Przetwarzanie sygnałów dyskretnych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Przetwarzanie sygnałów dyskretnych"

Transkrypt

1 Przetwarzanie sygnałów dyskretnych

2 System dyskretny p[ n ] r[ n] Przykłady: [ ] = [ ] + [ ] r n a p n a p n [ ] r n = 2 [ + ] + p[ n ] p n 2 r[ n] = a p[ n] + b n [ ] = [ ] r n a p n n [ ] = [ + ] r n a p n { } [ ] = T p[ n] r n [ ] r[ n] p n

3 p[ n ] r[ n] Liniowość [ ] r [ n] [ ] [ ] p n p n r n 2 2 { } [ ] = T p[ n] r n [ ] r[ n] p n [ ] = [ ] + [ ] [ ] p n a p n a p n r n 2 2 System nazywamy liniowym, jeżeli [ ] = [ ] + [ ] r n a r n a r n 2 2 dla dowolnych wartości a i a 2

4 p[ n ] r[ n] { } [ ] = T p[ n] r n [ ] r[ n] p n Niezmienność w czasie (stacjonarność) [ ] r [ n] [ ] [ ] p n p n r n 2 2 Układ nazywamy niezmiennym w czasie, jeżeli z warunku wynika dla dowolnego n [ ] = [ ] p n p n n 2 [ ] = [ ] r n r n n 2 Systemy liniowe i niezmienne w czasie oznaczać będziemy systemami LTI (Linear Time Invariant) Spotyka się również oznaczenie systemy LS (Liniowe Stacjonarne)

5 p[ n ] r[ n] Przyczynowość [ ] r [ n] [ ] [ ] p n p n r n 2 2 { } [ ] = T p[ n] r n [ ] r[ n] p n System nazywamy przyczynowym, jeżeli z warunku wynika [ ] [ ] dla dowolnej wartości n. p n = p n dla n < n 2 [ ] [ ] r n = r n dla n < n 2

6 W przypadku systemu LTI definicja przybiera znacznie prostszą postać. Ponieważ z warunku liniowości wynika to [ ] r [ n] [ ] [ ] p n p n = p n p2 n r n = r n r2 n p2 n r2 n [ ] [ ] dla [ ] [ ] [ ] dla [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] p n = p n n < n p n = dla n < n 2 r n = r n n < n r n = dla n < n 2 Warunek niezmienności w czasie pozwala z kolei na przyjęcie za n dowolnej ustalonej wartości, np. n =. Wówczas definicję przyczynowości można sformułować w prostej postaci: System LTI nazywamy przyczynowym, gdy [ ] [ ] p n = dla n < r n = dla n <

7 Uwaga: Pojęcie przyczynowości ma sens jedynie wtedy gdy indeks n jest numerem próbki na osi czasu, czyli gdy argumentem sygnału jest dyskretny czas. Wówczas warunek przyczynowości jest warunkiem fizycznej realizowalności systemu. W przypadku innej interpretacji argumentu n, (np. numer piksela na nieruchomym obrazie) pojęcie przyczynowości nie ma sensu. Przykłady: [ ] [ ] [ ] r n = a p n + a p n liniowy, niezmienny w czasie, przyczynowy [ ] r n 2 [ + ] + p[ n ] p n = liniowy, niezmienny w czasie, nieprzyczynowy 2 r[ n] = a p[ n] + b nieliniowy, niezmienny w czasie, przyczynowy n [ ] [ ] r n = a p n liniowy, zależny od czasu, przyczynowy n [ ] [ ] r n = a p n + nieliniowy, zależny od czasu, nieprzyczynowy

8 p[ n ] r[ n] { } [ ] = T p[ n] r n [ ] r[ n] p n BIBO stabilność System nazywa się stabilnym w sensie BIBO (Bounded Input, Bounded Output) gdy reakcja na dowolne ograniczone pobudzenie jest ograniczona, czyli [ ] [ ] p n M < r n M < 2

9 p[ n ] r[ n] [ ] = δ[ n] p n { } [ ] =T p[ n] r n delta Kroneckera [ ] δ[ n] h n { } = T charakterystyka impulsowa (reakcja impulsowa) p[ n] [ ] δ[ ] p k n k 2 k n [ ] = [ ] δ[ ] = p[ n] δ[ n] p n p k n k k =

10 [ ] h[ n] δ n δ[ n k] h[ n k] [ ] δ[ ] [ ] [ ] p k n k p k h n k k = [ ] δ[ ] [ ] [ ] p k n k p k h n k k = p[ n ] r [ n] [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] r n p k h n k p n k h k h n p n k= k= r[ n] = h[ n] p[ n]

11 Układ musi być przyczynowy (fizyczna realizowalność!), więc h[ n] dla n < Wówczas n [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] r n p n h n p k h n k p n k h k k= k= Jeżeli dodatkowo przyjmiemy, że p n n < (pobudzenie przyczynowe), to n [ ] dla [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] r n p n h n p k h n k p n k h k k= k = n n = 8 h[ k] p [ 8 k] k k

12 BIBO stabilność Załóżmy, że p[ n] M <, n Z [ ] = [ ] [ ] p[ n k] h[ k] M h[ k] r n p n k h k k= Jeżeli h k K < to k= [ ] r[ n] MK M 2 k= = < Bezwzględna sumowalność charakterystyki impulsowej jest warunkiem dostatecznym BIBO stabilności systemu. Dowodzi się, że jest to również warunek konieczny. Twierdzenie System dyskretny, o charakterystyce impulsowej h[ n], jest stabilny w sensie BIBO wtedy i tylko wtedy gdy k= k= [ ] h k K <

13 p[ n ] r[ n] r[ n] = h[ n] p[ n] Z{ r[ n] } = Z { h[ n] p[ n] } Z h[ n] { [ ]} ( ) [ ] { } Z{ p[ n] } = { } ( ) { [ ]} ( ) Z r n = R z, Z p n = P z, Z h n = H z ( ) = H ( z) P( z) R z H ( z ) operatorowa transmitancja układu (systemu) Niekiedy definiuje się transmitancję jako ( ) H z = ( ) ( ) R z P z

14 [ ] =Z H ( z) h n { } Płaszczyzna z [ ] = n [ ], > h n a n a z > a 3 h[ n] a < a biegun n Obszar zbieżności z a biegun > a 3 2 h[ n] a > n

15 Płaszczyzna z n [ ] = sin [ ] h n a Ω n n a z > a Ω [ h n] a < n -.5 bieguny Ω a z > a Ω 2.5 [ 2.5 h n] a >.5 n -.5 bieguny Ω

16 Własności funkcji transmitancji H ( z) dyskretnych systemów LTI Funkcja wymierna zmiennej zespolonej z L( z) ( ) = ( ), ( ) M ( z) H z Jeżeli L( z) L z M z wielomiany zmiennej z { } > { M ( z) } stopień stopień, to ( ) ( ) L z p k H ( z) = ak z +, stopień L z stopień M z k= M z p [ ] = δ[ + ] + [ ] h n a n k h n k= k składniki nieprzyczynowe ( wyprzedzające pobudzenie) { ( )} ( ) { } Warunkiem przyczynowości (fizycznej realizowalności) systemu jest stopień{ L( z) } stopień{ M ( z) }

17 Twierdzenie System dyskretny LTI, opisany funkcją transmitancji H z jest stabilny w sensie BIBO wtedy i tylko wtedy gdy funkcja H z jest holomorficzna w obszarze z Warunek ten oznacza, że wszystkie bieguny funkcji H z muszą leżeć we wnętrzu koła o promieniu na płaszczyźnie z Jeżeli ( ) ( ) ( ) L z H ( z) =, stopień{ L( z) } stopień { M ( z) }, M z to biegunami funkcji H ( z ) są pierwiastki wielomianu mianownika M ( z) Wniosek: Układ jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie pierwiastki wielomianu M ( z) mają moduły mniejsze od (czyli na płaszczyźnie z leżą we wnętrzu koła o promieniu ) ( ) ( )

18 Charakterystyki widmowe systemów LTI p[ n ] r[ n] r[ n] = h[ n] p[ n] ( ) = H ( z) P( z) R z [ ] 2, F p[ n] Założymy, że p n l co gwarantuje istnienie transformaty [ ] { } Z założenia BIBO stabilności h k <, więc obszar zbieżności transformaty { } ( ) h[ n] H z k= =Z zawiera okrąg o promieniu na płaszczyźnie z. Wówczas F [ ] jω { h n } = H ( z) = H j ( e Ω ) z= e ( ) ( ) ( ) e jω z= ( j Ω e ) ( e j Ω ) ( e j Ω = = ) R z H z P z R H P

19 H j ( e Ω ) ( j ) ( j ) ( j e Ω = e Ω e Ω ) R H P j P( e Ω j ) R( e Ω ) j H ( e Ω ) charakterystyka widmowa systemu Funkcja okresowa zmiennej rzeczywistej Ω (pulsacja unormowana), o okresie 2π Dla pulsacji nieunormowanych ( Ω = ωt ) H H A j ( e ωt ) funkcja okresowa zmiennej ω, o okresie jω jω j ( ) ( e ) = A( e ) e θ Ω jω jω ( e ) H ( e ) ( ) arg H ( e jω ) θ Ω = charakterystyka amplitudowa = charakterystyka fazowa ω T 2π = T

20 Filtr cyfrowy system zaprojektowany w celu odpowiedniej modyfikacji widma pobudzenia, czyli o zadanej charakterystyce amplitudowej i/lub fazowej jω jω jω ( e ) = ( e ) ( e ) jω jω R( ) = θ ( Ω) + P ( ) R A P arg e arg e Parametry filtru (gabaryty) określa się podobnie jak w przypadku filtrów analogowych, ale ωt ωt π Ω π lub ω 2 2 Ze względu na sposób projektowania i realizacji filtry cyfrowe zwykle dzieli się na: filtry o nieskończonej reakcji impulsowej, nazywane również rekursywnymi filtry IIR Infinite Impulse Response (spotyka się również oznaczenie NOI Nieskończona Odpowiedź Impulsowa) filtry o skończonej reakcji impulsowej, nazywane również nierekursywnymi filtry FIR Finite Impulse Response (czasem oznaczane SOI Skończona Odpowiedź Impulsowa)

21 Projektowanie filtru sprowadza się do wyznaczenia transmitancji H ( z), takiej, ( ) ( ) jω jω aby charakterystyka amplitudowa A e = H e spełniała, według określonego kryterium, zadane parametry filtru. Projektowanie filtrów o nieskończonej reakcji impulsowej (IIR) Projektowanie na ogół odbywa się w ten sposób, że projektuje się prototyp analogowy o transmitancji Ha ( s), którą następnie transformuje się w transmitancję filtru cyfrowego H ( z). Transformacja taka powinna: jω jω zapewniać pożądany przebieg charakterystyki amplitudowej A( e ) = H ( e ) lewą półpłaszczyznę zmiennej s przekształcać na wnętrze koła o promieniu na płaszczyźnie z, czyli zachować stabilność filtra

22 Metoda zachowania charakterystyki impulsowej Postępujemy według następującego algorytmu: na podstawie zadanych gabarytów projektujemy filtr analogowy, czyli H s wyznaczamy transmitancję ( ) wyznaczamy charakterystykę impulsową prototypu analogowego a ( ) =L ( ) h t H s utożsamiamy wyznaczony ciąg próbek z ciągiem h [n], będącym charakterystyką impulsową filtru cyfrowego, czyli przyjmujemy [ ] = h ( nt ) h n { } a a próbkujemy wyznaczoną charakterystykę impulsową, czyli obliczamy wartości próbek h a (t) w punktach t = nt (T jest okresem próbkowania) wyznaczamy transmitancję filtru cyfrowego ( ) =Z{ h[ n] } H z a

23 ( ) L ( ) { } ( ) Z{ [ ]} H s = h t H z = h n a a, j ωt # ( ) F { ( )} a ( T ) H e = h t = H j k, 2π T T ω ω ω = T k= Jeżeli ( ω) Ha j dla > ω T ω 2 jωt ωt ωt H ( e ) Ha( j ω), ω T 2 2 Aby uniknąć przeskalowania przez zwykle przyjmuje się T { } [ ] = ( ) ( ) = Z [ ] h n T ha nt czyli H z T h n Wówczas ω ω ω H jω dla ω > H e H j ω, ω a jωt ( ) ( ) ( ) T T T 2 a 2 2

24 ( ) W rzeczywistości warunek H może być spełniony tylko a j dla > ω T ω ω w przybliżeniu (warunek realizowalności!) 2 j Ha( jω ) H ( e ωt ) ωt Zjawisko aliasingu powoduje pogorszenie własności tłumieniowych filtru w paśmie zaporowym. Gabaryty filtru prototypowego są takie same jak filtru cyfrowego, ale należy przewidzieć pewien zapas tłumienia w paśmie zaporowym. Funkcja transmitancji prototypu analogowego musi mieć co najmniej jednokrotne zero w nieskończoności, czyli a( s) lim H = s Metoda ta, bez istotnych modyfikacji, nie nadaje się do projektowania filtrów górnoprzepustowych i pasmowozaporowych.

25 z = e st ( ) = a( j st ωt ) H z H s k z= e T k= Płaszczyzna s Płaszczyzna z ω T ω T 2 r = ω T 2 ω T Zachowana jest stabilność filtru

26 L( s) a ( ) musi zachodzić stopień{ ( )} stopień{ ( )} M ( s) H s = L s < M s = N N ck Ha( s) =, Re{ sk} < s s k= N = k= s a( ) e ( ) k t k h t c t k s [ ] ( ) e [ ] k nt = = h n T h nt T c n Z a N k= sknt sknt n skt { e [ n] } e z ( e z ) n= n= k n = = = k e s T z N k ( ) = s T H z k= Tc e k z

27 Metoda przekształcenia biliniowego s = 2 T + z z ( ) ( ) H z = H s a 2 z s= T + z r = Lewa półpłaszczyzna s jest transformowana we wnętrze koła jednostkowego na płaszczyźnie z zachowana jest stabilność filtru Cała oś urojona płaszczyzny s jest transformowana na okrąg jednostkowy na płaszczyźnie z nie wystąpi aliasing

28 s = jɶ ω z = jω e T ɶω ω pulsacja analogowa, pulsacja cyfrowa, e ωt ωt j j 2 2 e jωt 2 e 2 2j 2 jɶ ω = = j = j tg jωt ωt ωt T + e T j j T e + e 2 ωt ɶ ω = 2 ωt tg T 2 Związek między pulsacją analogową i cyfrową jest nieliniowy Gabaryty prototypu analogowego i docelowego filtru cyfrowego będą różne!

29 ωɶ ɶ ω = 2 ωt tg 2 T ωɶ s ωɶ p H ( ωɶ ) ( jωɶ j ) a H H D ( e j ω )) T ω Rys. 2. ω p ω s ω 2 T ω

30 Algorytm projektowania: (na przykładzie filtru dolnoprzepustowego) Zadane wymagane gabaryty filtru: ω, ω oraz A, A i okres próbkowania T p s p s Obliczamy gabaryty prototypowego filtru analogowego ɶ ω p 2 ω T 2 ωst ɶ ω tg T 2 T 2 p = tg s = (A p i A s nie ulegają zmianie) Projektujemy filtr analogowy o wyznaczonych gabarytach, czyli obliczamy Ha( s) (sposób aproksymacji może być narzucony, bądź należy go wybrać na tym etapie) Wyznaczamy transmitancję filtru cyfrowego ( ) = ( ) H z H s a 2 z s = T + z Analogicznie postępuje się przy projektowaniu filtrów górnoprzepustowych, pasmowoprzepustowych i pasmowozaporowych (należy zaprojektować odpowiedni prototyp analogowy)

31 H i e Projektowanie filtrów o skończonej reakcji impulsowej (FIR) jω ( ) charakterystyka amplitudowa idealnego filtru dolnoprzepustowego H ( e j Ω ) 2π π Ω p Ω p Jest to okresowa funkcja Ω, o okresie 2π. jω ( e ) = F { [ ]} = [ ] H h n h k π j [ ] = H ( e ) h k π k= j d Ω Ω kω e 2π e jkω π 2π Ω

32 Niech [ ] h k p H i jω ( e ) dla Ω Ωp = dla Ωp < Ω π Zakładamy więc, że charakterystyka fazowa jest zerowa [ ] h = Ωp k jkω dω = e ( jkω ) p jkω sin kω p p = e e = Ω Ω π p 2π 2πjk jω ( ) = F { [ ]} = [ ] Hi e h k h k e Przyjmiemy k = jωk πk k Z układ nie jest przyczynowy! H K jω ( e ) h [ k] = k = K e jωk dalej nie jest przyczynowy Podstawmy k = n K 2K 2K jω jω( n K ) jω K jω n ( e ) = [ ] e = e [ ] e h[ n] = h [ n K ] H h n K h n n= n=

33 2K ( ) [ ] H e = e h n e jω jω K jω n n= ( j ) j 2K Ω Ω K e e [ ] e j Ω n ( e j Ω = = ) H h n H n= H i jω ( e ) jω K e dla Ω Ωp = dla Ωp < Ω π Zwykle oznacza się N = 2K +, czyli K = H N = ( jω e ) h[ n] n= e jω n H N 2 i jω jω ( e ) = Hi ( e ) N sin n Ω ( ) 2 h[ n] = h [ n K ] = =, n π( n K ) N 2 π n 2 N Ωp h = 2 π p sin n K Ωp N

34 i ( e jω ) H jest rzeczywistą funkcją parzystą, więc h [ k] = h [ k] W konsekwencji [ ] = [ ] h n h N n Jest to warunek konieczny i dostateczny liniowości charakterystyki fazowej Ω ( ) arg ( e ) j N θ Ω = H = KΩ = Ω 2 Funkcja transmitancji H(z) jest wielomianem względem z H z Charakterystyka amplitudowa N ( ) [ ] = n= h n z N jω ( e ) = [ ] H h n e n= n jnω

35 Ω p = π 3 N = 2 N = 4

36 H N jω jω n j ( e ) = h[ n] e = h[ n] w[ n] n= n= e Ω n [ ] w n dla n N = dla n < i n > N funkcja okna prostokątnego W ΩN sin e e e 2 e sin 2 N jωn N jω j jωn 2 = = = = jω n e Ω = Ω ( ) F { w[ n] } π jω jλ ( ) ( ) { [ ] [ ]} ( ) ( j Ω λ H e = F h n w n = H ) i e W e dλ 2πj π

37 j H i ( e λ ) W ( ) ( e j Ω λ ) Ω =,4Ω p Ω = Ω p Ω =,25Ω p λ π Ω p Ωp π ( j i e Ω j H ) H ( e Ω ) Ω π Ω p Ω p π

38 Okno Hanninga (Hanna) w[ n] 2πn w[ n] = cos, n N 2 N N n Okno Hamminga w[ n] 2πn w[ n] =,54, 46cos, n N N Okno Blackmana [ ] w n 2πn 4πn =, 42,5cos +,8cos, N N n N N w[ n] N n n

39 N ( K ) p = 4 = 2 Ω = π 3 db Okno Okno Hanninga Hanna π θ Ω gp Ωθ gp π db Okno Hamminga db Okno Okno Blackmana π θ g Ω p Ωθ gp π π θ g Ω p Ωθ gp π

40 Parametryczne okno Kaisera 2 2n I β N w[ n] =, n N I ( β) I ( i) funkcja Bessela I rodzaju, zerowego rzędu w[ n] β = 2 4 N 8 n

41 N ( K ) = 4 = 2 db ( α ) As = 4dB β = 3,5953 Ω = p π 3 π Ω p θ g Ω θg p π db ( β α ) As = 6dB = 5,6533 db ( β α ) As = 8dB = 7,8573 π Ω p θ g Ω θg p π π Ω θg p Ωθ g p π

42 k 2 ( ) Realizacje filtrów FIR N N = k = N k = H z a z a a z a z a z N k R( z) = H ( z) P( z) = ak z P( z) = k= 2 N ( ) ( ) ( ) ( ) = a P z + a z P z + a z P z + a z P z 2 [ ] = [ ] + [ ] + [ ] + + [ ] r n a p n a p n a2 p n 2 an p n N Element opóźniający N X ( z ) z z X ( z) x[ n ] z x[ n ] z transmitancja z operator opóźnienia

43 p[ n] a Σ r[ n] z a z a 2 an z a N

44 m k= Realizacje filtrów IIR k bk z L( z) k= H ( z) = =, m n n M ( z) k a z k k bk z R z H z P z P z n k a z k= ( ) = ( ) ( ) = ( ) n ( ) k k = ( ) + ( ) R z b z P z a z R z k k= k= n n [ ] = [ ] + [ ] r n b p n k a r n k k k= k= n m k= k k k

45 p n x[ n ] r [ n] [ ] P( z) z Realizacja bezpośrednia I rodzaju b X ( z) z R ( z) b a z z b 2 a 2 z z b n a n H ( z ) H ( z) D D2

46 Realizacja bezpośrednia II rodzaju p[n] P(z) Σ b Σ r[n] R(z) z a b z a 2 b 2 z a n b n Rys. 4.

47 Realizacja kaskadowa ( ) H z n 2 2 βk + βkz + βk 2z A, n parzyste, 2 k ( αkz + αk 2z ) = ( n ) 2 2 β + βz βk + βkz + βk 2z A, n nieparzyste. 2 αz k ( αkz + αk 2z ) [ ] ( ) p n P z A H ( z ) H ( z ) H ( z ) 2 l [ ] ( ) r n R z Rys. 5.

48 Realizacja równoległa ( ) H z n 2 γ k + γ kz C + 2 k = k + k 2, n parzyste, ( α z α z ) = ( n ) 2 γ γ k + γ kz C + +, n nieparzyste. 2 αz k= ( αkz + αk 2z ) C [ ] ( ) p n P z H D H D 2 ( z) ( z ) Σ [ ] ( ) r n R z H Dl ( z ) Rys. 7.

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej:

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej: 1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją

Bardziej szczegółowo

x(n) x(n-1) x(n-2) D x(n-n+1) h N-1

x(n) x(n-1) x(n-2) D x(n-n+1) h N-1 Laboratorium Układy dyskretne LTI projektowanie filtrów typu FIR Z1. apisać funkcję y = filtruj(x, h), która wyznacza sygnał y będący wynikiem filtracji sygnału x przez filtr FIR o odpowiedzi impulsowej

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów

Przetwarzanie sygnałów Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 5 Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI) Spis treści 1 Wprowadzenie 1 1.1 Filtry jednobiegunowe....................... 1 1.2 Filtry wąskopasmowe........................

Bardziej szczegółowo

STUDIA MAGISTERSKIE DZIENNE LABORATORIUM SYGNAŁÓW, SYSTEMÓW I MODULACJI. Filtracja cyfrowa. v.1.0

STUDIA MAGISTERSKIE DZIENNE LABORATORIUM SYGNAŁÓW, SYSTEMÓW I MODULACJI. Filtracja cyfrowa. v.1.0 Politechnika Warszawska Instytut Radioelektroniki Zakład Radiokomunikacji SUDIA MAGISERSKIE DZIENNE LABORAORIUM SYGNAŁÓW, SYSEMÓW I MODULACJI Filtracja cyfrowa v.1. Opracowanie: dr inż. Wojciech Kazubski,

Bardziej szczegółowo

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Projektowania filtrów IIR Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej Podstawowa zasada określajaca: projektujemy

Bardziej szczegółowo

Część 1. Transmitancje i stabilność

Część 1. Transmitancje i stabilność Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów

Przetwarzanie sygnałów Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 3 Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Spis treści 1 Filtracja cyfrowa podstawowe wiadomości 1 1.1 Właściwości filtru w dziedzinie czasu............... 1 1.2

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

13.2. Filtry cyfrowe

13.2. Filtry cyfrowe Bibliografia: 1. Chassaing Rulph, Digital Signal Processing and Applications with the C6713 and C6416 DSK, Wiley-Interscience 2005. 2. Borodziewicz W., Jaszczak K., Cyfrowe Przetwarzanie sygnałów, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1-

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Filtry cyfrowe cz. Zastosowanie funkcji okien do projektowania filtrów SOI Nierównomierności charakterystyki amplitudowej filtru cyfrowego typu SOI można

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)

Bardziej szczegółowo

SYNTEZA obwodów. Zbigniew Leonowicz

SYNTEZA obwodów. Zbigniew Leonowicz SYNTEZA obwodów Zbigniew Leonowicz Literatura: [1]. S. Bolkowski Elektrotechnika teoretyczna. Tom I. WNT Warszawa 1982 (s.420-439) [2]. A. Cichocki, K.Mikołajuk, S. Osowski, Z. Trzaska: Zbiór zadań z elektrotechniki

Bardziej szczegółowo

8. Realizacja projektowanie i pomiary filtrów IIR

8. Realizacja projektowanie i pomiary filtrów IIR 53 8. Realizacja projektowanie i pomiary filtrów IIR Cele ćwiczenia Realizacja na zestawie TMX320C5515 ezdsp prostych liniowych filtrów cyfrowych. Pomiary charakterystyk amplitudowych zrealizowanych filtrów

Bardziej szczegółowo

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20). SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy

Bardziej szczegółowo

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Z. Krzysztof Patan

Przekształcenie Z. Krzysztof Patan Przekształcenie Z Krzysztof Patan Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji

Bardziej szczegółowo

LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE

LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE Współczesne układy regulacji automatycznej wyposażone są w regulatory cyfrowe, co narzuca konieczność stosowania w ich analizie i syntezie odpowiednich równań dynamiki, opisujących

Bardziej szczegółowo

Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 8

Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 8 Teoria Synałów rok nformatyki Stosowanej Wykład 8 Analiza częstotliwościowa dyskretnych synałów cyfrowych okna widmowe (cd poprzednieo wykładu) N = 52; T =.24; %czas trwania synału w sekundach dt = T/N;

Bardziej szczegółowo

Filtracja. Krzysztof Patan

Filtracja. Krzysztof Patan Filtracja Krzysztof Patan Wprowadzenie Działanie systemu polega na przetwarzaniu sygnału wejściowego x(t) na sygnał wyjściowy y(t) Równoważnie, system przetwarza widmo sygnału wejściowego X(jω) na widmo

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów

ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów. Cel ćwiczenia Badanie układów pierwszego rzędu różniczkującego, całkującego

Bardziej szczegółowo

Kartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie częstotliwość próbkowania nie mniejsza niż podwojona szerokość przed spróbkowaniem.

Kartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie częstotliwość próbkowania nie mniejsza niż podwojona szerokość przed spróbkowaniem. Znowu prosta zasada - zbierzmy wszystkie zagadnienia z tych 3ech kartkówek i opracujmy - może się akurat przyda na dopytkę i uda się zaliczyć labki :) (dodatkowo można opracowania z tych rzeczy z doc ów

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. Spis treści. Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry

Wprowadzenie. Spis treści. Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry Spis treści 1 Wprowadzenie 2 Filtry cyfrowe: powtórka z wykładu 2.1 Działanie filtra w dziedzinie czasu 2.2 Nazewnictwo 2.3 Przejście do dziedziny częstości 2.3.1 Działanie

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET

ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET CPS - - ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET Rozwiązywanie równań różnicowych Dyskretny system liniowy-stacjonarny można opisać równaniem różnicowym w postaci ogólnej N M aky[ n k] bkx[ n k] k k Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne . Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty

Bardziej szczegółowo

1/8 TECHNIKA CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW. Andrzej Leśnicki

1/8 TECHNIKA CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW. Andrzej Leśnicki 1/8 TECHIKA CYFROWEGO PRZETWARZAIA SYGAŁÓW Andrzej Leśnicki Gdańsk 2013 2/8 Spis treści Przedmowa Wykaz oznaczeń 1. Wstęp 3 str. 2. Sygnały i systemy dyskretne 2.1. Pojęcie sygnału dyskretnego 2 str. 2.2.

Bardziej szczegółowo

A-2. Filtry bierne. wersja

A-2. Filtry bierne. wersja wersja 04 2014 1. Zakres ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zrozumienie propagacji sygnałów zmiennych w czasie przez układy filtracji oparte na elementach rezystancyjno-pojemnościowych. Wyznaczenie doświadczalne

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu

Bardziej szczegółowo

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZEIE 7 Splot liniowy i kołowy sygnałów 1. Cel ćwiczenia Operacja splotu jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na sygnale. Każde przejście

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej

Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Przetwarzanie Sygnałów Kod: TS1A400027 Temat ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Opis matematyczny. Równanie modulatora. Charakterystyka statyczna. Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy. dla 0 v c.

Opis matematyczny. Równanie modulatora. Charakterystyka statyczna. Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy. dla 0 v c. Opis matematyczny Równanie modulatora Charakterystyka statyczna d t = v c t V M dla 0 v c t V M D 1 V M V c Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy v c (t )=V c + v c (t ) d (t

Bardziej szczegółowo

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Dyskretne układy LTI Definicja analogiczna do tej, która podano dla sygnałów analogowych Opis transmisyjny:

Bardziej szczegółowo

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe

Bardziej szczegółowo

Przykładowe pytania 1/11

Przykładowe pytania 1/11 Parametry sygnałów Przykładowe pytania /. Dla okresowego przebiegu sinusoidalnego sterowanego fazowo (jak na rys) o kącie przewodzenia θ wyprowadzić zależność wartości skutecznej od kąta przewodzenia θ.

Bardziej szczegółowo

TERAZ O SYGNAŁACH. Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych

TERAZ O SYGNAŁACH. Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych TERAZ O SYGNAŁACH Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych Sygnał sinusoidalny Sygnał sinusoidalny (także cosinusoidalny) należy do podstawowych

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Zjawisko aliasingu. Filtr antyaliasingowy. Przecieki widma - okna czasowe.

Zjawisko aliasingu. Filtr antyaliasingowy. Przecieki widma - okna czasowe. Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn POLITECHNIKA OPOLSKA Komputerowe wspomaganie eksperymentu Zjawisko aliasingu.. Przecieki widma - okna czasowe. dr inż. Roland PAWLICZEK Zjawisko aliasingu

Bardziej szczegółowo

Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe. Krzysztof Patan

Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe. Krzysztof Patan Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe Krzysztof Patan Transmitancja systemu czasu ciągłego Przekształcenie Laplace a systemu czasu ciągłego jest superpozycją składowych pochodzących od wymuszenia

Bardziej szczegółowo

AiR_TSiS_1/2 Teoria sygnałów i systemów Signals and systems theory. Automatyka i Robotyka I stopień ogólnoakademicki

AiR_TSiS_1/2 Teoria sygnałów i systemów Signals and systems theory. Automatyka i Robotyka I stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014

Bardziej szczegółowo

TEORIA STEROWANIA I, w 5. dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW

TEORIA STEROWANIA I, w 5. dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW TEORIA STEROWANIA I, w 5 dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW Układy LTI- SISO Stacjonarne, przyczynowe liniowe układy z jednym wyjściem i jednym wejściem najczęściej modeluje się przy pomocy właściwej transmitancji

Bardziej szczegółowo

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 10 1/12 ĆWICZENIE 10. Filtry FIR

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 10 1/12 ĆWICZENIE 10. Filtry FIR Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 10 1/12 ĆWICZENIE 10 Filtry FIR 1. Cel ćwiczenia Przyczynowy system DLS służący do filtrowania synałów i mający skończoną odpowiedź impulsową nazywa się w skrócie

Bardziej szczegółowo

ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM

ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM D. B. Tefelski Zakład VI Badań Wysokociśnieniowych Wydział Fizyki Politechnika Warszawska, Koszykowa 75, 00-662 Warszawa, PL 28 lutego 2011 Stany nieustalone, stabilność

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 4: Porównanie filtrów FIR i IIR. skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR) zawsze stabilne, mogą mieć liniową charakterystykę fazową

Laboratorium nr 4: Porównanie filtrów FIR i IIR. skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR) zawsze stabilne, mogą mieć liniową charakterystykę fazową Teoria Sygnałów sprawozdanie z zajęć laboratoryjnych Zajęcia z dnia 07.01.2009 Prowadzący: dr inż. Stanisław Nuckowski Sprawozdanie wykonał: Tomasz Witka Laboratorium nr 4: Porównanie filtrów FIR i IIR

Bardziej szczegółowo

KOMPUTEROWE SYSTEMY POMIAROWE

KOMPUTEROWE SYSTEMY POMIAROWE KOMPUTEROWE SYSTEMY POMIAROWE Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST - ITwE Semestr zimowy Wykład nr 12 Prawo autorskie Niniejsze

Bardziej szczegółowo

Transmitancje układów ciągłych

Transmitancje układów ciągłych Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego

Bardziej szczegółowo

Detekcja zespołów QRS w sygnale elektrokardiograficznym

Detekcja zespołów QRS w sygnale elektrokardiograficznym Detekcja zespołów QRS w sygnale elektrokardiograficznym 1 Wprowadzenie Zadaniem algorytmu detekcji zespołów QRS w sygnale elektrokardiograficznym jest określenie miejsc w sygnale cyfrowym w których znajdują

Bardziej szczegółowo

AiR_CPS_1/3 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Digital Signal Processing

AiR_CPS_1/3 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Digital Signal Processing Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SYGNAŁÓ W JEDNÓWYMIARÓWYCH

ANALIZA SYGNAŁÓ W JEDNÓWYMIARÓWYCH ANALIZA SYGNAŁÓ W JEDNÓWYMIARÓWYCH Generowanie podstawowych przebiegów okresowych sawtooth() przebieg trójkątny (wierzhołki +/-1, okres 2 ) square() przebieg kwadratowy (okres 2 ) gauspuls()przebieg sinusoidalny

Bardziej szczegółowo

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Teoria i przetwarzanie sygnałów Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EEL-1-524-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Elektrotechnika

Bardziej szczegółowo

Kompensacja wyprzedzająca i opóźniająca fazę. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ

Kompensacja wyprzedzająca i opóźniająca fazę. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Kompensacja wyprzedzająca i opóźniająca fazę dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej Kształtujemy charakterystykę układu otwartego aby uzyskać: pożądane

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej

Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Przetwarzanie Sygnałów Kod: TS1C400027 Temat ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Systemy i wybrane sposoby ich opisu

Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Systemy i wybrane sposoby ich opisu Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Systemy i wybrane sposoby ich opisu Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Klasyfikacja systemów 1.

Bardziej szczegółowo

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,

Bardziej szczegółowo

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Pomiarów dokonuje się w dwóch dziedzinach: czasowej lub częstotliwościowej i nie zależy to od rodzaju przyłożonych naprężeń (normalnych lub stycznych).

Bardziej szczegółowo

Badanie stabilności liniowych układów sterowania

Badanie stabilności liniowych układów sterowania Badanie stabilności liniowych układów sterowania ver. 26.2-6 (26-2-7 4:6). Badanie stabilności liniowych układów sterowania poprzez analizę równania charakterystycznego. Układ zamknięty liniowy i stacjonarny

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Analiza czestotliwościowa sygnałów dyskretnych Do tej pory - dwie metody analizy częstotliwościowej sygnałów

Bardziej szczegółowo

1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa

1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa MODULACJA W16 SMK 2005-05-30 Jest operacja mnożenia. Jest procesem nakładania informacji w postaci sygnału informacyjnego m.(t) na inny przebieg o wyższej częstotliwości, nazywany falą nośną. Przyczyna

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych Przetwarzanie sygnałów biomedycznych dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński, prof. PW Człowiek- najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3.

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Sygnały deterministyczne 4 1.3.1. Parametry 4 1.3.2. Przykłady 7 1.3.3. Sygnały

Bardziej szczegółowo

Podstawy Przetwarzania Sygnałów

Podstawy Przetwarzania Sygnałów Adam Szulc 188250 grupa: pon TN 17:05 Podstawy Przetwarzania Sygnałów Sprawozdanie 6: Filtracja sygnałów. Filtry FIT o skończonej odpowiedzi impulsowej. 1. Cel ćwiczenia. 1) Przeprowadzenie filtracji trzech

Bardziej szczegółowo

A-4. Filtry aktywne RC

A-4. Filtry aktywne RC A-4. A-4. wersja 4 4. Wstęp Filtry aktywne II rzędu RC to układy liniowe, stacjonarne realizowane za pomocą elementu aktywnego jakim jest wzmacniacz, na który załoŝono sprzęŝenie zwrotne zbudowane z elementów

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Plan na dziś 1 Przedstawienie przedmiotu i zakresu wykładu polecanej iteratury zasad zaliczenia 2 Wyklad

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 6 Projektowanie filtrów cyfrowych o skończonej i nieskończonej odpowiedzi impulsowej

Ćwiczenie 6 Projektowanie filtrów cyfrowych o skończonej i nieskończonej odpowiedzi impulsowej Ćwiczenie 6 Projektowanie filtrów cyfrowych o skończonej i nieskończonej odpowiedzi impulsowej. Filtry FIR o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Filtracja FIR polega na tym, że sygnał wyjściowy powstaje

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych: 4. Filtry liniowe

Analiza szeregów czasowych: 4. Filtry liniowe Analiza szeregów czasowych: 4. Filtry liniowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Filtry liniowe W dziedzinie fourierowskiej filtruje się bardzo prosto: oblicza się iloczyn

Bardziej szczegółowo

Technika regulacji automatycznej

Technika regulacji automatycznej Technika regulacji automatycznej Wykład 3 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 32 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego

Bardziej szczegółowo

Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt.

Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt. 1 Kodowanie podpasmowe Kompresja Danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, 18.05.2006 1.1 Transformaty, próbkowanie i filtry Korzystamy z faktów: Każdą funkcję okresową można reprezentować w postaci

Bardziej szczegółowo

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 część 1: Charakterystyki częstotliwościowe Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe

Bardziej szczegółowo

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y) Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i

Bardziej szczegółowo

Technika regulacji automatycznej

Technika regulacji automatycznej Technika regulacji automatycznej Wykład 5 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 38 Plan wykładu Kompensator wyprzedzający Kompensator opóźniający

Bardziej szczegółowo

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }. VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,

Bardziej szczegółowo

Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2

Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2 Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: przesunięcie

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 10. Dyskretyzacja

Bardziej szczegółowo

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Fouriera i splot

Przekształcenie Fouriera i splot Zastosowania Procesorów Sygnałowych dr inż. Grzegorz Szwoch greg@multimed.org p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Przekształcenie Fouriera i splot Wstęp Na tym wykładzie: przekształcenie Fouriera

Bardziej szczegółowo

DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.

DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D. CPS 6 DYSKRETE PRZEKSZTAŁCEIE FOURIERA C.D. Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: Przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego

Bardziej szczegółowo

Filtry cyfrowe. h(n) odpowiedź impulsowa. Filtr cyfrowy. Procesory sygnałowe (DSP), układy programowalne

Filtry cyfrowe. h(n) odpowiedź impulsowa. Filtr cyfrowy. Procesory sygnałowe (DSP), układy programowalne Filtry cyfrowe Procesory sygnałowe (DSP), układy programowalne x(n) Filtr cyfrowy y(n) h(n) odpowiedź impulsowa x(n) y(n) y(n) = x(n) h(n) 1 Filtry cyfrowe Po co filtrujemy sygnały? Aby uzyskać: redukcję

Bardziej szczegółowo

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27 SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

Wykonawcy: Data Wydział Elektryczny Studia dzienne Nr grupy:

Wykonawcy: Data Wydział Elektryczny Studia dzienne Nr grupy: POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej Laboratorium Podstaw Telekomunikacji Ćwiczenie nr 2 Temat: Projektowanie i analiza

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Ćwiczenie 3 Analiza sygnału o nieznanej strukturze Opracowali: - prof. nzw. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - mgr inż. Tomasz Kubik Politechnika Warszawska,

Bardziej szczegółowo

1 Płaska fala elektromagnetyczna

1 Płaska fala elektromagnetyczna 1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej

Bardziej szczegółowo

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t 4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem

Bardziej szczegółowo