Transformaty. Kodowanie transformujace
|
|
|
- Sylwester Sikorski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład maja 2009
2 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0 t + n=1 b n sin nω 0 t = c n e inω 0t i=1 n= gdzie ω 0 = 2π T i c n = 1 T T 0 f (t)e inω 0t dt.
3 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0 t + n=1 b n sin nω 0 t = c n e inω 0t i=1 n= gdzie ω 0 = 2π T i c n = 1 T T 0 f (t)e inω 0t dt. Co daje reprezentacja Fouriera?
4 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0 t + n=1 b n sin nω 0 t = c n e inω 0t i=1 n= gdzie ω 0 = 2π T i c n = 1 T T 0 f (t)e inω 0t dt. Co daje reprezentacja Fouriera? Współczynniki c n daja nam wielkości oscylacji występujacych w sygnale.
5 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0 t + n=1 b n sin nω 0 t = c n e inω 0t i=1 n= gdzie ω 0 = 2π T i c n = 1 T T 0 f (t)e inω 0t dt. Co daje reprezentacja Fouriera? Współczynniki c n daja nam wielkości oscylacji występujacych w sygnale. Ale nie daje informacji jak sygnał zmienia się w czasie.
6 Transformata Fouriera Rozpatrzmy funkcję f (t) określona na przedziale [0, T ).
7 Transformata Fouriera Rozpatrzmy funkcję f (t) określona na przedziale [0, T ). Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jako f P (t) = n= f (t nt ), gdzie dla t / [0, T ) przyjmujemy f (t) = 0.
8 Transformata Fouriera Rozpatrzmy funkcję f (t) określona na przedziale [0, T ). Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jako f P (t) = n= f (t nt ), gdzie dla t / [0, T ) przyjmujemy f (t) = 0. f P (t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniować szereg Fouriera c n = 1 T T /2 T /2 f P (t)e inω 0t dt
9 Transformata Fouriera Rozpatrzmy funkcję f (t) określona na przedziale [0, T ). Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jako f P (t) = n= f (t nt ), gdzie dla t / [0, T ) przyjmujemy f (t) = 0. f P (t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniować szereg Fouriera c n = 1 T T /2 T /2 f P (t)e inω 0t dt Zdefiniujmy C(n, T ) = c n T i ω = ω 0, wtedy C(n, T ) f P (t) = e in ωt dt T n=
10 Transformata Fouriera Aby odtworzyć f (t) obliczamy T /2 lim T, ω 0 T /2 f P (t)e inω 0t dt = f (t)e iωt dt
11 Transformata Fouriera Aby odtworzyć f (t) obliczamy T /2 lim T, ω 0 T /2 f P (t)e inω 0t dt = Transformata Fouriera nazywamy równanie F(ω) = f (t)e iωt dt f (t)e iωt dt Mówi ono jak sygnał zmienia się przy różnych częstotliwościach.
12 Transformata Fouriera Aby odtworzyć f (t) obliczamy T /2 lim T, ω 0 T /2 f P (t)e inω 0t dt = Transformata Fouriera nazywamy równanie F(ω) = f (t)e iωt dt f (t)e iωt dt Mówi ono jak sygnał zmienia się przy różnych częstotliwościach. Odwrotna transformata Fouriera nazywamy f (t) = 1 2π F(ω)e iωt dω
13 Dyskretna transformacja Fouriera Transformata Fouriera jest wykonywana dla funkcji ciagłych w czasie a w kompresji mamy do czynienia z ciagiem wartości (próbkowanie).
14 Dyskretna transformacja Fouriera Transformata Fouriera jest wykonywana dla funkcji ciagłych w czasie a w kompresji mamy do czynienia z ciagiem wartości (próbkowanie). Przypuśćmy, że próbkujemy N razy w okresie T. Wtedy współczynniki szeregu możemy otrzymać jako F k = 1 T T 0 N 1 f (t) δ(t nt /N)e ikω0t dt n=0 = 1 T N 1 f (nt /N)e i2πkn/n n=0
15 Dyskretna transformacja Fouriera Przyjmujac T = 1 i f n = f (n/n) otrzymamy współczynniki dyskretnego szeregu Fouriera N 1 F k = f n e i2πkn/n n=0
16 Dyskretna transformacja Fouriera Przyjmujac T = 1 i f n = f (n/n) otrzymamy współczynniki dyskretnego szeregu Fouriera N 1 F k = f n e i2πkn/n n=0 Przeprowadzajac odpowiednie przekształcenia otrzymamy f n = 1 N 1 F k e i2πkn/n N k=0
17 Transformata Z Analogicznie możemy utworzyć transformatę Fouriera dla funkcji próbkujacej.
18 Transformata Z Analogicznie możemy utworzyć transformatę Fouriera dla funkcji próbkujacej. Zmieniajac f (t) na funkcję spróbkowana otrzymujemy dyskretna transformatę Fouriera F(ω) = f n e iωnt, gdzie f n = f (nt ). n=
19 Transformata Z Analogicznie możemy utworzyć transformatę Fouriera dla funkcji próbkujacej. Zmieniajac f (t) na funkcję spróbkowana otrzymujemy dyskretna transformatę Fouriera F(ω) = f n e iωnt, n= gdzie f n = f (nt ). Transformata Z ciagu {f n } jest uogólnieniem DFT i dana wzorem F(z) = f n z n gdzie z = e σt +iωt. n=
20 Kodowanie transformujace - wprowadzenie Przekształcenie informacji w taki sposób aby po przekształceniu można było zrezygnować z części elementów.
21 Kodowanie transformujace - wprowadzenie Przekształcenie informacji w taki sposób aby po przekształceniu można było zrezygnować z części elementów. Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
22 Kodowanie transformujace - wprowadzenie Przekształcenie informacji w taki sposób aby po przekształceniu można było zrezygnować z części elementów. Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki 1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.
23 Kodowanie transformujace - wprowadzenie Przekształcenie informacji w taki sposób aby po przekształceniu można było zrezygnować z części elementów. Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki 1 Podziel sygnał wejściowy na bloki. 2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.
24 Kodowanie transformujace - wprowadzenie Przekształcenie informacji w taki sposób aby po przekształceniu można było zrezygnować z części elementów. Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki 1 Podziel sygnał wejściowy na bloki. 2 Oblicz przekształcenie każdego bloku. 3 Skwantyzuj współczynniki.
25 Kodowanie transformujace - wprowadzenie Przekształcenie informacji w taki sposób aby po przekształceniu można było zrezygnować z części elementów. Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki 1 Podziel sygnał wejściowy na bloki. 2 Oblicz przekształcenie każdego bloku. 3 Skwantyzuj współczynniki. 4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresja bezstratna.
26 Kodowanie transformujace - wprowadzenie Przekształcenie informacji w taki sposób aby po przekształceniu można było zrezygnować z części elementów. Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki 1 Podziel sygnał wejściowy na bloki. 2 Oblicz przekształcenie każdego bloku. 3 Skwantyzuj współczynniki. 4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresja bezstratna. Odkodowywanie jest odwrotnościa kodowania.
27 Przykład Rozpatrzmy pary (wzrost,waga): (165, 77), (190, 85), (152, 68), (178, 77), (142, 59), (203, 92), (173, 73), (127, 50), (102, 36), (127, 70), (175, 67), (157, 64), (193, 74), (163, 54)
28 Przykład Rozpatrzmy pary (wzrost,waga): (165, 77), (190, 85), (152, 68), (178, 77), (142, 59), (203, 92), (173, 73), (127, 50), (102, 36), (127, 70), (175, 67), (157, 64), (193, 74), (163, 54) Łatwo zauważyć że pary skupiaja się wokół prostej y = 0, 41x.
29 Przykład Rozpatrzmy pary (wzrost,waga): (165, 77), (190, 85), (152, 68), (178, 77), (142, 59), (203, 92), (173, 73), (127, 50), (102, 36), (127, 70), (175, 67), (157, 64), (193, 74), (163, 54) Łatwo zauważyć że pary skupiaja się wokół prostej y = 0, 41x. Możemy obrócić ten [ zbiór ] stosujac przekształcenie x θ = Az, gdzie z = odpowiada parze y wzrost-waga, a A jest macierza obrotu postaci [ ] cos φ sin φ A = sin φ cos φ a φ katem nachylenia prostej do osi x-ów.
30 Przykład Ciag po przekształceniu (i zaokragleniu do liczb całkowitych) ma postać (182, 7), (208, 5), (166, 4), (194, 2), (154, 1), (223, 6), (188, 0), (136, 3), (108, 6), (144, 15), (187, 6), (170, 2), (199, 25), (171, 13)
31 Przykład Ciag po przekształceniu (i zaokragleniu do liczb całkowitych) ma postać (182, 7), (208, 5), (166, 4), (194, 2), (154, 1), (223, 6), (188, 0), (136, 3), (108, 6), (144, 15), (187, 6), (170, 2), (199, 25), (171, 13) Teraz usuńmy drugi każdej pary.
32 Przykład Ciag po przekształceniu (i zaokragleniu do liczb całkowitych) ma postać (182, 7), (208, 5), (166, 4), (194, 2), (154, 1), (223, 6), (188, 0), (136, 3), (108, 6), (144, 15), (187, 6), (170, 2), (199, 25), (171, 13) Teraz usuńmy drugi każdej pary. Dekompresja ciagu z zerem na drugim miejscu jest wykonywana za pomoca macierzy [ ] cos φ sin φ A = sin φ cos φ
33 Przykład Ciag po przekształceniu (i zaokragleniu do liczb całkowitych) ma postać (182, 7), (208, 5), (166, 4), (194, 2), (154, 1), (223, 6), (188, 0), (136, 3), (108, 6), (144, 15), (187, 6), (170, 2), (199, 25), (171, 13) Teraz usuńmy drugi każdej pary. Dekompresja ciagu z zerem na drugim miejscu jest wykonywana za pomoca macierzy [ ] cos φ sin φ A = sin φ cos φ Wynikowy ciag to (168, 70), (192, 81), (153, 64), (179, 75), (142, 60), (206, 86), (173, 73), (125, 53), (100, 42), (133, 56), (172, 72), (157, 66), (183, 77), (158, 66)
34 Przekształcenia liniowe Ciag {x 0,..., x N 1 } przekształcamy na ciag {θ 0,..., θ N 1 } w następujacy sposób N 1 θ j = x i a j,i i=0
35 Przekształcenia liniowe Ciag {x 0,..., x N 1 } przekształcamy na ciag {θ 0,..., θ N 1 } w następujacy sposób N 1 θ j = x i a j,i i=0 Oryginalny ciag możemy odtworzyć za pomoca przekształcenia odwrotnego N 1 x j = θ i b j,i i=0
36 Przekształcenia liniowe Ciag {x 0,..., x N 1 } przekształcamy na ciag {θ 0,..., θ N 1 } w następujacy sposób N 1 θ j = x i a j,i i=0 Oryginalny ciag możemy odtworzyć za pomoca przekształcenia odwrotnego N 1 x j = θ i b j,i i=0 Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe (dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy).
37 Przekształcenia liniowe Ciag {x 0,..., x N 1 } przekształcamy na ciag {θ 0,..., θ N 1 } w następujacy sposób N 1 θ j = x i a j,i i=0 Oryginalny ciag możemy odtworzyć za pomoca przekształcenia odwrotnego N 1 x j = θ i b j,i i=0 Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe (dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy). Wszystkie przekształcenia będa ortonormalne (łatwo wyliczyć przekształcenia odwrotne).
38 Przekształcenie Karhunena-Loevego Wiersze macierzy przekształcenia zawieraja wektory własne macierzy autokorelacji.
39 Przekształcenie Karhunena-Loevego Wiersze macierzy przekształcenia zawieraja wektory własne macierzy autokorelacji. Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać [R] i,j = E[X n X n+ i j ]
40 Przekształcenie Karhunena-Loevego Wiersze macierzy przekształcenia zawieraja wektory własne macierzy autokorelacji. Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać [R] i,j = E[X n X n+ i j ] Przekształcenie skonstruowane w ten sposób minimalizuje średnia geometryczna wariancji współczynników przekształcenia.
41 Przekształcenie Karhunena-Loevego Wiersze macierzy przekształcenia zawieraja wektory własne macierzy autokorelacji. Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać [R] i,j = E[X n X n+ i j ] Przekształcenie skonstruowane w ten sposób minimalizuje średnia geometryczna wariancji współczynników przekształcenia. Wada metody: Jeśli rozkład danych nie jest stacjonarny to macierz autokorelacji zmienia się w czasie. Trzeba co jakiś czas na nowo wyliczyć ta macierz i przesłać odbiorcy (nie zna ciagu wejściowego).
42 Przykład Rozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.
43 Przykład Rozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2. Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesu stacjonarnego [ ] RXX (0) R R = XX (1) R XX (1) R XX (0)
44 Przykład Rozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2. Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesu stacjonarnego [ ] RXX (0) R R = XX (1) R XX (1) R XX (0) Rozwiazuj ac równanie λi R = 0 otrzymujemy dwie wartości własne: λ 1 = R XX (0) + R XX (1) oraz λ 2 = R XX (0) [ R XX ] (1). Wektory [ własne ] maja wtedy α β postać V 1 = oraz V α 2 =, gdzie α, β sa β odpowiednimi stałymi.
45 Przykład Rozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2. Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesu stacjonarnego [ ] RXX (0) R R = XX (1) R XX (1) R XX (0) Rozwiazuj ac równanie λi R = 0 otrzymujemy dwie wartości własne: λ 1 = R XX (0) + R XX (1) oraz λ 2 = R XX (0) [ R XX ] (1). Wektory [ własne ] maja wtedy α β postać V 1 = oraz V α 2 =, gdzie α, β sa β odpowiednimi stałymi. Jeśli narzucimy warunek ortonormalności to α = β = 1/ 2.
46 Przykład Rozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2. Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesu stacjonarnego [ ] RXX (0) R R = XX (1) R XX (1) R XX (0) Rozwiazuj ac równanie λi R = 0 otrzymujemy dwie wartości własne: λ 1 = R XX (0) + R XX (1) oraz λ 2 = R XX (0) [ R XX ] (1). Wektory [ własne ] maja wtedy α β postać V 1 = oraz V α 2 =, gdzie α, β sa β odpowiednimi stałymi. Jeśli narzucimy warunek ortonormalności to α = β = 1/ 2. Dla rozmiaru 2 przekształcenie KLT nie zależy od wartości korelacji. Dla wyższych wymiarów zależy.
47 Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT) Macierz przekształcenia N N 1 [C] i,j = N 2 N cos (2j+1)iπ 2N dla i = 0 cos (2j+1)iπ 2N dla i 0
48 Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT) Macierz przekształcenia N N 1 [C] i,j = N 2 N cos (2j+1)iπ 2N dla i = 0 cos (2j+1)iπ 2N dla i 0 Przekształcenie blisko zwiazane z dyskretna transformata Fouriera.
49 Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT) Macierz przekształcenia N N 1 [C] i,j = N 2 N cos (2j+1)iπ 2N dla i = 0 cos (2j+1)iπ 2N dla i 0 Przekształcenie blisko zwiazane z dyskretna transformata Fouriera. Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niż DFT.
50 Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT) Macierz przekształcenia N N 1 [C] i,j = N 2 N cos (2j+1)iπ 2N dla i = 0 cos (2j+1)iπ 2N dla i 0 Przekształcenie blisko zwiazane z dyskretna transformata Fouriera. Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niż DFT. Używana do obrazów i dźwięków.
51 Baza DCT (numery odpowiadaja wierszom macierzy przekształcenia)
52 Macierze bazy DCT
53 Porównanie DFT i DCT DFT: DCT:
54 Dyskretne przekształcenie sinusowe Macierz przekształcenia N N 2 π(i + 1)(j + 1) [S] i,j = sin N + 1 N + 1
55 Dyskretne przekształcenie sinusowe Macierz przekształcenia N N 2 π(i + 1)(j + 1) [S] i,j = sin N + 1 N + 1 Lepsze niż kosinusowe gdy współczynnik korelacji ρ = E[xnx n+1] jest mały. E[xn 2 ]
56 Dyskretne przekształcenie sinusowe Macierz przekształcenia N N 2 π(i + 1)(j + 1) [S] i,j = sin N + 1 N + 1 Lepsze niż kosinusowe gdy współczynnik korelacji ρ = E[xnx n+1] jest mały. E[xn 2 ] Uzupełnia przekształcenie kosinusowe.
57 Dyskretne przekształcenie Walsha-Hadamarda Macierz przekształcenia N N Macierz Hadamarda rzędu N jest zdefiniowana wzorem HH T = NI. Dla potęg dwójki jest łatwa do wyliczenia ze wzoru: [ ] HN H H 2N = N H N H N Macierz przekształcenia uzyskujemy przez normalizację i ustawienie kolumn w porzadku ilości zmian znaków (+ na - i odwrotnie).
58 Dyskretne przekształcenie Walsha-Hadamarda Macierz przekształcenia N N Macierz Hadamarda rzędu N jest zdefiniowana wzorem HH T = NI. Dla potęg dwójki jest łatwa do wyliczenia ze wzoru: [ ] HN H H 2N = N H N H N Macierz przekształcenia uzyskujemy przez normalizację i ustawienie kolumn w porzadku ilości zmian znaków (+ na - i odwrotnie). Bardzo proste do uzyskania i implementacji.
59 Dyskretne przekształcenie Walsha-Hadamarda Macierz przekształcenia N N Macierz Hadamarda rzędu N jest zdefiniowana wzorem HH T = NI. Dla potęg dwójki jest łatwa do wyliczenia ze wzoru: [ ] HN H H 2N = N H N H N Macierz przekształcenia uzyskujemy przez normalizację i ustawienie kolumn w porzadku ilości zmian znaków (+ na - i odwrotnie). Bardzo proste do uzyskania i implementacji. Minimalizuje ilość obliczeń.
60 Zastosowanie do kompresji obrazów JPEG Zalecana transformacja jest DCT.
61 Zastosowanie do kompresji obrazów JPEG Zalecana transformacja jest DCT. Przedział kolorów przesuwamy z [0, 2 n 1] na [ 2 n 1, 2 n 1 1].
62 Zastosowanie do kompresji obrazów JPEG Zalecana transformacja jest DCT. Przedział kolorów przesuwamy z [0, 2 n 1] na [ 2 n 1, 2 n 1 1]. Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8 8.
63 Zastosowanie do kompresji obrazów JPEG Zalecana transformacja jest DCT. Przedział kolorów przesuwamy z [0, 2 n 1] na [ 2 n 1, 2 n 1 1]. Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8 8. Bloki przekształcamy transformacja DCT.
64 Zastosowanie do kompresji obrazów JPEG Zalecana transformacja jest DCT. Przedział kolorów przesuwamy z [0, 2 n 1] na [ 2 n 1, 2 n 1 1]. Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8 8. Bloki przekształcamy transformacja DCT. Stosujemy kwantyzację jednolita.
65 Algorytm JPEG kolejność kodowania
66 Zastosowanie do kompresji dźwięków Stosowane w MPEG Layer III.
67 Zastosowanie do kompresji dźwięków Stosowane w MPEG Layer III. Kodowanie oparte na DCT i DST.
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2 Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS
Kodowanie transformujace. Kompresja danych. Tomasz Jurdziński. Wykład 11: Transformaty i JPEG
Tomasz Wykład 11: Transformaty i JPEG Idea kodowania transformujacego Etapy kodowania 1 Wektor danych x 0,...,x N 1 przekształcamy (odwracalnie!) na wektor c 0,...,c N 1, tak aby: energia była skoncentrowana
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 7 Transformaty i kodowanie. Przemysław Sękalski.
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 7 Transformaty i kodowanie Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS Wykład
Kodowanie transformacyjne. Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG
Kodowanie transformacyjne Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG Zasada Zasada podstawowa: na danych wykonujemy transformacje która: Likwiduje korelacje Skupia energię w kilku komponentach
Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt.
1 Kodowanie podpasmowe Kompresja Danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, 18.05.2006 1.1 Transformaty, próbkowanie i filtry Korzystamy z faktów: Każdą funkcję okresową można reprezentować w postaci
Przekształcenie Fouriera obrazów FFT
Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację
Kwantyzacja wektorowa. Kodowanie różnicowe.
Kwantyzacja wektorowa. Kodowanie różnicowe. Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 7 12 kwietnia 2010 Kwantyzacja wektorowa wprowadzenie Zamiast kwantyzować pojedyncze elementy kwantyzujemy całe bloki
Według raportu ISO z 1988 roku algorytm JPEG składa się z następujących kroków: 0.5, = V i, j. /Q i, j
Kompresja transformacyjna. Opis standardu JPEG. Algorytm JPEG powstał w wyniku prac prowadzonych przez grupę ekspertów (ang. Joint Photographic Expert Group). Prace te zakończyły się w 1991 roku, kiedy
Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych
Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych dr inż.. Wojciech Zając Wykład 5. Dyskretna transformata falkowa Schemat systemu transmisji danych wizyjnych Źródło danych Przetwarzanie Przesył Przetwarzanie Prezentacja
= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT
Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu
Wstęp do metod numerycznych Dyskretna transformacja Fouriera. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Dyskretna transformacja Fouriera P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 01 Problem Majac dany szereg czasowy {x i } N i=1 = {x 1, x,..., x N } (zazwyczaj nieciekawy),
Założenia i obszar zastosowań. JPEG - algorytm kodowania obrazu. Geneza algorytmu KOMPRESJA OBRAZÓW STATYCZNYCH - ALGORYTM JPEG
Założenia i obszar zastosowań KOMPRESJA OBRAZÓW STATYCZNYCH - ALGORYTM JPEG Plan wykładu: Geneza algorytmu Założenia i obszar zastosowań JPEG kroki algorytmu kodowania obrazu Założenia: Obraz monochromatyczny
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP
i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Obliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
NIEOPTYMALNA TECHNIKA DEKORELACJI W CYFROWYM PRZETWARZANIU OBRAZU
II Konferencja Naukowa KNWS'05 "Informatyka- sztuka czy rzemios o" 15-18 czerwca 2005, Z otniki Luba skie NIEOPTYMALNA TECHNIKA DEKORELACJI W CYFROWYM PRZETWARZANIU OBRAZU Wojciech Zając Instytut Informatyki
Joint Photographic Experts Group
Joint Photographic Experts Group Artur Drozd Uniwersytet Jagielloński 14 maja 2010 1 Co to jest JPEG? Dlaczego powstał? 2 Transformata Fouriera 3 Dyskretna transformata kosinusowa (DCT-II) 4 Kodowanie
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Analiza czas - częstotliwość analiza częstotliwościowa: problem dla sygnału niestacjonarnego zwykła transformata
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Transformata Fouriera
Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
![2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I](/thumbs/88/115575416.jpg "2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I")
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Politechnika Świętokrzyska. Laboratorium. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Ćwiczenie 6. Transformata cosinusowa. Krótkookresowa transformata Fouriera.
Politechnika Świętokrzyska Laboratorium Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 6 Transformata cosinusowa. Krótkookresowa transformata Fouriera. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów
z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Podstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska
Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski
Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera
i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
![i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]](/thumbs/70/62901734.jpg "i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]")
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 13
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 13 Spis treści 19 Algorytmy kwantowe 3 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit)........... 3 19. Twierdzenie
Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Endomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)
Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform) Plan wykładu: 1. Transformacja Fouriera, iloczyn skalarny 2. DFT - dyskretna transformacja Fouriera 3. FFT szybka transformacja Fouriera a) algorytm
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11
WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 1/11 DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO Rozważmy dwa elementy płynu położone w pewnej chwili w bliskich sobie punktach A i B. Jak zmienia się ich względne położenie w krótkim
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Adaptacyjne Przetwarzanie Sygnałów. Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości
W Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości Blokowy algorytm LMS (BLMS) N f n+n = f n + α x n+i e(n + i), i= N L Slide e(n + i) =d(n + i) f T n x n+i (i =,,N ) Wprowadźmy nowy indeks: n = kn (
Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t
4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Wstęp do komputerów kwantowych
Obwody kwantowe Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Obwody kwantowe Bramki kwantowe 1 Algorytmy kwantowe 2 3 4 Algorytmy kwantowe W chwili obecnej znamy dwie obszerne
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Przekształcenia geometryczne. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej
Przekształcenia geometryczne Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Akademia Górniczo Hutnicza w Krakowie Przekształcenia elementarne w przestrzeni D Punkty p w E na płaszczyźnie
2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).
SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Obliczenia naukowe Wykład nr 6
Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Rozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Teoria sygnałów Signal Theory A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Kodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości
Kodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład 13 1 Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości Przykład Różne macierze parzystości dla kodu powtórzeniowego. Co wiemy z algebry
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Stosowana Analiza Regresji
Stosowana Analiza Regresji Wykład VIII 30 Listopada 2011 1 / 18 gdzie: X : n p Q : n n R : n p Zał.: n p. X = QR, - macierz eksperymentu, - ortogonalna, - ma zera poniżej głównej diagonali. [ R1 X = Q
Statystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
10. Redukcja wymiaru - metoda PCA
Algorytmy rozpoznawania obrazów 10. Redukcja wymiaru - metoda PCA dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. PCA Analiza składowych głównych: w skrócie nazywana PCA (od ang. Principle Component
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb
Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata
2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
KOMPRESJA OBRAZÓW STATYCZNYCH - ALGORYTM JPEG
KOMPRESJA OBRAZÓW STATYCZNYCH - ALGORYTM JPEG Joint Photographic Expert Group - 1986 ISO - International Standard Organisation CCITT - Comité Consultatif International de Téléphonie et Télégraphie Standard
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień
Obraz jako funkcja Przekształcenia geometryczne
Cyfrowe przetwarzanie obrazów I Obraz jako funkcja Przekształcenia geometryczne dr. inż Robert Kazała Definicja obrazu Obraz dwuwymiarowa funkcja intensywności światła f(x,y); wartość f w przestrzennych
Transformata Fouriera i analiza spektralna
Transformata Fouriera i analiza spektralna Z czego składają się sygnały? Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość Liczby zespolone Transformata Fouriera Szybka Transformata Fouriera (FFT) FFT w 2D Przykłady
Wybrane metody kompresji obrazów
Wybrane metody kompresji obrazów Celem kodowania kompresyjnego obrazu jest redukcja ilości informacji w nim zawartej. Redukcja ta polega na usuwaniu informacji nadmiarowej w obrazie, tzw. redundancji.
MECHANIKA OGÓLNA (II)
MECHNIK GÓLN (II) Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Liczba godzin: sem. II *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz., ale
Postać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Analiza obrazu. wykład 5. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008
Analiza obrazu komputerowego wykład 5 Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008 Slajdy przygotowane na podstawie książki Komputerowa analiza obrazu R.Tadeusiewicz, P. Korohoda, oraz materiałów ze
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Rozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Źródła błędów numerycznych Wyniki obliczeń numerycznych obarczone sa błędami. Ich najważniejszymi
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Metody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania