Systemy i sygnały dyskretne w czasie

Transkrypt

1 Systemy i sygnały dyskretne w czasie Podstawowe definicje: Sygnały dyskretne w czasie reprezentowane są przez ciągi liczb, oznacza się przez {x[n]} Elementy tych ciągów nazywa się próbkami, wartości próbek sygnałów oznacza się jako x[n] dla n całkowitych w zakresie < n < Przykładowy zapis sygnału dyskretnego: lub K { x n } = { K,.,.,.,3.,., K } x =., x =., x = 3. Graficzna reprezentacja sygnału dyskretnego w czasie: MATLAB clear; n=-8::7; x=.+sin(.3*n); plot(n,x); grid K.5.5 n -.5 T x[-3]=x a (-3T)

2 Sygnał dyskretny najczęściej otrzymuje się w wyniku próbkowania w równych odstępach czasu sygnału ciągłego w czasie (analogowego). Wtedy n-tą próbkę opisuje zależność: () a( ), K p,,,,,, xn x t x nt n = a t= nt = = p K Odległość między kolejnymi próbkami T p (T) to - przedział próbkowania lub okres próbkowania. Odwrotność okresu próbkowania nosi nazwę częstotliwości próbkowania i oznacza się f p f p = T p Systemy dyskretne W systemie dyskretnym, przetwarzanie obejmuje operacje arytmetyczne przeprowadzane na sygnale wejściowym x[n], w wyniku, których na wyjściu systemu otrzymuje się sygnał wyjściowy y[n] w postaci ciągu liczb. W większości przypadków systemy czasu dyskretnego są systemami o jednym wejściu i jednym wyjściu. x[n] Sygnał wejściowy System dyskretny y[n] Sygnał wyjściowy Systemy dyskretne można opisywać, podobnie jak układy analogowe, w konwencji wejście-wyjście, przy czym do opisu stosuje się w tym przypadku równanie różnicowe, stanowiące algebraiczną zależność między ciągiem wejściowym i wyjściowym.

3 Klasyfikacja systemów dyskretnych w czasie Systemy można klasyfikować ze względu następujących własności: Liniowość Stacjonarność Przyczynowość Stabilność Pasywność System dyskretny liniowy: Definicja: Jeżeli y [ n ] jest sygnałem wyjściowym systemu zależnym od sygnału wejściowego x [ n ] oraz y [ n ] jest sygnałem wyjściowym dla sygnału wejściowego x [ n ] to dla sygnału wejściowego: na wyjściu systemu otrzymamy [ ] = α [ ] + β [ ] x n x n x n [ ] = α [ ] + β [ ] yn y n y n Zależność powyższa zachodzi dla dowolnie wybranych stałych α, β oraz dowolnych sygnałów wejściowych [ ] x n, [ ] x n. Przykład systemu liniowego: [ ] [ ] yn= x[ n] x n = sin( ωnt p ) o częstotliwości f=hz próbkowany z f p =Hz [ ] x n = sin(3 ωnt p ) o częstotliwości f=3hz próbkowany z f p =Hz

4 Superpozycja sygnałów wejściowych [ ] [ ] [ ] x n = x n + x n = sin( ωntp) + sin(3 ωntp) Na wyjściu systemu dla kolejnych sygnałów wejściowych otrzymamy: [ ] = [ ] = y n sin( ωnt p ) y n sin(3 ωnt ) p [ ] = [ ] + [ ] = ω yn y n y n sin( ntp) sin(3 ωntp) oraz inaczej ( ) ( ω p ω p ) [ ] [ ] [ ] y n x n x n nt nt = + = sin( ) + sin(3 ) Dla sygnału liniowego zachodzi równość: [ ] = [ ] yn y n MATLAB clear; fp=; T=/fp; f=; omega=*pi*f; t=:t:-t; x=sin(omega*t); figure(); stem(t,x); grid y=-x/; figure(); stem(t,y); grid x=sin(3*omega*t); figure(3); stem(t,x); grid y=-x/; figure(4); stem(t,y); grid x=x+x; figure(5); stem(t,x); grid y=y+y; figure(6); stem(t,y); grid yy=-x/; figure(7); stem(t,yy,'-r'); grid

5 x [n] y [n] system x [n] system y [n] y [n]+y [n] x[n]=x [n]+x [n] y[n] system

6 Przykład systemu nieliniowego: [ ] = ( xn [ ]) yn [ ] [ ] x n = sin( ωnt p ) o częstotliwości f=hz próbkowany z f p =Hz x n = sin(3 ωnt p ) o częstotliwości f=3hz próbkowany z f p =Hz Superpozycja sygnałów wejściowych [ ] [ ] [ ] x n = x n + x n = sin( ωnt ) + sin(3 ωnt ) p p Na wyjściu systemu otrzymamy: y[ n] = cos( ωnt p) [ ] cos(6 ) y n = ωnt p Sygnał jako suma sygnałów wyjściowych [ ] = ω yn cos( nt) cos(6 ωnt) p oraz jako sygnał wyjściowy sumy sygnałów wejściowych [ ] = + y n cos( ωntp) cos(4 ωntp) cos(6 ωntp) p Nierówność [ ] [ ] yn y n wskazuje na nieliniowość systemu

7 MATLAB clear; fp=; T=/fp; f=; omega=*pi*f; t=:t:-t; x=sin(omega*t); figure(); stem(t,x); grid y=x.^; figure(); stem(t,y); grid x=sin(3*omega*t); figure(3); stem(t,x); grid y=x.^; figure(4); stem(t,y); grid x=x+x; figure(5); stem(t,x); grid y=y+y; figure(6); stem(t,y); grid yy=x.^; figure(7); stem(t,yy,'-r'); grid x [n] y [n] x [n] system system y [n] y [n]+y [n] x[n]=x [n]+x [n] y[n] system

8 System stacjonarny W systemie stacjonarnym przesunięcie w czasie w ciągu wejściowym powoduje równoważne przesunięcie w ciągu wyjściowym Jeżeli na wymuszenie x odpowiedź wynosi y system [ ] y[ n] x n to na wymuszenie x przesunięte w czasie o k próbek układ odpowie sygnałem y tak samo przesuniętym [ ] system [ ] x n k y n k Przykład systemu stacjonarnego [ ] yn= x[ n] system [ ] = [ n+ 4 ] [ ] = [ n+ 4] x n x y n y MATLAB clear; fp=; T=/fp; f=; omega=*pi*f; t=:t:-t; x=sin(omega*t); figure(); stem(x); grid y=-x/; figure(); stem(y); grid x=x(5:);figure(3); stem(x); grid y=-x/; figure(4); stem(y); grid

9 x [n] x [n] system system y [n] y [n] Analiza systemów LTI w dziedzinie czasu System spełniający obie własności liniowości i stacjonarności nazywa się systemem liniowym - stacjonarnym (SLS, en. LTI) Systemy dyskretne SLS są matematycznie łatwe do opisania i analizowania, a także w konsekwencji łatwe w projektowaniu. W przypadku układu liniowego-stacjonarnego zależność pomiędzy sygnałem wejściowym x[n] i wyjściowym y[n] ma postać równania różnicowegoliniowego o stałych współczynnikach, które można zapisywać w ogólnej postaci jako: N M ( ) N n N ayn + ayn + K+ a yn N + a y = = bxn+ bxn + K+ b xn M Analiza równania różnicowego jest przeprowadzana zarówno w dziedzinie czasu, jak i częstotliwości. Analiza czasowa może być dokonywana bezpośrednio na podstawie równania.

10 Przykład: System dyskretny opisany jest równaniem różnicowym, należy rozwiązać równanie, obliczyć przebieg wyjściowy przy zadanym warunku początkowym. [ ] [ ] [ ] yn+.9yn=, y = Rozwiązanie przez bezpośrednie podstawienie: Dla kolejnych wartości n: y [] = +.9 y = = [ ] ( ) [ ] ( ) y 3 = = Stąd ogólnie: yk = L +.9 k [ ] 3 Korzystając z zależności na sumę cząstkową ciągu geometrycznego: k +.9 = =.9, k=,,,....9 k + [ ] ( ) yk MATLAB clear; % % obliczane rekurencyjnie y=; y=y; for k=: y=+.9*y; yy(k)=y; end yw=[y yy]; figure(); stem(yw); % % wykorzystanie rozwiązania i=:; yu=*(-.9.^(i+)) figure(); stem(yu)

11 Rozwiązanie metodą klasyczną: [ ] [ ] [ ] yn+.9yn=, y = Spodziewane rozwiązanie jest sumą składowych wymuszonej i swobodnej [ ] = [ ] + [ ] yn y n y n Składowa swobodna jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego: Równanie charakterystyczne: s [ ] y [ n] y n+.9 = s s.9 = s w Pierwiastek równania charakterystycznego s =.9

12 Składowa swobodna ma postać szeregu wykładniczego: s [ ] = A.9 y n n Składowa wymuszona ma charakter wymuszenia i jest szczególnym rozwiązaniem równania niejednorodnego yw [ n] = A ( const) Współczynnik A obliczymy z równania różnicowego poprzez porównanie współczynników z lewej i prawej strony dla składowej wymuszonej: [ ] [ ] y n+.9y n = w A.9A = A = Stałą A obliczamy z warunków początkowych w [ ] [ ] [ ] y = A = y y = = 9 s w Rozwiązanie końcowe: [ ] [ ] [ ] ( 9).9 n n = w + s = + = (.9.9 ) yn y n y n n+ [ ] ( ) yn=.9, n=,,,...

13 Matematyczna reprezentacja sygnału dyskretnego Matematycznie proces próbkowania polega pomnożeniu sygnału analogowego f(t) z nieskończonym szeregiem impulsów (delt) Diraca d(t). Impulsy w takim szeregu powtarzają się z okresem próbkowania T p. Szereg impulsów Diraca opisuje zależność: () = δ ( ) d t t nt p Na wykresie przedstawia się taki szereg w postaci strzałek o jednostkowej długości ( jest to miara pola powierzchni delty), oddalonych od siebie o stały przedział czasu równy T (okres próbkowania). d(t) δ ( t nt p ) t = nt p t T p f *( t) = f ( t) d( t) () = () δ ( ) f t f t t nt * p Wykorzystując własność filtracyjną delty Diraca otrzymujemy wyrażenie opisujące sygnał dyskretny: () = ( ) δ ( ) f t f nt t nt * p p

14 Zapis ten należy interpretować jako szereg impulsów Diraca o polach równych wartościom próbkowanej funkcji analogowej w punktach, w których znajdują się delty szeregu d(t). f*(t) f ( nt ) δ ( t ) p nt p t = nt p t { } Widmo sygnału dyskretnego. F f *( t) Analiza sygnałów w dziedzinie częstotliwości pozwala na lepiej rozumieć zagadnienia przetwarzania sygnałów. Przetwarzaniu sygnałów dyskretnych, technikami Fouriera będą poświęcone osobne wykłady wyjaśniające zagadnienia dyskretnej transformaty Fouriera (DFT oraz FFT). Tu wykorzystamy znane już ciągłe przekształcenie Fouriera. Widmo delty Diraca zgodnie z definicją przekształcenia Fouriera wynosi: F jωt { δ() t } = δ() t e dt = δ ( t) F Pary transformat wynikające z właściwości przekształcenia Fouriera: δ j T ( t T) F e ω F ( ) πδ ω F ( ) j t e ω πδ ω ω

15 Widmo przebiegu okresowego, pozwala zauważyć charakterystyczną właściwość widma sygnału dyskretnego. Wykorzystamy zespolony szereg Fouriera. Przebieg okresowy f(t) w postaci zespolonego szeregu Fouriera ma postać Jego transformata Fouriera jk t () cke ω f t = k = jk t ( ω ) = F { k } F j c e ω k = jk t ( ω ) = kf { } F j c e ω k = gdzie T jkωt () F jω π c δ ω kω ( ) = k ( + ) k = ck = f t e dt współczynniki szeregu T π ω = odstępy między impulsami widma T t ω t ω

16 Wynika z tego, że widmo dowolnego sygnału okresowego, opisuje szereg impulsów Diraca oddalonych od siebie o stałą wartość ω i o polach równych odpowiednio π c. k Wykorzystując właściwość symetrii przekształcenia Fouriera można stwierdzić, że sygnał złożony z impulsów Diraca odległych od siebie o stałą wartość (sygnał dyskretny) posiada okresowe widmo. Ta właściwość charakterystyki widmowej sygnału dyskretnego, ma swoje ważne konsekwencje w teorii próbkowania. Szereg impulsów Diraca rozpatrzymy jako szczególny przypadek przebiegu okresowego () = δ ( p ) d t t kt k = Po przedstawieniu d(t) w postaci zespolonego szeregu Fouriera jk p () cke ω d t = k = współczynniki tego szeregu wynoszą () t Tp / jω kt p c δ t e dt k = = T T p Tp / Stąd charakterystyka widmowa szeregu impulsów Diraca przyjmuje postać ( ω) D j π π = δ ω + k T p k = T p Transformata Fouriera szeregu impulsów Diraca powtarzających się z okresem T p (w dziedzinie czasu) jest również szeregiem impulsów Diraca powtarzających się z okresem π T (w dziedzinie częstotliwości). / p p

17 Ważne spostrzeżenie, że zmniejszając odstępy między impulsami w dziedzinie czasu ( większa częstotliwość próbkowania ) zwiększają się odstępy miedzy deltami w dziedzinie częstotliwości (i odwrotnie). Ta prosta zależność ma fundamentalne znaczenie podczas realizacji zadania próbkowania przebiegów analogowych. { } Do obliczenia transformaty Fouriera sygnału dyskretnego F f *( t) wykorzystamy wcześniejsze zależności. Transformata Fouriera iloczynu dwóch przebiegów ( twierdzenie o splocie z dziedzinie częstotliwości ): F{ f () t d() t } = F f () t F d t π F{ f *() t } = F{ f () t } F { d() t } π { } { ()} W uproszczonej postaci zapiszemy transformatę Fouriera sygnału dyskretnego jako F *( j ω ) = ( ) ( ) F j ω D j ω π oraz znając transformatę szeregu impulsów Diraca otrzymamy: π F* ( jω) = F( jω) δ ω + k T p k = T p Pamiętamy, że splot funkcji z impulsem Diraca powoduje przesunięcie tej funkcji do punktu, w którym znajduje się delta. f T () t δ ( t t ) = f ( t ) T t A f T ( t) δ ( t t ) f T ( t ) t T t t przesunięcie

18 Dodatkowo jeżeli funkcja splatana jest z szeregiem impulsów, to następuje powielanie tej funkcji i przesuwanie powieleń do miejsc, w których znajdują się impulsy Diraca. f T () t ( δ ( t t ) + δ ( t t )) = f ( t t ) + f ( t ) T T t A f T () t δ ( t t ) δ ( t t ) f T ( t ) ( t ) t f T t T t t t przesunięcie i powielenie Wnioskujemy zatem, że widmo sygnału dyskretnego powstaje w wyniku powielania widma sygnału analogowego nieskończoną ilość razy i przesuwania tych powieleń o wielokrotności ω p. ω = p π T p Transformata Fouriera sygnału dyskretnego ma zatem następującą postać: π F* ( jω) = F jω + jk T p k = T p Operację próbkowania sygnału analogowego f(t) można przedstawić graficznie w postaci wykresów w dziedzinie czasu i częstotliwości.

19 f(t) f(t) t ω d(t) D(ω) π t ω T p ω p f*(t) F*(ω) t ω ω p Jak wynika z wyprowadzeń postać widma sygnału dyskretnego zależy od częstotliwości próbkowania. W niektórych wypadkach w wyniku powieleń i przesunięć widma sygnału analogowego, może występować nakładanie się powieleń. Ten niepożądany efekt nazywany aliasingiem wymusza stosowanie dodatkowej filtracji analogowej (filtry antyaliasingowe) oraz odpowiednich technik próbkowania.

