Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów"

Transkrypt

1 Wykład 3. Własności grafów 1 / 87

2 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87

3 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). Wówczas Graf G = (V, E) nazywamy sumą grafów G 1 i G 2 i oznaczamy G = G 1 G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 3 / 87

4 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). Wówczas Graf G = (V, E) nazywamy sumą grafów G 1 i G 2 i oznaczamy G = G 1 G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 G G 1 2 a c d b e 4 / 87

5 Zespolenie grafów Graf G = (V, E) nazywamy zespoleniem grafów G 1 i oznaczmy G 2 G = G 1 + G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 {{v 1, v 2} : v 1 V 1, v 2 V 2} 5 / 87

6 Zespolenie grafów Graf G = (V, E) nazywamy zespoleniem grafów G 1 i oznaczmy G 2 G = G 1 + G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 {{v 1, v 2} : v 1 V 1, v 2 V 2} a G+ 1 G 2 c d b e 6 / 87

7 Zespolenie grafów Graf G = (V, E) nazywamy zespoleniem grafów G 1 i oznaczmy G 2 G = G 1 + G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 {{v 1, v 2} : v 1 V 1, v 2 V 2} a G+ 1 G 2 c d b e Twierdzenie Jeśli G = G 1 + G 2, to V = V 1 + V 2 oraz E = E 1 + E 2 + V 1 V 2. 7 / 87

8 Graf regularny Graf prosty, w którym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień nazywamy grafem regularnym. 8 / 87

9 Graf regularny Graf prosty, w którym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień nazywamy grafem regularnym. Jeżeli każdy wierzchołek grafu ma stopień r, to graf ten nazywamy grafem regularnym stopnia r lub grafem r-regularnym. Graf regularny stopnia 3 nazywamy grafem kubicznym. 9 / 87

10 Graf regularny Graf prosty, w którym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień nazywamy grafem regularnym. Jeżeli każdy wierzchołek grafu ma stopień r, to graf ten nazywamy grafem regularnym stopnia r lub grafem r-regularnym. Graf regularny stopnia 3 nazywamy grafem kubicznym. a) b) c) d) e) Własność Graf r-regularny o n wierzchołkach posiada nr 2 krawędzi. 10 / 87

11 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 11 / 87

12 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 1 dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v, 12 / 87

13 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 1 dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v, 2 dla każdej pary wierzchołków u i v nie połączonych krawędzią istnieje dokładnie µ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v 13 / 87

14 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 1 dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v, 2 dla każdej pary wierzchołków u i v nie połączonych krawędzią istnieje dokładnie µ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v Grafy k-silnie regularne charakteryzuje ciąg (n, k, λ, µ) 14 / 87

15 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 1 dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v, 2 dla każdej pary wierzchołków u i v nie połączonych krawędzią istnieje dokładnie µ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v Grafy k-silnie regularne charakteryzuje ciąg (n, k, λ, µ) (8, 4, 0, 4) 15 / 87

16 Grafy trójkątne Grafem trójkątnym T n nazywamy graf prosty, którego wierzchołki odpowiadają wzajemnie jednoznacznie dwuelementowym podzbiorom zbioru n elementowego oraz każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią wtedy i tylko wtedy gdy przecięcie odpowiadających im zbiorów jest niepuste. 16 / 87

17 Grafy trójkątne Grafem trójkątnym T n nazywamy graf prosty, którego wierzchołki odpowiadają wzajemnie jednoznacznie dwuelementowym podzbiorom zbioru n elementowego oraz każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią wtedy i tylko wtedy gdy przecięcie odpowiadających im zbiorów jest niepuste. {1,3} {1,2} {2,3} T 2 T 3 17 / 87

18 Graf T 4 Dla zbioru czteroelementowego mamy 6 podzbiorów dwuelementowych {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} 18 / 87

