ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ
|
|
- Stanisława Kozak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ
2 Marian Gewert Zbigniew Skoczlas ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ Teoria, przkład, zadania Wdanie szóste zmienione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław
3 Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copright c 997 b Oficna Wdawnicza GiS Utwór w całości ani we fragmentach nie może bć powielan ani rozpowszechnian za pomocą urządzeń elektronicznch, mechanicznch, kopiującch, nagrwającch i innch. Ponadto utwór nie może bć umieszczan ani rozpowszechnian w postaci cfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnch, bez pisemnej zgod posiadacza praw autorskich. Składwkonanowsstemie L A TEX. ISBN Wdanie VI zmienione, Wrocław Oficna Wdawnicza GiS, s.c., Druk i oprawa: Oficna Wdawnicza ATUT 4
4 Spis treści Wstęp 7 Całki krzwoliniowe niezorientowane 9. Łukinapłaszczźnieiwprzestrzeni Całkikrzwolinioweniezorientowane Zastosowaniacałekkrzwoliniowchniezorientowanch... 5 Zadania Całki krzwoliniowe zorientowane 4. Całkikrzwoliniowezorientowane Niezależnośćcałkioddrogicałkowania TwierdzenieGreena Zastosowaniacałekkrzwoliniowchzorientowanch Zadania Całki powierzchniowe niezorientowane Płat Całkipowierzchnioweniezorientowane Zastosowaniacałekpowierzchniowchniezorientowanch... 3 Zadania Całki powierzchniowe zorientowane i element analiz wektorowej 8 4. Całkipowierzchniowezorientowane TwierdzeniaGaussa OstrogradskiegoiStokesa Zastosowaniacałekpowierzchniowchzorientowanch Zadania... 5 Odpowiedzi 55 Bibliografia 6 Skorowidz 63 5
5 Wstęp Książka jest przeznaczona dla studentów uczelni technicznch. Mogą z niej korzstać także studenci wdziałów fizki i matematki uniwerstetów. W podręczniku omówiono zagadnienia dotczące całek krzwoliniowch i powierzchniowch, zorientowanch oraz niezorientowanch. Ponadto, przedstawiono ich zastosowania w fizce itechnice. Materiał teoretczn w podręczniku jest ilustrowan przkładami rozwiązanmi krok po kroku. Pozwalają one Cztelnikowi lepiej przswoić sobie materiał. Mogą one także służć, jako wzorzec prz rozwiązwaniu zadań. Zadania do samodzielnej prac znajdują się na końcu każdego rozdziału. Dodatkowo każd paragraf zakończono ćwiczeniami, które na bieżąco pomagają utrwalać przerabian materiał. Do wszstkich ćwiczeń i zadań podane są odpowiedzi. Ponadto podręcznik zawiera rsunki ilustrujące omawiane zagadnienia. Ułatwia to lepsze zrozumienie materiału. W obecnm wdaniu zmieniono układ i zakres materiału. Ponadto, dodano kilkadziesiąt nowch przkładów, zadań oraz rsunków. Jednocześnie poprawiono zauważone błęd i usterki. Autorz serdecznie dziękują Koleżankom i Kolegom z Insttutu Matematki i Informatki Politechniki Wrocławskiej za uwagi o wcześniejszch wdaniach. Szczególne podziękowania składam Pani dr Jolancie Długosz oraz Panom doc. dr. Sławomirowi Krzemińskiemu i prof. dr. hab. Januszowi Mierczńskiemu za wskazanie błędów w poprzednim wdaniu. Marian Gewert Insttut Matematki i Informatki Politechnika Wrocławska marian.gewert@pwr.wroc.pl gewert Zbigniew Skoczlas Insttut Matematki i Informatki Politechnika Wrocławska zbigniew.skoczlas@pwr.wroc.pl skoczlas 7
