Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Transkrypt

1 Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g) NWW[80, 208], (h) NWW[36, 60, 90], (i) NWW[120, 168, 280], (j) NWW[30, 42, 70, 105], (k) wymyśl sobie więcej. ZADANIE 2. Zapisz największy wspóny dzielnik podanych liczb jako ich kombinację liniową. (a) 12 i 9, (b) 32 i 20, (c) 95 i 150, (d) 6, 10 i 15, (e) 24, 30 i 45, (f) wymyśl sobie więcej. ZADANIE 3. Rozwiąż równania w liczbach całkowitych x i y. (a) 35x + 91y = 77, (b) 25x + 15y = 33, (c) 18x 12y = 30, (d) 22x 33y = 11, (e) wymyśl sobie więcej.

2 Kongruencje ZADANIE 1. Rozwiąż następujące kongruencje. (a) 2x 8 (mod 5), (b) 3x 9 (mod 12), (c) 4x 3 (mod 10), (d) 5x 1 (mod 6), (e) 6x 3 (mod 9), (f) 7x 10 (mod 4), (g) 8x 20 (mod 16), (h) wymyśl sobie więcej. ZADANIE 2. Rozwiąż następujące układy kongruencji modulo liczba pierwsza. (a) (b) { x + 2y 2 (mod 5), 3x y 3 (mod 5); { 3x 2y 1 (mod 7), 4x + y 4 (mod 7); (c) wymyśl sobie więcej. ZADANIE 3. Rozwiąż następujące układy kongruencji. { x 2 (mod 5), (a) x 1 (mod 7); (b) (c) x 1 (mod 3), x 2 (mod 4), x 3 (mod 5); x 4 (mod 7), x 1 (mod 5), x 0 (mod 3); (d) wymyśl sobie więcej.

3 Twierdzenia Fermata, Eulera i Wilsona ZADANIE 1. Niech p 3 będzie liczbą pierwszą. Wyznacz reszty z dzielenia przez p następujących liczb. (a) (p 2)!, (b) (p 3)!, (c) 2 p2 1, (d) 2 pn 1 dla każdego n naturalnego, (e) (2p 2), (f) (2p 1). ZADANIE 2. Wyznacz ostatnie dwie cyfry następujących liczb: (a) , (b) , (c) , (d) Wymyśl sobie więcej. ZADANIE 3. Znajdź reszty z dzielenia przez 30 następujących liczb: (a) , (b) , (c) , (d) Wymyśl sobie więcej. ZADANIE 4. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzą podzielności: (a) 24 n 5 n 3, (b) 252 n 8 n 2, (c) n 16 n 4.

4 Grupy ZADANIE 1. Sprawdź, czy następujące struktury są grupami. (a) Z \ {0}, ; (b) R \ {0}, ; (c) Z n, + n ; (d) Z 6, 6 ; (e) Z 5, 5 ; (f) Z,. (g) M 2 2 (R), +. (h) M 2 2 (R),. (i) GL 2 (R),. ZADANIE 2. Sprawdź, czy H jest podgrupą G, jeśli: (a) H = {0, 1, 2}, G = Z 6, + 6 ; (b) H = {0, 2}, G = Z 4, + 4 ; (c) H = {0, 4, 8}, G = Z 12, + 12 ; (d) H = Z, +, G = R, + ; (e) H = Z +,, G = R +, ; (f) H = {0, 2, 4}, G = Z 4, + 4 ; (g) H = {1, 4}, G = Z 5, 5 ; (h) H = {1, 2, 4}, G = Z 15, 15 ; ZADANIE 3. Wykonaj następujące działania w grupach. (a) ( ) w Z 12; (b) i 3 jk 2 ( i) 3 j 3 w grupie kwaternionów Q 8 ; (c) (s 3 r 5 ) 2 s 3 r 4 s w grupie dihedralnej D 4. ZADANIE 4. Rozwiąż następujące równania w grupach: (a) (ij) 3 xkj 2 = 1 w Q 8 ; (b) (s 3 r 2 ) 1 xr 2 = sr 3 w D 5.

5 Rzędy, warstwy, grupa ilorazowa ZADANIE 1. Oblicz rzędy następujących elementów: (a) 3 i 5 w Z n ; (b) 3 i 11 w Z 20; (c) wszystkich elementów Q 8 ; (d) wszystkich elementów D 3 ; (e) r 5 i r 2 s w D 6 ; [ ] 1 1 (f) w GL (F 3 ). ZADANIE 2. Wyznacz warstwy lewostronne i prawostronne następujących podgrup. Narysuj tabelkę działania dla grupy ilorazowej, o ile istnieje. (a) 3Z < Z; (b) {0, 5, 10, 15} < Z 20 ; (c) {1, 3, 9} < Z 13; (d) {1, 1} < Q 8 ; (e) {1, 1, k, k} < Q 8 ; (f) {id, r 2, r 4 } < D 6 ; (g) {id, rs} < D 3.

6 Grupy permutacji ZADANIE 1. Rozłóż na cykle i transpozycje, określ znak i wyznacz rzędy każdej z poniższych permutacji. (a) ( ) ; (b) ( ) ; (c) wymyśl sobie więcej. ZADANIE 2. Wykonaj następujące działania w S n : (a) ( ) ( ) ; (b) ( ) ( ) ; (c) wymyśl sobie więcej. ZADANIE 3. Rozwiąż następujące równania w S n (a) ( ) ( ) x = id; (b) ( ) ( ) x ( ) = (c) Wymyśl sobie więcej. Homomorfizmy ZADANIE 1. Sprawdź, czy następujące przekształcenia są homomorfizmami grup. Jeśli tak, to wyznacz jądro i obraz. Czy są to monomorfizmy / epimorfizmy / izomorfizmy? (a) f : R, + R +,, f(x) = 2 x ; (b) f : R +, R, +, f(x) = x 2 ; (c) f : Z, + Z, +, f(x) = 5x; (d) f : C, + R, +, f(z) = Re(z); (e) f : Q, + Q, +, f(x) = 2x + 1; (f) f : Q 8 {±1},, f(±1) = f(±i) = 1, f(±j) = f(±k) = 1; (g) f : D n Z n, f(r j ) = f(r j s) = j; (h) f : S n S n, f(σ) = σ 2. ZADANIE 2. Wyznacz wszystkie homomorfizmy: (a) f : Z Z 3 ; (b) f : Z Z 8 ; (c) f : D 4 Z 4 ; (d) f : S 3 Q 8.

7 Pierścienie ZADANIE 1. Sprawdź, które z następujących struktur są pierścieniami: (a) Z Z z dodawaniem i mnożeniem po współrzędnych; (b) N z dodawaniem i mnożeniem; (c) nz z dodawaniem i mnożeniem; (d) R z działaniami min i max; (e) N z działaniami NWD i NWW; (f) Zbiór funkcji f : R R określonych wzorem f(x) = ax + b z dodawaniem i składaniem; (g) M 2 2 (R) z dodawaniem i mnożeniem macierzy. (h) Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X (X jest dowolnym niepustym zbiorem) z działaniami i ; (i) Zbiór wielomianów o współczynnikach rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem wielomianów; (j) Zbiór liczb postaci a + bi, gdzie a, b Z z dodawaniem i mnożeniem; (k) Zbiór liczb zespolonych o module 1 z dodawaniem i mnożeniem. ZADANIE 2. Dla pierścieni z poprzedniego zadania: (i) które są przemienne? (ii) które posiadają jedynkę? (iii) wymień elementy odwracalne każdego z nich; (iv) wymień dzielniki zera w każdym z nich; (v) które są dziedzinami całkowitości? (vi) które są ciałami? ZADANIE 3. Wymień elementy odwracalne, dzielniki zera, nilpotenty oraz idempotenty pierścienia Z n dla n = 5, 6, 18, 20, 24.

8 Podpierścienie, ideały, homomorfizmy ZADANIE 1. Sprawdź, czy zbiór A jest podpierścieniem/ideałem pierścienia R, jeśli (a) A = 6Z, R = 2Z; (b) A = ir, B = C; (c) A = {(x, x) : x Z}, R = R R; {[ ] } u 0 (d) A = : u, v R, R = M 0 v 2 2 (R); (e) A = {0, 3, 6}, R = Z 9 ; {[ ] u v (f) A = : u, v F v v 2 }, R = M 2 2 (F 2 ); (g) A = (x, x) : x Z, R = Z Z. ZADANIE 2. Dla ideałów z poprzedniego zadania narysuj tabelki działań pierścienia ilorazowego. Czy są to ideały główne / pierwsze / maksymalne? ZADANIE 3. Sprawdź, czy następujące przekształcenia są homomorfizmami pierścieni. Jeśli tak, to wyznacz jądro i obraz. Czy są to monomorfizmy / epimorfizmy / izomorfizmy? (a) f : C C, f(z) = z; (b) f : Z 2Z, f(z) = 4z; (c) f : Z Z n, f(x) = [x] n ; (d) f : M 2 2 (R) R, f(m) = det(m); (e) f : R[x] R, f(p ) = P (1); (f) f : R R R R, f(x, y) = (y, x); (g) f : Z 20 Z 5, f(x) = [x] 5.

9 Pierścienie wielomianów ZADANIE 1. Oblicz: (a) (x 3 2x + 1)(x 4 + x 3 2) w Q[x], (b) (2x 3 + x 2 + 1)(x 4 + x 2 + 2x + 2) w Z 3 [x], (c) (x 2 + x + 1)(2x 2 + x 2) w Q[x]/(x 3 + 2), (d) (x 3 + x + 1)(x 3 + x 2 + 1) w Z 2 [x]/(x 4 x 2 ), ZADANIE 2. Wykonaj dzielenie wielomianów z resztą: (a) 2x 5 3x 4 + 4x 2 x 1 przez x 2 + 2x 3 w Q[x], (b) 2x 6 + 3x 5 + x przez 3x + 2 w Z 5 [x]. ZADANIE 3. Posługując się algorytmem Euklidesa, znajdź NWD następujących wielomianów: (a) x 5 x 4 + x 2 x oraz x 4 + x w Q[x], (b) x 3 + 2x 2 + 2x + 1 oraz x w Z 3 [x]. Liczby zespolone ZADANIE 1. Wykonaj działania i zapisz wynik w postaci kanonicznej. (a) 1 1+i + i 2+i + 2 i 1+3i, (b) (2 i) i 2+3i 1+i (c) 1, 1 1+2i i 1 3i, 3 2i ZADANIE 2. Oblicz korzystając ze wzoru de Moivre a. (a) (1 + i) 5, (b) (1 i) 7, (c) ( 3 + i) 8, (d) ( 1 + i 3) 9. ZADANIE 3. Oblicz następujące pierwiastki. (a) kwadratowe z 2 i, (b) kwadratowe z 4 + 3i, (c) sześcienne i czwartego stopnia z 1, (d) sześcienne z 8.

10 Wielomiany, pierścienie ilorazowe ZADANIE 1. Zbadaj rozkładalność danych wielomianów. (a) x 4 + x 3 x 2 4x 2 oraz x 4 2x 2 nad Q, (b) x 3 + x oraz x 5 + x nad F 2, (c) x 4 + 4x 2 + 2x + 4 nad F 5. ZADANIE 2. Ile elementów mają poniższe pierścienie ilorazowe? Który z nich jest ciałem? (a) F 2 [x]/(x 2 + x + 1), (b) Q[x]/(x 3 + 2), (c) Z 12 [x]/(x 2 + 5). ZADANIE 3. Przez [f] oznaczmy klasę abstrakcji reprezentowaną przez wieloman f w danym pierścieniu ilorazowym. Oblicz, o ile istnieją, odwrotności elementów w danym pierścieniu: (a) [x + 1] w F 2 [x]/(x 2 + x + 1), (b) [x 2 + 2] w F 3 [x]/(x 3 + 2x + 2), (c) [x + 1] w F 2 [x]/(x 4 + x 3 + x + 1).