CHAOS A NIEOBLICZALNOŚĆ

Transkrypt

1 FILOZOFIA I NAUKA Studia filozoficze i iterdyscypliare Tom 2, 214 Adrzej Wilk 1 Istytut Filozofii i Socjologii PAN CHAOS A NIEOBLICZALNOŚĆ STRESZCZENIE Tekst jest poświęcoy problemowi implemetacji ieobliczalości w świecie realym. Podstawowe pytaie jest takie: czy logicza ieefektywość ma swoją realizację w świecie fizyczym, albo, czy iealgorytmiczość posiada swój fizyczy/materialy ośik? Kokluzja jest zaś astępująca: algorytmiczie ziterpretowaa teoria chaosu determiistyczego korespoduje z przypadkową/ierozstrzygalą częścią matematyki. Trzeba przy tym jedak stale mieć a względzie, że zawsze jest to ierozstrzygalość, iealgorytmiczość, przypadkowość z modelu, w którym dokoujemy deskrypcji. Słowa kluczowe: teoria obliczalości, teoria chaosu, teza Churcha. Odosząc się do ierozstrzygalości w świecie fizyczym postawić trzeba astępującą kwestię: czy rzeczywiście mamy do czyieia z ierozstrzygalością w świecie fizyczym, czy tylko z ierozstrzygalością w uiwersum eksperymetalym, do którego docieramy poprzez matematyczy model? W iych słowach, czy ieobliczalość płyie z atury, czy z modelu, w którym dokoujemy deskrypcji? Jak wiadomo, wszystkie wystarczająco bogate modele matematycze są ierozstrzygale. W szczególości idzie tu o ieelemetarą arytmetykę liczb rzeczywistych, którą wykorzystujemy do opisu fizyczych układów dyamiczych. W tym obszarze fudametalą rolę odegrało odkrycie przez Stefaa Baacha i Staisława Mazura ieobliczalych fukcji aalityczych sigum x oraz iteger part x, które wyprowadzają poza klasę ciągów liczb rzeczywistych obliczalych. Warto przypomieć, że rezultat Baacha i Mazura z lat jest rzeczywistym rówoważikiem twierdzeia Kurta Gödla o iezupełości. W ajwiększym skrócie, jeżeli zdaie Gödla mówi o sobie, że jest iedowodliwe, to zdaie Baacha i Mazura, czyli ciąg liczb rzeczywistych obliczalych jest sformułowae w taki sposób, że mówi osobie, że jest ieobliczale (zbieżość ciągu 1 Adres Autora: awilk@ifispa.waw.pl

2 324 Adrzej Wilk do graicy jest ieefektywa/ieobliczala). 2 Sytaktycze struktury obu postępowań dowodowych wykorzystujących starożyty paradoks kłamcy są tu ekwiwalete. Opierając się a wyiku Baacha i Mazura amerykańscy matematycy Pour-El i Richards w latach osiemdziesiątych pokazali, że rekurecyje rówaia ruchu przy rekurecyjych warukach początkowych mogą mieć ierekurecyje rozwiązaia. 3 Przebieg obliczeń ie jest więc uikalie zdetermioway przez wejście i rekurecyje relacje zawarte w zbiorze istrukcji. Dwa róże wyjścia mogą być otrzymae z tego samego wejścia przy różych komputacjach. Ujmując metaforyczie, start może być rekurecyjy, a lądowaie i tak będzie ieobliczale. Jeżeli sprawa dotyczy ieobliczalości w świecie fizyczym, to trzeba też wspomieć o tezie Churcha-Turiga. Staowi oa, że formala specyfikacja fukcji (częściowo) rekurecyjej korespoduje z ieformalym pojęciem efektywego procesu obliczeiowego. Wejście komputacji korespoduje z argumetem fukcji. Wyjście korespoduje z wartością fukcji. Heurystycze pojęcie efektywych obliczeń korespoduje z precyzyjym formalie pojęciem fukcji częściowo-rekurecyjej. Teza Churcha-Turiga. Algorytm korespoduje z fukcją częścioworekurecyją. Cokolwiek wydaje się być efektywie obliczale może być przeprowadzoe w zakresie (działaia) fukcji częściowo-rekurecyjych. W drugą stroę, poprzez asze rozumieie mechaiczego obliczaia każda fukcja częściowo-rekurecyja korespoduje z algorytmem. Iymi słowy, fukcja rekurecyja jest matematyczym obiektem, który może być zdefiioway przez algorytm. Termiy efektywie obliczaly, mechaiczie obliczaly, obliczaly, rekurecyjie przeliczaly mogą być zatem używae zamieie. Jak łatwo zauważyć, teza Churcha- Turiga posiada aspekt ewolucyjy odosi się oa do procesów obliczeiowych, które są realizowale w świecie fizyczym. Ozacza to, że ta teza może się zmieiać w czasie tak jak i oe. Iymi słowy, każda zmiaa rozumieia pojęcia efektywych obliczeń wpłyie a zmiaę rozumieia tezy Churcha-Turiga. W orygiale teza Churcha brzmi astępująco: twierdzi się, że pojęcie fukcji efektywie obliczalej powio zostać zidetyfikowae z pojęciem fukcji rekurecyjej, gdyż ie wiarygode defiicje efektywej obliczalości okazały się dawać pojęcia albo rówoważe, albo słabsze od rekurecyjości. 4 2 S. Mazur, Computable Aalysis, Rozprawy Matematycze XIII, PWN, Warszawa M. B. Pour-El, J. I. Richards, Computability ad Nocomputability i Classical Aalysis, Tras. Amer. Math. Soc., 275, 1983, ; oraz: M. B. Pour-El, J. I. Richards, Computability i Aalysis ad Physics, Spriger, Berli Heidelberg A. Church, Abstract, A Usolvable Problem of Elemetary Number Theory, Bulleti of the America Mathematical Society, 41, 1935, s ; cyt. za: A. Olszewski, Teza Churcha, Uiversitas, Kraków 29, s. 19.

3 Chaos a ieobliczalość 325 Stwierdzeie ie wiarygode defiicje świadczy o tym, że Church widział w tezie główie defiicję o charakterze idetyczościowym. Jak wiadomo, teza Churcha ie spełia waruków twierdzeia matematyczego, bo pojęcie mechaiczej procedury ie jest formale. Wykluczoy jest zatem jej dowód. W dyskusji wokół relacji mechaicza obliczalość rekurecyjość ajczęściej też padają zwroty: jak do tej pory, dotąd, dotychczas Adrzej Mostowski pisze: Z atury zagadieia jest to tylko hipoteza. Dowodu jej podać ie moża, bo trzeba by powiedzieć ściśle, co zaczy efektywy przepis dla rozwiązaia jakiegoś zagadieia. Teza Churcha ie została dotąd podważoa. Każde efektywie wykoale postępowaie dawało się dotąd sprowadzić do fukcji obliczalych. 5 Słowa te mogą sugerować empiryczy charakter tezy, czyli zdaia, które wymaga ieskończoego potwierdzaia. Jeżeli idzie o Gödla, to traktował tezę Churcha jako zasadę heurystyczą: Nie może to zostać dowiedzioe, poieważ pojęcie skończoego obliczaia ie jest zdefiiowae, ale może służyć jako zasada heurystycza. 6 Co ciekawe, Gödla do tezy przekoała dopiero aaliza mechaiczego obliczaia przeprowadzoa przez Turiga. 7 Z uwagi a to, że tezę Churcha- Turiga wykorzystuje się w dowodzeiu, powstaje problem jej mocy. Wiadomo, że istote użycie tezy ma miejsce w dowodach egatywych. Jeżeli bowiem stwierdzimy, że daa fukcja ie jest rekurecyja, to jest oczywiste, że ie jest obliczala. 8 Co się tyczy empiryczości tezy Churcha-Turiga, to moża ją rozumieć dwojako: 1. Jest to hipoteza empirycza, której kosekwecje są obserwowale/sprawdzale. 2. Obliczaie fukcji realizuje się przez system fizyczy, który zajmuje skończoą przestrzeń, fukcjouje w skończoym czasie i zgodie z prawami fizyki. Warto zazaczyć, że aspekt empiryczości akcetują matematycy, którzy zajmują się sprawą realizowalości obliczalości, czyli rzeczywistymi maszyami matematyczymi (Mostowski). Empirycza iterpretacja tezy ie jest jedak jedyą. Według Romaa Murawskiego i Jaa Woleńskiego traktuje się też to stwierdzeie matematycze jako: twierdzeie albo aksjomat defiicję eksplikację w sesie Carapa 5 A. W. Mostowski, Liczby aturale i fukcje obliczale, PZWS, Warszawa 1971, s K. Gödell, Poscriptum, w: M. Davis (red.), The Udecidable Propositios, Usolvable Problems, ad Computable Fuctios, cyt. za: A. Olszewski, Teza Churcha, Uiversitas, Kraków 29, s A. Turig, O Computable Numbers with a Applicatio to the Etscheidugsproblem, Proc. Lod. Math. Soc., Ser. 2, 42, Zob. R. Murawski, J. Woleński, The Status of Church s Thesis, w: A. Olszewski, J. Woleński, J. Robert (red.), The Church s Thesis after 7 Years, Otos Verlag 26.

4 326 Adrzej Wilk Ci dwaj filozofowie opowiadają się za jeszcze iym rozwiązaiem: eksplikacje potoczych (stadardowych) sposobów użycia wyrażeń polegają a ich ormalizacji poprzez precyzyje środki pojęciowe [ ]. Normalizacje w tym sesie zwykle odpowiadają określoym ituicjom i to chroi je przed arbitralością, choć waruki ich poprawości pozostają częściowo otwarte. 9 Matematyce potrzeba jest teza Churcha, dodają autorzy, bo ie wszystkie wyiki moża uzyskać stosując wyłączie formalizm teorii rekursji. W aparacie fukcji rekurecyjych ajwyraźiej ie do końca zawiera się całość matematyczych ituicji. Istote dla as w tej chwili jest jedak to, że teza Churcha-Turiga zawiera składową ierozstrzygalą, miaowicie, że algorytm ie musi być zdefiioway dla wszystkich wartości wejściowych. Jeżeli zatem ktoś przyjmuje, że Uiwersum jest rodzajem determiistyczej maszyy liczącej, czyli jest wewętrzie algorytmicze, to musi respektować fakt, ze istieją procesy/algorytmy ieefektywe. 1 Warto o tym pamiętać, poieważ często odkrycie ieefektywości w aturze traktuje się jako falsyfikator tezy Churcha- Turiga. Dzieje się tak, zdaiem iektórych, dlatego że auka, przyajmiej od czasów Newtoa, jest w dużej mierze oparta a idetyfikacji i matematyczej deskrypcji algorytmiczej zawartości Uiwersum. 11 Z takiej diagozy wyciąga się zazwyczaj co ajmiej dwa wioski. Pierwszy, że całe Uiwersum jest rodzajem skończoego determiistyczego automatu. Drugi, że iteresuje as tylko to, co w tym Uiwersum jest mechaicze/determiistycze/rekurecyje. Pierwszy ma charakter otologiczy, a drugi epistemologiczy. Rzecz jasa, w drugim przypadku dopuszczamy możliwość, że oprócz algorytmiczej zawartości Uiwersum istieje jeszcze jakaś jego ia zawartość, czyli zawartość iealgorytmicza. Stale trzeba jedak mieć a względzie, iż zakładając, że świat realy składa się ze złożoych algorytmów, jedocześie przyjmujemy, że prawa przyrody są mechaistycze, więc obliczale/rekurecyje w sesie tezy Churcha- Turiga. Co zatem będzie się działo z aszym modelem świata fizyczego, gdy zarejestrujemy obecość zjawisk ie podlegających stadardowej digitalej reprezetacji? Iymi słowy, gdy wykryjemy zjawiska ie posiadające cech wyjątkowych, czyli posiadającyce charakterystykę przypadkową? Odpowiedź jest prosta: będziemy mieli kłopoty z tezą Churcha-Turiga. W tym miejscu potrzebe są wyjaśieia techicze. Jak się okazuje, iektóre fizycze układy dyamicze moża specyfikować wykorzystując arrację teorii algorytmiczej iformacji. Dokładie rzecz biorąc, algorytmiczie da się specyfikować 9 S. Murawski, J. Woleński, op. cit., s Termi wewętrzie deotuje cechę, która ie płyie z modelu. 11 S. Barry Cooper, P. Odifreddi, Icomputability i Nature, w: Computability ad Models, Kluwer, Dordrecht 23, s