6 Całkikrzwoliniowe niezorientowane. Łuki na płaszczźnie i w przestrzeni Definicja.. (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Niech I będzie przedziałem. Funkcją wektorową jednej zmiennej na płaszczźnie lub wprzestrzeninazwamodpowiednioodwzorowanier:i R lubr:i R 3. Funkcje takie zapisujem w postaci r(t) ( (t),(t) ) lub r(t) ( (t),(t),z(t) ), gdziet I. r r(t) t I t Rs... Funkcja wektorowa jednej zmiennej na płaszczźnie z r t I t r(t) Rs... Funkcja wektorowa jednej zmiennej w przestrzeni 9
7 . Całki krzwoliniowe niezorientowane Mówim,żefunkcjawektorowarjestróżnowartościowa,gddladowolncht,t I prawdziwa jest implikacja t t r(t ) r(t ). Jeżelifunkcje,lub,,zsąciągłe,tomówim,żefunkcjarjestciągła.Gd funkcje,lub,,zmająpochodne,tomówim,żefunkcjarjestróżniczkowalna. Pochodną takiej funkcji określam wzorem: r (t)( (t), (t)) lubr (t)( (t), (t),z (t)). Jeżelidodatkowopochodne, lub,,z sąciągłe,tomówim,żefunkcjar jest różniczkowalna w sposób ciągł. a) r (t) b) z r (t) r(t) r(t) Rs..3. Pochodna funkcji wektorowej: a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni Definicja.. (łuk gładki, łuk kawałkami gładki) Zbiór na płaszczźnie lub w przestrzeni nazwam łukiem gładkim, jeżeli można wskazać funkcję wektorową r taką, że {r(t):t [α,β]}, prz czm funkcja r jest różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągł na przedziale[α,β],anaprzedziale(α,β)spełniawarunekr (t).funkcjęrnazwam parametrzacją łuku. a) b) z Rs..4. Łuk gładki: a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni
8 .. Łuki na płaszczźnie i w przestrzeni Zbiór, któr można podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich, nazwam łukiem kawałkami gładkim. a) b) z Rs..5. Łuk kawałkami gładki: a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni Jeżeli parametrzacja r łuku spełnia równość r(α) r(β), to mówim, że łuk jest zamknięt. a) b) z Rs..6. Łuk zamknięt: a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni Uwaga. Łuk może mieć wiele parametrzacji. Wkres funkcji różniczkowalnch w sposób ciągł na przedziale domkniętm są łukami gładkimi na płaszczźnie. a) b) () () Rs..7.Łuk,którjestwkresemfunkcji:a)();b)()
9 . Całki krzwoliniowe niezorientowane Równania parametrczne ważniejszch łuków Odcinekopoczątkur ikońcur marównanieparametrczne: r(t)r +(r r )t, gdziet [,]. Napłaszczźniedlar (, ),r (, )równanietoprzjmujepostać: r(t)( +( )t, +( )t), gdziet [,], awprzestrzenidlar (,,z ),r (,,z ) postać r(t)( +( )t, +( )t,z +(z z )t), gdziet [,]. a) r (t) b) z r (t) (t)r r (t) Rs..8. Odcinek: a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni OkrągośrodkuS(, )ipromieniur>marównanieparametrczne: r(t)( +Rcost, +Rsint), gdziet [,π]. ElipsaośrodkuS(, )ipółosiacha,b>marównanieparametrczne: r(t)( +acost, +bsint), gdziet [,π]. t π t π tπ R t tπ b a t t 3 π t 3 π Rs..9. Okrąg Rs... Elipsa Asteroida krzwa zakreślona przez punkt okręgu o promieniu R/4(R > ), toczącegosiębezpoślizgupowewnętrzejstronieokręguopromieniur marównanie parametrczne: r(t) ( Rcos 3 t,rsin 3 t ), gdziet [,π].
10 .. Łuki na płaszczźnie i w przestrzeni 3 Ckloida krzwa zakreślona przez punkt okręgu o promieniu R(R > ), toczącego się bez poślizgu po prostej ma równanie parametrczne: r(t)(r(t sint),r( cost)), gdziet [,π]. R R R Rs... Asteroida πr Rs... Ckloida πr Liniaśrubowaoskokuh,nawiniętanawalec + R,marównanieparametrczne: ( ) h r(t) Rcost,Rsint, π t, gdziet R. Jedenzwójliniiśrubowejotrzmam,gdt [,π]. z h R Rs..3. Linia śrubowa Definicja.3. (długość łuku) Długością l łuku nazwam kres górn długości łamanch wpisanch w ten łuk; l sup n N {P,P,...,P n} } P i P i+, { n gdzie P i P i+ oznaczadługośćodcinkap i P i+ dla i n. i
11 4. Całki krzwoliniowe niezorientowane a) P P P n b) z P P n P n P n P P Rs..4. Łamane wpisane w łuk: a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni Twierdzenie..(wzór na długość łuku) Niechr(t)(t [α,β])będzieparametrzacjąłukugładkiego.wtedjegodługośćl wraża się wzorem: l gdzie r oznaczadługośćwektorar. β α r (t) dt, Uwaga.Napłaszczźniedlałuku {( (t),(t) ) : t [α,β] } wzórprzjmujepostać: β l [ (t)] +[ (t)] dt, (.) α awprzestrzenidlałuku {( (t),(t),z(t) ) : t [α,β] } postać: l β α [ (t)] +[ (t)] +[z (t)] dt. (.) Jeżeliłukgładkijestwkresemfunkcji(),gdzie [a,b],tojegodługość wraża się wzorem: b l +[ ()] d. (.3) Podobnwzórmamdlałukóworównaniu(). Przkład. Obliczć długość łuku, jeżeli: a a) {( e t sint,e t cost ) :t [,π] } ; b) {( 3t,3t,t 3) :t [,] } ; [ π c): lnsin,gdzie 4 ],π ; d): (4 ) 4,gdzie [,4]. P
12 .. Łuki na płaszczźnie i w przestrzeni 5 Rozwiązanie. a)doobliczeniadługościłuku {( e t sint,e t cost ) :t [,π] } wkorzstamwzór(.). Mam l π π π π [(et sint) ] + [ (et cost) ] dt (e t sint+e t cost) +(e t cost e t sint) dt e t( sin t+sintcost+cos t ) +e t( cos t sintcost+sin t ) dt e t dt π Długośćłukujestrówna (e π ). e t dt [ e t] π (e π ). b)doobliczeniadługościłuku {( 3t,3t,t 3) :t [,] } wkorzstamwzór(.). Mam l 3 [(3t) ] + [ (3t ) ] + [ (t3 ) ] dt (3) +(6t) +(6t ) dt +4t +4t 4 dt3 Długość łuku jest równa 5. (+t ) dt3 c) W tm przkładzie wkorzstam wzór(.3). Mam l π + [ (lnsin) ] d ( +t ) dt3 [ t+ t3 3 ] 5. π 4 π π 4 + ( ) cos d sin π π 4 π d sin π 4 π sind sin π 4 sind cos cost, sinddt π 4, t π, t
13 6. Całki krzwoliniowe niezorientowane dt t dt t rozkładnaułamkiproste ( +t + ) dt [ ] ln +t ln t t ln+. Długośćłukujestrówna ln+. d)wtmprzkładziełukjestwkresemfunkcji(),gdziec d,więczastosujem wzór analogiczn do(.3): Mam l 4 + l d [( (4 ) 4 ) ] d c +[ ()] d ( 3 4 ) d 4 9d 4 9u 9ddu, u4 4, u4 4 4 [ 4 udu u] u 8 ( ). 4 7 Długośćłukujestrówna 8 7 ( ). Ćwiczenia... Wznaczć przedział, na którch podane funkcje wektorowe są różnowartościowe: a)r(t)(t, t ); b)r(t)(sint,cost); c)r(t) ( lnt,e t,t 3) ; d)r(t) ( t,t,cost ).. Obliczć pochodne funkcji wektorowch: a)r(t)(tsint,lnt),t>; b)r(t)(3 t, 4t),t R; c)r(t)(sint,cost),t [,π]; d)r(t) ( 3 t+,t ),t (, ); e)r(t)(+3t, +t,t),t R; f)r(t)(3t,3cost,sint),t [, ). 3. Naszkicować łuki o parametrzacjach: a)r(t)( 3t, 4t),t R; b)r(t)(sint,cost),t [,π]; c)r(t) ( t,t ),t [, ); d)r(t) ( e t,e t),t R;
