Fluktuacje cen towarów rolnych w świetle analizy fraktalnej

Transkrypt

1 Fluktuacje ce towarów rolych w świetle aalizy fraktalej Rafał Buła Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Słowa kluczowe: towary role, aaliza fraktala, wykładik Hursta, wykładik samopodobieństwa Key words: agricultural commodities, fractal aalysis, Hurst expoet, self-similarity expoet Wstęp Niiejszy artykuł jest poświęcoy problematyce kształtowaia się ce towarów rolych z puktu widzeia aalizy fraktalej. Dotychczas własości fraktale odkryto w odiesieiu do fluktuacji ideksów giełdowych, ce poszczególych akcji czy obligacji, kursów walut czy zmieych makroekoomiczych jak iflacja. Relatywie słabo zbadae pozostają wciąż wahaia ce towarów rolych. Z tego też względu celem autora jest określeie potecjalej przydatości aalizy fraktalej w odiesieiu do ce owych towarów. Poadto zamierzeiem autora jest zbadaie, czy wspomiae szeregi czasowe mają charakter fraktaly oraz czy moża je opisać jako cechujące się występowaiem (awet ieokresowych) cykli. W tym celu wykorzystae zostaą metody takie jak aaliza przeskalowaego zasięgu oraz metoda zagregowaych bezwzględych wartości. Badaiom zostaą poddae logarytmicze stopy zwrotu dla towarów rolych (cey w kotraktach termiowych), których otowaia są udostępiae przez serwis stooq.pl. Wszystkie obliczeia wykoao w pakiecie MS EXCEL.. Teoria ryku fraktalego a własości ce i stóp zwrotu Obiekty fraktale stały się przedmiotem rozważań matematyków już w końcu XIX w., jedak były wówczas traktowae jako mostruale czy wręcz patologicze. Przyczyą takiego postrzegaia tych tworów był iewyobrażaly dla ówczesych uczoych stopień skomplikowaia ich struktury zwłaszcza, że sądzoo powszechie, iż rację bytu mają jedyie obiekty cechujące się dostateczym stopiem regularości. Tymczasem fraktale właśie ze względu a swoistą budowę okazały się zdecydowaie lepiej odzwierciedlać obiekty występujące w rzeczywistym świecie, iż galileuszowskie koła, sfery czy stożki. Co więcej, bogata i wysublimowaa struktura ie zawsze ozacza, że algorytm ich tworzeia jest Peters E., Fractal Market Aalysis, Wiley&Sos, New York 994, s

2 rówie skomplikoway może o bowiem być zdumiewająco prosty, jak dla p. śieżyki vo Kocha 2 (rys. ). Rys.. Determiistycza i losowa śieżyka vo Kocha Źródło: opracowaie włase. Dopiero itesywe badaia Beoit Madelbrota zapoczątkowae w drugiej połowie XX w. sprawiły, że obiekty fraktale zalazły zastosowaie w rozmaitych dziedziach auki (jak hydrologia czy geologia) także w aukach ekoomiczych. Zaowocowały oe rówież powstaiem zespołu powiązaych ze sobą kocepcji opisujących zachowaie ce i stóp zwrotu z rozmaitych aktywów, azwaych astępie hipotezą ryku fraktalego (Fractal Market Hypothesis) i rozpowszechioych przez Edgara Petersa. Dzięki Madelbrotowi powstała ścisła matematycza defiicja obiektu fraktalego, a miaowicie Fraktal jest z defiicji zbiorem, którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha jest większy iż wymiar topologiczy 3. Mimo jej elegacji kotrowersje z ią związae sprawiły, że uzaie tworu geometryczego za fraktaly jest właściwie poddae osądowi uczoych, kierujących się pewym płyym zbiorem kryteriów. Do ajistotiejszych spośród ich ależy waruek mówiący o samopodobieństwie (lub samoafiiczości) aalizowaego obiektu. I tak, twór geometryczy lub aturaly azywamy fraktalem, jeżeli jest o samopodoby lub samoafiiczy, także w sesie statystyczym (tj. wymagae jest by rozkład prawdopodobieństwa aalizowaej wielkości ależał do tej samej rodziy rozkładów z dokładością do wartości parametrów). W odiesieiu do procesów stochastyczych 2 vo Koch H., O a Cotiuous Curve without Tagets Costructible from Elemetary Geometry, w: Edgar G., Classics o Fractals, Westview Press, Boulder 2004, s Madelbrot B., The Fractal Geometry of Nature, Freema&Compay, New York 983, s. 5.

