Metoda obrazów wielki skrypt przed poświąteczny, CZĘŚĆ POTRZEBNA DO OFa

Transkrypt

1 Metoa obrazów wielki skrypt prze poświąteczny, CZĘŚĆ POTRZEBNA DO OFa 1. Równania i warunki brzegowe Dlaczego w ogóle metoa obrazów ziała? W elektrostatyce o policzenia wszystkiego wystarczą 2 rzeczy: 1. Znajomość równań, czyli np. prawo Coulomba (albo prawo Gaussa, z jenego można uowonić rugie), to, że siły elektrostatyczne są zachowawcze, więc praca nie zależy o rogi it. Te równania są prawziwe zawsze, o ile łaunki po ustaleniu równowagi się nie ruszają (bo to elektrostatyka). To skrypt, więc wypiszę najważniejsze równania: Prawo Coulomba: siła mięzy 2 łaunkami punktowymi q i Q oległymi o r: Prawo Gaussa: całka z pola po powierzchni zamkniętej aje łaunek w śroku: Napięcie mięzy punktami A i B, czyli różnica potencjałów: Elektrostatyczna energia potencjalna la łaunku q wynosi, czyli różnica energii potencjalnych to 2. Warunki brzegowe, czyli rozmieszczenie łaunków i wartość potencjału na brzegach obszaru. Dlaczego brzegowe? Bo jak liczę potencjał w jakimś obszarze, muszę znać potencjał na brzegach tego obszaru. Jak liczę pole wszęzie, brzeg jest w nieskończoności. Wtey warunki są zwykle proste: pole i potencjał zerują się w nieskończoności, (choć np. la nieskończonej, jenoronie nałaowanej płaszczyzny to nie ziała). Poza wartością potencjału na brzegach trzeba jeszcze znać wartości i położenia łaunków, (ale np. nie trzeba znać łaunków związanych w ielektrykach ani rozkłau łaunków wyiukowanych w przewonikach, wystarczy znać łaunki całkiem nieruchome ). Warunki brzegowe zależą o problemu, który liczymy. Np. la iealnych przewoników te warunki to stały potencjał (równy zero la uziemionych przewoników) wewnątrz i na powierzchni przewonika. Natężenie pola elektrycznego to -graient potencjału ( ), czyli jest równe zero wewnątrz przewonika. Na powierzchni przewonika tylko skłaowa styczna jest 0! Skłaowa prostopała zależy o łaunku wyiukowanego na powierzchni przewoniku (łaunek w przewoniku gromazi się tylko na powierzchni). Dygresja 1 (warto przeczytać, bo przya się później): Ile wynosi ta skłaowa prostopała? Można to policzyć z prawa Gaussa (patrz rysunek). Wybieram graniastosłup o polu postawy A i wysokości, przechozący przez powierzchnię nałaowaną z gęstością powierzchniową. Skłaową prostopałą na oznaczmy, a tę po Jeśli wysokość i pole A są zaniebywalnie małe (ale, strumień przez powierzchnię to (bo boki się nie liczą, a iloczyn raz jest oatni, a raz ujemny, bo wektor jest skierowany raz w górę, a raz w ół, a zawsze jest w tę samą stronę). A jest małe, więc łaunek wewnątrz to Postawiam o prawa Gaussa: Dzielę stronami przez A: Ten wzór jest prawziwy zawsze, nie tylko la przewoników! Dla przewoników pole w śroku jest zero, czyli Stą wynika (la przewoników). I tyle! 2. Metoa obrazów iea i przykła Jak znamy równania i warunki brzegowe, rozwiązanie jest tylko jeno! Mówi nam to twierzenie o jenoznaczności jego owó jest trochę truny, więc przyjmijmy je na wiarę. W metozie obrazów chozi o to, żeby nie liczyć pola wszęzie (uwzglęniając warunki w nieskończoności ), tylko w obszarze gzie nas to interesuje. Wtey rozkła łaunku poza tym obszarem może być całkowicie owolny, ważne żeby warunki brzegowe się zgazały. Stanarowy przykła z przewozącą płaszczyzną, na którą na wysokości jest łaunek q: interesuje nas pole koło łaunku q, czyli pole w zakreskowanym obszarze. Pole poniżej płaszczyzny nas nie interesuje. Dlatego szukam rozwiązania, które spełnia warunki brzegowe na brzegach zakreskowanego obszaru. Jenym z brzegów jest przewoząca płaszczyzna, a opowiaający jej warunek to. Pozostałe brzegi to nieskończoność, gzie normalnie Tu jest problem, bo na rogach jest skok potencjału. Dlatego jeśli w zaaniu nie ma, że płaszczyzna jest np. nałaowana albo połączona o baterii, utrzymującej stałe napięcie V mięzy płaszczyzną a nieskończonością, można bezpiecznie przyjąć, że (albo przyjąć, że w nieskończoności, co na 1 wychozi).

2 Dla prostoty przyjmijmy, że mamy warunki brzegowe na płaszczyźnie i w nieskończoności. Ostatni warunek, jaki trzeba uwzglęnić, to obecność łaunku q. Teraz rozwiązuję problem, jakie jest pole w zakreskowanym obszarze. Pole o samego łaunku q nie wystarczy, bo wtey potencjał nie zeruje się na płaszczyźnie. Teraz kluczowe: skoro liczę pole w zakreskowanym obszarze, poza nim mogę wstawiać cokolwiek! Ale warunki brzegowe muszą być spełnione: co mogę wstawić na ole, żeby potencjał na płaszczyźnie się zerował? Coś symetrycznego wzglęem tej płaszczyzny (jak wstawię niesymetrycznie, nie ma powou aby potencjał wszęzie na płaszczyźnie się zerował) najprościej wstawić lustrzany łaunek q. Teraz patrzę, czy warunki brzegowe są spełnione: niech początek ukłau współrzęnych bęzie w połowie oległości mięzy q i q, a płaszczyzna bęzie w płaszczyźnie xy. Wtey potencjał o 2 łaunków to: Na płaszczyźnie powinien się zerować: zgaza się! Po sprawzeniu warunków brzegowych wiem, że obrze policzyłem potencjał w zakreskowanym obszarze (la ). Siła ziałająca na łaunek jest taka jak o łaunku q oległego o 2. A co jest poniżej (la )? Wystarczy stwierzić, że w obszarze poniżej nie ma żanych łaunków, a na brzegach. Jenym z rozwiązań la takiego obszaru jest wszęzie. Z tw o jenoznaczności wiem, że to jeyne rozwiązanie. Czyli po płaszczyzną wszęzie (a zatem ). Ale można popatrzeć na to inaczej: przenoszę lustrzany łaunek q na górę tak, że kasuje się z łaunkiem, i wtey liczę potencjał o takiego ukłau w obszarze po płaszczyzną (też wychozi wszęzie ). Okazuje się, że często pole w tym rugim obszarze można otrzymać, przenosząc lustrzany łaunek o 1. obszaru! Dygresja 2 (związana z ygresją 1): teraz możemy zastosować w praktyce wzór. Wiemy że, czyli Policzenie gęstości powierzchniowej łaunki na płaszczyźnie jest banalnie proste, wystarczy policzyć, pamiętając że jest ono liczone tuż na płaszczyzną. Tuż na wystarczy, żeby zastosować metoę obrazów, czyli pole jest takie, jak pole o 2 łaunków i q, liczone la. Ale chozi o skłaową prostopałą o płaszczyzny (czyli w naszym ukłazie wsp. chozi o ). Ile wynosi? Policzmy je z efinicji jako graient potencjału! Nas interesuje skłaowa z-owa, czyli. Pamiętamy, że: a pochona? Teraz (nie wcześniej!) możemy postawić (bo liczę pole tuż na płaszczyzną): Po przemnożeniu stronami ostaję rozkła gęstości łaunku: Wychozi z minusem, bo łaunek inukuje na płaszczyźnie łaunek przeciwnego znaku. Nie bęę tego pokazywał, ale jak się policzy Wyjzie tyle, ile wynosił nas lustrzany łaunek! To kolejna fajna własność metoy obrazów: lustrzany łaunek zwykle równa się temu wyinukowanemu. Pozostaje jeszcze 1 problem: wyobraźmy sobie, że najpierw łaunek znajował się nieskończenie aleko. Wtey płaszczyzna z pewnością była nienałaowana. Potem przysunąłem łaunek na oległość o płaszczyzny. I co, na płaszczyźnie nagle wyinukował się łaunek q? Ską on się wziął, jak to się ma o zasay zachowania łaunku? Można argumentować, że warunek na płaszczyźnie oznacza, że płaszczyzna jest uziemiona, więc ten łaunek przypłynął z uziemienia. Ale nie trzeba się owoływać o uziemienia, żeby to wytłumaczyć. Płaszczyzna to iealny przewonik (ma zerowy opór) i jest nieskończona. W takim razie gy w pobliżu łaunku wyinukował się łaunek q, kompensujący łaunek potrzebny o tego, aby płaszczyzna była obojętna elektrycznie, mógł uciec nieskończenie aleko! Zerowy opór oznacza, że łaunki mogą się swobonie przemieszczać, więc równie obrze mogły się przemieścić nieskończenie aleko. W rzeczywistości nie ma takich problemów, bo nie ma nieskończonych płaszczyzn!

3 3. Metoa obrazów uziemiona przewoząca sfera tak oznaczamy uziemienie magiczne zganięcie Teraz trzeba skorzystać ze wzoru cosinusów, aby policzyć i chozi o to, że la potencjał zeruje się la każego kąta Poza policzeniem potencjału można policzyć także inne rzeczy, jak siłę, z jaką sfera przyciąga łaunek q: Uwaga: na następnej stronie liczę gęstość powierzchniową łaunku. Po jej scałkowaniu okazałoby się, że całkowity łaunek zgromazony na sferze wynosi. Ską on się wziął? Tym razem uziemienie jest ważne, ponieważ łaunek przypłynął o sfery z ziemi. Co gyby przewoząca sfera nie była uziemiona? Wtey jej całkowity łaunek musiałby być zero! Jak to pogozić? Znamy rozwiązanie la V=0, szukamy rozwiązania la V=(owolna stała) z oatkowym warunkiem, aby łaunek na sferze był zero. Wiać, że wystarczy skorzystać z zasay superpozycji i oać w śroku sfery rugi wymyślony łaunek, równy. Wtey potencjał na sferze wciąż bęzie stały, a sumaryczny łaunek bęzie zero. Oczywiście wszystkie wyniki takie jak siła przyciągania czy rozkła wyiukowanego łaunku się wtey zmienią.

4 Aby policzyć gęstość powierzchniową, trzeba znać skłaową prostopałą o powierzchni. Tym razem powierzchnia jest sferyczna, więc truno byłoby używać współrzęnych x,y,z. Zamiast tego można zauważyć, że za współrzęną prostopała o powierzchni (stanarowo oznaczaną jako n) można wybrać r Po policzeniu pochonej wyjzie W tym przypaku powinno być policzone 4. Inne zastosowania metoy obrazów a) To samo co wyżej, tylko w wuwymiarze, tzn przewó nałaowany z gęstością liniową na płaszczyzną: albo koło rury o promieniu R: (oczywiście siła przyciągania, rozkła + łaunku itp. się zmienią, tylko metoa pozostaje ta sama) + - b) Półpłaszczyzny po ściśle określonym kątem: Na rysunku kąt jest 90 stopni, i potrzeba aż 3 łaunków, la innych specjalnych kątów (np. 30, 45 albo 60 stopni) bęzie potrzeba ich jeszcze więcej Ciekawostka: łączny łaunek wyinukowany na rysunku po prawej to = c) Są jeszcze inne zastosowania, ale te powinny wystarczyć, żeby nabrać intuicji o co chozi 2h 2 h h 5. Metoa obrazów la ielektryków (la ambitnych, razę najpierw poczytać skrypt z ielektryków) Działa prawie tak samo jak la przewoników, tylko warunki brzegowe są inne. Potencjał wewnątrz przewonika jest stały, a natężenie pola się zeruje łaunki wyiukowane w przewoniku iealnie ekranują zewnętrzne pole. Natężenie pola w ielektryku jest słabsze niż w próżni, ale się nie zeruje łaunki związane w ielektryku tylko częściowo ekranują zewnętrzne pole! No to jakie są te warunki brzegowe? W skrypcie z ielektryków pokazałem, że Gzie to wektor jenostkowy (o ługości 1) prostopały ( normalny ) o powierzchni, na której jest zgromazony łaunek powierzchniowy (czyli to po prostu skłaowa prostopała wektora polaryzacji, mierzona tam, gzie liczymy ). Teraz trzeba skorzystać z tego, że polaryzacja jest proporcjonalna o pola:, czyli Teraz najtruniejsze: łaunek związany sam wytwarza! Trzeba pamiętać, że liczymy tam, gzie gromazi się łaunek związany, czyli tuż po powierzchnią! Dostatecznie blisko powierzchni owolna gęstość łaunku powierzchniowego wytwarza pole jak o nieskończonej płaszczyzny, tzn, My bierzemy po uwagę, bo to ono wpływa na polaryzację. Oprócz tego jest jakieś pochozące z zewnętrznych źróeł. Czyli Ale z rugiej strony Postawiam po to wyrażenie:

5 Teraz oam stronami Teraz zielę stronami przez Czyli powierzchniowy łaunek związany jest proporcjonalny o, tak samo jak la przewoników! I to jest nasz warunek brzegowy, który wykorzystamy w metozie obrazów! Dygresja: Zaraz, a co z objętościowym łaunkiem związanym? Policzmy (patrz skrypt z ielektryków): W pkt. 5 skryptu z ielektryków pokazałem, że Doaję stronami postawiam ten wzór po wzór wyżej: (1+ )= Dzielę stronami przez (1+ ) = A zatem jest proporcjonalne o, czyli opóki łaunki swobone występują poza ielektrykiem (tak jak zwykle bywa w metozie obrazów), powinno się zerować. 6. Przykła zastosowania metoy obrazów la ielektryków Jak otą mamy tylko warunek brzegowy który nie jest iealny, bo nie mówi bezpośrenio o potencjale, jak porząny warunek brzegowy powinien. Ale okaże się barzo przyatny! Rozważmy płaski ielektryk (zajmuje cały zakropkowany obszar na rysunku), na którym na wysokości znajuje się punktowy łaunek. Z jaką siłą jest przyciągany? Op. wykorzystajmy nasz warunek brzegowy! Aby znaleźć, należy policzyć na powierzchni ielektryka. pochozi tylko o łaunku punktowego, czyli (łatwo to policzyć samemu). Warunek brzegowy aje się być taki sam jak la przewozącej płaszczyzny (tam było q Powierzchniowy rozkła łaunku okazał ), tylko przemnożony przez czynnik. W związku z tym zamiast łaunku q na ole należy umieścić łaunek q=q. Wtey ostanę potencjał i pole w górnej półpłaszczyźnie. Ale nam chozi tylko o to, z jaką siłą łaunek jest przyciągany! Przyciągany jest z tą samą siłą, z jaką byłby przyciągany przez łaunek q oległy o niego o 2, czyli: że przemnożona przez Czyli siła jest taka sama jak la przewozącej płaszczyzny, tyle. Tak właśnie stosuje się metoę obrazów: zauważamy, że rozkła łaunku jest prawie taki sam jak la przewonika, i wystarczy przemnożyć łaunki lustrzane przez jakiś czynnik. Należy tylko pamiętać o paru rzeczach: Uwaga 1: tym razem zasaa zachowania łaunku jest ściśle spełniona, tak więc nie można la ielektrycznej kuli liczyć wszystkiego tak samo jak la uziemionej przewozącej sfery trzeba najpierw policzyć jak bęzie la zwykłej, nieuziemionej przewozącej sfery, której sumaryczny łaunek jest zero (wtey ), a opiero potem mnożyć przez opowieni czynnik. Uwaga 2: jeśli wewnątrz ielektryka są jakieś łaunki, trzeba uwzglęnić, jakie wywołują (jeśli to łaunki punktowe, wystarczy pozielić pole pochozące o nich przez, patrz końcówka skryptu z ielektryków). Uwaga 3: przewoniki są granicznym przypakiem ielektryków, tzn. jeśli zastąpię ielektryk przez przewonik, opowiaa to przejściu granicznemu Dygresja: la przewozącej płaszczyzny pole po płaszczyzną się zerowało. A jak bęzie la ielektryka? Trzeba przenieść łaunek zwiercialany na rugą stronę, wtey pole wewnątrz ielektryka bęzie takie jak o łaunku punktowego q =q umieszczonego w oległości na ielektrykiem. UWAGA: cały ten skrypt jest oparty na Postawach Elektroynamiki Griffithsa, sam nic nie wymyśliłem.