, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download ", to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi."

Transkrypt

1 Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że + = i Uzasadnij, że istnieje nieskończenie wiele 3 + 4i 10 rozwiązań tego równania zespolonych 2 Policz możliwie krótkim sposobem wartość (1 + 2i) 9 a2 a2 +b 3 Pokaż, że jeśli γ = 2 +a +b 2 oraz δ = sgn(b) 2 a 2, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi Uwaga: W powyższych wzorach 1 dla b < 0, x dla dodatniego x jest liczbą dodatnią, zaś sgn(b) = 0 dla b = 0, 1 dla b > 0 4 Korzystając z poprzedniego zadania rozwiąż równania: z 2 2z + 5 = 0, (1 + i)z 2 2z i = 0, z 3 + (3i 2)z + (3i 1) = 0 5 (Wymaga znajomości pierwszego wykładu) Znajdź rozwiązanie rekurencji 6 Proszę zrobić zadania z wykładu (o ile będą) x 0 = 1, x 1 = 2, x n+1 = x n 2x n 1, x 0 = 1, x 1 = 2, x n+1 = x n 2x n Zestaw 2 Scilab Podane w nawiasach strony w tutorialu ( zawierają przydatne do zadań informacje (A) Zrób zadania domowe o liczbach zespolonych za pomocą Scilaba, jeśli to możliwe (B) Utwórz tablicę zawierającą wartości log x y dla x, y {2, 3,, 10} Można zrobić to korzystając z podwójnej pętli for (52), lub pojedynczej tworząc całe wiersze macierzy (39) (C) 1 Zaimplementuj funkcje liczące wartości n! = 1 2 n oraz n!! = n (n 2) (n 4) (iloczyn liczb nieprzekraczających n o tej samej co n parzystości) Przygotuj dwie wersje każdej funkcji wykorzystaj konstrukcję for (52) oraz while (53) 2 Utwórz tablicę zawierającą w pierwszym wierszu argumenty od 1 do 10, w drugim wartości n!, zaś w trzecim n!! (D) 1 Utwórz tablicę liczb rzeczywistych o jednym wierszu i trzech kolumnach (32) 2 Utwórz funkcję (57), która pobiera jako argument tablicę o jednym wierszu, traktuje kolejne jej elementy (patrz 34) jako współczynniki trójmianu kwadratowego i wypisuje tekst mówiący o liczbie pierwiastków oraz ich rodzaju (rzeczywiste, zespolone) podając te pierwiastki wynikiem funkcji może być na przykład liczba rozwiązań Przydatne mogą być słowa kluczowe if/then/else (49), return (63), funkcje pierwiastek sqrt, disp (12) Proszę przetestować działanie funkcji na różnych macierzach Można dodać sprawdzanie, czy tablica zawiera dokładnie 3 elementy 3 Utwórz tablicę o trzech kolumnach i dowolnej liczbie wierszy Dla każdego wiersza (patrz 37) wywołaj funkcję z poprzedniego punktu Użyj funkcji sprawdzającej rozmiar tablicy (34) oraz pętli utworzonej za pomocą for (52) Warto na bieżąco wypisywać numery wierszy tablicy (E) Zdefiniuj wybraną przez siebie rosnącą funkcję f : R R (57) Zbuduj tablice zawierające potrzebne informacje do narysowania wykresów funkcji f, f 2 i narysuj je na jednym wykresie (67) Narysuj wykresy funkcji f i funkcji odwrotnej do f na jednym wykresie (F) Skonstruuj tablice zawierające wartości pierwszych 15 wyrazów ciągów zdefiniowanych w zadaniu 5 z poprzedniego zestawu (G) Narysuj na wykresie wartości log(x n ), gdzie (x n ) jest ciągiem Fibonacciego, x n = n! i x n = n!! dla co najmniej kilkudziesięciu początkowych wartości dodatnich n

