3 k a 2k + 3 k b 2k = φ((a k ) k=1 ) + φ((b k) k=1 ). a 2k p 3 q (1 3 q ) 1 (a k ) k=1 p,

Transkrypt

1 Zadanie 1. Sprawdzić, czy formuła φa ) ) = 3 a 2 zadaje funcjonał liniowy na l p dla p [1, ] i na c, jeśli ta, to czy zadaje funcjonał ciągły, i jeśli ta, policzyć normę. Dowód. Sprawdzam liniowość: φλa ) ) = 3 λa 2 = λ 3 a 2 = λφa ) ) φa ) + b ) ) = 3 a 2 + b 2 ) = Dla p 1, normę szacuję z nierówności Hoeldera: 3 a b 2 = φa ) ) + φb ) ). φa ) ) = 3 ) 1/q a 2 3 q ) 1/p a 2 p 3 q 1 3 q ) 1 a ) p, czyli funcjonał jest ograniczony, więc ciągły. Równość jest wybijana tam, gdzie w nierówności Hoeldera jest równość, czyli dla ciągu a 2 = 3 q/p, a 2+1 =. Dla p = 1 szacuję φa ) ) = a 2 3 równość zachodzi dla ciągu, 1,,,...), czyli φ = 1/3. Dla p = dla c szacuję φa ) ) = a 2 3 a 2 3 a 2 3 a a ) 1, sup i a 2i 3 a ) 3 = a ) /2, czyli φ 1/2, czyli φ jest ciągły. Dla l równość zachodzi dla ciągu samych jedyne, dla c równość nie zachodzi, ale jest przybliżana przez ciągi, tóre na początu mają n jedyne, a potem zera przy n dążącym do niesończoności. Zadanie 2. Sprawdzić, czy następujące formuły na L p [, 2] dla p 1, ) zadają funcjonały liniowe, jeśli ta, to czy zadają funcjonały ciągłe, i jeśli ta, policzyć normę: φf) = fx/2)dx φf) = fx) dx φf) = xfx)dx. Dowód. Liczymy po olei wszystie trzy przyłady: Sprawdzam liniowość: φλf) = λfx/2) = λ fx/2) = λφf) φf + g) = fx/2) + gx/2)dx = fx/2) + gx/2) = φf) + φg).

2 Liczę normę: fx/2)dx = 2 fy)dy = 2 ) 1/p 2 1 fx) p = 2 f p, ) 1/q ) 1/p 1 fy)dy 2 1 q fx) p gdzie pierwsza nierówność to nierówność Hoeldera. Zatem φ 2, czyli φ ciągły. Równość zachodzi dla funcji charaterystycznej odcina [, 1]. Nie jest liniowy. Weźmy fx) = x i gx) = x, wtedy φf) = φg) = 2, ale φf + g) =. Sprawdzam liniowość: Liczę normę: φf + g) = φλf) = xfx)dx xfx) + gx)) = λxfx) = λ xfx) = λφf) xfx) + xgx) = φf) + φg). ) 1/q ) 1/p 2 x q dx fx) p q+1 ) 1/q f p =, q + 1 zatem φ 2 1+1/q q + 1) 1/q, czyli φ ciągły. Równość zachodzi wtedy, iedy zachodzi równość w nierówności Hoeldera, czyli dla fx) = x q/p. Zadanie 3. Niech T : X Y będzie zadany wzorem T f)x) = fy)dy. Sprawdzić, czy T zadaje operator liniowy, sprawdzić, czy zadaje on funcję ciągłą, jeśli na oba pierwsze pytania odpowiedź brzmi ta, to policzyć normę dla: X = L 1 [, 1], Y = C[, 1]) X = C[, 1]), Y = L 1 [, 1] X = C[, 1]), Y = C[, 1]) Bez puntów, jao trening, polecam przeliczyć również X = Y = L 1 [, 1]. Dowód. Sprawdzam liniowość hurtem dla wszystich przypadów): T f + g)x) = Teraz liczymy normy: T λf)x) = fy) + gy)dy = λfy)dy = λ fy)dy = λt f)x) fy)dy + gy)dy) = T f) + T g))x).

