Wojciech Kordecki. Matematyka dyskretna. dla informatyków

Transkrypt

1 Wojciech Kordeci Matematya dysretna dla informatyów Wrocław 2005

2 Spis treści 1. Relacje, funcje i rozmieszczenia Zbiory częściowo uporządowane Funcje i rozmieszczenia Zadania 4 2. Permutacje Grupy sończone Rozład permutacji na cyle Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju Zadania Kombinacje Współczynni dwumianowy Generowanie podzbiorów Zbiory z powtórzeniami Zadania Podziały Zasada włączania wyłączania Liczby Stirlinga drugiego rodzaju Zadania Funcje tworzące Szeregi formalne Rozwiązywania reurencji Zastosowania funcji tworzących Sploty Zadania Ciała sończone i sończone przestrzenie wetorowe Ciała sończone Ciała wielomianów Sończone przestrzenie wetorowe Zadania Geometrie rzutowe i afiniczne Sończone geometrie rzutowe Sończone geometrie afiniczne Zadania Matroidy Definicje Dualność Algorytmy zachłanne 41 i

3 8.4. Zadania Transwersale i matroidy Transwersale Matroidy transwersalne Zadania Niezmiennii Tutte a Gröthendieca Operacje na matroidach Wielomiany Tutte a Zadania Konfiguracje ombinatoryczne Podstawowe własności Konfiguracje wadratowe Macierze Hadamarda Zadania Tróji Steinera Quasigrupy i wadraty łacińsie Konstrucje Bosego i Solema Zadania 56 Literatura 57 ii

4 1 1. Relacje, funcje i rozmieszczenia 1.1. Zbiory częściowo uporządowane Niech X będzie dowolnym zbiorem (sończonym). Relacja binarna na X nazywa się częściowym porządiem, jeśli jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna, tzn. jeśli x x, x y y z = x z, x y y x = x = y Posety Zero i jeden Łańcuchy Parę (X, ) nazywa się zbiorem częściowo uporządowanym, (partially ordered set = poset). Jeżeli wiadomo o jai porząde chodzi, to zbiorem częściowo uporządowanym nazywa się też sam zbiór X. Jeżeli dla pewnych elementów x, y X zachodzi x y lub y x, to elementy te są porównywalne. Jeżeli dowolne dwa elementy są porównywalne, to porząde nazywa się liniowym. Jeżeli x y i x y to pisze się x y. Element x X jest minimalny, jeśli nie istnieje y X tai, że y x, masymalny, jeśli nie istnieje y X tai, że x y, najmniejszy, jeśli x y dla ażdego y X, najwięszy, jeśli y x dla ażdego y X. Element najmniejszy nazywa się zerem, a najwięszy jedyną zbioru częściowo uporządowanego, oznaczane są one często przez 0 i 1. Przyład. Rodzina R = 2 Z wszystich podzbiorów dowolnego zbioru Z z relacją zawierania jest zbiorem częściowo uporządowanym (R, ). Elementem najwięszym jest Z, a najmniejszym. Również dowolna rodzina S 2 Z podzbiorów zbioru Z z taą samą relacją jest zbiorem częściowo uporządowanym, choć 0 i 1 mogą być inne lub nie istnieć. Niech (X, ) będzie zbiorem częściowo uporządowanym oraz Y X. Jeśli ażde dwa elementy zbioru Y są porównywalne, to Y jest łańcuchem, jeśli zaś żadne dwa różne nie są porównywalne, to Y jest antyłańcuchem. Każdy łańcuch ma element najmniejszy i najwięszy, czyli począte i oniec łańcucha. Ograniczeniem dolnym zbioru Y X nazywa się dowolny element a X tai, że a x dla ażdego x Y, a ograniczeniem górnym zbioru Y X nazywa się dowolny element b X tai, że x b dla ażdego x Y. Niech A(Y ) i B(Y ) będzą zbiorami wszystich ograniczeń dolnych i górnych odpowiednio. Własność 0. Zbiory A i B ograniczeń dolnych i górnych są uporządowane liniowo. Dowód.???? Kresy zbiorów Kresem dolnym zbioru Y nazywa się element najwięszy w A(Y ), resem górnym element najmniejszy w B(Y ). Kresy dolne i górne zbioru Y oznaczane są odpowiednio przez inf(y ) i sup(y ).

5 1.2. Funcje i rozmieszczenia 2 Używa się też oznaczeń: x y = sup{x, y}, x y = inf{x, y}, Kraty Kratą jest zbiór X częściowo uporządowany relacją tai, że dla ażdej pary x, y X istnieje res dolny x y oraz res górny x y. Krata nazywa się się zupełną, istnieją inf(y ) i sup(y ) dla ażdego podzbioru Y raty (X, ). Krata nazywa się rozdzielną, gdy dla dowolnych elementów x, y, z raty (X, ) zachodzą równości x (y z) = (x y) (z z), x (y z) = (x y) (z z) Funcje i rozmieszczenia Zbiory w pudełach Niech X oznacza moc (liczbę elementów) zbioru sończonego X. Klasycznym zadaniem ombinatoryi jest następujący problem: dla danych zbiorów X i Y, gdzie X = m, Y = n znaleźć liczbę wszytich funcji f : X Y spełniających dane ograniczenia. Twierdzenie Jeśli X = m i Y = n, to liczba wszystich funcji f : X Y jest równa n m. Dowód. Oznaczmy X = {1, 2,..., m}. Funcje f : X Y są ciągami długości m o wyrazach ze zbioru Y. Każdy wyraz można wybrać na n sposobów, wszystich więc ciągów jest n m. Elementy w pudełach Zadanie powyższe formułuje się często jao zadanie znalezienia liczby rozmieszczeń m elementów w n pudełach element o numerze i znajduje się w pudełu o numerze j, gdy f (i) = j. Ograniczając się do funcji różnowartościowych (wzajemnie jednoznacznych), otrzymujemy następujące wyni. Twierdzenie Jeśli X = m i Y = n, to liczba funcji różnowartościowych f : X Y jest dla m n równa (n) m = n(n 1)... (n m + 1), (1.2.1) gdzie dodatowo przyjmuje się (n) 0 = 1. Dla m > n liczba ta jest równa zeru. Dowód. Niech X = {1, 2,..., m} oraz m n. Pierwszy wyraz ciągu można wybrać na n sposobów, drugi na n 1, a ogólnie i-ty wyraz można wybrać na m (i 1) = m i + 1 sposobów, co daje wzór (1.2.1). Dla m > n nie ma funcji f : X Y różnowartościowych.

6 1.2. Funcje i rozmieszczenia 3 Permutacje i silnie Jest to zadanie znalezienia liczby rozmieszczeń m elementów w n pudełach, gdy w ażdym pudełu można umieścić co najwyżej jeden element. Jeśli m = n, to (n) m jest oznaczane przez n! i nazywane silnią liczby n. Jeśli X = Y, to różnowartościową funcję f : X X nazywa się permutacją zbioru X. Stąd Twierdzenie Jeśli X = Y = n, to liczba funcji różnowartościowych f : X Y jest równa n! = n(n 1) Wzór Stirlinga W szczególności istnieje n! permutacji zbioru n-elementowego. Ponieważ n! rośnie bardzo szybo, to bardzo użyteczny jest następujący asymptotyczny wzór Stirlinga 1 i jego udosonalenie (wzór Robbinsa 2 ) n! = n n 2πn (1 + o(1)). (1.2.2) n n e n 2πne 1 12n+1 < n! < n n e n 2πne 1 12n. (1.2.3) Ciągi w pudełach (patrz zad. 20). Zagadnieniem podobnym do zagadnienia rozwiązanego w twierdzeniu jest zagadnienie rozmieszczenia m elementów w n pudełach, przy czym ażde pudeło zawiera ciąg elementów, (pudeła mogą być też puste). Dwa rozmieszczenia są identyczne, gdy te same pudeła mają te same ciągi elementów. Rozmieszczenia tego typu nazywa się rozmieszczeniami uporządowanymi m elementów w n pudełach. Twierdzenie Liczba rozmieszczeń uporządowanych m elementów w n pudełach jest równa gdzie dodatowo przyjmuje się (n) 0 = 1. (n) m = n(n + 1)... (n + m 1),, (1.2.4) Dowód. Niech X = {x 1, x 2,..., x m }. Element x 1 można rozmieścić na n sposobów, tyle ile jest pudełe. Element x 2 można umieścić na n 1 sposobów w n 1 pustych pudełach oraz na dwa sposoby w pudełu zawierającym x 1 otrzymując ciąg (x 1, x 2 ) lub (x 2, x 1 ). Oznaczmy przez s i liczbę elementów w pudełu i-tym po rozmieszczeniu elementów {x 1,..., x 1 }. Element x można teraz rozmieścić w i-tym pudełu na s i + 1 sposobów, czyli w sumie na n n (s i + 1) = m + s i = m + 1 i=1 i=1 sposobów. Stąd otrzymuje się wzór (1.2.4).

7 1.3. Zadania 4 Potrzebne wzory Na oniec ila wzorów, tórych dowody pozostawione są jao zadania. (n) m = (n m + 1) (n) m 1, (1.2.5) (n) m = n!/m!, (1.2.6) (n) m = (m + n 1) m. (1.2.7) Uwaga. We wzorach (1.2.1) i (1.2.4) można zamiast n podstawić liczbę rzeczywistą x, otrzymując definicje symboli (x) m i (x) m. Wzory (1.2.5) i (1.2.7) pozostają prawdziwe i przyjmują postać Wtedy gdzie (x) 0 = (x) 0 = 1. (x) m = (x m + 1) (x) m 1, (1.2.8) (n) m = (m + n 1) m, (1.2.9) 1.3. Zadania 1. Wypisz wszystie funcje ze zbioru {a, b} w zbiór {A, B, C}. Ile wśród nich jest funcji różnowartościowych? 2. Ile jest funcji ściśle rosnących ze zbioru {a,b,c} w zbiór {1,2,3,...,100}? 3. Ile jest funcji ściśle rosnących ze zbioru {1,2,3,...,97} w zbiór {1,2,3,...,100}? 4. Na ile sposobów możesz podzielić 20 osób na dwie (nieoniecznie niepuste) grupy? Na ile sposobów możesz podzielić 20 osób na trzy (nieoniecznie niepuste) grupy? 5. Wypisz wszystie możliwe ustawienia dwu osób w olejach do dwóch (trzech) as. Na ile sposobów można ustawić 20 osób w olejach do dwóch (trzech) as. 6. Ile jest funcji ze zbioru 10-elementowego na zbiór 2-elementowy? Ile na 3-elementowy? 7. Wyznacz liczbę par (A, B), gdzie A B {1, 2,..., n}. 8. Pewną pracę należy podzielić pomiędzy 3 obiety, 4 chłopców oraz 5 mężczyzn. Na ile sposobów można to zrobić, przy założeniu, że mamy 3 stanowisa pracy dla obiet, 4 dla chłopców oraz 5 dla mężczyzn? 9. Ja w zadaniu 8, ale dla obiet i chłopców mamy tylo po 2 stanowisa pracy. 10. Mały Arture ma pięć par butów. Władając buty ieruje się dwiema zasadami: 1 Stirling??? 2 Robbins???

8 1.3. Zadania 5 a) nigdy nie włada lewego buta na lewą nogę, ani prawego na prawą, b) nigdy nie włada dwu butów z tej samej pary. Na ile sposobów może włożyć buty na obie nogi? 11. Pewien bar oferuje 5 zup i 10 drugich dań, drugi 6 zup i 8 drugich dań. Ile różnych obiadów dwudaniowych masz do wyboru, jeżeli decydujesz się zjeść obiad w jednym z tych dwu barów? 12. Uogólnienie zadania 11. Bar Kombinatorya oferuje n rodzajów dań: przystawi, drugie dania, desery etc. Menu i-tego rodzaju dania ma i pozycji. Na ile sposobów można zjeść posiłe m-daniowy, gdy m n? 13*. Na ile sposobów można ustawić na zwyłej szachownicy 8 wież ta, aby się wzajemnie nie biły? 14. Oznaczmy [N] = {1, 2,..., N}. W zbiorze [N] wprowadzimy relację częściowego porządu w następujący sposób: n m wtedy i tylo wtedy, gdy m jest podzielne przez n. Wyznaczyć elementy minimalne i masymalne dla danego N. Czy zbiorze [N] istnieją elementy najmniejszy i najwięszy? 15**. Poazać, że liczba naturalna n ma nieparzystą liczbę dzielniów (włączając 1 i n) wtedy i tylo wtedy, gdy n jest liczbą całowitą. 16. Wyznaczyć wszystie nieizomorficzne porządi częściowe na zbiorze czteroelementowym. 17. Czy zbiór ół na płaszczyźnie o dowolnym środu i dowolnym promieniu uporzadowany przez zawieranie tworzy ratę? 18*. Udowodnić, że w dowolnej racie waruni dla wszystich x, y, z, są równoważne. 19*. Udowodnić, że x (y z) = (x y) (x z) x (y z) = (x y) (x z) r!(r + 1) n r n! r!n n r. 20. Sprawdzić, (przez napisanie programu), jaą doładność ma oszacowanie n! dane wzorem Robbinsa (1.2.3).

9 6 2. Permutacje 2.1. Grupy sończone 2.2. Rozład permutacji na cyle Permutację zbioru X = {x 1, x 2,..., x n }, czyli funcję różnowartościową f : X X, gdzie elementy zbioru X wypisane są w dowolnym, ale ustalonym porządu, oznacza się zwyle jao tablicę o dwóch wierszach ( ) x1 x f = 2... x n, y 1 y 2... y n gdzie y j = f(x j ). Jeżeli w górnym wierszu porząde jest ustalony, a zwłaszcza, gdy X = {1, 2,..., n}, to wystarczy napisać tylo dolny wiersz, a więc zamiast f = ( n i 1 i 2... i n gdzie i j = f(j), piszemy (i 1, i 2,..., i n ). Zbiór wszystich permutacji zbioru n-elementowego zbioru X, oznacza się Złożenie przez S n. Jeśli w zbiorze tym wprowadzi jao działanie złożenie permutacji permutacji f g oreślone wzorem (f g) (x) = f (g (x)) dla ażdego x X, to (S n, ) tworzy grupę. Niech f : X X będzie permutacją zbioru X. Załóżmy, że istnieje podział zbioru X na rozłączne części X 1, X 2,..., X, tzn. X = X 1 X 2 X taie, że w ażdym X j, x X j = f(x) X j, a żadnego z X j nie można już podzielić na dwie niepuste części o tej własności. Wtedy X można uporządować w tai sposób, że ażde X j słada się z olejnych elemenentów, X j = {x j1,..., x jmj } oraz f (x j1 ) = x j2, f (x j2 ) = x j3,..., f ( x jmj 1) = xj+mj, f ( x j+mj ) = xj1. (2.2.1) ), Rozład permutacji na cyle Inwersja Każdy tai podzbiór (uporządowany) X j X nazywa się cylem, a przedstawienie X w postaci sumy cyli, nazywa się rozładem permutacji na cyle. Moc zbioru X j nazywa się długością cylu X j. Rozład permutacji (x 1, x 2,..., x n ) na cyle oznacza się [x 1,..., x m1 ] [x m1 +1,..., x m1 +m 2 ]... [x n m,..., x n ], gdzie m j jest długością j-tego cylu. Permutacja f jest typu λ 1,..., λ n, jeśli w rozładzie na cyle ma λ i cyli długości i, dla i = 1, 2,..., n. Typ ten zapisuje się symbolicznie 1 λ 1 2 λ 2... n λn, opuszczając i λ i gdy λ i = 0. Permutację typu n 1 = (n 1) 0 n 1 nazywa się cyliczną. Przyład. Graficznie rozład permutacji na cyle można przedstawić ja na rysunu 1. Przedstawiono na nim rozład permutacji (7, 3, 4, 5, 6, 5, 1) na cyle [1, 7][2, 3, 4][5, 6]. Permutacja ta jest typu Para (x i, x j ), i < j jest inwersją permutacji (x 1,..., x n ), jeśli x j x i. Dla do-

10 2.2. Rozład permutacji na cyle Rysune 1. Rozład permutacji na cyle wolnej permutacji f przez I (f) oznacza się liczbę jej inwersji. Zna permutacji definiuje się wzorem sgn (f) = ( 1) I(f). Zna permutacji Permutacja jest parzysta, gdy sgn (f) = 1, a w przeciwnym przypadu jest nieparzysta. Permutacja tożsamościowa e jest zawsze parzysta. Zna permutacji jest wyorzystany w znanej permutacyjnej definicji wyznacznia det (A) macierzy wadratowej A = [a ij ] wymiaru n n: det (A) = n sgn (i 1,..., i n ) a jij, (i 1,...,i n) j=1 gdzie sumowanie przebiega po wszystich permutacjach (i 1,..., i n ) ciągu (1,..., n). Lemat Dowolną permutację f można przedstawić w postaci złożenia I (f) transpozycji sąsiednich elementów. Dowód.??? Lemat Dla dowolnych permutacji f, g S n sgn (f g) = sgn (f) sgn (g). Dowód.??? Lemat Jeśli permutacja f jest cylem długości, to jej zna wyraża się wzorem sgn (f) = ( 1) 1. Dowód.??? Lemat Jeśli permutacja f jest typu 1 λ 1... n λn, to jej zna wyraża się wzorem sgn (f) = ( 1) n/2 λ j=1 2j. Dowód.???

11 2.2. Rozład permutacji na cyle 8 Porównaj z programem w C++ Poniższy program (w Pascalu) wyznacz zna permutacji. Algorytm Wejście: dowolna permutacja (f S n ) dana w postaci ciągu P [1]... P [n]. Wyjście: zna permutacji sgn (f). function sgn_perm(f:perm):integer; var i,j:1..max_perm; s:integer; new_p:array[1..max_perm] of boolean; begin s:=1; with f do begin for j:=1 to n do new_p[j]:=true; for i:=1 to n do if new_p[i] then begin j:=p[i]; while j<>i do begin new_p[j]:=false; s:=-s; j:=p[j]; end; end; end; sgn_perm:=s; end; zbioru n-ele- Działanie algorytmu jest proste:??? Następujące twierdzenie pochodzi od Cauchy ego 3. Twierdzenie Liczba permutacji typu 1 λ 1 2 λ 2... n λn mentowego jest równa n! 1 λ 1 2 λ 2... n λ nλ1!λ 2!... λ n!. Dowód. Zapis permutacji f typu 1 λ 1 2 λ 2... n λn jest znormalizowany, gdy jest postaci f = [a (1) 0 a (1) 1... a (1) n 1 1]... [a () 0 a () 1... a () n 1], gdzie występuje olejno λ 1 cyli długości 1, λ 2 cyli długości 2 itd. Porząde w jaim występują cyle długości i można zmieniać na λ i sposobów. Każdy tai cyl można przesuwać cylicznie na i sposobów. Stąd ażda permutacja typu 1 λ 1 2 λ 2... n λn jest oreślona przez 1 λ 1 2 λ 2... n λn λ 1!λ 2!... λ n! zapisów znormalizowanych. 3 Cauchy

12 2.3. Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju Liczby Stirlinga 4 pierwszego rodzaju oreśla się jao współczynnii s (n, ) przy olejnych potęgach x wielomianu (x) n, oreślonego wzorem: n (x) n = s (n, ) x. (2.3.1) Twierdzenie Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju spełniają wzór reurencyjny s (n, ) = s (n 1, 1) (n 1) s (n 1, ) (2.3.2) dla 0 < < n oraz s (n, n) = 1 dla n 0, s (n, 0) = 0 dla n > 0. Dowód. Niech 0 < < n. Wtedy (x) n = (x) n 1 (x n + 1), sąd n n 1 s (n, ) x = (x n + 1) s (n 1, ) x = n 1 =1 =1 s (n 1, 1) x (n 1) n 1 s (n 1, ) x. Wzór (2.3.2) otrzymuje się przez porównanie współczynniów przy x. Symetria do (2.3.1) Ze wzorów (2.3.1) i (2.3.2) można otrzymać również wzór n x n = s (n, ) (x). (2.3.3) Twierdzenie Wartość bezwzględna liczby Stirlinga pierwszego rodzaju jest równa liczbie permutacji zbioru n-elementowego, tóra ma rozład na cyli. Dowód.??? Stąd jao prosty wniose otrzymujemy n s (n, ) = n!. Inna definicja Uwaga. Liczby Stirlinga definiuje się też wzorem (por. [3]) c (n, ) = c (n 1, 1) + (n 1) c (n 1, ). (2.3.4) Wtedy liczby obliczone przy pomocy wzoru (2.3.4) są równe wartościom bezwzględnym liczb obliczonych według wzoru (2.3.2), czyli c (n, ) = s (n, ). 4 Stirling

13 2.4. Zadania 10 Liczby c (n, ) zwane są też nieznaowanymi liczbami Stirlinga pierwszego rodzaju. Twierdzenie Dla dowolnych n 0 i 0 c (n, ) = ( 1) n+ s (n, ) Zadania Dowód.??? 1. Na ile sposobów można posadzić n osób przy orągłym stole, gdy ważne jest tylo, to przy im siedzi? 2. Na ile sposobów można posadzić n osób przy orągłym stole o m miejscach? Załadamy, że m < n oraz nie jest ważne, gdzie są umieszczone osoby, dla tórych zabrało miejsc przy stole. 3. Ile jest taich permutacji zbioru n-elementowego w tórych ustalonych m elementów nie stoi jeden obo drugiego? 4. Tworzymy permutację zbioru {1, 2,..., n} w następujący sposób: 1. na pierwszym miejscu umieszczamy dowolny, na przyład losowo wybrany element n 1, 2. jeśli suma n 1 + +n i 1 jest parzysta, to na miejscu i-tym umieszczamy najwięszą z dotychczas nie wybranych liczb, 3. jeśli suma n n i 1 jest nieparzysta, to na miejscu i-tym umieszczamy najmniejszą z dotychczas nie wybranych liczb. Utworzyć po dwie permutacje zbiorów o 5 i 7 elementach. Rozłożyć je na cyle i znaleźć ich zna. 5. Ja wyraża się zna permutacji utworzonej w zadaniu 4 w zależności od wyboru elementu n 1? 6 P. Napisać procedurę realizującą algorytm z zadania 4 dla dowolnego n. 7 P. Niech wybór elementu n 1 w zadaniu 4 będzie miał rozład równomierny w zbiorze {1, 2,..., n}. Poprze symulację omputerową znaleźć rozład liczby cyli dla ustalonych n. 8. Ile jest możliwych rezultatów, tórymi mogą się zaończyć zawody, w tórych startuje 8 osób w trzech onurencjach, jeśli ażda osoba startuje w jednej, dowolnie przez siebie wybranej onurencji? Przez rezultat zawodów rozumiemy zestawienie olejności wszystich zawodniów starujących w ażdej onurencji, przy czym mogą być onurencje nie obsadzone. 9. Inwolucją nazywa się permutację f taą, że f f = e, gdzie e jest permutacją tożsamościową. Udowodnić, że f jest inwolucją zbioru n-elementowego wtedy i tylo wtedy, gdy jest typu 1 λ 1 2 λ 2 oraz λ 1 + 2λ 2 = n.

14 2.4. Zadania Udowodnić, że n n/2 < n! < n n. 11. Udowodnić, że dla n > 6 ( ) n n n n/2 < n! < Udowodnić, że dla dowolnych naturalnych i n, liczba (!) n jest podzielniiem liczby (n)!. 13 P. Napisać program a) prosty (reurencyjny), b) efetywny na obliczanie liczb Stirlinga pierwszego rodzaju. 14. Poazać, że n (x) n = s (n, ) x. =1 15. Udowodnić, że średnia liczba cyli dla losowo wybranej permutacji zbioru n-elementowego wynosi czyli 1 n! n =1 1, n n s (n, ) = =1 =1 1.

15 12 3. Kombinacje 3.1. Współczynni dwumianowy Liczba podzbiorów -elementowych zbioru n-elementowego, oznaczana jest symbolem ( ) n, zwanym symbolem Newtona 5 lub współczynniiem dwumianowym. Podzbiory taie nazywa się również ombinacjami -wyrazowymi ze zbioru n-elementowego bez powtórzeń. Zamiast symbolu ( ) n używany jest też symbol Cn. Dla > n mamy oczywiście ( ( ) n ) = 0 oraz 0 0 = 1. Nazwę współczynni dwumianowy uzasadnia następujące twierdzenie. Twierdzenie ( ) n n (x + y) n = x y n. (3.1.1) Dowód.???? Symbol Newtona Twierdzenie ( ) n = (n)! = n!! (n )!. (3.1.2) Dowód. Wiadomo, że (n) jest liczbą ciągów różnowartościowych -elementowych ze zbioru n-elementowego. Każdy tai ciąg daje zbiór -elementowy, przy czym ten sam zbiór powstaje z doładnie! ciągów będących wszystimi permutacjami tego zbioru. Symbol Newtona można uogólnić na przypade ( ) x, gdy x jest dowolną liczbą rzeczywistą lub zespoloną: ( ) x = (x),! gdzie (x) = x(x 1)... (x + 1) jest wielomianem stopnia, oreślonym wzorem (1.2.8). Wtedy zgodnie ze wzorem (2.3.1), otrzymujemy ( ) x s (, j) = x j.! W szczególności dla 0 (n ) j=0 ( ) n 1 = ( 1). Trójąt Pascala Do obliczeń ( ) n wygodnie jest stosować następujący wzór reurencyjny: ( ) n 1 ( ) n = + ( ) n 1, (3.1.3) 1 dla n > 0 i > 0. Ze wzoru (3.1.3) otrzymuje się trójąt Pascala: 5 Newton

16 3.1. Współczynni dwumianowy Ze wzoru (3.1.2) wynia wzór ( ) ( ) ( ) n n n < < < = 0 1 n/2 ( ) ( n > n/2 n n/2 + 1 ) > ( ) n n (3.1.4) dla n > 1. Zauważyć trzeba, że dla parzystego n mamy n/2 = n/2. Znane są proste oszacowania z góry: ( ) n < n!, (3.1.5) ( ) n Bardziej sompliowane jest oszacowanie z dołu: ( ) n 1 2π n n (n ) n n n. (3.1.6) (n ) n exp ( 1 12n 1 ) (3.1.7) 12(n ) Z oszacowań tych wynia, że ( ) n szybo rośnie wraz ze wzrostem n i rosnącym proporcjonalnie do n. Łatwo to zauważyć, pisząc procedurę obliczającą wartości współczynniów dwumianowych. Twierdzenie ( ) ( )( ) l + r l r =. (3.1.8) t t t=0 Ja zmienia się? Równość (3.1.8) jest znana jao tożsamość Cauchy ego. Z twierdzenia wyniają dla nieujemnych l, m, n, q, r, s olejne wzory: ( )( ) ( ) r s r + s = m + n m + n ( )( ) ( ) l s l + s = m + n + l m + n ( )( ) ( ) l s + s m ( 1) = ( 1) l+m m + n n l Uogólnieniem współczynniów dwumianowych są współczynnii wielomianowe. ( ) a1 + a a n = (a 1 + a a n ). (3.1.9) a 1, a 2,..., a n a 1!a 2!... a n!

17 3.2. Generowanie podzbiorów 14 Nazwa pochodzi stąd, że (x 1 + x x ) n = a 1 + +an 0 a i n ( ) a1 + a a n x a 1 1 x a x an a 1, a 2,..., a. (3.1.10) n Wzory (3.1.9) i (3.1.10) są uogólnieniami wzorów (3.1.1) i (3.1.2) odpowiednio Generowanie podzbiorów Porząde lesyograficzny Niech X = {1, 2,..., n}. Każdemu podzbiorowi -elementowemu odpowiada rosnący podciąg -elementowy. W zbiorze podciągów -elementowych wprowadzimy porząde lesyograficzny (słowniowy) w następujący sposób: jeżeli a = (a 1, a 2,..., a ) i b = (b 1, b 2,..., b ) oraz dla pewnego j jest a i = b i dla i < j oraz a j < b j to a b. Oczywiście, jeśli a 1 < b 1 to również a b. Ta oreśloną relację można przenieść z ciągów na podzbiory. Teraz można podać algorytm generujący wszystie podzbiory -elementowe zbioru X w porządu lesyograficznym. Wystarczy zauważyć, że ciągiem następującym po a = (a 1,..., a ) jest ciąg b = (b 1,..., b ) = (a 1,..., a p 1, a p + 1, a p + 2,..., a p + p + 1) gdzie p = max{i : a i < n + 1}. Po ciągu b następuje ciąg c = (c 1,..., c ) = ( b 1,..., b p 1, b p + 1, b p + 2,..., b p + p + 1) gdzie p p 1 jeśli b = n, = jeśli b < n. Załada się, że ciągi a i b są różne od ciągu (n + 1,..., n) ostatniego ciągu w tym porządu. Stąd algorytm.???? procedure gen subset(n,:integer); var i,j,p:integer; a:array[1..max_set] of integer; begin for i:=1 to do a[i]:=i; {pierwszy podzbiór} p:=; while p>=1 do begin for j:=1 to do write(a[j]:8); writeln; if a[]=n then p:=p-1 else p:=; if p>=1 then for i:= downto p do a[i]:=a[p]+i-p+1; end; end;

18 3.3. Zbiory z powtórzeniami Zbiory z powtórzeniami Uogólnieniem pojęcia zbioru (w tórym ażdy element występuje doładnie raz), jest pojęcie zbioru z powtórzeniami. W taim zbiorze, ażdy element może wystąpić ilarotnie, a liczba wystąpień nazywa się rotnością elementu. Istotna jest tu tylo rotność elementu, a nieistotna jest olejność wystąpień. Zbiór tai oznacza się albo wypisując element tyle razy, ile wynosi jego rotność, albo gdy dla rotności równej elementu a, pisząc {..., a,... }. Przyład. Jeśli X = {2 a, 3 b, 1 c}, to również X = {a, b, a, b, c, b} = {a, a, b, b, b, c}, ale X {a, b, c}. Zbiór A jest podzbiorem zbioru B, A B, gdy rotność ażdego elementu w A jest nie więsza od rotności tego samego elementu w B. Liczbę elementów w zbiorze X = { 1 x 1,..., n x n } (liczność zbioru X), definiuje się jao = n. Twierdzenie Liczba -elementowych zbiorów z powtórzeniami o elementach ze zbioru n-elementowego (bez powtórzeń) jest równa Twierdzenie ???? ( ) n + 1. (3.3.1) Twierdzenie to można również sformułować w terminach funcji (patrz rozdział 1.2). Twierdzenie Istnieje doładnie ( ) n+ 1 funcji niemalejących f : {1,..., } {1,..., n}. Twierdzenie ???? Przyład. Niech A = {a, b, c} (czyli n = 3) oraz = 2. Zgodnie ze wzorem (3.3.1), z elemntów zbioru A można utworzyć ( ) n + 1 = ( ) 4 = 6 2 dwuelementowych podzbiorów z powtórzeniami: {a, a}, {a, b}, {a, c}, {b, b}, {b, c}, {c, c}. Zbiorów czteroelementowych z powtórzeniami można zaś utworzyć ( ) 6 = 4 ( ) 6 = Zachodzi równość: ( ) n + 1 = (n)!.

19 3.4. Zadania Zadania 1. Oblicz ( ) Co jest więsze ( ) ( ) czy 101? Na ile sposobów można utworzyć oalicję więszościową w 459-osobowym sejmie? A na ile w 460-osobowym? Wyni podaj w możliwie prostej postaci. 4. Stoisz w lewym dolnym rogu szachownicy. W jednym rou poruszasz się o jedno pole w prawo lub o jedno pole do góry. Po 14 roach będziesz w prawym górnym rogu. Na ile sposobów możesz odbyć tę wędrówę? 5. Na ile sposobów spośród 7 łysych i 8 rudych możesz wybrać pięcioosobową delegację w tórej sładzie jest doładnie 2, (0,1,3,4,5) rudych? 6. Udowodnić tożsamość ( )( ) n m = m ( n )( n m 7. Poazać orzystając z tożsamości Cauchy ego, że ( ) 2n = n n r=0 ( ) 2 n. r 8. Udowodnić przez inducję oraz czysto ombinatorycznie, że ( ) ( ) n r + r + n + 1 = n oraz 9. Poazać, że n =r n ( ) = r r=0( 1) r( n r ( ) n + 1. r + 1 Wsazówa. Oblicz (1 1) n na dwa sposoby. 10. Udowodnić wzór m ( m )( ) n + = m ) = 0. ) ( )( ) m n m Ja wiele istnieje zbiorów -elementowych zbioru {1, 2,..., n}, tóre nie zawierają żadnej pary dwóch olejnych liczb?

20 3.4. Zadania Udowodnić wzór Leibniza d n (uv) dx n = n gdzie u i v są funcjami jednej zmiennej x. ( ) n d u d (n ) v dx dx, (n ) 13. Udowodnić wzór ( ) ( ) n n 1 = 1, 2,..., m 1 1, 2,..., ( m ) n 1 + 1, 2 1, 3,..., ( m ) n 1 + +, 1, 2,..., m 1, m gdzie n 1, m = n, i > Udowodnić nierówność ( ) ( ) n en. 15 P. Napisać procedurę wypisującą wszystie -elemntowe zbiory z powtórzeniami o elementach ze zbioru n elementowego, o tórym mowa w twierdzeniu

21 18 4. Podziały 4.1. Zasada włączania wyłączania Dwa zbiory Obliczmy liczbę elementów sumy zbiorów. Oczywisty jest wzór: A B = A + B A B A + B, (4.1.1) Trzy zbiory prawdziwy dla dowolnych zbiorów A i B. Dla trzech zbiorów A, B i C mamy A + B + C A B A C B B A B C = (4.1.2) = A + B + C A B A C B B + A B C. Zasada włączaniawyłączania Ja widać ze wzorów (4.1.1) i (4.1.2), dodając do siebie liczby elementów dwóch zbiorów, dwurotnie liczymy część wspólną trzeba ją odjąć. Dla trzech zbiorów, odejmując trzyrotnie części wspólne par zbiorów, odejmujemy o jeden raz za dużo część wspólną wszystich trzech podzbiorów trzeba ją więc dodać. Powtarzając to rozumowanie, otrzymujemy następujący wyni, znany jao zasadę włączanie-wyłączania. Twierdzenie Jeśli dla dowolnego ciągu (A 1,..., A n ) nieoniecznie różnych podzbiorów zbioru X: A = A 1 A n, to n A = A i A i A j + A i A j A + i=1 1 i<j n 1 i<j< n + ( 1) n 1 A 1 A n. (4.1.3) Dowód. (Przez inducję). Wzór (4.1.3) jest oczywisty dla n = 1, (taże dla n = 2 wzór (4.1.1) i dla n = 3 wzór (4.1.2)). Przyjmijmy, że wzór (4.1.3) jest prawdziwy dla n 1, czyli dla A = A 1 A n 1 prawdziwy jest wzór A = Ponieważ n 1 i=1 A i 1 i<j n 1 A i A j + + ( 1) n 2 A 1 A n 1. A A n = n 1 i=1 1 i<j< n (A i A n ), A i A j A +

22 4.1. Zasada włączania wyłączania 19 to sąd A A n = co daje wzór (4.1.3). n 1 i=1 A i A n 1 i<j n 1 + ( 1) n 2 A 1 A n, A i A j A n + + A = A A n = A + A n A A n, Rozważmy problem ogólniejszy. Niech D (r) oznacza liczbę elementów zbioru tych x X, tóre należą do doładnie r zbiorów A 1, A 2,..., A n, r n. Niech 1 i 1 < < i r n będzie dowolnym ciągiem. Przyjmijmy oznaczenia: oraz N (i 1..., i r ) = A 1... A ir (4.1.4) W (r) = N (i 1,..., i r ), (4.1.5) gdzie sumowanie przebiega po wszystich ciągach 1 i 1 < < i r n. Przyjmiemy też W (0) = X. Twierdzenie Dla dowolnych n > 0 oraz r n D (r) = n r j=0 ( ) r + j ( 1) 1 W (r + j). (4.1.6) r Dowód. Wzór (4.1.2) zapiszmy w postaci L (x) = R (x) x X x X gdzie 1, gdy x nalezy do doładnie r zbiorów A i, L (x) = 0 w przeciwnym przypadu. Podobnie R (x) = n r j=0 ( ) r + j ( 1) j R r+j (x), (4.1.7) r gdzie R r+j (x) jest liczbą ciągów postaci 1 i 1 < < i r+j n taich, że x A i A ir+j. Trzeba poazać, że dla ażdego x X zachodzi L (x) = R (x). Niech x X oraz x należy do doładnie u zbiorów A i. Mamy tu trzy możliwe przypadi:

23 4.1. Zasada włączania wyłączania 20 (i) u < r. Wtedy L (x) = 0 oraz R (x) = 0, bo x / A i1 A in. (ii) u = r. Wtedy l (x) = 1 i R (x) = 1, bo R r+j (x) = 0 dla j > 0 oraz ( 1) 0 ( ) r+0 Rr+0 (x) = R r r (x) = 1. (iii) u > r. Wtedy L (x) = 0 oraz R m (x) = ( ) u m. Podstawiając tę wartość do (4.1.7) i orzystając z tożsamości (patrz zadanie 6) oraz ( )( ) n m = m n ( n r=0( 1) r( n r (patrz zadanie 9 z rodz. 3.1) otrzymuje się R (x) = = n r j=0 u r j=1 ( 1) j ( u r )( n m ) ( )( ) r + j u ( 1) j = r r + j )( ) u r = u r j = 0. u r ) j=1 ) u r ( u r ( )( ) r + j u ( 1) j r r + j ( ) u r ( 1) j j j=0 = 0. Zasadę włączania-wyłączania można teraz sformułować jao Twierdzenie n D (0) = ( 1) j W (j). j=0 Z twierdzenia wyniają nastepujące twierdzenia. Twierdzenie Jeśli X = n oraz Y = m, to liczba s nm funcji z X na Y jest równa ( ) m m s nm = ( 1) j (m j) n. j=0 j Nieporzade na zbiorze X jest permutacją f taa, że f (x) x dla ażdego x X. Liczba nieporządów D n dla X = n podana jest w nastepującym twierdzeniu. Twierdzenie Liczba nieporządów D n dla X = n dana jest wzorem ( ) n n D n = ( 1) j (n j)! = n! j=0 j n ( 1) j. (4.1.8) j=1 j! Ze wzoru (4.1.8) wynia, że przy n nieporządi stanowią e 1 = wszystich permutacji.

24 4.2. Liczby Stirlinga drugiego rodzaju Liczby Stirlinga drugiego rodzaju Niech π = {B 1, B 2,..., B } będzie rodziną podzbiorów zboru X taą, że B 1 B 2 B = X, B i B j = dla i j oraz B i dla 1 i. Rodzinę π nazywą się podziałem zbioru X na bloów. Zbiór wszystich podziałów zbioru X na bloów oznacza się przez Π (X), a zbiór wszystich podziałów przez Π (X). Podział Π zbioru n-elementowego zbioru X jest typu λ = (λ 1,..., λ n ), jeśli zawiera λ i bloów i-elementowych. Typ tai zapisujemy jao 1 λ 1 2 λ 2... n λn. Twierdzenie Liczba podziałów typu 1 λ 1 2 λ 2... n λn zbioru n- elementowego, n = λ 1 + 2λ nλ n = n jest równa P (λ 1,..., λ n ) = n! λ 1!λ 2!... λ n! (1!) λ 1 (2!) λ 2... (n!) λn. Liczby Stirlinga drugiego rodzaju oreśla się wzorem lub równoważnie n x n = S (n, ) (x) (4.2.1) n (x) n = S (n, ) x. (4.2.2) Twierdzenie Definicje liczb Stirlinga oreślone wzorami (4.2.1) i (4.2.2) są równoważne. Dowód.???? Twierdzenie Liczby Stirlinga drugiego rodzaju spełniają wzór reurencyjny S (n, ) = S (n 1, 1) + S (n 1, ) (4.2.3) dla 0 < < n oraz S (n, n) = 1 dla n 0, S (n, 0) = 0 dla n > 0. Twierdzenie gdzie X = n. Z twierdzenia wynia wzór S (n, ) = Π (X) (4.2.4) S (n, ) = λ 1 + +λn= λ 1 +nλn n! λ 1!λ 2!... λ n! (1!) λ 1 (2!) λ 2... (n!) λn.

25 4.2. Liczby Stirlinga drugiego rodzaju 22 Przyład zastosowania liczb Stirlinga Liczby Bella 6 definiuje się wzorem czyli B n = Π (X). Zachodzi równość n B n = S (n, ), B n+1 = n i=0 ( ) n B i, i gdzie B 0 = 0. Twierdzenie Jeśli X = n, Y = m, to liczba wszystich funcji f : X na Y, (f(x) = Y ), jest równa ) s n,m = m 1 i=0 ( 1) i ( m n (m i) n. (4.2.5) Dowód. Niech Y = {y 1,..., y m } oraz niech A i = {f : y i / f (X)}. Wtedy m f (X) = Y f A i. i=1 Wszystich funcji f : X Y jest m n, (twierdzenie 1.2.1). Szuamy więc A 1 A m. Aby sorzystać z twierdzenia 4.1.1, trzeba znać liczebność iloczynu A 1 A j dla dowolnego ciągu 1 1 < < j m. Iloczyn ten jest zbiorem wszystich funcji f : X Y \ { } y 1,..., y j, więc jego ( liczebność ) wynosi (m j) n. Ciąg 1 1 < < j m można wybrać na m j sposobów, więc s n,m = m n = m 1 j=0 co dowodzi wzoru (4.2.5). Poażemy teraz, że m 1 A j j=0 ) ( 1) j ( m j = mn m 1 j=1 (m j) n, s n,m = m!s (n, m). ( 1) j ( m j ) (m j) n Istotnie???? Stąd otrzymuje się wzór na liczby Stirlinga drugiego rodzaju: ) S (n, ) = 1! 1 j=0 ( 1) j ( j ( j) n. Związe z dzielniami liczb???? 6 Bell

26 4.3. Zadania Zadania 1. Ile dzielniów ma liczba ? 2. Na ile sposobów możesz rozbić zbiór 10-elementowy na zbiory 2-elementowe, a na ile sposobów możesz rozbić zbiór 2n-elementowy na taie podzbiory? 3. Wyznaczyć liczbę ciągów długości 2n taich, że ażda liczba i {1..., n} występuje doładnie dwa razy, przy czym żadne dwa olejne wyrazy nie są równe. 4. Na pewnej wyspie miesza 300 dziusów, z tórych ażdy jest matematyiem, filozofem lub ludożercą. Połowa ludożerców zajmuje się filozofią, połowa filozofów to matematycy, a połowa matematyów to ludożercy. Wiedząc, że żaden z ludożerców nie zajmuje się filozofią i matematyą jednocześnie, ustal z ilu osób słada się ażda z tych grup. 5. Wyznaczyć liczbę podzbiorów 11-elementowych zbioru z powtórzeniami {4 a, 3 b, 7 c}. 6. (Wzór Faa di Bruno). Udowodnić, że d n dx n f (g (x)) = n j= n=j nn=n 1, 2,...,n 0 f (j) n!( g (1) ) 1... ( g (n)) n 1! (1!) 1... n! (n!) n.

27 24 5. Funcje tworzące 5.1. Szeregi formalne Definicja. Niech a będzie ciągiem liczbowym. Funcją tworzącą nazywa się szereg formalny A (x) = a x. (5.1.1) Nazwa szereg formalny oznacza, że wzór (5.1.1) oreśla taie własności szeregów ja ich dodawanie, mnożenie, mnożenie przez liczbę, natomiast nie bada się ich zbieżności. Szereg formalny  (x) = a x! (5.1.2) Operacje na szeregach nazywa się wyładniczą funcją tworzącą. Dla szeregów A (x) = a x i B (x) = b x oreśla się operacje: dodawanie: A (x) + B (x) = (a + b ) x, mnożenie przez liczbę: αa (x) = αa (x) = a x, mnożenia: A (x) B (x) = c x, gdzie c = a i b i. i=0 Jeżeli szereg (5.1.1) jest zbieżny do funcji f (x) = A (x) dla pewnego promienia zbieżności r > 0, to będziemy utożsamiać szereg formalny (5.1.1) z funcją f (x) również dla x > r. Wtedy A (x) = ( + 1) a +1 x.

28 5.2. Rozwiązywania reurencji 25 Przyład. dla a = 1/!, dla a = 1, (1 + x) n = e x = 1! x 1 1 x = =1 x ( ) n x = n =1 ( ) n x dla a = ( ) n. Twierdzenie Szereg (5.1.1) ma szereg odwrotny względem mnożenia wtedy i tylo wtedy, gdy jego wyraz wolny jest różny od zera. Przyład. ( ) 1 x = 1 x. Przyład. Następującą tożsamość można udowodnić, orzystając z funcji tworzących: ( ) ( )( ) m + m n =. s s Porównamy współczynnii po obu stronach równości: ( ) m+n m + n x = (1 + x) m+n = (1 + x) m (1 + x) n ( ) m m = x i n ( ) ( )( ) n x j m+n m n = x. i j s s i=0 s=0 j=0 s= Rozwiązywania reurencji Problem: dla danego ciągu {g n } spełniającego pewne równanie reurencyjne, Algorytm znaleźć jawny wzór na g n jao funcji n. Rozwiązanie jest następujące. rozwiązywania 1. Napisać równanie g n = f (g n,..., g n ) dla całowitych n i pewnego, przy czym g 1 = g 2 = = Pomnożyć obie strony równania przez x n i zsumować. Otrzyma się równanie g n x n = h (G (x)), n

29 5.3. Zastosowania funcji tworzących 26 Liczby Fibonacciego 3. Rozwiązać równanie ze względu na G (x). 4. Rozwinąć G (x) w szereg potęgowy. Współczynni przy x n jest równy g n. Rozpatrzymy przyład z liczbami Fibonacciego 7, w oparciu o powyższy schemat. Liczby Fibonacciego są oreślone wzorem 1. Równanie reurencyjne 0, dla n 0, g n = 1, dla n = 1, g n 1 + g n 2 dla n > 1. (5.2.1) Inaczej 2. Równanie na funcję tworzącą g n = g n 1 + g n 2 + [n = 1] G (x) = n g n x n = n g n 1 x n + n g n2 + n [n = 1]x n = g n x n+1 + n g n x n+2 + x (5.2.2) = xg (x) + x 2 G (x) + x. 3. Rozwiązanie równania na funcję tworzącą x G (x) = 1 x x. (5.2.3) 2 4. Rozładamy na G (x) na ułami proste. Pierwiastami równania 1 x x 2 = 0 są a = ( ) /2 oraz b = ( 1 5 ) /2. Dla A = a/ (a b) i B = b/ (a b) otrzymujemy G (x) = A 1 ax + B 1 bx = a +1 b +1 a b x Złoty podział sąd g = 1 ( ) +1 ( ) (5.2.4) Zastosowania funcji tworzących Funcja tworząca dla współczynniów dwumianowych dla ustalonego n: ( ) n x = 7 Leonardo Fibonacci, n ( ) n x = (1 + x) n.

30 5.3. Zastosowania funcji tworzących 27 Interpretacja ombinatoryczna: niech X = {e 1,..., e n }. W iloczynie (1 + x) n = (1 + x)... (1 + x), i-ty czynni (1 + x) można tratować jao odpowiedni elementu e i i reprezentujący liczby wystąpień elementu e i zero razy (x 0 = 1) i jeden raz (x 1 = x). Rozumowanie to można uogólnić na przypade zbiorów z powtórzeniami, wtedy i-ty czynni (1 + x + + x j ) może reprezentować liczbę wystąpień elementu. Przyład. Niech X = {3 a, 1 b, 2 c} oraz niech c będzie liczbą podzbiorów -elementowych tego zbioru. Wtedy c x = ( 1 + x + x 2 + x 3) (1 + x) ( 1 + x + x 2) = 1 + 3x + 5x + 6x 3 + 5x 4 + 3x 5 + x 6. Stąd liczba podzbiorów dwuelementowych wynosi 5. Na liczbę wystąpień e i można naładać ograniczenia. Twierdzenie Niech X = {e 1,..., e n } oraz niech c oznacza liczbę - elementowych zbiorów A z powtórzeniami, o elementach z X taich, że dla i = 1,..., n rotność elementu e i należy do zbioru {r i1, r i2,... }, gdzie 0 r i1 r i2,.... Wtedy funcja tworząca dla ciągu c 0, c 1,... jest równa C (x) = c x = (x r 11 + x r ) (x r 21 + x r )... (x r n1 + x r n2 +...). Przyład. Jeżeli nie naładamy żadnych ograniczeń, to ( 1 + x + x ) n = 1 (1 x) n. Rozwijając tę funcję w szereg MacLaurina otrzymujemy d dx (1 x) n = ( n) ( n 1)... ( n + 1) (1 x) n ( 1) = (n) (1 x) n. Stąd (1 x) n (n) = x =! ( ) n + 1 x, (porównaj twierdzenie 3.3.1). Jeżeli liczba wystąpień ma być różna od zera, to funcja tworząca będzie równa ( x + x ) n = x n (1 x) n. Twierdzenie Niech X = {e 1,..., e n } oraz niech c oznacza liczbę -elementowych ciągów o elementach z X taich, że dla i = 1,..., n liczba

31 5.4. Sploty 28 wystąpień elementu e i należy do zbioru {r i1, r i2,... }, gdzie 0 r i1 r i2,.... Wtedy wyładnicza funcja tworząca dla ciągu c 0, c 1,... jest równa C (x) = = c x ( x r 11! r 11! + xr12 r 12! +... ) ( x r21 r 21! + xr22 r 22! +... ) ( x r n1 )... r n1! + xrn2 r n2! Sploty Sploty Fibonacciego. Należy znaleźć wzór na n F n = f f n, gdzie f jest -tą liczbą Fibonacciego. Ciąg {F n } jest splotem ciagu {f n } z sobą. Liczby Fibonacciego mają funcję tworzącą daną wzorem (5.2.3) G (x) = x 1 x x 2, Liczby F n mają zaś funcję tworzącą F (x) = (G (x)) 2. Stąd, otrzymujemy F (x) = 1 (n + 1) (2f n+1 f n ) x n 2 5 n=0 5 Ostatecznie otrzymujemy F n = n f f n = 2nf n+1 (n + 1) f n 5 f n+1 x n. n=0 Sploty harmoniczne. Efetywność algorytmu samplesort zależy od wartości sumy t m,n = n 1 ( ) 1 m m dla całowitych m, n > 0. Aby obliczyć t m,n zauważmy, że ciąg {t m,n } jest splotem ciągu ( ) 0, m ( ) 1, m ( ) 2,... m z ciągiem 0, 1/1, 1/2,.... Ciągi te mają znane funcje tworzące n=0 ( ) n x n = m x m (1 x) m+1 ; n=0 x n n = ln 1 1 x..

32 5.4. Sploty 29 Liczby harmoniczne Stąd funcja tworząca T m (x) dla ciągu {t m,n } wyraża się wzorem x m ( ) T m (x) = (1 x) m+1 ln 1 n 1 x = (H n H m ), n m gdzie H n = n są liczbami harmonicznymi. Drzewem binarnym T o n wierzchołach nazywa się drzewo puste T =, gdy n = 0 lub tróję T = (L, r, P ), gdzie r jest wierzchołiem zwanym orzeniem drzewa, L jest drzewem binarnym o l wierzchołach P jest drzewem binarnym o p wierzchołach oraz l + p + 1 = n. Drzewa binarne T 1 i T 2 są izomorficzne, T 1 T 2 gdy T 1 = T 2 = lub gdy T 1 = (L 1, r, P 1 ), T 2 = (L 2, r, P 2 ) oraz L 1 L 2 i P 1 P 2. Niech c oznacza liczbę nieizomorficznych drzew binarnych o wierzchołach. Oczywiście c 0 = 1 oraz dla 0 s istnieje c s c 1 s nieizomorficznych drzew binarnych (L, r, P ) taich, że L ma s wierzchołów. Wobec tego dla > 0 Niech c = c 0 c 1 + c 1 c c 1 c 0, (5.4.1) C (x) = c x będzie funcją tworzącą dla ciagu oreślonego wzorem (5.4.1). Ponieważ prawa strona wzoru (5.4.1) jest splotem ciągu {c i } z przesuniętym ciągiem c i = c i 1, c 0 = 0, to C (x) = xc 2 (x) + 1, a więc xc 2 (x) C (x) + 1 = 0. Rozwiązując to równanie ze względu na C (x) otrzymujemy dla x 0 C (x) = 1 ± 1 4x 2x Rozwijając (1 4x) 1/2 w szereg Maclaurina otrzymujemy ( ) x = 1 2 x. 1 =1 =1. (5.4.2) Aby otrzymać rozwiązanie o dodatnich współczynniach, należy w (5.4.2) wybrać zna minus. Stąd C (x) = 1 ( ) ( ) 1 4x = x = x. 2x 1 + 1

33 5.5. Zadania 30 Ostatecznie c = 1 ( ) 2. Liczby c nazywa się liczbami Catalana Zadania 1. Znaleźć funcje tworzące dla ciągów a =, b = 2 oraz c = ( ) m+ m dla = 0, 1, Znaleźć funcję tworzącą dla ciągu Fibonacciego, z modyfiacją taą, że f 0 = 0, f 1 = 1, f n+1 = f n + f n Niech a n będzie liczbą ciągów różnowartościowych o elementach ze zbioru n-elementowego. Udowodnić, że n=0 a n n! xn = ex 1 x. 4. Na ile sposobów można zbudować olumnę rozmiaru 2 2 n z cegieł rozmiaru 2 2 1? 5. Liczby Fibonacciego drugiego rodzaju F n są oreślone następująco. F 0 = 0, F 1 = 1 oraz F n+1 = F n + F n 1 + f n+1 dla n > 0. Podać F n jao funcję liczb Fibonacciego f n. 6. Niech c będzie liczbą funcji różnowartościowych ze zbioru -elementowego w zbiór n-elementowy. Znaleźć funcję tworzącą dla ciągu c i obliczyć c. 7. Niech p n będzie liczbą możliwych rozmieszczeń nawiasów w iloczynie x 0... x n. Udowodnić, że p n = c n, gdzie c są liczbami Catalana. 8. Udowodnić, że liczba sposobów, w jai (n + 2)-ąt wypuły na płaszczyźnie można podzielić na rozłączne trójąty za pomocą n 1 przeątnych nieprzecinających się wewnątrz tego (n + 2)-ąta, jest równa liczbie Catalana c n. 9. Niech B n będa liczbami Bella. Udowodnić, że B n+1 = n ( ) n B n i orzystając z tej reurencji znaleźć wyładniczą funcję tworzącą dla liczb Bella. 8 Catalan???

34 6. Ciała sończone i sończone przestrzenie wetorowe 6.1. Ciała sończone 31 Grupa addytywna Grupa multipliatywna Pieścień Z p Ciała Galois Ciała wielomianów Zbiór X z działaniami + i tworzy ciało (X, +, ), gdy spełnione są waruni: (w zapisie, zgodnie ze zwyczajem, na ogół nie piszemy ropi) C1 a + b = b + a, C2 (a + b) + c = a + (b + c), C3 ab = ba, C4 (ab)c = a(bc), C5 a(b + c) = ab + ac, C6 Istnieje zero: a + 0 = 0 + a = a, C7 Istnieje element przeciwny a + ( a) = 0, C8 Istnieje jedyna a 1 = 1 a = a, C9 Istnieje element odwrotny aa 1 = a 1 a = 1 dla a 0, C Jeżeli spełnione są waruni C1, C2, C6, C7, to (X, +) jest grupą addytywną przemienną, jeżeli spełnione są waruni C4, C8, C9, to (A, ) jest grupą multipliatywną (nieonieczne przemienną), jeśli dodatowo jest spełniony warune C3, to jest grupą multipliatywną przemienną. Jeżeli spełnione są waruni C1 C8 i C10, to (X, +, ) jest pierścieniem. Twierdzenie Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to działania + i oreślone jao reszty z dzielenia przez p w zwyłym dodawaniu i dzieleniu w zbiorze liczb całowitych, (czyli działania mod p), tworzą ciało sończone na zbiorze X = {0, 1,..., p 1}. Jeżeli p nie jest liczbą pierwszą, to X z działaniami dodawania i mnożenia mod p jest pierścieniem Z p, ale nie ciałem. Charaterystyą ciała jest najmniejszą liczbą całowitą taą, że i=1 1 = 0. Twierdzenie Charaterystya dowolnego ciała sończonego jest liczbą pierwszą. Można udowodnić, że ażde ciało sończone ma q = p m elementów, gdzie p jest liczbą pierwszą, a m jest liczbą naturalną. Wszystie ciała sończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne. Taie q-elementowe ciało oznaczamy przez GF(q) ciało Galois 9 (Galois field). Dla m > 1 są to ciała wielomianów (nie wszystich. problem ten rozważymy ogólnie w następnym paragrafie). Gdy q = p m, to charaterystya taiego ciała wynosi p. Przyład. Ciało o 2 2 = 4 elementach: 9 Galois 0, 1, x, x + 1.

35 6.2. Ciała wielomianów 32 Wielomian x 2 + x + 1 jest nierozładalny nad GF(2), bo Następnie x x = x 2, x(x + 1) = x 2 + x, (x + 1)(x + 1) = x 2 + 2x + 1. x x( mod x 2 + x + 1) = x + 1, x(x + 1)( mod x 2 + x + 1) = 1, Stąd GF(4): x x x x x + 1 x x x x x + 1 x + 1 x x x x x + 1 x 0 x x x x x Natomiast Z 4 : Ciała wielomianów (x + 1)(x + 1)( mod x 2 + x + 1) = x, Sończone przestrzenie wetorowe Przestrzenie liniowe Kraty podprzestrzeni Przestrzeń liniowa n-wymiarowa nad ciałem GF(q) jest oreślona jao zbiór wetorów x = (x 1,..., x n ), gdzie x i GF(q). Działaniami są Dodawanie x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ), Mnożenie przez liczbę λx = (λx 1,..., λx n ). Przestrzeń taą oznaczymy przez V (n, q). Rodzina podprzestrzeni przestrzeni V (n, q) tworzy ratę, gdzie dla podprzestrzeni Z oraz T oreślamy Z T = Z T, Z T = {z + t : z Z, t T}.

36 6.3. Sończone przestrzenie wetorowe 33 Atomy raty Zero raty 0 to przestrzeń zerowa sładająca się z jednego wetora (0,..., 0). Jedyną raty 1 jest cała przestrzeń V (n, 1). Atomem a raty L nazywa się tai jej element, że 0 a oraz jeśli 0 b a, to albo b = 0 albo b = a. W racie podprzestrzeni, atomami są podprzestrzenie jednowymiarowe Rysune 2. Przestrzeń V (3, 2) H 1 H 3 H 4 H 7 H 6 H 5 H Rysune 3. Krata podprzestrzeni V (3, 2) Dla V (3, 2) podprzestrzeniami dwuwymiarowymi są: H 1, H 2, H 3 ściany zawierające (0, 0, 0), H 4, H 5, H 6 płaszczyzny przechodzące przez rawędź zawierającą (0, 0, 0) i rawędź równoległą do niej zawierającą (1, 1, 1), H 7 = {000, 011, 110, 101}.

37 6.3. Sończone przestrzenie wetorowe 34 Oznaczmy [x] = qx 1 q 1. (6.3.1) Własność 0. Jeśli n jest liczba naturalną, to [n] oreślone wzorem (6.3.1) jest liczbą atomów w racie podprzestrzeni, przestrzeni V (n, q) nad ciałem GF (q). Przyjmijmy oznaczenia: [x] = [x][x 1]... [x + 1], (x) = x(x 1)... (x + 1), []! = [],! = (), [ ] x = [x] ( ) x []!, = (x)!. Twierdzenie lim [x] = (x), q 1 lim q 1 [ ] x = ( ) x. Symbol Gaussa [ x ] Symbol nazywa się symbolem Gaussa i ma własności podobne do symbolu Newtona. Twierdzenie [ ] [ ] x x = x oraz [ ] x + 1 = + 1 [ ] [ ] x x + q +1,. + 1 Dowód. Twierdzenie Liczba podprzestrzeni wymiaru przestrzeni V (n, q) czyli elementów raty rzędu jest równa [ ] n = (qn 1)(q n 1 1)... (q n +1 1). (q 1)(q 1 1)... (q 1) Dowód. Twierdzenie x n = n [ ] n (x 1) (x q)... ( x q 1). (6.3.2) Dowód.

38 6.4. Zadania Zadania 1. Sprawdzić, że wielomian x 3 + x + 1 Z 2 jest nierozładalny nad ciałem Z 2. Wypisać wszystie elementy ciała GF(8) rozumianego jao ciało reszt z dzielenia przez x 3 + x + 1 w pierścieniu Z Sprawdzić, że wielomian x 2 + x + 2 Z 3 jest nierozładalny nad ciałem Z 3. Wypisać wszystie elementy ciała GF(9) rozumianego jao ciało reszt z dzielenia przez x 2 + x + 2 w pierścieniu Z W ciele GF(8) z zadania 1 obliczyć: (1 + x) + (x + x 2 ), (1 + x)(x + x 2 ), x W ciele GF(9) z zadania 2 obliczyć: (1 + x) + (2 + x), (2 + x) (1 + 2x), (1 + x)(1 + 2x), x W ciele GF(8) z zadania 1 rozwiązać równania wadratowe o niewiadomej t: t 2 + (x 2 + 1)t + 1 = 0, t 2 + t + x = 0, t 2 + t + x 2 = 0, t 2 + t + (x 2 + 1) = 0, t 2 + (x 2 + 1)t + (x 2 + 1) = Udowodnić, że [ ] n < 0 7. Udowodnić, że dla q > 1 8. Udowodnić, że dla q > 1 gdzie 9. Udowodnić, że dla q > 1 o ile q n+ = o (n). [ ] [ ] [ ] n n n < < = > > 1 n/2 n/2 q (n ) [ ] n q (n 1) q n ( 2) (q 1) [n] βq n ( 2), β = ( ) 1 q i, i=1 (q 1) [n] q n ( 2) [ ] n. n

39 36 7. Geometrie rzutowe i afiniczne 7.1. Sończone geometrie rzutowe Geometrie rzutowe Geometrią rzutową nazywa się zbiór puntów X i rodzinę podzbiorów zwanych prostymi, spełniających waruni: (i) dowolne dwa punty leżą na doładnie jednej prostej, (ii) dla dowolnych czterech puntów x, y, z, t nie leżących na jednej prostej, jeżeli xy przecina zt, to xz przecina yt, (iii) ażda prosta ma co najmniej trzy punty. Jeżeli za punty przyjmiemy atomy raty podprzestrzeni V (n, q), to podprzestrzenie rzędu 2 są prostymi. Taą geometrię oznaczamy symbolem P G(n 1, q). Geometrię rzutową rzędu P G(2, 2) nazywamy płaszczyzną Fano (rys. 4). Na rys. 5 przedstawiona jest płaszczyzna P G(2, 3) Rysune 4. Płaszczyzna Fano P G(2, 2) Twierdzenie Liczba podprzestrzeni -wymiarowych n-wymiarowej geometrii P G(n 1, q) jest równa [ ] n. Płaszczyzny Płaszczyzny rzutowe można oreślić asjomatycznie w następujący sposób. rzutowe (i) dowolne dwa punty leżą na doładnie jednej prostej, (ii) ażde dwie różne proste mają doładnie jeden punt wspólny, (iii) istnieją cztery różne punty, z tórych żadne trzy nie leżą na jedej prostej. Istnieją płaszczyny rzutowe nieizomorficzne z P G(2, q), natomiast geometrie rzutowe, tóre nie są płaszczyznami są izomorficzne z P G(n 1, q) dla pewnych n i q. Twierdzenie Płaszczyna P G(2, q) zawiera q 2 + q + 1 puntów oraz q 2 + q + 1 prostych. Każda prosta zawiera doładnie q + 1 puntów, a przez ażdy punt przchodzi q + 1 prostych.

40 7.2. Sończone geometrie afiniczne Sończone geometrie afiniczne Rysune 5. Płaszczyzna rzutowa P G(2, 3) Geometrie afiniczne Geometrią afiniczną nazywa się zbiór puntów X i rodzinę podzbiorów zwanych prostymi, spełniających waruni: Geometrię afiniczną AG(n, g) onstruujemy następująco. Niech V (n, q) będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem GF(q), a Z jej podprzestrzenią. Relacja oreślona wzorem a b a b Z (7.2.1) jest relacją równoważności. Atomy w racie warstw tej relacji są puntami geometrii afinicznej AG(n, q), podprzestrzenie rzędu 2, są prostymi. Twierdzenie Liczba podprzestrzeni -wymiarowych n-wymiarowej geometrii AG(n, q) jest równa q n [ ] n. Płaszczyzny Płaszczyzny afiniczne można oreślić asjomatycznie w następujący sposób. afiniczne (i) dowolne dwa punty leżą na doładnie jednej prostej, (ii) dla ażdej prostej L i ażdego puntu p / L istnieje doładnie jedna prosta L równoległa do L (L L) taa, że p L. (iii) istnieją cztery różne punty, z tórych żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Istnieją płaszczyzny afiniczne nieizomorficzne z AG(2, q), natomiast geometrie afiniczne, tóre nie są płaszczyznami są izomorficzne z AG(n 1, q) dla pewnych n i q. Twierdzenie Płaszczyna AG(2, q) zawiera q 2 puntów oraz q 2 + q prostych. Każda prosta zawiera doładnie q puntów, a przez ażdy punt

41 7.3. Zadania Zadania przechodzi q + 1 prostych. 1. Udowodnić, że ażda geometria P G(2, q) jest płaszczyzną rzutową, tzn. spełnia waruni (i) (iii). 2. Wyprowadzić wzór na liczbę różnych czworoątów, tzn. czwóre puntów z tórych żadne trzy nie leżą na jednej prostej, płaszczyzny P G(2, q). 3. Udowodnić, że liczba podprzestrzeni rzędu s zawierających ustaloną podprzestrzeń rzędu u geometrii P G(n 1, q), jest równa [ ] n u. s u

42 39 8. Matroidy 8.1. Definicje Bazy matroidu Zbiory niezależne Cyle Rząd Rozpięcie Niech E będzie zbiorem sończonym. Matroidem (matroidem baz) nazywamy parę M = (E, B) taą, że niepusta rodzina B podzbiorów zbioru E spełnia następujące postulaty: (b 1 ) żadna baza nie jest podzbiorem właściwym innej bazy, (b 2 ) jeśli B 1 B, B 2 B, e B 1 to istnieje f B 2 taie, że (B 1 \ {e} {f}) B. Własności taie mają bazy w sończonych przestrzeniach liniowych nad dowolnym ciałem, w szczególności GF(q) (własność Steiniza). Twierdzenie Wszystie bazy matroidu M mają tę samą liczbę elementów r = ρ(m). Liczbę r = ρ(m) nazywa się rzędem matroidu. Definicja. Zbiorem niezależnym nazywa się dowolny podzbiór dowolnej bazy. Rodzinę zbiorów niezależnych oznaczamy przez I. Parę M = (E, I) nazywa się matroidem zbiorów niezależnych. Cylem nazywa się ażdy minimalny zbiór zależny (tzn. tai, tóry nie jest niezależny). Rodzinę cyli oznaczamy przezc. Parę M = (E,C ) nazywa się matroidem cyli. Rzędem ρ(a) zbioru A E nazywa się liczbę elementów masymalnego zbioru niezależnego I A. Parę M = (E, ρ) nazywa się matroidem z funcją rzędu. Rozpięciem σ(a) zbioru A E nazywa się masymalny zbiór B tai, że A B i ρ(a) = ρ(b). Parę M = (E, I) nazywa się matroidem rozpięć. Zbiory niezależne, cyle, rząd i rozpięcie można scharateryzować również asjomatycznie, przyjmując waruni onieczne i dostateczne z poniższych twierdzeń jao postulaty. Twierdzenie Rodzina I jest rodziną zbiorów niezależnych wtedy i tylo wtedy, gdy są spełnione waruni: (i 1 ) jeśli I 1 I 2 I, to I 1 I, (i 2 ) jeśli I 1, I 2 I, I 1 < I 2, to istnieje e I 2, e / I 1 tai, że I 1 {e} I. Twierdzenie RodzinaC jest rodziną cyli wtedy i tylo wtedy, gdy są spełnione waruni: (c 1 ) jeżeli C 1 C 2 C, to C 1 / C, (c 2 ) jeżeli C 1, C 2 C, C 1 C 2, e C 1 C 2, to istnieje C C tai, że C C 1 C 2 \ {e}. Twierdzenie Funcja ρ : 2 E R jest funcją rzędu wtedy i tylo wtedy, gdy są spełnione waruni: (r 1 ) 0 ρ(a) A, (r 2 ) jeżeli A B E, to ρ(a) ρ(b), (r 3 ) ρ(a B) + ρ(a B) ρ(a) + ρ(b).