5 Chaos a ieobliczalość 327 układy chaotycze. Należy zacząć od tego, że zbiory obliczae przez maszyę Turiga są ekwiwalete zbiorom rozstrzygalym przez algorytm. Matematycze pojęcie Marti-Löfa przypadkowości odpowiada ituicyjemu pojęciu przypadkowości zbioru Z, które ma dwa aspekty: Z ie posiada (ie spełia) wyjątkowych własości. 2. Z jest trudy do deskrypcji. Co do puktu 1: Niech zbiór Z powstaje w wyiku idealego procesu losowego, który przebiega w czasie i dostarczy ieskończeie wiele bitów (,1). Bity są iezależe. Zero i jedyka mają to samo prawdopodobieństwo 1 2, jak przy podrzucaiu idealą moetą. Prawdopodobieństwo, że ciąg x jest x segmetem początkowym zbioru Z jest rówe 2. Własości wyjątkowe reprezetowae są przez ull-klasy, w odiesieiu do jedostajej miary λ w przestrzei Catora. Należy się tu wyjaśieie, że zbiory liczb aturalych moża widzieć jako atomowe obiekty i idetyfikować z ieskończoymi ciągami ad {,1}. Ciągi te są elemetami przestrzei Catora {,1}, zwykle N N N deotowaej przez 2. Podzbiory 2 azywa się klasami, dla odróżieia od zbiorów liczb. N DEFINICJA 1. Klasę A 2 azywamy ull-klasą wtedy, gdy λ A =. Jeżeli 2 N A jest ull, to mówimy, że A jest coull. Przykładem mogą być własości wyjątkowe P i Q. Pierwsza staowi, że wszystkie bity a parzystych pozycjach są zerami: P ( Y ) iy (2i) = Druga staowi, że jest przyajmiej dwa razy więcej zer iż jedyek w graicy: Q ( Y ) limif# { i < : Y ( i) = }/ 2 / 3 Odpowiadającymi klasami są ull-klasy. Odtąd, zgodie z ituicją, ie powiy zawierać zbioru przypadkowego. Rodzajem ull-klasy jest 2 klasa. DEFINICJA 2. Niech A 2 k N N oraz 1. (i) A jest wtedy, gdy e1,..., ek, X A y1 y 2,..., QyR( e1,..., ek, y1..., y 1, X y ) gdzie R jest relacją obliczalą, oraz Q jest " " wtedy, gdy jest ieparzyste, oraz Q jest " " wtedy, gdy jest parzyste. 12 P. Marti-Löf, O the Notio of Radomess, w: Ituitioism ad Proof Theory, North- Hollad Publ. Comp., Amsterdam Lodo 1973, s

6 328 Adrzej Wilk (ii) A jest wtedy, gdy dopełieiem A jest, tz. e1,..., ek, X A y1 y 2,..., QyS( e1,..., ek, y1,..., y 1, X y ) gdzie S jest relacją obliczalą i Q jest " " wtedy, gdy jest ieparzyste, oraz Q jest " " wtedy, gdy jest parzyste. Relacja jest arytmetycza wtedy, gdy jest ( X deotuje segmet początkowy X ) y dla pewego. Na przykład, 2 klasa ma formę { X : y1 y2s( y1, X y )}, a 2 3 klasa ma formę { X : y1 y2 y3r( y1, y2, X y )}, gdzie S i R są relacjami obliczalymi ad. 2. Obiekt przypadkowy ie posiada wzoru. Jest iezorgaizoway. Naszemu ituicyjemu pojęciu przypadkowości odpowiada ituicyje pojęcie trudy do deskrypcji. Trzeba zaotować, że istieją systemy deskrypcji zwae optymalymi maszyami, które są w staie rywalizować z każdą ią maszyą, więc opisać każdy możliwy ciąg symboli. 14 Zgodie z tym ujęciem, pojęcie trudy do deskrypcji moża sformalizować jako ie podlegający kompresji, w odiesieiu do optymalej maszyy. Nieformalie rzecz biorąc, ciągi ie podlegające kompresji daych posiadają tę samą własość, której wymagamy od ciągów przypadkowych. Dla zbiorów pojęcie trudy do deskrypcji jest jedak trudiejsze, poieważ każdy system deskrypcji opisuje tylko obliczalie wiele zbiorów. Należy więc wprowadzić pojęcie deskrypcji domkiętej. Typ deskrypcji domkiętej reprezetują właśie ullklasy i. Kokluzja jest astępująca: zbiór jest trudy do deskrypcji 1 2 wtedy, gdy ie dopuszcza deskrypcji domkiętej, powiedzmy w sesie ull 2 klasy. Jeżeli dopuszcza deskrypcję a przykład w sesie ull 1 klasy, to ie jest trudy do deskrypcji. Dalej, waruki 1 i 2 wzięte razem charakteryzują pojęcie testu a przypadkowość, a w rezultacie matematycze pojęcie przypadkowości: Z jest przypadkowy wtedy, gdy przechodzi wszystkie testy daego typu. Pojęcie testu (formale). Aby podać defiicję Marti-Löfa-testu a przypadkowość potrzebe są dwa prelimiarye fakty: N FAKT 1 (zbiory otwarte). R 2 jest rekurecyjie przeliczalym zbiorem otwartym wtedy, gdy R = W ] dla pewego. [ e 13 Zob. A. Nies, Computability ad Radomess, Oxford Logic Guides 51, Oxford Uiversity Press Optymala maszya geeruje ciąg a wtedy, gdy a wejściu dostaje jego deskrypcję.

7 Chaos a ieobliczalość 329 ( W e = dziedziie ( Φ e ) ; Φ e deotuje fukcję częściowo-rekurecyją o ideksie e ) 15 N FAKT 2. A 2 jest ull wtedy, gdy istieje ciąg ( Gm ) m N zbiorów otwartych taki, że lim λ = oraz A I. 16 (klasa m G m m Gm B I m Gm jest borelowska oraz λ B = ) 17 Defiicja Marti-Löfa-testu efektywizuje określeie ull-klasy z FAKTU 2. DEFINICJA 3. (i) Marti-Löfa-test jest rekurecyjie przeliczalym ciągiem ( Gm ) m N takim, że m m Nλ G m (ii) Zbiór Z N ie przechodzi testu wtedy, gdy Z I m Gm, w przeciwym razie Z przechodzi test. (iii) Z jest Marti-Löf przypadkowy wtedy, gdy Z przechodzi każdy Marti-Löfa-test. Nieformalie ujmując, Marti-Löfa-test a przypadkowość wychwytuje strukturę, porządek, wzór. Jeżeli zbiór ich ie posiada, to jest przypadkowy. Bądź iaczej: jeżeli zbiór ie ależy do p. borelowskiej 2 ull-klasy, to jest przypadkowy. 19 Aalogiczie jest w przypadku ciągu/liczby rzeczywistej. W rezultacie ciąg/liczba rzeczywista ie podlega kompresji. Dodać jedak trzeba, że testy same w sobie są obiektami, czyli że tylko obliczalie wiele ull-klas jest daych przez testy. W dalszej kolejości musimy pokazać, że (algorytmicza) przypadkowość pociąga ieobliczalość. W tym celu przedstawimy wpierw algorytmiczą parafrazę twierdzeia Gödla o iezupełości. TWIERDZENIE 1. Niech L będzie teorią aksjomatyczą zawierającą arytmetykę (Peao), której arytmetycze kosekwecje są prawdziwe. (i) Istieje stała c L taka, że wewątrz L żade zdaie postaci " H ( ) > C " ie jest dowodliwe. L (ii) Niech #( L ) będzie rekurecyjie przeliczalym ideksem L. Wtedy istieje pewa stała c ' iezależa od L taka, że wewątrz L żade zdaie postaci " H ( ) > H (#( L)) + c' " ie jest dowodliwe. (iii) Istieją szczególe teorie, których aksjomaty mają zawartość iformacyją H ( aksjomatów) = m + O(1), w których jest możliwość 15 Dowód w: A. Nies, Computability ad Radomess, op. cit., s Dowód w: A. Nies, Computability ad Radomess, op. cit., s Z rodziy wszystkich zbiorów zwartych w przestrzei o pewej strukturze (algebraiczej), poprzez braie przeliczalych sum, różic i przecięć, moża utworzyć zbiory borelowskie. 18 Zbieżość ciągu do graicy musi być efektywa. 19 Zbiory przypadkowe są też azywae ormalymi zbiorami Borela.

8 33 Adrzej Wilk ustaleia wszystkich prawdziwych twierdzeń postaci " H ( x) = k", z k < H ( aksjomatów) + O(1), oraz postaci " H ( x) H ( aksjomatów) + O(1)". 2 Istieją zatem systemy formale o skończoej liczbie aksjomatów, a tym samym skończoej zawartości iformacyjej, które mogą dostarczać obiekty (twierdzeia) o dowolie wysokiej zawartości iformacyjej. Późiej Chaiti dowiódł, że czas obliczeń dla twierdzeń postaci " H ( x) = k", z k < m = H ( aksjomatów) + O(1), oraz " H ( x) m = H ( aksjomatów) + O(1)" jest ieobliczaly. Wiadomość tę przyoszą dwa poiższe twierdzeia. 21 TWIERDZENIE 2 (ograiczeie a czas obliczeń i złożoość obliczeiową). Albo program p staje w cyklu czasowym miejszym iż ( H ( p) + O(1)), albo igdy ie staje. Z tego powodu, jeżeli defiiujemy d ) = max H ( x) = max D( ), to ( * * x x D x d ( ) = ( + O(1)) ( + O(1)) jest miimalym czasem d () przy którym wszystkie programy o złożoości (faktyczie) stają. TWIERDZENIE 3. ie jest efektywie obliczala. Końcowy wiosek jest taki, że gdyby czas obliczeń miał być obliczaly, to musiałby istieć program stopu. Obliczeiowa złożoość związaa ze skończoymi lub ie obiektami jest ieobliczala. Algorytmicza przypadkowość implikuje ieobliczalość. Teraz moża przejść do algorytmiczej specyfikacji chaosu (determiistyczego). Założeiem wyjściowym jest tu hipoteza, że chaos w świecie fizyczym korespoduje z przypadkowością w matematyce. Jest też jase, że dalej kocetrujemy się a pojęciu przypadkowej (ieobliczalej) liczby rzeczywistej. DEFINICJA Liczba rzeczywista r jest Marti-Löf przypadkowa wtedy, gdy ie jest zawarta w dowolym zbiorze ieskończoego rekurecyjie przeliczalego ciągu A i zbiorów iterwałów takim, że miara μ ( A i ) i i jest zawsze miejsza lub rówa 2 [ μ ( Ai ) 2 ]. Czyli, że r jest Marti- Löf przypadkowa wtedy, gdy 2 1 i[ μ ( ) ] i r A ] A i [ i 2 G. J. Chaiti, Algorithmic Iformatio Theory, Cambridge Uiversity Press, Cambridge G. J. Chaiti, Iformatio, Radomess ad Icompleteess, World Scietific, Sigapore Defiicja 4 jest liczbową adaptacją defiicji 3.

