Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski"

Transkrypt

1 Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski

2

3 ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale (a, b). Pisząc x, x 0, x + itp. mamy zawsze na uwadze tylko te wartości tyc zmiennyc, które należą do przedziału (a, b). Definicja 6.1. Niec f : (a, b) R będzie daną funkcją, x 0 dowolnym punktem z przedziału (a, b). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 o przyroście różnym od zera nazywamy wyrażenie Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x 0 D f (x 0, ) = f(x 0 + ) f(x 0 ). ( δ, +δ) \ {0}, gdzie δ jest pewną liczbą dodatnią. Zapiszemy teraz ten iloraz w nieco innej postaci. Oznaczmy x = x 0 +. Wtedy = x x 0 i iloraz różnicowy przyjmuje postać D(f, x 0, x) = f(x) f(x 0) x x 0. jest więc pewną funkcją określoną w zbiorze Tak zapisany iloraz różnicowy jest funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 } punktu x 0. czyli Definicja 6.2. Jeśli istnieje granica D(f, x 0, x), x x 0 f(x) f(x 0 ), x x 0 x x 0 to granicę tę nazywamy pocodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy symbolem f (x 0 ). Jeśli istnieje granica lewostronna ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x 0, to granicę tę nazywamy pocodną lewostronną funkcji f w punkcie x 0 ; oznaczamy ją symbolem f (x 0 ). Jeśli istnieje granica prawostronna ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x 0, to granicę tę nazywamy pocodną prawostronną funkcji f w punkcie x 0 oraz oznaczamy ją symbolem f +(x 0 ).

4 48 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 6.3. Funkcję f określoną w pewnym otoczeniu (a, b) punktu x nazywamy różniczkowalną w punkcie x, jeśli istnieje skończona pocodna funkcji funkcji f w tym punkcie. Twierdzenie 6.1. Niec f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu (a, b) punktu x. Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby a i δ > 0 i funkcja ϕ określona w pewnym sąsiedztwie zera takie, że gdzie 0 ϕ() = 0. Wtedy f (x) = a. f(x + ) = f(x) + a + ϕ(), Twierdzenie 6.2. Każda funkcja różniczkowalna w punkcie jest w tym punkcie ciągła. Twierdzenie 6.3. Niec funkcje f i g będą różniczkowalne w pewnym punkcie x i c będzie liczbą rzeczywistą. Wtedy funkcje f + g, f g, f g, c f są różniczkowalne oraz (f + g) (x) = f (x) + g (x), (f g) (x) = f (x) g (x), (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x), (c f) (x) = c f (x). Twierdzenie 6.4. Niec funkcja g : (a, b) R będzie różniczkowalna w pewnym punkcie x (a, b), dla którego g(x) 0. Wtedy funkcja 1 jest różniczkowalna oraz g ( ) 1 (x) = g (x) g g 2 (x). Z powyższego twierdzenia oraz twierdzenia 7.3. wynika teraz bezpośrednio następujący wniosek. Twierdzenie 6.5. Niec funkcje f i g określone w pewnym otoczeniu punktu x będą różniczkowalne w punkcie x i g(x) 0. Wtedy różniczkowalna jest funkcja f g oraz ( ) f (x) = f (x) g(x) f(x) g (x). g g 2 (x) Definicja 6.4. Jeżeli funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcję przyjmującą w każdym punkcie x (a, b) wartość pocodnej funkcji f w tym punkcie (a, b) nazywamy funkcją pocodną (lub krótko pocodną) funkcji f. Funkcję tę oznaczamy symbolem f.

