Naprężenia i odkształcenia Stress & strain. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Transkrypt

1 Naprężenia i odkstałcenia Stress & strain

2 Naprężenia i odkstałcenia Simplifing assumptions:. Soil is continuous. Soil is homogeneous. Soil is isotropic A continuous bod subjected to a sstem of eternal forces Normal strain definition l l l l l

3 Naprężenia i odkstałcenia Shear strain definition Poison s ratio definition γ G ν r

4 Naprężenia i odkstałcenia States of strains

5 Naprężenia i odkstałcenia Stress definition ij lim A i F j A i Stress tensor ij

6 Naprężenia i odkstałcenia Naprężenie jest to granicna wartość stosunku sił diałającej na nieskońcenie mał element pola prekroju ciała do wmiaru tego pola: F F Prekrój ciała stwnego. lim A F A gdie: -naprężenie F -siła A - pole prekroju

7 Naprężenia i odkstałcenia ij lim A i F j A i

8 Naprężenia i odkstałcenia The state of stress at a point according to a reference coordinate is (9 components)

9 Naprężenia i odkstałcenia States of stress Aismmetric

10 Naprężenia i odkstałcenia Normal stresses and strains P P,,,, P

11 Naprężenia i odkstałcenia Volumetric strain Assume the initial volume is V, so the final volume is: ) ( ) )( )( ( ) )( )( ( strains small V V V V V V V V p f f p f p

12 Naprężenia i odkstałcenia Hooke s law E Shear modulus G E ( ν ) Bulk modulus K E ( ν ) ν K G G 6K

13 Naprężenia i odkstałcenia Hooke s law in D E ν ν ν ν ν ν ν ν ν γ γ γ ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E E ν ν ν G G G γ γ γ

14 Naprężenia i odkstałcenia Elastic materials obe the principle of superposition. The applied loading order is not important and the equilibrium strain is the same. E G γ

15 Naprężenia i odkstałcenia Soils are elastoplastic materials actuall, (elastic deformation plastic deformation)

16 Naprężenia i odkstałcenia Vertical stress Horiontal stress h v K γ h v i i K lateral earth pressure coefficient

17 Naprężenia i odkstałcenia Naprężenie pierwotne lub geostatcne γ to naprężenie istniejące w gruncie od ciężaru wżej leżącch warstw. Zgodnie asadą superpocji naprężenie całkowite w gruncie jest sumą naprężenia pierwotnego γ i naprężenia od obciążenia ewnętrnego q : γ q W prpadku prłożenia obciążenia nie na powierchni półprestreni, lec na pewnej głębokości po wkonaniu wkopu, naprężenie całkowite w dowolnm punkcie wnaca się jako sumę naprężenia pierwotnego geostatcnego γ mniejsonego o odciążenie wkopem γ : ( ) γ γ q Wartość poiomej składowej naprężenia geostatcnego γ oblica się e woru: γ γ K γ gdie: K -współcnnik parcia bocnego w spocnku, γ - pionowa składowa naprężenia pierwotnego.

18 Naprężenia i odkstałcenia γ γ γ γ γ Składowe naprężenia pierwotnego. γ γ γ γ γ K γ Wartość współcnnika K ależ od rodaju gruntu i historii jego naprężenia i mienia się w akresie..6 dla gruntów normalnie skonsolidowanch i.8. dla gruntów prekonsolidowanch.

19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P P P r r P r r P π ν π π π ν π ν π r P r r Boussinesq solution Naprężenia i odkstałcenia

20 Naprężenia i odkstałcenia Prkład: Znaleźć naprężenia w gruncie wwołane prłożeniem sił skupionej równej P 5 kn w punkcie o współrędnch m, m, 4m; ν.. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P kpa P kpa P kpa r r P kpa r r P π ν π π π ν π ν π 5 r

21 Naprężenia i odkstałcenia Flamant s solution etension to line loads P π ( P ) π ( ) P Pν π ( ) P π ( ) A strip load is the load transmitted b a structure of finite width and infinite length on a soil surface. The increase in stresses due to a surface stress q s (force/area) is as follows: qs α sinα cos( α β ) π qs π qs π [ ] [ α sinα cos( α β )] [ sinα sin( α β )]

22 α β π β α π β α π B q B B q B q s s s cos sin ln sin Naprężenia i odkstałcenia B L L B L B B q Simplified solution for rectangular loaded areas beneath the centre of the loaded area bearing pressure q

23 Naprężenia i odkstałcenia Metoda punktów narożnch umożliwia wnacanie naprężenia pionowego ora sum naprężeń głównch pod narożem prostokątnego obciążonego obsaru według worów: ( LB L B ) ( L )( B ) L B q LB n arctg L B qη n gdie: η n q -współcnnik wnacan nomogramu w ależności od stosunku L/B (długość obsaru obciążonego do jego serokości) ora od stosunku /B (agłębienie punktu poniżej powierchni do serokości), - obciążenie ciągłe.

24 Naprężenia i odkstałcenia,5,,5,,5 η n A a) F B, E M G 4, 6, q D b) A H C AFME FBGM EMHD MGCH ( η η η ) q η n n naroże wewnątr obciążonego obsaru n n B E 8, D C F H G M, /B ( ) q AEMH BEMG DFMH CFMG Nomogram do wnacania q ηn ηn ηn ηn współcnnika η naroże na ewnątr obciążonego obsaru. n Zastosowanie metod punktów narożnch do oblicania naprężeń w dowolnm punkcie podłoża.

25 Naprężenia i odkstałcenia Metodą punktów środkowch można wnacć naprężenie pionowe pod środkiem prostokątnego obsaru obciążonego, posługując się worem:,,,,4,6,8, η q η Wartość można również wnacć, stosując superpocję naprężeń pod wspólnm narożem cterech obciążonch prostokątów o bokach L/ i B/., 4, 5, /B Nomogram do wnacania współcnnika η.

26 Naprężenia i odkstałcenia okład Naprężenia Pod Fundamentami Stwnmi q ma S S q ecwist rokład naprężeń pr q ma Z Teoretcn rokład naprężeń w pocątkowm okresie obciążenia pr obciążeniu granicnm okład naprężenia pionowego w poiomie posadowienia absolutnie stwnego fundamentu Teoretcn rokład naprężenia w poiomie posadowienia wnaca się e woru q ρ r gdie: S >S ρ -odległość ropatrwanego punktu od środka fundamentu, r -promień podstaw fundamentu Z

27 Naprężenia i odkstałcenia Naprężenia pionowe na głębokości (poniżej poiomu posadowienia) wnaca się jako naprężenia średnie (całkowe) w obrębie prostokąta najdującego się pod obsarem obciążanm wg woru: s qη s gdie: η s -współcnnik rokładu naprężenia q L s okład naprężenia i naprężenie średnie s na głębokości pod obsarem prostokątnm obciążonm równomiernie

28 Naprężenia i odkstałcenia,,,4,6,8, η s, Nomogram do wnacania współcnnika η,, 4, 5, /B

29 Naprężenia i odkstałcenia Simplified solution for square loaded areas beneath the centre of the loaded area bearing pressure q B B.76 B q bearing pressure q Simplified solution for circular loaded areas beneath the centre of the loaded area B - diameter.5 B q

30 Naprężenia i odkstałcenia Simplified solution for continuous loaded areas (strip loads) of width B and infinite length beneath the centre of the loaded area q B.8.6 In preliminar analses of vertical stress increase under the center of rectangular loads, geotechnical engineers often use an approimate method (sometimes called the : method). The vertical stress increase under the center of the load is: q s BL The approimate method is reasonabl ( B )( L ) accurate (compared with Boussinesq s elastic solution) when > B

31 Naprężenia i odkstałcenia Chart solutions for rectangular and circular loaded area - pressure bulbs (stress bulbs).

32 Naprężenia i odkstałcenia okład naprężenia w gruncie od diałania obciążenia ciągłego Zastosowanie superpocji do wnacania naprężenia od obciążenia ciągłego. P Obsar obciążon dieli się na mniejse element, w środku elementów prkłada się astępce sił skupione. P BnB i r PqL i B i LmL i Wartość naprężenia pionowego normalnego w dowolnm punkcie ośrodka gruntowego obciążonego wnaca się na podstawie woru Boussinesqa: π P r 5

33 M Naprężenia i odkstałcenia Wnacanie naprężenia pod narożem prostokątnego obsaru obciążonego d r d B dp Wnacanie naprężeń pionowch od obciążenia ciągłego a pomocą elementarnch astępcch sił skupionch. d L Na danm obsare A wdiela się nieskońcenie mał element o polu da d d; elementarna siła dp qda wwołuje w ropatrwanm punkcie M na głębokości poniżej powierchni półprestreni elementarne naprężenie: d π dp Naprężenie pionowe w ropatrwanm punkcie M od obciążenia ciągłego diałającego w obsare A wnosi: LB π qdd r 5 5

