WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony

Transkrypt

1 WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g zares rozszerzony 1. Wielomiany bardzo zna pojęcie jednomianu jednej zmiennej; potrafi wsazać jednomiany podobne; potrafi rozpoznać wielomian jednej zmiennej rzeczywistej; potrafi uporządować wielomian (malejąco lub rosnąco); potrafi oreślić stopień wielomianu jednej zmiennej; potrafi obliczyć wartość wielomianu dla danej wartości zmiennej; potrafi wyonać dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów; potrafi podzielić wielomian przez dwumian ax + b; potrafi rozpoznać wielomiany równe; potrafi rozwiązywać proste zadania, w tórych wyorzystuje się twierdzenie o równości wielomianów; potrafi sprawdzić, czy podana liczba jest pierwiastiem wielomianu; potrafi oreślić rotność pierwiasta wielomianu; zna twierdzenie Bezouta i potrafi je stosować w rozwiązywaniu prostych zadań; zna twierdzenie o reszcie i potrafi je stosować w rozwiązywaniu prostych zadań; potrafi rozłożyć wielomian na czynnii poprzez wyłączanie wspólnego czynnia poza nawias, zastosowanie wzorów sróconego mnożenia; potrafi rozwiązywać równania wielomianowe, tóre wymagają umiejętności rozładania wielomianów na czynnii wymienionych w poprzednim puncie; zna definicję funcji wielomianowej. potrafi podzielić wielomian przez dowolny wielomian; potrafi podzielić wielomian przez dwumian liniowy za pomocą schematu Hornera; potrafi wyznaczyć wielomian, tóry jest resztą z dzielenia wielomianu o danych własnościach przez inny wielomian; potrafi rozłożyć wielomian na czynnii poprzez zastosowanie metody grupowania wyrazów, a taże wówczas, gdy ma podany jeden z pierwiastów wielomianu i onieczne jest znalezienie pozostałych z wyorzystaniem twierdzenia Bezouta; potrafi rozwiązywać równania wielomianowe, tóre wymagają umiejętności rozładania wielomianów na czynnii wymienionych w poprzednim puncie; potrafi rozwiązywać proste zadania testowe prowadzące do równań wielomianowych; potrafi rozwiązywać proste zadania dotyczące wielomianów, w tórych występują parametry; potrafi naszicować przybliżony wyres funcji wielomianowej na podstawie informacji o miejscach zerowych tej funcji oraz znau współczynnia przy najwyższej potędze zmiennej; potrafi rozwiązywać nierówności wielomianowe (orzystając z siati znaów, posługując się przybliżonym wyresem funcji wielomianowej). potrafi sprawnie wyonywać działania na wielomianach; potrafi udowodnić twierdzenie Bezouta; zna i potrafi stosować twierdzenie o wymiernych pierwiastach wielomianu o współczynniach całowitych; potrafi sprawnie rozładać wielomiany na czynnii (w tym stosując metodę prób ); potrafi rozwiązywać równania i nierówności wielomianowe z wartością bezwzględną; potrafi rozwiązywać zadania testowe prowadzące do równań i nierówności wielomianowych. 1