3 wykorzystuje się określeie, zgodie z którym za samopodoby uzaway jest proces X ( t) spełiający waruek: dla dowolego > 0 t czas, d H ( t) r X ( rt) X =, t 0 () r (proces H-ss), gdzie: H współczyik samopodobieństwa, r stała, d = ozacza rówość w sesie rozkładu prawdopodobieństwa. Słabszym warukiem jest: X d H ( t ) X ( t ) = r [ X ( rt ) X ( )] 2 2 rt, t 0, t 2 0, (2) defiiujący proces o samopodobych przyrostach (H-ssi, self-similar icremets). Łatwo moża okazać, że dowoly proces typu H-ss jest procesem typu H-ssi, lecz ie odwrotie. Jeżeli dodatkowo rozpatrywać stacjoarość przyrostów procesu, to akłada się waruek: X d H ( t + ) X ( t ) = r [ X ( t + rτ ) X ( )] τ, t 0 (3) t0 dla dowolego r > 0 oraz przyrostu czasu τ. Jeżeli owa zależość spełioa jest jedyie dla ieskończeie małych τ, wówczas procesy takie określa się jako lokalie samopodobe (local self-similar icremets) 4. Hipoteza ryku fraktalego opiera się a założeiu, że procesy ce lub skumulowaych stóp zwrotu są procesami o samopodobych przyrostach (co ajmiej lokalie). Uzasadieia atury ekoomiczej dla owej kocepcji dostarczył Peters wskazując a płyość ryku jako główy czyik wpływający a charakter fluktuacji. Odrzuca o dotychczas powszechie wykorzystywae założeie o homogeiczości oczekiwań iwestorów 5 zakładając, że uczesticy ryku różią się w szczególości preferowaą długością horyzotu iwestycyjego. Fakt te sprawia, że apływające iformacje są odmieie przez ich oceiae. Dla iwestorów krótkotermiowych iformacja wskazująca a tymczasowe pogorszeie sytuacji spółki będzie ajprawdopodobiej sygałem do sprzedaży akcji, bowiem oczekują oi w tej sytuacji ziżki ce (jakkolwiek krótkotrwałej). Tymczasem dla uczestików takich jak fudusze emerytale może oa staowić impuls do abywaia walorów. Widać zatem, że założeiem hipotezy ryku fraktalego jest 0 4 Veeziao D., Basic Properties ad Characterizatio of Stochastically Self-Similar Processes i R d, w: Fractals r 7()/999, s Zob. p. Fama E., Efficiet Capital Markets: A Review of Theory ad Empirical Work, w: The Joural of Fiace r 25(2)/970, s. 387.

4 wartościowaie apływających iformacji zgodie z długością horyzotu iwestycyjego, co sprawia, że wymiaa odbywa się bez zakłóceń, jako że zawsze możliwe jest zalezieie partera do zawarcia określoej trasakcji. Jest to jedocześie wyjaśieie, dlaczego iezależie od rozpatrywaej skali ryek wykazuje podobe zachowaia, a zatem cechuje się występowaiem pewej formy samopodobieństwa. Wyjątkiem od opisywaej sytuacji jest przypadek, gdy apływająca iformacja oddziałuje a długość horyzotu iwestycyjego uczestików ryku. Może mieć to miejsce gdy otrzymaa iformacja podważa silie dotychczasowe zapatrywaia iwestorów zwiększając istotie poziom iepewości. Wówczas długość horyzotu iwestycyjego uczestików długotermiowych ulega istotemu skróceiu, co sprawia że praktyczie wszyscy iwestorzy zawierają trasakcje oceiając ich rezultaty w krótkim okresie. Wtedy trudiejsze jest zalezieie partera, co sprawia, że ryek traci płyość i może dojść do krachu 6. Opisyway mechaizm wyjaśia zatem występowaie tzw. grubych ogoów w rozkładach stóp zwrotu. W przypadku szeregów czasowych, które mają charakter dyskrety przedstawioe uprzedio defiicje samopodobieństwa mają zastosowaie jedyie dla określoego przedziału zmieości przyrostu zmieej iezależej, bowiem po przekroczeiu pewej graicy ie dyspoujemy iezbędymi daymi. Z tego też względu ależy pamiętać, że w rzeczywistym świecie obiekty wykazują własości fraktale wyłączie w ograiczoym zakresie dla realych obiektów z pewością moża stwierdzić, że ich potecjaly fraktaly charakter załamuje się a poziomie molekularym, w przeciwieństwie do fraktali matematyczych, które jako obiekty ideale wykazują je także w ieskończeie małej skali. Uwagi powyższe mają rówież zastosowaie do badaych w iiejszym artykule szeregów czasowych ce i stóp zwrotu. Najczęściej aalizowaym i wykorzystywaym fraktalym modelem fluktuacji ce jest model Madelbrota określay jako M 965 opierający się a wykorzystaiu ułamkowego ruchu Browa 7, tj. procesu stochastyczego daego rówością: gdzie: B H ( t) t H 2 H 2 H 2 [( t s) ( s) ] db( s) + ( t s) db( s) 0 = Γ( H + 2) 0 B ( s) stadardowy proces Wieera,, (4) 6 Jest to częsty mechaizm geerujący załamaia a rykach fiasowych (zob. Kidleberger C., Szaleństwo, paika, krach. Historia kryzysów fiasowych, WIG-Press, Warszawa 999 oraz Mackay C., Niezwykłe złudzeia i szaleństwa tłumów, WIG-Press, Warszawa 999). 7 Madelbrot B., Fractals ad Scalig i Fiace, Spriger, New York 997, s

