XIX. PRAWO COULOMBA Prawo Coulomba

Transkrypt

1 XIX PRAWO COULOMBA 191 Pawo Coulomba Wielkość oddziaływania cząstki z otaczającymi ją obiektami zależy od jej ładunku elektycznego, zwykle oznaczanego pzez Ładunek elektyczny może być dodatni lub ujemny Cząstki mające ładunki o takich samych znakach odpychają się, a cząstki z ładunkami o pzeciwnych znakach pzyciągają się Ciało z jednakową ilością ładunku dodatniego i ujemnego jest obojętne elektycznie Ciało, w któym wielkości tych ładunków nie są ówne, jest naładowane elektycznie i ma ładunek nadmiaowy Mateiały, w któych znaczna liczba elektonów może pouszać się swobodnie nazywamy pzewodnikami Jeśli cząstki w mateiale nie mogą swobodnie pouszać się, to mateiał taki nazywamy izolatoem Właściwości pzewodników i izolatoów wynikają z budowy atomów oaz właściwości ich składników Atomy są zbudowane z dodatnio naładowanych potonów, ujemnie naładowanych elektonów i elektycznie obojętnych neutonów Potony i elektony są upakowane ściśle w jądze znajdującym się w śodku atomu Ładunek pojedynczego elektonu i pojedynczego potonu są sobie ówne co do watości bezwzględnej, ale mają pzeciwny znak Jeśli dwie naładowane cząstki zbliżają się do siebie, to każda z nich działa na dugą siłą elektostatyczną Kieunek wektoów tej siły zależy od znaku ładunków Jeśli cząstki mają ładunki o jednakowych znakach, to odpychają się, a to oznacza, że wekto siły działającej na każdą cząstkę jest skieowany pzeciwnie do wektoa wskazującego na dugą cząstkę Gdy ładunki mają pzeciwne znaki, to cząstki pzyciągają się, czyli wekto siły działającej na każdą cząstkę jest skieowany ku dugiej cząstce Równanie opisujące siły elektostatyczne działające na naładowane cząstki podał w 1785 oku Chales Augustin Coulomb, któy doszedł do niego doświadczalnie Równanie to, zwane pawem Coulomba, ma postać F 1 = k $, (191) gdzie 1 oznacza ładunek cząstki 1, ładunek cząstki, k stałą elektostatyczną, a oznacza odległość między cząstkami, pzy czym $ oznacza wekto jednostkowy skieowany od cząstki wzdłuż postej łączącej obie cząstki Pzy tym założeniu (odnośnie wektoa $) ównanie (191) pzedstawia siłę elektostatyczną działająca cząstkę 1 Zauważmy, że postać wzou (191) jest taka sama, jak postać wzou Newtona dla siły gawitacyjnej Jednostką ładunku w układzie SI jest kulomb Ze względów paktycznych jest on pochodną jednostki natężenia pądu elektycznego I w układzie SI definiowanego jako stosunek ładunku d pzepływającego pzez pzekój popzeczny pzewodnika w jednostce czasu dt, czyli

2 146 XIX Pawo Coulomba I d = dt Ponieważ jednostką natężenia pądu w układzie SI jest ampe, wynika stąd, że 1C= 1A 1s Stałą elektostatyczną k we wzoze (191) zapisuje się zwykle jako 1/4Bg 0, gdzie g 0 oznacza tzw pzenikalność elektyczną póżni Wówczas watość siły elektostatycznej opisanej pawem Coulomba wynosi 1 1 F = (19) 4πε 0 Stałe występujące we wzoach (191) i (19) mają następujące watości: 9 k = 899, 10 N m / C, 1 ε = 885, 10 C /( N m ) 0 Siła elektostatyczna spełnia zasadę supepozycji Jeśli mamy n naładowanych cząstek, to oddziałują one niezależnie w paach i siła wypadkowa działająca na któąkolwiek z nich jest ówna sumie wektoowej Oznacza to, że w pzypadku cząstki 1 mamy F = F + F + K + F 1, wyp n W elektostatyce istnieją odpowiedniki twiedzenia o powłoce dotyczącego gawitacji Pzypomnijmy, że ciało w kształcie powłoki kulistej pzyciąga cząstkę znajdującą się na zewnątz powłoki tak, jak gdyby cała masa powłoki była skupiona w jej śodku W elektostatyce mamy następujące twiedzenia:! jednoodne naładowana powłoka kulista pzyciąga lub odpycha naładowaną cząstkę znajdującą się na zewnątz tej powłoki tak, jakby cały ładunek tej powłoki był skupiony w jej śodku,! jeśli cząstka naładowana znajduje się wewnątz jednoodnie naładowanej powłoki kulistej, to wypadkowa siła elektostatyczna oddziaływania powłoki na cząstkę jest ówna zeu 19 Kwantowość i zachowawczość ładunku Każdy ładunek (dodatni lub ujemny) można zapisać w postaci gdzie ładunek elementany e ma watość = ne, n = ± 1, ±, ± 3,, e = 1, C Ładunek elektyczny nie może pzyjmować dowolnych watości, ale tylko takie, któe należą do dysketnego zbiou watości O takiej wielkości mówimy, że jest skwantowana Całkowity ładunek elektyczny w dowolnym odosobnionym układzie fizycznym jest zawsze zachowany Dwie cząstki ulegające anihilacji muszą mieć ładunki o pzeciwnych znakach i jednakowej watości bezwzględnej Na pzykład poces anihilacji elektonu e! (o ładunku!e) i jego

3 19 Kwantowość i zachowawczość ładunku 147 antycząstki, pozytonu e + (o ładunku +e), powadzi do pzekształcenia w dwa kwanty ( (pomieniowania elektomagnetycznego o wielkiej enegii): e + + e γ + γ W pocesie tym wypadkowy ładunek układu jest ówny zeu zaówno pzed, jak i po anihilacji Podobnie jest w pzypadku keacji pay W takim pocesie kwant ( pzekształca się w elekton i pozyton: + γ e + e Zadania 1 Z cienkiej powłoki kulistej naładowanej początkowo ładunkiem Q pzeniesiono ładunek na inną powłokę kulistą znajdującą się w pobliżu Obie powłoki unieuchomione w pewnej odległości od siebie można taktować jak cząstki Dla jakiego stosunku / Q siła elektostatyczna działająca między tymi powłokami będzie największa? W jakiej odległości od siebie muszą znajdować się ładunki punktowe 1 = 6 :C i = =!47 :C, aby siła elektostatyczna działająca między nimi była ówna 5,7 N? 3 Ładunek punktowy o watości 10!6 C jest odległy o 1 cm od dugiego ładunku punktowego o 10!6 C Obliczyć watość siły działającej na każdy ładunek 4 Watość siły elektostatycznej działającej między dwoma identycznymi jonami znajdującymi się w odległości 10!10 m wynosi 10!9 N a) Jaki jest ładunek każdego z jonów? b) Ile elektonów bakuje w każdym z jonów (powodując niezównoważony ładunek jonu)?

4 XX POLE ELEKTRYCZNE 01 Pole elektyczne Naładowana cząstka wytwaza w otaczającej pzestzeni pole elektyczne, któe jest polem wektoowym Jeśli w tej pzestzeni znajduje się inna cząstka naładowana, to będzie na nią działać siła elektostatyczna zgodna z watością i kieunkiem tego pola Pole wektoowe odpowiada ozkładowi wektoów natężenia pola elektycznego E Natężenie pola elektycznego E, wy- twozonego w punkcie P pzez naładowane ciało definiuje się wzoem F E =, gdzie 0 oznacza ładunek dodatni, zwany ładunkiem póbnym Linie pola elektycznego pomagają wizualizować kieunek i watość pola elektycznego Wekto natężenia pola elektycznego w dowolnym punkcie jest styczny do linii pola elektycznego Gęstość linii pola w tym punkcie jest popocjonalna do watości natężenia pola elektycznego, czyli gęstsze linie odpowiadają silniejszemu polu Linie pola elektycznego wychodzą od ładunku dodatniego (gdzie zaczynają się) i są skieowane ku ładunkowi ujemnemu (gdzie kończą się) Aby znaleźć pole naładowanej cząstki (nazywanej ładunkiem punktowym), umieszczamy w dowolnym punkcie, w odległości od tego ładunku punktowego, dodatni ładunek póbny 0 Z pawa Coulomba wiadomo, że watość siły elektostatycznej, któa działa na ten ładunek ze stony cząstki o ładunku 0 wynosi 1 0 F = $ πε 4 0 Stąd F 1 E = = $ (01) 0 4πε 0 Natężenie E jest skieowane tak samo, jak siła działająca na dodatni ładunek póbny, czyli od ładunku punktowego, gdy ładunek jest ładunkiem dodatnim i do niego, gdy ładunek jest ujemny Ze wzou (01) wynika, że watość natężenia pola elektycznego w dowolnym punkcie odległym od tego ładunku o wielkość można zapisać w postaci 1 E = (0) 4πε 0 Układ dwóch cząstek mających ładunki o pzeciwnych znakach i jednakowych watościach bezwzględnych, któe znajdują się w niewielkiej odległości d od siebie, nazywamy dipolem 0

5 01 Pole elektyczne 149 elektycznym Oś pzechodzącą pzez obie cząstki nazywa się osią dipola Jest ona osią symetii układu Rys 01 Dipol elektyczny Rozważmy punkt P, któy znajduje się w odległości z od śodkowego punktu dipola (zob ys 01) Bliższa cząstka o ładunku + wytwaza pole o natężeniu E (+) skieowane w stonę dodatnich watości osi z Dalsza cząstka o ładunku! wytwaza pole o natężeniu E (!) skieowane w stonę ujemnych watości osi z Poszukujemy wypadkowego natężenia pola elektycznego w punkcie P Zgodnie ze wzoem (0) i uwzględniając zasadę supepozycji mamy 1 E = E( + ) E( ) = 4πε = d 4πε0 z 0 ( + ) 0 ( ) d 4πε0 z + 1 4πε d d = z z πε z 0 Po spowadzeniu do wspólnego mianownika i pomnożeniu jego czynników dochodzimy do wzou d d E = z 1 z πε 0 3 Ponieważ zwykle jesteśmy zainteesowani polem elektycznym dipola tylko w odległościach dużych w poównaniu z wymiaami dipola, czyli dla z >> d, więc możemy zaniedbać wyaz d / (z), pzez co otzymujemy

6 150 XX Pole elektyczne 1 d E = 3 (03) πε 0 z Iloczyn d jest watością p wielkości wektoowej p zwanej elektycznym momentem dipolo- wym Moment dipolowy p jest skieowany od ujemnego do dodatniego ładunku dipola (zob ys 01) 0 Ładunek punktowy i dipol w polu elektycznym Gdy cząstka o ładunku znajduje się w polu elektycznym o natężeniu siła elektostatyczna F = E E, to działa na nią Jeśli ładunek jest dodatni, to wekto siły jest skieowany tak samo, jak wekto natężenia pola elektycznego Gdy ładunek jest ujemny, to wekto siły jest skieowany pzeciwnie do wektoa natężenia Rys 0 Dipol elektyczny w jednoodnym polu elektycznym Rozważmy teaz dipol elektyczny umieszczony w jednoodnym polu elektycznym o natężeniu E Zakładamy, że dipol składa się z dwóch pzeciwnie naładowanych kulek, każda o ła- dunku, któe znajduję w odległości d od siebie oaz, że moment dipolowy p twozy kąt z kieunkiem natężenia pola E (zob ys 0 a)) Na naładowane cząstki dipola działają siły elektostatyczne Pole elektyczne jest jednoodne, a więc siły działają w pzeciwnych kieunkach i mają watość F = E W jednoodnym polu elektycznym wypadkowa siła oddziaływania pola na dipol jest więc ówna zeu i śodek masy dipola nie pousza się Jednak siły działające na naładowane końce wytwazają wypadkowy moment siły M względem śodka masy dipola Śodek masy leży na postej, łączącej naładowane końce, w pewnej odległości x od jednego końca i w odległości d! x od dugiego Watość wypadkowego momentu siły M wynosi

7 0 Ładunek punktowy i dipol w polu elektycznym 151 M = Fxsin θ + F( d x) sinθ = Fdsin θ Podstawiając w tym wzoze E za F oaz p / za d mamy M = pesin θ, co można te zapisać w postaci wektoowej następująco: M = p E Wektoy p i E są pzedstawione na ys 0 b) Moment siły działający na dipol dąży do obócenia wektoa p (a stąd i dipola) w kieunku natężenia pola E, czyli do zmniejszenia ką- ta Na ys 0 obót taki jest zgodny z kieunkiem uchu wskazówek zegaa Jeśli włączymy znak minus do watości momentu, to watość momentu siły z tego ysunku należy zapisać w postaci M = pesin θ Dipol ma najmniejszą enegię potencjalną, gdy jest w stanie ównowagi, czyli gdy jego moment p jest skieowany zgodnie z kieunkiem natężenia pola E (wówczas M = p E = 0) Okazuje się, że wyażenie na enegię potencjalną dipola elektycznego w zewnętznym polu elektycznym jest najpostsze, gdy wybiezemy zeową watość enegii potencjalnej dla kąta ównego 90 Wówczas enegię potencjalną E p dipola pzy dowolnej innej watości kąta możemy znaleźć obliczając pacę W wykonaną pzez pole pzy obóceniu dipola od ustawienia odpowiadającego 90 do watości Mamy θ Ep = W = Mdθ = pesinθdθ = pecos θ, 90 θ 90 co można też zapisać w postaci wektoowej następująco: Ep = p E (04) Ze wzoów tych wynika, że enegia potencjalna jest największa, gdy = 180, czyli gdy wektoy p i E są skieowane pzeciwnie Gdy dipol obaca się od początkowego ustawienia p do innego k, to paca W wykonana pzez pole elektyczne wynosi W = E = ( E E ), p p, k p, p gdzie wielkości E k, p i E p, p można obliczyć ze wzou (04) Jeśli zmiana ustawienia jest spowodowana pzez zewnętzny moment siły, to paca W zewn wykonana nad dipolem pzez ten moment siły óżni się znakiem od pacy wykonanej nad dipolem pzez pole, czyli W = W = E E zewn k, p p, p Zadania 1 Jądo atomu plutonu-39 zawiea 94 potony Załóżmy, że jądo to ma pomień ówny 6,64 fm, a ładunek dodatni jest ównomienie ozłożony w obszaze jąda Wyznaczyć: a) watość,