2 (A) Policz wartość wyrażenia ( 1 3 i) 12 Zestaw 3 Liczby zespolone 2; Geometria 1 (B) Korzystając z przedstawienia z w postaci trygonometrycznej znajdź rozwiązanie równania z 3 = z 5 (C) Znajdź zbiór punktów płaszczyzny spełniających poniższe zależności: {z C : 2z > 1}, {z C : Arg(z(1 + i)) (0, π)}, {z C : z = z + 1 }, {z C : Arg z = Arg(z + 1)}, {z C : z + 2 z i < 1}, {z C : Arg z4 = Arg z}, {z C : Re z(1 i) > 1}, {z C : Im z 3 < 0}, {z C : Re z 2 > Re z}, {z C : Im(z + 1) 2 < 1} (D) Znajdź wszystkie punkty płaszczyzny X o tej własności, że trójkąt ABX ma pole powierzchni 11, zaś A = (1, 3) i B = (3, 0) (E) Znajdź wszystkie wektory na płaszczyźnie, które tworzą kąt π 6 z wektorem (1, 2) (F) Znajdź pole powierzchni pięciokąta ABCDE o wierzchołkach A = (10, 6), B = (8, 2), C = (0, 0), D = ( 5, 7), E = ( 2, 7) Korzystając z funkcji trygonometrycznych określ, które z kątów pięciokąta są ostre, a które rozwarte Grupa I 22 XI 2011 z+ w z w (A) Niech z = 2 3i, zaś w = 3 2i Policz wartość v = i narysuj z, w oraz v na płaszczyźnie zespolonej (B) Znajdź rozwiązanie rekurencji x n+2 = 2x n+1 2x n spełniające x 0 = 0, x 1 = 1 Sprawdź poprawność rozwiązania dla x 4 (C) Znajdź wszystkie liczby zespolone z spełniające zależność z 2 = z Zestaw 4 Geometria 2 Macierze 1 (A) Korzystając z iloczynu skalarnego napisz równanie dwusiecznej kąta AOB, gdzie O = (0, 0), A = (1, 2), B = (3, 1) (B) Znajdź współrzędne środka okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie o wierzchołkach ( 1, 1), (3, 2), (4, 1) korzystając z metod rozważanych na ćwiczeniach (C) Znajdź macierz A o wyznaczniku 1 mającą wszystkie współrzędne różne od 0, oraz trzy punkty płaszczyzny x 1, x 2, x 3 tworzące trójkąt Narysuj trójkąty x 1, x 2, x 3 oraz A x 1, A x 2 A x 3 Powtórz rozumowanie dla macierzy o wyznaczniku 2 Wyciągnij wnioski [ 1/2 3/2 3/2 1/2 (D) Rozważmy macierze następujące: A 1 = [ , A 2 = [ , A3 = [ , A4 = [ , A5 = Policz dla różnych wektorów v R 2 wartość wyrażenia A i v i spróbuj wywnioskować regułę (E) Sprawdź na przykładach, że dla macierzy 2 2 nie jest prawdziwa zależność AB = BA Spróbuj znaleźć takie macierze A, że dla dowolnych B ta zależność jest spełniona Zestaw 5 Macierze 2 (A) Znajdź metodą operacji elementarnych macierze odwrotne do [ [ , [ sin x cos x cos x sin x, x y + z = 0 (B) Rozwiąż układ równań 2x + y z = 3 3x 2y + 2z = 1 x + y + z = 0 3x + 2y z = 1 (C) Znajdź wartość a taką, że układ równań ma dokładnie 1 rozwiązanie Rozwiąż ten układ y + z x = a 2x + 3y + z = a równań { 2x 3y + z = 4 (D) Rozważmy układ równań Znajdź metodą z wykładu rozwiązania (x, y) w zależności od z, x + y z = 2 następnie (x, z) w zależności od y oraz (y, z) w zależności od x (E) Korzystając z metod z wykładu uzasadnij, że jeśli macierz jest trójkątna, tzn postaci a 11 a 12 a 13 a 1n a a 22 a 23 a 2n a 21 a A = 0 0 a 33 a 3n lub A = a 31 a 32 a a nn a n1 a n2 a n3 a nn to det A = a 11 a 22 a nn

