5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

Transkrypt

1 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań (dla równań pierwszego i drugiego stopnia ustalono je już w starożytności). Badaniem równań wyższych stopni zaczęto zajmować się intensywnie w XVI-XIX w. Przyczyniło się to do powstania dużej części algebry współczesnej m.in. teorii grup i ciał. Inne działy algebry wywodzą się natomiast z badań nad różnymi dziedzinami matematyki i tak np. teoria pierścieni z teorii liczb, algebra liniowa z geometrii.

2 Algebra ma więc szerokie zastosowania w teorii liczb, analizie funkcjonalnej, teorii równań różniczkowych, geometrii, programowaniu liniowym, a także w fizyce, ekonometrii i informatyce. Przedmiotem badań algebry współczesnej są zbiory z określonymi w nich operacjami (zwanych działaniami), czyli grupy, pierścienie, moduły, przestrzenie liniowe, kraty.

3 Działania (operacje) Działaniem (operacją) n-argumentowym (n N) w zbiorze A nazywamy każdą funkcję O: A n A, która uporządkowanemu n-elementowemu ciągowi z A n przyporządkowuje pewien element zbioru A. O zbiorze A mówimy, że jest zamknięty ze względu na n-argumentowe działanie O wtedy i tylko wtedy, gdy wynik działania O dla dowolnego n-elementowego ciągu z A n należy do A, czyli (a 1, a 2,, a n ) A n O (a 1, a 2,, a n ) A.

4 Przypadek dla n=0 jest również dopuszczalny, mówi się wtedy o działaniu O zeroargumentowym w zbiorze A, które jest dowolnym elementem tego zbioru (O A) i zwane jest stałą. Szczególnie ważny przypadek stanowi funkcja O: A 2 A, czyli dla n=2, które nazywa się działaniem dwuargumentowym (operacją binarną) lub krócej działaniem (operacją). Zamiast pisać O (a,b) zapisujemy a O b. Często działania oznaczamy symbolami +,-,, *,,.

5 Własności działań 1. Przemienność Działanie O nazywamy przemiennym w A, jeżeli a, b A a O b = b O a. 2. Łączność Działanie O nazywamy łącznym w A, jeżeli a, b, c A (a O b) O c= a O (b O c). Element e A nazywamy elementem neutralnym (jednością), jeżeli a A a O e = e O a = a.

6 Element a -1 A nazywamy elementem odwrotnym do elementu a, jeżeli a O a -1 = a -1 O a = e. Twierdzenie W zbiorze A, w którym określone jest działanie O, istnieje co najwyżej jeden element neutralny. Dowód: Załóżmy, że w A istnieją dwa elementy neutralne działania O : e oraz e. Z definicji elementu neutralnego wynika, że e' = e' O e = e, czyli są one sobie równe.

7 Mówimy, że w zbiorze A, w którym określone jest działanie O, zachodzi prawo skracania, jeśli a, b, c A zachodzi (a O b = a O c b=c) (b O a = c O a b=c). Jeżeli działanie O jest przemienne w A, to w powyższej definicji wystarczy tylko jeden człon koniunkcji. Działania zewnętrzne Działaniem zewnętrznym nazywamy odwzorowanie O : A K A, gdzie A K, które każdej parze (a, k), gdzie a A i k K przyporządkowuje element zbioru A.

8 Struktury algebraiczne Algebrą abstrakcyjną (algebrą) nazywamy każdy układ Q postaci Q = (A, O 1, O 2,, O m ), gdzie A jest niepustym zbiorem i O i, dla i=1,2,,m jest działaniem w A oraz zbiór A jest zamknięty ze względu na te działania. Podalgebra Niech Q = (A, O 1, O 2,, O m ) będzie dowolną algebrą i podzbiór B zbioru A. Układ Q postaci Q = (B, O 1, O 2,, O m ), nazywamy podalgebrą algebry Q, jeżeli zbiór B jest zamknięty ze względu na działania O 1, O 2,, O m.

9 Niepusty podzbiór A 0 zbioru A nazywamy zbiorem generatorów (generatorem) algebry Q = (A, O 1, O 2,, O m ) wtedy i tylko wtedy, gdy najmniejszą podalgebrą zawierającą A 0 jest sama algebra Q. O zbiorze A 0 mówimy, że generuje zbiór A.

10 Systemem algebraicznym (relacyjnym) nazywamy układ S postaci S = (A, O 1, O 2,, O m, R 1, R 2,, R k ), gdzie A jest niepustym zbiorem zwanym uniwersum systemu, O i, dla i=1,2,,m jest działaniem w A oraz zbiór A jest zamknięty ze względu na te działania i R j dla j=1,2,,k są relacjami w A. Jeśli uniwersum systemu składa się z obiektów różnych typów, to system nazywamy wielosortowym. System algebraiczny S = (B, O 1, O 2,, O m, R 1, R 2,, R k ) nazywamy podsystemem systemu algebraicznego S = (A, O 1, O 2,, O m, R 1, R 2,, R k ), jeżeli gdy B A.

11 Półgrupa Zbiór A wraz z działaniem łącznym *, przy czym A jest zamknięty ze względu na działanie * nazywamy półgrupą i oznaczamy (A, *). Grupa Zbiór G wraz działaniem * nazywamy grupą i oznaczamy (G, *), jeśli 1. * jest działaniem łącznym, 2. istnieje element neutralny działania *, 3. g G istnieje element odwrotny. Warunki 1-3 nazywają się aksjomatami grupy, element neutralny w grupie nazywa się jednością grupy.

12 Twierdzenie W dowolnej grupie G, g G istnieje dokładnie jeden element odwrotny. Dowód: Niech g G i niech każdy z elementów g G i g G jest elementem odwrotnym do g. Jeśli e jest jednością grupy, wówczas: g"=e*g =(g *g)*g =g *(g*g )=g *e=g, czyli są one sobie równe. Jeżeli dodatkowo działanie * jest przemienne, to grupę nazywamy przemienną lub abelową.

13 Jeżeli mamy do czynienia z grupami nieabelowymi oraz z grupami w ogóle, działanie * oznacza się i nazywa mnożeniem, wówczas zamiast pisać a b piszemy ab. Element neutralny oznacza się wtedy przez e, a element odwrotny przez a -1. Wyrażenie aa a (n razy) oznaczamy a n i nazywamy n-tą potęgą elementu a. Taki sposób zapisu nazywa się multiplikatywny. W grupach abelowych przyjmuje się oznaczenie działania * przez + i nazywa je dodawaniem. Element neutralny oznacza się wtedy przez 0, a element odwrotny przez a, wtedy zamiast pisać a+(-b) piszemy a-b. Wyrażenie a+a+ +a (n razy) oznaczamy n a i nazywamy n-tą wielokrotnością elementu a Taki sposób zapisu nazywa się addytywny.

14 Niech (G, *) będzie grupą i niech a, b G, wtedy zachodzą następujące twierdzenia: 1. e -1 =e, 2. (a -1 ) -1 =a, 3. (a*b) -1 =b -1 *a -1, 4. Działanie * spełnia prawo skracania, 5. Każde z równań a*x=b oraz y*a=b posiada jednoznaczne rozwiązanie w G.

15 Jeśli (G,*) jest grupą, to moc zbioru G nazywamy rzędem grupy G. Grupy nazywamy skończonymi (przeliczalnymi, nieprzeliczalnymi), jeżeli moc zbioru G jest skończona (przeliczalna, nieprzeliczalna). Grupa (G, *), w której istnieje element a o tej właściwości, że każdy element grupy jest jego potęgą (wielokrotnością) nazywa się grupą cykliczną. Element a nazywa się generatorem grupy cyklicznej, co zapisujemy G=<a>. Korzystając z logiki predykatów można zapisać: G=<a> a G g G n Ζ g = a n (g = n a). Każda grupa cykliczna jest abelowa, ale nie na odwrót.

16 Podgrupa Podzbiór H grupy (G, *), będący grupą względem działania * nazywamy podgrupą grupy G. Każda grupa zawiera jako podgrupy siebie samą i grupę zawierająca tylko jedność, są to tak zwane podgrupy niewłaściwe, pozostałe podgrupy nazywamy właściwymi.

17 Grupy permutacji Wzajemnie jednoznaczne przekształcenie zbioru X na siebie nazywamy permutacją zbioru X. Zbiór wszystkich permutacji zbioru X oznaczamy S(X) lub S X. Jeżeli zbiór X jest skończony o mocy n, to S (X) = n!. Wtedy przyjmujemy oznaczenie S(X) = S n. Permutację σ S n zapisuje się w postaci tabelarycznej (dwuwierszowej): σ = σ 1 (1) σ 2 (2) σ n (n), gdzie w górnym wierszu znajdują się elementy zbioru X, a w dolnym wierszu napisane pod nimi ich obrazy.

