Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski"

Transkrypt

1 Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski

2

3

4 Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ 3 Szeregi liczbowe n S n = a k. Uporządkowaną parę ciągów ((a n ) n=1, (S n) n=1 ) nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem a k. Jeśli ciąg (S n ) n=1 jest zbieżny do pewnej liczby s, to szereg a k nazywamy zbieżnym do s. Granicę tę nazywamy sumą tego szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy szeregiem rozbieżnym. Rozważmy ciąg (a n ) n=1, gdzie a n = 1. Ze znanych wzorów dla ciągu geometrycznego 2 n wynika, że S n = ( ) n Stąd już bezpośrednio stwierdzamy, że szereg 1 jest zbieżny i jego granicą jest liczba 1. 2 k Niech (a n ) n=1 będzie dowolnym ciągiem geometrycznym o ilorazie q, gdzie q 1. Wtedy S n = a 1 1 qn 1 q. Z własności granic ciągów wnioskujemy, że szereg geometryczny a 1 q k 1 jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy q ( 1, 1). W pozostałych przypadkach szereg jest rozbieżny. Sumą tego szeregu (gdy q ( 1, 1)) jest a 1 1 q. Twierdzenie 3.1. Jeśli szereg a k jest zbieżny, to ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny do zera. Twierdzenie 3.2. (Cauchy) Szereg a k jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 n 0 n>m>n 0 ( a m a n < ε).

5 28 Jacek M. Jędrzejewski Dla szeregu zbieżnego a k i dowolnego n N określamy tzw. n-tą resztę szeregu następująco: r n = a k. k=n+1 Twierdzenie 3.3. Ciąg (r n ) n=1 reszt szeregu zbieżnego jest zbieżny do zera. Twierdzenie 3.4. (Kryterium porównawcze zbieżności szeregów liczbowych) Załóżmy, że ciągi (a n ) n=1 i (b n) n=1 Wtedy spełniają warunek n 0 n>n 0 (0 a n b n ). (1) jeśli szereg b k jest zbieżny, to szereg a k też jest zbieżny; (2) jeśli szereg a k jest rozbieżny, to szereg b k też jest rozbieżny. Twierdzenie 3.5. (Cauchy) Jeśli dla szeregu a k spełnione są następujące warunki a n 0 i lim sup n n a n = g, to: (1) jeśli g < 1, to szereg a k jest zbieżny, (2) jeśli g > 1, to szereg a k jest rozbieżny. Twierdzenie 3.6. (d Alembert) Jeśli dla szeregu a k spełnione są następujące warunki a n > 0 i lim sup n a n+1 a n = g, to: (1) szereg a k jest zbieżny, gdy g < 1, (2) szereg a k jest rozbieżny, gdy g > 1. Twierdzenie 3.7. Niech a k i b k będą szeregami zbieżnymi, c dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas szeregi są zbieżne oraz (a k + b k ), (a k b k ), (a k + b k ) = a k + b k, (a k b k ) = a k b k, (c a k ) = c a k. Ważnymi typami szeregów są szeregi postaci 1 gdy α > 0 n α n=1 (c a k ) zwane szeregami harmonicznymi rzędu α. Dla tych szeregów spełnione są następujące warunki: Jeśli α (0, 1], to rozważany szereg jest rozbieżny.

