Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

Transkrypt

1 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4. miary kocetracji MIARY ASYMETRII Miary aymetrii charakteryzują rodzaj i topień odtęptwa od ymetrii rozkładu badaej cechy. Miary aymetrii dzielą ię podobie jak poprzedie a miary klaycze i pozycyje. 1. miary klaycze (wpółczyik kośości (A lub A d ), wpółczyik aymetrii (A) ) oraz 2. miary pozycyje (wpółczyik kośości (A Q ) ). Najprotzą miarą aymetrii jet wkaźik kośości (W lub W Q ). Dla miar klayczych jet to różica pomiędzy średią arytmetyczą i modalą. W x M o Dla miar pozycyjych badamy odległości obu kwartyli od mediay. Q ( QIII M e) ( M e QI) QI + QIII M e W

2 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki Jeżeli rozkład badaej cechy jet ymetryczy, to średia jet rówa modalej, a wkaźik kośości jet rówy zero. W x M o Rozkłady badaych cech różią ię między obą kierukiem i iłą aymetrii. Jeżeli rozkład badaej cechy ie jet ymetryczy, to mamy do czyieia z aymetrią rozkładu. Mówimy o dwóch rodzajach (kierukach) aymetrii: lewo- i prawotroej. Dla miar klayczych będzie to: aymetria lewotroa gdy W x M o < oraz aymetria prawotroa gdy W x M o > Dla miar pozycyjych będzie to: aymetria lewotroa gdy W Q ( QIII M e) ( M e QI)< oraz aymetria prawotroa gdy W ( Q M ) ( M Q )> III e e I Q. Poiżze ryuki ilutrują rodzaje aymetrii i wzajeme relacje pomiędzy podtawowymi miarami położeia.

3 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki Dla porówaia kieruku i iły aymetrii w dwóch lub więcej zbiorowościach toujemy wpółczyiki kośości. x M o A dla miar klayczych QI + QIII M e AQ Q dla miar pozycyjych Do klayczych miar aymetrii ależy rówież wpółczyik aymetrii (A). Uwaga!!! Jet o pracochłoy w liczeiu. A m gdzie: odchyleie tadardowe Liczik powyżzego ułamka (m 3 ) wyliczamy odmieie dla każdego poobu pogrupowaia materiału tatytyczego. I tak: m m m ( x i x) i k ( x x) i k i i ( x& x) i i i - zereg zczegółowy - zereg rozdzielczy puktowy - zereg rozdzielczy przedziałowy

4 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki PRZYKŁAD 1 (Przykład 7 z wykładu 3 praca domowa) Płace (tawka godziowa) w firmach A, B i C klaa Stawka [zł/godz.] liczba pracowików ( i ) i x 0i x 1i firma A firma B firma C razem średia wariacja 4,8 4,8 4,8 odchyleie tadardowe 2,19 2,19 2,19 modala 7 5,5 8,5 kwartyl I 5,5 5,14 5,20 kwartyl II (mediaa) 7 6,8 7,2 kwartyl III 8,5 8,8 8,86 odchyleie ćwiartkowe 1,5 1,83 1,83 wkaźik kośości (kla.) 0 1,5-1,5 wkaźik kośości (pozyc.) 0 0,34-0,34 wpółcz. kośości (kla.) 0 0,68-0,68 wpółcz. kośości (pozyc.) 0 0,09-0,09 wpółcz. aymetrii (A) 0 0,23-0,23 (liczik A, tj. m 3 ) 0 2,4-2,4

5 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki PRZYKŁAD 1a (przykładowe obliczeia dla firmy C) W W Q x M o QI + QIII M e + A A Q x M o QI + Q III Q M e Obliczaie wpółczyika aymetrii (A) klaa Stawka [zł/godz.] środek klay i x 0i x 1i i obliczaie m 3 we wpółczyiku aymetrii (firma C) x & x x& i x i x & ( ) & ( ) i i x i x razem A m ( )

6 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki 0,50 Struktura płac firma A firma B firma C 0,40 czętość 0,30 0,20 0,10 0, Stawka [zł/godz.]

7 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki MIARY KONCENTRACJI Trzy dotychcza omówioe grupy miar (tj. miary położeia, rozprozeia i aymetrii) w poób wyczerpujący opiują trukturę badaej zbiorowości. Uzupełieiem tego opiu ą miary kocetracji. Itieje bowiem ściły związek pomiędzy kocetracją a rozprozeiem: im miejze rozprozeie tym więkza kocetracja. I a odwrót. Zjawiko kocetracji może być rozważae jako ierówomiery podział ogólej umy wartości cechy pomiędzy pozczególe jedotki badaej zbiorowości. Do ocey topia kocetracji toujemy dwie metody. 1. Metoda umerycza wyzaczaie odpowiedich wkaźików liczbowych (wpółczyik kupieia iaczej kurtoza, wpółczyik kocetracji Loreza). 2. Metoda graficza wykreślaie i aaliza tzw. krzywej kocetracji Loreza.

8 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki Wpółczyik kupieia (kurtoza) Kurtoza (K) ależy do klayczych miar kocetracji. Uwaga!!! Jet oa pracochłoa w liczeiu. K m gdzie: odchyleie tadardowe Liczik powyżzego ułamka (m 4 ) wyliczamy odmieie dla każdego poobu pogrupowaia materiału tatytyczego. I tak: m m m ( x i x) i k ( x x) i k i i ( x& x) i i i - zereg zczegółowy - zereg rozdzielczy puktowy - zereg rozdzielczy przedziałowy Im więkza wartość kurtozy (K), tym więkza kocetracja (diagram wyżzy i muklejzy). Zjawika połecze, gopodarcze, przyrodicze... ą ajczęściej opiywae tzw. rozkładem ormalym (przykłady diagramów takiego rozkładu pokazao w wykładzie 3 a troach 3 i 4). Kurtoza w rozkładzie ormalym jet zawze rówa trzy (K3). W praktyce policzoą kurtozę porówujemy z kurtozą rozkładu ormalego. I tak jeżeli: K>3 - rozkład badaej cechy jet wyżzy i muklejzy od rozkładu ormalego K<3 - odwrotie; iżzy i bardziej rozłożyty

9 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki PRZYKŁAD 2 (dae z przykładu 1 firma A; w domu policz dla pozotałych firm) Płace (tawka godziowa) w firmie A Stawka środek klaa obliczaie m [zł/godz.] klay 4 w kurtozie (firma A) i x 0i x 1i x& i i x i x x& i x x & ) i x i razem & ( ) K m ( ) WNIOSEK K<3 - kocetracja wokół średiej tawki godziowej w firmie A jet miejza iż w przypadku rozkładu ormalego (diagram jet iżzy i bardziej rozłożyty iż w rozkładzie ormalym); rozprozeie jet więkze iż w rozkładzie ormalym.

10 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki Krzywa kocetracji Loreza Dae pogrupowae ą w zereg rozdzielczy przedziałowy. Krzywą kocetracji Loreza ryujemy wykorzytując: kumulowaą czętość dla liczebości (w i k ) oraz kumulowaą czętość dla wartości cechy (z i k ); wartość cechy obliczamy w każdej klaie jako iloczy i z i (tak jak przy liczeiu średiej) Obie czętości wyrażamy w %. Kwadrat w którym ryujemy krzywą Loreza ma powierzchię 100x Krzywą Loreza otrzymujemy aoząc a powyżzym wykreie dla każdej klay pukt o wpółrzędych (w i k,z i k ). Natępie łączymy te pukty odcikami. Pukt (w k,z k) łączymy dodatkowo z puktem (0, 0). Im więkza jet powierzchia pola (a), tym więkza jet kocetracja w badaym zjawiku.

11 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki Wpółczyik kocetracji Loreza Aby liczbowo wyrazić wielkość kocetracji wyliczamy tzw. wpółczyik kocetracji Loreza (KL). Jet o rówy toukowi pola (a) do pola powierzchi połowy kwadratu (5000): a KL Poieważ łatwiej jet policzyć pole (b), to pole (a) wyzaczamy z różicy a5000-b. Pole (b) jet umą pól trapezów protokątych (dla pierwzej klay jet to trójkąt protokąty). Otateczy wzór a wpółczyik kocetracji Loreza (KL) ma potać: KL b KL 1 ozacza ilą kocetrację KL 0 ozacza łabą kocetrację b

12 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki PRZYKŁAD 3 (Miata i ludość w miatach ta a ) Grupy miat wg liczby ludości (w ty.) Liczba miat Ludość w miatach (w ty.) x i i x i i poiżej i więcej razem Średie miato x ty. miezkańców. Grupy miat wg liczby ludości (w ty.) odetek miat (%) odetek ludości w miatach (%) x i w i z i poiżej 5 30,3 3, ,1 5, ,3 10, ,3 17, ,0 14, ,6 12,0 200 i więcej 2,4 37,0 razem 100,0 100,0

13 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki Grupy miat wg liczby ludości (w ty.) kumuloway odetek miat (%) kumuloway odetek ludości w miatach (%) x i w i k z i k poiżej 5 30,3 3, ,4 8, ,7 19, ,0 36, ,0 51, ,6 63,0 200 i więcej 100,0 100,0 razem

14 Materiały do wykładu 4 ze Statytyki Na zakończeie policzymy wpółczyik kocetracji Loreza. Grupy miat wg liczby ludości (w ty.) odetek miat (%) kumuloway odetek ludości w miatach (%) x i w i z i k obliczaie pola (b) uma pól trójkąta i trapezów w i ( z + z ) i k i k rodzaj figury poiżej 5 30,3 3,3 50,0 trójkąt ,1 8,5 124,5 trapez ,3 19,2 295,0 trapez ,3 36,7 455,6 trapez ,0 51,0 263,1 trapez ,6 63,0 148,2 trapez 200 i więcej 2,4 100,0 195,6 trapez razem 100,0 1532,0 Pole (b) wyoi 1532,0. Wpółczyik kocetracji Loreza wyoi: KL b WNIOSEK: W grudiu 1992 ludość Polki zamiezkująca miata miała tedecję do kocetrowaia ię w miatach o średiej wielkości 28,4 ty. miezkańców. Potwierdzają to: duża wartość wpółczyika kocetracji KL oraz wyraźy brzuch krzywej kocetracji Loreza.