MORFOLOGIA KORYT RZECZNYCH, POMIARY, MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE PROCESÓW RZECZNYCH

Transkrypt

1 INFRASTRUKTURA I EKOLOGIA TERENÓW WIEJSKICH N 4//6, POLSKA AKADEMIA NAUK, Oddział w Kaowie, s. 9 Komisja Technicznej Infastutuy Wsi Bogusław Pzedwojsi MORFOLOGIA KORYT RZECZNYCH, POMIARY, MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE PROCESÓW RZECZNYCH Steszczenie Celem niniejszej pacy jest analiza stailności pzepływu w oycie postoliniowym, pzepowadzona na podstawie dwuwymiaowego w planie modelu ustalonego, niejednostajnego uchu wody i umowisa w oycie z dnem ozmywalnym. W pacy pzedstawiono poównanie topogafii dna oliczonej na modelu matematycznym z wyniami pomiaów w natualnym oycie zei Waty. Ponadto oeślono ównanie opisujące natualną zywiznę zaoli zecznych oaz opisano metody oliczania minimalnego pomienia zywizny na wiezchołu łuu oaz optymalnej długości łuu. Wymienione wyżej metody oliczania topogafii dna i wyznaczania paametów oyta w uładzie poziomym zei wyniają z analitycznego ozwiązania dwuwymiaowego w planie modelu matematycznego, opisującego uch wody i umowisa w zywoliniowych oytach natualnych. Słowa luczowe: hydaulia ze, uch umowisa, modelowanie matematyczne, topogafia dna oyta zecznego WSTĘP W natualnych oytach zecznych występuje tzw. pzepływ płyti, tzn. tai uch wody, w tóym głęoość jest znacznie mniejsza od szeoości oyta (ys. a). W patyce inżyniesiej oaz w óżnych puliacjach pzeoje te pzedstawia się w sali sażonej (ys. ), co powoduje ich wyaźne znieształcenie.

2 Rysune. Pzeój popzeczny oyta: a) w sali niesażonej, :5, ) w sali sażonej :/5 Figue. Channel coss-section: a) undistoted scale :5; ) distoted scale :/5 Celem niniejszej pacy jest analiza stailności pzepływu w oycie postoliniowym, pzepowadzona na podstawie dwuwymiaowego w planie modelu ustalonego, niejednostajnego uchu wody i umowisa w oycie z dnem ozmywalnym. W pacy pzedstawiono poównanie topogafii dna oliczonej na modelu matematycznym z wyniami pomiaów w natualnym oycie zei Waty. Ponadto oeślono ównanie opisujące natualną zywiznę zaoli zecznych oaz opisano metody oliczania minimalnego pomienia zywizny na wiezchołu łuu oaz optymalnej długości łuu. MATEMATYCZNA SYMULACJA RUCHU WODY I RUMOWISKA W KORYTACH RZECZNYCH Założenia podstawowe. Kształt osi geometycznej zaoli zecznych, w zywoliniowym uładzie współzędnych można aposymować ównaniem (ys. ): = R ( ) cos l s () Π l = L ; s= s - s m (a)

3 gdzie: R minimalny pomień zywizny na wiezchołu zaola, L długość zaola, sm odległość od pzeoju wejściowego do wiezchoła zaola. Z ysunu wynia, że jeśli s = sm = L/4, wtedy: cos [( Π L) s m ] = cos ( Π ) =, a pomień zywizny w pzeoju pzejściowym (w odległości sm od wiezchoła zaola) =. Rysune. Schemat uładu poziomego oyta złożonego z zaoli o zmiennej zywiźnie Figue. Plan view of a ive each W niniejszym ozdziale ozpatuje się dwuwymiaowy w planie, ustalony uch wody i ustalony tanspot umowisa w oytach zywoliniowych. Matematyczny opis pzepływu stanowi uład ównań uchu wody oaz uład ównań uchu umowisa. Wymienione ównania pzedstawione są w otogonalnym uładzie współzędnych zywoliniowych (ys. i 3). Pzy ozwiązywaniu ww. ównań pzyjęto następujące założenia: model opisuje pzepływ ustalony w zaolach zei swoodnie płynącej, minimalna zywizna zaoli R > 3(.5) B, szeoość oyta B jest znacznie więsza od głęoości pzepływu h, tj. B» h, dno oyta ma stałą szeoość i zudowane jest z mateiałów ozmywalnych, zegi oyta są umocnione udowlami podłużnymi; pzy zaudowie popzecznej (za pomocą ostóg) model nie uwzględnia ozmyć loalnych, powstających pzy głowicach ostóg, w oycie dominuje uch umowisa wleczonego, pomija się wpływ fom dennych na defomację dna, w tym sensie model opisuje uśedniony uład dna, pomija się poces tzw. uowania dna. 3

4 Równania uchu wody. Do opisu pzepływu w płasim, szeoim oycie ze nizinnych, złożonych z zaoli o łagodnej zywiźnie (R 3B) pzyjmuje się zwyle dwuwymiaowy w planie model pzepływu, w tóym chaateystyi hydauliczne wyażone są pzez ich watości śednie w pionie stumienia. Pzy założeniu, że napężenia ścinające na dnie oyta opisane są fomułą Dacy-Weisacha, ównania uchu wody w otogonalnym uładzie współzędnych zywoliniowych pzyjmują postać [Pzedwojsi 988]: V V U V +U a ównanie ciągłości: s +U s s V - U s s U s s V + U = - s = - ( g ) z w - ( g ) z s w f ( Y ) ( Y ) U s s + V - V Y f = U Y [ ] s U / s +V [ ] U s +V / (a) () gdzie: f współczynni opoów Dacy-Weisacha, oeślony fomułą: u* f = (4) U oaz: Y zmienna głęoość loalna, V, Us uśednione w pionie stumienia pędości w ieunu adialnym i podłużnym, zw poziom zwieciadła wody, ja poazano to na ysunu 3, U = Q/A) śednia pędość w pzeoju popzecznym, Q natężenie pzepływu, A śednia na długości zaola powiezchnia pzeoju popzecznego, u* = (ghi) / pędość dynamiczna w osi oyta, h = (A/B) głęoość śednia pzepływu na długości zaola, B = n szeoość na poziomie dna oyta, I spade podłużny w osi oyta. Watości śednie paametów hydaulicznych pzepływu w zaolu Q, A, U, h odnoszą się do śodowej części pzeoju popzecznego o szeoości B (ys. 3). Szuane watości są funcjami zmiennych i s tj. Y = Y(,s); V = V(,s); Us = Us(,s); zw = zw(,s). Równania ( 3) w uładzie współzędnych postoątnych x, y, gdzie współzędna x jest sieowana z iegiem zei, a współzędna y jest nomalną, pzyjmują postać: (3) 4

5 i ównanie ciągłości: V V +U = - y x ( g ) z y f - V Y [ ] w / V U U +U = - y x ( g ) z x f - U Y U +V [ ] w / V ( U Y ) ( V Y ) x + y = U +V (5) (6) (7) gdzie: U; V uśednione w pionie pędości w ieunu podłużnym x i popzecznym y. Rysune 3. Schemat pzepływu w zaolu Figue 3. Definition setch fo flow in end Ruch umowisa w oycie zywoliniowym. Jao uzupełnienie uładu ównań dwuwymiaowego w planie modelu pzepływu, pzyjmuje się model uchu umowisa zapoponowany pzez 5

6 Engelunda [974]. W modelu tym uch umowisa, w otogonalnym uładzie współzędnych zywoliniowych, opisany jest następującymi ównaniami: U s ss = s U (8) V Y Y Y s = ss -α -α + (9) U s i oaz ównanie ciągłości uchu umowisa: ss s s + + = () s + n s śednia w pzeoju popzecznym watość jednostowego tanspotu umowisa wleczonego odpowiadająca pędości U; ss, s jednostowy tanspot umowisa w ieunu podłużnym i adialnym, α, α funcje zmiennej s, (załączni ), pomień zywizny geometycznej adanego zaola, i pomień zywizny geometycznej zaola położonego powyżej zaola adanego. W uładzie współzędnych postoątnych x i y, pzy = i i =, ównania uchu umowisa (8) () pzyjmują postać: U x sx = s U () V y Y s y = sx + () U x y sx s y + = x y (3) gdzie: sx, sy wydate umowisa wleczonego w ieunu podłużnym i popzecznym. Lineayzacja ównań uchu wody i umowisa. Pzy lineayzacji ównań uchu wody i umowisa pzyjęto następujące założenia: 6

7 . zmiany watości chaateysty hydaulicznych wywołane niestailnością pzepływu lu uchem spialnym mogą yć opisane pzez małe zmiany śednich w pionie stumienia pędości: podłużnej i popzecznej oaz głęoości,. zmiany te są wielościami małymi ta, że można pominąć wyażenia zędu dugiego i wyższych. Pzedstawione w uładzie współzędnych zywoliniowych ównania uchu wody () (3) i uchu umowisa (8) () lineayzuje się pzez podstawienie: s ( +u ); ( + η ); ; w w ( w ) =U Y = h U V =U ω z = z + z (4) gdzie zmienne z indesem pim oznaczają małe zmiany a indes '' odnosi się do paametów pzepływu w osi oyta. Zmiany chaateysty pzepływu są funcją zmiennych i s tj. u = u (s, ); ω = ω (s, ); i η = η (s, ). Zlineayzowane za pomocą zależności (4) wyane człony ównań uchu wody () i (3) pzyjmują postać: V s V =U V =U ( +u ) ω ω ω U s U s = U ( + u ) +u U ω s U s (5) W podony sposó lineayzuje się pozostałe człony ównań uchu i ównania ciągłości dla wody oaz ównania uchu umowisa (8) (). Zgodnie z założeniem ) pomija się wyażenia zędu dugiego i wyższych. Ponadto, w ostatnim członie po pawej stonie ównania (), oeślającym napężenia styczne pzy dnie w ieunu podłużnym, pomija się wyażenie [f/(h)]u jao wielość o ząd więszą od pozostałych sładniów tego ównania. Zlineayzowane ównania ciągłości oaz ównania uchu wody i umowisa () (3) i (8) (), wyażone w zywoliniowym uładzie współzędnych, pzyjmują postać: ω l g + - = - zw ω (6) s U u l ω g u - + = zw +l η (7) s U s 7

8 ω u η + + = (8) s s ( + u +...) ss = s (9) ( h η s = ss ω -α 3 + η ) + 3θ () gdzie: ss s s + + = () s ω = s = pzy n= ± n () l = f / h h h α 3= α + (3) i α K f K C α = ; α = - exp (- a s) (4) 3θ 3θ ω funcja opisująca zmiany pędości adialnej, zw funcja opisująca zmiany poziomu zwieciadła wody, u funcja opisująca zmiany pędości podłużnej, η funcja opisująca zmiany głęoości, U śednia w pionie stumienia pędość w osi oyta, h głęoość wody w osi oyta, g pzyspieszenie ziemsie, s współzędna podłużna, n odległość od osi oyta, n połowa szeoości dna oyta, pomień zywizny w osi adanego zaola, i pomień zywizny zaola usytuowanego powyżej adanego zaola, K stała zaola opisana ównaniem (I.5) w załączniu I, f funcja zmiennej podłużnej s, opisana ównaniem (I.4) w załączniu I, a stała opisana wzoem (I.3) w załączniu I, C stała całowania, pzyjmująca watości z pzedziału od do, D5 pzeciętna śednica umowisa wleczonego, ρs, ρ gęstość cząste umowisa i wody, θ - paamet Shieldsa, oeślony z wzou: u* θ = g D 5 ρ ρ s - ρ (5) W uładzie współzędnych postoątnych zlineayzowany uład ównań uchu wody i umowisa pzyjmuje postać: 8

