Ciągi liczbowe. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Transkrypt

1 Ciągi liczbowe Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015

2 Co to są ciągi? Ciąg skończony o wartościach w zbiorze A to dowolna funkcja f: 1,2,, n A Ciąg nieskończony o wartościach w zbiorze A to dowolna funkcja f: N A

3 Co to są ciągi liczbowe? Ciąg liczbowy (lub: rzeczywisty) to ciąg o wartościach rzeczywistych (A R) np.: a n = 1/n Ciąg całkowitoliczbowy: A Z, np. a n = n Ciąg zespolony A C, np. a n = i/n Ciąg funkcyjny: A jest zbiorem pewnych funkcji, np. a n = 1 xn, x > 0

4 Notacja a n n-ty wyraz (lub element) ciągu (n jest indeksem) (a n ) lub {a n } cały ciąg

5 Dlaczego ciągi liczbowe są interesujące? Sumy ciągów skończonych Granice ciągów Sumy ciągów nieskończonych ewentualnie: Iloczyny ciągów (zwłaszcza nieskończonych)

6 Dygresja W wielu językach programowania istnieją dość luźne odpowiedniki ciągów czegokolwiek : krotki (ang. tuples) >> s = {1, "ala", [1, 2; 3, 4]}; # Octave >> s{1} # Indeksowanie liczbami; klamry ans = 1 >> s{2} ans = ala >> s{3} ans =

7 Sumy ciągów skończonych n k=1 k = n(n+1) 2 (ciąg arytmetyczny) n k=1 a k = (a 1+ a n ) 2 n (ciąg arytmetyczny) n k=1 k 2 = n(n+1)(2n+1) 6 (suma kwadratów) n k=1 k 3 = ( k) 2 n k=1 = n2 (n+1) 2 4 (sześciany)

8 Sumy ciągów skończonych n k=0 a k = an+1 1 a 1, dla a 1 (ciąg geometryczny)

9 Sumy ciągów skończonych n k=0 a k = an+1 1 a 1, dla a 1 (ciąg geometryczny) Inne, np.: n k=1 k 2 k = 2(nn n 2 n + 1) n k=0 k n k = nnn 1

10 Sumy ciągów skończonych Wzory na sumy ciągów skończonych, jeśli istnieją, najłatwiej odczytać z programów typu Wofram Alpha, Maxima, Mathematica, etc.

11 Sumy ciągów skończonych Wartość sumy ciągu skończonego najłatwiej obliczyć w programach typu Octave/Wolfram Alpha etc. >> N = N = >> sum (1./(1:N)) # suma 1/k, k = 1,2,,N ans =

12 Sumy ciągów skończonych Wartość sumy ciągu skończonego najłatwiej obliczyć w programach typu Octave/Wolfram Alpha etc.

13 Dygresja: konwencja sumacyjna W niektórych obszarach nauki i techniki powszechnie stosuje się konwencję sumacyjną Einsteina: jeśli w wyrażeniu objętym sumą indeks sumowania powtarza się w dwóch czynnikach, to znak sumy pomija się. Przykład: 3 y i = a ij x j j=1 można uprościć tak: y i = a ij x j

14 Sumy częściowe Sumy częściowe ciągu w Octave: >> a = [1,2,3,4,5]; >> s = cumsum(a) s = >> s2 = cumsum(s) s2 =

15 Ciąg różnicowy Ciąg różnicowy ciągu a 1, a 2,, a n to ciąg (b n ) = a 2 a 1, a 3 a 2,, a n a n 1. Octave: polecenie diff x = [0, 5, 12, 21, 32, 45, 60, 77, 96, 117]; >> diff (x) ans = diff (ans) ans =

16 Ciąg różnicowy Jeśli k-ty ciąg różnicowy ciągu (a n ) jest stały (i różny od ciągu zer), to ciąg (a n ) można zapisać jako wielomian stopnia k: a n = W k n przykład x = [0, 5, 12, 21, 32, 45, 60, 77, 96, 117]; >> diff (diff(x)) ans = więc x(n) jest wielomianem stopnia 2.

17 Ciąg różnicowy Jeśli k-ty ciąg różnicowy, (b n ), ciągu (a n ) jest stały, b n = c, gdzie c 0, to ciąg (a n ) jest wielomianem stopnia k względem n oraz a n = c k! nk + W k 1 n >> diff (diff(x)) # drugi ciąg różnicowy ciągu x ans = więc x n = 2 2! n2 + w 1 n + w 0 = n 2 + w 1 n + w 0.

