OPTYMALNE PROJEKTOWANIE KSZTAŁTU METODĄ ZBIORÓW POZIOMICOWYCH

Transkrypt

1 Pzemysław BEROWSKI Magdalena STASIAK Jan SIKORA OPTYMALNE PROJEKTOWANIE KSZTAŁTU METODĄ ZBIORÓW POZIOMICOWYCH STRESZCZENIE W pacy pzedsawiono ozwiązanie zadania odwonego dla poblemu opisanego ównaniem óżniczowym Laplace a. Poszuiwano waości pomienia ondensaoa, dla óego pzebieg napięcia między oładami będzie zbliżony do zadanego. Do opymalizacji szału zasosowano w ym pzypadu meodę zbioów poziomicowych, znaną z eoii funcji wypułych. Zasosowana meoda oazała się w pzedsawionym pzypadu efeywna i szybo zbieżna do oczeiwanego ozwiązania. Słowa luczowe: opymalne pojeowanie szału, opymalizacja, meoda zbioów poziomicowych d inż. Pzemysław BEROWSKI 1), d inż. Magdalena STASIAK 2) p.beowsi@iel.waw.pl, sasia@p.lodz.pl pof. d hab. inż. Jan SIKORA 1) si@iem.pw.edu.pl 1) Insyu Eleoechnii 2) Poliechnia Łódza Wydział Eleoechnii, Eleonii, Infomayi i Auomayi, Insyu Apaaów Eleycznych PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszy 233, 2007

2 22 P. Beowsi, M. Sasia, J. Sioa #1. WSTĘP Zagadnienie opymalizacji szału sanowi od la siedemdziesiąych XX wieu jeden z najważniejszych poblemów badawczych w zaesie eoii zasosowań opymalizacji w analizie pola eleomagneycznego. Meody opymalnego pojeowania szału uządzeń eleomagneycznych wyozysywane są w celu osiągnięcia oeślonych specyficznych cech danego uządzenia, np. uzysania oeślonego ozładu pola eleomagneycznego. Rozwiązanie zadania opymalizacji związane jes ze znalezieniem esemum funcji celu opisującej ozważany poblem. Powszechnie sosowane meody, służące do minimalizacji funcji celu, można podzielić na gadienowe (np. meoda gadienów spzężonych, zmiennej meyi) oaz bezgadienowe (np. algoymy geneyczne, symulowane wyżazanie). Meody gadienowe zaliczane są do meod deeminisycznych i opieają się na waości funcji celu oaz jej pochodnych, a ich zadaniem jes znalezienie loalnego minimum funcji celu. Są o meody udne w implemenacji, gdyż onieczne jes zagwaanowanie ciągłości funcji celu i jej gadienu. Naomias algoymy sochasyczne (meody bezgadienowe) poszuują minimum globalnego i ozysają z infomacji o waościach funcji celu. W ym pzypadu nie jes wymagana ciągłość ani óżniczowalność funcji. Podsawową wadą meod sochasycznych jes ich powolna zbieżność i duża złożoność czasowa (wymagają czasami ilu ysięcy analiz pola). W niniejszej pacy zapoponowano ozwiązanie zadania opymalizacyjnego doyczącego ondensaoa cylindycznego meodą zbioów poziomicowych. Zbioy poziomicowe są powszechnie znanym pojęciem w eoii analizy wypułej dla pzeszeni unomowanych. Naomias w lieauze doyczącej opymalizacji szału ej meodzie poświęcono doychczas niewiele uwagi. Pioniesą pacą, doyczącą zasosowania meody zbioów poziomicowych do opymalizacji szału, była paca Oshea i Sanosy Level se mehods fo opimizaion poblems involving geomey and consains (Jounal Compu. Phys. 2001) [4]. Pzedsawiony poblem sanowi ozpoczęcie pac nad nową meodą onsucji obazu w omogafii ezysancyjnej, opycznej oaz uladźwięowej. 2. METODA ZBIORÓW POZIOMICOWYCH Meoda zbioów poziomicowych (ang. level se mehod) jes echnią numeyczną służącą do śledzenia szałów pewnych figu i zależności. Jej

3 Opymalne pojeowanie szału meodą zbioów poziomicowych 23 zaleą jes możliwość wyonywania obliczeń numeycznych związanych z zywymi lub płaszczyznami w uładzie aezjańsim bez onieczności paameyzowania ychże obieów. W meodzie zbioów poziomicowych ozważany obsza Ω posiada uchomy bzeg Γ, óy pousza się z wyznaczoną w olejnych oach pędością v [4, 5]. Pędość a może zależeć od pozycji, czasu, geomeii bzegu Γ oaz waunów zewnęznych. Idea zbioów poziomicowych, pzedsawiona w 1987 ou pzez S. Oshea i J.A. Sehiana, polega na zdefiniowaniu funcji ϕ ( x, ) = 0 (ys. 1), óa epezenuje pouszający się bzeg. #10# Rys. 1. Zeowy zbió poziomicowy Zbió poziomicowy funcji ϕ posiada nasępujące własności (ys. 2): ϕ ϕ ϕ ( x, ) > 0 x Ω1 ( x, ) < 0 x Ω 2 ( x, ) = 0 x Ω = Γ( ) (1) Na począu pocesu ieacyjnego ganica bzegu jes epezenowana pzez zeowy zbió poziomicowy (ang. zeo level se). W całym obszaze oganiczonym ym bzegiem ozwiązuje się ównanie Poissona dla zmiennej

4 24 P. Beowsi, M. Sasia, J. Sioa spzężonej. Wyznaczona pędość pozwala na aualizację funcji zbiou poziomicowego na podsawie ównania Hamilona-Jacobiego [2, 4, 5]: ϕ + v ϕ = 0 (2) gdzie: v N = v ϕ ϕ Niech p H 1 Ω ) będzie funcją spełniającą ównanie spzężone (gdzie ( 2 1 H pzeszeń Sobolewa): Δp = u (3) u 0 do ównania sanu (w ym pzypadu ównanie Laplace a) z jednoodnymi waunami bzegowymi: p = 0 na bzegu Γ oaz p = 0 na Ω (4) #12# Rys. 2. Rozpaywany obsza z inefejsem Γ, epezenowanym pzez poziomicę zeową

5 Opymalne pojeowanie szału meodą zbioów poziomicowych 25 Rozważmy obsza Ω = F ( Ω1) będący obazem obszau Ω 1, uzysany pzez 2 2 odwzoowanie F R R zdefiniowane jao F x, x ) = ( x, x ) + h( x, x ), pzy : ( czym u H 1 ( Ω ). Pochodną maeialną u& (x) definiujemy jao: u ( x + hx) u( x) u& ( x) = lim, x Ω1. (5) 0 Dla funcjonału Γ J ( Ω) = Φ( u) ds obliczamy pochodną maeialną, uwzględniając fa, że pochodne syczne ównają się zeu u p = 0 : J (Γ lim ) J (Γ) = τ = τ ( u u, u ) dx = ( u p)( n ) ds 0 0 Ω Γ 1 h, (6) gdzie: { x : ( x + h( )) 0} Γ = ϕ x =, u pochodna szału oeślona ównaniem: u ( x) u( x) u ( x) = lim = u& ( x) h( x) u( x), x Ω1. (7) 0 Kozysając ze wzou (6) oaz sosując wiedzenie o liniowej zależności waości pochodnej ieunowej od weoa, w óego ieunu obliczana jes pochodna możemy wyznaczyć na bzegu Γ ieune najwięszego spadu weoa pędości v funcjonału J jao [2]: v = ( u p) n (8) 3. KONDENSATOR CYLINDRYCZNY #12# Rozważmy ondensao cylindyczny, óego pzeój popzeczny poazany jes na ys. 3. Kondensao posiada dwa bzegi: jeden o pomieniu a

6 26 P. Beowsi, M. Sasia, J. Sioa i dugi o pomieniu b. W zadaniu ym ozład poencjału eleycznego między oładami opisuje ównanie Laplace a, óe w uładzie walcowym pzyjmuje posać: 1 u = 0 (9) z waunami bzegowymi: u u a b = 1 = 0 (10) #10# Rys. 3. Pzeój popzeczny ondensaoa #12# Rozwiązaniem analiycznym ównania (9) z waunami bzegowymi (10) jes poencjał: u () ua = ln a (11) b ln b