19 Graf T 4 Dla zbioru czteroelementowego mamy 6 podzbiorów dwuelementowych {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} {1,3} {1,4} {3,4} {1,2} {2,4} {2,3} 19 / 87

20 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków / 87

21 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków. 2 2 Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n / 87

22 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków. 2 2 Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n 4. 3 n 2 jest liczbą wierzchołków sąsiednich jednocześnie do u i v, jeżeli u i v są sąsiednie. 22 / 87

23 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków. 2 2 Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n 4. 3 n 2 jest liczbą wierzchołków sąsiednich jednocześnie do u i v, jeżeli u i v są sąsiednie. 4 4 jest to liczbą wierzchołków sąsiednich do u i v, jeżeli u i v nie są sąsiednie. 23 / 87

24 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków. 2 2 Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n 4. 3 n 2 jest liczbą wierzchołków sąsiednich jednocześnie do u i v, jeżeli u i v są sąsiednie. 4 4 jest to liczbą wierzchołków sąsiednich do u i v, jeżeli u i v nie są sąsiednie. Wniosek Grafy trójkątne są grafami silnie regularnymi, które charakteryzuje ciąg (( ) ) n, 2n 4, n 2, / 87

25 Graf pełny Graf prosty, w którym każda para wierzchołków jest połączona krawędzią nazywamy grafem pełnym. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczmy symbolem K n. 25 / 87

26 Graf pełny Graf prosty, w którym każda para wierzchołków jest połączona krawędzią nazywamy grafem pełnym. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczmy symbolem K n. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 26 / 87

27 Graf pełny Własność Stopień każdego wierzchołka w grafie pełnym K n wynosi n / 87

28 Graf pełny Własność Stopień każdego wierzchołka w grafie pełnym K n wynosi n 1. Twierdzenie Graf pełny K n ma krawędzi. E Kn = n (n 1) 2 28 / 87

29 Graf pusty Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest pusty zbiór wierzchołków, czyli V > 0 oraz E = 0). Graf pusty mający n wierzchołków oznaczamy symbolem N n. 29 / 87

30 Graf pusty Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest pusty zbiór wierzchołków, czyli V > 0 oraz E = 0). Graf pusty mający n wierzchołków oznaczamy symbolem N n. N 8 30 / 87

31 Graf pusty Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest pusty zbiór wierzchołków, czyli V > 0 oraz E = 0). Graf pusty mający n wierzchołków oznaczamy symbolem N n. Własność 1 Graf N n składa się z n wierzchołków izolowanych. N 8 31 / 87

32 Graf pusty Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest pusty zbiór wierzchołków, czyli V > 0 oraz E = 0). Graf pusty mający n wierzchołków oznaczamy symbolem N n. Własność 1 Graf N n składa się z n wierzchołków izolowanych. 2 Graf N n jest grafem regularnym stopnia 0. N 8 32 / 87

33 Graf cykliczny Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny mający n wierzchołków oznaczamy symbolem C n. 33 / 87

34 Graf cykliczny Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny mający n wierzchołków oznaczamy symbolem C n. C 5 34 / 87

35 Graf cykliczny Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny mający n wierzchołków oznaczamy symbolem C n. Własność 1 W grafie cyklicznym każde dwie sąsiednie krawędzie są połączone szeregowo. C 5 35 / 87

36 Graf cykliczny Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny mający n wierzchołków oznaczamy symbolem C n. Własność 1 W grafie cyklicznym każde dwie sąsiednie krawędzie są połączone szeregowo. 2 Graf cykliczny C n posiada n krawędzi. C 5 36 / 87

37 Graf liniowy Jeżeli z grafu C n usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem P n. 37 / 87

38 Graf liniowy Jeżeli z grafu C n usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem P n. P 6 38 / 87

39 Graf liniowy Jeżeli z grafu C n usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem P n. Własność 1 Graf P n nie jest grafem regularnym. P 6 39 / 87