5 Γ (.) fukcja gamma Eulera (jako czyik skalujący). Proces te charakteryzuje się samopodobymi przyrostami oraz występowaiem ieskończoej dodatiej C-zależości (gdy H >2), ieskończoej ujemej C-zależości (gdy H <2) lub jej brakiem w sytuacji, gdy redukuje się do stadardowego ruchu Browa (tj. dla H =2) 8. Jak pokazao, współczyik korelacji pomiędzy przyrostami procesu 2H w jedostce czasu jest uzależioy od wykładika Hursta H i wyosi 2. Dla H >2 autokorelacja jest dodatia, zaś dla H <2 przyrosty są skorelowae ujemie. W modelu M 965 Madelbrot przyjął, że logarytmicze stopy zwrotu mogą być reprezetowae przez przyrosty ułamkowego ruchu Browa, z tym że współczyik samopodobieństwa H, w przeciwieństwie do modelu Samuelsoa-Osbore a, może przybierać wartości z przedziału ( 0, ) róże od 2. W przypadku wielkości ekoomiczych często występującym przypadkiem jest istieie pamięci skończoej, choć okres po którym zależości zaikają (lub zmieiają swoją aturę) jest a ogół relatywie długi. Tym iemiej udało się wykazać występowaie ok. 4-5 letich cyklów ieokresowych w odiesieiu do kluczowych zmieych makroekoomiczych i giełdowych 9, czy m.i. ce iektórych surowców 0. W świetle dotychczasowych badań wydaje się, że występuje powiązaie falowaia ce określoych dóbr ze zmieością aktywości gospodarczej. W odiesieiu do poziomu produkcji przemysłowej czy ce metali otowaych a giełdzie lodyńskiej stwierdzoo występowaia krótko i średiotermiowych dodatich korelacji (persystetości) w odiesieiu do dotychczasowych tredów oraz zaikaie pamięci szeregu po ok miesiącach (fluktuacje te abierały wówczas charakteru czysto losowego). Powstaje zatem pytaie, czy podobych rezultatów moża się spodziewać w przypadku ce specyficzych towarów, jakimi są towary role. Rozstrzygięciu tej kwestii jest poświęcoa dalsza część opracowaia. 2. Metodyka badań W artykule zostaą wykorzystae dwie metody aalizy fraktalych własości badaych szeregów czasowych metoda przeskalowaego zasięgu oraz metoda zagregowaych bezwzględych wartości. 8 Madelbrot B., Statistical Methodology for Noperiodic Cycles: From the Covariace to R/S Aalysis, w: Aals of Ecoomic ad Social Measuremet r (3)/972, s Peters E., Teoria chaosu a ryki kapitałowe, WIG-Press, Warszawa 997, s Buła R., Wpływ kryzysu fiasowego a oszacowaia wykładika Hursta aaliza fraktala ce wybraych metali, w: Grzywacz J., Kowalski S. (red.), Gospodarka rykowa w warukach kryzysu, Wyd. PWSZ, Płock 202, s

