Influence of financial crisis on Hurst exponent estimates - fractal analysis of selected metals prices

Transkrypt

1 MPRA Muich Persoal RePEc Archive Ifluece of fiacial crisis o Hurst expoet estimates - fractal aalysis of selected metals prices Rafa l Bu la Uiversity of Ecoomics i Katowice 0 Olie at MPRA Paper No. 5970, posted 8. November 04 08:56 UTC

2 Rafał Buła WPŁYW KRYZYSU FINANSOWEGO NA OSZACOWANIA WYKŁADNIKA HURSTA ANALIZA FRAKTALNA CEN WYBRANYCH METALI Słowa kluczowe: Metoda przeskalowaego zasięgu, wykładik Hursta, wymiar fraktaly, kryzys fiasowy. Streszczeie Celem iiejszego artykułu jest wykazaie, że cey wybraych metali otowaych a giełdzie lodyńskiej mają charakter fraktalego błądzeia losowego. W opracowaiu weryfikuje się hipotezę o czaroszumowych własościach stóp zwrotu (częstszym występowaiu zjawiska kotyuacji iż odwracaia tredu). Wykorzystując metodę przeskalowaego zasięgu stworzoą przez Hursta autor potwierdza istieie ok. 4-letiego ieokresowego cyklu w badaych fiasowych szeregach czasowych. Poadto w artykule poddaway oceie jest wpływ światowego kryzysu fiasowego a stabilość uzyskaych oszacowań. Wstęp Począwszy od roku 900, kiedy to Louis Bachelier przedstawił swoją pracę doktorską pt. Théorie de la Spéculatio ekoomiści coraz więcej swojego czasu poświęcali problemowi kształtowaia się ce istrumetów fiasowych, towarów, etc. Efektem szeroko zakrojoych badań było stworzeie wielu kocepcji usiłujących opisać prawa rządzące zachowaiem ce i stóp zwrotu. Do lat sześćdziesiątych XX w. domiowała kocepcja błądzeia losowego (Radom Walk Hypothesis) zakładająca wykorzystaie arytmetyczego ruchu Browa (opisaego przez Bacheliera, Eisteia oraz vo Smoluchowskiego) lub geometryczego ruchu Browa (wprowadzoego przez Samuelsoa oraz Osbore a). Ujawiające się jedak z coraz większą siłą rozbieżości między rzeczywistym a przewidywaym zachowaiem ce zaowocowały powstaiem owych teorii opierających się a zastosowaiu rozkładów α-stabilych, względie rezygacji z założeia o iezależości stóp zwrotu. Wtedy też Beoit Madelbrot stworzył pojęcie fraktala, które astępie zostało wykorzystae przez Edgara Petersa w kocepcji ryku fraktalego (Fractal Market Hypothesis). Bazuje oa a pewej modyfikacji teorii błądzeia losowego hipotezie obciążoego (fraktalego) błądzeia przypadkowego. Metodyka zastosowaa przez Petersa umożliwia określeie zarówo obciążeia, jakim obarczoe jest błądzeie losowe, jak i przeciętej długości istiejącego cyklu ieokresowego. Badaia przeprowadzoe przez tego uczoego wykazały, że zacza liczba zmieych ekoomiczych (m.i. otowaia akcji amerykańskich, wartości ideksu S&P 500, retowości obligacji rządu Staów Zjedoczoych Ameryki Półocej czy wartości ideksów odzwierciedlających poziom produkcji przemysłowej) cechuje się zaczym obciążeiem oraz występowaiem ok. 4-letiego cyklu. Mimo iż w aalizowaym okresie - -

3 miały miejsce trzy wojy, Wielki Kryzys, dwa szoki aftowe oraz trzy załamaia giełdowe oszacowae miary wskazują a istieie regularości w zachowaiu się tych wielkości. Powstaje zatem pytaie, czy także ie zmiee ie podlegają cykliczości oraz obciążoemu błądzeiu przypadkowemu. Na podstawie dotychczasowych badań moża sformułować hipotezę, iż cey pewych towarów mogą zachowywać się zgodie z opisaym uprzedio schematem. Celem iiejszego opracowaia jest zbadaie, czy otowaia wybraych metali hadlowaych a giełdzie lodyńskiej podlegają prawom opisaym przez Petersa. Poadto w artykule zostaie przeaalizoway wpływ kryzysu fiasowego lat a stabilość oszacowań aalizowaych parametrów.. Wprowadzeie Najpopulariejszym modelem opisującym zachowaie stóp zwrotu z rozmaitych aktywów jest model bazujący a geometryczym ruchu Browa opisay stochastyczym rówaiem różiczkowym: ds(t) = μs(t) dt+ σs(t) db(t), () gdzie: { : t 0} S(t) jest procesem stochastyczym odzwierciedlającym ceę istrumetu fiasowego (towaru, etc.), { : t 0} B(t) - procesem stochastyczym azwaym a cześć szkockiego botaika ruchem Browa, µ - parametrem dryfu, zaś σ - parametrem dyfuzji. Proces Browa ma astępujące własości :. B(0) = 0,. Przyrosty procesu są stacjoare i iezależe, 3. Realizacje procesu są fukcjami ciągłymi, 4. Dla dowolego 0 B(t)~ t > zachodzi N0, ( t), czyli proces ma rozkład gaussowski o wartości oczekiwaej rówej zero i wariacji rówej t. Wykorzystując lemat Ito moża rozwiązać powyższe stochastycze rówaie różiczkowe i zaleźć, że: μ - σ t + σb(t) S(t) = S(0) e. Najistotiejszą implikacją wyikającą z uzaia powyższego modelu za prawdziwy jest iezależość logarytmiczych stóp zwrotu. Okazało się jedak, że w rzeczywistości logaryt- () W. Ostasiewicz, Propedeutyka probabilistyki, Wydawictwo Akademii Ekoomiczej im. Oskara Lagego we Wrocławiu, Wrocław 000, s

4 micze stopy zwrotu ie są iezależe. W celu uwzględieia tego faktu zamiast procesu Browa wykorzystao ułamkowy ruch Browa. Ułamkowy ruch Browa { (t): t 0} B H ma podobe własości jak proces Browa, z tym że jego przyrosty ie muszą być iezależe, zaś dla dowolego t > 0 zachodzi B ~ H ( ) H (t) N0, t, czyli proces ma rozkład gaussowski o wartości oczekiwaej rówej zero i wariacji rówej t H, gdzie H ( 0,). Jak widać proces Browa jest szczególym przypadkiem ułamkowego ruchu Browa dla H =. Współczyik H jest azyway współczyi- kiem samopodobieństwa lub wykładikiem Hursta. Kowariacja procesu wyosi EB H (s)b H H > przyrosty procesu są dodatio skore- lowae, a dla H H H ( s + t s t ) (t) =, zatem dla H< ujemie. Stąd dla prawdopodobieństwo kotyuacji iż zmiay tredu, zaś dla H > proces te jest persystety, tj. większe jest H < atypersystety, tj. bar- dziej prawdopodoba jest zmiaa tredu. Co więcej, ułamkowy ruch Browa ma własość cechującą fraktale: jest samopodoby (w sesie statystyczym, dystrybuata zmieej losowej B H (at) jest taka sama jak dystrybuata zmieej losowej a H B(t) dla dowolego a > 0). Twórcą pojęcia fraktala jest Beoit Madelbrot. Stwierdził o, że Fraktal jest zbiorem, dla którego wymiar Hausdorffa Besicovitcha jest większy iż jego wymiar topologiczy. Z kolei defiicja Petersa jest zdecydowaie prostsza: Fraktal jest obiektem, którego części pozostają w pewej relacji do całości 3. Fraktalami będą zatem zbiory samopodobe, złożoe z pomiejszoych kopii samego siebie. Należą do ich m.i. trójkąt Sierpińskiego czy śieżyka Kocha, ale także realizacje wspomiaych uprzedio procesów stochastyczych. Istotą cechą fraktali jest ich wymiar tzw. wymiar fraktaly (D F ). Iformuje o jak bardzo postrzępioy jest day obiekt. Prosta ma wymiar fraktaly rówy, zaś płaszczyza. Wymiar krzywych będzie zatem mieścił sie w przedziale,. Im bardziej będą oe ieregulare, tym będzie o bliższy, zaś dla bardziej regularych bliższy. Dowiedzioo, że wymiar fraktaly ułamkowego ruchu Browa wyosi D F = H. Podsumowując powyższe rozważaia moża stwierdzić, że gdy: B. Madelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freema ad Compay, New York 983, s E.E. Peters, Chaos ad Order i the Capital Markets, Joh Wiley & Sos, Ic., New York et al. 99, s

5 . H= 0, 5 to D F =, 5 - mamy wówczas do czyieia z szumem białym, tj. prawdopodobieństwa kotyuacji i zmiay tredu są sobie rówe,. H ( 0,5;) to ( ;,5) D F - mamy wówczas do czyieia z szumem czarym, tj. prawdopodobieństwo kotyuacji tredu jest większe iż prawdopodobieństwo jego zmiay (szereg persystety), 3. H ( 0; 0,5) to (,5; ) D F - mamy wówczas do czyieia z szumem różowym, tj. prawdopodobieństwo zmiay tredu jest większe iż prawdopodobieństwo jego kotyuacji (szereg atypersystety). Większość ekoomiczych szeregów czasowych badaych dotychczas cechowała się persystetością. Aalizy Petersa pokazały, że jedyie zmieość (mierzoa odchyleiem stadardowym) miała charakter szumu różowego (takiego wyiku ależało oczekiwać jak bowiem zaobserwowao krótkie okresy o podwyższoej zmieości szybko przechodzą w krótkie okresy o obiżoej zmieości).. Aaliza przeskalowaego zasięgu Metoda przeskalowaego zasięgu (R/S aalysis) została stworzoa przez hydrologa Harolda Edwia Hursta, który badał przy jej pomocy wylewy Nilu. Badając jak skaluje się zasięg szeregów czasowych umożliwia oa określeie wartości współczyika samopodobieństwa H, azwaego a cześć tego uczoego wykładikiem Hursta. Przebiega oa astępująco:. Dyspoując szeregiem czasowym ce wybraego istrumetu fiasowego o długości N+ tworzymy szereg logarytmiczych stóp zwrotu o długości N: P t r = t l dla Pt t=,,..., N, gdzie r t logarytmicza stopa zwrotu w okresie t, P t cea istrumetu a koiec okresu t.. Dzielimy szereg logarytmiczych stóp zwrotu a m podszeregów o długości, tak by 0 N m<. Dla każdego podszeregu obliczamy wartość średiej logarytmiczej stopy zwrotu t= k + k r = oraz lokale odchyleie stadardowe k r t t= k + k S k = ( rt rk), k =,,..., m

6 t 3. Tworzymy m owych podszeregów, w te sposób, że + z t = ri r, t t i= + t =,,..., N. Dla każdego k obliczamy zasięg jako R = max ( z ) mi ( z ). 4. Obliczamy średi przeskaloway zasięg jako ( ) = 5. Powtarzamy to postępowaie dla N = 0,,...,. k m t= k +,...,k m k R/S. k= R S k t t= k +,...,k H 6. Poieważ dla daego zachodzi E( (R/S) ) = c, zatem przybliżając ( ) (R/S) otrzymujemy ( ) H c, czyli l( R/S) l ( c) + H l ( ) R/S liiową możemy oszacować H. E (R/S) przez. Stosując regresję Nawet jeżeli baday proces ma charakter białego szumu, to ze względu a wykorzystaie skończoych szeregów czasowych oczekiwaa wartość H jest róża od. Stosując teoretyczą wartość oczekiwaą E ((R/S) ) obliczoą przez Aisa i Lloyda 4 : ( ) i E (R/S) =, (3) i= i π moża obliczyć skorygowae H dodając do współczyik regresji (R/S) E ( ) (R/S) względem l( ) 5. W te właśie sposób postąpioo w iiejszej pracy. Jedocześie ie stosowao uproszczoych wzorów służących do obliczaia E ((R/S) ), ze względu a fakt iż mimo poprawki Petersa mogą oe prowadzić do zaczących błędów 6. W opracowaiu wyko- t 4 J. Stawicki, E.A. Jaiak, I. Müller-Frączek, Różicowaie fraktale szeregów czasowych wykładik Hursta i wymiar fraktaly [w:] Dyamicze modele ekoometrycze: materiały a V Ogólopolskie Semiarium Naukowe, 9- wrześia 997. Towarzystwo Naukowe Orgaizacji i Kierowictwa Dom Orgaizatora, Toruń 997, s R. Wero, Estimatig log-rage depedece: fiite sample properties ad cofidece itervals, Physica A 00, vol. 3, s J. Purczyński, Wybrae problemy umerycze stosowaia aalizy R/S, Przegląd Statystyczy 000, r -, s

7 - 6 - rzystao pewe własości fukcji gamma, miaowicie ( ) ( ) p p p = +, ( ) = oraz π =. Ozaczamy = α. Dla + mamy: α α = = + + = + + = +. (4) Z kolei dla = zachodzi π =, a dla = 3 π 3 3 =. Uwzględiając te własości moża wartości ilorazu obliczać w sposób rekurecyjy. Uzyskawszy oszacowaie H ależy określić, czy istieją dostatecze przesłaki pozwalające odrzucić hipotezę, że H=. W tym celu Peters rozważa szereg zmieych o rozkładzie gaussowskim i sugeruje, by hipotezę powyższą odrzucać, gdy N, N H + 7. Podejście to jest często stosowae, choć trzeba zauważyć, że opiera się oo a hipotezie o ormalości badaych zmieych, poieważ w pozostałych przypadkach rozkład H ie jest zay 8. 7 E.E. Peters, Fractal Market Aalysis, Joh Wiley & Sos, Ic., New York et al. 994, s R. Wero, Estimatig... op. cit., s. 88.

8 Rysuek. Aaliza R/S dla produkcji przemysłowej w Staach Zjedoczoych Ameryki Półocej Źródło: Opracowaie włase a podstawie daych Federal Reserve Bak of St. Louis, [dostęp 6 lutego 0]. Procedura stworzoa przez Hursta umożliwia także wykrycie istieia cykli oraz oszacowaie przeciętej długości jedego cyklu. W tym celu dokoujemy regresji liiowej wykorzystując szereg przeskalowaych zasięgów dla kolejych. Zajdując maksymale H w zależości od możemy określić po upływie jakiego czasu szereg traci pamięć. Przykładowe wyiki przedstawioo dla produkcji przemysłowej w Staach Zjedoczoych Ameryki Półocej (dae miesięcze). Wykorzystując opisaą powyżej procedurę uzyskao przeskalowae zasięgi. Aalizując prezetoway wykres ależy stwierdzić, że długość cyklu wyosi ok. 55 miesięcy, tj. 4,58 roku. Po upływie tego okresu pamięć szeregu zaika. Wykładik Hursta oszacowao a 0,6850, co świadczy o jego persystetości. 3. Wyiki Wykorzystując metodę R/S badaiu poddao szeregi czasowe reprezetujące cey metali otowaych a giełdzie lodyńskiej (Lodo Metal Exchage). Ze względu a długość dostępych szeregów przeaalizowao kształtowaie się ce: alumiium stop (AAC), alumiium (ALC), miedzi (CO), ołowiu (LE), iklu (NI), cyy (TI) i cyku (ZI). W badaiu wykorzystao cey atychmiastowe a zamkięciu sesji w ostatim diu hadlowym każdego miesiąca (dae pochodzą z serwisu stooq.pl). W pierwszej kolejości oszacowao omawiae uprzedio miary dla otowań pochodzących z okresu Następie dokoao - 7 -

