Analiza B II zadania. cos kx = sin(n x) 2 sin x 2. cos n sin 1 n., tan x, cot x, log sin x, log tan x, 1 + x

Transkrypt

1 Analiza B II zadania Oblicz granicę n cos n n Udowodnij wzór dla mπ 3 Udowodnij że szereg + n = cos = sin(n + sin cos n sin n jest zbieżny warunowo 4 Wyprowadź wzory (sin = cos (cos = sin 5 Wyaż że funcje sin : [ π π ] [ ] i cos : [ π] [ ] są wzajemnie jednoznaczne 6 Poaż że d tan = + tan 7 Zróżniczuj funcje: tan cot log sin log tan + 3 arc sin( log sinh cosh(sinh e e tan 4 ep (ep (ep 8 Znajdź pochodne funcji arc cos : ( ( π i arc tan : R ( π π 9 Udowodnij że jeśli funcja f jest różniczowalna w puncie to f f( + h f( h ( = h h Udowodnij że jeśli funcja ciągła ma masima loalne w puntach a < b to ma też minimum loalne w pewnym puncie a < c < b Sprawdź wzory (sinh = cosh (cosh = sinh przez zróżniczowanie odpowiednich szeregów Czy istnieje funcja f : R R taa że f ( = m( dla R? 3 Wyaż że szereg ( n+ cos n jest warunowo zbieżny n 4 Znajdź estrema loalne funcji ϕ( = i punty w tórych funcja ta jest różniczowalna 5 Dla jaich a R funcja ψ( = cos dla i ψ( = a ma własność Darbou? 6 Znajdź styczną do wyresu funcji y = 3/ w puncie = 7 Podaj przyład ciągu {a n } taiego że szereg a n jest zbieżny natomiast szereg a3 n jest rozbieżny

2 8 Wiedząc że funcje f i g są różniczowalne w puncie a oblicz granicę a f(g(a f(ag( a 9 Wiedząc że funcja f jest różniczowalna w puncie a oblicz granicę ( n f(a + n n f(a Oblicz granicę ( n sin 4 n n n + sin4 Udowodnij że funcja pochodna funcji nieparzystej (parzystej jest parzysta (nieparzysta a funcja pochodna funcji oresowej jest oresowa z tym samym oresem Czy funcja Heaviside a σ( = { > = < jest funcją pochodną? W tórych puntach jest różniczowalna? W tórych jest ciągła? 3 Poaż że funcja f( = σ( nie jest różniczowalna w = ale jej wyres ma w puncie ( styczną 4 Wyaż że funcje 3 σ( sin sin m( sin π (sin + sin sin 3/ są wszędzie różniczowalne i oblicz ich pochodne 5 Funcja f jest różniczowalna w puncie a i f(a > Oblicz 6 Oblicz granicę sin ( f(a + n n n f(a 7 Dla jaich wartości a R funcja a sin jest rosnąca na R? 8 Wyaż przez różniczowanie że funcja f( = log(+ a jest ściśle rosnąca na ( 9 Wyaż że funcja g( = log ( + jest ściśle malejąca na ( Wywniosuj stąd że log 3 > log Poaż że arc tan( π + arc tan( π 4 4 tan( π + tan( π = 3 π π arc cos arc cos 4 arc sin = 3π

3 3 Sprawdź że (e + e > (e e+ dla < < e 3 Udowodnij że e < ( + + dla > 33 Udowodnij że ( + + dla > 34 Znajdź loalne estrema funcji ( R n e R e R 4 ( 3 35 Dane są parami różne liczby a a a n Znajdź minima loalne i najmniejszą wartość funcji a f( = n = ( b f( = n = a 36 Znajdź najwięszą wartość funcji f( = na R 37 Znajdź najmniejszą wartość funcji R Znajdź loalne estrema funcji: ( / R e R + sin ( α +y 39 Niech α > Udowodnij nierówność < a +y a dla y > y 4 Udowodnij że funcja różniczowalna f : (a b R o ograniczonej pochodnej spełnia warune Lipschitza 4 Udowodnij że funcja dwurotnie różniczowalna f : (a b R spełnia warune Lipschitza na ażdym przedziale [c d] (a b 4 Funcja f : (a b R jest różniczowalna Ponadto f ( > dla wszystich (a b \ {c} Udowodnij że f jest ściśle rosnąca w (a b 43 Dla jaich wartości a R funcja a sin jest ściśle rosnąca na R? 44 Funcję cos przedstaw w postaci szeregu potęgowego 45 Rozwiń funcje sinus i cosinus w szeregi potęgowe woół puntu = π 46 Podaj przyład szeregu zbieżnego n taiego że szereg sin n jest rozbieżny 47 Znajdź styczne do funcji log w puntach o odciętych = i = 48 Niech f( = sin dla i f( = Udowodnij że funcja f jest niesończenie wiele razy różniczowalna na R i oblicz wszystie jej pochodne w 49 Rozwiń w szereg Taylora funcję < woół puntu = 5 Wiadomo że funcja f jest dwurotnie różniczowalna w puncie a R Oblicz f(a + h f(a + f(a + h h h 5 Funcję log( + 3 rozwiń we wzór Taylora z resztą w postaci Lagrange a woół puntu = 5 Funcję sin cos rozwiń we wzór Taylora z resztą w postaci Lagrange a woół puntu = 53 Rozwiń w szereg Taylora funcje f( = sin + sinh i g( = cos + cosh 54 Dana jest różniczowalna funcja f : ( R taa że f( + f ( = Poaż że f( = [W tym celu zauważ że f( = f(e i zastosuj regułę de e l Hospitala]

