Wyznaczenie współczynnika dyfuzji cieplnej κ z rozkładu amplitudy fali cieplnej

Transkrypt

1 ace Instytutu Mechanii Góotwou AN Tom 15, n 3-, gudzień 13, s Instytut Mechanii Góotwou AN Wyznaczenie współczynnia dyfuzji cieplnej κ z ozładu amplitudy fali cieplnej JAN KIEŁBASA Instytut Mechanii Góotwou AN; ul. Reymonta 7, 3-59 Kaów Steszczenie W pacy podano sposób wyznaczenia współczynnia dyfuzji cieplnej κ wyozystując ozład podłużny lub popzeczny amplitudy fali cieplnej geneowanej pzez opływane peiodyczne źódło ciepła (opływane włóno anemometu z sinusoidalną modulacją amplitudy). Słowa luczowe: anemomet stałoezystancyjny, anemomet z falą cieplną, fala cieplna 1. Wstęp Dotychczas analizowano ozłady fazy fali cieplnej w aspecie wyznaczenia pędości pzepływu gazu. Teoie tego pocesu podano w pacy [1] i dalej ozwijano w pacach [-5]. onieważ o popagacji fali cieplnej decyduje taże odzaj medium, głównie popzez współczyczynnni dyfuzji cieplnej κ dlatego też wato wyznaczyć jego watość a taą możliwość daje analiza ozładu amplitudy fali cieplnej, powstającej w płynącym medium, w tóym mamy opływane peiodyczne źódło ciepła.. Rozład tempeatuy woół źódła zmiennego w czasie, o zadanej intensywności, opływanego pzez gaz zepływający z pędością gaz ma stałą tempeatuę T, w całej w półpzestzeni. Źódło ciepła (Rys. 1) podnosi tempeatuę gazu w oolicach źódła i ta nadwyża tempeatuy T(,y,t) jest funcją współzędnych, y i czasu t. Można więc napisać, że tempeatua zeczywista płynu T (,y,t) jest ówna T (, y, t) T (, y) T(, y, t) (1) Rys. 1. Stoli oodynatometu i źódło ciepła (nadajni fali) opływane pzez płynące medium

2 7 Jan Kiełbasa Równanie opisujące ozład nadwyżi tempeatuy T(,y,t) ma postać [1]: dtyt (,, ) dtyt (,, ) dtyt (,, ) dtyt (,, ) 1 ( ) q(, y, t) () dt d d dy c κ jest współczynniiem dyfuzji cieplnej pzepływającego gazu, ρ gęstością gazu a c ciepłem właściwym pod stałym ciśnieniem gazu, zaś q(, y, t) oznacza moc źódła ciepła. Zadany waune początowy jest dany wyażeniem a bzegowy Rozwiązanie ównania () ma postać T(, y,) (3) () lim Tt (, ) y pzy czym (,, ) i t (( ) ) c T y t e K A ib (5) ω = ω, = 1,, 3... (6) (7) () (9) 1 1 A (1 1 ) i B ( 1 1 ) (1) 3. Asymptotyczny ozład tempeatuy woół peiodycznego źódła Analiza ozwiązania (5) jest utudniona ze względu na występującą tu funcję Bessela K (ζ ) od zespolonego agumentu ζ = A + ib. Dalszą analizę ozwiązania pzepowadzi się wyozystując asymptotyczne ozwinięcie funcji K (ζ ) wg zależności [6] K ( ) (1...) (11) e 3!( ) 3!( ) i pzy spełnieniu waunu, że wszystie sładnii w nawiasie z wyjątiem jedyni można zaniedbać, czyli że jest spełniona nieówność 1 1 (1) ozwiązanie (5) może być wówczas zapisane w fomie n i[ t ( )] T(, y, t) (, y) e (13)

3 Wyznaczenie współczynnia dyfuzji cieplnej κ z ozładu amplitudy fali cieplnej 71 ( y, ) C 1 e A (1) 1 ( ) B actg (15) Waune (1) w zmiennych fizycznych opisujących zjawiso zapisze się w postaci 1 i (16) Jeżeli chcemy by błąd wyniający z zaniedbania sładniów ozwinięcia nie pzeaczał watości 1% to odległość puntów od źódła musi spełniać waune A B (17) tóy pociąga za sobą, że 5 16 (1) Widzimy, że jest funcją malejącą pędości gazu, i najwięszą watość uzysuje dla =. Wówczas mamy 5 ( ).97 (19) f f () Równanie (19) może posłużyć do obliczenia danych geometycznych dla sondy o zastosowaniach użytowych. Na Rys. poazano odzinę zywych dla powietza (κ =.1 cm /s) w zależności od pzy óżnych częstotliwościach f fali tempeatuowej. Rozładami fazy fali tempeatuowej (15) zajmowali się auto w pacach [1-] oaz A. Rachalsi w [5-7]. Rys.. Zależność jao funcja pędości powietza pzy óżnych częstotliwościach f fali tempeatuowej

