Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Transkrypt

1 Wykład 3. Własności grafów 1 / 87

2 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87

3 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). Wówczas Graf G = (V, E) nazywamy sumą grafów G 1 i G 2 i oznaczamy G = G 1 G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 3 / 87

4 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). Wówczas Graf G = (V, E) nazywamy sumą grafów G 1 i G 2 i oznaczamy G = G 1 G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 G G 1 2 a c d b e 4 / 87

5 Zespolenie grafów Graf G = (V, E) nazywamy zespoleniem grafów G 1 i oznaczmy G 2 G = G 1 + G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 {{v 1, v 2} : v 1 V 1, v 2 V 2} 5 / 87

6 Zespolenie grafów Graf G = (V, E) nazywamy zespoleniem grafów G 1 i oznaczmy G 2 G = G 1 + G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 {{v 1, v 2} : v 1 V 1, v 2 V 2} a G+ 1 G 2 c d b e 6 / 87

7 Zespolenie grafów Graf G = (V, E) nazywamy zespoleniem grafów G 1 i oznaczmy G 2 G = G 1 + G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 {{v 1, v 2} : v 1 V 1, v 2 V 2} a G+ 1 G 2 c d b e Twierdzenie Jeśli G = G 1 + G 2, to V = V 1 + V 2 oraz E = E 1 + E 2 + V 1 V 2. 7 / 87

8 Graf regularny Graf prosty, w którym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień nazywamy grafem regularnym. 8 / 87

9 Graf regularny Graf prosty, w którym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień nazywamy grafem regularnym. Jeżeli każdy wierzchołek grafu ma stopień r, to graf ten nazywamy grafem regularnym stopnia r lub grafem r-regularnym. Graf regularny stopnia 3 nazywamy grafem kubicznym. 9 / 87

10 Graf regularny Graf prosty, w którym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień nazywamy grafem regularnym. Jeżeli każdy wierzchołek grafu ma stopień r, to graf ten nazywamy grafem regularnym stopnia r lub grafem r-regularnym. Graf regularny stopnia 3 nazywamy grafem kubicznym. a) b) c) d) e) Własność Graf r-regularny o n wierzchołkach posiada nr 2 krawędzi. 10 / 87

11 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 11 / 87

12 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 1 dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v, 12 / 87

13 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 1 dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v, 2 dla każdej pary wierzchołków u i v nie połączonych krawędzią istnieje dokładnie µ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v 13 / 87

14 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 1 dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v, 2 dla każdej pary wierzchołków u i v nie połączonych krawędzią istnieje dokładnie µ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v Grafy k-silnie regularne charakteryzuje ciąg (n, k, λ, µ) 14 / 87

15 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 1 dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v, 2 dla każdej pary wierzchołków u i v nie połączonych krawędzią istnieje dokładnie µ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v Grafy k-silnie regularne charakteryzuje ciąg (n, k, λ, µ) (8, 4, 0, 4) 15 / 87

16 Grafy trójkątne Grafem trójkątnym T n nazywamy graf prosty, którego wierzchołki odpowiadają wzajemnie jednoznacznie dwuelementowym podzbiorom zbioru n elementowego oraz każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią wtedy i tylko wtedy gdy przecięcie odpowiadających im zbiorów jest niepuste. 16 / 87

17 Grafy trójkątne Grafem trójkątnym T n nazywamy graf prosty, którego wierzchołki odpowiadają wzajemnie jednoznacznie dwuelementowym podzbiorom zbioru n elementowego oraz każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią wtedy i tylko wtedy gdy przecięcie odpowiadających im zbiorów jest niepuste. {1,3} {1,2} {2,3} T 2 T 3 17 / 87

18 Graf T 4 Dla zbioru czteroelementowego mamy 6 podzbiorów dwuelementowych {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} 18 / 87

19 Graf T 4 Dla zbioru czteroelementowego mamy 6 podzbiorów dwuelementowych {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} {1,3} {1,4} {3,4} {1,2} {2,4} {2,3} 19 / 87

20 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków / 87

21 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków. 2 2 Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n / 87

22 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków. 2 2 Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n 4. 3 n 2 jest liczbą wierzchołków sąsiednich jednocześnie do u i v, jeżeli u i v są sąsiednie. 22 / 87

23 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków. 2 2 Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n 4. 3 n 2 jest liczbą wierzchołków sąsiednich jednocześnie do u i v, jeżeli u i v są sąsiednie. 4 4 jest to liczbą wierzchołków sąsiednich do u i v, jeżeli u i v nie są sąsiednie. 23 / 87

24 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków. 2 2 Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n 4. 3 n 2 jest liczbą wierzchołków sąsiednich jednocześnie do u i v, jeżeli u i v są sąsiednie. 4 4 jest to liczbą wierzchołków sąsiednich do u i v, jeżeli u i v nie są sąsiednie. Wniosek Grafy trójkątne są grafami silnie regularnymi, które charakteryzuje ciąg (( ) ) n, 2n 4, n 2, / 87

25 Graf pełny Graf prosty, w którym każda para wierzchołków jest połączona krawędzią nazywamy grafem pełnym. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczmy symbolem K n. 25 / 87

26 Graf pełny Graf prosty, w którym każda para wierzchołków jest połączona krawędzią nazywamy grafem pełnym. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczmy symbolem K n. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 26 / 87

27 Graf pełny Własność Stopień każdego wierzchołka w grafie pełnym K n wynosi n / 87

28 Graf pełny Własność Stopień każdego wierzchołka w grafie pełnym K n wynosi n 1. Twierdzenie Graf pełny K n ma krawędzi. E Kn = n (n 1) 2 28 / 87

29 Graf pusty Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest pusty zbiór wierzchołków, czyli V > 0 oraz E = 0). Graf pusty mający n wierzchołków oznaczamy symbolem N n. 29 / 87

30 Graf pusty Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest pusty zbiór wierzchołków, czyli V > 0 oraz E = 0). Graf pusty mający n wierzchołków oznaczamy symbolem N n. N 8 30 / 87

31 Graf pusty Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest pusty zbiór wierzchołków, czyli V > 0 oraz E = 0). Graf pusty mający n wierzchołków oznaczamy symbolem N n. Własność 1 Graf N n składa się z n wierzchołków izolowanych. N 8 31 / 87

32 Graf pusty Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest pusty zbiór wierzchołków, czyli V > 0 oraz E = 0). Graf pusty mający n wierzchołków oznaczamy symbolem N n. Własność 1 Graf N n składa się z n wierzchołków izolowanych. 2 Graf N n jest grafem regularnym stopnia 0. N 8 32 / 87

33 Graf cykliczny Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny mający n wierzchołków oznaczamy symbolem C n. 33 / 87

34 Graf cykliczny Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny mający n wierzchołków oznaczamy symbolem C n. C 5 34 / 87

35 Graf cykliczny Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny mający n wierzchołków oznaczamy symbolem C n. Własność 1 W grafie cyklicznym każde dwie sąsiednie krawędzie są połączone szeregowo. C 5 35 / 87

36 Graf cykliczny Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny mający n wierzchołków oznaczamy symbolem C n. Własność 1 W grafie cyklicznym każde dwie sąsiednie krawędzie są połączone szeregowo. 2 Graf cykliczny C n posiada n krawędzi. C 5 36 / 87

37 Graf liniowy Jeżeli z grafu C n usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem P n. 37 / 87

38 Graf liniowy Jeżeli z grafu C n usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem P n. P 6 38 / 87

39 Graf liniowy Jeżeli z grafu C n usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem P n. Własność 1 Graf P n nie jest grafem regularnym. P 6 39 / 87

40 Graf liniowy Jeżeli z grafu C n usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem P n. P 6 Własność 1 Graf P n nie jest grafem regularnym. 2 Graf P n posiada zawsze 2 wierzchołki stopnia pierwszego, a pozostałe n 2 wierzchołki są stopnia drugiego. 40 / 87

41 Koło Kołem W n nazywamy graf W n = C n 1 + N / 87

42 Koło Kołem W n nazywamy graf W n = C n 1 + N 1. N 1 C 5 W 6 W 6 = C 5 + N 1 42 / 87

43 Graf dwudzielny Niech G = (V, E) będzie grafem prostym. Graf G jest grafem dwudzielnym, jeśli zbiór wierzchołków V jest sumą dwóch niepustych zbiorów rozłącznych V 1 i V 2, takich, że każda krawędź tego grafu łączy wierzchołek ze zbioru V 1 z wierzchołkiem ze zbioru V / 87

44 Graf dwudzielny Niech G = (V, E) będzie grafem prostym. Graf G jest grafem dwudzielnym, jeśli zbiór wierzchołków V jest sumą dwóch niepustych zbiorów rozłącznych V 1 i V 2, takich, że każda krawędź tego grafu łączy wierzchołek ze zbioru V 1 z wierzchołkiem ze zbioru V 2. x 1 x 2 x 3 x3 y 2 y 3 x 2 x 1 y 1 y 1 y 2 44 / 87

45 Graf dwudzielny Twierdzenie Jeżeli graf G jest grafem dwudzielnym, to każdy cykl w G ma długość parzystą. 45 / 87

46 Graf dwudzielny Twierdzenie Jeżeli graf G jest grafem dwudzielnym, to każdy cykl w G ma długość parzystą. Dowód. Niech V = V 1 V 2 oraz niech v 0v 1v 2... v mv 0 będzie cyklem w G. Załóżmy, bez straty ogólności, że v 0 V 1, wtedy v 1 V 2, v 2 V 1, itd. (Wierzchołki o indeksach parzystych należą do zbioru V 1, a o indeksach nieparzystych do zbioru V 2). Ponieważ cykl jest długości m oraz v m V 2, więc cykl ma długość parzystą. 46 / 87

47 Graf pełny dwudzielny Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru V 1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V 2 dokładnie jedną krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym V 1 = r i V 2 = s oznaczamy symbolem K r,s. 47 / 87

48 Graf pełny dwudzielny Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru V 1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V 2 dokładnie jedną krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym V 1 = r i V 2 = s oznaczamy symbolem K r,s. x 3 x 2 x 1 x 2 y 2 x 1 x 2 x 3 x 3 Własność y 1 x 2 x x 1 1 y2 K 1,3 K 2,2 K 2,3 y 1 y 1 y 1 K 2,3 y 2 1 K r,s = N r + N s x 3 y 2 x 1 x 2 x 3 y 3 x 2 x 1 y 1 y K 3,3 y 2 1 K y3 3,3 48 / 87

49 Graf pełny dwudzielny Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru V 1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V 2 dokładnie jedną krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym V 1 = r i V 2 = s oznaczamy symbolem K r,s. x 3 x 2 x 1 x 2 y 2 x 1 x 2 x 3 x 3 Własność y 1 x 2 x x 1 1 y2 K 1,3 K 2,2 K 2,3 y 1 y 1 y 1 y 2 K 2,3 x 3 y 2 x 1 x 2 x 3 1 K r,s = N r + N s 2 Każdy graf K r,s ma r + s wierzchołków. y 3 x 2 x 1 y 1 y K 3,3 y 2 1 K y3 3,3 49 / 87

50 Graf pełny dwudzielny Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru V 1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V 2 dokładnie jedną krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym V 1 = r i V 2 = s oznaczamy symbolem K r,s. x 3 x 2 x 1 x 2 y 2 x 1 x 2 x 3 x 3 Własność y 1 x 2 x x 1 1 y2 K 1,3 K 2,2 K 2,3 y 1 y 1 y 1 y 2 K 2,3 x 3 y 2 x 1 x 2 x 3 1 K r,s = N r + N s 2 Każdy graf K r,s ma r + s wierzchołków. y 3 x 2 3 Każdy graf K r,s ma r s krawędzi. x 1 y 1 y K 3,3 y 2 1 K y3 3,3 50 / 87

51 Algorytm testowania dwudzielności grafu BIPART(G, s; S, T, bip) Algorytm 1 Q 0, bip true, S Dane: G spójny graf, dowolny 2 for każdy v V wierzchołek s grafu G 3 do Wynik: jeżeli graf jest dwudzielny, 4 d(v) wówczas bip ma wartość true oraz 5 d(s) 0, s Q generowane są zbiory S i T, takie, 6 while Q and bip = true że S T = V i S T = 7 do 8 u head[q] 9 for każdy v Adj[u] 10 do 11 if d(v) = then d(v) d(u) + 1; v Q 12 else if d(u) = d(v) then bip false 13 if bip = true 14 then 15 for v V 16 do 17 if d(v) = 0(mod2) then S S {v} 18 T V \ S 51 / 87

52 Kostki Graf, którego wierzchołki odpowiadają ciągom binarnym (a 1, a 2,..., a n), oraz którego krawędzie łączą ciągi różniące się dokładnie jednym wyrazem nazywamy n kostką Q n. 52 / 87

53 Kostki Graf, którego wierzchołki odpowiadają ciągom binarnym (a 1, a 2,..., a n), oraz którego krawędzie łączą ciągi różniące się dokładnie jednym wyrazem nazywamy n kostką Q n / 87

54 W trakcie przyjęcia pan Szaradek udał się do toalety. W tym czasie goście rozłożyli na stole w jednym rzędzie (w losowy sposób) n > 1 monet i podali liczbę ze zbioru {1,..., n}. Pani Szaradkowa odwróciła do góry nogami dokładnie jedną monetę. Czy patrząc na układ monet na stole Pan Szaradek, który wrócił z toalety już po odwróceniu monet, jest w stanie odpowiedzieć na pytanie jaką liczbę podali goście? Wskazówka: Rozstrzygnąć, dla jakich n jest to możliwe. 54 / 87

55 Graf krawędziowy Grafem krawędziowym L(G) grafu G, nazywamy graf, którego wierzchołki odpowiadają wzajemnie jednoznacznie krawędziom G oraz dowolne dwa wierzchołki w grafie L(G) są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im krawędzie są sąsiednie w G. 55 / 87

56 Graf krawędziowy Grafem krawędziowym L(G) grafu G, nazywamy graf, którego wierzchołki odpowiadają wzajemnie jednoznacznie krawędziom G oraz dowolne dwa wierzchołki w grafie L(G) są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im krawędzie są sąsiednie w G. 56 / 87

57 Dopełnienie grafu Dopełnieniem grafu G = (V, E) nazywamy graf G, którego zbiór wierzchołków jest taki sam, jak grafu G oraz w którym dwa wierzchołki są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy nie są sąsiednie w grafie G. 57 / 87

58 Dopełnienie grafu Dopełnieniem grafu G = (V, E) nazywamy graf G, którego zbiór wierzchołków jest taki sam, jak grafu G oraz w którym dwa wierzchołki są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy nie są sąsiednie w grafie G. u u y v y v x w x w Własność 1 Dopełnieniem grafu pełnego K n jest graf pusty N n. 58 / 87

59 Dopełnienie grafu Dopełnieniem grafu G = (V, E) nazywamy graf G, którego zbiór wierzchołków jest taki sam, jak grafu G oraz w którym dwa wierzchołki są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy nie są sąsiednie w grafie G. u u y v y v x w x w Własność 1 Dopełnieniem grafu pełnego K n jest graf pusty N n. 2 Dopełnieniem grafu pełnego dwudzielnego K r,s są dwa grafy pełne K r i K s. 59 / 87

60 Podgraf grafu Graf H = V H, E H, γ H jest podgrafem grafu G = V G, E G, γ G wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki: V H V G E H E G γ H = γ G EH x 5 x 5 g e x 3 x 4 f x 3 x 4 b g e d a f x 5 x 1 x 1 c x 2 G G G 2 1 x 3 a b c d x 4 60 / 87

61 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 61 / 87

62 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 62 / 87

63 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 3 Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G. 63 / 87

64 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 3 Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G. 4 Pojedyncza krawędź grafu G łącznie z jej końcami jest podgrafem grafu G. 64 / 87

65 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 3 Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G. 4 Pojedyncza krawędź grafu G łącznie z jej końcami jest podgrafem grafu G. 5 Każdy graf prosty G o n-wierzchołkach jest podgrafem grafu pełnego K n. 65 / 87

66 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 3 Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G. 4 Pojedyncza krawędź grafu G łącznie z jej końcami jest podgrafem grafu G. 5 Każdy graf prosty G o n-wierzchołkach jest podgrafem grafu pełnego K n. 6 Liczba wszystkich różnych grafów prostych zawierających n wierzchołków jest równa 2 n(n 1) 2 66 / 87

67 grafu Niech dany będzie graf G = V, E, γ i krawędź e E. G e oznacza podgraf otrzymany z grafu G przez usunięcie krawędzi e. Niech F będzie dowolnym podzbiorem zbioru krawędzi grafu G (F E), wówczas G F oznacza podgraf grafu G powstały przez usunięcie wszystkich krawędzi należących do zbioru F. v u f e g x z z d z u d u f f c v e v e b c g g c y a y x a y x a G G - b G - {d,b} 67 / 87

68 grafu Niech dany będzie graf G = V, E, γ i niech wierzchołek v V. G v oznacza podgraf grafu G otrzymany z G przez usunięcie wierzchołka v i wszystkich krawędzi do niego incydentnych. Jeżeli S jest dowolnym podzbiorem zbioru wierzchołków V grafu G (S V S V ), to G S oznacza graf, który otrzymamy z grafu G przez usunięcie wszystkich wierzchołków należących do zbioru S i wszystkich krawędzi incydentnych do dowolnego wierzchołka ze zbioru S. u u f v e v g g a a v y y y x x G - z G - {z,u} G - {z,x} 68 / 87