9 ω l g + ω = - x U zw y (6) u l g u - = zw +l η (7) x U x ω u η + + = y x x (8) ( + u +...) sx = s (9) s y = s x h η ω + (3) 3θ y sx s y + = x y (3) Analiza stailności pzepływu w oycie postoliniowym. Pzy uchu wody w oycie postoliniowym osewuje się zazywienie linii pądu. Powodem tego zjawisa jest występowanie pędości pulsacyjnych w uchu tuulentnym, tóe wywołują popzeczny uch wody. W oycie z dnem ozmywalnym zjawiso to potęguje się wsute pzemieszczania się cząste twozących uchome dno oyta. W wyniu zazywienia linii pądu i pojawienia się pędości popzecznych osewuje się zmienne w pzeoju popzecznym głęoości i pędości podłużne. Wsute sończonej szeoości oyta, ozważa się fale stacjonane w ieunu adialnym oaz fale uchome w ieunu podłużnym. Woec tego możliwe jest wyonanie analizy stailności. W analizie tej załada się, że zmienne watości śednich w pzeoju popzecznym chaateysty pzepływu są oeślone pzez funcję oesową [Pzedwojsi 988]. Funcja ta opisuje ustalony pzepływ niejednostajny. Funcja tego odzaju pozwala na adania stailności pzepływu w oytach postoliniowych i zywoliniowych. W adaniach stailności pzepływu pzyjmuje się, że na wyównane, poziome dno oyta, o głęoości śedniej w pzeoju popzecznym h, naładają się zmiany o małej amplitudzie (ys. 4). Zmiany te opisuje się 9

10 funcją oesową, tóa w postoątnym uładzie współzędnych oeślona jest następująco: η ( x, y) = ˆ η E (3a) E = exp x cos x + y + C (3) ( ) ( ) ss ηˆ amplituda odształceń oesowych, ss stopień naastania lu tłumienia fali opisującej zmiany wielości hydaulicznych, tj. głęoości, pędości podłużnych i popzecznych, Cn stała oeślająca pzesunięcie fazowe, n licza falowa w ieunu popzecznym, oeślona ównaniem Π n = m (33) B oaz licza falowa w ieunu podłużnym opisana zależnością, Π = (34) l Badania stailności pzepływu w oycie postoliniowym pzepowadza się na podstawie zlineayzowanego uładu ównań uchu wody i umowisa (6) (3). n n Rysune 4. Koyto postoliniowe: A Pzeój popzeczny, B Tłumiona fala oesowa opisująca defomacje dna w ieunu podłużnym Figue 4. Staight channel: A Coss-section, B Damped peiodic wave

11 Eliminacja z tego uładu ównań zmian: poziomu zwieciadła wody, wydatu umowisa w ieunu podłużnym i popzecznym oaz zmian pędości w ieunu podłużnym i popzecznym, powadzi do następującego ównania óżniczowego cząstowego piątego stopnia opisującego zmiany głęoości (defomacje dna) η : gdzie: h η h η η η d θ x y 3θ x y x x y f η η ( - 3) η - l +l = 4 3 3θ y x x y = - d f 6 θ + (35) (35a) Wstawienie pochodnych funcji oesowej, tj. ównania (3) do ównania óżniczowego (35) powadzi do następującego ozwiązania: H s sin ϕ - H cosϕ = (36) n 4 3 gdzie: H s = AK ( ss) d( ss) + Fn ( ss) + Fn ( ss ) + Fn 3 (37a) n H = F s ( ) + F s3 (37) F n = - 6 A K ( ) - d A K (38a) F n3 = 3 d ( ) - d F n 4 = A K d A 4 ( ) + ( ) = 4 A K ( ) - d F s K ss - f A 3 K (38) (38c) (39a) = - 4 A d 3 ( ) + 3 d ( ) + ( ) + d F s 3 K s s ss ss 4 K d = A K f - 3θ A K ; d 4 = AK A ( - 3) f - 3θ A K (39) (4)

12 oaz: ss, ezwymiaowe paamety fali opisującej zmiany chaateysty pzepływu: ss ss = ; = (4a) l l AK stała ezwymiaowa: f B AK = (4) Π h wyładni potęgowy w ównaniu tanspotu umowisa, s = m U s Równanie (36) zawiea dwa szuane paamety fali oesowej ss i, występujące w wielościach ϕ n, Hs i H. Równanie (36) ędzie spełnione, jeżeli spełniony ędzie uład ównań: = H s = H (4a) (4) Rozwiązanie uładu ównań (4) pozwala wyznaczyć watości szuanych paametów fali oesowej ss i, po upzednim podstawieniu w miejsce Hs i H ównań (37). Z ównania (4) olicza się liczę falową w ieunu podłużnym: / F s3 = - (43) F s Wstawienie w miejsce zależności (43) pzeształca wyażenie (37a) w wielomian ósmego stopnia względem szuanego paametu ss. Zgodnie z ównaniem (4a) miejsca zeowe tego wielomianu wyznaczają szuane watości paametu tłumienia fali ss. Podstawienie ta oeślonych watości paametu ss do ównań (39), oeślających wielości Fs i Fs3 pozwala na oliczenie z ównania (43) szuanych watości liczy falowej. Z zależności (37), spełniających ównania (4) wynia, że: ( ) ss = f (44)