6 Jeśli α (1, ), to rozważany szereg jest zbieżny. Notatki z analizy 29 Szeregiem anharmonicznym nazywamy szereg postaci ( 1) n 1 n. α Jest on szeregiem zbieżnym. n=1 Rozważymy teraz trochę ogólniejsze zagadnienie związane z podobnego typu szeregami. Szeregiem naprzemiennym nazywamy szereg postaci ( 1) k+1 a k, gdzie (a n ) n=1 jest pewnym ciągiem liczb nieujemnych. Twierdzenie 3.8. (Kryterium Leibniza) Jeśli ciąg (a n ) n=1 jest nierosnącym i zbieżnym do zera ciągiem liczb nieujemnych, to szereg naprzemienny ( 1) k+1 a k jest zbieżny. Definicja 3.2. Szereg a k nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest szereg a k. Definicja 3.3. Szereg a k nazywamy warunkowo zbieżnym, jeśli jest on zbieżny, ale nie jest zbieżny szereg a k. Na koniec tego rozdziału zacytujemy dwa twierdzenia o szeregach warunkowo zbieżnych. Przez permutację zbioru X rozumiemy każdą wzajemnie jednoznaczną funkcję przekształcającą zbiór X na siebie. Twierdzenie 3.9. (o szeregach bezwarunkowo zbieżnych) Szereg liczbowy jest bezwarunkowo zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezwzględnie zbieżny. Ponadto, jeśli szereg a k jest bezwzględnie zbieżny, to przy dowolnej pemutacji (k n ) n=1 zbioru liczb naturalnych a kn = a k. Twierdzenie (Riemann) Jeśli szereg a k jest warunkowo zbieżny, to dla dowolnego α R istnieje permutacja (k n ) n=1 zbioru liczb naturalnych taka, że a kn = α.

7

8 ROZDZIAŁ 4 Granica funkcji 1. Granice funkcji Definicja 4.1. Funkcję f : E R nazywamy ograniczoną, jeżeli zbiór wartości tej funkcji jest ograniczony. Definicja 4.2. Funkcję f : E R nazywamy ograniczoną z dołu, jeśli zbiór wartości tej funkcji jest ograniczony z dołu. Definicja 4.3. Funkcję f : E R nazywamy ograniczoną z góry, jeśli zbiór wartości tej funkcji jest ograniczony z góry. Oznacza to, że funkcja f : E R jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby c i d takie, że dla każdej liczby x ze zbioru E spełniony jest warunek c f(x) d. Definicja 4.4. Funkcję f : [a, b] R nazywamy rosnącą, jeżeli x 1,x 2 [a,b](x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 )); Funkcję f : [a, b] R nazywamy malejącą, jeśli x 1,x 2 [a,b](x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 )); Funkcję f : [a, b] R nazywamy niemalejącą, jeśli x 1,x 2 [a,b](x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )); Funkcję f : [a, b] R nazywamy nierosnącą, jeśli x 1,x 2 [a,b](x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )); Definicja 4.5. Niech f : E R będzie funkcją określoną w pewnym podzbiorze E zbioru liczb rzeczywistych, dla którego x 0 funkcji f w punkcie x 0, jeśli punktem skupienia zbioru E. Liczbę g nazywamy granicą ε>0 δ>0 x E ((0 < x x 0 < δ) = ( f(x) g < ε)).

9 32 Jacek M. Jędrzejewski Symbolicznie oznaczamy wtedy lim f(x) = g. x x 0 Warunek użyty w tej definicji jest nazywany warunkiem Cauchy ego. W literaturze znany jest też inny warunek określający granicę funkcji zwany warunkiem Heinego. Mówi on o granicy funkcji w języku ciągów. Twierdzenie 4.1. Jeśli x 0 jest punktem skupienia zbioru E, to funkcja f : E R ma w punkcie x 0 granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że x n E, x n x 0 i lim n x n = x 0 również lim n f(x n ) = g. Twierdzenie 4.2. Każda funkcja ma co najwyżej jedną granicę w danym punkcie. Twierdzenie 4.3. Każda funkcja f : (a, b) R mająca granicę w punkcie x 0 R jest ograniczona w pewnym otoczeniu tego punktu. Twierdzenie 4.4. Załóżmy, że funkcje f : E R i g : E R mają granice w punkcie x 0 E d. Jeśli istnieje liczba δ > 0 taka, że f(x) g(x) dla x E (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }, to lim f(x) lim g(x). x x 0 x x0 Twierdzenie 4.5. (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli dwie funkcje f : E R i g : E R mają tę samą granicę α w punkcie x 0 E d i funkcja h : E R spełnia warunek f(x) h(x) g(x) dla x (E (x 0 δ, x 0 + δ)) \ {x 0 } dla pewnej liczby δ > 0, to funkcja h ma w punkcie x 0 granicę i jest ona równa α. Z własności działań algebraicznych na granicach ciągów wynika następne twierdzenie. Twierdzenie 4.6. Jeśli funkcje f : E R i g : E R mają granice w punkcie x 0 E d, to funkcje f + g, f g i f g mają granice w tym punkcie oraz lim (f + g)(x) = lim x x 0 x x0 f(x) + x x0 lim g(x), lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x), x x 0 x x0 x x0 lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x0 x x0 Jeśli ponadto lim x x0 g(x) 0, i g(x) 0 dla x E, to ( ) f lim (x) = lim x x 0 f(x) x x 0 g lim x x0 g(x).