69 Graf częściowy Graf H nazywamy grafem częściowym lub grafem spinającym grafu G jeżeli jest podgrafem G i V H = V G. x 5 x 5 x 4 x 3 x 4 x 3 x 1 x G 2 x 1 x H 2 69 / 87

70 Klika Kliką nazywamy podgraf, w którym każde dwa wierzchołki są połączone krawędzią. 70 / 87

71 Klika Kliką nazywamy podgraf, w którym każde dwa wierzchołki są połączone krawędzią. 71 / 87

72 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. 72 / 87

73 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o większej liczbie wierzchołków. 73 / 87

74 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o większej liczbie wierzchołków. Ilość wierzchołków największej kliki oznaczamy przez ω(g). 74 / 87

75 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o większej liczbie wierzchołków. Ilość wierzchołków największej kliki oznaczamy przez ω(g). 75 / 87

76 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o większej liczbie wierzchołków. Ilość wierzchołków największej kliki oznaczamy przez ω(g). 76 / 87

77 Podgraf indukowany Podgrafem indukowanym H = (V H, E H ) grafu G = (V, E), nazywamy graf, w którym V H V oraz E H = {{u, v} : u, v V H oraz {u, v} E} podgraf indukowany G[1, 2, 3, 5, 7, 10] 77 / 87

78 Składowe spójne grafu Każdy spójny podgraf G 1 grafu G (G 1 G), który nie jest zawarty w większym (w sensie relacji zawierania zbioru wierzchołków oraz zawierania zbioru krawędzi) spójnym podgrafie grafu G nazywamy składową spójną grafu G. 78 / 87

79 Składowe spójne grafu Każdy spójny podgraf G 1 grafu G (G 1 G), który nie jest zawarty w większym (w sensie relacji zawierania zbioru wierzchołków oraz zawierania zbioru krawędzi) spójnym podgrafie grafu G nazywamy składową spójną grafu G. a x y b c w z d x 6 x x 3 79 / 87

80 Składowe spójne grafu Każdy spójny podgraf G 1 grafu G (G 1 G), który nie jest zawarty w większym (w sensie relacji zawierania zbioru wierzchołków oraz zawierania zbioru krawędzi) spójnym podgrafie grafu G nazywamy składową spójną grafu G. a x y b c w z d Oczywiście każdy wierzchołek izolowany danego grafu jest jego spójna składową. x 6 x x 3 80 / 87

81 Twierdzenie Spójny graf o n wierzchołkach, posiada co najmniej n 1 krawędzi. 81 / 87

82 Twierdzenie Spójny graf o n wierzchołkach, posiada co najmniej n 1 krawędzi. Twierdzenie Ilość krawędzi m w grafie prostym i spójnym o n wierzchołkach, spełnia zależność n(n 1) n 1 m 2 82 / 87

83 Twierdzenie Spójny graf o n wierzchołkach, posiada co najmniej n 1 krawędzi. Twierdzenie Ilość krawędzi m w grafie prostym i spójnym o n wierzchołkach, spełnia zależność n(n 1) n 1 m 2 Twierdzenie Niech G będzie grafem prostym o n wierzchołkach. Jeżeli graf G ma k składowych, to liczba m jego krawędzi spełnia nierówność n k m 1 (n k) (n k + 1) 2 Każdy graf prosty, który ma n wierzchołków i więcej niż (n 1)(n 2) 2 krawędzi jest spójny. 83 / 87

84 Lemat Acykliczny graf o n wierzchołkach posiada co najwyżej n 1 krawędzi. 84 / 87

85 Lemat Acykliczny graf o n wierzchołkach posiada co najwyżej n 1 krawędzi. Twierdzenie Niech G będzie grafem o n wierzchołkach. Wówczas dowolne dwa warunki implikują trzeci. 1 G jest spójny 2 G jest acykliczny 3 G posiada dokładnie n 1 krawędzi 85 / 87

86 Algorytm sprawdzający spójność grafu Dane: graf G = (V, E) Spojny(G) 1 for wszystkie v V 2 do 3 odwiedzony[v] = false 4 v - dowolny wierzchołek grafu 5 S v 6 while istnieje wierzchołek w S dla którego odwiedzony[v] = false 7 do 8 N zbiór wszystkich sąsiadów wierzchołka v 9 S S N 10 odwiedzony[v] = true 11 if S = V 12 then graf spójny 13 else graf niespójny 86 / 87

87 Dziękuję za uwagę!!! 87 / 87