działanianaprzekształceniachliniowch Wartościiwektorwłasneprzekształcenialiniowego Wartościiwektorwłasnemacierz Przestrzenie euklidesowe Ilocznskalarn Normawektora Ortogonalnośćwektorów Bazortogonalne Innemetodortogonalizacji* Rzutortogonaln Diagonalizacjaortogonalnamacierzsmetrcznch* Dowod wbranch twierdzeń i faktów 84 5

5 Odpowiedzi i wskazówki 126 Literatura 136 Skorowidz 137 6

6 1 Wstęp Książka Algebra liniowa. Defnicje, twierdzenia, wzor jest pierwszą częścią zestawu podręczników do przedmiotu Algebra liniowa. Pozostałmi częściami zestawu są zbior zadań Przkład i zadania oraz Kolokwia i egzamin. Podręczniki te przeznaczone są głównie dla studentów politechnik. Mogą z nich korzstać także studenci wdziałów nauk ścisłch uniwerstetów oraz uczelni ekonomicznch i pedagogicznch. Opracowanie obejmuje przestrzenie i przekształcenia liniowe, układ równań liniowch oraz przestrzenie euklidesowe. Wszstkie zagadnienia teoretczne zakończone są ćwiczeniami. Do większości twierdzeń podano dowod(twierdzenia te oznaczono smbolem ). Fragment materiału oznaczone gwiazdką nieznacznie wkraczają poza program przedmiotu. W ten sam sposób oznaczono trudniejsze ćwiczenia. Dodatkow materiał oraz trudniejsze ćwiczenia dołączono z mślą o studentach, którz chcą pogłębić swoje wiadomości. Równolegle do materiału omawianego na wkładzie studenci powinni rozwiązwać zadania. Metod rozwiązwania zadań oraz zadania przeznaczone do samodzielnej prac można znaleźć w drugiej części zestawu Przkład i zadania. Zadania, które w poprzednich latach studenci rozwiązwali na kolokwiach i egzaminach, są umieszczone w trzeciej części zestawu Kolokwia i egzamin. Do niniejszego wdania dodano kilka nowch ćwiczeń i rsunków oraz wmieniono niemal wszstkie ilustracje. Ponadto przeredagowano niektóre partie materiału oraz poprawiono zauważone błęd i usterki. Koleżankom i Kolegom z Katedr Matematki Politechniki Wrocławskiej dziękujem za uwagi o wcześniejszch wdaniach. Uprzejmie prosim Wkładowców i Studentów o przesłanie uwag o podręczniku oraz informacji o zauważonch błędach i usterkach. Teresa Jurlewicz Zbigniew Skoczlas 7

7 1 Przestrzenieliniowe Podstawowedefinicje Definicja (przestrzeń liniowa) Niepust zbiór V nazwam rzeczwistą przestrzenią liniową, jeżeli: (a)dladowolnchelementówu,v Vokreślonajestsumau+v V; (b)dlakażdegoα Ridlakażdegou Vokreślonjestilocznαu Vorazdla dowolnchα,β Ridladowolnchu,v,w Vdziałaniatespełniająwarunki: (1)u+v=v+u(przemiennośćdodawania); (2)(u+v)+w=u+(v+w)(łącznośćdodawania); (3)istniejeelement0 Vtaki,żedlakażdegov Vmamv+0 =v(istnienie elementu neutralnego); (4)dlakażdegow Vistniejeelement w Vtaki,żew+( w)=0 (istnienie elementu przeciwnego); (5)1u=u oraz α(βu)=(αβ)(u); (6)(α+β)u=αu+βu oraz α(u+v)=αu+αv. Uwaga. Element przestrzeni V nazwam wektorami, a element 0 wektorem zerowm. Rzeczwistą przestrzeń liniową nazwam krótko przestrzenią liniową lub wektorową. Dopuszczając w definicji α, β C, otrzmam określenie zespolonej przestrzeni liniowej. Elementami przestrzeni liniowch mogą bć: wektor na prostej, płaszczźnie lub w przestrzeni, ciągi liczbowe skończone lub nieskończone, macierze, funkcje, zbior itp. Dla podkreślenia faktu, że funkcje i macierze są wektorami będziemipisalijepogrubionmiliteraminp.f,g,a,xitp.różnicęwektorówu,v przestrzeni liniowej definiujem wzorem: u v=u+( v). Ćwiczenie Sprawdzić, cz zbior ze wskazanmi działaniami są przestrzeniami liniowmi: 9

8 10 Przestrzenie liniowe (a) zbiór wektorów na płaszczźnie ze zwkłmi działaniami: dodawaniem wektorów i mnożeniem wektora przez liczbę; (b) zbiór wielomianów stopnia 5 ze zwkłmi działaniami: dodawaniem wielomianów i mnożeniem wielomianu przez liczbę; (c) zbiór macierz wmiaru 3 4 ze zwkłmi działaniami: dodawaniem macierz i mnożeniem macierz przez liczbę; (d)zbiórciągównieskończonchzdziałaniamix+=(x 1 + 1,x 2 + 2,...)oraz αx=(αx 1,αx 2,...),gdziex=(x 1,x 2,...),=( 1, 2,...),α R; (e) zbiór funkcji okresowch o okresie T = 2π ze zwkłmi działaniami na funkcjach. Ćwiczenie (własności przestrzeni liniowej) Niech V będzie przestrzenią liniową. Pokazać, że prawdziwe są stwierdzenia: (1)0v=0 dlakażdegov V; (2)α0=0 dlakażdegoα R; (3)αv=0= (α=0lubv=0); (4)(αv=βvorazv 0)= α=β dladowolnchα,β Rorazv V; (5)( α)v= (αv)=α( v) dlakażdegoα Rorazkażdegov V; (6)(αu=αvorazα 0)= u=v dladowolnchu,v V; (7)(α β)v=αv βv dladowolnchα,β Rorazkażdegov V. Fakt (podstawowe przestrzenie liniowe) (1) R n.niechn Norazniech R n ={x=(x 1,x 2,...,x n ):x k Rdla1 k n}. Równośćidziałaniawzbiorze R n określamwnastępującsposób: x==x 1 = 1,x 2 = 2,...,x n = n, x+=(x 1 + 1,x 2 + 2,...,x n + n ), αx=(αx 1,αx 2,...,αx n ), gdziex=(x 1,x 2,...,x n ),=( 1, 2,..., n )orazα R.ZbiórR n ztakokreślonmi działaniami jest przestrzenią liniową. (2) R.Niech R ={x=(x 1,x 2,...):x n Rdlan N}. Równośćidziałaniawzbiorze R określamwnastępującsposób: x==x 1 = 1,x 2 = 2,..., x+=(x 1 + 1,x 2 + 2,...), αx=(αx 1,αx 2,...), gdziex=(x 1,x 2,...),=( 1, 2,...)orazα R.Zbiór R ztakokreślonmi działaniami jest przestrzenią liniową.

9 Podprzestrzenie przestrzeni liniowej 11 (3) R[x]. Niech R[x] oznacza zbiór wszstkich wielomianów rzeczwistch. Równość i działania w zbiorze R[x] wprowadzam w naturaln sposób, tzn. p=q=p(x)=q(x)dlakażdegox R, (p+q)(x)=p(x)+q(x), (αp)(x)=αp(x)dlakażdegox R, gdziep,qsądowolnmiwielomianami,natomiastα R.Zbiór R[x]ztakwprowadzonmi działaniami jest przestrzenią liniową. (4)R n [x].niechn NorazniechR n [x]oznaczazbiórwszstkichwielomianówrzeczwistchstopnianiewiększegoniżn.równośćidziałaniawzbiorzer n [x]wprowadzam w naturaln sposób, tzn. p=q=p(x)=q(x)dlakażdegox R, (p+q)(x)=p(x)+q(x), (αp)(x)=αp(x), dlakażdegox R, gdziep,qsądowolnmiwielomianami,natomiastα R.Zbiór R n [x]ztakwprowadzonmi działaniami jest przestrzenią liniową. (5) C(I).Niech C(I)oznaczazbiórwszstkichfunkcjiciągłchnaprzedzialeI R. Równość i działania w zbiorze C(I) wprowadzam w naturaln sposób, tzn. f=g=f(x)=g(x)dlakażdegox I, (f+g)(x)=f(x)+g(x), (αf)(x)=αf(x)dlakażdegox I, gdzief,g C(I)orazα R.Zbiór C(I)ztakwprowadzonmidziałaniamijest przestrzenią liniową. (6) M m n.niechm,n Norazniech M m n oznaczazbiórwszstkichmacierz rzeczwistchomwierszachinkolumnach.równośćidziałaniawprzestrzeni M m n wprowadzam w sposób naturaln, tzn.: A=B=a ij =b ij dlakażdego1 i morazdlakażdego1 j n, [A+B] ij =a ij +b ij dlakażdego1 i morazdlakażdego1 j n, [αa] ij =αa ij dlakażdego1 i morazdlakażdego1 j n, gdziea=[a ij ],B=[b ij ] M m n orazα R.Zbiór M m n ztakwprowadzonmi działaniami jest przestrzenią liniową. Uwaga. Rozważa się także zespolone odpowiedniki wprowadzonch wżej rzeczwistch przestrzeni liniowch. 1.2 Podprzestrzenie przestrzeni liniowej Definicja (podprzestrzeń przestrzeni liniowej) Niech V będzie przestrzenią liniową. Niepust zbiór W V nazwam podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V, jeżeli spełnia warunki: (1) w 1 +w 2 Wdladowolnchw 1,w 2 W; (2) αw Wdlakażdegoα Rorazkażdegow W.