3 Mamy T f) = sup [,1] fy)dy sup fy) dy = fy) dy = f 1, [,1] czyli T 1. Zatem T ograniczony, więc ciągły. Równość np. dla fx) = 1. Mamy T f) 1 = = f fy)dy dx 1dydx = 1 2 f, fy) dydx sup ft) dydx [,1] czyli T 1/2. Zatem T ograniczony, więc ciągły. Równość np. dla fx) = 1. Mamy T f) = sup [,1] fy)dy sup fy) dy fy) dy [,1] czyli T 1. Zatem T ograniczony, więc ciągły. Równość np. dla fx) = 1. Mamy T f) = sup t ft) dy = sup ft) = f, t fy)dy dx fy) dydx fy) dydx = fy) dy = f 1, czyli T 1. Zatem T ograniczony, więc ciągły. Równość nie zachodzi, ale jest przybliżana przez funcje f n = n1 [,1/n]. Zadanie 4. Niech T : l L [, 1] będzie różnowartościowym operatorem liniowym ciągłym. Niech e n oznacza ciąg złożony z samych zer jedyni na n-tym miejscu. Załóżmy, że T e n ) = 1/n. Udowodnić, że T l ) L [, 1], albo znaleźć przyład taiego T, dla tórego T l ) = L [, 1]. Dowód. Załóżmy, że istnieje operator T tai, że T l ) = L [, 1]. Wtedy T jest liniowy, ciągły, różnowartościowy i na z przestrzeni Banacha w przestrzeń Banacha, czyli z tw. o odwzorowaniu odwrotnym T 1 jest ciągły. Ale z założenia nt e n ) = 1, a T 1 nt e n )) = nt 1 T e n )) = ne n, czyli T 1 jest nieograniczony, sprzeczność ończy dowód. Zadanie 5. Niech T : l p l p dla p [1, ) będzie zadany wzorem T a n ) ) = a n /n + 1)), T a n ) ) = a 2n + a n ). Sprawdzić, czy T zadaje operator liniowy. Sprawdzić, czy zadaje on funcję ciągłą. Jeśli na oba pierwsze pytania odpowiedź brzmi ta, to policzyć normę.

4 Dowód. Sprawdzam liniowość: T λa n ) ) = λa n n + 1 ) = λ n + 1 ) = λt a n) a n T a n ) +b n) ) = a n + b n n + 1 ) = a n n + 1 ) + n + 1 ) = T a n) )+T b n) ). Liczę normę: T a n ) a n p ) 1/p ) = n + 1) p b n a n p 2 p ) 1/p = 1 2 a n), czyli T 1/2. Zatem T ograniczony, więc ciągły. Równość wybijana dla ciągu 1,,,...). Sprawdzam liniowość: T λa n ) ) = λa 2n + λa n ) = λa 2n + a n )) = λt a n ) ) T a n ) +b n ) ) = a 2n +b 2n +a n +b n ) = a 2n +a n +b 2n +b n ) = T a n ) )+T b n ) ). Liczę normę: T a n ) ) p = a n ) + a 2n) p a n ) p + a 2n ) 2 a n), gdzie pierwsza nierówność to nierówność Minowsiego, czyli T 2. Zatem T ograniczony, więc ciągły. Norma nie jest wybijana, ale jest przybliżana przez ciągi a K n = 1 dla n = 2, K dla pozostałych n. Zadanie 6. Niech T : X Y będzie zadany wzorem T f)x) = sinπx)fy)dy. Sprawdzić, czy T zadaje operator liniowy, sprawdzić, czy zadaje on funcję ciągłą, jeśli na oba pierwsze pytania odpowiedź brzmi ta, to policzyć normę dla: X = L 1 [, 1], Y = L [, 1] X = L [, 1], Y = L 1 [, 1] Dowód. Sprawdzam hurtem) liniowość: T f+g)x) = T λf)x) = Teraz już osobno: sinπx)fy)+gy))dy = sinπx)λfy)dy = λ sinπx)fy)dy = λt f)x) sinπx)fy)dy+ sinπx)fy)dy = T f)+t g))x).