3 (F) Wiadomo że mnożenie wiersza lub kolumny macierzy A przez stałą k daje macierz o wyznaczniku k det A; zamiana miejscami 2 wierszy lub kolumn zmienia wyznacznik na przeciwny; dodanie do wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny) nie zmienia wyznacznika macierzy a) Sprawdź na prostych przykładach, że powyższe własności są prawdziwe b) Spróbuj uzasadnić, że te własności są prawdziwe c) Policz wyznacznik macierzy z zadania (A) sprowadzając je do postaci trójkątnej Zestaw 6 Macierze 3 (A) Niech macierz A o n wierszach i kolumnach spełnia a ij = a ji Uzasadnij, że jeśli n jest nieparzyste, to det A = 0 i pokaż na przykładach, że założenie nieparzystości n jest istotne (B) Jaki wyznacznik ma macierz mająca 0 na przekątnej, 1 powyżej oraz 1 poniżej przekątnej? (C) Jeśli na wykładzie nie pojawiło się pojęcie rzędu macierzy, to zdefiniujmy je następująco: rzędem macierzy A nazywamy taką najmniejszą liczbę n, że za pomocą operacji elementarnych można doprowadzić macierz do postaci, w której n wierszy zawiera jakieś wyrazy niezerowe, zaś pozostałe same zera (Analogicznie można definiować rząd używając kolumn zamiast wierszy lub też operacji na wierszach i kolumnach równocześnie) (A) Uzasadnij, że macierz identycznościowa ma rząd równy wymiarowi (B) Uzasadnij, że macierz kwadratowa o wyznaczniku 0 ma rząd mniejszy niż wymiar (C) Uzasadnij, że macierz ma rząd 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest zerowa (D) Policz rząd macierzy następujących: a a + 1 a , , 1, a 2a 3a (a R) [ 0 1 (D) Znajdź ogólną postać macierzy A n, gdzie A = (E) Proszę zrobić wcześniejsze zadania, które nie zostały przedstawione dotychczas na ćwiczeniach Zestaw 7 Wartości i wektory własne (A) Znajdź wartości i wektory własne macierzy [ a b b a b (B) Znajdź wartości własne i wektory własne macierzy i b a b b a b b a (C) Pokaż, że macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy ma zerową wartość własną (D) Jeśli znane są wartości własne macierzy A, to jakie wartości własne mają macierze 2A i A? (E) Sprawdź na przykładzie macierzy A wymiaru 2 2 wybranej tak, aby miała 2 różne wartości własne λ 1, λ 2 R, że wartości własne macierzy A 2 3A + I to λ 2 i 3λ i + 1 dla i = 1, 2 (F) Pokaż na przykładach, że jeśli λ jest wartością własną A zaś µ wartością własną B, to λ + µ może, ale nie musi być wartością własną A + B (G) Uzasadnij, że jeśli λ jest wartością własną dla A, to λ 2 jest wartością własną A 2, oraz jeśli λ 0 to λ 1 jest wartością własną A 1 (H) Uzasadnij, że jeśli v jest wektorem własnym macierzy A, to jest również wektorem własnym dla A 2 i A 1 o ile A jest odwracalna Zestaw A 1 (I) Napisz równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są i 1 oraz 2 i (II) Narysuj zbiór {z C : z z = 2 z 1} (III) Jaka macierz A ma taką własność, że dla dowolnego wektora v wektory v i Av mają taką samą długość, ale kąt między nimi wynosi π 4? (IV) Znajdź pole trójkąta o wierzchołkach (cos( π 3 ), sin( π 3 )), ( 1, 0), (sin π 3, cos π 3 ) Czy trójkąt ten jest ostrokątny? (V) Rozwiąż układ równań: [ (VI) Policz wyznacznik macierzy (VII) Policz rząd macierzy z zadania (IX) (VIII) Znajdź A 1 i A 9, jeśli A = [ 1 0 { x y z = 1, 2y 2x z = Podaj wyznacznik, wektory i wartości własne A2012 (IX) Znajdź wartości własne i wektory własne macierzy [ (X) Uzasadnij, że jeśli v jest wektorem własnym macierzy A, to jest też wektorem własnym macierzy A I Zestaw B 1 (I) Napisz równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są oraz 2 i i 1 (II) Narysuj zbiór {z C : z z = z z }