18 Najważniejsza część wykładu: GRANICE CIĄGÓW

19 Granica ciągu Elementy niektórych ciągów nieskończonych zbliżają się do pewnej wartości, zwanej jej granicą Przykład: a n = 1/n; 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, elementy tego ciągu coraz bardziej zbliżają się do zera, które jest jego granicą

20 Zapis lim n 1 n = 0 1 n n 0 granica ciągu 1/n przy n dążącym do nieskończoności równa się zero

21 Definicja formalna Ciąg (a n ) ma granicę c wtedy i tylko wtedy, gdy ε > 0 m N k > m a k c < ε (lub )oznacza dla każdego (ang. for All) (lub ) oznacza istnieje (ang. Exists)

22 Definicja nieformalna Ciąg (a n ) ma granicę c wtedy i tylko wtedy, jeśli zastąpienie jego wyrazów liczbą c spowoduje dowolnie mały błąd ( epsilon ) wszędzie z wyjątkiem być może skończonej liczby jego wyrazów (zwykle leżących na początku ciągu)

23 Ciąg zbieżny Mówimy, że ciąg jest zbieżny, jeśli posiada granicę W przeciwnym wypadku ciąg jest rozbieżny

24 Jak obliczać granice ciągów? Najłatwiej: W pamięci (łatwe przypadki, np. 1/n) Wolfram Alpha, Maxima, Mathematica,

25 Funkcje wymierne Funkcje wymierne to ilorazy 2 wielomianów Przykład: a n = 2n3 + 3n 2 4n 5 n 3 + 2n 2 + 3n + 4

26 Funkcje wymierne Funkcje wymierne to ilorazy 2 wielomianów Przykład: a n = 2n3 + 3n 2 4n 5 n 3 + 2n 2 + 3n + 4 n3 n 3 a n = n 4 n 2 5 n n + 3 n n 3 n 2 1 = 2

27 Funkcje wymierne Jeśli ciąg a n zadany jest funkcją wymierną, to z obu wielomianów wystarczy wziąć wyrazy z największą potęgą indeksu: 3n 2 4n 5 a n = n 3 + 2n 2 + 3n + 4 a n ~ 3n2 n 3 = 3 n 0 n Rozwiązanie znajdujemy znacznie szybciej ręcznie niż w programie komputerowym!

28 Składnik wiodący a n = 2 n 4n 5 2 n + 2n 2 + 3n + 4 a n ~ 2n 2 n = 1 n 1 Funkcja potęgowa a n dla a > 1 rośnie szybciej niż każdy wielomian Rozwiązanie znajdujemy znacznie szybciej ręcznie niż w programie komputerowym!

29 Granica wymierna a n = a n n, a 1 = 0.3 a n = 0.3, 0.33, 0.333, , a n 1 3 Granica tego ciągu liczb wymiernych też jest wymierna

30 Granica niewymierna a 1 = 0.1 a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 = a n Granica tego ciągu liczb wymiernych jest niewymierna (dlaczego?)

31 Liczby rzeczywiste Zbiór liczb rzeczywistych można zdefiniować jako zbiór wszystkich granic ciągów liczb wymiernych Każda liczba rzeczywista jest granicą pewnego ciągu liczb wymiernych, np. swoich kolejnych rozwinięć dziesiętnych Przykład: 3, 3.1, 3.14, 3.141, , π Jeżeli ciąg rzeczywisty ma granicę, to jest ona rzeczywista

32 Liczba π a 1 = 4 a 2 = = 8 3 a 3 = = a 4 = = a n = a n a n π 1 n+1 2n 1

33 Liczba e a 1 = 1 a 2 = ! = 2 a 3 = ! + 1 2! = 5 2 = 2.5 a 4 = ! + 1 2! + 1 3! = a 5 = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! = a n e =

34 Liczba e a 1 = a 2 = = 2 = 9 4 = 2.25 a 3 = a n = n 3 n = e =

35 Liczba 1/e a n = 1 1 n n 1/e

36 Sprawdzamy: 2 1 x 1 = 0, x n = 1 + x n x n 2 = x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 4 3, x 4 = 10 7, x 5 = 24 17, x 6 = 58 41, x 7 = , x 8 = , x 9 = , x 10 = , x 11 =

37 Granice niewłaściwe Ciąg o dowolnie dużych elementach ma granicę niewłaściwą oznaczaną symbolem Ciąg o dowolnie małych elementach ma granicę niewłaściwą oznaczaną symbolem

38 Definicja formalna Ciąg (a n ) ma granicę niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy δ > 0 m N k > m a k > δ Ciąg (a n ) ma granicę niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy δ > 0 m N k > m a k < δ

39 Granice niewłaściwe przykłady a n = n b n = 2 n 3 n a n b n

40 Brak granicy Nie każdy ciąg ma granicę: a n = 1 n 1, 1, 1,1, 1,1, a n = sin (n)

41 Granica ±,, ciągów Jeśli lim a n = c oraz n to lim b n = d oraz e R n lim a n ± b n = c ± d n lim a nb n = c d n lim n lim e a n = ee, n a n b n = c d (o ile d 0) lim n e + a n = e + a

42 Wyrażenie nieoznaczone 0 0 Jeśli to lim n a n = 0 oraz lim n a n b n lim b n = 0 n nazywamy wyrażeniem nieoznaczonym typu 0/0. W tym przypadku ciąg a n b n może mieć granicę skończoną, niewłaściwą lub nie mieć granicy

43 0 Przykłady: 0 a n = sin 1 n 0 b n = 1 n 0 wtedy lim n a n (a n ) 2 = 1, lim b n n b n = 0, lim n a n b n 2 =

44 Wyrażenia nieoznaczone W tych przypadkach znajomość granicy poszczególnych ciągów nie daje żadnych informacji o granicy wyrażeń nieoznaczonych zbudowanych z tych ciągów

45 Szeregi Niech (a n ) będzie ciągiem. Ciąg (s n ) jego sum częściowych, n s n = a i i=1 nazywamy szeregiem, a jego granicę (jeśli istnieje i jest właściwa) jego sumą.

46 k=1 Szeregi przykłady 1 k+1 k = = ln 2 1 k 2 = = π2 6 k=1 1 k! = ! 1! + 1 2! + 1 3! + = e k=0 0! 1

47 Bardzo znane szeregi Szereg geometryczny q k k=1 jest zbieżny tylko dla q < 1.

48 Bardzo znane szeregi Szereg potęgowy 1 k q k=1 jest zbieżny tylko dla q > 1

49 Bardzo znane szeregi Szereg harmoniczny 1 k k=1 jest rozbieżny do nieskończoności

50 Szereg przemienny W szeregu przemiennym co drugi wyraz jest dodatni, a co drugi ujemny k=1 1 k+1 k 2 = = π2 12 Jeśli (a n ) jest nierosnący i a n 0, to szereg k=1 1 k+1 a k jest zbieżny

51 Jak obliczać sumy szeregów?

52 Jak obliczać sumy szeregów?

53 Jak obliczać sumy szeregów?

54 Jak obliczać sumy szeregów?

55 Szybkość zbieżności Na zwykłym wykresie funkcja liniowa f x = aa + b jest linią prostą: f x = 55 lll x + 11 f x = f x = x f x = x2 55

56 Szybkość zbieżności Na wykresie półlogarytmicznym log-lin funkcja f x = a lll x + b jest linią prostą: f x = 55 lll x + 11 f x = f x = x f x = x2 55

57 Szybkość zbieżności Na wykresie półlogarytmicznym lin-log funkcja wykładnicza f x = a b x jest linią prostą: f x = 55 lll x + 11 f x = f x = x f x = x2 55

58 Szybkość zbieżności Na wykresie podwójnie logarytmicznym (log-log) funkcja potęgowa f x = ax b jest linią prostą: f x = 55 lll x + 11 f x = f x = x f x = x2 55

59 Szybkość zbieżności Reasumując, za pomocą zwykłych wykresów można szacować, czy wiodący czynnik w jakiejś zależności ma charakter: linowy, f x = aa + b, logarytmiczny, f x = a log x + b, wykładniczy, f x = b a x, potęgowy, f x = ax b. Wartości a i b można odczytać z parametrów linii prostej na wykresie danego rodzaju

60 Przykład Jak numerycznie uprawdopodobnić tezę, że dla? lim a n = 1 n a n = sin 1 n 1 n

61 Przykład Niech b n = a n 1 (czyli tworzymy ciąg, o którym sądzimy, że jest zbieżny do 0). Rysujemy b n na rysunkach lin-lin, lin-log, log-lin i log-log, szukając linii prostej

62 >> n = 1:1000; >> y = abs(sin(1./n)./(1./n) - 1); # sin(1/n)/(1/n)-1 >> plot (y, "+-;lin-lin;"); >> xlim([0,20]); >> pause (2); >> semilogx (y, "+-;log-lin;"); >> pause(2); >> semilogy (y, "+-;lin-log;"); >> pause(2); >> loglog (y, "+-;log-log;")

63 Wykres log-log Czyli a n zbliża się do 1 jak A x B. Ile może wynosić B? Wykres zanika 2 razy szybciej na osi y niż x, czyli B 2. Próbujemy!

64 Bingo! Wykres log-log

65 Wykres log-log Czyli a n 1 A/n 2 Można łatwo pokazać, że A 1/6 Czyli a n 1 1 6n 2

66 Wykres log-log a n 1 1 6n 2 to samo szybciej pokazuje Wolfram Alpha: ale pokazany powyżej sposób badania ciągów jest bardziej uniwersalny, można go stosować m.in. do żywych danych doświadczalnych

67 Nie wszystko policzysz gotowymi programami

68 Dygresja na koniec Tak jak definiuje się nieskończone sumy, tak też definiuje się nieskończone iloczyny. Słynne przykłady: k=1 2k 2k 1 2k 2k + 1 = π = 2 π