4 55 Znajdź najwięszą wartość funcji sin m cos n na R 56 Udowodnij nierówność Bernoulliego stosując rachune różniczowy 57 Znajdź minima loalne funcji h( = a + b gdzie a b R 58 Różniczując -rotnie tożsamość ( = n= n wyprowadź rozwinięcie ( n + ( n ( = n= = = ( 59 Udowodnij nierówność log( + < + > 6 Funcja f jest ciągła w otoczeniu puntu i różniczowalna poza Poaż że jeśli istnieje granica f ( gdy to f jest różniczowalna w w sposób ciągły 6 Wyprowadź wzór Halphena: ( n e / (n = ( n n e / 6 Funcję f( = sin(sin rozwiń we zór Taylora woół = π z resztą R 5 w postaci Peano 63 Oblicz n-tą pochodną funcji log e cos Rozwiń te funcje we wzór Taylora w dowolnym puncie z dziedziny Reszty zapisz w postaci Cauchy ego i Lagrange a 64 Funcje f( = log( + 3 i g( = sin + cos rozwiń we wzór Taylora do wyrazów wadratowych doooła dowolnego z dziedziny resztę R zapisując w postaci Cauchy ego i Lagrange a 65 Oblicz granice sh sin sin ( sin( n sin n ctg n+ 66 Poaż że u = sin jest liczbą niewymierną [W tym celu przedstaw u w postaci szeregu i naśladuj dowód niewymierności e] 67 Ustalmy liczbę naturalną n Znajdź liczby naturalne dla tórych wyrażenie n! przyjmuje najwięszą wartość 68 Udowodnij że [W tym celu napisz n n n! < en < (n + nn+ n! e n = n = n! + i oszacuj osobno ażdy sładni sumy] 69 Korzystając z poprzedniego zadania udowodnij na nowo że =n n! n n n! n = e

5 7 Udowodnij że jeśli a c > to ( inf ma{ a + b c + d } = R ad bc a + c 7 Niech f : (a b (c d będzie bijecją Poaż że jeśli f jest dwurotnie różniczowalna w (a b i f ( to f jest dwurotnie różniczowalna w y = f( i (f (y = f ( f ( 3 7 Dane są funcje f i g różniczowalne n razy w puncie a Udowodnij że (fg (n (a = 73 Oblicz ( e (3 i ( e / (3 n = ( n f ( (ag (n (a 74 Udowodnij że funcja f( = β ( + β β jest ściśle rosnąca (malejąca dla > jeśli β > ( < β < 75 Rozwiń podane funcje we wzór Maclaurina z resztą R n w postaci Peano: (n = 5 e (n = 6 3 sin 3 (n = 3 log sin (n = 6 76 Niech będzie dana niecałowita liczba rzeczywista a < i niech a n = ( a n Sprawdź że dla naturalnych n > a a a n+ a n = q n+ gdzie q = + a b a n = ( q n ( q n+ ( q c log a n q log n + q dla a d log a n q log n q dla a < 77 Niech N n > a R Udowodnij że istnieją stałe C a c a > taie że ( a ( Ca n (+a a gdy < a < ca (n (+a gdy a < n n 78 Niech a R \ Z Udowodnij że szereg ( a = n jest zbieżny bezwzględnie dla a > zbieżny warunowo dla < a i rozbieżny dla a ( / = = ( ( / 79 Udowodnij że = 8 Oszacuj błąd bezwzględny przybliżeń: = = ( / = e + +! + + n n! tan ( ( sin 3 ( ( 8

6 8 Oblicz granice cos e e sin ( + ( 3/ sinh(tan (cos sin ( 3 3 sin 8 Rozwiń w szereg Maclaurina funcje sin cos sin cosh 83 Rozwiń w szereg Maclaurina funcje arsh i arc cos 84 Poaż że ( ( / n= + = π 85 Niech f : (a b R będzie funcją wypułą Udowodnij przez inducję nierówność Jensena ( n n f λ λ f( = dla j (a b i n = λ = λ j 86 Wyaż że funcja sin : [π π] R jest wypuła a funcja ( jest wlęsła 87 Udowodnij ponownie nierówność ab p ap + q bq gdzie + = i p q > orzystając p q z tego że logarytm jest funcją ściśle wlęsłą 88 Udowodnij nierówność = n sin a sin a sin a n sin{ n (a + a + a n } dla a j 89 Znajdź przedziały ścisłej wypułości i wlęsłości oraz punty przegięcia funcji f( = α log w zależności od α R 9 Udowodnij nierówność log + y log y ( + y log +y > y > 9 Poaż że funcja f na (a b jest wypuła wtedy i tylo wtedy gdy dla ażdego c (a b funcja g( = f( f(c jest rosnąca na (a c (c b c 9 Wyaż że funcja różniczowalna f : (a b R jest wypuła wtedy i tylo wtedy gdy f( f(y + f (y( y dla y (a b i podaj interpretację geometryczną tego warunu 93 Wyaż że funcja f : (a b R jest ściśle wlęsła wtedy i tylo wtedy gdy dla ażdych < y < z z odcina (a b f( y f(y z f(z > 94 Funcja f : R R jest ściśle wypuła i nie jest monotoniczna Udowodnij że f( = a następnie poaż że f przyjmuje wartość minimalną Rozważ funcje e e i cosh

7 95 Niech f : I R będzie funcją wypułą Czy a f b f c f d e f e log( + f f f jest funcją wypułą? 96 Znajdź punty przegięcia funcji: y = 3 3 y = + sin y = e y = log( + y = + y = 97 Poaż że wyres funcji y = + ma trzy punty przegięcia leżące na tej samej prostej + 98 Funcja f : R R jest jednocześnie wlęsła i wypuła Udowodnij że f jest funcją afiniczną tj f( = a + b dla pewnych a b R 99 Niech f : [a b] R będzie funcją monotoniczną Poaż że f ma wszędzie granice jednostronne Wyaż że funcja wypuła ma granice jednostronne (właściwe lub nie na ońcach swojej dziedziny I Funcja f jest całowalna na odcinu I Poaż że taże funcje sin f i f są całowalne Poaż że wartości podanych niżej ciągów są równe sumom całowym odpowiednio dobranych funcji i w ten sposób oblicz granice tych ciągów: a n = n =n b n = 3n =n+ c n = n n = n d n = n sin n 3 Niech f : [a b] R będzie funcją ograniczoną Udowodnij że jeśli f jest całowalna na odcinach [a c] i [c b] gdzie a < c < b to f jest całowalna na [a b] 4 Korzystając z poprzedniego zadania udowodnij że funcja ograniczona mająca tylo sończenie wiele puntów nieciągłości jest całowalna 5 Niech f : [a b] R będzie funcją ograniczoną tórej punty nieciągłości tworzą ciąg zbieżny Poaż że funcja f jest całowalna 6 Oblicz a [] σ( 4 7 Poaż że funcja f( = sin dla i f( = jest całowalna na odcinu [ ] 8 Wiedząc że funcja f : [ ] R jest całowalna udowodnij całowalność funcji g( = f( i poaż że g( = f( 9 Funcja f : [a b] R jest ciągła i nieujemna Udowodnij że b f( = pociąga a f = Niech f C([a b] Udowodnij że f = dla ażdego odcina domniętego I [a b] I pociąga f = Wyaż że jeśli funcja g : [a b] [ ] jest całowalna a f : [ ] R lipschitzowsa to f g jest całowalna Sprawdź że ażda funcja wypuła na odcinu domniętym jest całowalna 3 Poaż że π sin = π cos = π =

8 4 Niech {w n } będzie ciągiem wszystich liczb wymiernych odcina [ ] Niech f będzie funcją Riemanna Poaż że n f(w n = 5 Udowodnij że funcja Riemanna f : [ ] R jest całowalna i oblicz jej całę 6 Czy ażdą funcję ciągłą na odcinu domniętym można przedłużyć do funcji ciągłej na całej prostej? 7 Funcja f : (a b R jest rosnąca (wypuła ale nie ściśle rosnąca (wypuła Poaż że na pewnym odcinu [c d] (a b jest stała (liniowa 8 Poaż że funcja tanh = sinh jest odwracalna na całej prostej Znajdź funcje cosh pochodne funcji tanh i jej odwrotnej 9 Oblicz pochodne funcji F ( = sin t dt G( = et dt Wiedząc że funcja g : [ jest rosnąca wyaż że funcja h( = g(tdt jest wypuła a funcja f( = g(tdt jest rosnąca Oblicz całi nieoznaczone: + tan tanh sin Znajdź całi nieoznaczone: [Aby obliczyć pierwszą całę sorzystaj z podstawienia y = /] 3 Całując przez części znajdź (log n log log arc tan arc sin arc tan log( + ( + + sin log(tan log 4 Scałuj funcje wymierne: + 3 ( ( ( + ( + ( + 3 ( + ( + 5 Scałuj funcje trygonometryczne: cos 5 sin 6 sin cos 4 sin 3 sin 5 cos sin sin 4 cos 5 cos + tan 3 3 n + n+ sin 3 cos 4

9 6 Oblicz sinh n sinh m dla n m N i udowodnij że funcje a {cos }n = b {sinh } n = c {cosh }n = d {e } n = tworzą uład liniowo niezależny dla ażdego n N 7 Znajdź punty przegięcia funcji a f( = [] + sin π b g( = [] sin π 8 Niech f : [a b] R będzie funcją wypułą Poaż że istnieje c [a b] taie że f jest malejąca na [a c] i rosnąca na [c b] W szczególności gdy c = a f jest malejąca a gdy c = b rosnąca na całej swej dziedzinie 9 Poaż że funcja wypuła (wlęsła na odcinu domniętym osiąga swoją najwięszą (najmniejszą wartość na jednym z ońców przedziału 3 Niech f : I R będzie funcją wypułą Dla a b I niech g = g ab oznacza funcj afiniczną taą że g(a = f(a i g(b = f(b Poaż że jeśli I \ (a b to g( f( Zinterpretuj tę własność geometrycznie 3 Niech f : [a b] R będzie wypuła Niech c (a b Definiujemy dwie nowe funcje: G = g ab i g = min{g ac g cb } Korzystając z poprzedniego zadania wyaż że g f G Wywniosuj stąd że f jest ograniczona 3 Oblicz a n [] sin π b m m( sin π 33 Poaż że ciąg u n = ( ( n / n = 4 n n n jest malejący i dąży do zera [Sorzystaj ze wzoru Wallisa] 34 Korzystając ze wzoru Wallisa zbadaj zbieżność szeregu potęgowego ( n n= n n na ońcach przedziału zbieżności a 35 Poaż że n sin n = dla ażdego a R 36 Udowodnij że n n π/ sin n = π n ( n = n π ( n e 37 Korzystając ze wzoru Stirlinga udowodnij że n 3 5 (n n = 38 W pole pod hiperbolą y = / na odcinu [n n + ] wpisz dwa trapezy wyznaczone przez proste = n = n+/ i = n+ oraz styczne do hiperboli w puntach = n+/4 = n + 3/4 i prostą y = a następnie porównując sumę ich pól z polem pod hiperbolą udowodnij nierówność ( log + > ( n n + / + n + 3/4 > n + / 39 Sprawdź że ( n / 7/3 n < 4 Niech a > b Poaż że (a + b α = n= ( α n a α n b n dla ażdego α R 4 Oblicz na dwa sposoby całę nieoznaczoną + stosując podstawienie a Eulera b hiperboliczne Porównaj otrzymane wynii

10 4 Oblicz całi Niech f C([ π] Poaż że istnieje przedział [a b] [ π] tai że π f( sin = b f( a 44 Zapisz w postaci całowej resztę R n rozwinięcia Maclaurina funcji wyładniczej 45 Poaż że resztę R n rozwinięcia Taylora funcji f n-rotnie różniczowalnej w otoczeniu puntu a można zapisać w postaci R n (h = ξ hn f (n (a + sds (n! dla pewnego ξ = ξ(h ( h [Zastosuj trzecie twierdzenie o wartości średniej] 46 Stosując podstawienie = + z n poaż że a = + n n z3 ( z n dz +a n 47 Dla funcji f i g niech f g = ma{f g} f g = min{f g} Poaż że f + g = f g + f g Udowodnij też że jeśli f i g są ograniczone na przedziale domniętym to f + g f g + f g 48 Oblicz długość łuu a paraboli y = pomiędzy puntami o odciętych i b rzywej łańcuchowej y = cosh pomiędzy puntami o rzędnych i 49 Oblicz pole i obwód figury F = {( y R : y e } 5 Poaż bezpośrednio nie orzystając z twierdzenia Weierstrassa że funjcę można aprosymoewać jednostajnie wielomianami na odcinu [/ 3/] W tym celu rozwiń tę funcję w szereg Taylora woół 5 Niech f : (a ɛ b + ɛ będzie funcją różniczowalną w sposób ciągły Udowodnij że ciąg ilorazów różnicowych f n ( = n (f( + n f( jest zbieżny jednostajnie do f 5 Zbadaj jednostajną zbieżność ciągów funcjyjnych a f n ( = n ( n na [ ] b f n ( = na ( ] n 53 Udowodnij że funcje a f( = na R b g( = + e na [ c h( = sin na [ ] są jednostajnie ciągłe 54 Udowodnij że funcja f ciągła na R i mająca granice liczbowe w ± jest jednostajnie ciągła 55 Znajdź wielomiany Tonelli ego T i T dla funcji a f( = b f( = c f( = na odcinu [ ] 56 Udowodnij że ( n ( n + / n ( n + = = [W tym celu oblicz całę ( t n dt rozwijając funcję podcałową w dwumian Newtona]

11 57 Oblicz wahanie funcji a [] na odcinu [ ] b m( na odcinu [ ] 58 Oreśl obszar zbieżności bezwlędnej i warunowej szeregów: n n sin n n n ne n n n3 n n n ( n n 59 Poaż że jeśli szereg Dirichleta a n n jest zbieżny dla pewnego = to jest zbieżny jednostajnie dla 6 Oreśl obszar zbieżności szeregów Newtona: ( n ( n n p 6 Niech f : [a b] R będzie dowolną funcją Niech f n ( = [nf(] Poaż że f n n dąży jednostajnie do f na [a b] 6 Posługując się ryterium Weierstarassa udowodnij że podane szeregi są jednostajnie zbieżne: + n ( R n + n 5 ( R 63 Wyaż że funcja f( = sin = ( n + n ( < < e n ( jest ciągła i ma ciągła pochodną w R 3 64 Wyaż że funcja f( = sin n w obszarze > jest ciągła i ma ciągłą pochodną n 65 Zbuduj przyład ciągu funcji ciągłych f n na odcinu [ ] zbieżnego puntowo do zera dla tórego ciąg całe f n nie dąży do zera [W tym celu zmodyfiuj przyład podany na wyładzie] 66 Uzasadnij jednostajną zbieżność podanych szeregów przy pomocy ryteriów Abela i Dirichleta: cos n n + ( R sin n n + ( ( n n(n + ( 67 Niech f n ( = + n Poaż że ciągi funcyjne {f n } i {f n} są zbieżne puntowo ale nieprawdą jest że ( f n( = f n n n( R 68 Udowodnij że szereg gdzie < η < ale nie w ( 69 Oreśl obszar zbieżności szeregów: n sin n n + n jest jednostajnie zbieżny w ażdym przedziale [ η η] 3 n sin 4 n ne n + n n + n n + n + 3 n n log n ( +

12 7 Udowodnij że podane niżej szeregi są jednostajnie zbieżne: sin n n + ( R n e n n ( R 7 Udowodnij że a ea3 = n= 7 Poaż że funcja f( = log(+ = 73 Oblicz z definicji całi niewłaściwe: log( + n ( n n n e n ( R = 6 4 = ma pochodne wszystich rzędów a n b (3n+n! (4+6 e + + e 74 Wyaż że podane całi są rozbieżne: sin e log 4 log 75 Oblicz całi log e log e sin e sin 76 Uzasadnij zbieżność całe sin + e log + e e log Poaż że ciąg ϕ n ( = ( + n e jest zbieżny monotonicznie i jednostajnie 78 Poaż że n = sin n sin n dla ażdego R i ażdego n N 79 Udowodnij że podane szeregi są jednostajnie zbieżne na R: sin n n + ( n sin n n + 8 Poaż że szereg ( n n 8 Wyaż że szereg funcję ciągłą na ( e e 8 Wyaż że szereg sin(n n ( n sin n ( + n + 4 n n e jest zbieżny jednostajnie na [ sin n sin n n + definiuje funcję ciągłą na R a szereg logn (+ / n log(+u du definiuje funcję różniczowalną na ( 83 Przypomnij sobie wszystie twierdzenia i definicje z obu semestrów i dobrze zanotuj je w pamięci