5 Notatki z analizy 49 Twierdzenie 6.6. Niec funkcje f : (a, b) (c, d) i g : (c, d) R będą różniczkowalne; funkcja f w punkcie x 0 (a, b), natomiast funkcja g w punkcie f(x 0 ). Wtedy funkcja g f jest różniczkowalna w punkcie x 0 i (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). Twierdzenie 6.7. Niec funkcja f : (a, b) R będzie ciągła i rosnąca (malejąca) oraz różniczkowalna w punkcie x (a, b). Jeżeli f (x) 0, to funkcja f 1 jest różniczkowalna w punkcie f(x) i ( f 1 ) (f(x)) = 1 f (x). Podamy teraz kilka podstawowyc wzorów na pocodne najczęściej używanyc funkcji. (x n ) = n x n 1 gdy x R, ( ) 1 x = 2 x gdy x (0, ), (sin x) = cos x gdy x R, (cos x) = sin x gdy x R, (e x ) = e x gdy x R, (ln x) = 1 gdy x Wzory te wynikają z następującyc racunków. x (0, ). mamy Dla każdej liczby rzeczywistej x, każdej liczby naturalnej n i każdej liczby różnej od zera (x + ) n x n = 1 n i=1 ( n i ( n i=0 ) ( ) n )x n i i x n = i x n i i 1. Wynika stąd, że poniższa granica istnieje i spełnione są równości (x + ) n x n ( ) n n = x n i i 1 = nx n i i=1 Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej x oraz każdej liczby różnej od zera i takiej, że x + > 0 mamy x + x więc poniższa granica istnieje i x + x 0 = ( x + + x ) = 1 x + + x, = 0 1 x + + x = 1 2 x.

6 50 Jacek M. Jędrzejewski Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby różnej od zera mamy więc poniższa granica istnieje i sin(x + ) sin x sin(x + ) sin x 0 = 2 sin 2 = 0 2 sin 2 2x+ cos 2, cos 2x+ 2 Podobnie dowodzi się wzoru na pocodną funkcji cosinus. = cos x. Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby różnej od zera mamy e x+ e x = e x e 1, więc z własności granic wynika, że poniższe granice istnieją i e x+ e x 0 = e x 0 e 1 = e x. Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej, więc na mocy twierdzenia poprzedniego i własności tyc funkcji wynika, że jeśli przyjmiemy oznaczenia x = e t gdy t R, to (ln x) = 1 (e t ) = 1 e t = 1 x. Przypomnijmy tu definicję stycznej do wykresu funkcji. Definicja 6.5. Prosta l nazywa się prostą styczną do wykresu funkcji f : (a, b) R w punkcie (x 0, y 0 ), gdzie x 0 (a, b) i y 0 = f(x 0 ), jeśli stosunek odległości dowolnego punktu (x, f(x)) wykresu funkcji f od prostej l do odległości tego punktu od (x 0, f(x 0 )) ma granicę przy x dążącym do x 0 i granica ta jest równa zeru. Symbolicznie: ϱ(p, l) P P 0 ϱ(p, P 0 ) = 0, gdzie P = (x, f(x)), P 0 = (x 0, f(x 0 )) i ϱ oznacza odległość euklidesową na płaszczyźnie. Twierdzenie 6.8. Jeśli funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w pewnym punkcie x 0 (a, b), to istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) i równanie tej stycznej ma postać: y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ). Twierdzenie 6.9. Jeśli prosta L o równaniu y = mx + n jest styczna do wykresu funkcji f : (a, b) R w punkcie (x 0, f(x 0 )) dla pewnego x 0 (a, b), to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 i jej pocodna w tym punkcie jest równa m.

