KO OF Szczecin:

Transkrypt

1 XXXI OLIMPIADA FIZYCZNA (1981/198) Stopień III, zaanie teoretyczne T Źróło: Nazwa zaania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiay Fizycznej; Anrzej Kotlicki; Anrzej Naolny: Fizyka w Szkole, nr 5, 198; Anrzej Naolny, Krystyna Pniewska: Olimpiaa Fizyczna XXIX XXXI WSiP, Warszawa 1986, str Spaający samochó położenie w momencie upaku Dynamika rzut poziomy, spaek, czas spaania, prękość kątowa, bryła sztywna, moment sił, śroek ciężkości, masy, energia kinetyczna, potencjalna, przyspieszenie kątowe, twierzenia Steinera, moment bezwłaności Zaanie teoretyczne T, zawoy III stopnia, XXXI OF Samochó jezie z prękością = 40 km/h prostą, poziomą rogą, która urywa się równą, prostopałą o kierunku rogi krawęzią na przepaścią o głębokości h = 13 m Jaka bęzie pozycja samochou w momencie uerzenia o no przepaści, jeśli ane są: masa samochou m = 840 kg oległość mięzy przenią i tylną osią samochou = m moment bezwłaności samochou wzglęem osi poziomej, prostopałej o kierunku ruchu i przechozącej przez śroek ciężkości, równoległy o obu osi samochou I = 750 kg m przyspieszenie ziemskie g = 9,8 m/s Czy wynik zależy o twarości resorów i jak (miarą tej twarości jest wielkość ugięcia resoru po wpływem jenostkowej zmiany obciążenia samochou)? Przyjmij, że masa kół jest barzo mała w porównaniu z masą samochou i zaniebaj opór powietrza Rozwiązanie Skłaowa pozioma prękości śroka masy samochou pozostaje przez cały czas spaku równa Spaający samochó przez czas t (Δt = 0,18 s) wisi przenimi kołami w powietrzu, poczas gy tylne koła jeszcze otykają położa (rys 1a) Po wpływem ziałania na samochó momentu siły, przez ten czas nabywa on prękości kątowej ω, która alej pozostaje stała a) b) Rys 1 Oprac PDFiA US, 006, re T M Molena - 1/5 - wwwyaktykafizykaszcpl

2 Załóżmy wstępnie, że kąt δ o jaki samochó pochyli się w czasie Δt (rys1b), jest tak mały, iż możemy przyjąć cos δ = 1 jak się okaże, założenie to jest la poanego zestawu anych obrze spełnione (δ = 5, cos δ = 0,996) Aby obliczyć prękość kątową ω należy znać wartość siły F (rys 1a), jaką położe poprzez resory ziała na karoserię samochou (masę kół się zaniebuje); ramię ziałania tej siły wzglęem śroka masy jest znane Aby wyznaczyć wartość siły F zastosujemy wie różne, uproszczone metoy 1 Przybliżenie miękkich resorów Ponieważ śroek ciężkości samochou jest równoległy o obu osi, wobec tego, w czasie jazy po roze, resory obu osi ziałają na karoserię jenakową siłą, równą la każej osi: 1 m g Zakłaamy, że w czasie Δt zmiana ugięcia tylnych resorów jest na tyle mała, iż siła F pozostaje przez ten czas praktycznie stała taka, jaka była na roze prze przepaścią, a więc 1 F mg Równanie ruchu obrotowego samochou ma w tym przypaku postać: 1 I mg, gzie ) oznacza przyspieszenie kątowe samochou w tym przybliżeniu Jest ono więc równe: mg ( 1) () Przybliżenie sztywnych resorów Samochó traktujemy jako bryłę sztywną Wypisujemy równanie ruchu śroka masy: ma = mg F, (3) oraz równanie ruchu obrotowego wzglęem osi przechozącej przez śroek masy: I () F, (4) gzie ε () oznacza przyspieszenie kątowe samochou w tym przybliżeniu (Oba równania nie zależą o wysokości położenia śroka masy samochou wzglęem płaszczyzny obu osi) Przyspieszenia a oraz ε ( są powiązane ze sobą wzorem: () (5) Z równań (3), (4), (5) wyznaczamy przyspieszenie kątowe samochou: 1 g 4 I () 1 (6) m Ostatni wzór można także otrzymać, posługując się wyznaczonym za pomocą twierzenia Steinera momentem bezwłaności samochou wzglęem osi tylnych kół i momentu siły ciężkości samochou mg wzglęem tej osi Należy jenak zwrócić uwagę, że metoa ta barzo Oprac PDFiA US, 006, re T M Molena - /5 - wwwyaktykafizykaszcpl