5 Liczę normę: T f) = sup sinπx)fy)dy fy) dy sup sinπx) = f 1, x [,1] x [,1] czyli T 1, czyli T ciągły. Równość zachodzi np. dla fx) = 1. Liczę normę: T f) = = sinπx)fy)dy dx sinπx)dx sinπx) fy) dydx fy) dy 2/π sup fy) = 2 f /π, y [,1] czyli T 2/π, czyli T ciągły. Równość zachodzi dla fx) = 1. W równościach na całach ilarotnie użyłem twierdzenia Fubiniego dla funcji dodatnich. Zadanie 7. ) Niech f L 1 [, 1]. Udowodnij, że wzór g fx)gx)dx zadaje funcjonał liniowy ciągły na L [, 1]. Czy istnieje funcjonał liniowy, tóry nie wyraża się w taiej postaci? Dowód. Pierwsza część jest prosta: fx)gx) fx) sup gx) = f 1 g, T g) czyli f g 1. Aby udowodnić drugą część zauważmy wpierw, że zbiór funcji ciągłych jest domniętą podprzestrzenią L formalnie, zbiór tych las abstracji, tórych jeden z elementów jest funcją ciągłą) bo ciąg funcji ciągłych zbieżny w normie supremum zbiega do funcji ciągłej. Na tej przestrzeni możemy wziąć funcjonał φf) = f). Formalnie tu trzeba uzasadnić, że ten funcjonał fatycznie jest liniowy i dobrze oreślony, ale fortunnie w jednej lasie abstracji będzie tylo jedna funcja ciągła, bo dwie funcje ciągłe równe na zbiorze pełnej miary są równe wszędzie gdyby były różne w pewnym puncie, to byłyby rózne na pewnym otwartym a więc miary dodatniej) otoczeniu tego puntu. Ten funcjonał nie wyraża się w postaci ja wyżej. Załóżmy, że istnieje funcja f L 1 [, 1] taa, że dla ażdej ciągłej g mamy fx)gx) = g). Weźmy ciąg g n = 1 x) n. Wtedy g n x) dla x > i g n ) = 1. Zatem fx)g n x) dla x >. Funcje g n są wszystie ograniczone przez jedynę, czyli z twierdzenia Lebesgue a o zmajoryzowanym przejściu granicznym fx)g nx). Ale z założenia fx)g nx) = g) = 1 dla ażdego n, sprzeczność ończy dowód. Teraz orzystając z następnego zadania rozszerzamy nasz funcjonał do funcjonału na całej przestrzeni, i otrzymujemy tezę. Zadanie 8. ) Niech X będzie przestrzenią Banacha, Y X, Y X i Y domnięta w X. Udowodnić, że istnieje niezerowy funcjonał liniowy ciągły φ na X, tai, że dla ażdego y Y mamy φy) =. Dowód. Z lematu z wyładu istnieje x X o normie 1 tai, że dla ażdego y Y mamy y + x 1/2, a zatem dla ażdego a mamy y + ax a/2. Zdefiniujmy na razie funcjonał φ na przestrzeni rozpiętej przez x i Y w ten sposób, że φax +y) = a. Jao, że rozład elementu naszej przestrzeni na ax +y jest jednoznaczny, nasz funcjonał jest dobrze oreślony. Liniowość sprawdza się od ręi. Aby sprawdzić ograniczoność bierzemy φax + y) = a 2 ax + y, czyli

6 nasz funcjonał ma normę nie więszą niż 2, a zatem jest ciągły. Z definicji φ dla y Y mamy φy) =. Z twierdzenia Hahna-Banacha możemy rozszerzyć φ do funcjonału φ na całym X ta, że φ φ = 2, zatem φ jest ciągły. φ jest rozszerzeniem φ, więc dla y Y mamy φy) =, czyli φ jest szuanym funcjonałem. Zadanie 9. ) Niech T : X X będzie zadany wzorem T a ) ) = 2 1 Dla X = l 1 i dla X = l sprawdzić, czy T zadaje operator liniowy. Sprawdzić, czy zadaje on funcję ciągłą. Jeśli na oba pierwsze pytania odpowiedź brzmi ta, to policzyć normę. i= a i. Dowód. Liniowość sprawdza się standardowo. Liczymy normy: Dla l mamy 2 1 T a ) a i = sup i= 2 1 a sup i= = a sup 1 = a, czyli T 1, czyli T ciągły, równość wybijana dla ciągu stale równego 1. Dla l 1 mamy T a ) 2 1 a = i i= 2 1 a i i= = i 1 a i i=1 =[i+1)/2] i 1 a i i=1 [i + 1)/2] a i = a 1, =[i+1)/2] i=1 czyli T ciągły, równość dla ciągu 1,,,...). Zadanie 1. ) Niech T : X X będzie zadany wzorem T f)x) = 1 2 n fx/2n ). Niech X będzie przestrzenią funcji ciągłych na [, 1] z normą f p = p fx) p dx dla p [1, ] dla p = tę normę interpretujemy jao zwyłą normę supremum). Sprawdzić, dla jaich p operator T jest operatorem liniowym ciągłym. Dowód. Sprawdzamy liniowość. T f + g)x) = 1 T λf)x) = 2 n λfx/2n ) = λ fx/2 n ) = λt f)x) 1 2 n fx/2n ) + gx/2 n )) = Zatem operator liniowy. Sprawdzamy normę: 1 2 n fx/2n ) n gx/2n ) = T f) + T g))x).

7 W normie L 1 nie mamy ciągłości. Weźmy fx) = 1 dla x < 2 K, fx) = dla x > 2 1 K i liniowo między 2 K a 2 1 K. Liczymy normy: f 1 = fx) dx 1 K 1 = 2 1 K, n T f) = 2 nfx/2 n )dx = 2 n fx/2 n )dx = fx)dx K n K K fx)dx 1dx = K2 K, a zatem T f) / f = K/2, czyli jest nieograniczona. W norme L p dla p 1, ) mamy T f) p p = 2 n fx/2 n p pdx. ) dx 2 n fx/2 ) ) n Teraz przygotujemy się do zastosowania nierówności Jensena, żeby p-tą potęgę wprowadzić pod sumę wtedy będziemy mogli zmienić olejność sumy z całą, bo funcje są dodatnie, i dostaniemy od góry szacowanie przez p-tą normę f). Niestety, zastosowanie nierówności Jensena teraz, ze współczynniami 2 n da nam za słabe szacowanie wyjdzie prawie doładnie taie ja dla L 1, a w L 1 nie mieliśmy ograniczoności). To może nasuwać myśl, ze T jest jedna nieograniczony ale próba zastosowania taiego samego lub podobnego ontrprzyładu co w L 1 nie udaje się, bo wspólczynnii 2 n przy potęgowaniu stają się 2 np, potem mnożą się przez 2 n powstałe z zamiany zmiennych i wciąż zostaje 2 np 1), tóre uzbieżnia naszą sumę. Zatem natchnieni tym przyładem próbujemy dostać taie współczynnii w nierówności Jensena, by po sróceniu z 2 n, tóre wychodzi z zamiany zmiennych jeszcze został jaiś uzbieżniający szereg geometryczny. To motywuje poniższe przeształcenia: T f) p p Teraz liczby 2 n/q 2 /q ) pdx 2 n/p 2 n/q fx/2 n ) = 2 n/q ) p 2 /q) 2 n/p fx/2 n ) dx. 2 /q w sposób oczywisty sumują się do jedyni, szereg jest zbieżny bo jest szeregiem geometrycznym o postępie 2 1/q < 1, bo soro p > 1, to 1/q >. Zatem możemy zastosować nierówność Jensena: T f) p p = = 2 n/q 2 /q ) p 1 2 /q ) p 1 2 /q n 2 n/q ) p 1 2 /q 2 /q ) p2 n fx/2 n ) p 2 n/q 2 n fx/2 n ) p dx czyli pierwiastując w p-tym stopniu stronami otrzymujemy fx) p dx 2 n/q f p ) p f p = 2 /q p p, T f) p f p 2 /q,

8 zatem T jest ograniczony, więc ciągły. Konstrucja przyładu wybijającego tę normę wygląda ta, ja onstrucja ontrprzyładu dla L 1, ale przerachowanie, że fatycznie norma jest przez tai ciąg aprosymowana jest bardziej żmudne niż mądre. W normie L mamy T f) = sup 2 n fx/2 n ) sup 2 n fx/2 n ) x [,1] x [,1] 2 n sup fx/2 n ) 2 n f = f, x [,1] zatem T 1, czyli T ciągły. Równość wybijana dla funcji stale równej 1. Zadanie 11. ) Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha. Niech D BX, Y ) będzie zbiorem operatorów różnowartościowych i taich, że T X) jest domnięte w Y. Udowodnić, że D jest otwarty w BX, Y ). Dowód. Niech T D. Jeśli dim X =, to jest tylo jeden element BX, Y ), operator zerowy, należy on do D, zatem D jest otwarte jao cała przestrzeń. Załóżmy zatem, że dim X >. Zatem soro T różnowartościowy, to przyjmuje wartość inną od zera, zatem T >. Udowodnimy, że jeśli T S ε T dla pewnego ε T >, to S D to oznacza, że wraz z T do D należy ula woół T o promieniu ε T, czyli, soro T D dowolny, że D jest otwarty. Obraz T X) jest domnięty w Y, a zatem jest przestrzenią Banacha. Czyli T jao operator z X w T X) jest ciągły, różnowartościowy i na, a zatem z twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym T 1 jest ciągły, a zatem ograniczony. Niech ε T = T 1 1 /2. Dla dowolnego x X mamy x = T 1 T x)) T 1 T x), czyli T x) / x T 1 1. Zatem jeśli T S ε T, to dla x y mamy Sx) Sy) = Sx y) = T x y) T S)x y) T x y) T S)x y) T 1 1 x y T S x y x y ε T >, czyli Sx) Sy), czyli fatycznie S różnowartościowy. Co więcej mamy, wstawiając y = do powyższego ciągu nierówności, Sx) ε T x. S jest różnowartościowy i na SX), więc operator odwrotny jest dobrze zdefiniowany na SX). Dla dowolnego y SX), czyli y = Sx) dla pewnego x mamy S 1 y) = S 1 Sx)) = x ε 1 Sx) = ε 1 y, T czyli operator S 1 jest operatorem ograniczonym, więc ciągłym. Zatem dla dowolnego ciągu Cauchy ego y n w SX) ciąg S 1 y n ) jest ciągiem Cauchy ego w X, bo S 1 y n ) S 1 y m ) S 1 y n y m. Przestrzeń X jest Banacha, zatem ciąg S 1 y n ) zbiega do pewnego x X, a soro S jest ciągły, to y n = SS 1 y n )) zbiega do Sx). Zatem SX) jest Banacha, zatem jest domnięte w Y, czyli S jao operator różnowartościowy o domniętym obrazie należy do D, co ończy dowód. ZADANIA NA KARTKÓWKĘ: Zadanie 12..9) Niech φ n będzie rodziną funcjonałów liniowych ciągłych na L 1 [, 1]), φ n = 1 dla ażdego n. Czy musi istnieć f L 1 [, 1]) tai, że ciąg nφ n f) jest nieograniczony? T

9 Dowód. Musi. L 1 [, 1]) jest przestrzenią Banacha fat z wyładu). Z liniowości normy mamy nφ n = n, czyli zbiór {nφ n } to zbiór nieograniczony w L 1 [, 1]) ), a zatem z tw. Banacha- Steinhausa istnieje element f L 1 [, 1]) tai, że zbiór {nφ n f)} jest nieograniczony. Uwaga warto zwrócić uwagę, że z tego dowodu nie wynia, że nφ n f) zbiega do niesończoności. Zadanie ) Dla ażdej funcji f : [, 1] R oreślamy T f) : [, 1] R wzorem T f)t) = sinπt)ft). Sprawdź, czy T jest operatorem liniowym ciągłym i jeśli ta, oblicz jego normę dla: T : C[, 1]) L 2 [, 1]) T : L 2 [, 1]) L 1 [, 1]). Dowód. Z C w L 2 : π T f) = sin 2 πt)f 2 t)dt sin 2 πt)dtsup f ) 2 = f sin 2 t)dt. π Fat, że π sin2 t)dt = π/2 albo znamy z analizy, albo liczymy z odpowiednich oresowości wynia π sin2 t)dt = π cos2 t), a sin 2 t) + cos 2 t) = 1 więc suma tych całe to π. Zatem Równość zachodzi dla f stale równego 1. Z L 2 w L 1 : T f) 1/2 f. T f) = sinπt)ft) dt sin 2 t)dt f 2 t)dt = 1 f 2, 2 równość zachodzi dla ft) = 2 sinπt). Zadanie ) Sprawdź, czy następujące wyrażenia zadają funcjonały liniowe ciągłe na L 3/2 [, 1]). Jeśli ta, oblicz ich normę: φ 1 f) = fx)dx ) 2 φ 2 f) = x2 fx)dx φ 3 f) = f 2 x)dx φ 4 f) = fx2 )dx Dowód. Po olei: Nie jest liniowe, dla f stale równego 1 φ 1 f) = 1, φ 1 f) = 1 a φ 1 f + f)) = φ 1 f) + φ 1 f). Jest liniowe standardowe sprawdzenie). Równość zachodzi dla fx) = 3 7x 4. x 2 fx)dx 3 x 6 dx 3/2 f 3/2 x)dx = f 3/2 / 3 7.

10 Nie jest liniowe, ten sam przyład, co w pierwszym puncie. Jest liniowe standardowe sprawdzenie), ale jest dobrze oreślone na L 3/2, bo fx 2 )dx = fu)u 1/2 /2. Zatem dla fu) = u 1/2, tóre należy do L 3/2, wychodzi niesończoność.