20 - - Analiza systemów dyskretnych w dziedzinie czasu Równanie różnicowe x[n] System dyskretny y[n] Wymuszenie x[n] i odpowiedź y[n] w układy liniowych-stacjonarnych spełniają równanie różnicowe N-tego rzędu, liniowe, o stałych współczynnikach w postaci: Przykład: N M ayn k k = bxn l l k= l= Należy obliczyć odpowiedź dwóch różnych systemów (dyskretnego i ciągłego) metodą klasyczną przy zadanych równaniach opisujących systemy, warunkach początkowych, i wymuszeniach (analogia w metodzie klasycznej). System dyskretny System ciągły Równanie różnicowe: n [ n ] α y[ n] = + β, y[ ] y + + = γ Równanie różniczkowe t ( ) α ( ) = +, ( ) d β y t + y t e y = γ dt Rozwiązanie w postaci składowych: n y n y n y [ ] = [ ] + [ ] y ( t) = y ( t) + y ( t) w s w s Składowa swobodna: y s [ ] α [ ] + + s = d y ( ) α ( ) n y n + = s t y dt s t

21 - - Równanie charakterystyczne: s + α = s+ α = s = α s = α y [ n] = A ( α ) n αt ys( t) = Ae s Składowa wymuszona: y n α y n w n [ + ] + [ ] = + β d βt ] y ( ) + α ( ) = + w w t y dt w t e w postaci: n yw [ n] = A+ B β t yw ( t) = A+ B e β ( n ) n n + β + + α ( + β ) = + β d ( ) + α ( ) A B A B A A = + α β B = αβ + n n ( + α) + B α + β = + β β y β + α αβ + A+ Be A+ Be = + e dt β t β t β t βt βt ( ) αa B α β e e + + = + A = α B = α + β α α + β n w [ n] = + β t yw () t = + e β Stała z warunków początkowych: A y y y [ ] = = [ ] [ ] y ( ) = A = y( ) y ( ) s w A Odpowiedź systemu: s w = γ A = γ + α α β β + α αβ + + α n [ ] = + + γ ( α ) n yn odp. wymuszona odp. swobodna βt αt y() t = + e + γ e α α + β α odp. wymuszona odp. swobodna

22 - 3- Odpowiedź impulsowa i splot Odpowiedź impulsowa h[n] systemu jest to sygnał na wyjściu systemu, gdy na jego δ n. wejściu wymuszono w chwili n= impuls jednostkowy [ ] δ[n] System dyskretny h[n] Impuls Diraca: δ[n] n δ [ n], n = =, n Odpowiedź impulsowa h[n] jest kompletną charakterystyką sytemu LTI, pozwalającą określić odpowiedź systemu na dowolne inne wymuszenie. Iloczyn sygnału x[n] oraz impulsu δ [ n] możemy zapisać jako: [ ] δ [ ] = [ ] δ [ ] xn n x n Ogólnie dla zależność ta dla impulsu przesuniętego w czasie jest następująca: [ ] δ [ ] = [ ] δ [ ] x n n k x k n k gdzie n reprezentuje indeks czasu, x[n] opisuje sygnał.

23 - 4- Można zauważyć, że mnożenie sygnału i impulsu przesuniętego daje w wyniku impuls przesunięty o polu równym wartości funkcji w miejscu przesunięcia impulsu. Ta właściwość pozwala zapisać dowolny sygnał dyskretny x[n] jako: [ ] K [ ] δ [ ] [ ] δ[ ] [ ] δ[ ] [ ] δ[ ] [ ] δ[ ] xn= + x n+ + x n+ + x n+ x n + x n + K lub w skróconej formie: [ ] = [ ] δ [ ] x n x k n k k = Wykorzystując własność liniowości i stacjonarności odpowiedź systemu wynosi: [ ] = [ ] [ ] yn xk hn k k = Tzn. jeżeli wymuszeniem systemu LTI jest superpozycja ważonych impulsów przesuniętych w czasie to jego odpowiedzią będzie superpozycja identycznie ważonych odpowiedzi impulsowych identycznie przesuniętych w czasie. Operację pozwalającą wyznaczyć odpowiedź systemu na dowolne wymuszenie nazywa się splotem i oznacza gwiazdką * jak w wyrażeniu: [ ] [ ] = [ ] [ ] x n h n x k h n k k = Przykład: Odpowiedź impulsowa systemu LTI wynosi:

24 - 5- [ ] hn, n =± =, n=, inne h[n] n Należy wyznaczyć odpowiedź systemu na wymuszenie: [ ] xn, n = 3, n = =, n =, inne Rozwiązanie: Wymuszenie wynosi: [ ] = δ [ ] + 3 δ[ ] δ[ ] xn n n n Odpowiedź będzie superpozycją odpowiedzi impulsowych:

25 - 6- [ ] = [ ] + 3 [ ] [ ] yn hn hn hn Ponieważ odpowiedź impulsowa wynosi: [ ] = δ [ + ] + δ[ ] + δ[ ] hn n n n Zatem odpowiedź systemu [ ] = ( δ[ + ] + δ[ ] + δ[ ] ) 3 ( δ[ n] δ[ n ] δ[ n ] ) ( δ[ n ] δ[ n ] δ[ n 3] ) yn n n n [ ] = δ[ + ] + 4δ[ ] + δ[ ] 3δ[ n] 6δ[ n ] 3δ[ n ] δ[ n ] 4δ[ n ] δ[ n 3] yn n n n Stąd ostatecznie odpowiedź wynosi: [ ] = δ [ + ] + 7δ[ ] + 6δ[ ] δ[ ] δ[ 3] yn n n n n n Matlab (splot dwóch sygnałów)

26 - 7- h=[ ]; x=[ 3 ]; y=conv(h,x)) Rozwiązanie graficznie:

27 - 8- x[n] n v [n] 6 4 n x[n] 3 n v [n] 6 4 n x[n] 3 n v [n] 6 4 n x[n] n y[n] n -4 Schematy blokowe: Systemy LTI można przedstawić w postaci schematu blokowego, który jest graficznym zapisem równania różnicowego.

28 Elementy: - 9- Mnożenie skalarne x[n] y[n]=cx[n] Dodawanie x[n] + y[n]=x[n]+w[n] w[n] Przesuwanie w czasie x[n] z - y[n]=x[n-] Połączenia: Połączenie równoległe: x[n] h [n] + y[n] h [n] + x[n] h [n]+ h [n] y[n] [ ] [ ] + [ ] [ ] = [ ] ( [ ] + [ ]) x n h n x n h n x n h n h n Połączenie kaskadowe:

29 - - x[n] h [n] h [n] y[n] x[n] h [n]* h [n] y[n] { x[ n] h[ n] } h[ n] = x[ n] { h[ n] h[ n] } Przykład: Wyznacz odpowiedź systemu dyskretnego na wymuszenie: [ ] = δ [ ] δ [ ] xn n n h [n] x[n] h [n] + + h 3 [n] + - y[n] h 4 [n] jeżeli odpowiedzi impulsowe poszczególnych systemów wynoszą: 3 4 [ ] = [ n] [ ] = [ + ] [ ] [ ] = δ [ n ] n [ ] = [ ] h n h n n n h n h n a n Rozwiązanie: [ ] = ( [ ] + [ ]) 3[ ] 4[ ] hn h n h n h n h n

30 - - [ ] = [ ] + [ + ] [ ] = [ + ] h n n n n n [ ] = [ + ] δ [ ] = [ ] h n n n n 3 Odpowiedź impulsowa całego systemu wynosi: [ ] = ( n ) [ ] hn a n Odpowiedź na zadane wymuszenie: n n [ ] = ( ) [ ] ( ) [ ] yn a n a n Przykład: Wyznaczyć odpowiedź układu (dla zerowych warunków początkowych) -6 x[n] y[n+] y[n+] + Z - Z - y[n] 5 na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego:

31 - - [n] n Skok jednostkowy: [ n], n =, n < Rozwiązanie: Równanie różnicowe ze schematu blokowego: lub [ + ] = [ ] 6 [ ] + 5 [ + ] yn xn yn yn [ + ] 5 [ + ] + 6 [ ] = [ ] yn yn yn xn Wstawiając do równania wymuszenie: [ ] [ ] [ ] yn+ 5yn+ + 6yn= Metoda klasyczna: Zakładamy rozwiązanie z postaci składowych: [ ] = [ ] + [ ] yn y n y n Dla składowej swobodnej: w [ ] [ ] [ ] s y n+ 5y n+ + 6y n = s s s Równanie charakterystyczne s s s = Pierwiastki równania charakterystycznego:

32 s =, s = 3-3- Składowa swobodna będzie miała postać: y n = A + A 3 *) [ ] Dla składowej wymuszonej: s yw [ n] = A n [ ] [ ] [ ] y n+ 5y n+ + 6y n = w w w A 5A+ 6A= A 5A+ 6A= w [ ] y n = A= Stałe A i A oblicza się z warunków początkowych: n *) oraz **) s [ ] [] y = A + A y = A + 3A s ys[ ] = y[ ] yw[ ] = = y [] = y[] y [] = = s w Porównując prawe strony *) i **) obliczamy stałe: A = A = Ostatecznie odpowiedź systemu wynosi: n yn= [ ] + 3 n Schemat układu rzędu

33 - 4- Schemat przedstawia typowy dyskretny system LTI opisany równaniem różnicowym rzędu: x[n] b w[n] + + y[n] z - z - x[n-] b + + -a y[n-] z - z - x[n-] b -a y[n-] Sygnał wejściowy jest dwa razy przesunięty w czasie, na wyjściach bloków opóźniających otrzymuje się sygnały x[n-] i x[n-]. Sygnały te są skalowane oraz sumowane w wyniku czego otrzymuje się sygnał: [ ] = [ ] + [ ] + [ ] wn bxn bxn bxn Następnie możemy napisać dla sygnału wyjściowego y[n] w zależności od w[n]: [ ] = [ ] [ ] [ ] yn wn ayn ayn Stąd: [ ] = [ ] + [ ] + [ ] [ ] [ ] yn bxn bxn bxn ayn ayn [ ] + [ ] + [ ] = [ ] + [ ] + [ ] yn ayn ayn bxn bxn bxn lub ayn k [ k] = bxn l [ l] k= l=

34 - 5- Alternatywny schemat blokowy dla układu rzędu x[n] b + + f[n] y[n] z - -a b + + f[n-] z - -a f[n-] b Przykład: System opisany równaniem należy przedstawić w postaci schematu blokowego: [ ] + [ ] 3 [ 3] = [ ] + [ ] yn yn yn xn xn Rozwiązanie x[n] + + y[n] z - z - z - + -/ z - z - /3

35 Metoda równań stanu Opis systemu w przestrzeni stanu polega na utworzeniu układu równań różnicowych pierwszego rzędu opisujących przebiegi zmiennych stanu systemu oraz zależności odpowiedzi systemu od zmiennych stanu i wymuszenia. Równania te przedstawia się w formie macierzowej. Na schemacie blokowym sygnały f[n-], f[n-], które znajdują się na wyjściach bloków opóźniających oznaczymy odpowiednio q [n] oraz q [n]. Wielkości te nazywa się zmiennymi stanu. x[n] + + y[n] z - -a b + + q [n] z - -a q [n] b Wartości zmiennych stanu zgodnie ze schematem blokowym wynoszą: [ + ] = [ ] [ ] + [ ] q n aq n a q n x n [ + ] = [ ] q n q n Ze schematu możemy także wyznaczyć zależność odpowiedzi od wymuszenia i zmiennych stanu: [ ] = [ ] [ ] [ ] + [ ] + [ ] y n x n aq n a q n bq n bq n

36 - 7- W formie macierzowej powyższe równania: [ + ] [ ] [ ] [ ] q n a a q n = + x n q n+ q n [ ] [ ] [ ] [ ] [ n] q n q [] [ ] yn= b a b a + xn Definiując wektor stanu jako : Q [ n] [ ] [ n] q n = q Równania stanu zapiszemy: [ n+ ] = [ n] + x[ n] Q AQ b [ ] = cq [ ] + [ ] yn n Dxn gdzie: A a a =, = b [ b a b a ] [ ] c=, D = Opis systemu w przestrzeni stanu wykorzystuje się często w obliczeniach numerycznych.

37 Klasyfikacja systemów: - 8- Charakterystyki takie jak: Równanie różnicowe Odpowiedź impulsowa Schemat blokowy Macierze stanu są równoznacznymi modelami matematycznymi systemów dyskretnych. Pozwalają analizować systemy w dziedzinie czasu, badać ich właściwości i odpowiednio klasyfikować. Pamięć systemów W układach bez pamięci odpowiedź systemu zależy tylko od teraźniejszych wartości wymuszenia. Ponieważ odpowiedź układu dyskretnego można przedstawić jako splot: [ ] = [ ] [ ] yn hk xn k k = w układach bez pamięci musi być spełniony warunek dla odpowiedzi impulsowej: [ ] = dlak hk

38 Przyczynowość systemów: - 9- Odpowiedź układu przyczynowego zależy tylko od przeszłych i teraźniejszych wartości sygnału wejściowego. [ ] = [ ] [ ] y n h k x n k k = Przeszłe i teraźniejsze wartości wymuszenia xn [ ] xn [ ] xn [ ],,,... są związane z indeksem k sumy splotowej, natomiast przyszłe wartości wymuszenia są związane z k <. Zatem dla systemów przyczynowych musi być spełniony warunek dla odpowiedzi impulsowej: [ ] = dlak< hk Oraz suma splotowa: [ ] = [ ] [ ] yn hk xn k k = Stabilność systemów: Układ jest stabilny w sensie BIBO (bounded input, bounded output), jeżeli przy ograniczonym sygnale wejściowym sygnał wyjściowy jest także ograniczony. Formalnie można warunek zapisać: [ ] [ ] xn M < yn M < x y Możemy wyznaczyć warunki jakie musi spełniać odpowiedź impulsowa, aby gwarantowała stabilność systemu. yn [ ] = hn [ ] xn [ ]

39 - - [ ] = [ ] [ ] yn hk xn k k = Ponieważ a+ b a + b [ ] [ ] [ ] yn hkxn k k = oraz a b = a b [ ] [ ] [ ] yn hk xn k k = Jeżeli wymuszenie jest ograniczone [ ], [ ] xn M < oraz xn k M < x x to odpowiedź [ ] [ ] yn M hk x k = Zatem aby odpowiedź była ograniczona musi być spełniony warunek ograniczonej absolutnej sumy odpowiedzi impulsowej. Zatem wystarczającym warunkiem stabilności systemu LTI jest warunek: k = [ ] hk < Pasywność systemów: System dyskretny jest pasywny jeżeli dla każdego sygnału wejściowego x[n] o skończonej energii sygnał wyjściowy y[n] posiada energię mniejszą lub równą energii x[n]. yk [ ] xk [ ] k= < k=

40 Próbkowanie równomierne Próbkowanie równomierne, jest procesem konwersji sygnału analogowego (o czasie ciągłym) do postaci próbek pobieranych w równych odstępach czasu. Próbkowanie przeprowadza się poprzez podanie na wejście przetwornika analogowo-cyfrowego (A/C) sygnału ciągłego. Na jego wyjściu otrzymuje się ciąg wartości liczbowych. Sygnał analogowy można próbkować z dowolną szybkością. Należy sobie jednak zadać pytanie, na ile dobrze te wartości reprezentują sygnał oryginalny. Odpowiedź na to pytanie daje teoria próbkowania. Proces konwersji analogowo-cyfrowej można podzielić na trzy podstawowe etapy: filtrowanie antyaliasingowe próbkowanie pamiętanie przetwornik A/C filtr antyaliasingowy próbkowanie pamiętanie wejściowy sygnał analogowy przefiltrowany sygnał analogowy sygnał dyskretny sygnał cyfrowy

41 Filtrowanie antyaliasingowe Widmo rzeczywistych sygnałów jest ze względu na zniekształcenia i szumy bardzo szerokie. Filtrowanie antyalisingowe, dolnoprzepustowym filtrem analogowym stosowane jest w celu ograniczenia szerokości widma rzeczywistego sygnału. Zastosowanie tego typu filtracji ma na celu zapobieżenie zjawisku nakładania się widm powstających w wyniku ich powielania podczas wykonywania próbkowania sygnału. szum sygnał szum f -B B f -f p -f p f p f p Na rys. pokazano widmo ciągłe sygnału o szerokości pasma B zawierającego szum oraz efekt nakładania się widm sygnału i szumu w wyniku próbkowania przebiegu. Taki efekt zniekształcenia widma występuje w wyniku braku filtru antyaliasingowego.

42 3 szum charakterystyka filtru antyaliasingowego szum f -B B f -f p -f p f p f p Rysunek przedstawia przypadek zastosowania filtru analogowego dolnoprzepustowego o częstotliwości odcięcia równej B przy częstotliwości próbkowania f p. Zastosowanie filtru analogowego dolnoprzepustowego pozwala unikać nakładania się widm. Próbkowanie: Pytanie: Czy znając jedynie zbiór próbek sygnału f[n] : n=...,-,-,,,,3,... oddalonych o przedział próbkowania T p możemy dokładnie odtworzyć sygnał analogowy? Inaczej mówiąc czy dysponujemy informacją o zachowaniu się sygnału między danymi próbkami?

43 4 Odpowiedź: W ogólnym przepadku NIE! (jest to oczywiste) Ale: Jeżeli jednak sygnał próbkowany spełniałby pewien dodatkowy warunek odpowiedź może brzmieć TAK! Ten dodatkowy warunek dotyczy szybkości zmian przebiegu, który jeżeli analizujemy sygnał w dziedzinie częstotliwości jest związany z szerokością pasma sygnału. Jeżeli sygnał nie może się szybko zmieniać to znaczy, że nie zawiera składowych o dużych częstotliwościach powyżej częstotliwości B, sygnał ma ograniczone pasmo. W praktyce termin sygnał o ograniczonym paśmie oznacza jedynie to, że energia zawarta w sygnale poza zakresem ±B jest poniżej czułości naszego systemu. Widmo amplitudowe f -B B

44 5 Twierdzenie o próbkowaniu (Shannona) Niech f(t) będzie sygnałem ciągłym, którego widmo spełnia warunek ograniczonego pasma : ( ) = F jω dla ω πb Zgodnie z kryterium Nyquista, sygnał f(t) można odtworzyć z pełną dokładnością z jego próbek gdy częstotliwość próbkowania spełnia zależność: f p B ω 4π B p Częstotliwość B wyznacza szerokość widma sygnału i nazywa się częstotliwością Nyquista. Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek przedstawiono na wykresach Rozpatrzymy trzy różne przypadki wyboru częstotliwości próbkowania: f = B p f > B p f < B p Ostatni przypadek jest niezgodny z twierdzeniem o próbkowaniu. Z tak wybranych próbek nie można odtworzyć oryginalnego sygnału analogowego. Przyczyną jest nakładanie się powielanych widm i ich nieodwracalne zniekształcenie. Widmo nie zawiera dystrybucji w punktach ±B

45 6 p f B = Jest to przypadek graniczny. Powielane widma stykają się ze sobą. t f(t) t () () ( ) t d t f t f = * t d(t) T p f = π ω π ω π ω * D F F f π π ω D f π ω F t h(t) f t () () ( ) t f t h t f * = f = π ω π ω π ω * F H F B -B f p B = f p f p π ω H T p T p 3T p -T p -T p -3T p B

46 7 Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla p f B = p f B > Powielane widma są rozłączne. t f(t) t () () ( ) t d t f t f = * t d(t) T p f = π ω π ω π ω * D F F f π π ω D f π ω F t h(t) f t ( ) ( ) ( ) t f t h t f * = f = π ω π ω π ω * F H F B -B f p B > f p f p π ω H T p T p 3T p -T p -T p -3T p B

47 8 Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla p f B > p f B < Widma nakładają się. t f(t) t () () ( ) t d t f t f = * t d(t) T p f = π ω π ω π ω * D F F f π π ω D f π ω F t h(t) f t () () ( ) t f t h t f * = f = π ω π ω π ω * F H F B -B f p B < f p f p π ω H T p T p 3T p -T p -T p -3T p aliasing B

48 9 Proces próbowania sygnału analogowego oraz odtwarzanie sygnału z jego próbek dla f < B p Przykład: Dany jest ciąg próbek, oraz wiadomo, że reprezentują one wartości chwilowe pewnego przebiegu sinusoidalnego. Pobrane są w równych odstępach czasu. Zadanie polega na odtworzeniu przebiegu ( wyznaczeniu jego parametrów amplitudy i częstotliwości ). X[] X[] X[] X[3] X[4] X[5] X[6] Jeżeli ciąg reprezentuje próbki przebiegu sinusoidalnego to nie można jednoznacznie określić tego przebiegu jedynie z próbek.

49 f () t.866 f p = 6Hz t T p f () t Hz f p > f t T p T f () t 7Hz f p < f t T p T Wymagana jest dodatkowa informacja. Jeżeli założymy, że próbkowanie wykonano zgodnie z kryterium Nyquista, to oryginalnym przebiegiem jest sinusoida o częstotliwości Hz. Zadanie : Ile minimalnie próbek należy pobierać w okresie sygnału sinusoidalnego zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu? Oznaczmy częstotliwość sinusoidy f. Zgodnie z kryterium Nyquista częstotliwość próbkowania musi być tak wybrana aby spełniony był warunek : W tym przypadku ponieważ na granicy pasma pojawia się dystrybucja, wymagana jest ostra nierówność.

50 f p > f Zatem f p T > n = > n min = 3 f T p Odp: Minimalna liczba próbek, pobierana w okresie sinusoidy wynosi 3. Wtedy można w sposób jednoznaczny odtworzyć sinusoidę z próbek. Zadanie : Sygnał ma ograniczone pasmo do B=Hz. Jaką minimalną liczbę próbek należy pobierać w przedziale czasu T=.s, aby można było z tych próbek jednoznacznie odtworzyć przebieg? Zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu f p n. n 4 B Odp: Minimalna liczba próbek wynosi 4. T n= = T f T B p T p

51 Próbkowanie sygnałów pasmowych W praktyce często próbkowane są analogowe sygnały pasmowe czyli takie, których ograniczone pasmo jest skupione wokół pewnej częstotliwości różnej od zera. Do tego typu sygnałów można z powodzeniem stosować próbkowanie dolnopasmowe, jednak zastosowanie specjalnej techniki zwanej próbkowaniem pasmowym pozwala znacznie zmniejszyć koszty realizacji sprzętowej, polegającej na zmniejszeniu szybkości przetwornika A/C oraz zmniejszeniu pamięci wymaganej do pamiętania wartości próbek. Jako przykład próbkujmy przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz, skupiony wokół częstotliwości f c =khz. Zgodnie z kryterium Nyquista, ponieważ najwyższa składowa częstotliwościowa w sygnale ma wartość,5khz należy próbkować sygnał z częstotliwością nie mniejszą niż 45kHz. ω F π B =5kHz f -f c ω F * π f f c =khz p = f c B f -f c f c f p f p f p =7,5 khz f p Na rysunku pokazano skutki próbkowania tego sygnału z częstotliwością znacznie mniejszą, równą 7,5 khz. Można zauważyć, że mimo mniejszej częstotliwości próbkowania powielenia widma nie zniekształcają widma oryginalnego skupionego wokół częstotliwości f c. Unikamy aliasingu. Okazuje się że próbkowanie z częstotliwością 45kHz nie jest konieczne.

52 Wyprowadzenie ogólnych zależności dotyczące próbkowania pasmowego. 3 Dany jest ciągły sygnał pasmowy o szerokości pasma B, o częstotliwości nośnej f c. Próbkujemy ten sygnał z dowolną częstotliwością f p. Maksymalna częstotliwość próbkowania Przy arbitralnej liczbie powieleń widma m w przedziale f c -B sygnał można próbkować z maksymalną częstotliwością f p taką że: mf p = f c B f c B ω F π -f c f c f f p Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale f c -B sygnał można próbkować z maksymalną częstotliwością f p, f p = f c B m

53 4 Minimalna częstotliwość próbkowania Jeżeli szybkość próbkowania zmniejsza się to powielenia przesuwają się i osiągamy dolną granicę częstotliwości próbkowania f p. Przy arbitralnej liczbie powieleń widma m w przedziale f c +B sygnał można próbkować z minimalną częstotliwością f p taką że: ( ) p m+ f = f c + B f c + B ω F π -f c f p f c f Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale f c +B sygnał można próbkować z minimalną częstotliwością f p, f p = fc + B m + W ten sposób otrzymujemy zależność definiującą zakres częstotliwości próbkowania pasmowego zależną od szerokości pasma sygnału, częstotliwości nośnej i liczby powieleń f + c B fc B f p m+ m przy czym m jest dowolną liczbą naturalną zapewniającą spełnianie kryterium Nyquista w odniesieniu do szerokości pasma sygnału f p B.

54 5 Przykład: Przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej f c =khz. m Minimalna Maksymalna f p = fc + B m + f p = f c B m Optymalne f p 35, khz,5 khz,5 khz 7,5 khz 5, khz 7,5 khz 3,66 khz,5 khz,5 khz 4 8,75 khz 9, khz - 5 7, khz 7,5 khz - Jak wynika z tabeli częstotliwość próbkowania nie może być mniejsza niż,5khz. Za optymalną częstotliwość próbkowania przyjmuje się taką przy której powielenia widma stykają się ze sobą w punkcie f = Hz. Przy tak przyjętej częstotliwości próbkowania błędy związane dalszym przetwarzaniem cyfrowym (np. filtrowaniem) sygnału są minimalne. Zdefiniujemy nowy parametr R jako stosunek częstotliwości najwyższej w paśmie sygnału do szerokości pasma R = f c B + B Wykreślimy zależność minimalnej częstotliwości próbkowania od parametru R dla różnych wartości m

55 6 ( ) p m+ f = f + B c B fc + = B B ( m+ ) fp ( m+ ) f p B = R ozn: f pmin = f p f p min B = ( m+ ) R 4 3,5 f p min B m= m= m= m=3 m=4 m=5 R 3 4 4, Minimalna częstotliwość próbkowania w zależności od R dla różnych wartości m Z wykresu wynika, że niezależnie od R minimalna częstotliwość próbkowania nie przekracza 4B i zmniejsza się dążąc do B przy zwiększaniu częstotliwości nośnej (wzrost R).

56 7 Wprowadzając na wykresie warunek ograniczający częstotliwość z góry (maksymalną) otrzymamy obszary częstotliwości zakazanych i dozwolonych związanych z odpowiednią wartością parametru m. mf = f B p c mf p R B + = f p = f pmax f p max B ( R ) = m 6 f p B próbkowanie dolnopasmowe m= m= 4 m=3 m=4 strefa zakazana R Minimalna i maksymalna częstotliwość próbkowania w zależności od R dla różnych wartości m Wprawdzie z rysunku wynika, że możemy stosować częstotliwości próbkowania, które leżą na granicy strefy zakazanej i dozwolonej, jednak w praktycznych zastosowaniach należy wybierać częstotliwości nieco oddalone od tych granic. Takie postępowanie pozwala uniknąć np. problemów związanych z niedokładnością filtrów pasmowych, niestabilnością zegara układu próbkującego itp.

57 8 Przykład: Wracając do przebiegu przykładowego o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej f c =khz. 5 + R = = Z wykresu można odczytać dla tej wartości R, minimalną akceptowalną częstotliwość próbkowania. Wynosi ona przy m=3 ( powielenia widma ).5B, czyli.5khz co jest zgodne z wartością wyznaczoną w tabeli. Zadanie: Przebieg o szerokości pasma B=Hz i częstotliwości nośnej f c =Hz. Jaką minimalną częstotliwość próbkowania można stosować? Czy można stosować częstotliwość próbkowania f p =4Hz, Hz? Jak uwzględnić błąd częstotliwości próbkowania związany z niedokładnością zegara? Obliczamy parametr R + R = = 5.5 Jak wynika z wykresu dla R=5.5 sygnał można próbkować z minimalną częstotliwością przy liczbie powieleń widma m=4.

58 9 f p B m= 6 Δf p = ± Hz m= 4 m=3 m=4 strefa zakazana ΔB = 9 Hz R Częstotliwość minimalna dla m=4 wynosi: f p min 4 fc + B f pmin = m + + = = 44Hz 4+ Częstotliwość maksymalna dla m=4 wynosi: f pmax = f B m c f p max 4 = = 45 4 Nie jest możliwe próbkowanie z częstotliwością 4Hz, natomiast możliwe Hz. Przy f p =Hz na wykresie zaznaczono zakres dopuszczalnego błędu próbkowania.

59 -- Przekształcenie zet ( Z ) Definicja przekształcenia Z Przekształcenie zet jest w dziedzinie czasu dyskretnego odpowiednikiem ciągłego przekształcenia Laplace a w dziedzinie czasu ciągłego. Podamy dwie równoważne definicje przekształcenia zet różniące się jedynie sposobem zapisu matematycznego sygnału dyskretnego: Dla sygnału zapisanego w postaci ciągu wartości f[n]: definicja ( ) [ ] F z = f n z n Dla sygnału spróbkowanego f*(t) ( wykorzystując przekształcenie Laplace a ) definicja { } ( ) = ( ) F z L f t * e stp = z Sygnał dyskretny () = ( ) δ ( ) f t f nt t nt * p p Transformata Laplace a (dwustronna) sygnału dyskretnego: *( ) ( ) F s = f nt e nst II p st e p z p =

60 -- Stąd po dokonaniu podstawienia zgodnie z definicją otrzymamy wyrażenie jak dla ciągu n ( ) = ( ) F z f nt z p Obszar zbieżności Ponieważ przekształcenie Z ciągu f[n] jest zdefiniowane jako szereg nieskończony, zatem istnieje tylko dla tych wartości dla których szereg jest zbieżny. Suma zawiera zarówno dodatnie jak i ujemne potęgi zmiennej z. Jak wiadomo z teorii szeregów potęgowych suma ujemnych potęg jest zbieżna dla z większego niż pewna stała r, a suma potęg dodatnich jest zbieżna dla z mniejszego niż pewna stała r. Wynika stąd, że obszar zbieżności (istnienia) transformaty Z ma kształt pierścienia o promieniach r, r zależnych od funkcji f[n]. W celu dokładniejszego wyjaśnienia tego zagadnienia wykorzystamy przekształcenie Laplace a. Rozpatrzymy odwzorowanie punktów płaszczyzny zmiennej zespolonej s na punkty płaszczyzny zmiennej zespolonej z. Zgodnie z definicją przekształcenia Z związek między zmienną z i s opisuje równanie: Ponieważ z = e st p s = σ + jω Stąd ( σ + j ω ) T p σ T p j ω T p z = e = e e Czynnik j T e ω p jest okresowy, zatem odwzorowanie nie jest jednoznaczne. σtp j T ( p σtp j Tp ) z = e e ω = e e ω + π

61 -3- Oznacza to, że każdy dowolny pas na płaszczyźnie zmiennej s określony następująco π ω < ω < ω + < σ < T p odwzorowuje całą płaszczyznę zmiennej z. Im{s} Im{z} Re{s} Re{z} ω ω + π T p Rozpatrzymy szczególne przypadki odwzorowań: at Obrazem prostej o równaniu s=a (pionowa) na płaszczyźnie s będzie okrąg o promieniu e p na płaszczyźnie zmiennej z. Oś urojonych ma płaszczyźnie s odwzorowuje się na okrąg jednostkowy na płaszczyźnie z. Im{s} Im{z} Re{s} Re{z} π T p

62 -4- Półpłaszczyzna na lewo od prostej s=a na płaszczyźnie s będzie wnętrzem koła o at promieniu e p Im{s} Im{z} Re{s} r> Re{z} π T p Półpłaszczyzna na prawo od prostej s=a na płaszczyźnie s będzie zewnętrzem koła o promieniu at p e Im{s} Im{z} Re{s} r> Re{z} π T p Rozpatrzymy przykład, który do wyznaczania przekształcenia Z wykorzystuje analogie z transformacją Laplace a Obliczymy dwustronną transformatę Laplace a sygnału o ciągłym czasie: ( ) at bt = ( ) + ( ) x t e t e t ( ) = ( ) + ( ) x t x t x t +

63 -5- { } s s ( ) = ( ) X s L x t = X ( s) = s + a Obszar zbieżności dla tego składnika leży na lewo od punktu a na płaszczyźnie s, czyli at wewnątrz okręgu o promieniu e p > { } ( ) ( ) X s L x t + = X ( s) = + s + b Obszar zbieżności dla tego składnika leży na prawo od punktu b na płaszczyźnie s, czyli na bt zewnątrz koła o promieniu e p < ( ) X s = + s + a s+ b Im{s} Im{z} Re{s} bt -b a p e Re{z} p at e

64 -6- S Z Pas zbieżności pomiędzy b i a pierścień o promieniach bt e p, at e p Przykłady wyznaczania transformaty Z podstawowych sygnałów: Transformata zet (Z) delty Kroneckera: δ [ n] dla n = = dla n f[n] n Z n { [ ]} [ ] [ ] f n f n z f n z z n = = = = n= n= δ [ n] Z

65 -7- Transformata Z dowolnego ciągu skończonego: [ ] xn, n =, n = =, n =, n =, inne f[n] n Z n { f [ n] } = f [ n] z = z+ z + z n= Transformata Z skoku jednostkowego: [ n] dla n = dla n < f[n] n

66 Z { f [ n] } = [ ] = z = n= n= n ( z ) n n= f n z n -8- Wykorzystamy zależność na sumę ciągu geometrycznego: A Ax = = x N x < oraz N x A Ax... N Ax N n Ax n= n Z z = = z z { f [ n] } [ n] Z z z Transformata F(z) posiada biegun w punkcie z=, oraz pierwiastek w punkcie z=. Obszar zbieżności opisuje zależność z >, leży na zewnątrz okręgu o promieniu. Im{z} Re{z}

67 -9- Transformata Z funkcji wykładniczej ( n ): n [ ] = [ ] x n a n ( ) = [ ] X z = = n= n= n n az n= ( az ) n x n z n Suma jest zbieżna gdy a/z < lub z > a z = = az z a ( ) X z a n [ n] Z z z a Transformata X(z) posiada biegun w punkcie z=a, oraz pierwiastek w punkcie z=. Obszar zbieżności opisuje zależność z > a, leży na zewnątrz okręgu o promieniu a. Im{z} a Re{z}

68 -- Transformata Z funkcji wykładniczej ( n < ): ( ) = [ ] Y z = = = n= n n az n= n= n= ( az ) y n z n ( a z) n n n [ ] = [ ] yn a n Suma jest zbieżna gdy z/a < lub z < a ( ) X z za z = = = za za z a n Z z a [ n ] z a Transformata X(z) posiada biegun w punkcie z=a, oraz pierwiastek w punkcie z=. Obszar zbieżności opisuje zależność z < a, leży na wewnątrz okręgu o promieniu a. Im{z} a Re{z}

69 -- Przykład Zidentyfikujemy obszary istnienia transformaty Z dla następujących sygnałów: n x n n n 4 [ ] = [ ] + [ ] n yn n n 4 [ ] = [ ] + [ ] n wn n n 4 [ ] = [ ] + [ ] n n n X(z) ( ) X z = + n= z n= 4z n = ( z) + n= n= 4z n n n Pierwsza suma jest zbieżna dla z < lub z </. Druga suma jest zbieżna dla /(4z) < lub z >/4. Wspólny obszar zbieżności dla tych szeregów stanowi pierścień: < z < 4 ( ) X z z = + + z z 4

70 -- Im{z} Re{z} -/ /4 Y(z) ( ) Y z = + n= z n= 4z n = + n= z n= 4z n n n Pierwsza suma jest zbieżna dla /(z) < lub z >/. Druga suma jest zbieżna dla /(4z) < lub z >/4. Wspólny obszar zbieżności dla tych szeregów stanowi zewnętrze okręgu: z > ( ) Y z z z = + z+ z 4

71 -3- Im{z} Re{z} -/ /4 W(z) ( ) W z n = + n= z n= 4z n ( z) ( 4z) = + n= n= n n Pierwsza suma jest zbieżna dla z < lub z </. Druga suma jest zbieżna dla 4z < lub z </4. Wspólny obszar zbieżności dla tych szeregów stanowi wnętrze okręgu: z < 4 ( ) W z z z = + z+ z 4

72 -4- Im{z} Re{z} -/ /4 Wykorzystanie przekształcenia Laplace a od wyznaczania transformaty Z: Transformata Z wykładniczego przebiegu prawostronnego ( t ): ( ) = bt ( ) x t e t bt () = δ ( p ) x * t e t kt k = bkt () = p δ ( p ) x * t e t kt k = Korzystając z transformaty Laplace a ( ) bktp X * s = e e k = skt p

73 -5- btp stp ( ) = ( ) X * s e e k = btp ( ) = ( ) X z e z k = = e ( ) X z bt p z k k z = z ( ) btp X z e Ponieważ obszar zbieżności transformaty Laplace a X ( s) = s + b jest półpłaszczyzną położoną na prawo od prostej s=-b dlatego obszarem zbieżności transformaty Z jest zewnętrze okręgu o promieniu e bt p Im{s} Im{z} Re{s} Re{z} p -b e bt

74 -6- Transformata Z wykładniczego przebiegu lewostronnego ( t < ): ( ) = bt ( ) x t e t bt () = δ ( p ) x* t e t kt k= bkt () = p δ ( p ) x * t e t kt k= Korzystając z transformaty Laplace a ( ) bktp X * s = e e ( ) k= bktp X * s = e e k= sktp sktp btp stp ( ) = ( ) X * s e e k= btp ( ) = ( ) X z e z k= btp ( ) = ( ) X z e z ( ) X z k= k k k p e z z = = = bt p bt p btp e z e z e z bt z = z ( ) btp X z e Ponieważ obszar zbieżności transformaty Laplace a X ( s) = s + b jest półpłaszczyzną położoną na lewo od prostej s=-b, dlatego obszarem zbieżności transformaty zet jest wnętrze okręgu o promieniu e bt p

75 -7- Im{s} Im{z} Re{s} Re{z} p -b e bt Podstawowe właściwości przekształcenia Z: Przyjmiemy skrótowe oznaczenie transformaty zet sygnału x[n], istniejącej w obszarze zbieżności o promieniu R x [ ] Z ( ) x x n X z dla OZ R LINIOWOŚĆ [ ] + [ ] Z ( ) + ( ) x I y ax n by n ax z by z dla OZ R R (wspólny obszar zbieżności)

76 -8- Przykład n n 3 Z z 3 xn [ ] = [ n] [ n ] X( z) = dlaoz < z< 3 z z oraz n n z Z y[ n] = [ ] [ ] ( ) 4 n n Y z = dla OZ < z 4 z z 4 Im{z} / Re{z} 3/ Im{z} / /4 Re{z}

77 -9- z Z z 3 ax[ n] + by[ n] a + b 4 dla OZ < z < 3 z z z z 4 W przypadku gdy a=b 5 z Z 3 ax[ n] + ay[ n] a 4 dla OZ < z < 3 4 z z 4 Transformata zet sinusoidalnego przebiegu prawostronnego ( t ): [ ] = sin ( ω ) [ ] x n n T n p Wykorzystamy właściwość liniowości przekształcenia oraz wyprowadzoną wcześniej transformatę sygnału wykładniczego: e nbt p[ n] Z z z e btp Ponieważ sin j α α ( α ) = ( e e ) jnωt p jnωt p Z z z e [ n] e [ n] ω j j j z e z e ω j Tp j Tp =

78 -- jωtp jωtp ( ) ( ) jωtp jωtp ( z e )( z e ) jω z z e z z e T z p jωtp ze z + ze = = j j z ze ze + e e ω ω ω ω j Tp j Tp j Tp j Tp = ( ) j ( ) ( ) ( ) z jωtp jωt z p jωtp jωtp e e e e j = = jωtp jωtp jωtp jωtp z z e + e + e z z e + e + ( ωtp ) ( ω p ) zsin Z sin( nω Tp ) [ n] dla OZ z > z zcos T + Im{z} Re{z}

79 -- ODWRÓCENIE SYGNAŁU W CZASIE Z x[ n] X dla OZ z R x Odwrócenie sygnału w dziedzinie czasu odpowiada zmianie zmiennej z na z -. Zmianie ulega także obszar zbieżności. Jeżeli R x jest pierścieniem a< z <b to obszar zbieżności sygnału odwróconego a< /z <b lub /b< z </a PRZESUNIĘCIE SYGNAŁU W CZASIE n [ ] Z ( ) x n n z X z dla OZ R x z n Mnożenie przez wprowadza n biegunów w z= gdy n >. W tym przypadku jeżeli bieguny nie są redukowane przez pierwiastki X(z), nowy obszar zbieżności nie może zawierać n punktu z=. Natomiast gdy n < mnożenie przez z wprowadza n biegunów w nieskończoności. Jeżeli bieguny te nie są redukowane przez pierwiastki X(z), nowy obszar zbieżności nie może zawierać punktu z = Przykłady: f[n] g[n]=f[n-] n n g[]=f[-] g[]=f[]

80 -- n ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] G z = g n z = g + g z + g z + n= [ ] [ ] [ ] = f + f z + f z = f [ ] + z f [ ] z+ f [ ] z F( z) Stąd otrzymujemy zależności: Z [ ] ( ) + [ ] Z [ ] ( ( ) + [ ] ) + [ ] = ( ) + [ ] + [ ] f n z F z f f n z z F z f f z F z z f f ( { [ ] } [ ] ) = { [ ]} { [ ]} [ ] = { + } z Z f n f Z f n ( ) [ ] z Z f n f Z f n ( ) Z [ + ] ( ) [ ] f n z F z f Z f [ n+ ] = z z F( z) f [ ] f = z F z z f zf ( ) [] ( ) [ ] [ ] MNOŻENIE PRZEZ CIĄG WYKŁADNICZY n Z z α x[ n] X dla OZ α R α x Jeżeli R x jest pierścieniem a< z <b to obszar zbieżności sygnału a a< z < a b. Zmiana obszaru zbieżności wynika z przesuwania się biegunów funkcji X(z). Wszystkie bieguny zostają w jednakowej skali równej a przesunięte względem z=.

81 -3- Wyprowadzimy z definicji przekształcenia zet powyższą własność Przykład Ponieważ [ n] Z [ ] [ ] [ ] axn n axnz n n n = = n= [ ] n n xnaz n= [ ]( a z) xn ( ) = X a z a Z z z [ n] n Z z n z a n= to n Z a z [ n] a z a = z = z a SPLOT [ ] [ ] Z ( ) ( ) I x y x n y n X z Y z dla OZ R R Splot przebiegów czasowych odpowiada mnożeniu transformat. Z liniowości przekształcenia wynika, że obszar zbieżności może być większy niż część wspólna obszarów dla transformat splatanych sygnałów. Taki przypadek zachodzi wtedy wystepuje redukcja pierwiastków i biegunów.

82 -4- RÓŻNICZKOWANIE W DZIEDZINIE ZET d nx n z X z dla OZ R dz [ ] Z ( ) x Mnożenie sygnału przez n w dziedzinie czasu odpowiada różniczkowaniu oraz mnożeniu przez z w dziedzinie zet. Operacja ta nie zmienia obszaru zbieżności. Wyprowadzimy tę własność z definicji przekształcenia zet: [ ] Z n n n nz = n= = z z 3 z { 3...} = z z z z d = z + z + z + z + dz d z = z dz z 3 { 3...} stąd Z d z n[ n] z = dz z z z z ( z ) z = = ( z )

83 -5- Przykład: Znajdziemy transformatę sygnału Oznaczymy: ( ) ( n ) [ ] 4 n [ ] ( ) [ ] x n = n n n ( ) [ ] = ( ) n [ ] wn n n [ ] = ( 4 ) n [ n] yn Obliczenia dla w[n]: ( ) [ ] n Z z n dla OZ z z + > Wykorzystamy właściwość różniczkowania w dziedzinie zet: n Z d z n( ) [ n] z dla OZ z > z+ z = z ( z ) + z = > dz z + dla OZ z ( z + ) Obliczenia dla y[n]: ( ) [ ] n Z z 4 n dla OZ z > 4 z 4

84 -6- Wykorzystamy właściwość inwersji w czasie: Z 4 dla OZ z > 4 z 4 n ( ) [ n] 4z = dla OZ z < 4 z 4 z Wykorzystamy właściwość transformaty splotu: Z [ ] = [ ] [ ] ( ) = ( ) ( ) x n w n y n X z W z Y z dla OZ R I R z 4z = z 4 ( z + ) z = dla OZ < z < 4 ( z 4)( z+ ) W Y

85 - - Odwrotne przekształcenie Z Rozpatrzymy zagadnienie odtwarzania dyskretnego sygnału czasowego x[n] z jego transformaty X(z). Do wyznaczenia ciągu x[n] w sposób jednoznaczny musimy znać obszar zbieżności (OZ). Odwracanie X(z) przez rozkład na ułamki proste Analizując systemy LTI zwykle transformatę ZET przebiegów otrzymujemy w postaci funkcji wymiernej zmiennej z -. Niech dana będzie transformata sygnału dyskretnego x[n] w postaci: ( ) X z = ( ) ( ) B z A z = + + L M b bz b z M N az L a z N oraz stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku tzn. M<N. Jeżeli M N to musimy zastosować dzielenie wielomianów aby przedstawić X(z) w formie następującego wyrażenia: ( ) X z M N k = fk z + k = ( ) ( ) B% z A z Wówczas stopień wielomianu w liczniku ( ) B z % jest teraz mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku.

86 - - Metoda rozkładu na ułamki proste pozwala na wyznaczenie transformaty odwrotnej wyrażenia: Transformatę odwrotną sumy ( ) ( ) B% z A z, M N k = f z k k otrzymamy wykorzystując transformatę delty δ [ n] Z w dziedzinie czasu. oraz właściwość przesunięcia ciągu W wielu problemach praktycznych transformata X(z) wyrażona jest jako stosunek wielomianów zmiennej z a nie z -. W takich przypadkach możemy stosować metodę rozkładu na ułamki proste jeżeli wcześniej przekształcimy X(z) do postaci stosunku wielomianów o zmiennej z -. Konwersji tej możemy dokonać poprzez wyciągnięcie przed nawias w liczniku największej potęgi z, a w mianowniku wyciagnięcie przed nawias największej potęgi z razem ze współczynnikiem przy tej potędze. Przykład: Jeżeli transformata ma postać ( ) X z = z z+ 3 3z 6z+ 9 W liczniku wyciągniemy przez nawias z a w mianowniku 3z 3. ( ) X z ( + ) 3 3 ( + ) z z z = 3z z 3z z + z 3 z + 3z = z 3 Rozkład na ułamki proste stosuje się do wyrażenia w nawiasie, natomiast czynnik jest uwzględniany później z zastosowaniem właściwości przesuwania ciągu w czasie. 3 z

87 -3 - Rozkład na ułamki proste funkcji w postaci ( ) X z M b + bz + L + bm z N az L an z = wykonuje się poprzez przekształcenie wielomianu w mianowniku wyrażenia X(z) do postaci iloczynu wielomianów pierwszego stopnia ( ) X z M b + bz + L + bm z L N = ( dz )( dz ) ( d z ) gdzie d k są biegunami funkcji X(z). Jeżeli wszystkie bieguny są jednokrotne to możemy funkcję X(z) zapisać w postaci sumy ułamków prostych w postaci: X z A A A = + + L + dz dz d z ( ) N N Współczynniki obliczamy z zależności: ( ) ( ) A = d z X Z = i i i z d Odwrotną transformację ZET każdego składnika osobno wyznaczamy wykorzystując pary transformat prostych ciągów: ( ) [ ] n Z A A d n k OZ z > d k k d z k k A A ( d ) n [ n ] Z k OZ z < d dz k k k k

88 -4 - Relacje pomiędzy obszarem zbieżności (OZ) związanym z X(z) i każdym biegunem determinują, które składniki są transformatami ciągów lewostronnych, a które prawostronnych. Jeżeli biegun d i jest wielokrotny o krotności r, to otrzymamy r składników rozwinięcia związanych z tym biegunem: A A A,, L, dz dz dz i i ir i i i ( ) ( ) r Transformację odwrotną otrzymamy wykorzystując pary: ( + ) L( + ) n ( i) [ ] ( m ) n n m Z A A d n m OZ z > d! ( dz i ) i ( + ) L( + ) n ( i ) [ ] ( m ) n n m Z A A d n m OZ z < d! ( dz i ) i Położenie biegunów względem OZ funkcji X(z) determinuje to, która transformata odwrotna, lewostronna czy prawostronna zostanie wybrana do odwrócenia składnika. Aby poprawnie wyznaczyć odwrotną transformatę ZET należy po rozłożeniu funkcji X(z) na ułamki proste określić dla każdego składnika jego obszar zbieżności. Polega to na określeniu dla każdego bieguna jego położenia względem obszaru zbieżności funkcji X(z). Jeżeli OZ funkcji X(z) ma promień większy niż biegun musimy wybrać prawostronną transformatę odwrotną. Jeżeli OZ funkcji X(z) na promień mniejszy niż biegun należy wybrać lewostronną transformatę odwrotną dla tego składnika.