7 Notatki z analizy Twierdzenia o wartości średniej Punkt x 0 (a, b) nazywamy punktem, w którym funkcja f : (a, b) R ma maksimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie (x 0 δ, x 0 + δ) zawarte w (a, b) takie, że f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ). Punkt x 0 (a, b) nazywamy punktem, w którym funkcja f : (a, b) R ma minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie (x 0 δ, x 0 + δ) takie, że Podamy teraz warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji różniczkowalnyc. f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ). Twierdzenie Jeśli funkcja f : [a, b] R jest różniczkowalna w przedziale [a, b] i ma w pewnym punkcie x 0 (a, b) ekstremum lokalne, to f (x 0 ) = 0. Twierdzenie (Rolle) Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła w przedziale [a, b] i różniczkowalna w przedziale (a, b) oraz f(a) = f(b), to istnieje punkt ξ (a, b) taki, że f (ξ) = 0. Twierdzenie (Lagrange) Niec funkcja f : [a, b] R będzie ciągła w przedziale [a, b] i różniczkowalna w przedziale (a, b). Wtedy istnieje punkt ξ (a, b) taki, że f (ξ) = f(b) f(a). b a Wniosek 6.1. Jeśli ciągła funkcja f : [a, b] R ma pocodną równą zero w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f jest stała. Wniosek 6.2. Jeśli ciągła funkcja f : [a, b] R ma pocodną nieujemną w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f jest niemalejąca. Podobnie dowodzi się, że jeśli funkcja f : [a, b] R ma pocodną niedodatnią w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f jest nierosnąca. Twierdzenie (Caucy) Niec funkcje f : [a, b] R i g : [a, b] R będą ciągłe w całej dziedzinie i różniczkowalne w przedziale (a, b). Jeśli g (x) 0, dla x (a, b), to istnieje punkt ξ (a, b) taki, że f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a).

8 52 Jacek M. Jędrzejewski Twierdzenie (Darboux) Jeśli funkcja f : [a, b] R jest różniczkowalna w przedziale [a, b] i f (a) < 0 < f (b), to istnieje punkt x 0 (a, b) taki, że f (x 0 ) = 0. Korzystając z powyższego twierdzenia łatwo uzyskujemy następujący wniosek. Wniosek 6.3. Jeśli funkcja f : [a, b] R jest różniczkowalna, to jej pocodna ma własność Darboux. Twierdzenie Niec funkcje 3. Reguły de l Hospitala f : [a, b] R i g : [a, b] R będą ciągłe w całej dziedzinie i różniczkowalne w przedziale (a, b). Niec ponadto g(x) 0 dla x (a, b) i f(a) = g(a) = 0. Jeśli istnieje granica f (x) x a +, to istnieje granica g (x) x a f(x) + g(x) oraz f(x) x a + g(x) = f (x) x a + g (x). Twierdzenie Niec funkcje f : (a, b) R i g : (a, b) R będą ciągłe i różniczkowalne w przedziale (a, b). Niec ponadto Jeśli g(x) 0 gdy x (a, b). f(x) = g(x) = x a + x a + i istnieje granica x a + f (x) g (x) = α, to istnieje też granica x a + f(x) g(x) oraz Twierdzenie Niec funkcje f(x) x a + g(x) = f (x) x a + g (x). f : (a, ) R i g : (a, ) R będą ciągłe i różniczkowalne w przedziale (a, ), gdzie a > 0. Niec ponadto g(x) 0 dla x (a, ) i Jeśli istnieje granica to istnieje granica f(x) = g(x) = 0. x x f (x) x g (x), x f(x) g(x)

9 oraz Twierdzenie Niec funkcje Notatki z analizy 53 f(x) x g(x) = f (x) x g (x). f : (a, ) R i g : (a, ) R będą ciągłe i różniczkowalne w przedziale (a, ). Niec ponadto g(x) 0 gdy x (a, ). Jeśli x f(x) = x g(x) = i istnieje granica to istnieje granica oraz f (x) x g (x), f(x) x g(x) f(x) x g(x) = f (x) x g (x). Podobnie, dowodzi się, że powyższe własności są prawdziwe dla granic lewostronnyc oraz granic obustronnyc, jak również w minus nieskończoności. 4. Pocodne wyższyc rzędów, wzór Taylora Załóżmy teraz, że funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w całym przedziale (a, b). Ma więc funkcję pocodną. Jeśli ta pocodna sama jest różniczkowalna w pewnym punkcie x przedziału (a, b), to nazywamy ją drugą pocodną funkcji f lub pocodną drugiego rzędu funkcji f w punkcie x i oznaczamy symbolem f (x) lub f (2) (x). Przyjmujemy oznaczenie f (0) (x) = f(x). Zakładając, że funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w (a, b), możemy zdefiniować pocodną trzeciego rzędu funkcji f jako pocodną drugiej pocodnej. Indukcyjnie, n-ta pocodna funkcji f w punkcie x jest określana jako pocodna (n 1)-szej pocodnej funkcji f; n-tą pocodną funkcji f w punkcie x oznaczamy symbolem f (n) (x). Powołując się na racunkowe wzory na pocodnyc, przy odpowiednic założeniac o n- krotnej różniczkowalności funkcji f i g w otoczeniu punktu x, dowodzi się indukcyjnie następującyc równości: (f + g) (n) (x) = f (n) (x) + g (n) (x), (f g) (n) (x) = f (n) (x) g (n) (x), (c f) (n) (x) = c f (n) (x), gdzie c R,

10 54 Jacek M. Jędrzejewski Twierdzenie (Taylor) Niec f będzie funkcją n-krotnie różniczkowalną w pewnym otoczeniu przedziału [a, b]. Wtedy istnieje w przedziale (a, b) punkt ξ taki, że gdzie f (1) (a) 1! f(b) f(a) = R n + (b a) + f (2) (a) (b a) f (n 1) (a) 2! (n 1)! (b a)n 1, R n = f (n) (ξ) n! (b a) n. R n z powyższego twierdzenia nazywamy resztą przedstawioną w postaci Lagrange a. Twierdzenie (Maclaurin) Jeśli funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu przedziału [a, b] zawierającego 0, to dla dowolnego x (a, b) istnieje liczba θ (0, 1) taka, że gdzie f (1) (0) 1! x + f (2) (0) 2! f(x) f(0) = x f (n 1) (0) (n 1)! xn 1 + R n, R n = f (n) (θx) n! x n. Powyższe twierdzenie jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Taylora. Z twierdzenia Maclaurina wynika twierdzenie pozwalające rozwinąć w szereg potęgowy funkcję nieskończenie wiele razy różniczkowalną. Twierdzenie Niec funkcja f ma pocodne wszystkic rzędów w pewnym otoczeniu przedziału [a, b] zawierającego 0. Jeśli ciąg reszt (R n ) n=1 ze wzoru Maclaurina dąży do zera przy n dążącym do nieskończoności, to f(x) = n=0 f (n) (0) n! Twierdzenie Jeśli funkcja f ma pocodne wszystkic rzędów w pewnym otoczeniu przedziału [a, b] zawierającego 0 i istnieje dodatnia stała K taka, że f (n) (t) K dla t [a, b], to f(x) = n=0 f (n) (0) n! x n. x n. 5. Zastosowania pocodnyc W tym paragrafie zakładać będziemy o funkcji tyle własności ile potrzeba. Najczęściej będzie ona różniczkowalna tyle razy ile tego będzie wymagało odpowiednie twierdzenie. Najpierw zajmiemy się zbadaniem warunków istnienia punktów ekstremalnyc funkcji różniczkowalnej. Twierdzenie podaje warunek konieczny istnienia ekstremum dla funkcji różniczkowalnej. Podamy teraz warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej.