10 12 Przestrzenie liniowe Uwaga. Warunki powższej definicji można zastąpić jednm: α 1 w 1 +α 2 w 2 Wdladowolnch α 1,α 2 Rorazdowolnchw 1,w 2 W. Zbior{0} oraz przestrzeń V są podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Zbior te nazwam podprzestrzeniami niewłaściwmi. Pozostałe podprzestrzenie przestrzeni V nazwam podprzestrzeniami właściwmi. Można pokazać, że każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni liniowej jest przestrzenią liniową. Ćwiczenie Korzstając z definicji zbadać, cz zbiór W jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V, jeżeli: (a) W={x=(x 1,x 2 ):x 1 0,x 2 0}, V=R 2 ; (b) W={x=(x 1,x 2,x 3 ):x 1 +x 2 =0,x 2 +3x 3 =0}, V=R 3 ; (c) W={x=(x 1,x 2,x 3,x 4 ):x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =0}, V=R 4 ; { } (d) W= x=(x 1,x 2,...):granica lim x n jestskończona, V=R ; n (e) W zbiór wszstkich wielomianów stopnia parzstego, V = R[x]; (f) W zbiórfunkcjiparzstchiciągłchnaprzedziale[ 1,1], V=C([ 1,1]); (g) W zbiórmacierzdiagonalnchstopnia3, V=M 3 3 ; (h) W={A M 4 4 :deta=0}, V=M 4 4. Ćwiczenie Uzasadnić, że jednmi podprzestrzeniemi właściwmi przestrzeni: (a) R 2 sąprosteprzechodząceprzezpoczątekukładuwspółrzędnch; (b) R 3 sąprosteipłaszcznprzechodząceprzezpoczątekukładuwspółrzędnch. (a) R 2 (b) z R 3 x x Rs Podprzestrzeniewłaściweprzestrzeni(a) R 2 ;(b) R 3 Fakt (o ilocznie i sumie podprzestrzeni liniowch) Niech U i W będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Wówczas (1) zbiór U W jest podprzestrzenią przestrzeni V;

11 Liniowa niezależność wektorów 13 W U W U Rs Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią (2)zbiór U Wjestpodprzestrzeniąprzestrzeni Vwteditlkowted,gd U W lub W U. Dowód(str. 84). Ćwiczenie1.2.5.Którezezbiorów W 1, W 2 sąpodprzestrzeniamiprzestrzeni V: (a) W 1 ={(x,,z):x+ 2z=0i3x 2+z=0}, W 2 ={(x,,z):x+ 2z=0lub3x 2+z=0}, V=R 3 ; { } (b) W 1 = (a n ):szereg a n jestzbieżni lim a n=0, n n=1 { } W 2 = (a n ):szereg a n jestzbieżnlub lim a n=0, V=R ; n n=1 (c) W 1 ={p:p(1)=0lubp (2)=0}, W 2 ={p:p(1)=0ip (2)=0}, V=R[x]? 1.3 Liniowa niezależność wektorów Definicja (liniowa niezależność i zależność wektorów) Niech Vbędzieprzestrzeniąliniową.Mówim,żewektorv 1,v 2,...,v n V(n N) sąliniowoniezależne,jeżelidladowolnchα 1,α 2,...,α n Rzwarunku wnikają równości: α 1 v 1 +α 2 v α n v n =0, α 1 =α 2 =...=α n =0. Wprzeciwnmprzpadkumówim,żewektorv 1,v 2,...,v n sąliniowozależne.równoważnie:wektorv 1,v 2,...,v n Vsąliniowozależne,jeżeliistniejąα 1,α 2,..., α n R,niewszstkierówne0,takie,że α 1 v 1 +α 2 v α n v n =0.

12 14 Przestrzenie liniowe Ćwiczenie Korzstając z definicji zbadać liniową niezależność wektorów: (a)v 1 =(1,0,0),v 2 =(1,1,0),v 3 =(1,1,1)wprzestrzeni R 3 ; (b)p 1 =x 2 1,p 2 =x+1,p 3 = x 2 +2x+3,p 4 = 2x+3wprzestrzeni R 2 [x]; [ ] [ ] (c)a 1 =,A = wprzestrzeni M ; (d)f 1 =sinx,f 2 =cosxwprzestrzeni C([0,2π]). Ćwiczenie Wektor u, v, w są liniowo niezależne. Zbadać liniową niezależność wektorów: (a)2u, v,(1/3)w; (b)3u+v,2v 4w; (c)u+v,u+w,v w; (d)u v,v w,w. Ćwiczenie (o liniowej niezależności wektorów na płaszczźnie i w przestrzeni) Pokazać, że: (a) dwa wektor na płaszczźnie są liniowo niezależne wted i tlko wted, gd nie są współliniowe; (a) (b) v 1 v 2 v 2 v 1 0 x 0 x Rs Wektor na płaszczźnie liniowo(a) niezależne;(b) zależne (b)trzwektorwprzestrzenisąliniowoniezależnewteditlkowted,gdniesą współpłaszczznowe. (a) z (b) z v 1 v 2 v 1 v 2 x v 3 0 x 0 v 3 Rs Wektor w przestrzeni liniowo(a) niezależne;(b) zależne

13 Liniowa niezależność wektorów 15 Fakt (własności wektorów liniowo niezależnch i liniowo zależnch) NiechVbędzieprzestrzeniąliniowąorazniechv,w 1,w 2,...,w n będąwektoramiztej przestrzeni. Ponadto niech W będzie podprzestrzenią przestrzeni liniowej V. Wówczas prawdziwe są stwierdzenia: (1)wektorvjestliniowoniezależnwteditlkowted,gdv 0; (2)wektorw 1,w 2,...,w n,0sąliniowozależne; (3)jeżeliwektorw 1,w 2,...,w n sąliniowozależne,towektorw 1,w 2,...,w n,v są również liniowo zależne; (4)jeżeliwektorw 1,w 2,...,w n sąliniowoniezależne,towektorw 1,w 2,...,w k (k < n) są również liniowo niezależne; (5)jeżeliwektorw 1,w 2,...,w n Wsąliniowoniezależne(zależne)wprzestrzeni V, to są również liniowo niezależne(zależne) w przestrzeni W. Dowód(str. 84). Definicja (kombinacja liniowa wektorów) Niech Vbędzieprzestrzeniąliniową.Kombinacjąliniowąwektorówv 1,v 2,...,v n V owspółcznnikachrzeczwistch(zespolonch)α 1,α 2,...,α n nazwamwektor α 1 v 1 +α 2 v α n v n. Ćwiczenie Napisać kombinacje liniowe podanch wektorów ze wskazanmi współcznnikami: (a)v 1 =(0, 2),v 2 =( 1,3),α 1 = 1/2,α 2 =2,gdzie V=R 2 ; (b)p 1 =x 3 3x 2 +1,p 2 =2x 1,α 1 =1,α 2 = 1,gdzie V=R 3 [x]. Fakt (liniowa niezależność a kombinacje liniowe) (1)Wektorw 1,w 2,...,w n (n 2)sąliniowozależnewteditlkowted,gdco najmniejjedenznich(np.w k gdzie1<k<n)jestkombinacjąliniowąpozostałch: w k =α 1 w 1 +α 2 w α k 1 w k 1 +α k+1 w k α n w n, gdzieα 1,α 2,...,α k 1,α k+1,...,α n R. (2)Jeżeliwektorw 1,w 2,...,w n sąliniowoniezależne,awektorv,w 1,w 2,...,w n sąliniowozależne,towektorvjestkombinacjąliniowąwektoróww 1,w 2,...,w n : gdzieα 1,α 2,...,α n R. Dowód(str. 85). v=α 1 w 1 +α 2 w α n w n, Uwaga.Wektorw 1,w 2,...,w n (n 2)sąliniowoniezależnewteditlkowted, gd żaden z nich nie jest kombinacją liniową pozostałch. Ćwiczenie Uzasadnić, że podane układ funkcji są liniowo zależne w przestrzeni C(R):

14 16 Przestrzenie liniowe (a)f 1 1,f 2 =sin 2 x,f 3 =cos 2 x; (b)f 1 =x,f 2 =(1+x) 2,f 3 =(1 x) 2 ; (c)f 1 =arctgx,f 2 =arcctgx,f 3 1; (d)f 1 =ln ( 1+x 2) 3,f2 =ln 1 (1+x 2 ) 4. Definicja (liniowa niezależność nieskończonego układu wektorów) Nieskończon układ wektorów z przestrzeni liniowej jest liniowo niezależn, jeżeli każd jego skończon podukład jest liniowo niezależn. W przeciwnm przpadku mówim, że układ ten jest liniowo zależn. Ćwiczenie Uzasadnić liniową niezależność nieskończonch układów wektorów: (a)a={(1,0,0,...),(0,1,0,...),(0,0,1,...),...}wr ; (b)a= { 1,x,x 2,... } w R[x]; (c*)a={shx,sh2x,sh3x,...}, C(R); (d*)a= { e λx :λ R } w C(R). Twierdzenie* (krterium liniowej niezależności funkcji) Niechfunkcjef 1,f 2,...,f n będąokreślonenaprzedzialeiimajątamciągłepochodnerzędun 1(n 2).Ponadtoniechwrońskianukładutchfunkcji,tj.wznacznik f 1 (x) f 2 (x)... f n (x) f 1 (x) f 2 (x)... f n (x) det.,..... f (n 1) 1 (x) f (n 1) 2 (x)... f n (n 1) (x) nieznikatożsamościowonai.wtedfunkcjef 1,f 2,...,f n sąliniowoniezależnew przestrzeni C(I). Dowód(str. 86). Uwaga*. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przkład funkcje { { x 2 dla x<0, 0 dla x<0, f 1 (x)= f 0 dla x 0, 2 (x)= x 2 dla x 0 są liniowo niezależne, ale ich wrońskian znika tożsamościowo na R. Ćwiczenie* Korzstając z powższego krterium uzasadnić liniową niezależność układów funkcji: (a)sinx,cosx; (b)e x,1,e x ; (c)e x,xe x ;e 2x,xe 2x ; (d)1,sinx,cosx,sin2x,cos2x; (e)e 4x sinx,e 3x cos2x,e 2x sin3x,e x cos4x. Fakt* (warunek konieczn i dostateczn liniowej niezależności funkcji) Funkcjef 1,f 2,...,f n zprzestrzeni C(I)sąliniowoniezależnewteditlkowted,

15 Baza i wmiar przestrzeni liniowej 17 gdwprzedzialeiistniejąliczbx 1 <x 2 <...<x n takie,że f 1 (x 1 ) f 1 (x 2 )... f 1 (x n ) f 2 (x 1 ) f 2 (x 2 )... f 2 (x n ) det f n (x 1 ) f n (x 2 )... f n (x n ) Dowód(str. 86). Ćwiczenie* Stosując powższ fakt uzasadnić liniową niezależność układów funkcji: (a)x,sinx,x 2,sin 2 x; (b)1,e x,e 2x,e 3x,...,e nx (n N) w przestrzeni funkcji ciągłch na zbiorze R. 1.4 Baza i wmiar przestrzeni liniowej Definicja (operacja generowania) Niechv 1,v 2,...,v n będąwektoramizprzestrzeniliniowej V.Zbiórwszstkichkombinacjiliniowchwektorówv 1,v 2,...,v n oznaczamprzez Zatem lin{v 1,v 2,...,v n }. lin{v 1,v 2,...,v n }={α 1 v 1 +α 2 v α n v n :α i Rdla1 i n}. Podobnie określa się operację lin dla nieskończonego zbioru A wektorów: lina= n N{α 1 v 1 +α 2 v α n v n :v i Aorazα i Rdla1 i n}. Uwaga.JeżeliB=linA,tomówim,żezbiórBjestgenerowanprzezzbiórAlub,że jest jego powłoką liniową. Element zbioru A nazwam wted generatorami zbioru B. Operację generowania liniowego w zespolonej przestrzeni liniowej będziem oznaczać smbolemlin C.Operacjęgenerowaniaoznaczasiętakżesmbolemspan. (a) z (b) z α 1v 1 v 1 0 lin{v 1,v 2} Rs Płaszczzna jest genero- wana przez dwa wektor lin{v} αv v 0 x Rs Prosta jest generowana przez jeden wektor x v 2 α 2v 2 α 1v 1+α 2v 2