8 15 XX Pole elektyczne b) kieunek wektoa natężenia pola elektycznego wytwozonego na powiezchni jąda pzez ten dodatni ładunek Jaka jest watość ładunku punktowego, któy w odległości 50 cm wytwaza pole elektyczne o natężeniu N / C? 3 Na ys 03 pzedstawiono dipol elektyczny Znaleźć: a) watość, b) kieunek natężenia pola elektycznego (w stosunku do dodatniego kieunku osi x) wytwazanego pzez ten dipol w punkcie P Punkt P znajduje się w odległości >> d od dipola Rys 03 Zadanie 3 4 Naładowana chmua wytwaza pole elektyczne w powietzu nad Ziemią Na cząstkę o 10!1 C, znajdującą się w tym polu, działa siła elektostatyczna o watości 10!6 N, skieowana w dół a) Jaka jest watość natężenia pola elektycznego? Jakie są: b) watość, c) kieunek siły elektostatycznej F e działającej na poton umieszczony w tym polu? d) Jaka jest watość siły gawitacyjnej F g działającej na poton? e) Ile wynosi stosunek watości siły elektostatycznej do watości siły gawitacyjnej F e / F g działającej na poton? 5 Spoczywający początkowo elekton znalazł się w jednoodnym polu elektycznym o 10 4 N / C Obliczyć pzyspieszenie elektonu (pominąć siłę ciężkości) 6 Dipol elektyczny składający się z ładunków o watości 1,5 nc, któe znajdują się w odległości 6, :m od siebie, umieszczono w polu elektycznym o natężeniu 1100 N / C a) Jaka jest watość elektycznego momentu dipolowego tego dipola? b) Jaka jest óżnica między enegiami potencjalnymi odpowiadającymi ównoległemu i antyównoległemu ustawieniu dipola względem natężenia pola E?

9 XXI PRAWO GAUSSA 11 Stumień pola elektycznego Stumień elektyczny M pzenikający pzez powiezchnię odpowiada ilości pola elektycznego pzenikającego pzez tę powiezchnięwekto powiezchni ds dla elementu powiezchni jest wektoem postopadłym do tego elementu, któego watość jest ówna polu powiezchni ds tego elementu Stumień elektyczny dm pzenikający pzez element powiezchni o wektoze powiezchni ds jest ówny iloczynowi skalanemu dφ = E ds Całkowity stumień elektyczny pzenikający pzez powiezchnię wynosi Φ= E ds, gdzie całkowanie odbywa się po powiezchni Pole pzenikające do wnętza objętości otoczonej pzez powiezchnię oznacza ujemny stumień Pole wypływające z wnętza objętości otoczonej pzez powiezchnię odpowiada stumieniowi dodatniemu Wekto natężenia styczny do powiezchni to stumień ówny zeu Aby znaleźć wypadkowy stumień pzenikający pzez powiezchnię, wystaczy znaleźć stumienie pzenikające pzez każdy kwadat, na któa podzielono całą powiezchnię, a następnie zsumować te wyniki z uwzględnieniem znaków algebaicznych Obliczenia byłyby ogomne i dlatego zmniejszamy powiezchnie kwadatów, zastępując je elementami powiezchni o wektoach powiezchni ds, a następnie całkujemy: Φ= E ds (11) kółeczko na całce oznacza, że aby uzyskać wypadkowy stumień pzenikający pzez powiezchnię, całkowanie musimy wykonać po całej zamkniętej powiezchni Pzykład 11 Rozważmy powiezchnię walca o pomieniu R (jest to pzykład powiezchni Gaussa) pzedstawioną na ys 11, któy jest umieszczony w jednoodnym polu elektycznym o natężeniu E, pzy czym oś walca jest ównoległa do kieunku natężenia pola Stumień elektyczny pzenikający pzez powiezchnię możemy znaleźć pzez scałkowanie iloczynu E ds po całej powiez- chni Gaussa, czyli walcu Nie można jednak tego zobić obliczając pojedynczą całkę tzeba powiezchnię walca podzielić na tzy części, dla któych obliczenie całki staje się możliwe Wypadkowy stumień pzedstawiamy jako sumę tzech całek: po lewym denku a, po powiezchni bocznej b i po pawym denku c:

10 154 XXI Pawo Gaussa Rys 11 Walcowa powiezchnia Gaussa Wybiezmy element powiezchni na lewym denku Wekto powiezchni ds musi być posto- padły do tego elementu i skieowany na zewnątz walca Oznacza to, że kąt między wektoem powiezchni i wektoem natężenia pola elektycznego wynosi 180 Zauważmy też, że watość E natężenia pola na tym denku jest stała, a więc można ją wyłączyć pzed znak całki Zatem mamy E ds = E(cos 180 ) ds = E ds = ES, Φ = E ds = E ds + E ds + E ds a a b c gdzie ds oznacza pole powiezchni denka S = BR Podobnie mamy dla pawego denka, gdzie dla wszystkich punktów jest = 0 : E ds = E 0 ds = ES (cos ) c Dla powiezchni bocznej walca, gdzie we wszystkich punktach = 90, mamy E ds = E 90 ds = 0 (cos ) b Zatem Φ = ES ES Wypadkowy stumień jest ówny zeu, gdyż wszystkie linie epezentujące pole elektyczne całkowici pzechodzą pzez powiezchnię Gaussa, wchodząc pzez lewe denko i wychodząc pzez pawe # 1 Pawo Gaussa Pawo Gaussa opisuje związek między wypadkowym stumieniem M pola elektycznego pzenikającym pzez zamkniętą powiezchnię (powiezchnię Gaussa) i wypadkowym ładunkiem wewn, któy jest zawaty wewnątz objętości otoczonej tą powiezchnią Zgodnie z tym pawem

11 1 Pawo Gaussa 155 Po podstawieniu do tego ównania wzou (11), pawo Gaussa można także zapisać w postaci Wzoy te są słuszne tylko wtedy, gdy ładunek znajduje się w póżni lub w powietzu W innych mateiałach, takich jak mika, olej lub szkło, powyższe wzoy są zmodyfikowane Jednym z pzypadków, do któego można zastosować pawo Gaussa, jest wyznaczenie pola elektycznego naładowanej cząstki Pole to ma symetię sfeyczną, w związku z czym natężenie pola zależy tylko od odległości od cząstki, a nie zależy od kieunku Kąt między wektoami E i ds jest ówny zeu, a więc pawo Gaussa można zapisać w postaci gdzie wewn = Ponieważ natężenie pola E ma taką samą watość na całej powiezchni sfeycznej, więc watość natężenia można wyłączyć pzed znak całki, czyli mamy ε 0 E ds = pozostała całka jest tylko sumą pól powiezchni elementów sfey i jest ówna jej polu powiezchni 4B, a więc otzymujemy skąd Jest to ten sam wzó, któy uzyskaliśmy w p 01 kozystając z pawa Coulomba (zob (03)) Pawo Gaussa pozwala udowodnić ważne twiedzenie o izolowanych (odosobnionych) pzewodnikach, któe mówi, że jeśli nadmiaowy ładunek zostaje umieszczony na izolowanym pzewodniku, to ten ładunek pzesuwa się całkowicie na powiezchnię pzewodnika, a w jego wnętzu nie ma żadnego nadmiaowego ładunku Natężenie wewnętznego pola elektycznego w naładowanym izolowanym pzewodniku jest ówne zeu Natężenie zewnętznego pola elektycznego (w pobliżu tego pzewodnika) jest skieowane postopadle do jego powiezchni, a jego watość zależy od powiezchniowej gęstości ładunku F (ładunku pzypadającego na jednostkę powiezchni) i wynosi Natężenie pola elektycznego w punkcie znajdującym się w pobliżu naładowanej linii postej (lub pęta o nieskończonej długości) o gęstości liniowej ładunku 8 jest postopadłe do tej linii i ma watość λ E =, πε gdzie oznacza odległość punktu od tej linii ε ε 0 Φ= wewn ε 0 E ds = wewn = E ds = ε EdS = wewn, 0 0 ε E 4π =, 0 E = 1 πε 4 0 E = σ ε 0 0

12 156 XXI Pawo Gaussa Natężenie pola elektycznego nieskończonej niepzewodzącej płaszczyzny naładowanej jednoodnie o gęstości powiezchniowej ładunku F jest postopadłe do tej płaszczyzny i ma watość E = σ ε 0 Natężenie pola elektycznego pzy zewnętznej powiezchni pzewodnika naładowanego jednoodnie o gęstości powiezchniowej ładunku F jest postopadłe do tej powiezchni i ma watość E = σ ε 0 Wewnątz pzewodnika natężenie pola elektycznego jest ówne zeu Natężenie pola elektycznego na zewnątz jednoodnie naładowanej powłoki kulistej o pomieniu R i całkowitym ładunku jest skieowane adialnie (do śodka lub na zewnątz w zależności od znaku ładunku) i ma watość E = 1, πε 4 0 gdzie oznacza odległość od śodka powłoki do punktu, w któym watość E jest wyznaczana Natężenie pola jest takie samo jak dla układu, w któym cały ładunek byłby skupiony w śodku sfey Natężenie pola wewnątz jednoodnie naładowanej powłoki jest ówne zeu Natężenie pola elektycznego wewnątz jednoodnie naładowanej kuli jest skieowane adialnie i ma watość E = 1 R, πε gdzie oznacza całkowity ładunek, R pomień kuli, a oznacza odległość od śodka powłoki, w któym watość E jest wyznaczana Zadania 1 Długość boku kwadatu pzedstawionego na ys 1 wynosi 3, mm Kwadat znajduje się w jednoodnym polu elektycznym Watość natężenia tego pola wynosi E = 1800 N / C Linie pola twozą kąt = 35 z nomalną do powiezchni kwadatu Pzyjmując, że ta nomalna jest skieowana na zewnątz, obliczyć stumień elektyczny pzenikający pzez tę powiezchnię Ładunek punktowy o watości 1,8 :C znajduje się w śodku sześciennej powiezchni Gaussa Jaki jest wypadkowy stumień elektyczny pzenikający pzez tę powiezchnię, jeśli długość kawędzi sześcianu wynosi 55 cm? 3 Jednoodnie naładowana pzewodząca kula o śednicy 1, m ma gęstość powiezchniową ładunku 8,1 :C / m a) Znaleźć wypadkowy ładunek na kuli b) Jaki jest całkowity stumień elektyczny pzenikający pzez powiezchnię kuli?

13 1 Pawo Gaussa 157 Rys 1 Zadanie 1 4 Pojazdy kosmiczne pzez ziemskie pasy pomieniowania mogą zbieać dużą liczbę elektonów Załóżmy, że kulisty metalowy satelita o śednicy 1,3 m zgomadził w czasie jednego obiegu satelity ładunek,4 :C a) Znaleźć powstałą gęstość powiezchniową ładunku b) Obliczyć watość natężenia pola elektycznego (wytwozonego pzez ten ładunek powiezchniowy) tuż na zewnątz satelity 5 Na kwadatowej płycie o boku długości 8 cm i zaniedbywalnej gubości znajduje się ładunek 10!6 C a) Oszacować natężenie pola elektycznego E tuż (powiedzmy 0,5 mm) ponad śodkiem tej płyty zakładając, że ładunek jest ozłożony ównomienie na obu jej powiezchniach b) Oszacować natężenie pola elektycznego E w odległości 30 m (dużej w poównaniu z ozmiaami płyty) od śodka tej płyty, taktując płytę jak naładowaną cząstkę 6 Dwie naładowane współśodkowe sfey mają pomienie 10 cm i 15 cm Ładunek na wewnętznej sfeze wynosi 10!8 C, a na zewnętznej 10!8 C Znaleźć natężenie pola elektycznego w odległości a) = 1 cm, b) = 0 cm od śodka sfe

14 XXII POTENCJAŁ ELEKTRYCZNY 1 Potencjał elektyczny Potencjał elektyczny V w punkcie P w polu elektycznym naładowanego ciała definiuje się wzoem W E p V = =, 0 0 gdzie W 4 oznacza pacę, któą wykonałaby siła elektostatyczna działająca na dodatni ładunek póbny 0 pzy pzeniesieniu go z nieskończoności do punktu P, a E p oznacza elektyczną enegię potencjalną, któa zostałaby w takim pzypadku zmagazynowana w układzie ładunek póbny - ciało Jeśli cząstka o ładunku znajduje się w punkcie, w któym potencjał pola elektycznego wytwazanego pzez naładowane ciało jest ówny V, to elektyczna enegia potencjalna E p układu cząstka - ciało wynosi Ep = V Jeżeli cząstka pokonuje óżnicę potencjałów )V, to odpowiednia zmiana elektycznej enegii potencjalnej wynosi E = V = ( V V ) p k p Gdy cząstka, na któą nie działa żadna siła zewnętzna pokonuje óżnicę potencjałów )V, to zastosowanie zasady zachowania enegii mechanicznej pozwala okeślić zmianę enegii kinetycznej tej cząstki jako Ek = V Jeśli natomiast na cząstkę działa siła zewnętzna, któa wykonuje pzy tym pacę W zew, to odpowiednia zmiana enegii kinetycznej wynosi E = V + W k W szczególnym pzypadku, gdy )E k = 0, paca wykonana pzez siłę zewnętzną odpowiada wyłącznie pokonaniu pzez cząstkę óżnicy potencjałów Wzew = V zew Powiezchnie ekwipotencjalne a pole elektyczne Sąsiadujące ze sobą punkty, któe mają jednakowy potencjał elektyczny, twozą powiezchnię ekwipotencjalną Paca wykonana nad ładunkiem póbnym pzy pzenoszeniu go z jednej powiezchni na dugą nie zależy od położenia tych punktów na odpowiednich powiezchniach

15 3 Potencjał pola cząstki i dipola elektycznego 159 i nie zależy od tou, po jakim pzenosi się ten ładunek Natężenie pola elektycznego zawsze skieowane postopadle do odpowiednich powiezchni ekwipotencjalnych Różnica potencjałów elektycznych między dwoma punktami p i k wynosi k gdzie całkowanie następuje wzdłuż dowolnej dogi łączącej te punkty Jeśli pzyjmiemy V p = 0, to potencjał w konketnym punkcie wynosi E jest Vk Vp = E ds, (1) p W jednoodnym polu elektycznym kąt pomiędzy wektoami tość E jest stała Ze wzou (1) otzymujemy wówczas V k = E ds p jest ówny zeu i wa E i ds V V = Edscos0 = E ds k i jeśli powiezchnie ekwipotencjalne są od siebie odległe o )x, to mamy p k p V = E x k p 3 Potencjał pola cząstki i dipola elektycznego Zastosujemy wzó (1) do wypowadzenia wyażenia na potencjał elektyczny V w pzestzeni wokół cząstki naładowanej względem potencjału zeowego w nieskończoności Rozważmy punkt P w odległości R od nieuchomej cząstki o dodatnim ładunku (zob ys 1) Wyobaźmy sobie, że pzesuwamy dodatni ładunek póbny 0 z punktu P do nieskończoności Musimy obliczyć iloczyn skalany E ds = Ecosθ ds Natężenie pola elektycznego E jest skieowane adialnie od cząstki Stąd pzesunięcie ds cząstki póbnej ma ten sam kieunek co wekto E Oznacza to, że kąt = 0 i cos = 1 To cząstki póbnej jest adialny, a więc możemy napisać ds = d Następnie podstawiając ganice R i 4 możemy wzó (1) napisać w postaci Vk Vp = Ed Pzyjmijmy, że V k = 0 (w nieskończoności) i V p = V (w odległości R) Zgodnie ze wzoem (0), natężenie pola elektycznego w punkcie, w któym znajduje się ładunek póbny, jest ówne E = Uwzględniając powyższe zależności i założenia, możemy wzó (1) zapisać w postaci 1 πε 4 0 R

16 160 XXII Potencjał elektyczny aby znaleźć potencjał naładowanej cząstki, pzenosimy ładunek póbny do nieskończoności Rys 1 Potencjał pola naładowanej cząstki Stąd, po zamianie R na, otzymujemy V = = = 4 πε d 4πε 4πε R V R = 1 4πε 0 0 R 0 Jest to wzó na potencjał V pola wytwozonego pzez cząstkę o ładunku w dowolnej odległości od cząstki Wzó () został wypowadzony dla cząstki naładowanej dodatnio, ale pozostaje słuszny także dla cząstki naładowanej ujemnie Można zauważyć, że znak potencjału V jest taki sam, jak znak ładunku, co oznacza, że cząstka naładowana dodatnio wytwaza dodatni potencjał elektyczny, a cząstka naładowana ujemnie ujemny Wypadkowy potencjał układu ładunków punktowych w jakimś punkcie można obliczyć kozystając z zasady supepozycji Dla układu n ładunków wypadkowy potencjał wynosi () V n = V = 1 i 4πε i = 1 0 i = 1 n i, (3) i gdzie i oznacza ładunek i-tej cząstki, a i odległość danego punktu od i-tego ładunku Wzó (3) można zastosować do obliczenia potencjału dipola elektycznego w dowolnym punkcie P (zob ys ) W punkcie tym dodatni ładunek punktowy, któy znajduje się w od-

17 3 Potencjał pola cząstki i dipola elektycznego 161 ległości (+), wytwaza potencjał V (+), a ujemny ładunek punktowy, znajdujący się w odległości (!), wytwaza potencjał V (!) Wypadkowy potencjał wynosi zatem 1 V = V + V = + = ( + ) ( ) 4πε 0 ( + ) ( ) 4πε 0 + ( ) ( + ) ( ) ( ) (4) Rys Potencjał pola dipola elektycznego Na ogół mamy >> d, gdzie d oznacza odległość między ładunkami, a odległość od śodka dipola do punktu P W takim pzypadku można pzyjąć, że dwa odcinki łączące punkt P z ładunkami dipola są ównoległe, a ich óżnica jest pzypostokątną tójkąta postokątnego

18 16 XXII Potencjał elektyczny o pzeciwpostokątnej d (zob ys b)) Różnica ta jest na tyle mała, że iloczyn ich długości można pzybliżyć pzez Oznacza to, że dcosθ oaz ( ) ( + ) ( ) ( + ) i po podstawieniu tych zależności do wzou (4) otzymujemy d cosθ V =, 4 πε 0 gdzie kąt jest miezony od osi dipola Powyższy wzó można także zapisać w postaci gdzie p = d oznacza watość elektycznego momentu dipolowego p V = 1 πε 4 0 p cosθ, 4 Obliczanie natężenia pola na podstawie potencjału Okazuje się, że (pomijamy szczegóły) składowa natężenia E w dowolnym kieunku jest wziętym ze znakiem minus stosunkiem zmiany potencjału elektycznego pzy pzemieszczeniu w tym kieunku do watości tego pzemieszczenia, co można zapisać wzoem V E s = s (5) Jeśli jako oś s wybiezemy kolejno osie x, y i z postokątnego układu współzędnych, to odpowiadające im składowe natężenia E wynoszą E V V V =, E =, E = x y z x y z W pzypadku, gdy pole jest jednoodne, wzó (5) pzybiea postać E V = s Należy dodać, że natężenie pola elektycznego w kieunku ównoległym do powiezchni ekwipotencjalnej jest ówne zeu 5 Elektyczna enegia potencjalna układu naładowanych cząstek Rozważmy układ składający się z nieuchomej cząstki i znajdującej się w nieskończoności cząstki 1 Początkowa enegia potencjalna takiego układu dwóch cząstek jest ówna E p, p Następnie pzenieśmy cząstkę 1 w jej położenie końcowe, co spowoduje, że enegia potencjalna układu będzie wynosiła E p, k Paca jaką wykonujemy nad układem zmienia jego enegię potencjalną o )E p = E p, k! E p, p Kozystając ze wzou E = V = ( V V ) p k p

19 5 Elektyczna enegia potencjalna układu naładowanych cząstek 163 możemy powiązać zmianę enegii z óżnicą potencjałów, pzez któą pzenosimy cząstkę 1 Mamy Ep, k Ep, p= ( Vk Vp) (6) Początkowa enegia potencjalna E p, p jest ówna zeu, gdyż cząstki znajdują się w położeniu odniesienia Dwa potencjały w powyższym wzoze są związane z cząstką i dane są wzoem (), czyli 1 V = πε 4 0 Oznacza to, że gdy cząstka 1 znajduje się początkowo w nieskończoności, potencjał w tym punkcie wynosi V p = 0 Gdy pzenosimy ją w położenie końcowe w odległości, potencjał w tym punkcie jest ówny Vk = 1 πε 4 0 Po podstawieniu tych wyników do zależności (6) i opuszczając indeks k mamy E p = 1 πε 4 0 Powyższy wzó pzedstawia enegię potencjalną w końcowej konfiguacji Zawiea on znaki obu ładunków Jeśli oba ładunki mają ten sam znak, to enegia potencjalna jest dodatnia, a gdy ładunki mają pzeciwne znaki, to enegia ta jest ujemna Jeśli do układu dodamy tzecią cząstkę o ładunku 3, to można powtózyć całe ozumowanie zaczynając od położenia cząstki 3 w nieskończoności, a następnie pzenosząc ją do jej końcowego położenia w odległości 31 od cząstki 1 i 3 od cząstki W tym końcowym położeniu potencjał V k w punkcie gdzie znajduje się cząstka 3 jest sumą algebaiczną potencjału związanego z cząstką 1 i potencjału zwianego z cząstką Po wykonaniu achunków okazuje się, że całkowita enegia potencjalna układu cząstek jest sumą enegii potencjalnych dla każdej pay cząstek twozących ten układ 1 Zadania 1 Rozważmy akumulato samochodowy o óżnicy potencjałów 1 V, któy może pzesłać całkowity ładunek 84 Ah pzez obwód z jednego bieguna do dugiego a) Ilu kulombom jest ówny ten ładunek? b) Jeśli óżnica potencjałów jest cały czas ówna 1 V, to jak duża enegia jest związana z pzejściem tego ładunku? Różnica potencjałów pomiędzy Ziemią i chmuą w pzypadku pewnej błyskawicy wynosiła 10 9 V, a watość pzepływającego ładunku była ówna 30 C a) O ile zmieniła się enegia tego ładunku? b) Gdyby można było wykozystać całą tę enegię do pzyspieszenia spoczywającego początkowo samochodu o masie 1000 kg, to jaka byłaby końcowa pędkość samochodu? 3 Na obu powiezchniach nieskończonej niepzewodzącej płyty jest umieszczony ładunek o gęstości powiezchniowej 0,10 :C / m W jakiej odległości od siebie znajdują się powiezchnie ekwipotencjalne, któych potencjały óżnią się o 50 V?

20 164 XXII Potencjał elektyczny 4 Rozważmy cząstkę o ładunku = 1 :C, punkt A znajdujący się w odległości d 1 = m od ładunku i punkt B w odległości d = 1 m a) Jeśli te punkty znajdują się po pzeciwnych stonach cząstki (ys 3 a)), to jaka jest óżnica potencjałów elektycznych V A! V B? b) Jaka jest óżnica potencjałów elektycznych, jeśli punkty A i B są położone tak, jak na ys 43 b)? Rys 3 Zadanie 4 5 Cząsteczka amoniaku NH 3 ma twały elektyczny moment dipolowy ówny 1,47 D, gdzie 1 D (debaj) = 10!30 m Obliczyć potencjał pola elektycznego wytwozonego pzez cząsteczkę amoniaku na osi dipola w punkcie odległym o 5 nm (pzyjąć V = 0 w nieskończoności) 6 Potencjał pola elektycznego w punktach na płaszczyźnie xy jest dany wzoem V = ( V/ m ) x ( 3V/ m ) y Ile wynosi natężenie pola elektycznego w punkcie o współzędnych (3 m, m) wyażone w notacji wektoowej? 7 Początkowo unieuchomiona cząstka o ładunku +7,5 :C znajdująca się na osi x w punkcie x = 60 cm zostaje uwolniona Cząstka zaczyna się pouszać pod wpływem siły elektycznej wytwazanej pzez ładunek Q, któy pozostał nieuchomy w początku układu współzędnych Ile wynosi enegia kinetyczna tej cząstki w chwili, w któej pzebędzie odległość 40 cm, jeśli a) Q = +0 :C, b) Q =!0 :C? 8 Znaleźć pacę potzebną do utwozenia konfiguacji czteech ładunków z ys 4, jeśli =,3 pc, a = 64 cm pzy założeniu, że początkowo ładunki są od siebie nieskończenie odległe Rys 4 Zadanie 8

21 XXIII POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA 31 Pojemność elektyczna Kondensato składa się z dwóch izolowanych pzewodników (okładek) z ładunkami + i! Jego pojemność jest zdefiniowana wzoem = CU, (31) gdzie U oznacza óżnicę potencjałów (zwaną napięciem) pomiędzy okładkami kondensatoa, a C oznacza stałą popocjonalności zwaną pojemnością kondensatoa Jednostką pojemności w układzie SI jest kulomb na wolt Jednostce tej nadano specjalną nazwę faad (F) Faad jest dużą jednostką i w paktyce posługujemy się mikofaadami (1 :F = 10!6 F) lub pikofaadami (1 pf = 10!1 F) Jedną z metod ładowania kondensatoa jest umieszczenie go w obwodzie elektycznym zawieającym źódło pądu Obwód elektyczny stanowi dogę, wzdłuż któej może pzepływać ładunek Źódło pądu jest uządzeniem, któe utzymuje stałą óżnicę potencjałów między biegunami źódła Pojemność konketnego kondensatoa wyznaczamy w następujący sposób:! pzyjmujemy, że na okładkach znajduje się ładunek,! obliczamy odpowiadające temu ładunkowi natężenie pola elektycznego E między okładka- mi,! obliczamy óżnicę potencjałów U między okładkami,! obliczamy pojemność C ze wzou (31) Do powiązania natężenia pola elektycznego E między okładkami kondensatoa z ładun- kiem na każdej z okładek stosujemy pawo Gaussa ε 0 E ds =, (3) gdzie oznacza ładunek obejmowany pzez powiezchnię Gaussa, a całka jest wypadkowym stumieniem elektycznym pzenikającym pzez tę powiezchnię We wszystkich ozważanych dalej pzypadkach powiezchnia Gaussa będzie taka, że jeśli pzechodzi pzez nią stumień elektyczny, to natężenie E ma na niej jednakową watość oaz wektoy E i ds są ównoległe Wzó (3) pzybiea wówczas postszą postać = ε 0 ES, (33) gdzie S oznacza pole tej części powiezchni Gaussa, pzez któą pzenika stumień Różnica potencjałów między okładkami kondensatoa jest zwiana z natężeniem pola elektycznego E wzoem

22 166 XXIII Pojemność elektyczna konc Vkonc Vpocz = E ds, (34) pocz gdzie całkę należy obliczyć po dowolnej dodze, któa zaczyna się na jednej okładce i kończy na dugiej Będziemy zawsze wybieać dogę wzdłuż linii pola elektycznego od okładki ujemnej do okładki dodatniej Dla takiej dogi wektoy E i ds będą miały pzeciwne kieunki i iloczyn skalany występujący w całce będzie ówny!eds Wzó (34) pzyjmie wówczas postać Rozważymy dokładniej tzy odzaje kondensatoów: płaski, walcowy i kulisty W pzypadku kondensatoa płaskiego zakładamy, że jego okładki są tak duże i umieszczone tak blisko siebie, że można zaniedbać zakzywienie linii pola pzy kawędziach okładek i taktować natężenie E jako stałe w całym obszaze między okładkami Jeśli pzez S oznaczymy pole powiezchni okładki (powiezchni Gaussa), to (zgodnie ze wzoem (33)) mamy Pzy odległości d między okładkami ze wzou (35) otzymujemy Po podstawieniu tych wielkości do wzou (31) mamy Ze wzou tego wynika, że pojemność kondensatoa płaskiego zależy tylko od wielkości geometycznych (od pola powiezchni okładki S i odległości d między okładkami) Pojemność jest tym większa, im pole powiezchni okładki jest większe i im mniejsza jest odległość d W kondensatoze walcowym o długości L załóżmy, że ma on dwie współosiowe powiezchnie walcowe o pomieniach a (powiezchnia wewnętzna z dodatnim ładunkiem ) i b (powiezchnia zewnętzna z ujemnym ładunkiem ) i niech L >> b Jako powiezchnię Gaussa wybieamy powiezchnię walca (zamkniętego denkami) o długości L i pomieniu, któa zwiea w sobie wewnętzną powiezchnię walcową Ze wzou (33) mamy gdzie wielkość BL jest polem zakzywionej części powiezchni walca Stumień elektyczny pzenikający pzez denka jest ówny zeu Wyznaczając stąd natężenie E otzymujemy i po podstawieniu do wzou (35) mamy + U = Eds (35) + = ε 0 ES U = Eds= E ds= Ed d 0 S C = ε 0 d = ε ES = ε E( πl), 0 0 E = 0 L πε

23 3 Kondensatoy połączone ównolegle i szeegowo 167 d b U = Eds = = L ln, πε πε L a pzy czym uwzględniliśmy tu, że ds =!d, gdyż całkowaliśmy w kieunku malejących watości Ze związku C = / U otzymujemy ostatecznie Podobnie jak w pzypadku kondensatoa płaskiego, pojemność kondensatoa walcowego zależy wyłącznie od wielkości geometycznych w tym pzypadku od długości L oaz pomieni a i b Kondensato kulisty składa się z dwóch współśodkowych powłok sfeycznych o pomieniach a i b Jako powiezchnię Gaussa wybieamy sfeę o pomieniu, współśodkową z tymi powłokami i ze wzou (33) otzymujemy gdzie wielkość 4B jest polem sfeycznej powiezchni Gaussa Stąd i po podstawieniu do wzou (35) otzymujemy b 0 L C = πε 0 ln( b / a ) = ε ES = ε E( 4π ), Wstawiając tę zależność do wzou (31) i wyznaczając następnie pojemność C mamy Pojemność można te pzypisać pojedynczej izolowanej kuli (lub sfeze) pzewodzącej o pomieniu R zakładając, że duga okładka kondensatoa jest sfeą pzewodzącą o nieskończonym pomieniu W tym celu wystaczy wzó (36) zapisać w postaci skąd po pzejściu do ganicy pzy b 6 4 i podstawieniu R za a otzymamy a a 0 0 E = 1 πε 4 0 d 1 1 b a U = Eds = = = 4 πε 4πε a b 4πε ab 0 b C = 0 0 ab πε (36) b a 4 0 a C = 4πε 0, 1 a/ b C = 4πε 0 R 3 Kondensatoy połączone ównolegle i szeegowo Połączenie ównoległe oznacza, że połączono pzewodami bezpośednio jedne okładki kondensatoów i podobnie dugie okładki oaz że óżnica potencjałów U jest pzyłożona do tych dwóch połączonych pzewodami okładek (zob ys 31)