6 2.. Metoda przeskalowaego zasięgu Metoda przeskalowaego zasięgu (rescaled rage aalysis) została stworzoa i po raz pierwszy zastosowaa w badaiach empiryczych przez hydrologa Harolda Hursta. Polega oa a aalizie skalowaia się szeregów logarytmiczych stóp zwrotu (o N obserwacjach) w celu określeia współczyika samopodobieństwa. Tworzymy m iezachodzących podszeregów stóp zwrotu o obserwacjach, przy czym 0 N m <. Dla każdego kalkulujemy wartość średią r ( ) k = k r t t= k + i lokale odchyleie stadardowe S k ( rt r ) k ( ) ( ) k = t= k + 2, k =, 2,...,m. Wykorzystując istiejące budujemy m szeregów: a astępie obliczamy rozstępy jako: R z t = t t i= + ri r ( ), t =, 2,...,N, t + ( ) max ( z ) mi ( z ) k =. t= k +,...,k t t= k +,...,k W kolejym kroku uzyskujemy średi przeskaloway zasięg: ( ) t m k= ( ) m Rk R/S = ( ), S k a astępie powtarzamy postępowaie dla Jako że: N = 0,,...,. 2 gdzie: E ( R/S) c stała, H ( R/S) =c E, (5) wartość oczekiwaa przeskalowaego zasięgu dla szeregów o obserwacjach, liczba obserwacji w podszeregu, H wykładik Hursta, zatem aproksymując ( R/S ) H E przez empirycze ( R/S ) dostajemy ( R/S ) c l ( R/S) lc + H l, czyli:, (6) Hurst H., Log-Term Storage Capacity of Reservoirs, w: Trasactios of the America Society of Civil Egieers r 6(2447)/95, s

7 skąd za pomocą regresji liiowej możemy otrzymać oszacowaie współczyika samopodobieństwa H (wykorzystujemy jedocześie poprawkę wprowadzoą przez Aisa i Lloyda zgodie z procedurą opisaą szczegółowo przez autora 2 ). Metodyka wprowadzoa przez Hursta pozwala rówież a wykrycie występowaia ewetualych cyklów ieokresowych w aalizowaych daych. W tym celu bada się zachowaie empiryczego przeskalowaego zasięgu poszukując takiego, dla którego astępuje zmiaa współczyika kierukowego zależości l( R/S) lc + H l. W iiejszej pracy aalizowao wartość H szacowaego z wykorzystaiem wydłużających się podszeregów dla = 0,,..., i Na tej podstawie określao przybliżoą długość cyklu. N =,..., 2 w poszukiwaiu ekstremów lokalych. Przed przystąpieiem do aalizy daych empiryczych postaowioo określić 2π t Δ +, 00 przydatość owej metody badając proces przyrostów X ( t) = Δsi σξ( t) t =,...,2500, ( t) ~ N( 0, ) ξ, cov ( ξ ( t), ξ( s) ) = 0, t s dla różej zmieości szumu: σ = 0, σ =0,0, σ =0, 05 oraz σ =0, 25 (dla każdego poziomu zmieości otrzymao 0 szeregów a astępie wyiki uśredioo). I tak dla σ = 0 szacowaa długość cyklu wyiosła przeciętie 5, dla σ =0, 0 02,6, dla σ =0, 05 22,6 zaś dla σ =0, 25 33,6 (rys. 2). 2π t Rys. 2. Wyiki aalizy R/S dla procesu przyrostów Δ X ( t) Δsi( ) + σξ( t) = 00 σ =0 σ =0, 0 2 Buła R., Wpływ kryzysu fiasowego a oszacowaia wykładika Hursta aaliza fraktala ce wybraych metali, w: Grzywacz J., Kowalski S. (red.), Gospodarka rykowa w warukach kryzysu, Wyd. PWSZ, Płock 202, s

8 Źródło: opracowaie włase. σ =0,05 σ =0, 25 Prezetowae wyiki wskazują a zaczą dokładość metody przeskalowaego zakresu w określaiu długości cyklu, awet dla relatywie zaczego poziomu stochastyczego szumu Metoda zagregowaych bezwzględych wartości Metoda zagregowaych bezwzględych wartości opiera się a bezpośredim wykorzystaiu własości procesów samopodobych, dla których zachowaa jest relacja: gdzie: ( ) k ( ) H r ~, (7) k r średia logarytmicza stopa zwrotu dla k-tego podszeregu o obserwacjach. Wówczas dla gdzie: ( ) d d ( ) = N [ ] r N [ ] k= ( ) ( ) k r, gdzie r ( ) = N [ ] r N [ ] k k= ( ), zachodzi 3 : ( ) H d ~, (8) odchyleie przecięte średich logarytmiczych stóp zwrotu dla szeregów o obserwacjach. W metodzie tej kalkuluje się ( ) d dla różych, a astępie wykorzystuje regresję ( ) l d względem l by uzyskać oszacowaie H. W iiejszym opracowaiu postaowioo wykorzystać wartości stabilość szacowaych liii regresji. N = 23,,..., 20, bowiem uwzględiaie większych zaburzałoby Poadto, podobie jak w metodzie przeskalowaego zasięgu, postaowioo zbadać, czy metoda ta umożliwia wykrycie występowaia fluktuacji o charakterze cykliczym. 3 Taqqu M., Teverovsky V., O Estimatig the Itesity of Log-Rage Depedece i Fiite ad Ifiite Variace Time Series, w: Adler R., Feldma R., Taqqu M. (red.), A Practical Guide To Heavy Tails: Statistical Techiques ad Applicatios, Birkhauser, Bosto 998, s

9 W tym celu aalizowao czy istieje takowe, dla którego astępuje zmiaa wykładika samopodobieństwa (współczyika kierukowego liii regresji) dla procesu przyrostów 2π t Δ X ( t) = Δsi + σξ( t),,..., t =, ξ ( t) ~ N( 0, ), cov ( ξ ( t), ξ( s) ) = 0 zmieości szumu: σ = 0, σ =0, 0, σ =0, 05 oraz σ =0, 25., t s dla różej 2π t Rys. 3. Wyiki aalizy procesu przyrostów X ( t) Δsi( ) + σξ( t) metody zagregowaych bezwzględych wartości Δ z wykorzystaiem = 00 σ =0 σ =0, 0 Źródło: opracowaie włase. σ =0,05 σ =0, 25 Dla σ = 0 szacowaa długość cyklu wyiosła 49, dla σ =0, 0 49, dla σ =0, 05 49, zaś dla σ =0, 25 49,8 (rys. 3). Wydaje się zatem, że w rzeczywistości opisywaa metoda prowadzi do uzyskaia połowy długości cyklu i taką też kokluzję postaowioo wykorzystać w odiesieiu do szeregów empiryczych. 3. Wyiki badań W iiejszym artykule badaiu poddao szeregi czasowe logarytmiczych stóp zwrotu dla towarów rolych (cey w kotraktach termiowych). W aalizach wykorzystao otowaia tygodiowe udostępiae przez serwis stooq.pl (operowao ceami zamkięcia). Spośród 2 towarów w 8 przypadkach szeregi czasowe były a tyle długie, by móc stosować

10 przedstawioe istrumetarium. Wykorzystae otowaia pochodzą z okresu wrzesień 998 luty 205 (BO.F olej sojowy, KW.F pszeica KCBT, LB.F drewo, MW.F pszeica MGEX, RR.F ryż, RS.F rzepak, SM.F mączka sojowa), lipiec 959 luty 205 (CC.F kakao, CT.F baweła, S.F soja, W.F pszeica), luty 968 luty 205 (C.F kukurydza), wrzesień 973 luty 205 (FC.F żywiec wołowy), sierpień 973 luty 205 (KC.F kawa), styczeń 970 luty 205 (LC.F żywiec wołowy), czerwiec 969 luty 205 (LH.F wieprzowia), luty 967 luty 205 (OJ.F sok pomarańczowy), styczeń 96 luty 205 (SB.F cukier). W pierwszej kolejości obliczoo miary opisowe charakteryzujące rozkład. Jedocześie zbadao testem Jarque-Bera, czy moża przyjąć hipotezę o ormalości rozkładów tygodiowych logarytmiczych stóp zwrotu. Wyiki zestawioo w tabeli. Większość rozkładów cechowała się pewym stopiem asymetrii (zarówo prawo- jak i lewostroej) oraz zaczie podwyższoą kurtozą. W każdym przypadku a poziomie istotości 0,0 hipotezę o ormalości rozkładów ależy odrzucić (przede wszystkim ze względu a zbyt grube ogoy rozkładów). W kolejym kroku zastosowao aalizę przeskalowaego zasięgu oraz metodę zagregowaych bezwzględych wartości w celu oszacowaia współczyika samopodobieństwa oraz wykrycia ewetualych fluktuacji o charakterze cykliczym. Wyiki zostały przedstawioe w tabeli 2 oraz a rysukach 4-9.

11 Tab.. Podstawowe charakterystyki rozkładów stóp zwrotu dla wybraych towarów rolych (cey w kotraktach termiowych) Miara Towar BO.F C.F CC.F CT.F FC.F KC.F KW.F LB.F LC.F LH.F MW.F OJ.F RR.F RS.F S.F SB.F SM.F W.F N µ 0,03% 0,04% 0,05% 0,02% 0,06% 0,04% 0,07% 0,0% 0,07% 0,05% 0,07% 0,05% 0,0% 0,03% 0,05% 0,06% 0,% 0,03% σ 3,39% 3,47% 4,2% 3,52% 2,47% 4,83% 3,92% 4,7% 2,78% 4,35% 3,87% 4,34% 3,79% 2,94% 3,65% 5,47% 4,8% 3,56% sσ 2,4% 2,49% 2,97% 2,58%,79% 3,35% 2,72% 3,27% 2,04% 3,08% 2,78% 2,94% 2,67% 2,2% 2,7% 3,87% 3,0% 2,50% d 2,60% 2,46% 3,6% 2,32%,80% 3,49% 3,00% 3,64% 2,05% 3,08% 2,73% 3,00% 2,82% 2,6% 2,38% 4,0% 3,4% 2,52% sd,30%,23%,58%,6% 0,90%,74%,50%,82%,02%,54%,37%,50%,4%,08%,9% 2,00%,57%,26% Q 2,04%,7% 2,40%,53%,36% 2,63% 2,42% 2,98%,5% 2,22%,99% 2,08% 2,8%,66%,63% 2,9% 2,46%,80% VaR 0,0 9,96% 9,75% 0,66% 0,53% 6,87% 2,07% 9,54% 0,85% 7,90% 2,75% 0,55% 0,94% 8,58% 9,48% 0,79% 4,58% 0,83% 9,34% λ 3-0,509-0,320-0,0298-0,6572-0,2297 0,4059 0,42 0,2-0,2598 0,025-0,5632 0,6407 0,0666-0,6438-0,8578 0,0092-0,5477-0,323 λ 4 4,257 7,4905 4,809,2977 7,7375 8,3223 3,9567 3,876 5,9058 7,4292 0,7605 9,2942 5,5320 5, ,4963 5,508 5,5328 7,9035 J-B 59,34 203,3 393,6 8537,7 204,75 265,93 34,62 28,99 854,65 947,29 298, ,89 230,09 275, ,96 544,37 272,55 296,79 J-B* 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 Źródło: opracowaie włase. Objaśieia: N liczba obserwacji, µ - przecięta stopa zwrotu, σ odchyleie stadardowe, sσ semiodchyleie stadardowe, d odchyleie przecięte, sd semiodchyleie przecięte, Q - odchyleie ćwiartkowe, VaR 0,0 wartość zagrożoa dla prawdopodobieństwa 0,0, λ 3 współczyik asymetrii, λ 4 kurtoza, J-B statystyka testu Jarque-Bera, J-B* - wartość graicza statystyki testu Jarque-Bera dla poziomu istotości 0,0.

12 Tab. 2. Wyiki aalizy fraktalej stóp zwrotu dla wybraych towarów rolych (cey w kotraktach termiowych) Miara Towar BO.F C.F CC.F CT.F FC.F KC.F KW.F LB.F LC.F LH.F MW.F OJ.F RR.F RS.F S.F SB.F SM.F W.F H R/S 0,5490 0,4733 0,5243 0,470 0,556 0,599 0,4659 0,3948 0,322 0,3575 0,5588 0,3723 0,6097 0,560 0,3595 0,55 0,4337 0,4639 H shuffled 0,4948 0,487 0,5387 0,4852 0,466 0,58 0,4807 0,4770 0,5426 0,509 0,4722 0,484 0,4722 0,4836 0,5029 0,483 0,495 0,574 Długość cyklu H - 0, ,5060 0,55 0, , H 2-0, ,3697 0,3028 0, , Długość cyklu H , ,4734-0, , H , ,39-0, , H u 0,534 0,5202 0,586 0,586 0,525 0,525 0,534 0,534 0,5206 0,5205 0,534 0,5200 0,534 0,534 0,586 0,588 0,534 0,586 H l 0,4659 0,4798 0,484 0,484 0,4785 0,4785 0,4659 0,4659 0,4794 0,4795 0,4659 0,4800 0,4659 0,4659 0,484 0,482 0,4659 0,484 H u,s 0,5289 0,509 0,5573 0,5038 0,483 0,5396 0,548 0,5 0,5632 0,5296 0,5063 0,504 0,5063 0,577 0,525 0,509 0,5256 0,5360 H l,s 0,4607 0,465 0,520 0,4666 0,440 0,4966 0,4466 0,4429 0,5220 0,4886 0,438 0,464 0,438 0,4495 0,4843 0,4643 0,4574 0,4988 H d 0,5747 0,4724 0,4987 0,4222 0,3004 0,5096 0,5006 0,3952 0,3062 0,3004 0,5428 0,4328 0,597 0,5853 0,3887 0,5055 0,4552 0,466 Długość cyklu H, d ,5877 0, ,4779 0,4554 0,574-0, , H 2, d ,2066 0, ,3959 0,3088 0,623-0, , Źródło: opracowaie włase. Objaśieia: H R/S wykładik Hursta uzyskay metodą przeskalowaego zasięgu, H shuffled - wykładik Hursta uzyskay metodą przeskalowaego zasięgu dla obserwacji posortowaych losowo, H wykładik Hursta dla podszeregów o długości ie przekraczającej długości cyklu uzyskay metodą przeskalowaego zasięgu, H 2 wykładik Hursta dla podszeregów o długości przekraczającej długość cyklu uzyskay metodą przeskalowaego zasięgu, H u graiczy góry wykładik Hursta ie uprawiający do odrzuceia hipotezy o błądzeiu losowym, H d graiczy doly wykładik Hursta ie uprawiający do odrzuceia hipotezy o błądzeiu losowym, H u,s graiczy góry wykładik Hursta ie uprawiający do odrzuceia hipotezy o błądzeiu losowym oszacoway w oparciu o szeregi posortowae losowo, H d,s graiczy doly wykładik Hursta ie uprawiający do odrzuceia hipotezy o błądzeiu losowym oszacoway w oparciu o szeregi posortowae losowo, H d wykładik Hursta uzyskay metodą zagregowaych bezwzględych wartości, H,d - wykładik Hursta dla podszeregów o długości ie przekraczającej długości cyklu uzyskay metodą zagregowaych bezwzględych wartości, H 2,d - wykładik Hursta dla podszeregów o długości przekraczającej długość cyklu uzyskay metodą zagregowaych bezwzględych wartości.

13 Rys. 4. Wyiki aalizy przeskalowaego zasięgu stóp zwrotu dla wybraych towarów rolych (cey w kotraktach termiowych) BO.F C.F CC.F CT.F FC.F KC.F Źródło: opracowaie włase. KW.F LB.F

14 Rys. 5. Wyiki aalizy przeskalowaego zasięgu stóp zwrotu dla wybraych towarów rolych (cey w kotraktach termiowych) cd. LC.F LH.F LH.F MW.F OJ.F RR.F Źródło: opracowaie włase. RS.F S.F

15 Rys. 6. Wyiki aalizy przeskalowaego zasięgu stóp zwrotu dla wybraych towarów rolych (cey w kotraktach termiowych) cd. SB.F SM.F Źródło: opracowaie włase. W.F Rys. 7. Wyiki aalizy zagregowaych bezwzględych wartości stóp zwrotu dla wybraych towarów rolych (cey w kotraktach termiowych) BO.F C.F Źródło: opracowaie włase. CC.F CT.F

16 Rys. 8. Wyiki aalizy zagregowaych bezwzględych wartości stóp zwrotu dla wybraych towarów rolych (cey w kotraktach termiowych) cd. FC.F KC.F KW.F LB.F LC.F LH.F Źródło: opracowaie włase. MW.F OJ.F

17 Rys. 9. Wyiki aalizy zagregowaych bezwzględych wartości stóp zwrotu dla wybraych towarów rolych (cey w kotraktach termiowych) cd. RR.F RS.F S.F SB.F Źródło: opracowaie włase. SM.F W.F 4. Dyskusja i wioski Obydwie metody pozwoliły a odkrycie występowaia cyklów o długości ok. jedego roku w odiesieiu do dziewięciu towarów rolych: kukurydzy, baweły, żywca wołowego, drewa, wieprzowiy, soku pomarańczowego, soi i mączki sojowej. W okresie do jedego roku zachowaie ich ce jest praktyczie losowe, jedak dla okresów dłuższych cechują się oe zaczym poziomem atypersystetości (odwracaia tredu). W czterech przypadkach wykryto istieie cyklu o długości ok. 4,5-5 lat: dla baweły, wieprzowiy, soku pomarańczowego oraz soi. Wydaje się zatem, że istieje jakieś powiązaie pomiędzy fluktuacjami ce tych towarów, a cykliczą zmieością aktywości gospodarczej, jedak sformułowaie bardziej precyzyjych wiosków wymaga dalszych badań.

18 Cey pozostałych towarów, tj. oleju sojowego, kakao, kawy, pszeicy KCBT, pszeicy MGEX, ryżu, rzepaku, cukru i pszeicy ie wykazują własości wskazujących a występowaie zmia o charakterze cykliczym. Spośród ich otowaia jedyie dwóch kotraktów a towary role moża uzać za cechujące się persystetością (podtrzymywaiem tredu): ryżu i rzepaku. W przypadku pozostałych towarów moża stwierdzić, że podlegają oe błądzeiu losowemu (choć w odiesieiu do oleju sojowego, kakao i pszeicy MGEX zazacza się bardzo słaba tedecja do wzmaciaia przeszłych tredów jedak praktyczie iezauważala). Notowaia towarów rolych różią się zatem zdecydowaie od kwotowań surowców metali hadlowaych a giełdzie lodyńskiej 4. W przypadku tych ostatich, cykle o podobej długości (ok. 4 lat) i persystetości cechowały praktyczie wszystkie badae metale. Tymczasem klasa towarów rolych rozpada się a trzy grupy: towary charakteryzujące się cyklami roczymi, towary charakteryzujące się cyklami 4,5-5 letimi oraz towary, których cey ie podlegają wahaiom cykliczym. Co więcej, w odiesieiu do dwóch pierwszych grup, zachowaie ce charakteryzuje się początkowo brakiem wzmaciaia czy odwracaia tredów, by astępie przejść w fazę silej atypersystetości. W przypadku badaych metali charakteryzowały się oe istotą persystetością w okresach ok. 4-letich, która astępie zaikała. Wydaje się, że przyczy takiego stau rzeczy moża upatrywać w specyficzych uwarukowaiach produkcji rolej, jedak sformułowaie bardziej jedozaczych wiosków wymaga dalszych badań. Zakończeie Aaliza empirycza szeregów czasowych ce towarów rolych w kotraktach termiowych wykazała, że zacza ich liczba może zostać scharakteryzowaa jako cechujące się cykliczymi wahaiami ce, przeważie w okresie o długości jedego roku, choć w przypadku baweły, żywca wołowego, soku pomarańczowego i soi wykryto także cykle o długości ok. 4,5-5 lat. Zachowaie ce badaych towarów rolych kotrastuje z fluktuacjami właściwymi dla towarów takich jak metale, które są grupą silie homogeiczą. W przypadku towarów rolych jedyie część z ich cechuje się występowaiem cykliczości o zbliżoym charakterze. Przedstawioa w iiejszym opracowaiu problematyka będzie przedmiotem dalszych aaliz. 4 Za: Buła R., Wpływ kryzysu fiasowego a oszacowaia wykładika Hursta aaliza fraktala ce wybraych metali, w: Grzywacz J., Kowalski S. (red.), Gospodarka rykowa w warukach kryzysu, Wyd. PWSZ, Płock 202, s

19 Bibliografia Buła R., Wpływ kryzysu fiasowego a oszacowaia wykładika Hursta aaliza fraktala ce wybraych metali, w: Grzywacz J., Kowalski S. (red.), Gospodarka rykowa w warukach kryzysu, Wyd. PWSZ, Płock 202. Fama E., Efficiet Capital Markets: A Review of Theory ad Empirical Work, w: The Joural of Fiace r 25(2)/970, s Hurst H., Log-Term Storage Capacity of Reservoirs, w: Trasactios of the America Society of Civil Egieers r 6(2447)/95, s Kidleberger C., Szaleństwo, paika, krach. Historia kryzysów fiasowych, WIG-Press, Warszawa 999. vo Koch H., O a Cotiuous Curve without Tagets Costructible from Elemetary Geometry, w: Edgar G., Classics o Fractals, Westview Press, Boulder Mackay C., Niezwykłe złudzeia i szaleństwa tłumów, WIG-Press, Warszawa 999. Madelbrot B., Fractals ad Scalig i Fiace, Spriger, New York 997. Madelbrot B., Statistical Methodology for Noperiodic Cycles: From the Covariace to R/S Aalysis, w: Aals of Ecoomic ad Social Measuremet r (3)/972, s Madelbrot B., The Fractal Geometry of Nature, Freema&Compay, New York 983. Peters E., Fractal Market Aalysis, Wiley&Sos, New York 994. Peters E., Teoria chaosu a ryki kapitałowe, WIG-Press, Warszawa 997. Taqqu M., Teverovsky V., O Estimatig the Itesity of Log-Rage Depedece i Fiite ad Ifiite Variace Time Series, w: Adler R., Feldma R., Taqqu M. (red.), A Practical Guide To Heavy Tails: Statistical Techiques ad Applicatios, Birkhauser, Bosto 998. Veeziao D., Basic Properties ad Characterizatio of Stochastically Self-Similar Processes i R d, w: Fractals r 7()/999, s Abstrakt Niiejszy artykuł jest poświęcoy problematyce zmia ce towarów rolych. Wykorzystując arzędzia aalizy fraktalej metodę przeskalowaego zasięgu oraz metodę zagregowaych bezwzględych wartości autor wykazał, że część towarów (m.i. baweła, wieprzowia, sok pomarańczowy i soja) cechuje się cykliczymi fluktuacjami ce (długość cyklu wyosi przeważie ok. jedego roku). Badaia potwierdziły przydatość metod fraktalych w aalizie ekoomiczych szeregów czasowych.

20 Summary Fractal aalysis of agricultural commodities prices fluctuatios This article deals with the problem of agricultural commodities prices chages. Usig fractal aalysis the author proved that there exists a group of agricultural commodities, prices of which fluctuate cyclically (the legth of the cycle is maily about oe year). The usefuless of fractal methods of aalyzig ecoomic time series was show.