2 celujący potrafi udowodnić twierdzenie o wymiernych pierwiastach wielomianu o współczynniach całowitych; potrafi rozwiązywać równania i nierówności wielomianowe z parametrem; potrafi rozwiązywać zadania dotyczące własności wielomianów, w tórych występują parametry; potrafi udowodnić wzory Viète a dla równania trzeciego stopnia. - potrafi rozwiązywać różne problemy dotyczące wielomianów, tóre wymagają niestandardowych metod pracy oraz nieonwencjonalnych pomysłów. 2. Ułami algebraiczne. Równania i nierówności wymierne. Funcje wymierne zna pojęcie ułama algebraicznego jednej zmiennej; potrafi wyznaczyć dziedzinę ułama algebraicznego; potrafi podać przyład ułama algebraicznego o zadanej dziedzinie; potrafi wyonywać działania na ułamach algebraicznych, taie ja: sracanie ułamów, rozszerzanie ułamów, dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamów algebraicznych, oreślając waruni wyonalności tych działań; potrafi wyonywać działania łączne na ułamach algebraicznych; zna definicję równania wymiernego; potrafi rozwiązywać proste równania wymierne; zna definicję nierówności wymiernej; potrafi rozwiązywać proste nierówności wymierne; wie, jaą zależność między dwiema wielościami zmiennymi, nazywamy proporcjonalnością odwrotną; potrafi wsazać współczynni proporcjonalności; rozwiązuje zadania z zastosowaniem proporcjonalności odwrotnej; zna definicję funcji wymiernej; potrafi oreślić dziedzinę funcji wymiernej; zna definicję funcji homograficznej ax b y =, gdzie c 0 i ad cb 0. cx d potrafi rozwiązywać proste zadania na dowodzenie z zastosowaniem ułamów algebraicznych; potrafi rozwiązywać zadania testowe prowadzące do prostych równań wymiernych; rozwiązuje proste zadania z parametrem dotyczące funcji wymiernych; ax b potrafi przeształcić wzór funcji y =, gdzie c 0 i ad cb 0, do postaci cx d y = q ; potrafi naszicować wyres funcji homograficznej o równaniu y = q ; potrafi na podstawie wzoru funcji y = q oreślić jej dziedzinę i zbiór wartości; potrafi obliczyć miejsce zerowe funcji homograficznej oraz współrzędne puntu wspólnego wyresu funcji i osi OY; potrafi wyznaczyć przedziały monotoniczności funcji y = q ; potrafi przeształcać wyres funcji homograficznej w S OX, S OY, S (0, 0), przesunięciu równoległym o dany wetor; potrafi rozwiązywać proste zadania z parametrem dotyczące funcji homograficznej. potrafi sprawnie wyonywać działania łączne na ułamach algebraicznych; potrafi rozwiązywać zadania na dowodzenie z zastosowaniem ułamów algebraicznych (w tym zadania dotyczące związów pomiędzy średnimi: arytmetyczną, geometryczną, średnią wadratową); potrafi rozwiązywać równania i nierówności wymierne; 2

3 bardzo celujący potrafi rozwiązywać ułady równań i nierówności wymiernych; potrafi rozwiązywać zadania dotyczące własności funcji wymiernej; potrafi dowodzić własności funcji wymiernej; potrafi rozwiązywać zadania z parametrem dotyczące własności funcji homograficznej; potrafi napisać wzór funcji homograficznej na podstawie informacji o jej wyresie; potrafi naszicować wyres funcji homograficznej z wartością bezwzględną i na podstawie wyresu funcji opisać własności funcji; potrafi rozwiązywać proste równania i nierówności wymierne z wartością bezwzględną; potrafi rozwiązywać równania i nierówności wymierne z wartością bezwzględną; potrafi rozwiązywać ułady równań i nierówności wymiernych z wartością bezwzględną; potrafi rozwiązywać równania i nierówności wymierne z parametrem; potrafi rozwiązywać zadania dotyczące własności funcji wymiernej z parametrem; potrafi przeprowadzić dysusję liczby rozwiązań równania wymiernego z wartością bezwzględną i parametrem, na podstawie wyresu funcji homograficznej, we wzorze tórej występuje wartość bezwzględna; potrafi rozwiązywać zadania testowe prowadzące do równań i nierówności wymiernych. potrafi przeprowadzić dysusję liczby rozwiązań równania wymiernego z parametrem; potrafi rozwiązywać zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące funcji wymiernych wymagające zastosowania nieonwencjonalnych metod. 3. Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego oreślonego wzorem ogólnym; potrafi narysować wyres ciągu liczbowego oreślonego wzorem ogólnym; potrafi podać przyłady ciągów liczbowych monotonicznych; potrafi sprawdzić, tóre wyrazy ciągu należą do danego przedziału; potrafi wyznaczyć wyrazy ciągu o podanej wartości; zna definicję ciągu arytmetycznego; potrafi podać przyłady ciągów arytmetycznych; zna i potrafi stosować w rozwiązywaniu zadań wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego; zna i potrafi stosować w rozwiązywaniu zadań wzór na sumę n olejnych początowych wyrazów ciągu arytmetycznego; potrafi wyorzystać średnią arytmetyczną do obliczenia wyrazu środowego ciągu arytmetycznego; zna definicję ciągu geometrycznego; zna i potrafi stosować w rozwiązywaniu zadań wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego; zna i potrafi stosować wzór na sumę n olejnych początowych wyrazów ciągu geometrycznego; potrafi wyorzystać średnią geometryczną do obliczenia wyrazu środowego ciągu geometrycznego; potrafi stosować procent prosty i sładany w zadaniach dotyczących oprocentowania loat i redytów; rozumie intuicyjnie pojęcie granicy ciągu liczbowego zbieżnego; potrafi odróżnić ciąg geometryczny od szeregu geometrycznego; zna warune na zbieżność szeregu geometrycznego i wzór na sumę szeregu. potrafi zbadać na podstawie definicji monotoniczność ciągu liczbowego oreślonego wzorem ogólnym; potrafi zbadać na podstawie definicji, czy dany ciąg oreślony wzorem ogólnym jest geometryczny; potrafi wyznaczyć ciąg arytmetyczny (geometryczny) na podstawie wsazanych danych; potrafi rozwiązywać zadania mieszane dotyczące ciągów arytmetycznych i geometrycznych zna i potrafi stosować twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych; potrafi obliczyć granicę ciągu liczbowego (proste przyłady); potrafi zbadać warune na istnienie sumy szeregu geometrycznego (proste przyłady); potrafi obliczać sumę szeregu geometrycznego (zamiana ułama oresowego na ułame zwyły, 3

4 proste równania i nierówności wymierne, proste zadania geometryczne); potrafi obliczać granice niewłaściwe ciągów rozbieżnych do niesończoności (proste przyłady). bardzo celujący potrafi oreślić ciąg wzorem reurencyjnym; potrafi wyznaczyć wyrazy ciągu oreślonego wzorem reurencyjnym; wie, jai ciąg liczbowy nazywamy ciągiem Fibonacciego; zna definicję reurencyjną tego ciągu i wzór na wyraz ogólny; zna definicję i rozumie pojęcie granicy ciągu liczbowego zbieżnego; zna i potrafi stosować twierdzenia dotyczące własności ciągów zbieżnych; potrafi obliczać granice różnych ciągów zbieżnych; potrafi obliczać granice niewłaściwe różnych ciągów rozbieżnych do niesończoności. potrafi wyprowadzić wzór na sumę n olejnych początowych wyrazów ciągu arytmetycznego; potrafi wyprowadzić wzór na sumę n olejnych początowych wyrazów ciągu geometrycznego; potrafi udowodnić nierówność Bernoulliego; potrafi wyazać na podstawie definicji, że dana liczba jest granicą ciągu; potrafi rozwiązywać różne zadania z zastosowaniem wiadomości o szeregu geometrycznym zbieżnym. zna, rozumie i potrafi zastosować twierdzenie o trzech ciągach do obliczenia granicy danego ciągu; wie, co to jest liczba e oraz potrafi obliczać granice ciągów z liczbą e; potrafi rozwiązywać zadania na dowodzenie, w tórych jest mowa o ciągach. 4. Trygonometria wie, co to jest miara łuowa ąta; potrafi stosować miarę łuową i stopniową ąta (zamieniać stopnie na radiany i radiany na stopnie); zna definicje funcji trygonometrycznych dowolnego ąta i potrafi się nimi posługiwać w rozwiązywaniu zadań; zna związi pomiędzy funcjami trygonometrycznymi tego samego ąta; potrafi wyznaczyć wartości pozostałych funcji trygonometrycznych ąta, gdy dana jest jedna z nich; zna i potrafi stosować wzory reducyjne dla ątów o miarach wyrażonych w stopniach oraz radianach; potrafi naszicować wyres funcji y = sin x; potrafi naszicować wyres funcji y = cos x; potrafi naszicować wyres funcji y = tg x; potrafi naszicować wyres funcji y = ctg x; zna wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy ątów i potrafi je stosować do rozwiązywania prostych zadań; zna wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów i potrafi je stosować do rozwiązywania prostych zadań; zna wzory na sinus i cosinus ąta podwojonego ąta i potrafi je stosować do rozwiązywania prostych zadań. potrafi naszicować wyres funcji y = sin x i omówić jej własności; potrafi naszicować wyres funcji y = cos x i omówić jej własności; potrafi naszicować wyres funcji y = tg x i omówić jej własności; potrafi naszicować wyres funcji y = ctg x i omówić jej własności; potrafi przeształcać wyresy funcji trygonometrycznych, stosując taie przeształcenia, ja: symetria osiowa względem osi OX, symetria osiowa względem osi OY, symetria środowa, względem puntu (0, 0), przesunięcie równoległe o dany wetor); potrafi wyznaczyć zbiór wartości funcji trygonometrycznej (w prostych przypadach); wyorzystuje oresowość funcji trygonometrycznych; potrafi rozwiązywać proste równania i nierówności trygonometryczne, orzystając z wyresów odpowiednich funcji trygonometrycznych; 4

