ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM

Transkrypt

1 Budownicwo Mariusz Poński ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM Wprowadzenie Coraz większe ograniczenia czasowe podczas wykonywania projeków obieków przemysłowych oraz wymagania inwesorów co do możliwości modyfikacji lub rozbudowania układów sawiają przed projekanem nowe wyzwanie - konieczność sosowania konsrukcji wrażliwych na oddziaływania dynamiczne, jakimi są konsrukcje salowe. To zadanie wymaga sosowania złożonych meod numerycznych, nie zawsze dosaecznie dobrze zweryfikowanych dla złożonych układów konsrukcyjnych, co może pociągać za sobą powsawanie niedopuszczalnych błędów i w konsekwencji awarii lub zniszczenia układu. Na rynku dosępnych jes wiele programów umożliwiających analizę konsrukcji, w ym analizę dynamiczną. Jednym z najczęściej wykorzysywanych w polskich biurach konsrukcyjnych jes program Auodesk Robo Srucural Analysis (ARSA) [1], łączący w sobie narzędzie do analizy saycznej, dynamicznej, wyboczeniowej, modalnej i wielu innych oraz modułu służącego kompleksowemu wymiarowaniu konsrukcji na podsawie obowiązujących norm krajowych. Mimo wielu zale program zawiera również szereg wad oraz częsokroć błędów wpływających na poprawność wyników. Jako przykład można przyoczyć rozważania doyczące analizy modalnej przedsawione w pracy []. W niniejszej pracy dokonano porównania wyników przebiegu drgań prosego układu w posaci pręa wspornikowego dla modelu analiycznego oraz numerycznego. Zaprezenowano dwa przykłady obliczeniowe, pierwszy z wymuszeniem funkcją harmoniczną, drugi z funkcją impulsową. 1. Analiyczne oraz numeryczne meody całkowania równań ruchu Równanie ruchu masy m można zapisać w posaci mq&& + cq& + kq = P( ) (1)

2 Analiza odpowiedzi układów konsrukcyjnych na wymuszenie w posaci siły 191 Rozwiązanie równania w przypadku wymuszenia siłą harmoniczną P( ) = P sin( p) przedsawiono w pracy [3] przez zasosowanie rachunku operaorów Mikusińskiego: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q = q + q + q + q () gdzie poszczególne człony w równaniu () wynoszą q ( ) P = k ( ) ( p) ( β ) 1 β sin ξ cos( p) β 1 + ( ξβ ) 1 ξω P βv + ξ pq q ( ) = e sin( ωd) k p 1 ξ 3 P ξω ξ + β β q3 ( ) = e sin( ω ) d k 1 ξ ( 1 β ) ( ξβ ) + ξω P ξβ q4 ( ) = e q + cos( ωd) k ( 1 β ) + ( ξβ ) (3) (4) (5) (6) p w kórych k oznacza szywność układu, β =, p o częsość drgań wymuszających, ω ω o częsość drgań własnych, v - prędkość począkowa, d 1 ω = ω ξ, ξ - liczba łumienia, - czas, q - przemieszczenie począkowe. W przypadku wymuszenia dowolną funkcją czasu, całkę ogólną równania (1) można przedsawić w posaci [4] ξω v + ξωq 1 ξω ( τ ) q( ) = e sin( ωd) + qcos( ωd) + P( τ ) e sin( ωd ( τ )) dτ ω d ω d m (7) Drugi człon prawej srony równania (7) nosi nazwę całki Duhamela i w zależności od posaci impulsu P(τ) można ją obliczyć analiycznie lub numerycznie. Przykładowe formy impulsu przedsawiono na rysunku 1 [5]. Równanie (1) może być również rozwiązane za pomocą meod numerycznych. Spośród wielu isniejących można wymienić meodę Eulera, meodę różnic skończonych, meody Rungego-Kuy, meodę Newmarka, meodę dekompozycji modalnej

