1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

Transkrypt

1 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji geometrycznej wartość bezwzględna liczby to odległość tej liczby na osi liczbowej od punktu oznaczonego liczbą 0. Pamiętamy, że odległość nie może być liczbą ujemną. Stąd rozwiązania równań i nierówności: równanie : b ma następujące rozwiązania : (szukamy liczb oddalonych od zera o b jednostek) = b lub = - b jeżeli b > 0 dwie liczby oddalone od zera o b = 0 jeżeli b = 0 zero oddalone od zera o zero brak rozwiązań jeżeli b < 0 odległość nie może być ujemna nierówność : b ma następujące rozwiązania : (szukamy liczb odległych od zera o mniej niż b ) < b i < b jeżeli b > 0 brak rozwiązań jeżeli b 0 nierówność : b ma następujące rozwiązania : (szukamy liczb odległych od zera o więcej niż b) > b lub > b jeżeli b > 0 wszystkie liczby jeżeli b < 0 wszystkie liczby bez 0 jeżeli b = 0 UWAGA: ( przy pierwszej nierówności używamy spójnika i przy drugiej lub)

2 Przykład 1. Rozwiąż równanie : 5 3 Równanie to można zastąpić dwoma innymi : 5 = 3 lub -( 5 ) = 3 bo wartość bezwzględna liczby bo wartość bezwzględna liczby dodatniej to ta sama liczba ujemnej jest liczbą do niej przeciwną stąd : = 8 lub = 3 = 4 lub = 1 Odp. Równanie posiada dwa pierwiastki { 4, 1 } Przykład. Rozwiąż nierówności : a) 3 4 b) 3 a) 3 4 wyrażenie zawarte w wartości bezwzględnej musi być mniejsze bądź równe liczbie 4 i jednocześnie większe lub równe liczbie (-4) co zapisujemy +3 4 i albo korzystając z definicji: (wartość bezwzględna liczby dodatniej to ta sama liczba, a ujemnej jest liczbą do niej przeciwną ) otrzymujemy : i -( + 3 ) 4 1 i - 7 stąd b) 3 < -7, 1 > wyrażenie zawarte w wartości bezwzględnej musi być większe od 3 lub mniejsze od 3,co zapisujemy > 3 lub < -3 albo korzystając z def.: > 3 lub -( ) > 3 > 5 lub < - 1 stąd (,1 ) lub ( 5, )

3 - Dzielenie z resztą : reszta z dzielenia liczby przez y jest zawsze liczbą 0 dlatego : 9 : 4 = reszty 1 bo ale również - 10 : 3 = -4 reszty bo reszta dzielenia liczby całkowitej przez liczbę całkowitą y jest mniejsza niż y. to znaczy przy dzieleniu np. przez 4 reszta może wynosić tylko 0,1,,3 - Największy wspólny dzielnik ( NWD) i najmniejsza wspólna wielokrotność( NWW) zależność miedzy NWD i NWW NWD(a, b) NWW(a, b) = a b Można ją wykorzystywać do szukania NWW gdy jest dane NWD i odwrotnie. - Algorytm Euklidesa : Inny sposób obliczania NWD(a, b) podał Euklides i dlatego nosi on nazwę algorytmu Euklidesa. Często bywa stosowany w odniesieniu do dużych liczb, których rozkład na czynniki pierwsze jest skomplikowany. Załóżmy dla uproszczenia, że a > b. Wtedy : przedstawiamy a w postaci a = k b + r tak, by r < b i k N. Jeśli r = 0, to NWD(a, b) = b. Jeśli natomiast r > O, to przyjmujemy a 1 = b, zaś b 1 = r i dla liczb a 1 i b 1 tworzymy postać jak wyżej: a 1 = k 1 b 1 + r 1 Działanie to powtarzamy, aż do momentu, gdy kolejna uzyskana reszta wyniesie 0. Wówczas największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b jest ostatnia reszta różna od zera. 3

4 Przykład.3 Korzystając z algorytmu Euklidesa, obliczymy NWD (194, 338). Przyjmujemy a = 194, b = 338 (a > b), Mamy: 194 = ( r < b ). Ponieważ r 0, wiec przyjmujemy teraz a 1 = 338, b 1 = 34, i otrzymujemy : 338= i dalej analogicznie: 34 = oraz 104 = Otrzymaliśmy r 3 = 0, zatem NWD(1 94, 338) = 6. Można teraz w prosty sposób obliczyć NWW NWW NWD = więc : NWW ( 1 94, 338) = a b : NWD ( 194, 338) NWW (194, 338) = : 6 = 501 Odp.: NWD(194,338) = 6,a NWW(194,338)=501 Przykład4. Jaki ułamek zwykły posiada rozwinięcie dziesiętne 0,41(6) : Niech = 0,41 + 0, Zajmujemy się liczbą 0, = y pomnóżmy obie strony tego równania przez 10 ( ponieważ okres ułamka jest jednocyfrowy, w przypadku dwucyfrowego mnożymy przez 100, trzycyfrowego 1000 itd.) otrzymujemy : 0, = 10y można to zapisać też tak: 0,06 + 0, = 10y 0,06 + y =10y 0,06 = 10y - y 0,06 = 9y / :9 6 = y = y 41 ponieważ = 0,41 + y = = = 1 5 Odp.: Ułamek 1 posiada rozwinięcie 0,41(6) 4

5 ZESTAW ZADAŃ DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA. Zad.1 Znajdź liczby spełniające warunki: a b c d e) f) Zad. Rozwiąż równania: y 3 4 oraz 5 1 Zad. 3 Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności: 3 5 Zad.4 Rozwiąż nierówność Zad.5 Jakie ułamki zwykłe posiadają rozwinięcia dziesiętne, nieskończone okresowe : 0,(36) ; 0,(6) Zad.6 Podaj wynik dzielenia z resztą liczb : a) 7 : 3 = b) ( -1) : 7= Zad.7 Jaka jest wartość sumy : Zad.8 Wyznacz NWD i NWW następujących liczb : a) 1408 i 300 b) 7371 i 1365 c) 1615 i 618 Zad.9 Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równa 168, a ich największy wspólny dzielnik 4. Znajdź te liczby. Zad.10 Dla jakiego zachodzi każda z następujących równości: a) 1 1 b) 1 1 Zad.11 Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych a i b, aby ich NWD wynosił 13, a NWW 00. 5