5 potrafi rozwiązywać proste równania i nierówności trygonometryczne z zastosowaniem poznanych wzorów. bardzo celujący potrafi zbadać, czy funcja trygonometryczna jest parzysta (nieparzysta); potrafi oreślić zbiór wartości funcji trygonometrycznej; potrafi wyznaczyć ores podstawowy funcji trygonometrycznej; potrafi przeształcać wyresy funcji trygonometrycznych, stosując taie przeształcenia, ja: y = f(x), y = f( x ), y = s f(x) oraz y = f(s x), gdzie s 0; potrafi rozwiązywać równania i nierówności trygonometryczne; potrafi stosować wzory na funcje trygonometryczne sumy i różnicy ątów, wzory na sumy i różnice funcji trygonometrycznych, wzory na funcje trygonometryczne wielorotności ąta do przeształcania wyrażeń trygonometrycznych; potrafi stosować wzory na funcje trygonometryczne sumy i różnicy ątów, wzory na sumy i różnice funcji trygonometrycznych, wzory na funcje trygonometryczne wielorotności ąta do dowodzenia tożsamości trygonometrycznych; potrafi rozwiązywać równania i nierówności trygonometryczne z zastosowaniem wzorów na funcje trygonometryczne sumy i różnicy ątów, wzorów na sumy i różnice funcji trygonometrycznych, wzorów na funcje trygonometryczne wielorotności ąta. potrafi rozwiązywać równania i nierówności trygonometryczne z wartością bezwzględną z zastosowaniem poznanych wzorów; potrafi rozwiązywać równania trygonometryczne z parametrem; potrafi rozwiązywać różne zadania z innych działów matematyi, w tórych wyorzystuje się wiadomości i umiejętności z trygonometrii. - potrafi rozwiązywać zadania o podwyższonym stopniu trudności lub wymagające nieonwencjonalnych pomysłów i metod rozwiązywania. 5. Funcja wyładnicza i funcja logarytmiczna Stopień Wiadomości i umiejętności Uczeń potrafi: -definiować potęgę o wyładniu całowitym i wymiernym -zapisać potęgę o wyładniu wymiernym jao pierwiaste i odwrotnie -zdefiniować potęgę o wyładniu rzeczywistym -zdefiniować logarytm -podać własności działań na logarytmach -obliczyć logarytm danej liczby -zdefiniować funcję wyładniczą i logarytmiczną -podać przyład funcji wyładniczej i logarytmicznej rosnącej lub malejącej -zdefiniować pojęcie równania i nierówności wyładniczej i logarytmicznej -wyonać elementarne działania na potęgach u wyładniu całowitym i wymiernym -odczytać z wyresu własności funcji wyładniczej i logarytmicznej -narysować wyres funcji wyładniczej i logarytmicznej, przesuniętej wzdłuż osi uładu współrzędnych -przeształcić wyrażenia zawierające potęgi -wyonać działania na logarytmach -zastosować definicję logarytmu w rozwiązaniu prostych równań i nierówności -rozwiązać proste równania i nierówności wyładnicze -naszicować wyres funcji wyładniczej i logarytmicznej w zależności od podstawy -zapisać wzór wyresu funcji wyładniczej i logarytmicznej, przesuniętej wzdłuż osi uładu współrzędnych -wyonać działania na potęgach o wyładniu rzeczywistym -przeształcić wyrażenie zawierające potęgi i logarytmy o podwyższonym stopniu trudności 5

6 bardzo -rozwiązać równanie i nierówność logarytmiczną -przeształcić wyres funcji wyładniczej i logarytmicznej w symetrii względem osi uładu współrzędnych i względem początu uładu współrzędnych oraz zapisać wzór nowego wyresu -przesunąć wyres funcji wyładniczej i logarytmicznej o dany wetor oraz zapisać wzór nowego wyresu -udowodnić własność działań na potęgach i logarytmach -rozwiązać równanie i nierówności wyładnicze i logarytmiczne o podwyższonym stopniu trudności -rozwiązać równania i nierówności wyładnicze i logarytmiczne z wartością bezwzględną, z parametrem, z szeregami, z niewiadomą w podstawie -naszicować wyres funcji wyładniczej i logarytmicznej z wartością bezwzględną -potrafi rozwiązywać ułady równań i nierówności wyładniczych oraz logarytmicznych; -potrafi rozwiązywać równania wyładniczo-potęgowo-logarytmiczne; -potrafi naszicować zbiór puntów płaszczyzny spełniających dane równanie lub nierówność z dwiema niewiadomymi, w tórych występują logarytmy; -potrafi badać, na podstawie definicji, własności funcji wyładniczych i logarytmicznych (np. parzystość, nieparzystość, monotoniczność); Opracowała; Magdalena Szrami 6