7 Opymalne pojeowanie szału meodą zbioów poziomicowych 27 W zadaniu załadamy, że znany jes ozład poencjału u w obszaze piewonym Ω, naomias wymagany ozład poencjału jes oeślony funcją: () ( 0, ) u 0 = 0, ln (12) Należy znaleźć obsza Ω 0, óy zapewni nam żądany ozład u 0, co spowadza się do znalezienia obszau, w óym funcja u 0 będzie ozwiązaniem ównania Laplace a z waunami bzegowymi (10). Bzegi wyznaczone pzez pomienie a i b są bzegami uchomymi, podlegającymi ansfomacji. Poces poszuiwania obszau Ω 0, w óym uzysamy żądany ozład poencjału u 0, będzie nasępował w wyniu pzesunięcia obu bzegów ondensaoa. Sosując meodę zbioów poziomicowych ozwiązanie zadania ozpoczynamy od usawienia zeowego zbiou poziomicowego Γ 0 = ϕ( x, 0) w chwili = 0. Nasępnie, aż do osiągnięcia waunu zbieżności, pzepowadzamy obliczenia ieacyjnie według schemau [2]: ozwiązujemy ównanie Laplace a (9) z waunami bzegowymi (10), zadajemy ozład poencjału u 0 (12), wyznaczamy óżnicę między waością obsewowaną a oczeiwaną u u 0, ozwiązujemy ównanie spzężone do ównania (9) o posaci: Δp = u, (13) u 0 wyznaczamy sładową nomalną pędości szuanej waości w olejnym ou ieacji jao iloczyn gadienów ównania sanu i ównania spzężonego: v = p u, (14) uaualniamy waość funcji ( x, ) ϕ ozwiązując ównanie Hamilona- Jacobiego o posaci: ϕ + v ϕ = 0 (15) zaem: ϕ +1 = ϕ Δ v ϕ, (16)

8 28 P. Beowsi, M. Sasia, J. Sioa gdzie Δ = min 2 h v, h, h = v, 2 jeśli spełniony jes założony waune zbieżności, ończymy obliczenia. Wynii działania algoymu pzedsawiono na ys. 4 i 5. Poces jes zbieżny do ozwiązania oczeiwanego. #1Rys. 4. Pzebieg pocesu ieacyjnego

9 Opymalne pojeowanie szału meodą zbioów poziomicowych 29 Rys. 5. Sładowa nomalna pędości w acie pocesu ieacyjnego 5. WNIOSKI #12# W pacy pzedsawiono meodę opymalnego pojeowania szału z wyozysaniem zbioów poziomicowych. Do wyznaczenia pędości pzemieszczania się bzegu posłużono się gadienem ównania sanu oaz ównania spzężonego. Pzedsawiony espeymen numeyczny poazał efeywność zasosowanej meody, óa będzie mogła być sosowana do ozwiązywania zagadnień opymalizacji szału w eoii pola eleomagneycznego (np. do opymalizacji szału uządzeń lub onsuowania obazów w omogafii ezysancyjnej, inducyjnej, opycznej i uladźwięowej). LITERATURA 1. Beseas D.P., Nedic A, Ozdagla A.E., Convex Analysis and Opimizaion, Ahena Scienific, Belmon, 2003

10 30 P. Beowsi, M. Sasia, J. Sioa 2. Io K., Kunisch K., Li Zh.: Level-se funcion appoach o an invese ineface poblem, Invese Poblems 17 (2001) , Insiue of Physics Publishing 3. Oshe S., Fediw R.: Level Se Mehods and Dynamic Implicie Sufaces. Spinge, Oshe S., Sanosa F., Level se mehods fo opimizaion poblems involving geomey and consains, Jounal of Compu. Physics 171, pp , Sehian J.A.: Level Se Mehods and Fas Maching Mehods. Cambidge Univesiy Pess, Soolowsi J., Zolesio J.P., Inoducion o Shape Opimizaion, Spinge-Velag, 1992 Ręopis dosaczono, dnia Opiniował: pof. d hab. inż. Kysyn Pawlu OPTIMAL SHAPE DESIGN BY LEVEL-SET METHOD P. BEROWSKI, M. STASIAK, J. SIKORA ABSTRACT The invese poblem soluion fo he one descibed by Laplace s equaion was pesened in he pape. The oue adius of he capacio was opimized o achieve desied poenial disibuion. Shape opimizaion wih level-se mehod (LSM) was used in his case. Thans o use LSM opimizaion poblem was solved effecively. In he fuue descibed mehod will be used o image consucion in elecical omogaphy.