10 Notatki z analizy Granice jednostronne Niech dana będzie funkcja f : (x 0, x 0 + δ) R. Zauważamy, że w tym przypadku punkt x 0 jest punktem skupienia przedziału (x 0, x 0 + δ) i możemy rozważać granice względem tego zbioru w punkcie x 0. Taką granicę nazywamy granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0. Oznaczamy ją symbolem lim f(x). Podobnie definiujemy granicę lewostronną funkcji f określonej w przedziale (x 0 δ, x 0 ). Tę granicę oznaczamy symbolem Mamy wtedy: lim f(x). g = lim f(x) ε>0 δ>0 x (x 0,x 0 +δ) ((0 < x x 0 < δ) = ( f(x) g < ε)) i podobnie g = lim f(x) ε>0 δ>0 x (x 0 δ,x 0 ) ((0 < x x 0 < δ) = ( f(x) g < ε)). Łatwo przekonujemy się, że Twierdzenie 4.7. Jeśli f : (a, x 0 ) (x 0, b) R jest dowolną funkcją, to granica tej funkcji w punkcie x 0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie granice lewostronna i prawostronna funkcji f w tym punkcie i są sobie równe. Korzystając z powyżej opisanych własności dotyczących granic funkcji określonych w dowolnym zbiorze E otrzymujemy następujące własności: Własność 4.1. Funkcja f : (x 0, x 0 + δ) R ma w punkcie x 0 granicę prawostronną g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że x n > x 0, i lim n x n = x 0 spełniony jest warunek lim f(x n) = g. n Własność 4.2. Funkcja f : (x 0 δ, x 0 ) R ma w punkcie x 0 granicę lewostronną g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że x n < x 0, i x n x 0 spełniony jest warunek lim f(x n) = g. n Własność 4.3. Każda funkcja ma co najwyżej jedną granicę prawostronną (lewostronną) w danym punkcie.

11 34 Jacek M. Jędrzejewski Własność 4.4. Niech funkcje f : (x 0, x 0 + δ) R i g : (x 0, x 0 + δ) R mają granice prawostronne w punkcie x 0 E. Wtedy, jeśli istnieje liczba δ 1 > 0 taka, że to Własność 4.5. Niech funkcje f(x) g(x) dla x (x 0, x 0 + δ 1 ), lim f(x) lim g(x). f : (x 0 δ, x 0 ) R i g : (x 0 δ, x 0 ) R mają granice lewostronne w punkcie x 0. Wtedy, jeśli istnieje liczba δ 1 > 0 taka, że to f(x) g(x) dla x (x 0 δ 1, x 0 ), lim f(x) lim g(x). Własność 4.6. (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f : (x 0, x 0 + δ) R i g : (x 0, x 0 + δ) R mają tę samą granicę prawostronną α w punkcie x 0, a ponadto funkcja h : (x 0, x 0 + δ) R spełnia nierówność f(x) h(x) g(x) dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja h ma w punkcie x 0 granicę prawostronną i jest ona równa α. Własność 4.7. (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f : (x 0 δ, x 0 ) R i g : (x 0 δ, x 0 ) R mają tę samą granicę lewostronną α w punkcie x 0, a ponadto funkcja spełnia warunek h : (x 0 δ, x 0 ) R f(x) h(x) g(x) dla x (x 0 δ, x 0 ), to funkcja h ma w punkcie x 0 granicę lewostronną i jest ona równa α.

12 Notatki z analizy 35 Własność 4.8. Jeśli funkcje f : (x 0, x 0 + δ) R i g : (x 0, x 0 + δ) R mają granice prawostronne w punkcie x 0, to funkcje f +g, f g i f g mają granice prawostronne w tym punkcie oraz lim (f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x), lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x), lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) Jeśli ponadto lim x x + 0 g(x) 0, i g(x) 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to Własność 4.9. Jeśli funkcje lim ( ) f g (x) = lim x x + f(x) 0 lim x x + g(x). 0 f : (x 0 δ, x 0 ) R i g : (x 0 δ, x 0 ) R mają granice lewostronne w punkcie x 0, to funkcje f + g, f g i f g mają granice lewostronne w tym punkcie oraz lim (f + g)(x) = lim lim (f g)(x) = lim lim (f g)(x) = lim f(x) + lim f(x) lim f(x) lim g(x), g(x), g(x) Jeśli ponadto lim x x 0 g(x) 0, i g(x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ), to lim ( ) f (x) = lim x x f(x) 0 g lim x x g(x). 0 Na koniec tej części rozdziału odnotujmy pewne ważne granice, które będą przydatne w dalszej części wykładu. sin x lim x 0 x = 1, e x 1 lim x 0 x = 1.

13 36 Jacek M. Jędrzejewski 3. Granice w nieskończoności Definicja 4.6. Niech funkcja f będzie określona w pewnym przedziale (a, ). Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w nieskończoności, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x (δ, )( f(x) g < ε). lim f(x) = g. x Oczywiście, możemy się spodziewać odpowiedniego warunku Heinego dla tego typu granicy. Dowody tych własności są podobne do dowodów odpowiednich własności granicy funkcji w punkcie. Twierdzenie 4.8. Funkcja f : (a, ) R ma w nieskończoności granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (x n ) n=1 takiego, że lim n x n = ma miejsce zbieżność lim f(x n) = g. n Twierdzenie 4.9. Każda funkcja ma co najwyżej jedną granicę w nieskończoności. Twierdzenie Niech funkcje f : (a, ) R i g : (a, ) R mają granice w nieskończoności. Wtedy, jeśli istnieje liczba δ taka, że f(x) g(x) dla x (δ, ), to lim f(x) lim g(x). x x Twierdzenie (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f : (a, ) R i g : (a, ) R mają tę samą granicę α w nieskończoności, a ponadto funkcja h : (a, ) R spełnia nierówność f(x) h(x) g(x) dla x (a, ), to funkcja h ma w nieskończoności granicę i jest ona równa α. Twierdzenie Jeśli funkcje f : (a, ) R i g : (a, ) R

14 Notatki z analizy 37 mają granice w nieskończoności, to funkcje f + g, f g i f g mają granice w nieskończoności oraz Jeśli ponadto lim x g(x) 0, to lim (f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x), x x x lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x), x x x lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) x x x lim x ( f g ) (x) = lim x f(x) lim x g(x). Definicja 4.7. Niech f będzie funkcją określoną w pewnym przedziale (, a). Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w minus nieskończoności ( ), jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x (, δ)( f(x) g < ε). lim f(x) = g. x Oczywiście wszystkie własności, które przedstawiliśmy dla granic w nieskończoności przenoszą się na granice funkcji w minus nieskończoności. Twierdzenie Funkcja f : (, a) R ma w minus nieskończoności granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że lim n x n = mamy: lim f(x n) = g. n Twierdzenie Każda funkcja ma co najwyżej jedną granicę w minus nieskończoności. Twierdzenie Niech funkcje f : (, a) R i g : (, a) R mają granice w minus nieskończoności. Jeśli istnieje liczba δ taka, że f(x) g(x) dla x (, δ), to lim f(x) lim g(x). x x Twierdzenie (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f : (, a) R i g : (, a) R mają tę samą granicę α w minus nieskończoności i funkcja h : (, a) R spełnia nierówność f(x) h(x) g(x) dla x (, a),

