Równania Lagrange a II r.

Transkrypt

1 Mechania Analityczna i Dgania Równania Lagange a II. pzyłay Równania Lagange a II. pzyłay mg inż. Sebastian Pauła Aaemia Góniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Kaowie Wyział Inżynieii Mechanicznej i Robotyi Katea Mechanii i Wiboaustyi 5 maja spaula@agh.eu.pl mg inż. Sebastian Pauła AGH WIMIR Stona 1 \ 8

2 Mechania Analityczna i Dgania Równania Lagange a II. pzyłay Wzó: [ ] L q i L q i = Q i 1) L potencjał inetyczny q i q i Q i pęość uogólniona współzęna uogólniona siła uogólniona Potencjał inetyczny: gzie: E enegia inetyczna U enegia potencjalna L = E U Wsazówa: Jeśli enegia inetyczna nie zależy o współzęnych uogólnionych to wzó 1) można zastąpić wzoem: [ ] E q i + U q i = Q i ) Gy w ułaach występuje ozpaszani enegii, wyaża się je pzez tzw. funcję yssypacji enegii D = 1 bẋ. Równanie Lagange a pzyjmuje wówczas postać: [ ] L L + D = Q i ) q i q i q i lub jeśli enegia inetyczna nie zależy o współzęnej uogólnionej q tzn. E q = 0), to: [ ] E + U + D = Q i 4) q i q i q i Poniżej pzestawię ila pzyłaów wyznaczania ynamicznych ównań uchu za pomocą ównań Lagang e II ozaju. mg inż. Sebastian Pauła AGH WIMIR Stona \ 8

3 Mechania Analityczna i Dgania Równania Lagange a II. pzyłay Pzyła 1: Wyznacz pzyśpieszenia był, ozystając z metoy ównań Lagange a II ozaju. Dane:, m, R,, M Równania więzów: { F F0 sin t ϕ1 R + ) = x mg inż. Sebastian Pauła AGH WIMIR Stona \ 8 b 1 M x R m R + ) U = g sinϕ 1 ) + m gr + ) sinϕ 1 ) a a m x = ϕ Współzęna uogólniona: q = {ϕ 1 } Q ϕ1 = M Momenty bezwłaności figu wynoszą opowienio: Pzeształcone ównania więzów: x = ϕ 1 R + ) ml, R + ) ϕ = ϕ 1 Pzemieszczenia witualne: δx δϕ 1 R + ) = 0 R + ) δϕ δϕ 1 = 0 Paca witualna ułau: δw = Mδϕ 1, stą siła uogólniona: J 1 = R + ), J = m Enegia inetyczna ułau: E = 1 [ J1 ϕ 1 + m x + J ϕ ] = 1 [ ϕ 1 J 1 + m R + ) R + ) ] + J Enegia potencjalna ułau: Pochone enegii: ) E = ϕ 1 [J 1 + m R + ) R + ) ] + J 1 ϕ 1 U R + ) = g cos ϕ 1 ) + m g R + ) cos ϕ 1 ) ϕ 1 l [ ] U m1 = g R + ) cos ϕ 1 ) ϕ 1 + m Po postawieniu pochonych o ównań Lagange a: [ ϕ 1 J 1 + m R + ) R + ) ] [ ] m1 + J + + m g R + ) cos ϕ 1 ) = M m Ft m, 1

4 Mechania Analityczna i Dgania Równania Lagange a II. pzyłay m Ostatecznie pzyspieszenie: ϕ 1 = M [ + m ] g R + ) cos ϕ1 ) J 1 + m R + ) R+) + J Pzyła : Wyznacz óżniczowe ównanie uchu beli ozystając z metoy ównań Lagange a II ozaju. Dane: m, l,, ω, F 0 Równania więzów: 0 sin F F t ml, Ba Współzęna uogólniona: q = {ϕ} Paca witualna ułau: δw = F δϕ, stą siła uogólniona: Q ϕ = F Momenty bezwłaności beli: m 1 R J 1 = ml 1 Enegia inetyczna ułau: E = 1 J ϕ Enegia potencjalna ułau: m U = mg l ϕl) cosϕ) + Pochone enegii: ) E 1 = J ϕ m ϕ 1 U = mg l ϕ 1 sinϕ) + ϕl = Po postawieniu a pochonych a o ównań Lagange a: J ϕ + mg ) ϕl = F m 0 l sinωt) 1 ϕ + ) mg Ftϕ = F 0 l ml ml sinωt) mg ) ϕl 1 R m, mg inż. Sebastian Pauła AGH WIMIR Stona 4 \ 8