40 Graf liniowy Jeżeli z grafu C n usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem P n. P 6 Własność 1 Graf P n nie jest grafem regularnym. 2 Graf P n posiada zawsze 2 wierzchołki stopnia pierwszego, a pozostałe n 2 wierzchołki są stopnia drugiego. 40 / 87

41 Koło Kołem W n nazywamy graf W n = C n 1 + N / 87

42 Koło Kołem W n nazywamy graf W n = C n 1 + N 1. N 1 C 5 W 6 W 6 = C 5 + N 1 42 / 87

43 Graf dwudzielny Niech G = (V, E) będzie grafem prostym. Graf G jest grafem dwudzielnym, jeśli zbiór wierzchołków V jest sumą dwóch niepustych zbiorów rozłącznych V 1 i V 2, takich, że każda krawędź tego grafu łączy wierzchołek ze zbioru V 1 z wierzchołkiem ze zbioru V / 87

44 Graf dwudzielny Niech G = (V, E) będzie grafem prostym. Graf G jest grafem dwudzielnym, jeśli zbiór wierzchołków V jest sumą dwóch niepustych zbiorów rozłącznych V 1 i V 2, takich, że każda krawędź tego grafu łączy wierzchołek ze zbioru V 1 z wierzchołkiem ze zbioru V 2. x 1 x 2 x 3 x3 y 2 y 3 x 2 x 1 y 1 y 1 y 2 44 / 87

45 Graf dwudzielny Twierdzenie Jeżeli graf G jest grafem dwudzielnym, to każdy cykl w G ma długość parzystą. 45 / 87

46 Graf dwudzielny Twierdzenie Jeżeli graf G jest grafem dwudzielnym, to każdy cykl w G ma długość parzystą. Dowód. Niech V = V 1 V 2 oraz niech v 0v 1v 2... v mv 0 będzie cyklem w G. Załóżmy, bez straty ogólności, że v 0 V 1, wtedy v 1 V 2, v 2 V 1, itd. (Wierzchołki o indeksach parzystych należą do zbioru V 1, a o indeksach nieparzystych do zbioru V 2). Ponieważ cykl jest długości m oraz v m V 2, więc cykl ma długość parzystą. 46 / 87

47 Graf pełny dwudzielny Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru V 1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V 2 dokładnie jedną krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym V 1 = r i V 2 = s oznaczamy symbolem K r,s. 47 / 87

48 Graf pełny dwudzielny Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru V 1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V 2 dokładnie jedną krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym V 1 = r i V 2 = s oznaczamy symbolem K r,s. x 3 x 2 x 1 x 2 y 2 x 1 x 2 x 3 x 3 Własność y 1 x 2 x x 1 1 y2 K 1,3 K 2,2 K 2,3 y 1 y 1 y 1 K 2,3 y 2 1 K r,s = N r + N s x 3 y 2 x 1 x 2 x 3 y 3 x 2 x 1 y 1 y K 3,3 y 2 1 K y3 3,3 48 / 87

49 Graf pełny dwudzielny Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru V 1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V 2 dokładnie jedną krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym V 1 = r i V 2 = s oznaczamy symbolem K r,s. x 3 x 2 x 1 x 2 y 2 x 1 x 2 x 3 x 3 Własność y 1 x 2 x x 1 1 y2 K 1,3 K 2,2 K 2,3 y 1 y 1 y 1 y 2 K 2,3 x 3 y 2 x 1 x 2 x 3 1 K r,s = N r + N s 2 Każdy graf K r,s ma r + s wierzchołków. y 3 x 2 x 1 y 1 y K 3,3 y 2 1 K y3 3,3 49 / 87

50 Graf pełny dwudzielny Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru V 1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V 2 dokładnie jedną krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym V 1 = r i V 2 = s oznaczamy symbolem K r,s. x 3 x 2 x 1 x 2 y 2 x 1 x 2 x 3 x 3 Własność y 1 x 2 x x 1 1 y2 K 1,3 K 2,2 K 2,3 y 1 y 1 y 1 y 2 K 2,3 x 3 y 2 x 1 x 2 x 3 1 K r,s = N r + N s 2 Każdy graf K r,s ma r + s wierzchołków. y 3 x 2 3 Każdy graf K r,s ma r s krawędzi. x 1 y 1 y K 3,3 y 2 1 K y3 3,3 50 / 87

51 Algorytm testowania dwudzielności grafu BIPART(G, s; S, T, bip) Algorytm 1 Q 0, bip true, S Dane: G spójny graf, dowolny 2 for każdy v V wierzchołek s grafu G 3 do Wynik: jeżeli graf jest dwudzielny, 4 d(v) wówczas bip ma wartość true oraz 5 d(s) 0, s Q generowane są zbiory S i T, takie, 6 while Q and bip = true że S T = V i S T = 7 do 8 u head[q] 9 for każdy v Adj[u] 10 do 11 if d(v) = then d(v) d(u) + 1; v Q 12 else if d(u) = d(v) then bip false 13 if bip = true 14 then 15 for v V 16 do 17 if d(v) = 0(mod2) then S S {v} 18 T V \ S 51 / 87

52 Kostki Graf, którego wierzchołki odpowiadają ciągom binarnym (a 1, a 2,..., a n), oraz którego krawędzie łączą ciągi różniące się dokładnie jednym wyrazem nazywamy n kostką Q n. 52 / 87

53 Kostki Graf, którego wierzchołki odpowiadają ciągom binarnym (a 1, a 2,..., a n), oraz którego krawędzie łączą ciągi różniące się dokładnie jednym wyrazem nazywamy n kostką Q n / 87

54 W trakcie przyjęcia pan Szaradek udał się do toalety. W tym czasie goście rozłożyli na stole w jednym rzędzie (w losowy sposób) n > 1 monet i podali liczbę ze zbioru {1,..., n}. Pani Szaradkowa odwróciła do góry nogami dokładnie jedną monetę. Czy patrząc na układ monet na stole Pan Szaradek, który wrócił z toalety już po odwróceniu monet, jest w stanie odpowiedzieć na pytanie jaką liczbę podali goście? Wskazówka: Rozstrzygnąć, dla jakich n jest to możliwe. 54 / 87

55 Graf krawędziowy Grafem krawędziowym L(G) grafu G, nazywamy graf, którego wierzchołki odpowiadają wzajemnie jednoznacznie krawędziom G oraz dowolne dwa wierzchołki w grafie L(G) są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im krawędzie są sąsiednie w G. 55 / 87

56 Graf krawędziowy Grafem krawędziowym L(G) grafu G, nazywamy graf, którego wierzchołki odpowiadają wzajemnie jednoznacznie krawędziom G oraz dowolne dwa wierzchołki w grafie L(G) są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im krawędzie są sąsiednie w G. 56 / 87

57 Dopełnienie grafu Dopełnieniem grafu G = (V, E) nazywamy graf G, którego zbiór wierzchołków jest taki sam, jak grafu G oraz w którym dwa wierzchołki są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy nie są sąsiednie w grafie G. 57 / 87

58 Dopełnienie grafu Dopełnieniem grafu G = (V, E) nazywamy graf G, którego zbiór wierzchołków jest taki sam, jak grafu G oraz w którym dwa wierzchołki są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy nie są sąsiednie w grafie G. u u y v y v x w x w Własność 1 Dopełnieniem grafu pełnego K n jest graf pusty N n. 58 / 87

59 Dopełnienie grafu Dopełnieniem grafu G = (V, E) nazywamy graf G, którego zbiór wierzchołków jest taki sam, jak grafu G oraz w którym dwa wierzchołki są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy nie są sąsiednie w grafie G. u u y v y v x w x w Własność 1 Dopełnieniem grafu pełnego K n jest graf pusty N n. 2 Dopełnieniem grafu pełnego dwudzielnego K r,s są dwa grafy pełne K r i K s. 59 / 87

60 Podgraf grafu Graf H = V H, E H, γ H jest podgrafem grafu G = V G, E G, γ G wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki: V H V G E H E G γ H = γ G EH x 5 x 5 g e x 3 x 4 f x 3 x 4 b g e d a f x 5 x 1 x 1 c x 2 G G G 2 1 x 3 a b c d x 4 60 / 87

61 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 61 / 87

62 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 62 / 87

63 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 3 Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G. 63 / 87

64 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 3 Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G. 4 Pojedyncza krawędź grafu G łącznie z jej końcami jest podgrafem grafu G. 64 / 87

65 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 3 Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G. 4 Pojedyncza krawędź grafu G łącznie z jej końcami jest podgrafem grafu G. 5 Każdy graf prosty G o n-wierzchołkach jest podgrafem grafu pełnego K n. 65 / 87

66 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 3 Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G. 4 Pojedyncza krawędź grafu G łącznie z jej końcami jest podgrafem grafu G. 5 Każdy graf prosty G o n-wierzchołkach jest podgrafem grafu pełnego K n. 6 Liczba wszystkich różnych grafów prostych zawierających n wierzchołków jest równa 2 n(n 1) 2 66 / 87

67 grafu Niech dany będzie graf G = V, E, γ i krawędź e E. G e oznacza podgraf otrzymany z grafu G przez usunięcie krawędzi e. Niech F będzie dowolnym podzbiorem zbioru krawędzi grafu G (F E), wówczas G F oznacza podgraf grafu G powstały przez usunięcie wszystkich krawędzi należących do zbioru F. v u f e g x z z d z u d u f f c v e v e b c g g c y a y x a y x a G G - b G - {d,b} 67 / 87

68 grafu Niech dany będzie graf G = V, E, γ i niech wierzchołek v V. G v oznacza podgraf grafu G otrzymany z G przez usunięcie wierzchołka v i wszystkich krawędzi do niego incydentnych. Jeżeli S jest dowolnym podzbiorem zbioru wierzchołków V grafu G (S V S V ), to G S oznacza graf, który otrzymamy z grafu G przez usunięcie wszystkich wierzchołków należących do zbioru S i wszystkich krawędzi incydentnych do dowolnego wierzchołka ze zbioru S. u u f v e v g g a a v y y y x x G - z G - {z,u} G - {z,x} 68 / 87

69 Graf częściowy Graf H nazywamy grafem częściowym lub grafem spinającym grafu G jeżeli jest podgrafem G i V H = V G. x 5 x 5 x 4 x 3 x 4 x 3 x 1 x G 2 x 1 x H 2 69 / 87

70 Klika Kliką nazywamy podgraf, w którym każde dwa wierzchołki są połączone krawędzią. 70 / 87

71 Klika Kliką nazywamy podgraf, w którym każde dwa wierzchołki są połączone krawędzią. 71 / 87

72 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. 72 / 87

73 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o większej liczbie wierzchołków. 73 / 87

74 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o większej liczbie wierzchołków. Ilość wierzchołków największej kliki oznaczamy przez ω(g). 74 / 87

75 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o większej liczbie wierzchołków. Ilość wierzchołków największej kliki oznaczamy przez ω(g). 75 / 87

76 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o większej liczbie wierzchołków. Ilość wierzchołków największej kliki oznaczamy przez ω(g). 76 / 87

77 Podgraf indukowany Podgrafem indukowanym H = (V H, E H ) grafu G = (V, E), nazywamy graf, w którym V H V oraz E H = {{u, v} : u, v V H oraz {u, v} E} podgraf indukowany G[1, 2, 3, 5, 7, 10] 77 / 87

78 Składowe spójne grafu Każdy spójny podgraf G 1 grafu G (G 1 G), który nie jest zawarty w większym (w sensie relacji zawierania zbioru wierzchołków oraz zawierania zbioru krawędzi) spójnym podgrafie grafu G nazywamy składową spójną grafu G. 78 / 87

79 Składowe spójne grafu Każdy spójny podgraf G 1 grafu G (G 1 G), który nie jest zawarty w większym (w sensie relacji zawierania zbioru wierzchołków oraz zawierania zbioru krawędzi) spójnym podgrafie grafu G nazywamy składową spójną grafu G. a x y b c w z d x 6 x x 3 79 / 87

80 Składowe spójne grafu Każdy spójny podgraf G 1 grafu G (G 1 G), który nie jest zawarty w większym (w sensie relacji zawierania zbioru wierzchołków oraz zawierania zbioru krawędzi) spójnym podgrafie grafu G nazywamy składową spójną grafu G. a x y b c w z d Oczywiście każdy wierzchołek izolowany danego grafu jest jego spójna składową. x 6 x x 3 80 / 87

81 Twierdzenie Spójny graf o n wierzchołkach, posiada co najmniej n 1 krawędzi. 81 / 87

82 Twierdzenie Spójny graf o n wierzchołkach, posiada co najmniej n 1 krawędzi. Twierdzenie Ilość krawędzi m w grafie prostym i spójnym o n wierzchołkach, spełnia zależność n(n 1) n 1 m 2 82 / 87

83 Twierdzenie Spójny graf o n wierzchołkach, posiada co najmniej n 1 krawędzi. Twierdzenie Ilość krawędzi m w grafie prostym i spójnym o n wierzchołkach, spełnia zależność n(n 1) n 1 m 2 Twierdzenie Niech G będzie grafem prostym o n wierzchołkach. Jeżeli graf G ma k składowych, to liczba m jego krawędzi spełnia nierówność n k m 1 (n k) (n k + 1) 2 Każdy graf prosty, który ma n wierzchołków i więcej niż (n 1)(n 2) 2 krawędzi jest spójny. 83 / 87

84 Lemat Acykliczny graf o n wierzchołkach posiada co najwyżej n 1 krawędzi. 84 / 87

85 Lemat Acykliczny graf o n wierzchołkach posiada co najwyżej n 1 krawędzi. Twierdzenie Niech G będzie grafem o n wierzchołkach. Wówczas dowolne dwa warunki implikują trzeci. 1 G jest spójny 2 G jest acykliczny 3 G posiada dokładnie n 1 krawędzi 85 / 87

86 Algorytm sprawdzający spójność grafu Dane: graf G = (V, E) Spojny(G) 1 for wszystkie v V 2 do 3 odwiedzony[v] = false 4 v - dowolny wierzchołek grafu 5 S v 6 while istnieje wierzchołek w S dla którego odwiedzony[v] = false 7 do 8 N zbiór wszystkich sąsiadów wierzchołka v 9 S S N 10 odwiedzony[v] = true 11 if S = V 12 then graf spójny 13 else graf niespójny 86 / 87

87 Dziękuję za uwagę!!! 87 / 87

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania 6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Matematyka dyskretna - 5.Grafy. Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

Wojciech Guzicki. Gdynia, 23 września 2016 r.

Wojciech Guzicki. Gdynia, 23 września 2016 r. 1 O KRÓTKICH CYKLACH W GRAFACH Wojciech Guzicki W. Guzicki: O krótkich cyklach w grafach 2 5zadań Zadanie 1.(XXXVII OM, zawody III stopnia, zadanie 5) W turnieju szachowym uczestniczy 2n zawodników(zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poniższe zadania są wyborem zadań ze Wstępu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziłem w ciągu ostatnich lat. Ponadto dołączyłem szereg zadań, które pojawiały

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy

Bardziej szczegółowo

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich. Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 6.Grafy

Matematyka dyskretna - 6.Grafy Matematyka dyskretna - 6.Grafy W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Praca dyplomowa magisterska

Praca dyplomowa magisterska Politechnika Gdańska WYDZIAŁ ELEKTRONIKI TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI Katedra: Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów Forma i poziom studiów: stacjonarne, jednolite magisterskie Kierunek studiów: Informatyka

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010 Algorytmy równoległe Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka Znajdowanie maksimum w zbiorze n liczb węzły - maksimum liczb głębokość = 3 praca = 4++ = 7 (operacji) n - liczność

Bardziej szczegółowo

Algorytmy multikolorowania grafów w modelu rozproszonym

Algorytmy multikolorowania grafów w modelu rozproszonym Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wydział Matematyki i Informatyki Rafał Witkowski Algorytmy multikolorowania grafów w modelu rozproszonym rozprawa doktorska Promotor: prof. dr hab. Michał Karoński Poznań,

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Algorytm zachłanny pobiera po kolei elementy danych, za każdym razem wybierając taki, który wydaje się najlepszy w zakresie spełniania pewnych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie.

Zadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie. Sortowanie Dane wejściowe: ciąg n-liczb (kluczy) (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n ) Dane wyjściowe: permutacja ciągu wejściowego (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n) taka, że a 1 a 2 a 3... a n 1 a n. Będziemy

Bardziej szczegółowo

Analiza algorytmów zadania podstawowe

Analiza algorytmów zadania podstawowe Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą

Bardziej szczegółowo

Diagnozowanie sieci komputerowej metodą dialogu diagnostycznego

Diagnozowanie sieci komputerowej metodą dialogu diagnostycznego Diagnozowanie sieci komputerowej metodą dialogu diagnostycznego Metoda dialogu diagnostycznego między komputerami sieci komputerowej, zalicza się do, tak zwanych, rozproszonych metod samodiagnozowania

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów 17 maja 2012 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące

Bardziej szczegółowo

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH Barbara Popowska bpopowsk@math.put.poznan.pl Politechnika Poznańska http://www.put.poznan.pl/ PROGRAM REFERATU 1. WPROWADZENIE 2. GRAF JAKO MODEL

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Halla o małżeństwach

Twierdzenie Halla o małżeństwach Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej

Bardziej szczegółowo

Szukanie najkrótszych dróg z jednym ródłem

Szukanie najkrótszych dróg z jednym ródłem Szukanie najkrótszych dróg z jednym ródłem Algorytm Dijkstry Załoenia: dany jest spójny graf prosty G z wagami na krawdziach waga w(e) dla kadej krawdzi e jest nieujemna dany jest wyróniony wierzchołek

Bardziej szczegółowo

1 Automaty niedeterministyczne

1 Automaty niedeterministyczne Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 2 Przeszukiwanie grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 2 Przeszukiwanie grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 2 Przeszukiwanie grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów 3. Spójność grafu,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie 7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. wteoria Krakowie) drzew - spinanie i przeszukiwanie

Bardziej szczegółowo

UWAGI O WŁAŚCIWOŚCIACH LICZBY ZNIEWOLENIA DLA GRAFÓW

UWAGI O WŁAŚCIWOŚCIACH LICZBY ZNIEWOLENIA DLA GRAFÓW PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO nr 19 AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI 2006 SAMBOR GUZE Akademia Morska w Gdyni Katedra Matematyki UWAGI O WŁAŚCIWOŚCIACH LICZBY ZNIEWOLENIA DLA GRAFÓW W pracy zdefiniowano liczbę

Bardziej szczegółowo

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia)

Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia) Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia) Jarosław Grytczuk 1 O trudnej sztuce liczenia 1.1 Zasada Mnożenia 1. Pewien pan ma 5 garniturów, 7 krawatów i 10 koszul. Ile różnych zestawów może skompletować? 2. W zawodach

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI J.NAWROCKI, M. ANTCZAK, H. ĆWIEK, W. FROHMBERG, A. HOFFA, M. KIERZYNKA, S.WĄSIK ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI ZAD. 1. Narysowad graf nieskierowany. Zmodyfikowad go w taki sposób, aby stał

Bardziej szczegółowo

Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r.

Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. 1 W czasie niezależnym do danych wejściowych działają algorytmy A. sortowanie bąbelkowego i Shella B. sortowanie szybkiego i przez prosty wybór C. przez podział

Bardziej szczegółowo

Tytuł rozprawy w języku polskim: Analiza właściwości algorytmicznych problemu szkieletowego kolorowania grafów

Tytuł rozprawy w języku polskim: Analiza właściwości algorytmicznych problemu szkieletowego kolorowania grafów Załącznik nr 1/1 do Zarządzenia Rektora PG nr 5/2015 z 10 lutego 2015 r. Imię i nazwisko autora rozprawy: Krzysztof Turowski Dyscyplina naukowa: Informatyka ROZPRAWA DOKTORSKA Tytuł rozprawy w języku polskim:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty

Bardziej szczegółowo

Podstawowe definicje i notacje (część, bo pewnie potem będzie więcej)

Podstawowe definicje i notacje (część, bo pewnie potem będzie więcej) 1 Wykład pierwszy 1.1 Tematyka Sprawy organizacyjne Podstawowe definicje i notacje (część, bo pewnie potem będzie więcej) Twierdzenie Halla Twierdzenie Koniga Wzór defektowy Ore Twierdzenie Tutte Wzór

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Algorytmy grafowe

Wykład 7. Algorytmy grafowe Wykład Algorytmy grafowe Algorytmy grafowe i podstawowe algorytmy przeszukiwania Problem Definicje i własności Reprezentacja Przeszukiwanie wszerz (Breadthirst Search) Przeszukiwanie w głąb (Depthirst

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna

Grzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna Grzegorz Bobiński Matematyka Dyskretna Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2016 Spis treści 1 Elementy teorii liczb 1 1.1 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.................

Bardziej szczegółowo

JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy

JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowych Postać normalna Chomsky ego Gramatyka G ze zbiorem nieterminali N i zbiorem terminali T jest w postaci normalnej Chomsky ego wtw gdy każda produkcja

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 Podstawowe pojęcia Definition Graf = wierzchołki + krawędzie. Krawędzie muszą mieć różne końce. Między dwoma wierzchołkami może

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Drzewa: BST, kopce. Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne

Algorytmy i struktury danych. Drzewa: BST, kopce. Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne Algorytmy i struktury danych Drzewa: BST, kopce Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne Drzewa: BST, kopce Definicja drzewa Drzewo (ang. tree) to nieskierowany, acykliczny, spójny graf. Drzewo może

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności

Bardziej szczegółowo

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2 Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO INFORMATYKI. Grafy i struktury grafowe

WSTĘP DO INFORMATYKI. Grafy i struktury grafowe Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej WTĘP DO INFORMATYKI Adrian Horzyk Grafy i struktury grafowe www.agh.edu.pl DEFINICJA GRAFU Graf to

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7 Relacje równoważności

Rozdział 7 Relacje równoważności Rozdział 7 Relacje równoważności Pojęcie relacji. Załóżmy, że dany jest niepusty zbiór A oraz własność W, którą mogą mieć niektóre elementy zbioru A. Własność W wyznacza pewien podzbiór W A zbioru A, złożony

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

RELACJE I ODWZOROWANIA

RELACJE I ODWZOROWANIA RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.

Bardziej szczegółowo

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)

Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9

Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9 Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny

Bardziej szczegółowo

złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa

złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa Zadanie 1. Rozważmy jezyk złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa równe. Narysować diagram minimalnego automatu deterministycznego akceptujacego

Bardziej szczegółowo