34 Naprężenia i odkstałcenia Geotechnical Engineering: Principles and Practices includes the following computer software: STESSP - Geostatic and induced stresses beneath a point load STESSL - Geostatic and induced stresses beneath a line load STESS - Geostatic and induced stresses beneath a rectangular area load STESSC - Geostatic and induced stresses beneath a circular area load

35 JOB TITLE :. Naprężenia i odkstałcenia FLAC (Version 4.) LEGEND -Oct-4 8:48 step E << 7.58E -4.6E <<.9E YY-stress contours -.E5-9.E4-7.E4-5.E4 -.E4 -.E4 Contour interval.e4 Net Applied Forces Ma Vector 5.E E Marek Cala Katedra Geomechaniki Naprężenia pionowe wwołane siłą P 5 kn.

36 Naprężenia i odkstałcenia JOB TITLE :. FLAC (Version 4.) LEGEND. -Oct-4 8:5 step 687.9E << 8.78E -6.66E << 8.99E- YY-stress contours -4.5E4-4.E4 -.5E4 -.E4 -.5E4 -.E4 -.5E4 -.E4-5.E.E Contour interval 5.E Net Applied Forces Ma Vector.E4 E Marek Cala Katedra Geomechaniki Naprężenia pionowe wwołane obciążeniem ciągłm q 5 kn/mb o serokości m

37 Naprężenia i odkstałcenia Bardo prdatnm i poglądowm sposobem predstawienia stanu naprężenia jest koło Mohra. Znając wartość i kierunek składowch naprężenia i, można wnacć naprężenia normalne i stcne w dowolnm kierunku, stosując następujące wiąki: θ cos θ cos θ sin θ θ sin θ ma

38 Naprężenia i odkstałcenia Wor na naprężenia główne ora ich kierunek: θ tan Transformacja składowch stanu naprężenia. Wartości składowch stanu naprężenia można określić następującch worów: ϕ ϕ sin cos ϕ ϕ sin cos

39 Naprężenia i odkstałcenia Koło Mohra dla odkstałceń γ γ θ γ θ sin θ θ θ θ sin cos cos

40 Naprężenia i odkstałcenia Koło Mohra dla prestrennego stanu naprężenia i odkstałcenia If all the principal stresses are considered (-D), there are three Mohr s circles. However, in general we concern the maimum shear mostl and therefore the major and the minor are onl important. ( - intermediate principal stress.

41 Naprężenia i odkstałcenia Odworowanie Stanu Naprężenia w Układie p q Predstawienie na jednm wkresie wielu stanów naprężenia dokonuje się popre nanosenie punktu, którego współrędne są równe: p q W więksości prpadków naprężenia główne wstępują na pionowch bądź na poiomch płascnach, a atem równania można napisać w postaci: p q Ten sposób predstawienia stanu naprężenia w gruncie sprowada się do naniesienia jednego najwżej leżącego punktu dla q dodatniego lub najniżej leżącego punktu dla q ujemnego na kole Mohra.

42 Naprężenia i odkstałcenia Ścieżki Naprężenia Ścieżka naprężenia to linia prosta lub krwa powstała w wniku połącenia seregu punktów stanu naprężenia naniesionch na wkres, predstawia ciągłość kolejnch stanów naprężenia. a) b) θ A B C D E θ q Ścieżka naprężenia A B C D E p koło Mohra wkres p q Predstawienie kolejnch stanów naprężenia pr więkseniu pionowej składowej naprężenia i stałej wartości składowej

43 Eample problem: Naprężenia i odkstałcenia At some point on the free surface of a machine element, the Cartesian stresses were determined. Construct the Mohr's circle for this state of plane stress to determine the principal stresses and principal directions. MPa 7 MPa o tan θ.4 θ 67.8

44 Literatura Smański A. Wkład mechaniki gruntów i budownictwa iemnego Wiłun Z. Zars geotechniki Lambe T. W. Whitman.V (976, 977) Mechanika gruntów,tom I i II, Arkad, Warsawa Verruijt A.. Soil Mechanics Coduto D.P Geotechnical Engineering. Coduto D.P.. Foundation design. Jarominiak A Lekkie konstrukcje oporowe. Mślińska E.. Laboratorjne badania gruntów. Obrcki M., Pisarck S Zbiór adań mechaniki gruntów.