5 Mechania Analityczna i Dgania Równania Lagange a II. pzyłay Powyższe ównanie można spowazić o postaci óżniczowego ównania uchu wymuszonych gań hamonicznych: ϕ + ω 0ϕ = A sinωt) gzie: ω 0 częstość gań własnych, A amplitua. Pzyła : Wyznacz óżniczowe ównanie uchu beli ozystając z metoy ównań Lagange a II ozaju. Dane:, m, m, R,, m x 1 m, R x l m m, x 1 m, b Równania więzów: { x1 = ϕ x + ϕ R = x 1 Współzęne uogólnione: q = {x 1, ϕ } Enegia inetyczna: M Enegia potencjalna: E = 1 E = 1 [ m1 ẋ 1 + J ϕ + m ẋ + J ϕ ] [ ẋ 1 + J ϕ ẋ + m 1 ϕ R ) ] J + ẋ 1 m 1 ) x U = 1 R mg inż. Sebastian Pauła AGH WIMIR Stona 5 \ 8

6 Mechania Analityczna i Dgania Równania Lagange a II. pzyłay Pochone: {x 1 } ) = ẋ 1 U = x 1 x 1 E + m + J ) ẍ 1 m ϕ R {ϕ } ) E = J + m R ) ϕ m Rẍ 1 ϕ U = 0 ϕ Ostatecznie otzymujemy uła wóch ównań óżniczowych: + m + J ) ẍ 1 m ϕ R + x 1 = 0 J + m R ) ϕ m Rẍ 1 = 0 c Pzyła 4: Wyznacz óżniczowe ównanie uchu beli ozystając z metoy ównań Lagange a II ozaju. Dane: m, l,, ω, F 0 Równanie więzu i pochone: A x = l cosϕ 0 ) l cosϕ) y ẋ = l sinϕ) ϕ 4 x ml, ) x Współzęna uogólniona: F F0 sin t q = {ϕ} 0 O x 4m Pzemieszczenia witualne: b δx = l sinϕ)δϕ Paca witualna ułau: A y δw = F δx ml, 4 x ml, ) V δw = F l sinϕ)δϕ x Fl F0 sin t Siła uogólniona: 0 O x 4m Q ϕ = F l sinϕ) x Dwa amiona czwoobou pouszają się uchem obotowym, a wa pozostałe uchem płasim. Aby wyznaczyć b enegię uchu płasiego amion, należy wyznaczyć pęości śoów ich mas. Można ją wyznaczyć z zasay supepozycji, tóej zastosowanie poazano l x na ysunu: x ml, m Pęość śoa masy elementu łączniowego v możemy v policzyć z twiezenia cosinusów. c l u1 t v = ẋ + ϕ l Asint x u 4 ẋ ϕ l ) π cos ϕ t Asin t v = ẋ + ϕ l ẋ ϕl sin ϕ 4 l Moment bezwłaności x amion mechanizmu x wzglęem osi pzechozących pzez ich śoi mas głównymmoment bezwłaności): 1 m x 1 m c mg inż. Sebastian Pauła AGH c WIMIR m R Stona 6 \ 8 u1 t Asint u t Asin t

7 Mechania Analityczna i Dgania Równania Lagange a II. pzyłay J = ml, a wzglęem jego ońca J 0 = ml 1 Enegia inetyczna: E = 1 1 4mẋ + J ϕ + 1 ) mv + 1 J 0 ϕ = mẋ + ml 1 ϕ + mẋ + ml 4 ϕ mẋ ϕl sin ϕ + ml ϕ = ml ϕ mẋ ϕl sin ϕ + mẋ = ml ϕ 10 sin ϕ) + ) Enegia potencjalna: U = 1 [ l sin ϕ l sin ϕ 0)] = l sin ϕ sin ϕ 0 ) Uwaga: Enegia inetyczna zależy o współzęnej uogólnionej ϕ, zatem nie można wyozystać uposzczonego wzou Lagange, tylo należy zastosować wzó ogólny ). Potencjał inetyczny L: L = ml ϕ 10 sin ϕ) + ) l sin ϕ sin ϕ 0 ) Pochone: L ϕ L ϕ = ml ϕ ) = ml ϕ 10 sin ϕ) + ) 10 sin ϕ) + ) + 40ml ϕ sin ϕ cos ϕ = ml ϕ 10 sin ϕ) + ) + 0ml ϕ sinϕ) L ϕ = ml ϕ 10 sin ϕ cos ϕ 4l sin ϕ sin ϕ 0 ) cos ϕ = 4l sin ϕ cos ϕ 5m ϕ ) + 4l sin ϕ 0 cos ϕ = l sinϕ) 5m ϕ ) + 4l sin ϕ 0 cos ϕ D ϕ = 4bl sin ϕ) ϕ Wstawiając pochone o ównania ) otzymujemy óżniczowe ównanie uchu ułau: ml ϕ 10 sin ϕ) + ) + 0ml ϕ sinϕ) l sinϕ) 5m ϕ ) 4l sin ϕ 0 cos ϕ + 4bl sin ϕ) ϕ = lf sin ϕ mg inż. Sebastian Pauła AGH WIMIR Stona 7 \ 8

8 Mechania Analityczna i Dgania Równania Lagange a II. pzyłay lub po eucji: ml ϕ 10 sin ϕ) + ) + sinϕ) 10ml ϕ + l ) 4l sin ϕ 0 cos ϕ + 4bl sin ϕ) ϕ = lf 0 sinωt) sin ϕ mg inż. Sebastian Pauła AGH WIMIR Stona 8 \ 8