MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN X 32, s , Gliwice 2006

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN X 32, s , Gliwice 26 WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK TERMOFIZYCZNYCH MATERIAŁÓW STAŁYCH ZA POMOCĄ ROZWIĄZANIA ODWROTNEGO ZAGADNIENIA PRZEWODZENIA CIEPŁA WYKORZYSTUJĄCEGO DANE POMIAROWE STANISŁAW KUCYPERA Instytut Technii Cieplnej, Politechnia Śląsa Steszczenie. W pacy pzedstawiono algoyt wyznaczania ieunowych współczynniów pzewodzenia ciepła oaz ciepła właściwego jao funcji tepeatuy dla ototopowych ateiałów stałych. Dwuwyiaowy odel ateatyczny nieustalonego pzepływu ciepła sfoułowano na podstawie etody objętości ontolowanych. Do optyalnego dobou waunów poiaowych w celu polepszenia doładności wyznaczanych wielości zastosowano analizę ważliwości. Odwotne wewnętzne zagadnienia pzewodzenia ciepła ozwiązano etodą dynaicznej estyacji sewencyjnej. Pzedstawiono pzyładowe wynii badań.. WSTĘP Identyfiacja właściwości teofizycznych ateiałów za poocą ozwiązania odwotnego zagadnienia pzewodzenia ciepła z uwzględnienie iezonych tepeatu w wybanych puntach badanej póbi polega na poszuiwaniu w czasie jego ozwiązywania watości jednego lub ilu współczynniów opisujących właściwości cieplne badanego ateiału. Bazują one często na nieustalony pzepływie ciepła w badanej póbce i należą do odwotnych etod pzewodzenia ciepła. Metody te, na podstawie odpowiedzi teicznej doładnie oeślonego uładu na zadane wyuszenie cieplne, uożliwiają wyznaczanie ównocześnie wiele paaetów cieplnych lub ich głównych sładowych (dla ateiałów ototopowych), a nawet zależności tepeatuowych w tacie wyonywania jednego espeyentu. Należy jedna podeślić, że etody odwotne pzewodzenia ciepła nie są pozbawione wad, tóe istotnie wpływają na ostateczny wyni identyfiacji. Do wad tych należy złe uwaunowanie zagadnień odwotnych w sensie istnienia jednoznaczności i stabilności ozwiązania. Dlatego pzed ozwiązanie zagadnienia odwotnego dla danych zeczywistych należy wyonać analizę szeegu ozwiązań syulowanych, aby zapojetować optyalny espeyent. W pacy szczególną uwagę zwócono na ozwiązanie i analizę zagadnienia syulowanego dla ównoczesnej identyfiacji ieunowych współczynnia pzewodzenia ciepła i ciepła właściwego ototopowych ateiałów stałych. Analizę taą wyonano dla nieustalonego nagzewania póbi na stanowisu poiaowy. Do optyalnego pojetowania espeyentu wyozystano współczynnii ważliwości definiowane jao pochodne wielości iezonych względe

2 38 S. KUCYPERA wyznaczanych paaetów. Analiza taa była wyagana do otzyania stabilnych i doładnych wyniów. Model ateatyczny sfoułowano na podstawie etody bilansów eleentanych, nazywanej etodą objętości ontolowanych. Jao wyni otzyano dysetny odel ateatyczny pzepływu ciepła w póbce w postaci ównania aciezowego. Syulowany weto poiaów tepeatuy otzyano z ozwiązania zagadnienia bezpośedniego dla założonych watości paaetów i załócony biały szue losowy o ozładzie noalny. Wynii espeyentu wyozystano jao dane wejściowe do ozwiązania odwotnego zagadnienia współczynniowego nieustalonego pzewodzenia ciepła. Pzedstawiono wybane wynii badań. 2. SFORMUŁOWANIE MODELU MATEMATYCZNEGO I ALGORYTMU ROZWIĄZANIA ZAGADNIENIA ODWROTNEGO 2.. Sfoułowanie odelu ateatycznego W pacy ozpatzono cylindyczna póbę wyonaną z ateiału ototopowego-ys.. I IV II Rys. Geoetia analizowanego obsza póbi i opis waunów bzegowych: I-q W/2, II- α i tot, III- izolacja, IV- (waune syetii) Dwuwyiaowe zagadnienie pzepływu ciepła dla geoetii cylindycznej opisano znany ównanie óżniczowy [3]: ρ t t t c ( λz ) + λ, (,z, τ ) (,R) (, δ ) (, τ ) τ z z λ () Z waunai ganicznyi: - dla powiezchni gzanej: Z λ z q, R (2) z t. z - dla pzeciwległej powiezchni czołowej: t λz α( t t z - dla powiezchni cylindycznej: z δ III ot ), R (3)

3 WYZNACZANIA CHARAKTERYSTYK TERMOFIZYCZNYCH MATERIAŁÓW STAŁYCH λ t ± R α( t t ), z δ (4) - waune syetii: t li λ, z δ (5) - waune początowy: t ( z,, τ ) tot, (, z) (, R) (, δ ) (6) gdzie: t - tepeatua w póbce, tot - tepeatua otoczenia,, z - współzędne pzestzenne (poieniowa i osiowa), t - czas, λ, λ z - ieunowe współczynnii pzewodzenia ciepła ateiału, - gęstość ateiału, c - ciepło właściwe ateiału, α - współczynni wniania ciepła, R, d - poieniowy i osiowy ozia póbi Algoyt ozwiązania zagadnienia odwotnego Istota etody dynaicznej estyacji sewencyjnej polega na sfoułowaniu funcji celu F w następującej postaci: ot T T ( yˆ / y) G / ( y / y) a V a ( y \ ( yˆ ˆ + / y), a + ) F (7) gdzie: y ozszezony weto stanu, y ˆ + / estyaty ozszezonego wetoa stanu w pedycji z ou do +, G aciez owaiancji błędów oceny wielości estyowanych, V aciez owaiancji błędów wielości iezonych. Dla więszości ateiałów stałych współczynni pzewodzenia ciepła l i ciepło właściwe c pzedstawiane są w postaci wieloianu: M M M c λ, t ; λz ( t), zt ; c( t) c λ ( t) λ t (8) λ,λz, c stałe współ. identyfiowane etodą DES. Stąd MM+Mz+Mc. A ozszezony weto stanu ożna zapisać w postaci: T [ t t, λ,..., λ λ,...,, c,..., c ] [ y,... y y,..., y ] y (9),..., N M λ z M z c M c N, N + N + M Weto epezentujący błędy poiaowe w ou + a postać: a W - yˆ + + () + / gdzie W weto wielości iezonych w ou czasowy +. Minializując funcję celu z uwzględnienie wetoa stanu (9) oaz wetoa błędów poiaowych (), algoyt estyacji ziennych stanu dla czasu + pzyjuje postać: yˆ yˆ + M [ W - yˆ + +/ /] () gdzie weto pedycji oeślony jest ównanie: y ˆ ( ˆ + / w +, y ) (2) Natoiast aciez wagowa M+ zapisać ożna w postaci:

4 32 S. KUCYPERA M T G J ( y) V (3) gdzie J nazywana jest aciezą czułości. Uwzględniając aciez owaiancji błędów pedycji G +/ aciez owaiancji błędów estyacji wetoa stanu ożna zapisać zależnością: [ N G ] G (4) / gdzie aciez N+ uwzględnia wpływ błędów poiaowych z ou czasowego na aciez owaiancji błędów estyacji w ou PRZYKŁADOWE WYNIKI BADAŃ Ja wsponiano wcześniej, zagadnienia odwotne należą do zagadnień źle uwaunowanych w sensie istnienia jednoznaczności i stabilności ozwiązania. Ogólnie ówiąc, nie ają one uniwesalnego ozwiązania, gdyż otzyane ozwiązania są badzo czułe na błędy wielości wejściowych, tóe najczęściej pochodzą z poiaów. Dlatego pzed ozwiązanie zagadnienia zeczywistego powinno być analizowane zagadnienie syulowane. Analiza taa, powinna obejować badanie wpływu óżnych czynniów oeślających wauni pzepowadzenia espeyentu (np. położenie i liczbę teopa itp.) i uożliwić ich optyalizację. W pacy analizę taą wyonano za poocą współczynniów ważliwości Z i,j definiując je jao pochodne tepeatuy w puntach poiaowych względe wyznaczanych paaetów teofizycznych badanego ateiału, tzn: Ti Zi, j p j (5) p gdzie p jest wetoe wyznaczanych paaetów. Do ozwiązania zagadnienia bezpośedniego oaz analizy ważliwości pzyjęto ateiał póbe o gęstości ρ 8 g/ 3. Póbi wyonane były w ształcie cylindów o śednicy d 7,9 i wysoości δ 2,45. Gęstość stuienia ciepła dopływająca do pojedynczej póbi na powiezchni I pzyjęto q& 59 W/ 2. Współczynni wniania ciepła na cylindycznej powiezchni póbi II pzyjęto 5 W/ 2 K i tepeatuę otoczenia 2.5 O C. Dla testów nueycznych założono następujące zależności paaetów teofizycznych w funcji tepeatuy: λ ( t) λ + λ t,82 +,5t λ z ( t) λ c c,, z,, z + c t 5 + 5t + λ j t,62 +,2t W ty pzypadu ilość identyfiowanych paaetów M 6, a paaetai tyi są współczynnii: λ,, λ,, λ,z, λ,z, c, c. W espeyencie nueyczny otzyany ozład tepeatuy z ozwiązania zagadnienia bezpośedniego zabuzano wg zależności: zab t nzab i ti +ν ( 2ξ ) (7) gdzie: t - tepeatua otzyana w wyniu zabuzenia, zab i nzab ti - tepeatua otzyana z ozwiązania zagadnienia bezpośedniego, ν - założony asyalny błąd poiau, ξ - liczba losowa z zaesu [;]. (6)