18 Jeśli wprowadzimy oznaczenie σ(i)=a i dla i=1,2,,n wtedy zapisujemy permutacje w postaci: = σ n 2 1 a a a n 2 1. W zapisie dwuwierszowym permutacja I tożsamościowa (identycznościowa) ma postać = n 2 1 n 2 1 I, Natomiast permutacja σ -1 odwrotna do permutacji σ ma postać = σ n 2 1 a a a n 2 1.

19 W zbiorze S(X) określone jest działanie złożenia (superpozycji) permutacji, które można zapisać w postaci tabelarycznej: σ r = = σ σ 1 (1) 1 (r(1)) σ 2 (2) 2 σ (r(2)) n σ (n) σ 1 r(1) n. (r(n)) 2 r(2) n r(n) = Twierdzenie Zbiór wszystkich permutacji zbioru X z działaniem złożenia przekształceń, czyli (S(X), ) jest grupą.

20 Jeżeli zbiór X jest skończony i jego moc wynosi n, to grupa (S(X), )=(S n, ) jest grupą rzędu n! i oznaczamy ją krótko S n. Niech a 1, a 2,,a k będzie układem k różnych liczb ze zbioru {1,2,,n} przy czym (2 k n). Permutację σ S n spełniającą warunki: σ(a j )=a j+1 dla j=1,2,,k-1, σ(a k )=a 1, σ(i)=i dla i {1,2,,n}\{ a 1, a 2,,a k } Nazywamy cyklem k-wyrazowym lub cyklem długości k i zapisujemy jako σ=(a 1, a 2,,a k ) pomijając w zapisie wyrazy, które przechodzą na siebie. Każdy cykl długości k można zapisać na k sposobów.

21 Przykład Permutacja σ = S 4 jest cyklem długości 3 i możemy zapisać ją jako: σ = (1, 4, 3) = (4, 3, 1) = (3, 1, 4): Oczywiście (1, 3, 4) (1, 4, 3), gdyż (1, 3, 4) = σ. Cykl o długości k=2 nazywamy transpozycją. Jeśli σ = (a 1, a 2 ), to mówimy, że σ jest transpozycją elementów a 1 i a 2. Zachodzi równość (a 1, a 2 ) = (a 2, a 1 ). Dowodzi się, że grupy S 1 i S 2 są abelowe. Dla n 3 grupy S n nie są abelowe.

22 Dwa cykle c 1 = (a 1,, a k ) i c 2 = (b 1,, b l ) z S n nazywamy rozłącznymi, jeśli zbiory {a 1,, a k } i {b 1,, b l } są rozłącznymi podzbiorami zbioru {1,, n}. Twierdzenie Jeśli c 1, c 2 S n są cyklami rozłącznymi, to c 1 c 2 = c 2 c 1. Twierdzenie Każda permutacja σ S n jest identycznością, albo cyklem, albo złożeniem cykli rozłącznych. Twierdzenie Każda permutacja σ S n jest identycznością, transpozycją, albo złożeniem co najwyżej n - 1 transpozycji.

23 Algebry podobne, homomorfizmy, izomorfizmy Mówimy, że dwie algebry Q 1 =(A,O 1,O 2,,O n ) oraz Q 2 =(B,O 1,O 2,,O m ) są podobne, jeżeli n=m i dla każdego j=1,2,,n działania O j i O j mają tę samą liczbę argumentów. Niech dane będą algebry podobne Q 1 =(A,O 1,O 2,,O n ) oraz Q 2 =(B,O 1,O 2,,O n ). Przekształcenie h: A B spełniające dla każdego j=1,2,,n i każdego ciągu (a 1, a 2,,a m(j) ) elementów zbioru warunek: h(o j (a 1, a 2,,a m(j) ))=O j (h(a 1 ), h(a 2 ),, h(a m(j) )) nazywamy homomorfizmem. Własność tę nazywamy zachowaniem operacji. Homomorfizm dowolnej algebry Q 1 =(A,O 1,O 2,,O n ) w tę samą algebrę nazywamy endomorfizmem.

24 Homomorfizm algebry Q 1 =(A,O 1,O 2,,O n ) na algebrę podobną Q 2 =(B,O 1,O 2,,O n ) nazywamy epimorfizmem. Jeżeli homomorfizm jest przekształceniem różnowartościowym, to nazywamy go monomorfizmem. Przekształcenie, które jest jednocześnie epimorfizmem i monomorfizmem nazywamy izomorfizmem. Algebry podobne Q 1 =(A,O 1,O 2,,O n ) oraz Q 2 =(B,O 1,O 2,,O n ), dla których istnieje izomorfizm przekształcający A na B nazywamy izomorficznymi. Izomorfizm dowolnej algebry Q 1 =(A,O 1,O 2,,O n ) na Q 1 =(A,O 1,O 2,,O n ) nazywamy automorfizmem.

25 Kongruencje Niech Q 1 =(A,O 1,O 2,,O n ) będzie dowolna algebrą. Relację równoważności R w A nazywamy kongruencją w A, jeżeli dla każdego działania O j, j=1,2,,n, spełniony jest warunek: dla dowolnych elementów a 1, a 2,,a m(j), b 1, b 2,,b m(j) zbioru A jeśli a 1 Rb 1, a 2 Rb 2,,a m(j) Rb m(j) to O j (a 1, a 2,,a m(j) )R O j (b 1, b 2,,b m(j) ).

26 Pierścienie, pierścienie wielomianów Niech dany będzie zbiór A z dwoma działaniami i. Działanie jest rozdzielne względem działania, jeśli a,b,c A [a (b c)=(a b) (a c)] [(b c) a=(b a) (c a)]. Jeżeli jest działaniem przemiennym, to wystarczy w tej definicji tylko jeden człon koniunkcji.

27 Zbiór A, w którym określone są dwa działania i, nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: 1. A jest grupą abelową względem działania. 2. działanie jest rozdzielne względem działania. 3. działanie jest łączne. Warunki 1-3 nazywamy aksjomatami teorii pierścieni lub aksjomatami pierścienia. Działanie nazywamy dodawaniem i oznaczamy +, działanie nazywamy mnożeniem i oznaczamy.

28 Zbiór A rozpatrywany jedynie z dodawaniem nazywamy grupą addytywną pierścienia, natomiast jej element neutralny nazywamy zerem pierścienia i oznaczamy 0. Pierścień w którym mnożenie jest przemienne nazywamy pierścieniem przemiennym. Jeżeli w pierścieniu istnieje element neutralny mnożenia, to nazywamy go jednością pierścienia i oznaczamy 1, a pierścień nazywamy pierścieniem z jednością.

29 Niech (A,+, ) będzie pierścieniem i niech a,b,c,d A. Wtedy zachodzą następujące własności: 1. 0 a=a 0=0, 2. (-a)=a, 3. (-a) b=a (-b)=-(a b) 4. (-a) (-b)=a b 5. a (b-c)=a b-a c, (b-c) a= b a-c a 6. (a-b) (c-d)=a c-a d-b c+b d. 7. Jeżeli (A,+, ) jest pierścieniem z jednością to (-1) a=-a. Podzbiór B pierścienia (A,+, ) nazywamy jego podpierścieniem, jeżeli B z działaniami + i jest pierścieniem. Pierścień (A,+, ) nazywamy wówczas rozszerzeniem pierścienia (B,+, ).

30 Niech (W,+, ) będzie pierścieniem przemiennym. Wielomianem jednej zmiennej nad pierścieniem W nazywamy dowolny ciąg nieskończony f=[a 0,a 1,a 2, ] elementów pierścienia W, w którym wszystkie wyrazy począwszy od pewnego miejsca są równe 0. Wyrazy ciągu [a 0,a 1,a 2, ] nazywamy współczynnikami wielomianu. Wielomian [0,0,0, ] nazywamy wielomianem zerowym i oznaczamy 0. Wielomian [1,0,0, ] nazywamy wielomianem jednostkowym. Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad pierścieniem (W,+, ) oznaczamy przez W[x].

31 W W[x] definiujemy działania dodawania i mnożenia następująco: f + g = [a 0 +b 0,a 1 +b 1,a 2 +b 2, ], f g = [c 0,c 1,c 2, ], gdzie c k = k i = 0 a i b k i, dla k N. Twierdzenie Zbiór W[x] wraz z określonymi powyżej działaniami + i, czyli (W[x],+, ) jest pierścieniem przemiennym, którego zerem jest wielomian zerowy.