9 obliczeń wykorzystując dae uwzględiające dodatkowo kwotowaia z okresu , tj. obejmujące lata ostatiego kryzysu fiasowego 9. Praktyczie w każdym przypadku aaliza R/S pozwoliła a wykrycie pewego cyklu ieokresowego o długości od 3,7 do 4,4 roku. Rezultaty te są spóje z wyikami otrzymaymi dla produkcji przemysłowej w Staach Zjedoczoych Ameryki Półocej oraz wioskami sformułowaymi przez Petersa. Wszystkie badae szeregi czasowe cechują się persystetością mają charakter szumu czarego. Obliczoa wartość wykładika Hursta waha się od 0,5570 dla cyku (kwotowaia ) do 0,747 dla iklu (kwotowaia ). Z wyjątkiem cyku i ołowiu (kwotowaia ) wszystkie oszacowaia wykraczają poza przedział, N + N, co świadczy o istotości uzyskaych rezultatów (w tabeli dolą graicę przedziału ozaczoo jako H d, zaś górą jako H u ). Jedocześie obliczoo wykładik Hursta H S dla szeregów posortowaych w sposób losowy. Jak wyika z daych zawartych w tabeli wartości te są zdecydowaie iższe iż wyjściowe współczyiki samopodobieństwa. Świadczy to o istieiu pamięci procesu, która została uicestwioa przez losowe sortowaie. Wykorzystując wzór D F = H obliczoo także wymiar fraktaly. W każdym aalizowaym przypadku jest o zdecydowaie iższy iż,5, co potwierdza hipotezę głoszącą iż badae szeregi mają charakter persystety. Trzeba także podkreślić, że uwzględieie kwotowań z okresu jedyie w iewielkim stopiu wpłyęło a oszacowae wykładiki Hursta oraz estymowaą długość cyklu. Odmieość wyików uzyskaych dla cyku i ołowiu ależy raczej przypisać wykorzystaiu krótszych szeregów czasowych w przypadku kwotowań iż wpływowi kryzysu fiasowego lat W iiejszej pracy przyjęto, że początek kryzysu fiasowego przypada a czerwiec 007 r., tj. miesiąc w którym zaistiało ryzyko iewypłacalości fuduszy iwestycyjych baku Bear Stears zaagażowaych a amerykańskim ryku ieruchomości

10 Tabela. Wyiki aalizy R/S dla wybraych metali ( ) Metal N H H d H u H S D F Długość cyklu Alumiium (stop) 7 0,644 0,438 0,576 0,507,3586 3,58 Alumiium 0 0,5866 0,436 0,5674 0,473,434 4,33 Miedź 0 0,587 0,436 0,5674 0,487,49 3,7 Ołów 0 0,569 0,436 0,5674 0,468,438 - Nikiel 0 0,775 0,436 0,5674 0,54,85 4,5 Cya 4 0,69 0,436 0,5684 0,4884,3709 4,4 Cyk 0 0,5570 0,436 0,5674 0,558,4430 3,83 Źródło: Opracowaie włase a podstawie [dostęp 6 lutego 0]. Tabela. Wyiki aalizy R/S dla wybraych metali ( ) Metal N H H d H u H S D F Długość cyklu Alumiium (stop) 8 0,6553 0,4338 0,566 0,5459,3447 3,75 Alumiium 76 0,5946 0,4398 0,560 0,4984,4054 4,33 Miedź 76 0,5848 0,4398 0,560 0,469,45 3,5 Ołów 76 0,5790 0,4398 0,560 0,4663,40 3,4 Nikiel 76 0,747 0,4398 0,560 0,5386,753 4,33 Cya 70 0,669 0,439 0,5609 0,508,338 4,5 Cyk 76 0,6088 0,4398 0,560 0,456,39 3,83 Źródło: Opracowaie włase a podstawie [dostęp 6 lutego 0]

11 Rysuek. Aaliza R/S dla wybraych metali ( ) Alumiium (stop) Alumiium Miedź Ołów Nikiel Cya Cyk Źródło: Opracowaie włase a podstawie [dostęp 6 lutego 0]

12 Rysuek 3. Aaliza R/S dla wybraych metali ( ) Alumiium (stop) Alumiium Miedź Ołów Nikiel Cya Cyk Źródło: Opracowaie włase a podstawie [dostęp 6 lutego 0]. - -

13 Zakończeie W iiejszym opracowaiu ukazao przydatość metody przeskalowaego zasięgu do aalizy fiasowych szeregów czasowych. Zaprezetowae w pierwszej części artykułu omówieie aspektów metodyczych aalizy R/S zostało wykorzystae w dalszej części pracy poświęcoej badaiu kształtowaia się ce wybraych metali otowaych a giełdzie lodyńskiej. Metoda ta umożliwiła wykrycie istieia ok. 4-letiego cyklu w badaych szeregach czasowych oraz potwierdziła, iż mają oe charakter czarego szumu (są persystete). Co więcej, oszacowaia wykładika Hursta oraz przeciętej długości cyklu ieokresowego okazały się praktyczie iewrażliwe a występujące w gospodarce światowej zjawiska kryzysowe. Świadczy to o odporości metody Hursta oraz przemawia a korzyść hipotezy, głoszącej iż zacza część fiasowych szeregów czasowych ma charakter obciążoego błądzeia przypadkowego. Wioski te są spóje z uzyskaymi przez Petersa rezultatami dla gospodarki Staów Zjedoczoych Ameryki Półocej. Bibliografia. Jajuga K., Papla D., Teoria chaosu w aalizie fiasowych szeregów czasowych - aspekty teoretycze i badaia empirycze [w:] Dyamicze modele ekoometrycze: materiały a V Ogólopolskie Semiarium Naukowe, 9- wrześia 997. Towarzystwo Naukowe Orgaizacji i Kierowictwa Dom Orgaizatora, Toruń Madelbrot B., The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freema ad Compay, New York Ostasiewicz W., Propedeutyka probabilistyki, Wydawictwo Akademii Ekoomiczej im. Oskara Lagego we Wrocławiu, Wrocław Peters E.E., Chaos ad Order i the Capital Markets, Joh Wiley & Sos, Ic., New York et al Peters E.E., Fractal Market Aalysis, Joh Wiley & Sos, Ic., New York et al Purczyński J., Wybrae problemy umerycze stosowaia aalizy R/S, Przegląd Statystyczy 000, r Stawicki J., Jaiak E.A., Müller-Frączek I., Różicowaie fraktale szeregów czasowych wykładik Hursta i wymiar fraktaly [w:] Dyamicze modele ekoometrycze: materiały a V Ogólopolskie Semiarium Naukowe, 9- wrześia 997. Towarzystwo Naukowe Orgaizacji i Kierowictwa Dom Orgaizatora, Toruń

14 8. Wero A., Wero R., Iżyieria fiasowa, Wydawictwa Naukowo-Techicze, Warszawa Wero R., Estimatig log-rage depedece: fiite sample properties ad cofidece itervals, Physica A 00, vol. 3. INFLUENCE OF FINANCIAL CRISIS ON HURST EXPONENT ESTIMATES FRACTAL ANALYSIS OF SELECTED METALS PRICES Key words: Rescaled rage aalysis, Hurst expoet, fractal dimesio, fiacial crisis. Summary The mai purpose of this article is to prove that prices of selected metals quoted at Lodo Metal Exchage could be described as biased radom walks. I this paper hypothesis of black oise character of returs is verified (sequeces are observed more frequetly tha reversals). Exploitig Hurst s method of rescaled rage author cofirms that aalyzed fiacial time series are characterized by 4-year operiodic cycle. Moreover ifluece of world fiacial crisis o stability of calculated estimates is assessed