11 Notatki z analizy 55 Twierdzenie (Warunek dostateczny istnienia ekstremum) Jeśli f : (a, b) R jest funkcją różniczkowalną i f (x 0 ) = 0 dla pewnego punktu x 0 (a, b) oraz istnieje liczba δ > 0 taka, że f (x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne. Jeśli zaś istnieje δ > 0 taka, że f (x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne. Twierdzenie (II warunek dostateczny istnienia ekstremum) Niec f : (a, b) R będzie funkcją mającą drugą pocodną ciągłą w przedziale (a, b). Jeśli dla pewnego punktu x 0 (a, b) f (x 0 ) = 0 i f (x 0 ) 0, to funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne i to maksimum, gdy f (x 0 ) < 0, zaś gdy f (x 0 ) > 0, to minimum lokalne. Powyższe twierdzenie można uogólnić w sposób następujący. Twierdzenie Niec f : (a, b) R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w punkcie x 0 (a, b). Jeśli f (x 0 ) = 0 i f (x 0 ) 0, to funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne i to maksimum, gdy f (x 0 ) < 0, zaś gdy f (x 0 ) > 0, to f ma minimum lokalne. Podamy teraz jeszcze warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji n-krotnie różniczkowalnej. Twierdzenie Niec f : (a, b) R będzie funkcją n-krotnie różniczkowalną, gdzie n > 1. Jeśli x 0 (a, b) i f (k) (x 0 ) = 0, gdy k {1, 2,..., n 1} oraz f (n) (x 0 ) 0, to: (1) jeśli n jest liczbą parzystą, to funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne i to maksimum lokalne, gdy f (n) (x 0 ) < 0, zaś gdy f (n) (x 0 ) > 0, to minimum lokalne.

12 56 Jacek M. Jędrzejewski (2) jeśli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie x 0. Definicja 6.6. Niec f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną. Jeśli dla pewnego punktu x 0 (a, b) istnieje δ > 0 taka, że f (x 0 ) x + f(x 0 ) f (x 0 ) x 0 f(x) dla x (x 0, x 0 + δ) oraz f (x 0 ) x + f(x 0 ) f (x 0 ) x 0 f(x) dla x (x 0 δ, x 0 ), albo f (x 0 ) x + f(x 0 ) f (x 0 ) x 0 f(x) dla x (x 0, x 0 + δ) oraz f (x 0 ) x + f(x 0 ) f (x 0 ) x 0 f(x) dla x (x 0 δ, x 0 ), albo f (x 0 =, to x 0 nazywamy punktem przegięcia funkcji f. Twierdzenie Jeśli funkcja f : (a, b) R ma skończoną drugą pocodną w punkcie x 0 oraz x 0 jest punktem przegięcia funkcji f, to f (2) (x 0 ) = 0. Twierdzenie Jeśli funkcja f : (a, b) R ma skończoną drugą pocodną w sąsiedztwie punktu x 0 i istnieje δ > 0 takie, że f (x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ] i f (x) 0 dla x [x 0, x 0 + δ) albo f (x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ] i f (x) 0 dla x [x 0, x 0 + δ), to funkcja f ma w punkcie x 0 punkt przegięcia. Twierdzenie Niec f : (a, b) R ma n pocodnyc ciągłyc, gdzie n > 2. Załóżmy ponadto, że f (k) (x 0 ) = 0, gdy k {2,..., n 1}, i f (n) (x 0 ) 0, dla pewnego punktu x 0 (a, b). Wtedy 1) jeśli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja f ma w x 0 punkt przegięcia, 2) jeśli n jest liczbą parzystą, to x 0 nie jest punktem przegięcia funkcji f.