5 Tepeatua, o C WYZNACZANIA CHARAKTERYSTYK TERMOFIZYCZNYCH MATERIAŁÓW STAŁYCH Na ys. 2 pzedstawiono z ozwiązania zagadnienia bezpośedniego i zabuzone błęde ν 2 K ziany tepeatuy powiezchni póbe w funcji czasu, wynii pzyładowej analizy ważliwości pzedstawiono na ysunach (3-8) oaz wynii estyacji poazano w tabeli. Rys. 2. Rozład tepeatuy w funcji czasu współcz. waż. po labda współcz. waż. po labda z Rys. 4. Rozład współczynnia ważliwości tepeatu t i t 4 w funcji czasu Z λ Rys. 6. Rozład współczynnia ważliwości tepeatu t i t 4 w funcji czasu Z λ z Rys. 3. Rozład współczynnia ważliwości tepeatu t i t 4 w funcji czasu współcz. waż. po c Z λ Rys. 5. Rozład współczynnia ważliwości tepeatu t i t 4 w funcji czasu Z λ z, ,5 -, -,5 -,2 Z4_ciepł. wł. c Z_cieł. wł. c Rys. 7. Rozład współczynnia ważliwości Z tepeatu t i t 4 w funcji czasu c p, Jao początowe watości do estyacji pzyjęto -, odpowiednio:λ.w/(k), λ.3w/(k), -,4 -,6 -,8 -, -,2 estyowanych współczynniów podano w ównaniu (6). Watości estyowanych współczynniów waz czasai ich estyacji oaz watościai odchyleń standadowych dla poszczególnych współczynniów Z4_ciepł. wł. c λ z.8 W/( K), λ z. W/(K), c 25 Z_ciepł. wł. c J/(gK) oaz c J/(gK). Pawdziwe watości podano w tabeli. Rys. 8. Rozład współczynnia ważliwościz tepeatu t i t 4 w funcji czasu współcz. waż. po c T T Z4_labda Z_labda Z4_labda z Z_labda z c p współcz. waż. po labda z Współcz. Waż. po labd_o czas s Z4_labda Z_labda Z4_labda z Z_labda z

6 322 S. KUCYPERA Tabela. Wynii estyacji paaetów teofizycznych badanej póbi λ λ λ z λ z c c Wat. paaetu po esty Czas estyacji, s Odchylenie standadowe WNIOSKI I UWAGI KOŃCOWE Na podstawie pzedstawionych wyniów badań (ys. 2-8 i tab.) ożna stwiedzić, że zastosowanie etody DES do ozwiązywania odwotnych współczynniowych zagadnień pzewodzenia ciepła uożliwia: jednoznacznie oeślanie najbadziej pawdopodobnych watości wyznaczanych paaetów, ontolowanie na bieżąco doładność, obliczeń za poocą eleentów aciezy owaiancji, stosunowo szybą estyację danego paaetu pzy odpowiedni doboze waunów poiaowych. Pzepowadzone badania pozwoliły zauważyć, że zwięszenie ilości wyznaczanych paaetów wyaga wydłużenia czasu poiau oaz wyonania ich badziej staannie (z więszą doładnością).ważną zaleta etody jest to, że w pzypadu osiągnięcia pawdziwej watości estyowanego paaetu watość ta nie zienia się io dalej powadzonego pocesu estyacji. LITERATURA. Modelowanie nueyczne pól tepeatuy. Paca zbioowa pod ed. J. Szaguta. Waszawa: WNT, Kucypea S.: Zastosowanie etody estyacji sewencyjnej i danych poiaowych do ównoczesnego wyznaczania współczynnia pzewodzenia ciepła i ciepła właściwego ciał stałych. ZNKMS, z. n 8, Gliwice Kacpzyńsi B.: Planowanie espeyentów. Podst. Mat. Waszawa: WNT, 974. DETERMINATION OF THE THERMOPHYSICAL CHARACTERISTICS OF THE SOLIDS BY MEANS OF SOLUTION OF THE INVERSE HEAT CONDUCTION PROBLEM AND MEASUREMENTS DATE Suay. In the pape an algoith of deteining the diectional coefficients theal conductivity and specific heat as a function of tepeatue fo a ototopic solid ateials has been pesented. Two-diensional atheatical odel of the tansient heat conduction was foulated using contol volue ethod. The sensitivity analysis was caied out to the optial selection of the easueent conditions in consideation of accuacy of the deteined quantities. The invese heat conduction poble has been solved by eans of the dynaic sequential estiation ethod. The exeplay esults of study ae pesented.