9 Chaos a ieobliczalość 331 Ituicję związaą z chaotyczym pojęciem wrażliwości a waruki początkowe werbalizowao w filozofii stosukowo wcześie. Pascal stwierdził, że kształt osa Kleopatry zmieił oblicze świata, a Rousseau zauważył, że ikczema przyczya ma czasami zaskakująco potęże skutki, w sesie wpływu a orgaizację społeczeństwa. 23 Obecie tzw. chaos determiistyczy specyfikuje się przez: (i) efektywie obliczalą/rekurecyją/determiistyczą ewolucję, (ii) własość ieliiowego systemu ewolucji do wykładiczego w czasie rozchodzeia się początkowo bliskich trajektorii, (iii) przypadkowe wartości początkowe. Przypadkowość jest tu defiiowaa jako Marti-Löf przypadkowość. Moża powiedzieć też tak, że jeżeli wartość początkowa jest elemetem cotiuum, to prawdopodobieństwo, iż jest Marti-Löf przypadkowa rówa się jede prawie wszystkie wartości początkowe są przypadkowymi/ieobliczalymi liczbami rzeczywistymi. Ogólie ujmując, idea chaosu opiera się a spostrzeżeiu, że przypadkowość, albo iekompleta iformacja zawarta w wartości początkowej, ujawia się w trakcie ewolucji. Dlatego kryterium specyfikacji chaosu determiistyczego jest obecość odpowiediej ewolucyjej fukcji zdolej odsłoić iformację prawdziwej, lecz iezaej wartości początkowej x. Przypadkowej liczby rzeczywistej właśie. Szczegóły sprawy są raczej domeą fizyki, jedakże, albo tzw. iepewość δ x wartości początkowej, albo korespodująca zmieość wartości początkowej, zwiększa się w czasie. Jako miarę separacji dwóch różych wartości początkowych przyjmuje się wykładik Lapuowa λ. Sceariusz jest zaskakujący, bo efektywie obliczala fukcja dostarcza Marti-Löf przypadkową ewolucję systemu odsłaiając iformację zawartą w Marti-Löf przypadkowej wartości początkowej. Przypadkowość jest jedak pierwotie usytuowaa w wartości początkowej 24. Chociaż dla celu tu postawioego, a precyzyjie, pokazaia, że jest istoty związek między chaosem a ieobliczalością, ie ma właściwie zaczeia, gdzie oa wpierw rezyduje, tylko że w ogóle zalazła miejsce. 25 Możemy więc sformułować astępującą rówoważość: chaos determiistycza przypadkowość 23 B. Pascal, Myśli, Istytut Wydawiczy PAX, Warszawa 1972; oraz J. J. Rousseau, Umowa społecza, BKF, PWN, Warszawa Matematyczy związek między algorytmiczą przypadkowością a wrażliwością a waruki początkowe ustalają twierdzeia Brudo-White a i Pesia; zob. G. Schurz, Kids of Upredictability i Determiistic Systems, w: P. Weigarter, G. Schurz (red.), Law ad Predictio the Light of Chaos Research, Spriger, Berli Istote jest rozróżieie między przypadkowością geerowaą wewętrzie przez ewolucję systemu a przypadkowością z waruków początkowych. Zachowaie w sesie sekwecji a wyjściu może okazać się przypadkowe rówież wtedy, gdy wartości początkowe ie są przypadkowe; zob. S. Wolfram, New Kid of Sciece, Wolfram Media, Ic., 22; oraz: R. W. Batterma, Chaos: Algorithmic Complexity vs. Dyamical Istability; w: Weigarter, Schurz, op. cit., 1996.

10 332 Adrzej Wilk Ozacza to, że determiistycze algorytmy są wykorzystywae do obliczaia zmieych, które faktyczie są matematyczie przypadkowe, oraz że chaos zaczy determiistycza przypadkowość. 26 Jeżeli zatem fizyka opisując iektóre układy dyamicze trafie wykorzystuje algorytmiczą arrację, to mamy implemetowaą w aturze ieobliczalość, bo algorytmicza przypadkowość implikuje ieobliczalość. Każda algorytmicza specyfikacja układu chaotyczego mieści się w pewym schemacie. System dyamiczy (mechaiki klasyczej) jest defiioway przez sta przestrzei S, który zawiera pozycję i prędkość każdej cząstki w trójwymiarowej przestrzei euklidesowej. Przedmiotem aszego zaiteresowaia jest ewolucja systemu z rówań, które są zwykle rówaiami różiczkowymi opisującymi siły działające a cząstkę(i). Rozwiązaiami rówań są fukcje s : T S, które opisują możliwe przesuięcia cząstek w S, w zależości od czasu. Przesuięcia te azywa się też trajektoriami. Czas t i pozycja s w S są parametrami ciągłymi o wartościach rzeczywistych. Dalej, rozpatrujemy tzw. złożoość komputacji, która oblicza sta przyszły s (t) z daego stau początkowego s ( t ). Różicę t t azywa się dystasem predykcji. Niektóre rówaia różiczkowe są całkowale, czyli dopuszczają tak zwaą closed form rozwiązaia. Na przykład rówaie ds / dt = k. s ma kt klasę closed form rozwiązań s ( t) = s. e, które opisują wykładiczy wzrost lub zaik (zależie od tego, czy k jest dodatie, czy ie). Ie rówaia różiczkowe, choćby związae z problemem trzech i więcej ciał, ie są całkowale. Pewe z ich moża rozwiązać aproksymacyjie, astępe ie dopuszczają awet aproksymacyjych closed form rozwiązań. Wchodzą w grę jedyie rozwiązaia puktowe. W tym rozumieiu, że istieje algorytm, który oblicza s ( t + 1) z s ( t ), dla daego rozkładu cotiuous time a przedziały dyskrete. Z matematyczego puktu widzeia różica między closed form a ope form rozwiązaiami polega a tym, że w drugim przypadku fukcja g taka, że s = g( s, ) jest defiiowaa przez g ( s, ) f = ( s ), gdzie f ozacza f iterowaą -razy. Waże jest jedak to, że przy closed form rozwiązaiach złożoość komputacji fukcji s = f (t) ie zależy, lub prawie ie zależy, od dystasu predykcji t1 t. Dla odróżieia, przy ope form rozwiązaiach złożoość komputacji wzrasta zacząco i proporcjoalie do dystasu predykcji. W efekcie, jeżeli rówaie ma ope form rozwiązaie, to algorytm predykcyjy ie jest zdoly przewidzieć stau przyszłego. Teraz zdefiiujemy ieprzewidywalość wykorzystując pojęcie algorytmiczej przypadkowości. Rozważamy dyskrete ciągi (trajektorie) w skończoym staie przestrzei z dyskretym czasem. Algorytmicza złożoość K ( SQ / I) skończoego ciągu daej iformacji jest defiiowaa przez długość ajkrótszego programu, który geeruje ciąg SQ (rozważamy maszyy 26 J. Ford, Quatum Chaos, Is There Ay?, cyt. za: Weigarter, Schurz, op. cit., s. 212.

11 Chaos a ieobliczalość 333 ekwiwalete determiistyczej maszyie Turiga). Aby otrzymać defiicję algorytmiczej przypadkowości zakładamy, że iformacja I ma długość SQ ciągu SQ. Rozważamy przy tym zachowaie K ( SQ / SQ ) przy wzrastającej SQ. Teraz, jeżeli K ( SQ / SQ ) wzrasta wraz z SQ w sposób ieograiczoy, czyli graica ilorazu K ( SQ / SQ ) / SQ, dla, jest dodatia, to ciąg SQ jest algorytmiczie przypadkowy. Jest oczywiste, że stoi za tym ieformale przesłaie, że ciąg jest algorytmiczie przypadkowy wtedy, gdy program, który go geeruje jest przyajmiej tej samej długości co o sam. Powyższe ujęcie bierze pod uwagę długość programu. Moża jedak podejść do sprawy w te sposób, że rozważa się długość komputacji potrzebą do wyzaczeia stau przyszłego. Program dla ope form rozwiązaia ma astępującą postać: zbiór s = k ; dla < p oblicza s + 1 = f ( s ), stop, gdzie p jest dyskretym czasem predykcji. Jeżeli f jest fukcją o iewielkiej złożoości obliczeiowej, która jest iezależa od, to długość programu będzie raczej krótka. Tak jest w przypadku fukcji logistyczej s+ 1 = 4s (1 s ). Ale czas, który program potrzebuje do obliczeia s z s, czyli tzw. czas stopu, może być bardzo długi. Iymi słowy, to że ciąg SQ jest przypadkowy ie tylko implikuje, że ie istieje closed form rozwiązaie, ale także to, że ie istieje żade ope form rozwiązaie geerowae przez fukcję iteracyją f ( s ), przy złożoości, która ie wzrasta z. W taki oto sposób otrzymujemy pojęcie ieprzewidywalości/ieobliczalości zdefiiowae algorytmiczie przypadkowo. Typowym przykładem rzeczywistego chaotyczego (przypadkowego) układu fizyczego, który dostarcza ieobliczalość jest układ koło ruletki plus krupier. 27 Koł o ruletki plus krupier. Wyobraźmy sobie dwie czare skrzyki. Pierwsza zawiera idealy gaz. Druga zawiera koło ruletki wraz z osobą, która wprowadza je w ruch. Zakładamy, że w pierwszej skrzyce zajduje się urządzeie, które dokouje pomiarów a idealym gazie, w jedostajych przedziałach czasowych, oraz drukuje wyiki tych pomiarów. Rozkład α = { A i : i = 1,..., N 1} przestrzei fazowej moża pomyśleć jako reprezetujący możliwe pomiary wyjściowe (wydrukowaa liczba i defiiuje, w której kratce zajduje się pukt w każdym przedziale czasowym). Dla idealego gazu trajektorie bliskich staów początkowych rozchodzą się wykładiczo w czasie, etropia jest dodatia, a ciąg orbity jest algorytmiczie przypadkowy (ma dodatią algorytmiczą złożoość). Druga czara skrzyka zawiera N -przestrzee koło ruletki podzieloe a segmety B, B 1,..., B N 1, odpowiadające liczbom aturalym. Koło kręci się a specjaly wskaźik rejestruje segmet, który pojawił się a końcu przedziału czasowego. Dzięki temu skrzyka drukuje liczbę związaą z zarejestrowaym segmetem. Tak samo, jak w przypadku skrzyki z idealym gazem 27 Zob. R. W. Batterma, Defiig Chaos, Philosophy of Sciece, 6, 1993, s

12 334 Adrzej Wilk otrzymujemy ciąg liczb z alfabetu {,1,..., N 1}. Odkąd koło ruletki jest przykładem systemu przypadkowego, oczekujemy, że ciągi powstające z jego udziałem będą algorytmiczie złożoe. Uwzględiając twierdzeie Brudo- White a oczekujemy rówież, że taki system dyamiczy będzie miał dodatia etropię, a uwzględiając twierdzeie Pesia, że bliskie waruki początkowe będą dostarczać wykładiczo rozchodzące się trajektorie. Następie Batterma argumetuje, że łańcuch ekwiwalecji charakterystyczych dla idealego gazu ie zachodzi dla koła ruletki. Rozumowaie opiera się a możliwych różicach w ewolucji systemów w dwóch skrzykach. Idealy gaz jest systemem ergotyczym iecałkowalym, którego trajektorie w przestrzei fazowej są zdole wędrować przez całą 6N 1 wymiarową eergię powierzchiową. Jak już wspomiao, trajektorie te wykazują wykładiczą wrażliwość a waruki początkowe. Z drugiej stroy, przestrzeią fazową idealego koła ruletki jest cylider ze współrzędymi θ, położeiem kątowym koła, oraz p θ, czyli mometem pędu koła. Jeżeli koło porusza się bez tarcia, to dla daego p θ jest właśie kołem a cylidrze. Tym samym, dwa pukty początkowe, które są blisko siebie ie mogą się rozchodzić wykładiczo w czasie. Ruch jest całkowaly. Jeżeli dopuścimy dyssypatywość, to trajektorie będą spiralami z pewego puktu początkowego ( θ, p θ ) do pewego stau spoczyku (θ ',). Sytuacja ta rówież ie dopuszcza wykładiczej wrażliwości a waruki początkowe. Okazuje się zatem, że łańcuch rówoważości dodatia algorytmicza złożoość dodatia metrycza etropia dodatie wykładiki Lapuowa załamuje się dla systemu. Twierdzeie Brudo-White a staowi, że gdy wyjście (skrzyki) jest algorytmiczie przypadkowe, to system musi mieć dodatią metryczą etropię. Jedakże, odkąd żada trajektoria ie ma dodatiego wykładika Lapuowa, to związek między złożoością a wrażliwością a waruki początkowe ie zachodzi. Dla Battermaa jest to jedak kokluzja zbyt pochopa. Głębsza aaliza pokazuje, że koło ruletki ie jest systemem przypadkowym. Z tego względu, że po to, aby otrzymać przypadkowy ciąg wyjściowy potrzeba jest osoba, która wprowadza koło w ruch. Ozacza to, że ciąg wyjściowy jest przypadkowy, poieważ w sztuczy sposób został skostruoway. W iych słowach, przypadkowość a wyjściu zależy od faktu, że koło związae jest z zewętrzym źródłem przypadkowości. Przypomijmy, podstawowy problem skupia się wokół tego, czy w przypadku systemu determiistyczego możliwym jest wyprowadzeie wrażliwości a waruki początkowe z przypadkowości ciągu wyjściowego? Jak się okazuje, koło ruletki ie jest prawdziwym systemem determiistyczym, bo sta a końcu przedziału ie determiuje astępego. W skrócie, osoba wprowadzająca koło w ruch ie czyi tego zgodie z determiistyczymi zasadami. System jest więc idetermiistyczy lub stochastyczy, co jest iteresujące samo w sobie, bo iezależy stochastyczy proces dostarcza ciągi, które są algorytmiczie przypadkowe. W efekcie dyspoujemy jedak ieobliczalością,

13 Chaos a ieobliczalość 335 poieważ układ koło ruletki z osobą wprowadzającą je w ruch jest już algorytmiczie przypadkowy, a przypadkowość pociąga ieobliczalość. W tekstach poświęcoych chaosowi determiistyczemu ajczęściej wymieia się jedak tzw. problem trzech ciał. Problem te jest jedym z ważych zadań matematyki i fizyki od XVII wieku. Dotyczy ruchu ciała o iezaczej masie, które porusza się w polu grawitacyjym dwóch ciał o dużej masie. W roku 1893 Heri Poicaré odkrył, że ruch małego ciała może być bardzo zaskakujący, ieregulary. Dzisiaj uważa się, że jeżeli awet moża pomyśleć rozwiązaie problemu trzech ciał, to jedyie w termiach stadardowych, ale bardziej wyszukaych fukcji. 28 Ilustracją problemu są pozycje trzech idealych plaet w przypadku spełiającym astępujące rówaie różiczkowe: 2 tt z[ t] == z[ t]/ z[ t] + (1/ 2(1 + esi)[2πt ])) ) 2 3 / 2 gdzie e jest ekscetryczością orbity eliptyczej plaet. Pomijając sytuację, gdy e =, rówaie ie ma rozwiązaia w termiach stadardowych fukcji (rekurecyjych). Kreisel uważał, że problem kolizji związay z problemem trzech ciał moża traktować jako potecjale źródło ieobliczalości, a dokładie, jako sytuację do aalogowego obliczaia fukcji ierekurecyjych. W tym momecie możemy wrócić do ewolucyjego aspektu tezy Churcha-Turiga, czyli realizowalości obliczalości w świecie fizyczym, i postawić kwestię, czy obliczaie o-digitale, choćby w postaci eural ets, staowi jakąś ową jakość w iformatyce. Czy w sposób aalogowy moża obliczyć więcej iż w cyfrowy? Przypuszczeie to ie ma do tej pory potwierdzeia. Maszyy aalogowe, podobie jak cyfrowe z układem symulującym losowość, mają często szybszy czas wykoaia, ale ich obliczeiowy zasięg jest ekwiwalety determiistyczej maszyie Turiga. Nie staowią tym samym żadego przełomu w obliczaiu. W dalszym ciągu ie widać więc zagrożeń dla tezy Churcha-Turiga. 29 Przeświadczeie, że bieg zdarzeń jest ieprzewidywaly i zaskakujący, towarzyszy am stale. Jego podstawą jest chociażby doświadczeie dia codzieego. Artykuł te jest próbą związaia tej potoczej ituicji z algorytmiczie ziterpretowaą teorią chaosu. Obraz świata, jaki się z tego zabiegu wyłaia jest taki, że przypadkowa/ieobliczala część matematyki może korespodować z chaosem albo wręcz idetermiizmem w świecie fizyczym. Jedak cały czas trzeba pamiętać, że jest to jedyie ieobliczalość i przypadkowość z modelu, w którym dokoujemy deskrypcji. Odo- 28 S. Wolfram, New Kid of Sciece, Wolfram Media, Ic., 22, s Zob. M. Bremer, A Defece of the Church-Turig-Thesis, w: Cocepual Atomism ad Justificatioism Sematics, Iteatioaler Verlag der Wisseschafte, Frakfurt 28.; oraz: J. F. Costa, B. Loff, J. Mycka, The New Promise Aalog Computatio, w: S. Barry Cooper, B. Löwe, A. Sorbi (red.), Computatio ad Logic i the Real World, Berli Heidelberg 1997.

14 336 Adrzej Wilk śie implemetacji ieobliczalości w aturze, to dalej ie ma pewości, czy rzeczywiście zachodzi. Pocieszające może być jedak to, że rówież ie modele, choćby rekurecyjie ziterpretowaa aaliza matematycza, dostarczają ierozstrzygalą kokluzję. Słowo pocieszające ma tu oczywiście związek z faktem, że w przypadkowym, ieobliczalym, czy idetermiistyczym świecie, jest miejsce a coś, co azywamy wolą wolą. BIBLIOGRAFIA S. Barry Cooper, B. Löwe, A. Sorbi (red.), Computatio ad Logic i the Real World, Spriger, Berli, Heidelberg S. Barry Cooper, P. Odifreddi, Icomputability i Nature, w: Computability ad Models, Kluwer, 23, s R. Batterma,, Defiig Chaos, Philosophy of Sciece, 6, 1883, s , Chaos: Algorithmic Complexity vs. Dyamical Istability:, w: P. Weigarter,G. Schurz (red.), Law ad Predictio i the Light of Chaos Research, Spriger, Berli Heidelberg New York M. Bremer, A Defece of the Church-Turig-Thesis, w: Coceptual Atomism ad Justificatioism Sematics, Iteratioaler Verlag der Wisseschafte, Frafurt 28. G. J. Chaiti, Algorithmic Iformatio Theory, Cambridge Uiversity Press, Cambridge 1987., Iformatio, Radomess ad Icompleteess, World Scietific, Sigapore A. Church, Abstract, A Usolvable Problem of Elemetary Number Theory, Bulleti of the America Mathematical Society, s ; zob. też w: Olszewski, 29. J. F. Costa, B. Loff., J. Mycka, New Promise Aalog Computatio, w: Barry Cooper, Löwe, Sorbi, op. cit. G. Kreisel, Church s Thesis: a Kid of Reducibility Axiom for Costructive Mathematics, w: Ituitioism ad Proof Theory, North-Hollad Publ. Comp. Amsterdam, Lodo 197. P. Marti-Löf, O the Notio of Radomess, w: Ituitioism ad Proof Theory, North- Hollad Publ. Comp., Amsterdam Lodo 197. S. Mazur, Computable Aalysis, Rozprawy Matematycze, XXIII, PWN, Warszawa A. Mostowski, Liczby aturale i fukcje obliczale, PZWS, Warszawa R. Murawski, J. Woleński, The Status of Church s Thesis, w: A. Olszewski et al., op cit. 26. A. Nies, Computability ad Radomess, Oxford Logic Guides, 51, Oxford Uiversity Press 29. A. Olszewski, J. Woleński, J. Robert, The Church s Thesis after 7 Years, Otos Verlag 26. A. Olszewski, Teza Churcha, Uiversitas, Kraków 29. B. Pascal, Myśli, Istytut Wydawiczy PAX, Warszawa M. B. Pour-El, J.I. Richards, Computability ad Nocomputability i Classical Aalysis, Tras. Americ. Math. Soc., 275, 1983, s , Computability i Aalysis ad Physics, Spriger, Berli Heidelberg Rousseau J., Umowa społecza, BFK, PWN, Warszawa K. Svozil, Radomess & Udecidability i Physics, World Scietific Publ., Sigapore Lodo Hog Kog P. Weigarter, G. Schurz, (red.), Law ad Predictio i the Light of Chaos Research, Spriger, Berli S. Wolfram, New Kid of Sciece, Wolfram Media Ic., 22.

15 Chaos a ieobliczalość 337 CHAOS AND INCOMPUTABILITY ABSTRACT The paper is devoted to the problem of the implemetatio of icomputability i the real world. It cosiders the followig basic questio: has logical oeffectiveess its realizatio i the physical world or, has o-algorithmicity a physical/material medium? The coclusio is: the algorithmically iterpreted theory of determiistic chaos correspods with the o-radom/decidable part of mathematics. It should be, however, take ito accout that it is always the oalgorithmicity, radomess of models i which a descriptio is formed. Keywords: theory of computability, theory of chaos, Church s thesis.