Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Transkrypt

1 Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania zajęć. Test na wejściu 1h 3. Omówienie wyników testu 1 h 4. LICZBY RZECZYWISTE 10h 1) Liczby naturalne i całkowite : Twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze Największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność pary liczb naturalnych 5) Liczby wymierne. Rozwinięcia dziesiętne. Liczby niewymierne 6) Oś liczbowa. Przedziały osi liczbowej 7) Wartość bezwzględna Pojęcie wartości bezwzględnej Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej Zaznaczanie na osi liczbowej zbiorów opisanych za pomocą równań i nierówności typu: x a = b, x a > b, x a < b 5) Procenty i punkty procentowe. Lokaty i kredyty 6) Błąd przybliżenia. Szacowanie wartości liczbowych 7) Pierwiastki (w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych) 8) Potęgi liczb nieujemnych o wykładniku wymiernym i ich własności. Własności potęg o wykładniku rzeczywistym 9) Logarytmy. Podstawowe własności logarytmów (h): Wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym Wzory na logarytm potęgi i na zamianę podstawy logarytmu 5. WYRA Ż ENIA ALGEBRAICZNE 4h 1) Wzory skróconego mnożenia, w tym (a ± b) ; (a ± b) 3 ; a b ; a 3 ± b 3 oraz wzór (a 1)(1 + a an-1) = an 1, ) Wielomiany (h): Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów Rozkład wielomianów na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia, grupowanie wyrazów, wyłączanie, wspólnego czynnika poza nawias Dzielenie wielomianu przez dwumian xa Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian xa Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych 3) Wyrażenia wymierne : Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych

2 Wyznaczanie dziedziny prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych Obliczanie wartość liczbowej wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej 6. RÓWNANIA I NIERÓWNO Ś CI 7h 1. Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (h) Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych; zapisywanie rozwiązania w postaci sumy przedziałów, Rozwiązywanie zadania (również umieszczonych w kontekście praktycznym) prowadzących do równań i nierówności kwadratowych, Rozwiązywanie układów równań, prowadzących do równań kwadratowych Wzory Viète a Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem, przeprowadzanie dyskusji i wyciąganie z niej wniosków. Równania i nierówności wielomianowe (h) 3. x + 1 x + 1 Proste równania i nierówności wymierne np. >, < 3 (h) x + 3 x Rozwiązywanie prostych równania wymiernych, prowadzących do równań liniowych lub x + 1 x + 1 kwadratowych, np. =, = x x + 3 x Rozwiązywanie zadania (również umieszczonych w kontekście praktycznym), prowadzących do prostych równań wymiernych 4. Proste równania i nierówności z wartością bezwzględną, typu: x > 3 i x x + < 3 7. TEST SPRAWDZAJĄCY 1h 8. FUNKCJE 9h 1) Różne sposoby określania funkcji. Odczytywanie własności funkcji z wykresu : za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego dziedzina i zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja rośnie, maleje, ma stały znak, 3) Proste przekształcenia wykresów funkcji liczbowych ; Szkicowanie wykresów funkcji y = f ( x) + a, y = f ( x), y f ( x) funkcji y = f ( x) Szkicowanie wykresów funkcji y = f ( x) na podstawie wykresu funkcji y = f ( x) Szkicowanie wykresów funkcji y = f ( x + a), y = c f ( x), y f ( c x) = na podstawie wykresu =, gdzie f jest funkcją trygonometryczną Szkicowanie wykresów będących efektem wykonania kilku operacji, na przykład y = f ( x + ) 3 4) Funkcja liniowa :

3 Sporządzanie wykresów funkcji liniowych Wyznaczanie wzorów funkcji liniowej Wykorzystanie interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej 5) Funkcja kwadratowa : Sporządzanie wykresów funkcji kwadratowych Wyznaczanie wzór funkcji kwadratowej Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej Wyznaczanie wartości najmniejszej i wartości największej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym Rozwiązywanie zadań (również umieszczonych kontekście praktycznym), prowadzących do badania funkcji kwadratowej 6) Funkcja f(x)=a/x : Sporządzanie wykresów, odczytywanie własności i rozwiązywanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym związanych z proporcjonalnością odwrotną 7) Funkcja wykładnicza : Sporządzanie wykresów funkcji wykładniczych dla różnych podstaw i rozwiązywanie zadań umieszczone w kontekście praktycznym 8) Funkcja logarytmiczna 1. Sporządzanie wykresów funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw 9. Rysowanie wykresów, odczytywanie własności funkcji na podstawie wykresów zajęcia w pracowni komputerowej 9.TEST SPRAWDZAJĄCY 1h 10. CI Ą GI 5h 1) Przykłady ciągów Wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym, Wyznaczanie wyrazów ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie ) Ciąg arytmetyczny (h) Badanie, czy dany ciąg jest arytmetyczny Stosowanie wzorów na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, również umieszczonych w kontekście praktycznym 3) Ciąg geometryczny Badanie, czy dany ciąg jest geometryczny Stosowanie wzorów na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, również umieszczonych w kontekście praktycznym 11.TRYGONOMETRIA 6h 1) Funkcje sinus, cosinus i tangens kąta ostrego : Miara łukowa i miara stopniowa, kąta, Wykorzystanie definicji i wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych

4 Wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. Związki między funkcjami trygonometrycznymi (h) Stosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego Wyznaczanie wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego samego kąta ostrego, znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych Stosowanie związków: sin x + cos x = 1, tgx = sin x oraz wzory na sinus i cosinus sumy cos x i różnicy kątów w dowodach tożsamości trygonometrycznych 3. Rozwiązywanie równań typu sin x = a, cos x = a, tgx = a, dla 0 < x < Wykorzystanie wykresów funkcji trygonometrycznych przy rozwiązywaniu nierówności typu sin x > a, cos x < a, tgx > a 5. Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych, na przykład sin x = 1, sin x + cos x = 1, cos x < 1 1.TEST SPRAWDZAJĄCY 1h 13.PLANIMETRIA 7h 1) Kąty w okręgu Korzystanie ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, ) Twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu 3) Figury podobne i jednokładne Wykorzystanie własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych w kontekście praktycznym Wykorzystanie własności figur jednokładnych w zadaniach, w tym umieszczonych w kontekście praktycznym 4. Zastosowania trygonometrii w planimetrii (h) Związki miarowe w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym, Związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów 5. Wzajemne położenie prostej i okręgu 6. Twierdzenie o związkach miarowych między odcinkami stycznych i siecznych 14.GEOMETRIA NA PŁASZCZY Ź NIE KARTEZJA Ń SKIEJ 9h 1) Równanie prostej na płaszczyźnie (h) Pojęcie układu współrzędnych na płaszczyźnie Wyznaczanie równania prostej w postaci Ax + By + c = 0 lub y = ax + b, mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a w równaniu kierunkowym Badanie równoległości i prostopadłości prostych na podstawie ich równań kierunkowych, ) Interpretacja geometryczna układu równań liniowych 3) Interpretuje geometrycznie nierówność liniową z dwiema niewiadomymi i układy takich nierówności 4) Odległość punktów w układzie współrzędnych, odległość punktu od prostej

5 5) Równanie okręgu ( x a) + ( x b) = r, opis koła za pomocą nierówności 6) Wzajemnego położenia prostej i okręgu, oraz dwóch okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej 7) Współrzędne oraz długość wektora, dodawanie i odejmowanie wektorów, mnożenie wektorów przez liczbę, geometryczna interpretacja działań na wektorach 8) Zastosowanie wektorów do rozwiązywania zadań, a także do dowodzenia własności figur 15.TEST SPRAWDZAJĄCY 1h 16.STEREOMETRIA 6h 1) Równoległość i prostopadłość w przestrzeni, twierdzenie o trzech prostych prostopadłych ) Przekroje wielościanów płaszczyzną 3) Kąt między prostą i płaszczyzną. Kąt dwuścienny 4) Zastosowanie trygonometrii w stereometrii 5) Bryły zajęcia w pracowni komputerowej (h) 17.ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIE Ń STWA I KOMBINATORYKA - 6h 1) Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie standardowe ) Zliczanie przypadków w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych. Zasada mnożenia 3) Wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (h) 4) Obliczanie prawdopodobieństwa w przypadku skończonej liczby zdarzeń elementarnych (h) Wykorzystanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa i stosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. 18.TEST SPRAWDZAJĄCY h