3 19 M. Poński oraz meodę Hilbera-Hughesa-Taylora (HHT). Trzy osanie zosały zaimplemenowane w programie ARSA. Waro w ym miejscu zwrócić uwagę na sposób definiowania łumienia dla poszczególnych meod. W meodzie dekompozycji modalnej należy wprowadzić liczbę łumienia dla każdej posaci drgań. W meodzie Newmarka oraz HHT określa się współczynniki proporcjonalności dla macierzy łumienia (łumienie Rayleigha), zależne od częsości kołowej oraz liczby łumienia. P( ) := P P( ) := P if 1 P oherwise P( ) P P( ) P( ) := P if P oherwise P( ) := P sin π if oherwise P( ) P P( ) P( ) P( ) := P π 1 cos if oherwise Rys. 1. Przykłady posaci impulsów Ze względu na ograniczoną objęość pracy zrezygnowano z omawiania ww. meod. Zaineresowanych czyelników auor odsyła do obszernej lieraury [1, 6-8].. Analiza numeryczna Obiekem analizy jes prosy układ w posaci pręa wspornikowego. We wszyskich przykładach przyjęo nasępujące dane maeriałowe oraz geomeryczne: Moduł Younga: E = 5, GPa Długość pręa: L =, m Profil pręa: IPE 1

4 Analiza odpowiedzi układów konsrukcyjnych na wymuszenie w posaci siły 193 m Przyśpieszenie ziemskie: g = 9,87 s m Prędkość począkowa: v =, s Wychylenie począkowe: q =, m Liczba łumienia: ξ =,79 Poniższe przykłady rozparują ylko układ o jednym dynamicznym sopniu swobody. Na podsawie wniosków przedsawionych w pracy [] można swierdzić, że wyniki uzyskane dla układów o większej liczbie dynamicznych sopni swobody nie będą zgodne z rozwiązaniem analiycznym, jeżeli rozparywany kierunek ruchu układu nie będzie odpowiadał pierwszej posaci drgań. Może się ak zdarzyć w przypadku, gdy drugi maksymalny relaywny procen udziału mas odpowiada dalszej posaci drgań..1. Przykład 1 - wymuszenie siłą harmoniczną Układ obciążono siłą harmoniczną w posaci P( ) = P sin( p). Do obliczeń przyjęo nasępujące paramery: rad Częsość drgań wymuszających: p = 4, s Siła wymuszająca: P = 1, kn Na rysunku przedsawiono przebieg wychylenia końca wspornika w czasie wyznaczonym z wykorzysaniem rozwiązania () (linia ciągła), z wyróżnieniem ( ), q ( ). członu drgań nieusalonych ( q ) oraz usalonych ( ) d.3. q( ).1 q d ( ) q ( ) Rys.. Funkcja wychylenia końca wspornika od czasu - rozwiązanie analiyczne Analizie poddano warości funkcji w przedziale czasowym <, > sekundy. Na rysunku 3 przedsawiono wydruk z programu ARSA, a nasępnie zesawiono obie funkcje na rysunku 4.

5 194 M. Poński Rys. 3. Funkcja wychylenia końca wspornika od czasu - rozwiązanie ARSA Przeprowadzona analiza wykazała bardzo dobrą zbieżność wyników, co pokazuje rysunek q ARSA q( ) discre, Rys. 4. Porównanie wyników orzymanych drogą analiyczną oraz numeryczną.8.74 q.68 ARSA q( ) discre, Rys. 5. Błąd generowany przez dyskreyzację funkcji wymuszającej Porównanie warości obrazuje powsanie ypowego błędu dyskreyzacji (rys. 5), funkcji wymuszającej. Błąd en zosaje zminimalizowany przy dobraniu dosaecz-

6 Analiza odpowiedzi układów konsrukcyjnych na wymuszenie w posaci siły 195 nie małego kroku zapisu w programie ARSA. Na rysunku 6 przedsawiono eksremalne różnice analizowanych funkcji Blad bezwzgledny Rys. 6. Funkcja błędu bezwzględnego - przedział z eksremami Rys. 7. Posać funkcji wymuszającej wprowadzonej do programu ARSA Uzyskanie dobrej zbieżności wiąże się z przyjęciem małego kroku zapisu, co w przypadku np. konsrukcji powłokowych wymagających gęsego podziału siaki elemenów skończonych prowadzi do czasochłonnych obliczeń. Ponado pliki

7 196 M. Poński obliczeniowe generowane przez program mogą osiągać rozmiar nawe kilkunasu gigabajów. Na rysunku 7 przedsawiono okno programu z wprowadzoną funkcją wymuszającą... Przykład - wymuszenie siłą impulsową Układ obciążono siłą impulsową (impuls prosokąny - rys. 8) P( τ ) = 5, kn, w przedziale <, > oraz P( τ ) =, kn w przedziale (,5 >. Na rysunku przedsawiono wydruk z programu ARSA. Przeprowadzana analiza wykazała doskonałą zbieżność wyników ze względu na przyjęcie bardzo małego kroku czasowego (1 kroków zapisu). Zesawienie wyników obliczeń analiycznych oraz numerycznych zobrazowano na rysunku 9. Rys. 8. Funkcja wychylenia końca wspornika od czasu oraz posać impulsu - rozwiązanie ARSA.1.7 q.4 ARSA q( ) discre, Rys. 9. Porównanie wyników orzymanych drogą analiyczną oraz numeryczną Na rysunku 1, podobnie jak w przykładzie 1, przedsawiono okno programu ARSA z wprowadzoną funkcją wymuszającą oraz paramerami użyymi do obliczeń numerycznych.

8 Analiza odpowiedzi układów konsrukcyjnych na wymuszenie w posaci siły 197 Rys. 1. Posać impulsu wprowadzonego do programu ARSA Podsumowanie Przeprowadzona analiza wykazała bardzo dobrą zbieżność wyników dokonanych analiycznie oraz za pomocą programu do obliczeń numerycznych meodą elemenów skończonych Auodesk Robo Srucural Analysis. Przyczyną powsawania błędów okazał się sposób dyskreyzacji funkcji wejściowej, co można zminimalizować przez przyjęcie odpowiednio małego kroku zapisu. Lieraura [1] Auodesk Robo Srucural Analysis - Podręcznik użykownika. [] Kubicki K., Drgania własne układów ramowych i ich modelowanie w programie Auodesk Robo Srucural Analysis, ZN Poliechniki Częsochowskiej 1 nr 168, Budownicwo 18, [3] Poński M., Zasosowanie rachunku operaorów Mikusińskiego w pewnych zagadnieniach dynamiki konsrukcji, ZN Poliechniki Częsochowskiej 1 nr 168, Budownicwo 18, [4] Chmielewski T., Zembay Z., Podsawy dynamiki budowli, Arkady, Warszawa [5] Lipiński J., Fundameny pod maszyny, Arkady, Warszawa [6] Lewandowski R., Dynamika konsrukcji budowlanych, Wydawnicwo Poliechniki Poznańskiej, Poznań 6.

9 198 M. Poński [7] Lewandowski R., Redukcja drgań konsrukcji budowlanych, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 14. [8] Bahe J., Finie Elemen Procedures in Engineering Analysis, Prenice-Hall, Englewood Cliffs 198. Sreszczenie W pracy przedsawiono porównanie wyników obliczeń analiycznych oraz numerycznych przebiegu drgań prosej konsrukcji pręowej. Do obliczeń numerycznych wykorzysano program Auodesk Robo Srucural Analysis. Response analysis of srucural sysems excied by force wih any ime funcion Absrac In he paper comparison of analyical and numerical ime hisory calculaions of a simple bar srucure was presened. Auodesk Robo Srucural Analysis for he numerical calculaions was used.