13 Notatki z analizy 57 Definicja 6.7. Funkcję f : (a, b) R nazywamy wypukłą w przedziale (a, b), jeśli dla dowolnyc punktów x 1, x 2 (a, b) i dowolnyc liczb α, β 0 takic, że α + β = 1 spełniona jest nierówność f(αx 1 + βx 2 ) α f(x 1 ) + β f(x 2 ). Funkcję f : (a, b) R nazywamy wklęsłą w przedziale (a, b), jeśli dla dowolnyc punktów x 1, x 2 (a, b) i dowolnyc liczb nieujemnyc α, β takic, że α+β = 1 spełniona jest nierówność Warunki te można zapisać jako: dla funkcji wypukłej i dla funkcji wklęsłej. f(αx 1 + βx 2 ) α f(x 1 ) + β f(x 2 ). x 1,x 2 (a,b) t (0,1) (f(tx 1 + (1 t)x 2 )) t f(x 1 ) + (1 t) f(x 2 ) x 1,x 2 (a,b) t (0,1) (f(tx 1 + (1 t)x 2 )) t f(x 1 ) + (1 t) f(x 2 ) Łatwo zauważamy, że jeśli funkcja f jest wypukła w przedziale (a, b), to funkcja f jest wklęsła w tym przedziale i odwrotnie, jeśli f jest wklęsła w przedziale (a, b), to funkcja f jest wypukła w tym przedziale. Twierdzenie Każda funkcja f : (a, b) R wypukła jest ciągła w każdym punkcie przedziału (a, b). Twierdzenie Funkcja f : (a, b) R różniczkowalna w przedziale (a, b) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest niemalejąca. Podobnie można udowodnić następujące twierdzenie. Twierdzenie Każda funkcja f : (a, b) R różniczkowalna w przedziale (a, b) jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest nierosnąca. Twierdzenie Jeśli funkcja f : (a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b), to: (1) f jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy f 0; (2) f jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy f 0. Te własności pozwalają na dokładną analizę zacowania się funkcji różniczkowalnej. Przy ic pomocy możemy wyznaczać punkty ekstremalne, punkty przegięcia, przedziały monotoniczności oraz przedziały wypukłości, a poprzednio poznane własności asymptot umożliwiają nam na umiejscowienie wykresu funkcji na płaszczyźnie z układem współrzędnyc. Tego typu analiza funkcji nosi często nazwę badanie funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne pierwszego rzędu

1 Pochodne pierwszego rzędu Pocodne pierwszego rzędu. Podstawowe definicje Def. Niec funkcja f będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt a. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a dla przyrostu nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji 4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Funkcje Różniczkowalne - ciąg dalszy. są różniczkowalne w punkcie p i zachodzą wzory:

Wykład 6. Funkcje Różniczkowalne - ciąg dalszy. są różniczkowalne w punkcie p i zachodzą wzory: Wykład 6 Funkcje Różniczkowalne - cią dalszy Twierdzenie o arytmetycznyc własnościac pocodnej Załóżmy, że funkcje f i są różniczkowalne w punkcie p. Wtedy funkcje f +, f, f, i, jeśli ( p) 0, to również

Bardziej szczegółowo

( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb

( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,

Bardziej szczegółowo

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze. 1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że 4. Równania Caucy ego Riemanna Niec Ω C będzie zbiorem otwartym i niec f : Ω C. Mówimy, że f ma w punkcie a Ω pocodną w sensie zespolonym (jest olomorficzna w a równą c C, jeśli f(z f(a lim = c. z a Piszemy

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora

Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora Analiza Matematyczna Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna

Analiza matematyczna Analiza matematyczna Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Statystyki Zakład Statystyki Funkcje Podstawowe pojęcia Funkcje Definicja (Funkcja) Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4 Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Funkcja liniowa Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji 27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5 Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy. Rozdział Pojęcie pochodnej

Rachunek różniczkowy. Rozdział Pojęcie pochodnej Rozdział 6 Rachunek różniczkowy Bardzo ważnym działem Analizy Matematycznej jest rachunek różniczkowy. Poznając go, opanujemy narzędzia, umożiwiające systematyczne badanie zachowania odpowiednio regularnych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................

Bardziej szczegółowo

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA

FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy

Bardziej szczegółowo

Dariusz Jakóbczak Podstawy analizy matematycznej

Dariusz Jakóbczak Podstawy analizy matematycznej Dariusz Jakóbczak Podstawy analizy matematycznej skrypt Wydziału Elektroniki i Informatyki Politechniki Koszalińskiej Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Koszalińskiej Koszalin 2007 1 Spis treści Literatura...3

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Lista 0 wstęp do matematyki

Lista 0 wstęp do matematyki dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]

Bardziej szczegółowo