14 .. Całki krzwoliniowe niezorientowane 7 e)r(t)(,cost,3sint),t [,π]; f)r(t)( 4t, t,t),t R; g)r(t)(cost,sint,t),t [, ); h)r(t) ( t,t,t ),t [,]. 4. Sprawdzić, któr z łuków jest gładki, a któr kawałkami gładki: a)r(t)( 3t,4t),t R; b)r(t) ( t 3,t 6),t R; c)r(t)( t,t),t R; d)r(t)(t sint, cost),t [,π]; e)r(t)(t, t,),t R; f)r(t)(cost,sint,t),t [,π]; ( g)r(t),t, t +t ),t R; h)r(t)(tsint,tcost,t),t [, ). 5. Obliczć długości łuków: a)+3t, +t,t [,]; b)sint,cost,t [,π]; c)t sint, cost,t [,π]; d)cos 3 t,sin 3 t,t [,π]; e)t,t,zt,t [,]; 6. Obliczć długości łuków, które są wkresami funkcji: a), [,]; b)ch, [,]; c), [,]; f)cost,sint,zt,t [,π] d), [,].. Całki krzwoliniowe niezorientowane Definicja.4. (całka krzwoliniowa niezorientowana) Niech będzie łukiem gładkim na płaszczźnie lub w przestrzeni. Wprowadzam oznaczenia: P podziałłukunałuki k ( k n); l k długośćłuku k ; δ(p)ma{ l k : k n} średnicapodziałup; A k punktpośrednipodziałuwbrannałuku k. a) z b) A A A n A n n n A n An n n A A Rs..5. Podział łuku : a) na płaszczźnie; b) w przestrzeni
15 8. Całki krzwoliniowe niezorientowane Ponadto niech f będzie funkcją określoną na łuku. Całkę krzwoliniową niezorientowanązfunkcjifnałukudefiniujemwzorem: fdl lim δ(p) k n f(a k ) l k, o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje i nie zależ od sposobu podziału łuku ani od sposobu wboru punktów pośrednich. Mówim wted, że funkcja f jest całkowalna na łuku. Uwaga. Zauważm, że dldługość(). Twierdzenie..(liniowość całki krzwoliniowej niezorientowanej) Jeżelifunkcjefigsącałkowalnenałukugładkim,to: (f+g)dl fdl + gdl; (cf)dlc fdl, gdziec R. Twierdzenie.3.(o zamianie całki krzwoliniowej na całkę pojednczą) Niechfbędziefunkcjąciągłąnałukugładkimoparametrzacjir(t)(t [α,β]). Wted β fdl f ( r(t) ) r (t) dt. Uwaga. Całka krzwoliniowa nie zależ od parametrzacji łuku. Dla łuku α {((t),(t)):t [α,β]} na płaszczźnie powższ wzór przjmuje postać: β f(,)dl f ( (t),(t) ) [ (t)] +[ (t)] dt, (.4) α adlałuku {( (t),(t),z(t) ) : t [α,β] } wprzestrzeni postać: β f(,,z)dl f ( (t),(t),z(t) ) [ (t)] +[ (t)] +[z (t)] dt. (.5) α
16 .. Całki krzwoliniowe niezorientowane 9 Jeżeliłukgładkijestwkresemfunkcji(),gdzie [a,b],to f(,)dl Podobnwzórmamdlałukuorównaniu(). b a f (,() ) +[ ()] d. (.6) Przkład. Obliczć całki krzwoliniowe z funkcji f po łuku, jeżeli: a)f(,)(+), okrągośrodkuwpunkcie(,)ipromieniu3; b)f(,), łukparaboli międzpunktami (, ),(,); c)f(,,z) z +, jedenzwójliniiśrubowejrcost,rsint,zrt (R>). Rozwiązanie. a)łukjestokręgiem,któregoparametrzacjamapostać:3cost,+3sint,gdzie t π. Do obliczenia całki wkorzstam wzór(.4). Mam (+)dl π 3cost(3cost++3sint) [(3cost) ] + [ (+3sint) ] dt π ( 9cos t+3cost+9costsint ) ( 3sint) +(3cost) dt π ( 7cos t+9cost+7costsint ) dt π π π 7 cos tdt+9 costdt+7 costsintdt 7 π (+cost)dt+9 π costdt+7 π wkorzstanowzor: sintdt cos t (+cost) sintsintcost
17 . Całki krzwoliniowe niezorientowane 7 π dt+7 π costdt+9 π costdt+7 π sintdt7π+++7π. b)łukmiędzpunktami (, ),(,)jestwkresemfunkcji ( ). Dla obliczenia całki wkorzstam wzór(.6). Mam +[ dl ( ) ] d ( ) + d + d +d t+ dtd, t3, t5 5 3 tdt [ t 5 3] ( ) c) Jeden zwój linii śrubowej otrzmam, gd parametr t przebiega przedział[, π]. z Dla obliczenia całki wkorzstam wzór(.5). Mam z π + dl π R t R cos t+r sin t [(Rcost) ] +[(Rsint) ] +[(Rt) ] dt R t R ( cos t+sin t ) ( Rsint) +(Rcost) +R dt
18 .. Całki krzwoliniowe niezorientowane π R t R R dt R π t dt R [ t 3 3 ] π 8 π 3 R. 3 Definicja.5. (całka krzwoliniowa niezorientowana po łuku kawałkami gładkim) Niechbędziełukiemkawałkamigładkimzłożonmzłukówgładkich k ( k m), prz czm sąsiednie łuki stkają się tlko końcami, oraz niech f będzie funkcją całkowalnąnałukach k.całkękrzwoliniowąniezorientowanązfunkcjifnałuku definiujem wzorem: fdl fdl+ fdl+...+ fdl. (.7) m m Rs..6. Ilustracja do definicji całki krzwoliniowej niezorientowanej po łuku kawałkami gładkim Przkład. Obliczć całki krzwoliniowe z funkcji f po kawałkami gładkim łuku : a)f(,)(+), brzegćwiartkikoła + 4,, ; b)f(,,z)++z, brzegpowierzchniz +,,z ; c)f(,), składasięzodcinkałączącegopunkt(,),(,);fragmentu paraboli odpunktu(,)do(, )orazodcinkałączącegopunkt(, ), (, ). Rozwiązanie. a)brzegćwiartkikołaskładasięzłukówgładkich,, 3. 3
19 . Całki krzwoliniowe niezorientowane Korzstając z definicji wzór(.7), mam (+) dl (+) dl+ (+) dl+ (+) dl. 3 Równaniaparametrcznełuków,, 3mająpostać: :,t,gdzie t : cost,sint,gdzie π t π, 3: t,,gdzie t. Korzstając teraz ze wzoru(.4) otrzmam kolejno: (+) dl (+t) ( ) +(t ) dt t dt 8 3, π [(cost) (+) dl (cost+sint) ] [ ] + (sint) dt π π ( 4cos t+8costsint+4sin t ) ( sint) +(cost) dt π π π π 8 (+costsint)dt8 dt+8 sintdt π π π 8 π +8 4π, (+) dl (t+) (t ) +( ) dt t dt Ostatecznie (+) dl π+8 3 4π+6 3. wkorzstano wzór: sintsintcost b)brzegpowierzchniokreślonejwzadaniuskładasięzłukówgładkich,, 3. z z z + 3
20 .. Całki krzwoliniowe niezorientowane 3 Korzstając z definicji wzór(.7), mam (++z)dl (++z)dl+ (++z)dl+ 3 (++z)dl. Łuk jestodcinkiemłączącmpunkt(,,),(,,).zatemmarównanieparametrczne: +t,,zt,gdzie t.zkoleiłuk jestodcinkiemłączącm punkt(,,),(,,),mawięcrównanieparametrczne:t,,z t,gdzie t.ostatniłuk 3jestpółokręgiemorównaniuparametrcznmcost,sint, z,gdzie t π.korzstającterazzewzoru(.5)otrzmamkolejno: (++z)dl (++z)dl 3 (++z)dl π π π (( +t)++t) [( +t) ] + +[(t) ] dt (t ) dt, (t++( t)) [(t) ] + +[( t) ] dt (cost+sint+) [(cost) ] +[(sint) ] + dt (cost+sint) ( sint) +(cost) dt (cost+sint)dt+. dt, Zatem (++z)dl+ ++. c)kawałkamigładkiłukskładasięzłuków,, 3. 3
21 4. Całki krzwoliniowe niezorientowane Korzstając z definicji wzór(.7), mam dl Równaniałuków,, 3mająpostać: dl+ dl+ :,gdzie, 3 dl. :,gdzie, 3:,gdzie. Łuki, sąwkresamifunkcji(),gdziec d,więczastosujemwzóranalogiczn do(.6): d f(,)dl f((),) +[ ()] d. Mam kolejno: dl c +[() ] d [ ] d 3, dl + [ ( ) ] d 3 +4 d. Ostatnia równość wnika z faktu, że przedział całkowania jest smetrczn względem, a funkcjapodcałkowa nieparzsta.doobliczeniacałkipołuku 3wkorzstamwzór(.6). Mam Ostatecznie 3 dl ( ) +[( ) ] d dl 3 ( ++ 3 ). [ ] d 3. Ćwiczenia... Sprawdzić stwierdzenie, że całka krzwoliniowa niezorientowana dl nie zależ od parametrzacji łuku, jeżeli jest ćwiartką okręgu opisaną równaniami: [ a)cost,sint,t, π ] [ ] π ; b)cost,sint,t, ;
22 .3. Zastosowania całek krzwoliniowch niezorientowanch 5 c)t, 4 t,t [,]; [ ] 3π d)cos( t),sin( t),t,π ; e) t 4t +t, +t,t [,].. Obliczć całki krzwoliniowe po wskazanch łukach: dl a), odcinekłączącpunkt(, ),(,); b) (+)dl, brzegtrójkątaowierzchołkach(,),(,),(,); c) dl, brzegkwadratu + ; d) + dl, okrąg + ; e) z dl, odcinekłączącpunkt(,,)i(,3,4); f) (++z)dl, brzegtrójkątaowierzchołkach(,,),(,,),(,,); g) + +z dl, okrąg + 4,z; h) z dl, okrągpowstałzprzecięciasfer + +z ipłaszczzn..3 Zastosowania całek krzwoliniowch niezorientowanch Pole powierzchni walcowej Niech Σ oznacza powierzchnię boczną walca o tworzącch przechodzącch przez łuk R,któresąograniczonezdołuizgórodpowiednioprzezwkresfunkcji ciągłchzd(,)izg(,).wtedpolespowierzchniσwrażasięwzorem: S (g(,) d(,))dl. (.8)
Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoTeresa Jurlewicz Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA. Definicje, twierdzenia, wzory. Wydanie ósme poprawione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz Zbigniew Skoczlas ALGEBRA LINIOWA Definicje, twierdzenia, wzor Wdanie ósme poprawione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław 2015 Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej
Bardziej szczegółowoLista zadań do wykładu pierwszego
Lista zadań do wkładu pierwszego Równania parametrczne ważniejszch łuków OdcineknapłaszczźnieokońcachA= 1, 1 ),B= 2, 2 )maprzedstawienieparametrczne: := 1 + 2 1 )t, = 1 + 2 1 )t, gdziet [0,1]. OkrągośrodkuS=
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji wykład 5
Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoLista 3 CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE. K cykloida c x y ds K x y x r t t t y r t t t t ) ( 2 ) + ( 2 ) = {(, ) : 1 1 = }
Lista CAŁI RZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE Zad 1. Obliczć całki krzwoliniowe nieskierowane po wskazanch krzwch: ds a) = {(, ) : 0 1 = } + + ds = {(, ) : = r( t sin t), = r(1 cos t), 0 t } r > 0 ustalone
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoElementy analizy wektorowej
Elementy analizy wektorowej Całki krzywoliniowe wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach. π 4. (a) sin(x + y) dxdy, R = π 4, π ] [ dy = sin(x + y)dy = dx =
achunek prawdopodobieństwa MAP6 Wdział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wkładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przkład do list : Całki podwójne Przkład do zadania. : Obliczć dane całki podwójne po wskazanch
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Zastosowania Całek
Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoZastosowania geometryczne całek
Matematyka Zastosowania geometryczne całek Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-3 Elblag Matematyka p. 1 Zastosowania geometryczne całek
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowo3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.
WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoWykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoCałkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f
IMIE I NAZWISKO ZADANIE Poniżej znajduje się fragment wkresu funkcji = f (). -7 -- - - 6 7 Dorsuj brakujac a część wkresu wiedzac, że dziedzina funkcji f jest przedział,, a wkres jest smetrczn względem
Bardziej szczegółowoZmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)
Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoDefinicja wartości bezwzględnej. x < x y. x =
1.9. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Definicja wartości bezwzględnej... gd... 0 =... gd... < 0 Własności wartości bezwzględnej 0 = = = n a n = a, gd n jest liczbą parzstą Przkład 1.9.1. Oblicz: a) b) c) 1 d) 0 e)
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)
Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14 Wybrane przykłady krzywych płaskich Wybrane przykłady krzywych Cykloida Okrąg o promieniu a toczy sie bez poslizgu po prostej. Ustalony punkt tego okręgu porusza się po krzywej
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR
ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR ZADANIA w semestrze zimowm Teoria zbiorów funkcje. Podać interpretację geometrczną zbiorów: A B jeżeli A = i B = A B X = X X X gdzie X = gdzie A= { : } B = d) { }
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowoKrzywe na płaszczyźnie.
Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 Niech r ( t ) [ x( t), y( t), z( t)], t I ( r ( t ) x( t) i y( t) j z( t) k, t I ) będzie równaniem wektorowym krzywej w R 3. Definicja Krzywą o równaniu r ( t ) [ a cost,
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 15
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA (EiT I stopień) Nazwa w języku angielskim Mathematics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoObliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak
Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY Marian Gewert Zbigniew Skoczlas WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY Teoria, przkład, zadania Wdanie trzecie poprawione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław 0 Marian Gewert Insttut Matematki
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 MAP: 2013, 2014, 2025, 2026 Lista zadań Semestr letni 2007/08
Całki oznaczone 5 ANALIZA MATEMATYCZNA MAP: 3, 4, 5, 6 Lista zadań Semestr letni 7/8 Korzstając z definicji oraz z faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne obliczć podane całki oznaczone: ); b) 3 ; e. Wskazówka.Ad.b).Zastosowaćwzor++...+n=
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca
Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską
Bardziej szczegółowoWykład 10. Funkcje wielu zmiennych
Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoRZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego
NIELINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego ma postać:
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH
YH JJ, MiF UP 13 D BL PÓL FGUR PYŹ e wszystkich wzorach zakładamy, że funkcje: f (x), g(x), r(ϕ), x(t), y(t) sa cia głe w odpowiednich przedziałach oraz że r(ϕ). D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D = {(x,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 9 MARCA 019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Cena nart po obniżce o
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi
Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17
41. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 1, n = 1, k = 9 ; b) m
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut
Miejsce na naklejkę z kodem szkoł OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR Czas prac 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, cz arkusz egzaminacjn zawiera
Bardziej szczegółowoMAP 1148 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.2
MAP 48 ANALIZA MATEMATYCZNA. Lista List zadań na semestr zimow 9/.. Korzstając z definicji granic właściwej ciągu uzasadnić podane równości: n+ n+ lim n n =; b) lim =; n n+ lim n n =; e*) lim +5 n 3 n
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY MAJA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 ( 4) 2 8 4 jest
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo