1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)"

Transkrypt

1 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji geometrycznej wartość bezwzględna liczby to odległość tej liczby na osi liczbowej od punktu oznaczonego liczbą 0. Pamiętamy, że odległość nie może być liczbą ujemną. Stąd rozwiązania równań i nierówności: równanie : b ma następujące rozwiązania : (szukamy liczb oddalonych od zera o b jednostek) = b lub = - b jeżeli b > 0 dwie liczby oddalone od zera o b = 0 jeżeli b = 0 zero oddalone od zera o zero brak rozwiązań jeżeli b < 0 odległość nie może być ujemna nierówność : b ma następujące rozwiązania : (szukamy liczb odległych od zera o mniej niż b ) < b i < b jeżeli b > 0 brak rozwiązań jeżeli b 0 nierówność : b ma następujące rozwiązania : (szukamy liczb odległych od zera o więcej niż b) > b lub > b jeżeli b > 0 wszystkie liczby jeżeli b < 0 wszystkie liczby bez 0 jeżeli b = 0 UWAGA: ( przy pierwszej nierówności używamy spójnika i przy drugiej lub)

2 Przykład 1. Rozwiąż równanie : 5 3 Równanie to można zastąpić dwoma innymi : 5 = 3 lub -( 5 ) = 3 bo wartość bezwzględna liczby bo wartość bezwzględna liczby dodatniej to ta sama liczba ujemnej jest liczbą do niej przeciwną stąd : = 8 lub = 3 = 4 lub = 1 Odp. Równanie posiada dwa pierwiastki { 4, 1 } Przykład. Rozwiąż nierówności : a) 3 4 b) 3 a) 3 4 wyrażenie zawarte w wartości bezwzględnej musi być mniejsze bądź równe liczbie 4 i jednocześnie większe lub równe liczbie (-4) co zapisujemy +3 4 i albo korzystając z definicji: (wartość bezwzględna liczby dodatniej to ta sama liczba, a ujemnej jest liczbą do niej przeciwną ) otrzymujemy : i -( + 3 ) 4 1 i - 7 stąd b) 3 < -7, 1 > wyrażenie zawarte w wartości bezwzględnej musi być większe od 3 lub mniejsze od 3,co zapisujemy > 3 lub < -3 albo korzystając z def.: > 3 lub -( ) > 3 > 5 lub < - 1 stąd (,1 ) lub ( 5, )

3 - Dzielenie z resztą : reszta z dzielenia liczby przez y jest zawsze liczbą 0 dlatego : 9 : 4 = reszty 1 bo ale również - 10 : 3 = -4 reszty bo reszta dzielenia liczby całkowitej przez liczbę całkowitą y jest mniejsza niż y. to znaczy przy dzieleniu np. przez 4 reszta może wynosić tylko 0,1,,3 - Największy wspólny dzielnik ( NWD) i najmniejsza wspólna wielokrotność( NWW) zależność miedzy NWD i NWW NWD(a, b) NWW(a, b) = a b Można ją wykorzystywać do szukania NWW gdy jest dane NWD i odwrotnie. - Algorytm Euklidesa : Inny sposób obliczania NWD(a, b) podał Euklides i dlatego nosi on nazwę algorytmu Euklidesa. Często bywa stosowany w odniesieniu do dużych liczb, których rozkład na czynniki pierwsze jest skomplikowany. Załóżmy dla uproszczenia, że a > b. Wtedy : przedstawiamy a w postaci a = k b + r tak, by r < b i k N. Jeśli r = 0, to NWD(a, b) = b. Jeśli natomiast r > O, to przyjmujemy a 1 = b, zaś b 1 = r i dla liczb a 1 i b 1 tworzymy postać jak wyżej: a 1 = k 1 b 1 + r 1 Działanie to powtarzamy, aż do momentu, gdy kolejna uzyskana reszta wyniesie 0. Wówczas największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b jest ostatnia reszta różna od zera. 3

4 Przykład.3 Korzystając z algorytmu Euklidesa, obliczymy NWD (194, 338). Przyjmujemy a = 194, b = 338 (a > b), Mamy: 194 = ( r < b ). Ponieważ r 0, wiec przyjmujemy teraz a 1 = 338, b 1 = 34, i otrzymujemy : 338= i dalej analogicznie: 34 = oraz 104 = Otrzymaliśmy r 3 = 0, zatem NWD(1 94, 338) = 6. Można teraz w prosty sposób obliczyć NWW NWW NWD = więc : NWW ( 1 94, 338) = a b : NWD ( 194, 338) NWW (194, 338) = : 6 = 501 Odp.: NWD(194,338) = 6,a NWW(194,338)=501 Przykład4. Jaki ułamek zwykły posiada rozwinięcie dziesiętne 0,41(6) : Niech = 0,41 + 0, Zajmujemy się liczbą 0, = y pomnóżmy obie strony tego równania przez 10 ( ponieważ okres ułamka jest jednocyfrowy, w przypadku dwucyfrowego mnożymy przez 100, trzycyfrowego 1000 itd.) otrzymujemy : 0, = 10y można to zapisać też tak: 0,06 + 0, = 10y 0,06 + y =10y 0,06 = 10y - y 0,06 = 9y / :9 6 = y = y 41 ponieważ = 0,41 + y = = = 1 5 Odp.: Ułamek 1 posiada rozwinięcie 0,41(6) 4

5 ZESTAW ZADAŃ DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA. Zad.1 Znajdź liczby spełniające warunki: a b c d e) f) Zad. Rozwiąż równania: y 3 4 oraz 5 1 Zad. 3 Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności: 3 5 Zad.4 Rozwiąż nierówność Zad.5 Jakie ułamki zwykłe posiadają rozwinięcia dziesiętne, nieskończone okresowe : 0,(36) ; 0,(6) Zad.6 Podaj wynik dzielenia z resztą liczb : a) 7 : 3 = b) ( -1) : 7= Zad.7 Jaka jest wartość sumy : Zad.8 Wyznacz NWD i NWW następujących liczb : a) 1408 i 300 b) 7371 i 1365 c) 1615 i 618 Zad.9 Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równa 168, a ich największy wspólny dzielnik 4. Znajdź te liczby. Zad.10 Dla jakiego zachodzi każda z następujących równości: a) 1 1 b) 1 1 Zad.11 Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych a i b, aby ich NWD wynosił 13, a NWW 00. 5

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Lista 2 logika i zbiory. Zad 1. Dane są zbiory A i B. Sprawdź, czy zachodzi któraś z relacji:. Wyznacz.

Lista 2 logika i zbiory. Zad 1. Dane są zbiory A i B. Sprawdź, czy zachodzi któraś z relacji:. Wyznacz. Lista 2 logika i zbiory. Zad 1. Dane są zbiory A i B. Sprawdź, czy zachodzi któraś z relacji:. Wyznacz. Na początek wypiszmy elementy obu zbiorów: A jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych, które podniesione

Bardziej szczegółowo

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PYTAŃ SPRAWDZAJĄCYCH WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE UCZNIÓW KLAS III GIMNAZJUM.

ZESTAW PYTAŃ SPRAWDZAJĄCYCH WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE UCZNIÓW KLAS III GIMNAZJUM. ZESTAW PYTAŃ SPRAWDZAJĄCYCH WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE UCZNIÓW KLAS III GIMNAZJUM. Publikacja zawiera przykłady krótkich sprawdzianów wiadomości z zakresu zbiorów liczbowych oraz praw i działań w tych zbiorach

Bardziej szczegółowo

11. Liczby rzeczywiste

11. Liczby rzeczywiste . Liczby rzeczywiste Zdający: Wymagania, jakie stawia przed Tobą egzamin maturalny z przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem

Bardziej szczegółowo

Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?

Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, (0 nie jest sztywno związane z N). Przykłady: 1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne

Bardziej szczegółowo

DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.

DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 = Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,

Bardziej szczegółowo

A) 0,84; B) 8,4; C) 0,084; D) 0,0084; jest równa: ; C) 1; D) 0;

A) 0,84; B) 8,4; C) 0,084; D) 0,0084; jest równa: ; C) 1; D) 0; MATEMATYKA kl. VI Liczby wymierne Wersja A 1. Wynikiem dodawania ułamków i 4 jest: A) 7 ; B) 1 ; C) 1 1 ; D) 6 7 ;. Liczbę 0,1 można zapisać w postaci ułamka: A) 1,; B). Wynikiem mnożenia 0,7 0,1 jest:

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI Klasa IV Stopień dopuszczający otrzymuje uczeń, który potrafi: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV Nauczyciel: Jacek Zoń WYMAGANIA EDUKACYJNE NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA KLASY IV : 1. przeczyta i zapisze liczbę wielocyfrową (do tysięcy) 2. zna nazwy rzędów

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej

Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne,

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w klasie IV

Kryteria ocen z matematyki w klasie IV Kryteria ocen z matematyki w klasie IV odejmuje liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiętnego, zna kolejność wykonywania działań, gdy nie występuję nawiasy, odczytuje współrzędne punktu na

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie

Bardziej szczegółowo

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do

Bardziej szczegółowo

Wymagania programowe z matematyki w klasie siódmej

Wymagania programowe z matematyki w klasie siódmej Wymagania programowe z matematyki w klasie siódmej ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w

Bardziej szczegółowo

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1 WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane

Bardziej szczegółowo

Skrypt 2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie. 3. Obliczanie odległości między dwiema liczbami na osi liczbowej

Skrypt 2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie. 3. Obliczanie odległości między dwiema liczbami na osi liczbowej Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 3 czerwca 017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Strona 1 z 8 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16 Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki w klasie VII.

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki w klasie VII. Przedmiotowy system oceniania z matematyki w klasie VII. Ocena roczna Wyróżniono następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu:

ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: Rys1 Ćwiczenie 2 Podaj jaki ciąg znaków zostanie wypisany po wykonaniu

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z KLUCZEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY SIÓDMEJ

MATEMATYKA Z KLUCZEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY SIÓDMEJ MATEMATYKA Z KLUCZEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY SIÓDMEJ ocena dopuszczająca (wymagania konieczne), : rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie 3000, porównuje

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Na ocenę dopuszczającą uczeń potrafi: Dodawać i odejmować w pamięci liczby dwucyfrowe. Obliczyć wartości wyrażeń arytmetycznych z zachowaniem kolejności wykonywania

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

KARTY PRACY DLA SŁABYCH UCZNIÓW, CZ.6

KARTY PRACY DLA SŁABYCH UCZNIÓW, CZ.6 KARTY PRACY DLA SŁABYCH UCZNIÓW, CZ.6 Wiesława Janista, Elżbieta Mrożek, Marta Szymańska W tym roku szkolnym kontynuujemy cykl materiałów przeznaczonych dla słabych uczniów. Zadania układają: Elżbieta

Bardziej szczegółowo

Wymagania dla klasy siódmej. Treści na 2 na 3 na 4 na 5 na 6 Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY

Wymagania dla klasy siódmej. Treści na 2 na 3 na 4 na 5 na 6 Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY Wymagania dla klasy siódmej Treści na 2 na 3 na 4 na 5 na 6 Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY Rzymski sposób zapisu liczb Liczby pierwsze i złożone. Dzielenie z resztą Rozwinięcia dziesiętne

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Nauczyciel: Jacek Zoń WYMAGANIA EDUKACYJNE NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA KLASY V : 1. doda i odejmie liczby naturalne sposobem pisemnym z przekraczaniem progów

Bardziej szczegółowo

7 zaokr aglamy do liczby 3,6. Bład względny tego przybliżenia jest równy A) 0,8% B) 0,008% C) 8% D) 100

7 zaokr aglamy do liczby 3,6. Bład względny tego przybliżenia jest równy A) 0,8% B) 0,008% C) 8% D) 100 ZADANIE 1 (1 PKT) Dane sa zbiory A = ( 6 7, 6) i B = N liczb naturalnych dodatnich. Wówczas iloczyn zbiorów A B jest równy A) {1, 2,, 4, 5} B) (, 5 C) {1, 2,, 4, 5, 6} D) (, 6) ZADANIE 2 (1 PKT) Jeśli

Bardziej szczegółowo

WHILE (wyrażenie) instrukcja;

WHILE (wyrażenie) instrukcja; INSTRUKCJE ITERACYJNE WHILE, DO WHILE, FOR Instrukcje iteracyjne pozwalają powtarzać daną instrukcję programu określoną liczbę razy lub do momentu osiągnięcia określonego skutku. Pętla iteracyjna while

Bardziej szczegółowo

Teoria. a, jeśli a < 0.

Teoria. a, jeśli a < 0. Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).

Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10). Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

WHILE (wyrażenie) instrukcja;

WHILE (wyrażenie) instrukcja; INSTRUKCJE ITERACYJNE WHILE, DO WHILE, FOR Instrukcje iteracyjne pozwalają powtarzać daną instrukcję programu określoną liczbę razy lub do momentu osiągnięcia określonego skutku. Pętla iteracyjna while

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV. Dział programowy: DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV. Dział programowy: DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH dodawać w pamięci

Bardziej szczegółowo

CIĄGI wiadomości podstawowe

CIĄGI wiadomości podstawowe 1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Lista działów i tematów

Lista działów i tematów Lista działów i tematów Szkoła podstawowa. Klasa 4 Liczby i działania Rachunki pamięciowe - dodawanie i odejmowanie O ile więcej, o ile mniej Rachunki pamięciowe - mnożenie i dzielenie Mnożenie i dzielenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania programowe ROZDZIAŁ I LICZBY

Wymagania programowe ROZDZIAŁ I LICZBY Wymagania programowe Ocenę celującą z matematyki otrzymuje uczeń, który: opanował pełny zakres wiedzy i umiejętności określone w programie nauczania, samodzielnie i twórczo rozwija swoje uzdolnienia, biegle

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,

Bardziej szczegółowo

Produkt Woda Białko Tłuszcze Węglowodany Orzechy laskowe Fasola

Produkt Woda Białko Tłuszcze Węglowodany Orzechy laskowe Fasola IMIE I NAZWISKO ZADANIE ( PKT) Suma dwóch liczb niewymiernych A) jest zawsze liczba niewymierna nie może być liczba wymierna C) może być liczba całkowita D) nie może być liczba całkowita ZADANIE 2 ( PKT)

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 2 (1 PKT) Największy wspólny dzielnik liczb 120 i 180, to A) 90 B) 60 C) 30 D) 20

ZADANIE 2 (1 PKT) Największy wspólny dzielnik liczb 120 i 180, to A) 90 B) 60 C) 30 D) 20 IMIE I NAZWISKO ZADANIE ( PKT) Wymień które liczby ze zbioru { ; 4 ; ; 4; ; } ; 2π;, (). 6 sa liczbami wymiernymi. ZADANIE 2 ( PKT) Największy wspólny dzielnik liczb 20 i 0, to A) 90 60 C) 0 D) 20 ZADANIE

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne sposób i potrzebę zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

1_5V1x-okl_2013_cover 6 maja :51:06

1_5V1x-okl_2013_cover 6 maja :51:06 1_5V1x-okl_2013_cover 6 maja 2013 12:51:06 WŁASNOŚCI LICZB NATURALNYCH 29 1 3 2 4 Wielokrotności 1. Podkreśl kolejne wielokrotności liczby zapisanej w kółku. 2. Spośród liczb od 0 do 250 wypisz wszystkie

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

NaCoBeZU z matematyki dla klasy 7

NaCoBeZU z matematyki dla klasy 7 NaCoBeZU z matematyki dla klasy 7 I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Znam pojęcia: liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Zaznaczam i odczytuję położenie liczby

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Klasa IV

Matematyka. Klasa IV Matematyka Klasa IV Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie opanował umiejętności przewidzianych w wymaganiach na ocenę dopuszczającą Uczeń musi umieć: na ocenę dopuszczającą: odejmować liczby

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii liczb

Wybrane zagadnienia teorii liczb Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin . Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15 Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7

Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 1 Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7

Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 1 Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Skrypt 31. Powtórzenie do matury Liczby rzeczywiste

Skrypt 31. Powtórzenie do matury Liczby rzeczywiste Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 31 Powtórzenie do matury

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Matematyka z plusem

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Matematyka z plusem WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Matematyka z plusem Ocena dopuszczająca: Pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej Rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne Porównywanie

Bardziej szczegółowo

rozszerzające (ocena dobra) podstawowe (ocena dostateczna)

rozszerzające (ocena dobra) podstawowe (ocena dostateczna) Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane

Bardziej szczegółowo

konieczne (ocena dopuszczająca) Temat podstawowe (ocena dostateczna) dopełniające (ocena bardzo dobra) rozszerzające (ocena dobra)

konieczne (ocena dopuszczająca) Temat podstawowe (ocena dostateczna) dopełniające (ocena bardzo dobra) rozszerzające (ocena dobra) Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 25 lutego 2014 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7 Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7 Zadanie domowe 0 = 4 4 + 4 4, 2 = 4: 4 + 4: 4, 3 = 4 4: 4 4, 4 = 4 4 : 4 + 4, 6 = 4 + (4 + 4): 4, 7 =

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk

WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" LICZBY I DZIAŁANIA POZIOM KONIECZNY - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klas V- VI w Szkole Podstawowej nr 3 w Jastrzębiu Zdroju.

Kryteria oceniania z matematyki dla klas V- VI w Szkole Podstawowej nr 3 w Jastrzębiu Zdroju. Kryteria oceniania z matematyki dla klas V- VI w Szkole Podstawowej nr 3 w Jastrzębiu Zdroju. Wiadomości i umiejętności przez Was opanowane będą sprawdzane w formie: odpowiedzi i wypowiedzi ustnych, prac

Bardziej szczegółowo