13 Watości tych paametów olicza się metodą olejnych pzyliżeń, załadając wyjściową watość paametu. Występujące w uładzie ównań (37) (4) wielości:, AK, θ, d, d, d4 i f są funcjami śednich dla danego odcina zei: głęoości w osi oyta h i pędości podłużnej U, spadu podłużnego w osi oyta I oaz śednicy pzeciętnej umowisa D5. Wielości te mają stałe watości na danym odcinu zei. Wynia stąd, że paamety tłumionej fali oesowej, opisującej zmiany chaateysty pzepływu są wielościami stałymi pzy danym natężeniu pzepływu i nie zależą od współzędnych x i y, tj.: ss = const = const (45) W onsewencji, występujące w ównaniu (36) wielości Hs i H są współczynniami liczowymi o stałych watościach na danym odcinu zei. Mając oeśloną funcję opisującą zmiany głęoości η, można z uładu ównań (6) (3) wyznaczyć funcje opisujące zmiany pędości podłużnej u i popzecznej ω. Analiza uładu ównań nieliniowych (4) wyazuje, że watości ezwymiaowych paametów tłumionej fali oesowej, opisującej zmiany chaateysty pzepływu są funcjami następujących wielości: (, ) = f (, ) ss = f AKl AKl (46) gdzie: AKl dynamiczna stała oncentacji pzeoju popzecznego, oeślona wzoem: f B AKl = 3θ (47) ( m Π) h gdzie: m licza oyt cząstowych, w pzypadu oyta meandującego m = ; w pzypadu oyta typu waoczowatego m. Zależności oeślone ównaniami (46) pzedstawione są na ysunach 5 i 6 pzy stałej watości wyładnia potęgowego w ównaniu tanspotu umowisa = 5. Na ys. 5 i 6 linią ciągłą zaznaczony jest osza występowania piewiastów zeczywistych uładu ównań (4). Podony osza zmienności paametów ss i poazali w swojej pacy Stuisama i in. [985]. Z zależności (46) i (47) wynia, że pzy stałej watości wyładnia potęgowego w ównaniu tanspotu umowisa = const ezwymiaowe paamety fali oesowej są funcją współczynnia opoów Dacy-Weisacha f, 3

14 paametu Shields'a θ i miay ształtu pzeoju popzecznego (B/h). Wynii pzedstawione na ysunach 5 i 6 wsazują, że pzy uchu wody w oycie postoliniowym z uchomym dnem oaz f = const i θ = const ze wzostem watości miay ształtu pzeoju popzecznego (B/h) maleje stopień tłumienia fali oesowej opisującej defomacje dna oyta. Oznacza to, że pzy ss < defomacje dna opisane funcją η ędą wzastać z iegiem cieu. Jeśli zegi oyta postoliniowego ędą umocnione, wtedy wzdłuż zegów ędą występować napzemiennie płycizny i głęie. W pzypadu, gdy zegi oyta postoliniowego ędą twozyć mateiały ozmywalne, wtedy w oszaach występowania masymalnych pzyostów głęoości (η h) i pędości podłużnej (u Us) nastąpi eozja zegów i ozpocznie się poces meandowania oyta. Wsute zazywienia stumienia postoliniowego pojawi się siła odśodowa, wywołująca dodatowy popzeczny uch wody a ozwój zaoli zostanie pzyspieszony. Nawet w pzypadu gdy ss >, co oznacza tłumienie fali oesowej opisującej defomację dna, wystąpi zazywienie stumienia postoliniowego i pojawienie się siły odśodowej, tóa spowoduje nasilenie pocesu twozenia się zaoli. Rysune 5. Paamet tłumienia fali oesowej w funcji paametu AKl pzy = 5. A zaes piewiastów wielomianu, B ozwiązanie uposzczone Figue 5. Damping of petuation vesus paamete AKl fo = 5. A ange of polynomial oots, B simplified solution 4

15 Rysune 6. Licza falowa opisująca defomacje dna oyta w ieunu podłużnym w funcji paametu AKl pzy = 5. A zaes piewiastów wielomianu, B ozwiązanie uposzczone Figue 6. Wavelength of petuation vesus paamete AKl fo = 5. A ange of polynomial oots, B simplified solution Jeżeli w uładzie ównań (6) (3) opisujących uch wody w oycie postoliniowym pomija się człony zawieające funcję ω, tj. gdy zanieduje się popzeczny uch wody i zywiznę linii pądu, wtedy ozwiązanie uładu ównań (4), w tóym wielości Hs i H opie są wzoami (37a) i (37), pzyjmuje postać: ss - 3 = - - AKl (48a) = A Kl - ( ) ss / (48) Jest to ozwiązanie uposzczone [Stuisma 983], w tóym pominięto wpływ pędości popzecznej (pzepływu wtónego) na defomacje dna i zmiany chaateysty pzepływu. W ozwiązaniu tym pzepływ oeślony jest pzez siły ezwładności i siły tacia uchu 5

16 głównego a ieune uchu umowisa zależy tylo od ieunu uchu głównego wody i loalnego nachylenia popzecznego dna oyta. TOPOGRAFIA DNA I ROZKŁADY PRĘDKOŚCI W KORYTACH RZECZNYCH Topogafia dna i pozioma zmienność śedniej na głęoości stumienia pędości podłużnej i popzecznej w oycie złożonym z zaoli o zmiennej zywiźnie olicza się z zależności [Pzedwojsi 998]: głęoość: ( η + η ) Y c = h + c pędość podłużna: ( u + u ) U (49a) s + c pędość popzeczna: ( ω + ω ) c =U (49) V c =U (49c) c Y c zmienna w oszaze zaola głęoość, U s c zmienna w oszaze zaola, uśedniona w pionie stumienia pędość podłużna, zmienna w oszaze zaola, uśedniona w pionie stumie- V c nia pędość popzeczna, U śednia dla danego odcina watość pędości podłużnej, h śednia dla danego odcina watość głęoości, η c, u c, ω c zmiany zędu zeowego w oszaze ozwiniętego uchu spialnego w zaolu, η', u ', ω' zmiany zędu piewszego wywołane niestailnością pzepływu. Watości śednie głęoości h i pędości U odnoszą się do części pzepływu ponad dnem oyta. Zmiany zędu zeowego oeślone są funcjami typu wyładniczego, a zmiany zędu piewszego oeślone są funcjami oesowymi. Wzoy opisujące wielości η c, u c, ω c zamieszczone są w pacy Pzedwojsiego [998]. Zmiany paametów hydaulicznych zędu piewszego są wyażone zależnościami: η = ˆ η E; u = uˆ E ; ω = ˆ ω E (5) c c gdzie amplituda funcji oesowej, oeślająca zmiany głęoości ηˆ, opisana jest ównaniem: c u c ω 6

17 n R ˆc = K f η cos ( s ) m (5a) Amplitudy funcji oesowej opisujące zmiany pędości podłużnej i popzecznej oeślone są następującymi fomułami: uˆ n c = K R ˆω n R l cos l c = K cos n ( s ) m ( s ) m (5) (5c) R pomień na wiezchołu zaola o zmiennej zywiźnie (ys. ), n połowa szeoości dna, l stała dla danego łuu, oeślona wzoem (3), Eu, E ω zamieszczone w załączniu E w pacy Pzedwojsi [998] funcje typu oesowego, opisujące zmiany pędości podłużnej popzecznej. Szuane funcje oesowe Eu i E ω zostały oeślone dogą całowania ównań uchu i ciągłości dla wody (6) (8). W pzypadu pzeoju popzecznego oyta zywoliniowego, podonie ja w pzypadu łuu ołowego, załada się, że na pochylone pod atem β do poziomu dno oyta naładają się dodatowe odształcenia, wywołane zmianami oesowymi o małej amplitudzie (ys. 4). Wtedy zmiany głęoości w zaolu opisane są ównaniem (49a). Jeżeli l= to, ja wynia z poównania zależności (a) i (34), L = l (ys. 4). Ponieważ sm = L/4 (ys ), to cos [( Π /L ) (L/4)] = oaz ˆ η c =, czyli w pzypadu gdy długość zaola L, miezona wzdłuż osi oyta, jest ówna długości fali oesowej opisującej odształcenia dna w pofilu podłużnym l, wtedy zmiany głęoości wywołane niestailnością pzepływu zaniają, a o uładzie dna oyta decyduje tylo natężenie uchu spialnego. Jest to jedna sytuacja wyjątowa. W oytach natualnych występuje ciągła zmiana natężenia pzepływu wody powodująca zmianę chaateysty pzepływu i w onsewencji zmianę watości paametów tłumionej fali oesowej. W tej sytuacji l L oaz ˆ η c. W ezultacie dno oyta ulega ciągłym zmianom, a pzeciętny uład dna oyta odpowiada pzepływowi śedniemu ocznemu. Uład poziomy tasy oyta jest ściśle związany z uładem pionowym, ta ja poazano to na ysunu 4. W sytuacji, gdy zywizna osi geometycznej oyta jest podona do 7

18 zywizny tłumionej fali zauzeń oesowych, niestailność pzepływu nie wywołuje dodatowych zamian watości paametów pzepływu. W odóżnieniu od tasy oyta złożonej z łuów ołowych, tasa oyta złożona z zaoli o zmiennej zywiźnie, opisanych ównaniem (a), zapewnia najmniejsze odształcenia dna, jaie mogą wystąpić pzy zadanym pzepływie. TOPOGRAFIA DNA PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Podstawę weyfiacji ozwiązania pzedstawionego ównaniami (49), dla zaoli o zmiennej zywiźnie, występujących w oytach natualnych, stanowi poównanie oliczonego uładu dna z wyniami pomiaów w oycie Waty. Pomiay te wyonano w 989 ou na 4 ilometowym odcinu zei, od m 74 do m 78 [Pzedwojsi i in. 989]. Badania teenowe oejmowały pomiay głęoości oaz pomiay poziomów zwieciadła wody. Ponadto w dwóch wyanych pzeojach hydometycznych (w m 74 i m 78) pzepowadzono puntowe pomiay pędości pzepływu wody i wydatu umowisa wleczonego w 8 pionach. Wymienione pomiay wyonano po dwumiesięcznym oesie twania stanów śednich. W tym oesie śednia głęoość adanego odcina oyta zei wynosiła h =, m, a masymalne wahania stanów wody zmieniały się w pzedziale od,3 m do,35 m. Puntowe pomiay pędości wyonano młyniem typu OTT, a pomiay tanspotu umowisa wleczonego łapaczą PIHM, o współczynniu spawności,65. Wymienione wyżej pomiay pędości pzepływu wody i wydatu umowisa wleczonego wyozystano do oszacowania watości wyładnia potęgowego, występującego w ównaniu s = ms U. Do oceny watości tego wyładnia wyozystano taże wynii podonych pomiaów, wyonane na tym odcinu zei w latach 98 i 99. Ustalona na podstawie tych pomiaów watość wyładnia = 4,. Pozostałe chaateystyi pzepływu, chaateystyi umowisa wleczonego oaz paamety geometyczne oyta w uładzie poziomym zei zestawiono w taeli i poazano na ysunu 7. Kzywiznę osi geometycznej zaoli opisano ównaniem (). W oliczeniach pzyjęto watość współczynnia opou C =,5. Paamety fali oesowej ss i oliczono na podstawie uładu ównań nieliniowych (4). Z danych zamieszczonych w taeli wynia, że oliczona z uładu ównań nieliniowych (4) watość ezwymiaowej liczy falowej 8

19 wynosi.53 i jest adzo lisa watości,5, oeślonej na podstawie pomiaów teenowych. Chaateystyi hydauliczne oyta oliczono z zależności (49) i poównano z wyniami pomiaów na dwóch zaolach oyta z. Waty zloalizowanych w m 74 i m 78 (ys. 7). Rysune 7. Plan sytuacyjny zaoli zei Waty Figue 7. Plan view of two ends of the Wata ive 9

20 Taela. Paamety oyta zei Waty Paamety hydauliczne Rzea Wata Natężenie pzepływu Q (m 3 /s) 77, Szeoość dna oyta B (m) 4, Śednia głęoość pzepływu h (m), Śednia pędość pzepływu Us (m/s),8 Spade zwieciadła wody I ( ),9 Pzeciętna śednica umowisa D5 (mm),37 Pomień łuu R (m) 7 (łu ); 45 (łu ) Długość łuu L (m) 5 (łu ); 47 (łu ) Wyładni we wzoze (.) (-) 4, Stosune pomienia do szeoości R/B(-) 6.75 (łu ); 3.63 (łu ) Stosune szeoości do głęoości B/h (-), Paamet tłumienia fali zauzeń ss (-), Licza falowa w ieunu podłużnym (-) a) pomiezona ) oliczona,5,53 Zmienność głęoości i śedniej w pionie stumienia pędości podłużnej w dwóch adanych łuach zei Waty poazano na ysunach 8 i 9. Wynii poazane na tych ysunach wsazują, że ozwiązanie zlineayzowanego uładu ównań (6) (), wyażone ównaniami (49) doze zgadza się z wyniami pomiaów teenowych i może yć stosowane do pognozowania defomacji dna oyta w łuu (topogafii dna) i pognozowania zmienności w planie śednich na głęoości stumienia pędości podłużnych. Równania (49) mogą yć stosowane do pognozowania chaateysty pzepływu w oytach natualnych, tóych zegi chonione są pzed eozją za pomocą tam podłużnych lu ostóg. Podoną zgodność oliczonego ształtu dna z wyniami pomiaów otzymano w pzypadu pzeojów popzecznych natualnego oyta zei

21 Poy. W tym pzypadu zegi oyta zei umocnione yły poostem oślinności wysoopiennej (dzewa i zewy) [Wiezici, Pzedwojsi 6]. W pzypadu zaudowy ostogami loalne ozmycia występujące pzy głowicach ostóg wpływają na topogafię dna oyta. Do oszacowania masymalnych głęoości ozmyć loalnych pzy ostogach można wyozystać fomułę podaną w pacy Pzedwojsiego [995]. Rysune 8. Pomiezone i oliczone pzeoje popzeczne oaz uśednione na głęoości stumienia pędości podłużne w zaolu Figue 8. Measued and pedicted tansvese ed pofiles and depth-aveaged steamwise velocities in end of the Wata Rive

22 Rysune 9. Pomiezone i oliczone pzeoje popzeczne oaz uśednione na głęoości stumienia pędości podłużne w zaolu Figue 9. Measued and pedicted tansvese ed pofiles and depth-aveaged steamwise velocities in end of the Wata Rive

23 PROJEKTOWANIE UKŁADU POZIOMEGO KORYTA Kształt osi geometycznej zaoli zecznych. Rozwiązaniem zlineayzowanego uładu ównań uchu wody i umowisa jest funcja hamoniczna wyażona ównaniem (3). Kzywizna osi geometycznej meandów zecznych, wyażona w uładzie współzędnych zywoliniowych oeślona jest następująco: ρ = ˆ ρ E (3a ) ( s ) ( s + n C ) E = exp + ss cos n n (3 ) ρ = loalna zywizna współzędnej s, ˆ ρ = R amplituda oeślająca masymalną zywiznę w pzeoju wiezchołowym zaola, s = s sm, s odległość miezona od pzeoju początowego zaola, s m = L 4 - odległość od początu do wiezchoła zaola (ys. ). W osi geometycznej zaola mamy n =. Załadając, że stała Cn =, wtedy funcja hamoniczna, opisująca stacjonaną, oesowa falę tłumioną pzyjmuje postać: E = exp ( s ) ( s ) ss cos (3 ) W waunach stailnego oyta w uładzie poziomym, długość zaola L ędzie ówna długości fali oesowej opisującej odształcenia dna w pofilu podłużnym l tj. l = L, oaz l=. Pzy małych watościach ss, ównanie opisujące zywiznę osi geometycznej zaola pzyjmuje postać ównania (), tj.: Π cos L s = R Liczne adania uładu poziomego ze, w tym óżnych odcinów Waty, Gwdy i Poy i Nawi [Pzedwojsi, 99a, 99, 99c; Pzedwojsi, Żelazo, 99, 99; Wiezici, Pzedwojsi 6] wyazują, że ównanie () adzo doładnie odwzoowuje zywiznę osi geometycznej natualnych zaoli zecznych. Elementem potwiedzającym doładność tego odwzoowania jest adzo doa zgodność ształtu pzeojów popzecznych oaz uśednionych na głęoości stumienia pędości podłużnych, oliczonych na modelu z wyniami pomiaów w natualnym oycie zei Waty. Wynii tych adań wyazują, że natualną zywą zaoli zecznych jest zywa cosinusoidalna, opisana ównaniem ( ). ( ) 3