15 38 Jacek M. Jędrzejewski to funkcja h ma w minus nieskończoności granicę i jest ona równa α. Twierdzenie Jeśli funkcje f : (, a) R i g : (, a) R mają granice w minus nieskończoności, to funkcje f + g, f g i f g mają granice w minus nieskończoności oraz Jeśli ponadto lim x g(x) 0, to lim (f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x), x x x lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x), x x x lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) x x x lim x ( ) f (x) = lim x f(x) g lim x g(x). 4. Granice niewłaściwe Definicja 4.8. Niech f : E R będzie funkcją określoną w podzbiorze E zbioru liczb rzeczywistych, dla którego x 0 jest punktem skupienia. Nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w punkcie x 0, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E ((0 < x x 0 < δ) = (f(x) > ε)). lim f(x) =. x x 0 Definicja 4.9. Jeśli f : E R jest dowolną funkcją, gdzie E jest podzbiorem liczb rzeczywistych i x 0 punktem skupienia zbioru E, to minus nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w punkcie x 0, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E ((0 < x x 0 < δ) = (f(x) < ε)). lim f(x) =. x x 0 Jeśli zbiór E jest przedziałem (x 0, x 0 + a), to (wtedy oczywiście x 0 jest punktem skupienia przedziału (x 0, x 0 + a)) granica powyżej określona jest granicą prawostronną, gdy zaś zbiór E jest postaci E = (x 0 a, x 0 ), to taka granica jest granicą lewostronną. Podobnie określamy granice niewłaściwe w nieskończoności. Mamy wtedy następujące określenia:

16 nek: Notatki z analizy 39 Definicja Niech E będzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych spełniającym waru- a R x E(a < x). Jeżeli f : E R jest dowolną funkcją, to nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w nieskończoności, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E (x > δ) = (f(x) > ε)). lim f(x) =. x Definicja Niech E będzie podzbiorem zbioru R spełniającym warunek: a R x E(x < a). Jeśli f : E R jest dowolną funkcją, to nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w minus nieskończoności, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E (x < δ) = (f(x) > ε)). lim f(x) =. x Definicja Niech E będzie podzbiorem zbioru R spełniającym warunek: a R x E(a < x). Jeśli f : E R będzie daną funkcją, to minus nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w nieskończoności, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E (x > δ) = (f(x) < ε)). lim f(x) =. x Definicja Niech E będzie podzbiorem zbioru R spełniającym warunek: a R x E(x < a). Jeśli f : E R jest dowolną funkcją, to minus nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w minus nieskończoności, jeśli ε>0 δ>0 x E (x < δ) = (f(x) < ε)).

17 40 Jacek M. Jędrzejewski Symbolicznie oznaczamy wtedy lim f(x) =. x W każdym z powyższych przypadków możemy odnotować podstawowe twierdzenie charakteryzujące granice tak właściwe jak i niewłaściwe przy pomocy ciągów (metoda Heinego). Mamy więc: Twierdzenie Funkcja f ma granicę g w punkcie x 0 R, jeśli dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że x n E, x n x 0 i lim n x n = x 0 również lim n f(x n ) = g. 5. Asymptoty Jeśli funkcja f : (x 0, x 0 + δ) R ma w punkcie x 0 granicę prawostronną równą + lub, to mówimy, że prosta o równaniu x = x 0 jest asymptotą pionową funkcji f (z prawej strony). Jeśli funkcja f : (x 0 δ, x 0 ) R ma w punkcie x 0 granicę lewostronną równą lub, to mówimy, że prosta o równaniu x = x 0 jest asymptotą pionową funkcji f (z lewej strony). Prostą L nazywamy asymptotą pochyłą (ukośną) funkcji f : (a, ) R w nieskończoności, jeśli ϱ((x, f(x)), L) 0 przy x, gdzie ϱ((x, f(x)), L) oznacza odległość punktu (x, f(x)) od prostej L. Prostą L nazywamy asymptotą pochyłą (ukośną) funkcji f : (a, ) R w minus nieskończoności, jeśli ϱ((x, f(x)), L) 0 przy x, Istnienie asymptot wynika z obliczenia dwóch specjalnych granic. Prawdziwe jest następujące twierdzenie: Twierdzenie Prosta L o równaniu y = ax + b jest asymptotą funkcji w nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy f : (c, ) R f(x) lim x x = a

18 Notatki z analizy 41 oraz lim (f(x) ax) = b. x Twierdzenie Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą funkcji f : (, c) R w minus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy oraz f(x) lim x x = a lim (f(x) ax) = b. x Definicja Prostą L nazywamy styczną do wykresu funkcji f : (a, b) R w punkcie (x 0, f(x 0 )), jeśli stosunek odległości dowolnego punktu (x, f(x)) na wykresie funkcji f od prostej L do odległości tego punktu od punktu (x 0, f(x 0 )) ma granicę przy x dążącym do x 0 i granica ta jest równa zeru. Symbolicznie, gdy ϱ(p, L) lim x x 0 ϱ(p, p 0 ) = 0, gdzie p = (x, f(x)), p 0 = (x 0, f(x 0 )) i ϱ oznacza odległość euklidesową na płaszczyźnie.

19

20 ROZDZIAŁ 5 Funkcje ciągłe Definicja 5.1. Funkcja f : (a, b) R nazywa się ciągła w punkcie x 0 (a, b), jeśli ε>0 δ>0 x (a,b) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Warunek użyty w tej definicji nosi nazwę warunku Cauchy ego. Definicja 5.2. Funkcję f : [x 0, b) R nazywamy ciągłą z prawej strony (prawostronnie ciągłą) w punkcie x 0, jeśli ε>0 δ>0 x (x 0,b) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Definicja 5.3. Funkcję f : (a, x 0 ] R nazywamy ciągłą z lewej strony (lewostronnie ciągłą) w punkcie x 0, jeśli ε>0 δ>0 x (a,x 0 ) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Oczywiście zauważamy bez trudu, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciągła z lewej i z prawej strony jednocześnie. W przypadku funkcji f : [a, b] R mówimy, że jest ciągła w punkcie a, gdy jest w nim prawostronnie ciągła, a ciągła w punkcie b, gdy jest w nim lewostronnie ciągła. Poniższe twierdzenie podaje warunek (nazywany warunkiem Heinego) równoważny ciągłości funkcji w danym punkcie sformułowany w języku ciągów. Twierdzenie 5.1. Funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 przedziału (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 zbieżnego do x 0 ciąg (f(x n )) n=1 f(x 0 ). jest zbieżny do Twierdzenie 5.2. Funkcja f : (x 0, b) R jest ciągła prawostronnie w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 zbieżnego do x 0 i takiego, że x n x 0 ciąg (f(x n )) n=1 jest zbieżny do f(x 0 ). Twierdzenie 5.3. Funkcja f : (a, x 0 ) R jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 zbieżnego do x 0 i takiego, że x n x 0 dla n N, ciąg (f(x n )) n=1 jest zbieżny do f(x 0). Twierdzenie 5.4. Jeśli funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 (a, b), to istnieje granica funkcji f w punkcie x 0 i jest równa f(x 0 ).

21 44 Jacek M. Jędrzejewski Twierdzenie 5.5. Jeśli w punkcie x 0 (a, b) istnieje granica funkcji f : (a, b) R i jest równa f(x 0 ), to funkcja f jest ciągła w punkcie x 0. W języku otoczeń ciągłość funkcji można wyrazić następująco: Twierdzenie 5.6. Funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 przedziału (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia V punktu x 0 istnieje otoczenie U punktu x 0 takie, że f(u) V. Z powyższej własności łatwo wynika następujące twierdzenie. Twierdzenie 5.7. Jeśli funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 (a, b) i f(x 0 ) 0, to istnieje otoczenie U punktu x 0 takie, że f(x) 0 gdy x U. Twierdzenie 5.8. Jeśli funkcje f : (a, b) R i g : (a, b) R są ciągłe w punkcie x 0 (a, b), to ciągłe w tym punkcie są również następujące funkcje f + g, f g, f g, f, max(f, g), min(f, g). Ponadto, jeśli g(x) 0 dla x (a, b), to również funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0. Twierdzenie 5.9. Niech dane będą funkcje: f : (a, b) (c, d), i g : (c, d) R. Jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 (a, b) i funkcja g jest ciągła w punkcie f(x 0 ), to funkcja g f jest ciągła w punkcie x 0. Definicja 5.4. Funkcja f : (a, b) R nazywa się ciągła w przedziale (a, b), jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcję f : [a, b] R nazywamy ciągłą w przedziale [a, b], jeśli jest ciągła w każdym punkcie przedziału (a, b) oraz w punktach a i b jednostronnie ciągła. Łatwo stwierdzamy, że funkcja f : (a, b) R jest ciągła w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy jeśli x 0 (a,b) ε>0 δ>0 x (a,b) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Funkcja f : [a, b] R jest ciągła w przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy x 0 [a,b] ε>0 δ>0 x [a,b] ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Definicja 5.5. Funkcję f : (a, b) R nazywamy jednostajnie ciągłą w przedziale (a, b), ε>0 δ>0 x 0 (a,b) x (a,b) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Funkcję f : [a, b] R nazywamy jednostajnie ciągłą w przedziale [a, b], jeśli ε>0 δ>0 x 0 [a,b] x [a,b] ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε).

22 Notatki z analizy 45 Oczywiście, z definicji ciągłości i jednostajnej ciągłości wynika, że każda funkcja jednostajnie ciągła w pewnym przedziale jest w tym przedziale ciągła (niezależnie, czy jest to przedział otwarty, czy domknięty). Podamy teraz pewne charakteryzacje funkcji ciągłych w podprzedziałach zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie Funkcja f : (a, b) R jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty. Podzbiór zbioru R nazywamy domkniętym, jeśli jego dopełnienie jest zbiorem otwartym. Inaczej mówiąc, podzbiór E zbioru liczb rzeczywistych jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Bezpośrednio z powyższej definicji, własności przeciwobrazów funkcji i wzorów de Morgana wynika następujące twierdzenie. Twierdzenie Funkcja f : [a, b] R jest ciągła w przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty. Twierdzenie Funkcja f : (a, b) R jest ciągła w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby α zbiory {x (a, b) : f(x) < α}, {x (a, b) : f(x) > α} są otwarte. Definicja 5.6. O funkcji f : (a, b) R mówimy, że ma własność Darboux, jeśli dla każdych punktów α, β z przedziału (a, b) takich, że α < β i f(α) f(β) oraz każdej liczby c leżącej między f(α) i f(β) istnieje punkt ξ (α, β) taki, że f(ξ) = c. Mówimy, że funkcja f : [a, b] R ma własność Darboux, jeśli dla każdych punktów α, β z przedziału [a, b] takich, że α < β i f(α) f(β) oraz każdej liczby c leżącej między f(α) i f(β) istnieje punkt ξ (α, β) taki, że f(ξ) = c. Twierdzenie (Tw. Darboux) Każda funkcja ciągła w przedziale (otwartym lub domkniętym) ma własność Darboux. Niech f : [a, b] R będzie dowolną funkcją. Jeśli istnieje element x 1 [a, b] taki, że f(x 1 ) = sup {f(x) : x [a, b]}, to wartość f(x 1 ) nazywamy maksimum funkcji f w przedziale [a, b], a punkt x 1 punktem, w którym istnieje maksimum.

23 46 Jacek M. Jędrzejewski Jeśli istnieje punkt x 2 [a, b] taki, że f(x 2 ) = inf {f(x) : x [a, b]}, to wartość f(x 2 ) nazywamy minimum funkcji f w przedziale [a, b], a punkt x 2 punktem, w którym istnieje minimum. Przez ekstremum rozumiemy maksimum lub minimum. Jasnym jest, że nie każda funkcja posiada punkty maksymalny i minimalny. Punkt x 0 (a, b) nazywamy punktem, w którym funkcja f : (a, b) R ma maksimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie (x 0 δ, x 0 + δ) zawarte w (a, b) takie, że f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ). Punkt x 0 (a, b) nazywamy punktem, w którym funkcja f : (a, b) R ma minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie (x 0 δ, x 0 + δ) takie, że f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ). Łatwo zauważyć, że pojęcia maksimum i maksimum lokalne są różne, nie zawsze maksimum (czasami nazywane maksimum globalnym) musi być maksimum lokalnym i odwrotnie. Te same uwagi dotyczą minimum i minimum lokalnego. Twierdzenie (Tw. Weierstrassa) Każda funkcja ciągła określona w przedziale domkniętym (i ograniczonym) jest ograniczona oraz istnieją punkty ξ 1, ξ 2 [a, b] takie, że f(ξ 1 ) = inf {f(x) : x [a, b]}, f(ξ 2 ) = sup {f(x) : x [a, b]}. Z powyższego twierdzenia wynika, że każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym osuiąga swoje maksimum i minimum. Twierdzenie (Tw. Heinego) Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła w tym przedziale.

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5 Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4 Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji 27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy

Bardziej szczegółowo

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Temat: Ciągi i szeregi funkcyjne

Temat: Ciągi i szeregi funkcyjne Emilia Domińczyk Aleksandra Chrzuszcz Temat: Ciągi i szeregi unkcyjne 1.Co to jest ciąg unkcyjny? Co to jest szereg unkcyjny? Podać przykłady. Deinicja ciągu unkcyjnego Niech X c R, X Ø. Funkcję określoną

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe str. 1/25 Szereg liczbowy Niech(a n ) będzie

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski 1 Spis treści 1 Zbiory liczbowe 5 1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 5 1.1.1 Liczby naturalne.........................

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Lista 0 wstęp do matematyki

Lista 0 wstęp do matematyki dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Funkcja liniowa Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać

Bardziej szczegółowo

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób: 1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji 4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

4. Granica i ciągłość funkcji

4. Granica i ciągłość funkcji 4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6 Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu r. akad. 2016/2017 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Funkcje addytywne gorszego sortu

Funkcje addytywne gorszego sortu Rafał Filipów Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Definicja funkcji addytywnych Definicja Funkcja f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie funkcyjne Cauchy ego tzn. gdy dla wszystkich x, y R.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf 9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin. Uczeń: wykres ciągu. K P 1 wyraz ciągu. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego. początkowych wyrazów K P

Liczba godzin. Uczeń: wykres ciągu. K P 1 wyraz ciągu. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego. początkowych wyrazów K P MATeMAtyka 3 Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; wymagania wykraczające - dopuszczający;

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Wykłady Prof. Krystyny Pruskiej. Analiza matematyczna. Zapis: Adam Kościelniak

Wykłady Prof. Krystyny Pruskiej. Analiza matematyczna. Zapis: Adam Kościelniak Wykłady Prof. Krystyny Pruskiej Analiza matematyczna Zapis: Adam Kościelniak Pochodne 3 Pochodne wyższych rzędów 5 Ekstrema funkcji 8 Wklęsłośd i wypukłośd funkcji 11 Punkty przegięcia 13 Asymptoty 14

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo