IMPLEMENTACJA FUNKCJI ZBIORÓW POZIOMICOWYCH W ALGORYTMACH KONSTRUKCJI OBRAZU TOMOGRAFICZNEGO

Transkrypt

1 Tomasz RYMARCZYK Stefan F. FLPOWCZ MPLEMENTACJA FUNKCJ ZBORÓW POZOMCOWYCH W ALGORYTMACH KONSTRUKCJ OBRAZU TOMOGRAFCZNEGO STRESZCZENE W pracy przedstawiono metodę rozwiązania zagadnienia odwrotnego w tomografii impedancyjnej opartą na idei zbiorów poziomicowych. Algorytm numeryczny rozwiązania jest odpowiednią ombinacją funcji zbiorów poziomicowych, algorytmu Chan-Vese i wariacyjnych modyfiacjach wymienionych metod. Do rozwiązania zagadnienia prostego została wyorzystana metoda elementów sończonych. Słowa luczowe: metoda zbiorów poziomicowych, Chan-Vese model, zagadnienie odwrotne, tomografia impedancyjna 1. WSTĘP W pracy przedstawiono metodę rozwiązania zagadnienia odwrotnego w tomografii impedancyjnej [3, 10] opartą na idei zbiorów poziomicowych (ang. Level Set Method) [7, 8, 9], wariacyjnej wersji funcji poziomicowej [5] mgr inż. Tomasz RYMARCZYK tomasz@rymarczy.com prof. dr hab. inż. Stefan F. FLPOWCZ 2xf@nov.iem.pw.edu.pl nstytut Eletrotechnii PRACE NSTYTUTU ELEKTROTECHNK, zeszyt 248, 2010

2 22 T. Rymarczy, S.F. Filipowicz oraz algorytmie Chan-Vese [1, 2, 6]. Wartości ondutywności ustalano rozwiązując zagadnienie proste przy użyciu metody elementów sończonych. Algorytm numeryczny rozwiązania jest odpowiednią ombinacją metod zbiorów poziomicowych, algorytmu Chan-Vese i metody elementów sończonych. 2. TOMOGRAFA MPEDANCYJNA Algorytm onstrucji obrazu wyonuje ciągłą aprosymację rozładu współczynnia materiałowego przy użyciu odpowiedniej ombinacji metody zbiorów poziomicowych i metody elementów sończonych [4]. Reprezentacja ształtu brzegu szuanego obietu i jego ewolucja podczas iteracyjnego procesu reonstrucji jest osiągana przy pomocy metody zbiorów poziomicowych. Pochodna ształtu jest bezpośrednio powiązana z pochodną normalną potencjału wzdłuż badanego brzegu. Wartości ondutywności w różnych obszarach są inicjowane po zdefiniowaniu zerowego zbioru poziomicowego. W przedstawionym algorytmie wewnętrzne obiety opisane są przez funcję zbiorów poziomicowych, tóra jest dysretyzowana na stałej siatce artezjańsiej. Załadana jest liniowość pomiędzy puntami siati. Dodatowo obliczane są punty na liniach siati. Funcja celu jest zdefiniowana jao średniowadratowa wartość błędu reonstrucji odniesiona do wetora napięć międzyeletrodowych. Dla pojedynczego rou iteracyjnego można ją przedstawić następująco: 2 Φ 1 = 0.5(φ uo) (1) gdzie: Φ funcja celu, φ napięcie obliczone, u o napięcie pomierzone. Pochodna funcji celu Φ względem γ wyrażana jest następująco: = p j= 1 ϕ j λ j (2) gdzie: γ ondutywność, p liczba ątów projecji, λ potencjał równania sprzężonego.

3 mplementacja funcji zbiorów poziomicowych w algorytmach onstrucji obrazu 23 Funcja zbiorów poziomicowych w olejnych roach jest uatualniana zgodnie z relacją: φ = φ μ φ + 1 Φ (3) gdzie: φ funcja zbioru poziomicowego, współczynni μ > 0. Pochodną funcji celu Φ względem φ oreślamy: φ = φ = ( γ γ ) δ( φ) (4) Pochodna funcji celu Φ względem γ i γ przestawia się następująco: = Ω ds = Ω H ( φ)ds = ds = (1 H ( φ))ds (5) Ω Ω Kondutywności obliczane są wg następujących wzorów: γ + 1 = γ β γ γ + 1 = γ β 2 (6) gdzie: β współczynni β > 0, γ, γ ondutywności obszarów. Ostatecznie funcja zbioru poziomicowego przyjmie następującą postać: φ + 1 = φ μ ( λ ϕ )( γ γ ) δ( φ) (7) Algorytm numeryczny reonstrucji obrazu słada się z następujących roów: inicjalizacja zerowego zbioru poziomicowego, rozwiązanie równanie Laplace a w badanym obszarze, rozwiązywanie równania sprzężonego do równania stanu, wyznaczenie sładowej normalnej prędości, uatualnienie funcji zbioru poziomicowego,

4 24 T. Rymarczy, S.F. Filipowicz reinicjalizacja, sprawdzanie warunu zbieżności. W metodzie wariacyjnej reonstrucji obietów nie używa się reinicjalizacji. Eliminuje to onieczność rozwiązywania dodatowego równania poprawiając przez to szybość obliczeń. Algorytm onstrucji obrazu w tym przypadu jest połączeniem wariacyjnej metody zbiorów poziomicowych oraz metody elementów sończonych. Za pomocą odpowiednio zmodyfiowanej funcji zbiorów poziomicowych w procesie iteracyjnym doonywana jest reprezentacja ształtu brzegu i jego ewolucji. Do obliczenia zagadnienia prostego oraz oreślenia sładowej potencjału i sładowej zmian rzywizny wyorzystywana jest metoda elementów sończonych. Wewnętrzne obiety badanej przestrzeni opisane są funcją zbiorów poziomicowych, podobnie ja w poprzednim algorytmie. Funcja celu zdefiniowana jest jao średniowadratowa wartość błędu reonstrucji odniesiona do wetora napięć międzyeletrodowych. Dla metody wariacyjnej równanie przedstawia się następująco: φ φ = μ Δφ ( ) + t φ ( λ φ) δ( φ) (8) Algorytm numeryczny reonstrucji obrazu: inicjalizowanie zerowego zbioru poziomicowego funcji φ(x, y) obejmującego nieznany ształt, rozwiązanie równanie Laplace a w badanym obszarze, obliczanie różnicy pomiędzy wartością napięcia obliczoną, a pomierzoną, rozwiązywane jest równanie sprzężone do równania stanu, wyznaczanie sładowej normalnej prędości, uatualnianie funcji zbioru poziomicowego: + 1 φ φ t = φ t Δt μ Δφ ( ) + ( λ ϕ ) δ( φ) (9) φ Proces rozwiązania powtarzany jest do momentu aż zostaną osiągnięte zadawalające waruni zbieżności. Na rysunu 1 przedstawiono reonstrucję obrazu przy rozdzielczości piseli. Zerowy zbiór poziomicowy reprezentowany jest przez funcję przedstawioną na rysunu 1a. Kolejne etapy ewolucji przedstawiają rysuni 1b-1d. Poszuiwany obiet obramowany jest przerywaną linią. Na rysunu 1e został przedstawiony zreonstruowany obraz.

5 mplementacja funcji zbiorów poziomicowych w algorytmach onstrucji obrazu 25 a) b) c) d) e) f) Rys. 1. Reonstrucja obrazu: a) oryginalny obiet i zerowa funcja zbioru poziomicowego, b) funcja zbioru poziomicowego po 30 iteracjach, c) po 100 iteracjach, d) po 250 iteracjach, e) ońcowa reonstrucja, f) proces reonstrucji

6 26 T. Rymarczy, S.F. Filipowicz a) b) Rys. 2. Modele obietu: a) jeden obiet, b) dwa obiety a) b) c) d) Rys. 3. Porównanie metod dla jednego obietu: a) metoda zbiorów poziomicowych, b) model Mumforda-Shaha, c) wariacyjna metoda zbiorów poziomicowych, d) wariacyjna metoda zbiorów poziomicowych z modelem Mumforda-Shaha

7 mplementacja funcji zbiorów poziomicowych w algorytmach onstrucji obrazu 27 Rys. 4. Funcja celu dla jednego obietu porównanie metod a) b) c) d) Rys. 5. Porównanie metod onstrucji obrazu dla dwóch obietów: a) metoda zbiorów poziomicowych, b) model Mumforda-Shaha, c) wariacyjna metoda zbiorów poziomicowych, d) wariacyjna metoda zbiorów poziomicowych z modelem Mumforda-Shaha

8 28 T. Rymarczy, S.F. Filipowicz Głównym ryterium wyboru oreślonego algorytmu obliczeniowego jest czas i doładność odtworzonego obrazu. W pracy została porównana jaość odtwarzania obrazu ilu wybranych metod. Przyjęty obiet wzorcowy (rys. 2), złożony z jednego i dwóch elementów umieszczony wewnątrz badanego obietu. Zadanie polegało na prawidłowej identyfiacji położenia i rozmiarów obietów. Obraz obietu otrzymany różnymi metodami przedstawiono na rysunu 3. Natomiast wyres funcji celu dla tych metod obrazuje rysune 4. Można zaobserwować, że metoda zbiorów poziomicowych oraz jej postać wariacyjna z modelem Mumforda-Shaha (algorytm Chan-Vese) szybciej osiągają stabilność w procesie reonstrucji. Metoda zbiorów poziomicowych precyzyjniej odtwarza obraz przy rozdzielczości 16x16 piseli, natomiast wariacyjna jej postać z modelem Mumforda-Shaha szybciej minimalizuje funcje celu, biorąc pod uwagę rozdzielczość, jaość i czas reonstrucji. Dla dwóch obietów (rys. 5 i 6) najlepszy efet daje wariant metody zbiorów poziomicowych z modelem Mumforda- Shaha. W tabeli 1 przedstawiono porównanie wartości funcji celu dla różnych algorytmów reonstrucji obrazów tomograficznych. Rys. 6. Funcja celu dla dwóch obietów porównanie metod TABELA 1 Wartości funcji celu dla różnych algorytmów reonstrucji ALGORYTM Funcja celu (minimum) 1 obiet 2 obiety Metoda zbiorów poziomicowych Model Mumford-Shaha Wariacyjna metoda zbiorów poziomicowych Wariacyjna metoda zbiorów poziomicowych z modelem Mumford-Shaha

9 mplementacja funcji zbiorów poziomicowych w algorytmach onstrucji obrazu 29 Na rysunu 7 przedstawiono reonstrucję obrazu chodnia wydobywczego w opalni miedzi. Zarówno położenie defetu ja i jego wymiary zostały oreślone poprawnie. Reonstrucji doonano wyorzystując funcję zbiorów poziomicowych. Na rysunu 8 poazano zbieżność algorytmu przy olejnych iteracjach. a) b) Rys. 7. Reonstrucja położenia szczeliny w chodniu metodą zbiorów poziomicowych: a) jeden obiet, 2) dwa obiety Rys. 8. Zbieżność algorytmu reonstrucji

10 30 T. Rymarczy, S.F. Filipowicz 3. WNOSK Reonstrucja obrazów została oparta na odpowiedniej ombinacji różnych wariantów metody zbiorów poziomicowych, metody granicy podobszarów i metody elementów sończonych. Na jaość obrazów i szybość ich reonstrucji duży wpływ mają elementy algorytmu oraz parametry poszczególnych równań. Wybór rodzaju rozwiązania ma decydujący wpływ na zbieżność algorytmu i jaość otrzymywanych wyniów. Metoda zbiorów poziomicowych w przedstawionych przypadach udowadnia swoją wyższość w porównaniu do innych sposobów modelowania. LTERATURA 1. Chan T., Vese L., Active contours without edges, EEE Trans. mag. Proc., vol. 10, pp , Chan T., Vese L.: A level set algorithm for minimizing the Mumford- Shah functional in image processing. Proceedings of EEE Worshop on Variational and Level Set Methods in Computer Vision, pp , Vancouver, Canada, Filipowicz S.F., Rymarczy T.: Tomografia mpedancyjna, pomiary, onstrucje i metody tworzenia obrazu. BelStudio, Warsaw Filipowicz S.F., Rymarczy T., Siora: J. Level Set Method for inverse problem solution in electrical impedance tomography. X CEB & V ET Conference. Gdańs Li C., Xu C., Gui C., and M. D. Fox. Level set evolution without re-initialization: A new variational formulation. n EEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognotion (CVPR), volume 1, pages , Mumford D., Shah J.: Optimal approximation by piecewise smooth functions and associated variational problems. Comm. Pure Appl. Math., (42): , Osher S., Fediw R.: Level Set Methods and Dynamic mplicit Surfaces. Springer, New Yor Osher S., Sethian J.A.: Fronts Propagating with Curvature Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton-Jacobi Formulations. J. Comput. Phys. 79, 12-49, Sethian J.A.: Level Set Methods and Fast Marching Methods. Cambridge Univeristy Press Siora J.: Algorytmy numeryczne w tomografii impedancyjnej i wiroprądowej. WPW, Warszawa Ręopis dostarczono dnia r.

11 mplementacja funcji zbiorów poziomicowych w algorytmach onstrucji obrazu 31 TOPOLOGCAL CHANGE OF THE SHAPE THE LEVEL SET FUNCTON N THE MAGE RECONSTRUCTON Tomasz RYMARCZYK, Stefan F. FLPOWCZ ABSTRACT The problem of the image reconstruction in Electrical mpedance Tomography (ET) is a highly ill-posed inverse problem. There are mainly two categories of image reconstruction algorithms, the direct algorithm and the iterative algorithm which was used in this publication. The representation of the shape of the boundary and its evolution during an iterative reconstruction process is achieved by the level set function and Chan-Vese model or by the variational level set method. The forward problem was solved by the finite element method.

12 32 T. Rymarczy, S.F. Filipowicz