4 (III) Jaka macierz A ma taką własność, że dla dowolnego wektora v wektory v i Av mają taką samą długość, ale kąt między nimi wynosi π 3? (IV) Znajdź pole trójkąta o wierzchołkach (cos( π 6 ), sin( π 6 )), ( 1, 0), (sin π 6, cos π 6 ) Czy trójkąt ten jest ostrokątny? (V) Rozwiąż układ równań: { x + y 2z = 1, 2y x + 2z = 2 [ (VI) Policz wyznacznik macierzy (VII) Policz rząd macierzy z zadania (IX) (VIII) Znajdź A 1 i A 9, jeśli A = [ 2 0 [ Podaj wyznacznik, wektory i wartości własne A2012 (IX) Znajdź wartości własne i wektory własne macierzy (X) Uzasadnij, że jeśli v jest wektorem własnym macierzy A, to jest też wektorem własnym macierzy A + I Zestaw 8 Bazy Prostopadłość Ortogonalizacja (A) Zapisz wektor w = (1, 2) jako kombinację liniową wektorów v 1 = (2, 3), v 2 = (3, 4) i v 3 (4, 5) (czyli w = α i v i ) na co najmniej 2 sposoby, w tym jeden ze wszystkimi niezerowymi współczynnikami α i, a drugi z możliwie największą liczbą zerowych współczynników (B) Znajdź ortogonalizację i ortonormalizację ciągu wektorów (2, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 0), (0, 1, 1, 1) (C) Znajdź rzut prostokątny wektora w = (1, 0, 0) na płaszczyznę π rozpiętą przez wektory (2, 1, 1) i ( 1, 1, 1) Jaki jest kąt między w a π? (D) Znajdź wektor prostopadły do wektorów (2, 0, 1) i (1, 1, 2) (E) Pokaż, że ortogonalizacje wektorów v 1, v 2,, v n oraz v 1, v 2,, v n takich, że v i = v i+1, v i+1 = v i, v k = v k dla k i, i + 1 różnią się co najwyżej dwoma wektorami (F) Wskaż dwa różne zestawy po 3 wektory w R 3 dające takie same ortogonalizacje (G) Znajdź bazę {v 1, v 2, v 3 } ortogonalnych wektorów w R 3 mających wszystkie współrzędne niezerowe Zapisz w tej bazie wektor w taki, że i-ta współrzędna wektorów w i v i jest taka sama dla i = 1, 2, 3 Zestaw 9 Bazy ortogonalne (A) Sprawdź, że podane na wykładzie układy wektorów w C n są istotnie bazami ortonormalnymi (B) Znajdź bazy w C 3 i C 4 zgodnie z definicjami z wykładu Zapisz w postaci kombinacji tych wektorów wybrane przez siebie wektory C 3 i C 4 (C) Niech v 1 = (0, 1, 1), v 2 = (1, 0, 1), v 3 = (1, 1, 0) Znajdź ortogonalizację (v 1, v 2, v 3) tych wektorów Zapisz wektory bazy kanonicznej w postaci kombinacji liniowej v i (D) Wybierz w R 2 dwie różne bazy (v 1, v 2 ), (w 1, w 2 ) Znajdź α ij i β ij takie, że w [ 1 = α 11 v 1 +α [ 12 v 2 i w 2 = α 21 v 1 +α 22 v 2, α11 α oraz v 1 = β 11 w 1 + β 12 w 2 i v 2 = β 21 w 1 + β 22 w 2 Znajdź iloczyn macierzy 12 β11 β i 12 α 21 α 22 β 21 β 22 (E) Niech (v 1, v 2 ) (w 1, w 2 ) = v 1 w 1 + 4v 2 w 2 Znajdź ortogonalizację wektorów (1, 1) i (1, 1) używając zamiast zwykłego iloczynu skalarnego operacji Uwaga: również normy nie są standardowe, ale liczone jako v = v v Zestaw A/B Niech v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (2, 1, 0) i v 3 = (0, 0, 1) [v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (3, 1, 1) i v 3 = (0, 0, 1) (1) Zortogonalizuj wektory v 1, v 2, v 3 (2) Zapisz wektor (1, 0, 0) jako kombinację wektorów v 1, v 2, v 3 (3) Znajdź kąt między wektorem v 3 a płaszczyzną rozpiętą przez wektory v 1 i v 2 (4) Znajdź wektor o normie 1 prostopadły do v 2 i v 3 (5A) Znajdź macierz A o tej własności, że Aw 1 = w 2 oraz Aw 2 = w 1 dla wektorów w 1 = (1, 2) i w 2 = (1, 1) (5B) Znajdź macierz A o tej własności, że Aw 1 = w 2 oraz Aw 2 = w 1 dla wektorów w 1 = (1, 3) i w 2 = (2, 1) Zestaw 10 Grupy i pierścienie (A) Policz lub uzasadnij, że to niemożliwe, wartość wyrażenia ( )/(2 4) w Z, Z 5, Z 6, Z 9 (B) Narysuj wykres wielomianu x 3 + x w Z 5 (C) Wykonaj działania w iloczynie (x 2) 2 (x + 4)(x 2 + 1) w Z 5 i Z 6 (D) Znajdź pierwiastki wielomianu x w Z 6 i Z 7 (E) Policz 3 53 w Z 7 i Z 22 możliwie małym kosztem obliczeniowym (F) Sprawdź, czy są izomorficzne grupy Z 4 i Z 2 Z 2 oraz Z 6 i Z 2 Z 3 Odpowiedź pozytywna oznacza wskazanie izomorfizmu i uzasadnienie; negatywna oznacza zwykle znalezienie własności działania dodawania w jednej z nich, której nie ma w drugiej (G) Które z liczb w Z 15 mają elementy odwrotne dla mnożenia? (H) Pokaż, że element odwrotny [ może być co najwyżej [ jeden 2 0 (I) Policz (A 2 + B) B dla A = oraz A = używając działań w Z (J) Dla macierzy A, B z poprzedniego zadania spróbuj znaleźć macierze odwrotne Powtórz wyliczenia dla tych samych macierzy, ale z działaniami w Z 6

5 Zestaw 11 Grupy i pierścienie II (A) Pokaż, że każda trzyelementowa grupa jest izomorficzna z (Z 3, +) Czy podobnie jest dla grupy pięcioelementowej i (Z 5, +)? (B) Zdefiniujmy relację równoważności na zbiorze funkcji następująco: f g x : f(x) = g(x) Znajdź wszystkie klasy równoważności dla wielomianów określonych na Z 2 (Z 3 ) i wszystkich współczynnikach w tym samym zbiorze Pokaż, że każda funkcja jest równoważna z pewnym wielomianem (Warto poszukać na początek przykładów) (C) Pokaż, że każda macierz o współczynnikach w Z k i wyznaczniku względnie pierwszym z k ma macierz odwrotną w Z k Znajdź macierz odwrotną do dowolnej takiej macierzy wymiaru 3 3 Zestaw 12 Wielomiany Przestrzenie liniowe, cd (A) Metodami aproksymacji Lagrange a i Newtona, znaleźć aproksymacje wielomianami stopnia 1, 2 i 3 dla podanych funkcji oraz punktów (wybieramy tyle punktów, ile potrzeba do danej aproksymacji z podanych): x 4 x (x i {0, 1, 2, 3}), 2 x (x i {0, 1, 2, 3}), sin x (x i {0, π/3, 2π/3, π}) (B) Dla poniższych funkcji znajdź aproksymację Hermite a zgadzającą się z funkcją co do wartości i pochodnej w podanych punktach: x 4 x, x i {0, 1}; 2 x, x i {0, 2}; sin x, x i {0, π/2} (C) Znajdź aproksymację funkcjami sklejanymi dla wybranej funkcji z poprzedniego zadania oraz kilku wybranych węzłów (D) W przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej 3 rozważamy następujące bazy (proszę sprawdzić, że to są rzeczywiście bazy!): {1, x, x 2, x 3 }, {1, x 1, (x 1)(x 2), x(x 1)(x 2)} Znajdź macierz operacji różniczkowania w tych bazach (E) Powtórz zadanie poprzednie dla wielomianów stopnia co najwyżej 2 i baz B 1 = {1, x, x 2 }, B 2 = {(x 1) 2, x 2, (x + 1) 2 } Znajdź macierz P odwzorowania identycznościowego w którym w dziedzinie rozpatrujemy bazę B 1, zaś w przeciwdziedzinie B 2 Pokaż, że zachodzi równość M 1 = P 1 M 2 P, gdzie M i są macierzami pochodnej w odpowiednich bazach (F) Opisz jądro i obraz operacji pochodnej z poprzedniego zadania w bazach B 1 i B 2 Zestaw 13 Przestrzenie liniowe Iloczyn skalarny (A) Znajdź rząd macierzy odwzorowania pochodnej z zadania 12D w obu bazach odwzorowania (B) Rozpatrzmy odwzorowanie liniowe f : R 3 R 3 o macierzy [ Znajdź wektory własne tego Znajdź jądro i obraz tego odwzorowania oraz jego rząd (C) Znajdź wektory i wartości własne macierzy z poprzedniego zadania Znajdź macierz tego odwzorowania w bazie składającej się z wektorów własnych (D) Sprawdź, że odwzorowanie (v, w) v 1 w 1 + 2v 2 w 2 v 1 w 2 v 2 w 1 jest iloczynem skalarnym w R 2 Znajdź wektory o normie 1 ortogonalne do wektorów (0, 1), (1, 0),(1, 1) (E) Sprawdź (jeśli to nie zostało zrobione na wykładzie oraz mieli Państwo całki na analizie), że dla wielomianów operacja (p, q) 1 0 p(t)q(t)dt jest iloczynem skalarnym Znajdź ortogonalizację bazy B 1 z zadania 12E Sprawdź, że jeśli w całce zmienimy granice całkowania, pojęcie prostopadłości się zmieni (F) Sprawdź, że operacja (p, q) p(0)q(0) + p(1)q(1) + p( 1)q( 1) jest iloczynem skalarnym na przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej 2, ale nie jest na przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej 3 Zortogonalizuj bazę B 1 z zadania 12E Powtórz wyliczenia dla (p, q) p(x 0 )q(x 0 ) + p(x 1 )q(x 1 ) + p(x 2 )q(x 2 ) oraz wartości x i innych niż podane wyżej (G) W R 2 rozpatrujemy odwzorowanie v v v v 1 v 2 Pokaż, że jest to norma sprawdź, czy jest ona zadawana przez iloczyn skalarny i, w przypadku pozytywnej odpowiedzi, znajdź ten iloczyn

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie  = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1 Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:. Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością

Bardziej szczegółowo

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

Przygotowanie do poprawki klasa 1li Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 2. Czas pracy 120 minut

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 2. Czas pracy 120 minut Miejsce na naklejkę z kodem szkoły CKE MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC ROK 2008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 2 Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo