granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

Transkrypt

1 14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech (f n ) n N będzie ciągiem funkcji rzeczywistych określonych na pewnym zbiorze E R, tzn. każdy wyraz ciągu f n jest funkcją f n : E R. Każdy taki ciąg nazywamy ciągiem funkcyjnym. Dla każdego ustalonego x E, ciąg wartości (f n (x)) n N jest zwykłym ciągiem liczbowym. Jeżeli dla każdego x E ciąg liczbowy (f n (x)) n N jest zbieżny, to mówimy, że ciąg funkcyjny (f n ) n N jest punktowo zbieżny (lub krótko zbieżny) na E. Jeżeli wówczas dla każdego x E przez (f(x) oznaczyy wartość granicy lim f n(x) w punkcie x, to otrzymamy funkcję f : E R którą nazywamy n granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: 1.1 Przykład Rozważmy ciąg funkcji (f n ) n N f n (x) := x n, x ( 1, 1] x E ε>0 N N n>n f n (x) f(x) < ɛ 1

2 Ciąg ten jest zbieżny dla x ( 1, 1]. Jego granica w przedziale ( 1, 1] jest funkcja: { 0 gdy x ( 1, 1] f(x) = 1 gdy x = 1 2 Definicja Szereg funkcyjny Niech (f n ) n N bedzie ciągiem funkci rzeczywistych, określonych w pewnym zbiorze E R. Wówczas szereg f n nazywamy seregiem funkcyjnym. Jeżeli dla każdego x E szereg liczbowy f n (x) jest zbieżny to mówimy, że szereg funkcyjny f n jest punktowo zbieżny (lub krótko zbieżny) na E. Jeżeli wówczas dla każdego x E przez f(x) oznaczymy sumę szeregu f n (x) to funkcje f : E R nazywamy sumą szeregu funkcyjnego f n. f(x) = lim s n (x), gdzie s n (x) = f 1 (x) + f 2 (x) f n (x) x 2.1 Przykład Rozważmy szereg funkcyjny x n, gdzie x ( 1, 1). Szereg ten jest zbieżny dla x ( 1, 1) oraz x n = 1 1 x. Rzeczywiście: s n (x) = 1 + x + x x n 1. s n (x) = (1 + x + x x n 1 ) 1 x = 1+x+x x n 1 x x 2... x n = 1 xn 1 x 1 x 1 x lim s 1 x n n(x) = lim n n 1 x = 1 1 x. Czyli granicą ciągu sum częściowych s n (x) dla x ( 1, 1) tego szeregu jest funkcja f(x) = 1. 1 x 3 Definicja jednostajej zbieżnośi ciągów funkcyjnych Mówimy że ciąg funkcyjny (f n ) n N określony na zbiorze E R jest jednostajnie zbieżny na E do funkcji f, gdy istnieje funkcja f : E R taka że: ε>0 i oznaczamy: f n f N N n>n x E f n (x) f(x) < ɛ 2

3 3.1 Twierdzenie Jeżeli ciąg funkcyjny (f n ) n N jest jednostajnie zbieżny na E do funkcji f, to jest on zbieżny punktowo (krótko zbieżny) na E i do funkcji f. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi 3.2 Przykład Ciąg funkcyjny, który nie jest jednostajnie zbieżny, choć jest zbieżny f n (x) = x n, x ( 1, 1] Pokażemy z def zbieżności punktowej, że jest zbieżny, czyli lim n f n = f Dla danego 0 < ɛ < 1 i ustalonego x ( 1, 1) nierówność f n (x) f(x) < ɛ, czyli x n < ɛ ( x n < ɛ ln ln x n < ln ɛ n ln x < ln ɛ : ln x n > lnɛ ln x ) zachodzi dla n > lnɛ ln x. Zatem przynajmując N = N(x, ɛ) = lnɛ ln x otrzymujemy, że gdy x 1 to N(x, ɛ) +. Zatem dla danego ɛ > 0 nie uda nam się dobrać N(ɛ) tak by n>n(ɛ) f n (x) f(x) < ɛ. 3.3 Twierdzenie Niech lim n f n = f na E. Przyjmijmy M n = sup x E f n (x) f(x), dla n N. Wówczas ciąg funkcyjny (f n ) n N jest jednostajnie zbieżny na E wtedy i tylko wtedy, gdy lim n M n = Twierdzenie Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych na zbiorze E jest ciągła na zbiorze E. 3.5 Twierdzenie(Kryterium Cauchy ego jednostajnie zbieżnego ciągu funkcyjnego) Ciąg funkcyjny (f n ) n N jest jednostajnie zbieżny na E wtedy i tylko wtedy, gdy ɛ>0 N N m,k>n x E f m (x) f k (x) < ɛ 3.6 Twierdzenie Niech (f n ) n N będzie ciągiem funkcji różniczkowalnych na przedziale [a,b]. Jeśli ciągi (f n ) n N zbieżny w pewnym punkcie x [a, b] i (f n) n N są jednostajnie zbieżne na [a,b], to ( n lim f n (x)) = n lim f n(x) 3

4 4 Jednostajna zbieżność szeregów funkcyjnych 4.1 Definicja Niech dany będzie ciąg funkcyjny (f n ) n N określony na E R. Mówimy, że szereg funkcyjny f n jest jednostajnie zbieżny, gdy ciąg funkcyjny jego sum częściowych S k = k f n jest jednostajnie zbieżny na E. Jeśli wtedy oznaczymy przez f granice ciągu (S k ) k N tzn. lim S k = f to mówimy wtedy, że szereg k funkcyjny jest jednostajnie zbieżny na E do funkcji f. 4.2 Przykład Szereg x n jest zbieżny punktowo w przedziale (-1,1] ale nie jest jednostajnie zbieżny. 4.3 Twierdzenie Każdy szereg funkcyjny zbieżny jest jednostajnie zbieżny. 4.4 Twierdzenie Niech (f n ) n N będzie ciągiem funkcji różniczkowalnych na przedziale [a,b]. Jeśli szeregi f n i f n są jednostajnie zbieżne na [a,b], to ( f n ) = f n 5 Kryteria zbieżnosci jednostajniej szeregów funkcyjnych 5.1 Kryterium Cauchy ego Szereg funkcyjny gdy f n jest jednostajnie zbieżny na E wtedy i tylko wtedy, m ɛ>0 n N m k n x E f k (x) f m (x) < ɛ f n (x) < ɛ n=k 5.2 kryterium Weierstrassa Niech dany będzie ciąg funkcyjny (f n ) n N określony w zbiorze E R. Jeśli istnieje ciąg liczbowy M n R taki, że n N f n (x) M n, x E i szereg licz- 4

5 bowy M n jest zbieżny, to szereg funkcyjny f n jest jednostajnie zbieżny i bezwzględnie zbieżny w E. 5.3 Przykład Szereg to x n jest jednostajnie zbieżny w każdym przedziale [-a,a], gdzie a R, n N f n (x) = xn dla każdego x [ a, a] i szereg liczbowy Z kryterium d Alemberta an M n = an jest zbieżny dla a R.. lim n a n+1 (n+1)! a n = lim n a n a (n + 1)! a n = lim n a n + 1 = 0 < 1 5