24 168 XXIII Pojemność elektyczna Rys 31 Kondensatoy połączone ównolegle Połączenie szeegowe oznacza, e kondensatoy są łączone ze sobą w szeeg (jeden za dugim) oaz że óżnica potencjałów U jest pzyłożona do dwóch końców szeegu (zob ys 3) Jeśli óżnica potencjałów jest pzyłożona do kilku kondensatoów połączonych szeegowo, to kondensatoy mają identyczne ładunki Suma óżnic potencjałów na wszystkich kondensato- Jeśli óżnica potencjałów jest pzyłożona do kilku kondensatoów połączonych ównolegle, to taka sama óżnica potencjałów występuje na każdym kondensatoze Całkowity ładunek zgomadzony w układzie jest sumą ładunków zgomadzonych na poszczególnych kondensatoach Kondensatoy połączone ównolegle można zastąpić kondensatoem ównoważnym o takim samym całkowitym ładunku i takiej samej óżnicy potencjałów U, jak dla kondensatoów układu Aby wypowadzić wzó na pojemność kondensatoa ównoważnego C w, zastosujemy najpiew wzó (31) w celu obliczenia ładunku na każdym z tzech kondensatoów na ys 31 a) Mamy 1 = C1U, = CU, 3 = C3U Całkowity ładunek w układzie wynosi więc = + + = ( C + C + C ) U Równoważna pojemność o takim samym ładunku i takiej samej pzyłożonej óżnicy potencjałów wynosi zatem Cw = U = C 1 + C + C 3 Wzó ten można ozszezyć na dowolną liczbę n kondensatoów: C w = n i = 1 C i

25 3 Kondensatoy połączone ównolegle i szeegowo 169 ach jest ówna pzyłożonej óżnicy potencjałów Kondensatoy połączone szeegowo można zastąpić kondensatoem, któy ma taki sam ładunek i taką samą całkowitą óżnicę potencjałów, jak kondensatoy połączone szeegowo Rys 3 Kondensatoy połączone szeegowo Dla każdego z tzech kondensatoów na ys 3 a) mamy Całkowita óżnica potencjałów U wytwozona pzez źódło jest sumą tych tzech óżnic potencjałów, czyli U = U1 + U + U3 = + + C C C Równoważna pojemność wynosi więc U 1 =, U =, U 3 = C C C C w = U = 1 1/ C + 1/ C + 1/ C 1 3,

26 170 XXIII Pojemność elektyczna czyli = + +, C C C C 1 3 co można uogólnić na dowolną liczbę n kondensatoów: w 1 1 = C C w n i = 1 i 33 Enegia zmagazynowana w polu elektycznym Aby naładować kondensato, należy wykonać pacę pzez siłę zewnętzną Jeżeli w pewnej chwili ładunek pzeniesiony z jednej pytki kondensatoa na dugą wynosił i óżnica poten- cjałów U była wtedy ówna / C, to po pzeniesieniu dodatkowego ładunku d wykonano pacę dw = U d = C d Paca potzebna do pzeniesienia całkowitego ładunku kondensatoa jest ówna 1 W = dw = d = C C Paca ta jest zmagazynowana jako enegia potencjalna E p w kondensatoze i stąd Wzó ten jest pawdziwy bez względu na geometię kondensatoa Enegia potencjalna naładowanego kondensatoa jest zmagazynowana w polu elektycznym między okładkami kondensatoa 0 E p = C = 1 CU 34 Kondensato z dielektykiem Dielektyk to mateiał izolujący lub plastik Jeżeli pzestzeń pomiędzy okładkami kondensatoa jest całkowicie wypełniona mateiałem dielektycznym, to pojemność tego kondensatoa C zwiększa się w stosunku do jego pojemności w póżni (lub w powietzu) o czynnik ówny względnej pzenikalności g tego mateiału, któy jest liczbą większą od 1 W obszaze całkowicie wypełnionym dielektykiem wszystkie ównania elektostatyki zawieające stałą elektyczną g 0 muszą być zmodyfikowane pzez zamianę g 0 na wielkość g g 0 Gdy mateiał dielektyczny jest umieszczony w zewnętznym polu elektycznym, powstaje w nim wewnętzne pole elektyczne, któe jest skieowane pzeciwnie do pola zewnętznego, co edukuje watość natężenia pola elektycznego wewnątz tego mateiału Wstawienie dielelektyka do kondensatoa powoduje pojawienie się na jego powiezchni indukowanego ładunku i zmniejszenie natężenia pola elektycznego istniejącego pomiędzy jego

27 34 Kondensato z dielektykiem 171 okładkami Ładunek indukowany jest mniejszy niż ładunek swobodny na okładkach kondensatoa W obecności dielektyka pawo Gaussa można uogólnić do postaci ε0 ε E ds =, gdzie oznacza ładunek swobodny Indukowany ładunek powiezchniowy jest uwzględniony pzez wstawienie pzenikalności elektycznej g pod znak całki Zadania 1 Dwa metalowe pzedmioty mają całkowite ładunki +70 pc i!70 pc, co powadzi do óżnicy potencjałów 0 V między nimi a) Jaka jest pojemność układu? b) Jeśli ładunki zmienimy na +00 pc i!00 pc, to jaka będzie pojemność? c) Jaka będzie wówczas óżnica potencjałów? Kondensato płaski ma kołowe okładki o pomieniu 8, cm umieszczone w odległości 1,3 mm od siebie a) Obliczyć jego pojemność b) Jaki ładunek znajdzie się na okładkach, jeżeli pzyłożymy do nich óżnicę potencjałów 10 V? 3 Jaka jest pojemność elektyczna kopli powstałej pzez połączenie dwóch kopli tęci o pomieniu R = mm? 4 Ile kondensatoów o pojemności 1 :F tzeba połączyć ównolegle, aby po pzyłożeniu óżnicy potencjałów 110 V zmagazynować ładunek 1 C? 5 Każdy z nienaładowanych kondensatoów na ys 33 ma pojemność 5 :F Po zamknięciu klucza pojawiła się na nich óżnica potencjałów 400 V Jaki ładunek pzepłynął pzez ampeomiez A? Rys 33 Zadanie 5 6 Znaleźć pojemność ównoważną układu kondensatoów pzedstawionego na ys 34 Pzyjąć C 1 = 10 :F, C = 5 :F i C 3 = 4 :F 7 Na ys 34 óżnica potencjałów U = 100 V jest pzyłożona do układu kondensatoów o pojemnościach C 1 = 10 :F, C = 5 :F i C 3 = 4 :F Jeśli kondensato 3 doznaje pzebicia elektycznego i staje się ównoważny pzewodowi elektycznemu, to jaki jest wzost a) ładunku na kondensatoze 1,

28 17 XXIII Pojemność elektyczna b) óżnicy potencjałów na kondensatoze 1? Rys 34 Zadanie 6 i 7 8 Jaka pojemność jest potzebna do zmagazynowania enegii 10 kwh, gdy óżnica potencjałów wynosi 1000 V? 9 Kondensatoy o pojemnościach :F i 4 :F są połączone ównolegle i jest do nich pzyłożona óżnica potencjałów 300 V Obliczyć całkowitą enegię zmagazynowaną w kondensatoach 10 Kabel koncentyczny (współosiowy) używany w linii pzesyłowej ma pomień wewnętzny 0,1 mm i pomień zewnętzny 0,6 mm Obliczyć pojemność kabla pzypadającą na met jego długości Założyć, że pzestzeń między pzewodnikami jest wypełniona polistyenem o pzenikalności elektycznej względnej g =,6 11 Mając kondensato powietzny o pojemności 7,4 pf, chcemy go pzekształcić w kondensato mogący zmagazynować enegię 7,4 :J pzy maksymalnej óżnicy potencjałów 65 V Jaka powinna być pzenikalność elektyczna względna g użytego dielektyka? 1 Kondensato płaski ma pojemność 100 pf, pole powiezchni okładek 100 cm i szczelinę między okładkami wypełnioną całkowicie miką (g = 5,4) Dla óżnicy potencjałów 50 V obliczyć: a) watość natężenia pola elektycznego E w mice, b) watość ładunku swobodnego na okładkach, c) watość indukowanego ładunku powiezchniowego w mice

29 XXIV PRĄD ELEKTRYCZNY I OPÓR ELEKTRYCZNY 41 Pąd elektyczny Natężenie pądu elektycznego I płynącego w pzewodniku jest zdefiniowane jako stosunek I d =, dt gdzie d oznacza ilość dodatniego ładunku, któy pzepływa w czasie dt Kieunek płynącego pądu zgodnie z pzyjętą umową jest kieunkiem pzepływu ładunku dodatniego, chociaż zwykle tylko elektony pzewodnictwa mogą pouszać się Natężenie pądu I (wielkość skalana) jest związane z gęstością pądu J (wielkością wekto- ową) elacją I = J ds, gdzie ds oznacza wekto postopadły do elementu powiezchni o polu ds, a całka jest obliczana po powiezchni dowolnego pzekoju pzez pzewodnik Gęstość pądu J ma taki sam kieunek jak pędkość pouszających się nośników, jeśli są one dodatnie, a w pzypadku nośników naładowanych ujemnie kieunek pzeciwny Gdy w pzewodniku jest wytwazane pole elektyczne o natężeniu E, to nośniki ładunku (w założeniu dodatnie) nabieają pędkości (zwanej pędkością unoszenia) v d w kieunku wektoa E Pędkość ta jest zwiana z gęstością pądu zależnością J = ( ne) v d, gdzie iloczyn ne oznacza gęstość ładunku nośników (n oznacza liczbę nośników na jednostkę objętości, a e wspólny ładunek nośników) 4 Opó elektyczny i opó elektyczny właściwy Opó elektyczny (ezystancja) R pzewodnika zdefiniowany jest wzoem R = U, I gdzie U oznacza óżnicę potencjałów na końcach pzewodnika, a I natężenie pądu Opó właściwy (ezystywność) D i pzewodność właściwa (konduktywność) F mateiału są związane elacją 1 E ρ = = σ J,

30 174 XXIV Pąd elektyczny i opó elektyczny gdzie E oznacza watość natężenia pzyłożonego pola elektycznego, a J watość gęstości pądu Natężenie pola elektycznego i gęstość pądu są zwiane z opoem właściwym zależnością E = ρ J (61) Opó R pzewodnika o długości L i jednoodnym pzekoju popzecznym wynosi R L = ρ, S gdzie S oznacza pole pzekoju popzecznego Opó właściwy D dla większości mateiałów zmienia się waz z tempeatuą Dla wielu mateiałów, także dla metali, związek między opoem właściwym i tempeatuą T ma w pzybliżeniu postać ρ ρ0 = ρ0α( T T0), gdzie T 0 oznacza tempeatuę odniesienia, D 0 opó właściwy w tempeatuze T 0, a " oznacza współczynnik opou właściwego mateiału Mówimy, że dane ciało (pzewodnik, oponik lub inny element obwodu) spełnia pawo Ohma, jeśli natężenie pądu jest wpost popocjonalne do óżnicy potencjałów pzyłożonych do ciała, co można też wypowiedzieć, że jego opó R = U / I jest niezależny od pzyłożonej óżnicy potencjałów U Istotą pawa Ohma jest to, że wykes zależności natężenia I od óżnicy potencjałów U jest liniowy Pawo Ohma można uogólnić dla mateiałów pzewodzących kozystając ze wzou (61): mateiał pzewodzący spełnia pawo Ohma, gdy opó właściwy mateiału nie zależy od watości i kieunku pzyłożonego pola elektycznego 43 Moc w obwodach elektycznych, półpzewodniki i nadpzewodniki Moc elektyczna P, czyli ilość enegii pzenoszonej w jednostce czasu w danym pzewodniku, na któym utzymuje się pzyłożona óżnica potencjałów U, wynosi P = IU Dla oponika wzó ten można też zapisać w postaci P = I R = U R Półpzewodniki są mateiałami z małą liczbą elektonów pzewodnictwa, ale mogą stać się pzewodnikami, gdy są domieszkowane z innymi atomami, któe dostaczają swobodnych elektonów Z kolei nadpzewodniki są mateiałami, dla któych opó elektyczny zanika w niskich tempeatuach Zadania 1 Ile a) kulombów ładunku, b) elektonów pzewodnictwa

31 43 Moc w obwodach elektycznych, półpzewodniki i nadpzewodniki 175 pzepływa w ciągu 4 minut pzez każdy pzekój pzewodu, w któym płynie pąd o natężeniu 5 A? Bezpiecznik w obwodzie elektycznym jest dutem, któy dobiea się tak, aby stopił się i otwozył obwód, gdy natężenie pądu pzekoczy pewną okeśloną watość Załóżmy, że mateiał zastosowany w bezpieczniku topi się, gdy gęstość pądu wynosi 440 A / cm Jaka powinna być śednica walcowego dutu dla bezpiecznika, któy oganicza pąd o natężeniu 0,5 A? 3 W ducie chomonikielolinowym (czyli wykonanym ze stopu nikiel-chom-żelazo używanego powszechnie w elementach gzejnych) o długości 1 m i polu pzekoju popzecznego 1 mm pzy óżnicy potencjałów V pzyłożonej do jego końców płynie pąd o natężeniu 4A Obliczyć pzewodność właściwą F chomonikieliny 4 Ile wynosi opó właściwy pzewodu o śednicy 1 mm, długości m i opoze 50 ms? 5 Do ogzewacza pokojowego, któego opó (gdy jest goący) wynosi 14 S, pzyłożono óżnicę potencjałów 10 V a) Z jaką mocą enegia elektyczna jest zamieniana na enegię temiczną? b) Jaki jest koszt działania ogzewacza w ciągu 5 h, gdy cena wynosi 0,3 zł / kwh? 6 Nieznany oponik podłączono do biegunów źódła pądu o óżnicy potencjałów 3 V Enegia ozpasza się w nim z szybkością 0,54 W Ten sam oponik podłączono następnie do biegunów źódła pądu o óżnicy potencjałów 1,5 V Z jaką szybkością ozpasza się teaz enegia?