24 Minimalna watość pomienia na wiezchołu łuu. W pzypadu łuów ze zmienną zywizną, gdy długości fali oesowej opisującej odształcenia dna l, jest ówna długość zaola L, tj. l = L, wtedy amplituda funcji oesowej ˆ η c =. W tym pzypadu topogafia dna w zaolu może yć oeślona na podstawie uposzczonego ozwiązania o postaci: ( ) Y = h + η (5) Szczegółowy opis tego ozwiązania pzedstawiono w załączniu I. Powyższe ównanie wyozystano do oliczenia minimalnej watości pomienia na wiezchołu łuu. Załada się pzy tym, że pzeój popzeczny na wiezchołu ma ształt tójątny o masymalnym nachyleniu dna, a poziom dna pzy zegu wypułym osiąga poziom zwieciadła wody. Wtedy stosune minimalnego pomienia zywizny R do szeoości dna B może yć oliczony z następującego ównania [Pzedwojsi 998]: R = B K h n ( δ ) / (53) gdzie: h głęoość śednia, n połowa szeoości dna, y masymalna głęoość pzy zegu wlęsłym, w pzeoju wiezchołowym łuu, K stała dla danego zaola, oeślona ównaniem (I.6) w załączniu, δ = y / h stosune głęoości. Dla doze ozwiniętych meandów z masymalną zywizną (tj. minimalną watością pomienia R) ształt pzeoju popzecznego na wiezchołu zaola jest w pzyliżeniu tójątny, wtedy δ =. W słaiej wyształconych zaolach o łagodnej zywiźnie watości δ zmniejszają się i w oytach postoliniowych wynoszą δ =. Optymalna długość łuu. Twałość umocnień iologicznych lu technicznych zegów oyta zei zależy od zapojetowania stailnego uładu poziomego oyta zei. Wauniem stailności oyta jest oeślenie optymalnej długości łuu. Waune ten ędzie spełniony gdy długość zaola L, miezona wzdłuż osi oyta, ędzie ówna długości fali oesowej opisującej odształcenia dna w pofilu podłużnym l tj. l = L, a to oznacza że l=. Stąd optymalna długość łuu może yć oliczona z następującej zależności: 4

25 Π L= h f (54) w tóej jest ezwymiaową liczą falową, opisującą defomacje dna w ieunu podłużnym. Watość olicza się z ównań (4). Na wstępnym etapie pojetowania do oeślenia optymalnej długości łuu można wyozystać ównania (48). PODSUMOWANIE I WNIOSKI W pacy pzedstawiono ozwiązanie analityczne zlineayzowanego uładu ównań opisującego ustalony, niejednostajny uch wody i umowisa w zywoliniowym oycie zecznym. Koyto zei twozą zaola o zmiennej zywiźnie, tóe można opisać zywą cosinusoidalną. Na podstawie adań uładu poziomego i pionowego wielu ze można sfomułować następujące wniosi: Oliczone na dwuwymiaowym w planie modelu matematycznym głęoości i śednie w pionie pędości podłużne wyazują adzo doą zgodność z wyniami pomiaów w natualnych oytach zecznych. Z ozwiązania zlineayzowanego uładu ównań uchu wody i umowisa wynia, że zywa cosinusoidalna jest natualną zywizną meandów zecznych i doze opisuje ształt osi geometycznej zaoli zecznych. Potwiedzeniem tego jest doa zgodności oliczonych paametów oyta w uładzie poziomym i pionowym z wyniami osewacji w zaolach zecznych. Zgodność oliczeń ształtu pzeojów popzecznych i pędości podłużnych pozwala na pognozowanie topogafii dna i wyznaczanie loalizacji najwięszych wyojów oaz pojetowanie odpowiedniego typu umocnień iologicznych i technicznych Dla utzymania twałości i zachowania ezpieczeństwa udowli inżyniesich w oytach zecznych onieczne jest zapojetowanie stailnego oyta zei w uładzie poziomym i pionowym. W tym celu należy wyznaczyć dla danego odcina zei watości: minimalnego pomienia zywizny na wiezchołu łuu oaz optymalnej długości łuu. 5

26 ZAŁĄCZNIK I TOPOGRAFIA DNA ROZWIĄZANIE UPROSZCZONE [Pzedwojsi 988]. Głęoość w dowolnym puncie łuu o zmiennej zywiźnie opisana jest zależnością: Y = h ( + η ) (I.) n Π w tóej: η = K f cos s - C exp (- a s) R (I.) L i gdzie: n odległość od osi oyta, R minimalna watość pomienia do osi oyta w pzeoju wiezchołowym łuu, L długość łuu, C stała, pomień zywizny w pzeoju początowym łuu, miezony do osi oyta, i pomień zywizny w pzeoju ońcowym łuu gónego (ys. ), miezony do osi oyta, s współzędna w ieunu podłużnym, s = s sm (ys. ) oaz: κ a= h f / (I.3) f = - exp (- a s) (I.4) h K = Ko (I.5) R K = 3 C f + n ( F) (I.6) F = g D ( ρ) ρ s U ρ / (I.7) = n f κ / (I.8) 6

27 ( u ) * ; [ g h ] / f = u* = I (I.9) U f u p h ζ = α ε -ζ ζ - ζ (I.) = +; = + ; = + 3 (I.) m m m 3 u = m κ U * ζ -ζ - 3 α = ζ ζ - - u 4 = h u ζ = + 4 p ε /m ζ * ( D ) 5 h u ( u* ) c - ( ζ - ) ( ζ - ) + * 4 3 (I.) (I.3) (I.4) (I.5) u p = U n + (I.6) κ ε = u* h 6 (I.7) α = K f; α = Ki C exp i ( as) (I.8) D5 śednica pzeciętna umowisa wleczonego, h głęoość pzepływu w osi oyta, u* pędość dynamiczna w osi oyta, U pędość śednia na szeoości dna oyta, up pędość 7

28 powiezchniowa w osi oyta, I spade podłużny, ρ gęstość wody, ρ s gęstość umowisa, κ stała von Kamana, C współczynni opou poziomej siły wleczenia w ieunu adialnym, Ki watość stałej K dla zaola gónego, C stała uwzględniająca oddziaływanie zaola gónego na geneowanie uchu spialnego na początowym odcinu analizowanego łuu, pzyjmująca watości od do. W pzeoju popzecznym na wiezchołu łuu ównanie (I.) eduuje się do postaci: n Y = h + K R (I. ) BIBLIOGRAFIA Engelund F. Flow and ed topogaphy in channel ends. Jounal of the Hydaulic Division, ASCE, 974, vol., No HY, s Pzedwojsi B., Bąowsi Z., Kosteca U., Nowa J. Badania pzepływu i topogafii dna oyta Waty od m 79 do m 75. Kateda Budownictwa Wodnego, AR w Poznaniu, Poznań, 989, (maszynopis). Pzedwojsi B. Ruch wody i topogafia dna oyta w zaolach zecznych. Rocznii AR w Poznaniu, Seia: Rozpawy Nauowe, z. 7, 988, s.. Pzedwojsi B. Kzywa cosinusoidalna w uładzie poziomym ze. Gospodaa Wodna, n, 99a, s Pzedwojsi B. Wyznaczanie pomienia minimalnego łuu pzy pojetowaniu tasy egulacyjnej. Sesja nauowa nt. Współczee polemy udownictwa wodnego, SGGW-AR, Waszawa 99, s Pzedwojsi B. Bed topogaphy at anfull dischage in the Wata Rive. Rocznii Nau Rolniczych, t. 8, z. ¾, 99c, s Pzedwojsi B. Żelazo J. Topogafia dna oyta zei Nawi powyżej ujścia Biezy. Sesja nauowa nt. Współczee polemy udownictwa wodnego, SGGW-AR, Waszawa 99, s Pzedwojsi B., Żelazo J. Pognoza zmian ształtu dna zei na pzyładzie gónej Nawi. Gospodaa Wodna, n, 99, s Pzedwojsi B. Bed topogaphy and local scou in ives with ans potected y goynes. Jounal of Hydaulic Reseach, vol. 33, No., 995, s Pzedwojsi B., Błażejewsi R., Pilaczy K.W. Rive Taining Techniques. Fundamentals, Design and Applications. Wyd. A.A. Balema, Rottedam, Boofield, 995, s. 65. Pzedwojsi B. Mofologia ze i pognozowanie pocesów zecznych. Wyd. Aademii Rolniczej im. Augusta Cieszowsiego w Poznaniu, Poznań 998, s. 93. Stuisma N., Point a initiation in ends of alluvial ives with dominant ed load tanspot. TOW Repot R657- XVII/W38-pat III, 983, DHL, The Nethelands. Stuisma N., Olesen K.W., Flosta C., Viend H.J. de. Bed defomation in cuved alluvial channels. Jounal of Hydaulic Reseach, 985 vol. 3, No, s

29 Wiezici M., Pzedwojsi B. Opis uładu poziomego zaoli zei Poy pzy wyozystaniu zywej cosinusoidalnej. Wyd. Infastutua i Eologia Teenów Wiejsich, PAN, Oddział w Kaowie, Kaów 6. Pof. d ha. inż. Bogusław Pzedwojsi Kateda Budownictwa Wodnego Aademia Rolnicza im. Augusta Cieszowsiego w Poznaniu ul. Wojsa Polsiego 73A Poznań tel pi@au.poznan.pl Recenzent: Pof. d ha. inż. Wojciech Batni Bogusław Pzedwojsi MORPHOLOGY OF RIVER CHANNELS, MEASUREMENTS, MODELLING AND PROGNOSIS OF FLUVIAL PROCESSES SUMMARY In this pape the two-dimensional depth-aveaged momentum and continuity equations fo steady shallow flow and sediment tanspot ae descied. This two-dimensional model is used to study of the ed defomation in alluvial channels. The petuation of mean values in the coss-section of hydaulic flow paametes is detemined y the peiodic function which descies the non-unifom ut steady flow. The function of this type allows the investigation of the flow staility in oth: the staight and the cuvilinea cannels. Fo these channels ed topogaphy and hoizontal distiution of depth-aveaged velocity in longitudinal diection can e computed fom exponential-peiodic solution of the momentum and continuity equations. Bed topogaphy computed fom this solution is compaed with ed topogaphy of two ends in the Wata Rive. It was found that this solution is in good ageement with the measued ed topogaphy in the ive. It is also found that the cosine-geneated cuve is the natual cuvatue of the ive meandes. Two equations fo the calculation of the minimum value of meande cuvatue at the apex and the optimal length of end ae also pesented in the pape. Key wods: ive hydaulics, suspended and ed load movement, numeical modeling, iveed topogaphy 9