4 7 Jan Kiełbasa. Wyozystanie ozładu amplitudy fali Z ozładu amplitudy fali tempeatuowej możemy wyznaczyć współczynni dyfuzji cieplnej. Wyozystując wzó (1) wpowadza się nowe funcje A z (,y) i L a (,y) będące zmodyfioaną amplitudą fali oaz logaytmem zmodyfiowanej amplitudy, tóe definiujemy jao C Az (, y) (, ) y e 1 A (1) oaz a (, ) ln( (, ) ln( (, )) ln( ) ln( 1 ) z L y A y y C A () Gdy pomiau ozładu amplitudy fali tempeatuowej doonywać się będzie wzdłuż osi (tzn. gdy y = ) wzó () możemy pzedstawić jao L (,) C (1 A ) (3) a, C ln C ln 1 (),, Gdy spełnimy waune (co jest nietudne), że <,3, to można zastosować pzybliżenie Wyozystując () wzó (3) możemy zapisać jao A 1 1 (5) a (,),, 3, L C C C (6) 3 (7) Widzimy więc, że logaytm natualny zmodyfiowanego ozładu amplitudy fali cieplnej jest liniową funcją odległości od źódła. Z nachylenia postej można łatwo wyznaczyć współczynni dyfuzji cieplnej, tóy oeśla zależność 3 3 f () Analogicznie możemy wyozystać popzeczne ozłady amplitudy (patz Rys. 1). Wyozystując () i wpowadzając L C A (9) a y (3) y y (31)

5 Wyznaczenie współczynnia dyfuzji cieplnej κ z ozładu amplitudy fali cieplnej 73 pawą stonę ównania (9) możemy pzeształcić jao 1 C y (1 1 ) (3) Rozwijając podwójny piewiaste w szeeg dostaje się a po dalszych pzybliżeniach y y 1 C (1 1 ) C [1 (1 )(1 )] (33) y C (1 ) (1 ) (3) zechodząc teaz do zmiennych fizycznych wzó (3) zapisze się jao L a y C (1 ) (1 ) (35) onieważ inteesuje nas tu popzeczny pofil amplitudy fali tempeatuowej, więc współzędna jest tu paametem, podobnie ja i ω. Stąd możemy napisać a (,, ) (,,, ) (36) L y i 3 (,, ) (1 ) (37) y (1 ) (3) Gdy.1 to zależność (3) eduuje się do y C (39 Znając dla onetnego ozładu watość β możemy wyznaczyć watość κ. Dla waunów dopuszczających tę analizę możemy zaniedbać dugi wyaz w nawiasie w (3) i wówczas () 5. Wauni pzepowadzania espeymentu Kila słów należy tu jeszcze powiedzieć na temat waunów geometycznych jaie należy dochować by spełniona była nieówność (19). Analiza tej nieówności powadzi do następującej zależności, tóa winna być w espeymencie zachowana (1)

6 7 Jan Kiełbasa Jeśli.1 () to z dostateczną doładnością Nieówność (1) można zapisać w zmiennych bezwymiaowych jao 5 (3) () Najbadziej nieozystny pzypade zachodzi dla =. Wówczas nieówność (1) możemy zapisać w fomie 5 5 (5) f f W innym pzypadu, gdy > auto postępuje następująco: jeżeli oczeuje się, że najmniejsza ealizowana w espeymencie pędość będzie mieć watość i tę pędość chcemy wyznaczyć z niedoładnością 1% wówczas częstotliwość fali cieplnej f musi spełniać waune f. (6) wyniający bezpośednio z nieówności (1). zeształcając dalej dostaje się f (7) Wówczas wyazi się wzoem 5 () Gdy mamy ustaloną częstotliwość f a chcemy wiedzieć jaą pędość można już miezyć z 1% niedoładnością, to z ównania (6) znajdujemy f 11.1 f (9) Dla pzyładu geneując falę cieplną o częstotliwości f = Hz, znajdujemy, że > 3. cm/s, a =1.5 mm. Natomiast chcąc zmiezyć pzepływ powietza o pędości = 5cm/s z tą samą niedoładnością, częstotliwość fali winna wynosić 1 Hz, a jest ówne 1 mm. aca ealizowana w amach ojetu Badawczego NCN 1/7/B/ST/31: Badania pzestzennej popagacji oaz optymalizacja metod geneacji, detecji i analizy fal tempeatuowych w aspecie bezwzględnego pomiau pędości pzepływu i dyfuzyjności cieplnej gazów

7 Wyznaczenie współczynnia dyfuzji cieplnej κ z ozładu amplitudy fali cieplnej 75 Liteatua [1] Kiełbasa J.: Fale cieplne w metologii powolnych pzepływów. Zeszyty nauowe AGH. Seia: Gónictwo. Z. 7, [] Kiełbasa J.: Czas fomowania się fal cieplnych w płynącym medium. Ach. Min. Sci., Vol. 1, No 1, p. 71-, [3] Kiełbasa J.: Measuements of steady fl ow elocity using the themal wale method. Ach. Min. Sci., Vol. 5, No, p. 191-, 5. [] Kiełbasa J.: Steady state elocity measuements by the themal wae method. Ach. Min. Sci., Vol. 51, No, p , 6. [5] Rachalsi A.: High-pecision anemomet with themal wale. Re. Sci. Inst. 77(9), 6. [6] Rachalsi A.: Absolute measuement of low flow by means of the specta analysis of the themal wale. Re. Sci. Instum., (), 13. [7] Rachalsi A.: Absolutny pomia badzo małych pędości pzepływu gazu metodą fal cieplnych. AK. 6, 13. Deteing the themal diffusion coefficient κ basing on the themal wae distibution amplitudes Abstact The method is outlined that is used to detee the themal diffusion coefficient κ based on the longitudinal o tansese distibution of the themal wae amplitude geneated by the heat souce aound which a medium flows (a hot wie in a anemomete with sine amplitude modulations). Keywods: constant-esistance anemomete, themal wae anemomete, themal wae