3 się komplikuje, jeśli śroek masy nie znajuje się na poziomie tej osi, bowiem ukła związany z tylną osią nie jest wówczas ukłaem inercjalnym Czas spaania samochou - o chwili t 1 oerwania się tylnych kół o położa o chwili t uerzenia o no przepaści - wyraża się wzorem (spaek swobony) H t, (7) g gzie H jest różnicą poziomów śroka masy samochou, przebytą w czasie t = t t 1 (rys) Rys Kąt α, jaki bęzie tworzyła połużna oś samochou wzglęem poziomu w chwili t, obliczamy jako: t Ponieważ przyspieszenie kątowe ε jest w czasie Δt (la obu przybliżeń) stałe, możemy napisać: 1 1 t t t t t t Po uwzglęnieniu wzorów i (7) mamy: H (8) g Postawiając teraz o wzoru (8) wyrażenia () oraz (6) otrzymujemy opowienio la wóch przybliżeń: oraz mg H g (9) Oprac PDFiA US, 006, re T M Molena - 3/5 - wwwyaktykafizykaszcpl

4 1 g 4 ( ) 1 I H m g (10) Należy teraz przyjąć pewne założenia co o wielkości ocinków a i b (rys ) Sensownym wyaje się przyjęcie, że b a = 1 m, wówczas H = h 1 m = 1 m Po postawieniu tej wartości H o wzorów (9) i (10) uzyskujemy opowienio α = 93, α () = 89 Wobec przybliżonego charakteru zaania (założenia upraszczające) można więc na postawione w nim pytanie opowiezieć, że samochó w chwili uerzenia o no przepaści bęzie miał pozycję pionową (postawienie H = h nie zmieni istotnie tego wniosku) Drugie pytanie zaania otyczy wpływu twarości resorów Wiać, że la poanego zestawu anych, miękkim resorom opowiaa większe przyspieszenie kątowe ω, a zatem i większy kąt α Porównując jenak ze sobą wzory () i (6) możemy zauważyć, że wynik ten nie jest ogólnie słuszny, lecz zależy o wartości stosunku (gy jest on równy jeności, m wzory () i (6) pokrywają się ze sobą) W naszym przypaku zachozi 1 i tylne resory m ulegną w czasie Δt pewnemu rozprężeniu Obliczenia (których wykonanie pozostawiamy Czytelnikowi) ają wynik, że resory rozprężą się w tym czasie o 1 cm; nie powinno to w znacznym stopniu zmienić siły ich oziaływania na karoserię, która uniesie się nieco w górę W przypaku gy 1, tylne resory się ugną Opisane efekty bęą tym większe, im m większa bęzie różnica stosunku wzglęem jeności Zaanie to można także rozwiązać stosując przybliżenie bryły sztywnej i korzystając z prawa zachowania energii 3 Rozwiązanie energetyczne (przybliżenie bryły sztywnej) W czasie Δt, jaki upływa mięzy oerwaniem się o progu przeniej i tylnej pary kół, następuje przyrost energii kinetycznej samochou o wartość: 1 1 Ek m s I (11) Pierwszy człon powyższego wyrażenia przestawia energię kinetyczną związaną ze skłaową pionową s prękości śroka masy w chwili t 1 (skłaowa pozioma = const, zatem i energia jej opowiaająca jest stała), rugi człon wyraża energię kinetyczną ruchu obrotowego wzglęem śroka masy Powyższy przyrost energii kinetycznej obywa się kosztem energii potencjalnej śroka masy W czasie Δt energia ta ulega zmniejszeniu o wartość: E p mgh, (1) gzie Δh oznacza obniżenie śroka masy równe: t h t, (13) (zakłaamy tu stałość przyspieszenia kątowego ε w czasie Δt) Ze wzorów (1) i (13) wynika, że: mgt Ep (14) 4 Oprac PDFiA US, 006, re T M Molena - 4/5 - wwwyaktykafizykaszcpl

5 Znajźmy teraz związek zachozący mięzy s a ω Jeśli śroek masy S znajuje się na poziomie punktu O, w oległości / o niego (rys 1), związek ten ma postać: s (15) Okazuje się jenak, że zależność (15) jest słuszna także wtey, gy kierunek OS tworzy z poziomem różny o zera kąt Θ, mamy bowiem (l ługość ocinka OS): S h Θ h l sin Θ : t t Θ Θ Po skorzystaniu z (15) wzór (11) przyjmuje postać: 1 m 4 l cos Θ E k I (16) Z przyrównania ΔE k = ΔE p po postawieniu wyrażeń (14) i (16) otrzymujemy: co jest równoważne (6) 1 g I 4 1 t m Uwagi Często powtarzającym się błęem w rozwiązaniu energetycznym było nieuwzglęnienie m w wyrażeniu na ΔE k członu s Oprac PDFiA US, 006, re T M Molena - 5/5 - wwwyaktykafizykaszcpl