Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.1/33
|
|
- Helena Mazurek
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych mgr inż. Olga Siedlecka olga.siedlecka@icis.pcz.pl Zakład Informatyki Stosowanej i Inżynierii Oprogramowania Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.1/33
2 Plan seminarium Wstęp Definicje pomocnicze Klasyczna teoria automatów i języków formalnych Symbol, alfabet, słowo, język Automaty i ich odmiany Algorytm minimalizacji automatu Kwantowa teoria automatów Definicja automatu kwantowego Kwantowe języki Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.2/33
3 Wstęp Zastosowanie automatów klasycznych. Nowe modele obliczeń. Kwantowy model obliczeń. Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.3/33
4 Definicje pomocnicze Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.4/33
5 Przestrzeń Hilberta Przestrzeń Hilberta - jest: liniowa, unormowana, zupełna, unitarna. Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.5/33
6 Macierz unitarna Macierza unitarna nazywamy macierz kwadratowa zespolona U o rozmiarze n n spełniajac a własność: U U = UU = I, (1) gdzie I jest macierza jednostkowa n n, a U oznacza macierz sprzężona transponowana (sprzężenie hermitowskie). Zauważmy, że własność ta oznacza, że macierz U posiada macierz odwrotna U 1 równa sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli: U = U 1. (2) Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.6/33
7 Mechanika kwantowa [1] W mechanice kwantowej stan n-poziomowego układu jest reprezentowany przez wektor jednostkowy w n-wymiarowej zespolonej przestrzeni wektorowej H n, która nazywamy przestrzenia stanów układu. Wybierzmy w przestrzeni stanów H n bazę ortonormalna { x 1, x 2,..., x n }. Wektory bazowe x i nazywamy stanami bazowymi. Dowolny stan układu kwantowego można przedstawić w postaci superpozycji stanów bazowych: α 1 x 1 +α 2 x α n x n (3) gdzie α i sa liczbami zespolonymi nazywanymi amplitudami prawdopodobieństwa względem wybranej bazy. Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.7/33
8 Mechanika kwantowa [2] Warunek unormowania wektora stanu wymaga, by spełniały one równanie α α α n 2 = 1. Prawdopodobieństwo zaobserwowania własności x i wynosi α i 2. Jeżeli dwa układy kwantowe sa opisywane za pomoca przestrzeni stanów H n i H m, to przestrzeń stanów układu złożonego opisana jest przez iloczyn tensorowy H n H m. Ewolucja czasowa układów kwantowych jest opisana za pomoca macierzy unitarnych. Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.8/33
9 Klasyczna teoria automatów i języków formalnych Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.9/33
10 Symbol, alfabet, słowo [1] Symbol - pojęcie niedefiniowane (inaczej: litera, znak) Alfabet - skończony, niepusty zbiór symboli. Np.: Σ 1 = {0,1} - alfabet binarny, Σ 2 = {a,b,c,...,z} - alfabet łaciński (małych liter) Słowo(łańcuch) - skończona sekwencja symboli z danego alfabetu. Np.: słowo jest słowem z alfabetu binarnego. Słowo puste (nie zawierajace symboli) oznaczamy ε. Przez długość słowa rozumiemy liczbę pozycji w tym słowie i oznaczamy: w, np.: = 6 i ε = 0. Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.10/33
11 Symbol, alfabet, słowo [2] Konkatenacja słów - niech x = a 1 a 2...a n i y = b 1 b 2...b m będa słowami, o długościach odpowiednio n i m, wtedy słowo xy = a 1 a 2...a n b 1 b 2...b m o długości n+m stanowi ich konkatenację. Notacja potęgowa - Jeżeli Σ jest alfabetem, wtedy Σ k oznacza zbiór wszystkich słów o długości k, o symbolach z tego alfabetu. Zatem: Σ = {0,1}, Σ 0 = {ε}, Σ 1 = {0,1}, Σ 2 = {00,01,10,11}... (4) Zbiór wszystkich słów nad alfabetem Σ oznaczamy Σ, zaś zbiór wszystkich niepustych słów Σ +. Np.: Σ = {0,1}, Σ + = Σ 1 Σ 2..., Σ = Σ + {ε}. (5) Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.11/33
12 Język Język - Niech Σ będzie alfabetem, zaś Σ zbiorem wszystkich słów nad tym alfabetem, wtedy dowolny jego podzbiór L Σ nazywamy językiem nad alfabetem Σ. Np.: język polski nad alfabetem polskim, język C++, czy inne języki programowania nad alfabetem zawierajacym znaki ASCII itp. L 0 = /0 (6) L 1 = {ε} (7) L 2 = Σ (8) L 3 = {ε,0,001,0001} (9) L 4 = {0,01,011,0111,...} (10) Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.12/33
13 Niedeterministyczny automat skończony Niedeterministycznym automatem skończonym - nazywamy piatkę NFA = {Q,Σ,δ,q 0,F}, (11) gdzie: Q - skończony zbiór stanów, #Q <, Σ - alfabet wejściowy, δ - funkcja przejść δ : Q (Σ {ε}) 2 Q, q 0 Q - stan poczatkowy, F Q - zbiór stanów końcowych (akceptowalnych). Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.13/33
14 Deterministyczny automat skończony Deterministycznym automatem skończonym - nazywamy piatkę DFA = {Q,Σ,δ,q 0,F}, (12) gdzie: Q - skończony zbiór stanów, #Q <, Σ - alfabet wejściowy, δ - funkcja przejść δ : Q (Σ {ε}) Q, q 0 Q - stan poczatkowy, F Q - zbiór stanów końcowych (akceptowalnych). Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.14/33
15 Przykład NFA Przykład niedeterministycznego automatu skończonego: NFA = {Q,Σ,δ,q,F}, gdzie: Q = {q 0,q 1,q 2 } - skończony zbiór stanów, Σ = {0,1} - alfabet wejściowy, q = q 0 - stan poczatkowy, F = {q 2 } - zbiór stanów końcowych (akceptowalnych) δ - funkcja przejść: Q \ Σ 0 1 q 0 {q 0 } {q 0,q 1 } q 1 /0 {q 2 } q 2 /0 /0 Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.15/33
16 Przykład DFA Przykład deterministycznego automatu skończonego: DFA = {Q,Σ,δ,q,F}, gdzie: Q = {q 0,q 1,q 2,q 3 } - skończony zbiór stanów, Σ = {0,1} - alfabet wejściowy, q = q 0 - stan poczatkowy, F = {q 0 } - zbiór stanów końcowych (akceptowalnych) δ - funkcja przejść: Q \ Σ 0 1 q 0 q 2 q 1 q 1 q 3 q 0 q 2 q 0 q 3 q 3 q 1 q 2 Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.16/33
17 Język akceptowany przez FA Jeżeli NFA = {Q,Σ,δ,q 0,F} jest niedeterministycznym automatem skończonym, to: L(A) = {w Σ : ˆδ(q 0,w) F /0} (13) jest językiem akceptowanym przez ten automat. Jeżeli DFA = {Q,Σ,δ,q 0,F} jest deterministycznym automatem skończonym, to: L(A) = {w Σ : ˆδ(q 0,w) F} (14) jest językiem akceptowanym przez ten automat. Język akceptowany przez automat skończony jest regularny. Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.17/33
18 Minimalizacja DFA [1] Automat A rozpoznajacy język L nazywamy minimalnym, gdy nie istnieje automat o mniejszej liczbie stanów rozpoznajacy L. Algorytm minimalizacji deterministycznego automatu skończonego polega na: wyeliminowaniu stanów nieosiagalnych, złaczeniu stanów nierozróżnialnych. Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.18/33
19 Minimalizacja DFA [2] Dla automatu: DFA = {Q,Σ,δ,q 0,F} Q = {A,B,C,D,E,F,G} - skończony zbiór stanów, Σ = {0, 1} - zbiór symboli terminalnych (alfabet wejściowy), q 0 = A- stan poczatkowy, F = {C, E} - zbiór stanów końcowych (akceptowalnych) δ - funkcja przejść: Q \ Σ 0 1 A B D B B C C D B D D E E B C F C G G E F Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.19/33
20 Minimalizacja DFA [3] Wyeliminowanie stanów nieosiagalnych: Złaczenie stanów nierozróżnialnych: Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.20/33
21 Automat ze stosem Automatem ze stosem - nazywamy PDA = {Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F}, (15) gdzie: Q - skończony zbiór stanów, #Q <, Σ - alfabet wejściowy, Γ - skończony zbiór symboli stosowych, δ - funkcja przejść δ : Q (Σ {ε}) Γ Q Γ, q 0 Q - stan poczatkowy, Z 0 Γ - symbol poczatkowy stosu, F Q - zbiór stanów końcowych (akceptowalnych). Języki akceptowane przez PDA nazywamy bezkontekstowymi. Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.21/33
22 Przykład PDA Przykład automatu ze stosem: PDA = {{q 0,q 1,q 2 },{0,1},{R,0},δ,q 0,R,{q 0 }} stan symbol stos stan stos q 0 0 R q 1 R0 q q 1 00 q q 2 ε q q 2 ε q 2 ε R q 0 ε q 0 ε R q 0 ε Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.22/33
23 Kwantowa teoria automatów i języków formalnych Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.23/33
24 Automat kwantowy 1997 rok - definicja kwantowych automatów: Cris Moore, James Crutchfield Attila Kondacs, John Watrous Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.24/33
25 Język kwantowy Z perspektywy Moore a i Crutchfield a: Język kwantowy określa jakie jest prawdopodobieństwo zaobserowania danego słowa: QL : Σ [1,0]. (16) Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.25/33
26 Automat kwantowy Kwantowy automat definiujemy jako: QA = {H,Σ,U σ, s 0,F,P}, (17) gdzie: H - przestrzeń Hilberta, Σ - alfabet wejściowy, U σ - unitarna macierz przejść U σ : H H dla każdego symbolu σ Σ, s 0 H - stan poczatkowy, spełniajacy warunek s o 2 = 1, F H - podprzestrzeń stanów akceptowalnych. P - operator P : H F Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.26/33
27 Język kwantowy akceptowany przez QA Jeżeli unitarna macierz przejść dla całego słowa U w będzie równa: U w = U w1 U w2...u w w (18) wtedy język akceptowany przez kwantowy automat jest funkcja: f QA (w) = s 0 U w P 2. (19) Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.27/33
28 QFA, QRL Kwantowy automat skończony, to automat w którym H, s 0 i U σ maja skończony wymiar n. Kwantowy język akceptowany przez kwantowy automat skończony nazywamy kwantowym językiem regularnym. Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.28/33
29 2QFA [1] Z perspektywy Kondacs a i Watrous a: Dwukierunkowy skończony automat kwantowy definiujemy jako: 2QFA = {Q,Σ,δ,q 0,Q acc,q re j }, (20) gdzie: Q - skończony zbiór stanów, Σ - alfabet wejściowy, δ - funkcja przejść, q 0 Q- stan poczatkowy, Q acc Q - zbiór stanów akceptowalnych, Q re j Q - zbiór stanów odrzucajacych. Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.29/33
30 2QFA [2] Definiujemy także Q non = Q\(Q acc Q re j ) - stanów nie będacych końcowymi, oraz symbole l i oznaczajace lewy i prawy koniec słowa wejściowego, stad alfabet na którym operuje automat ma postać Γ = Σ {l, }. Funkcja przejść jest odwzorowaniem: δ : Q Γ Q { 1,0,1} C. Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.30/33
31 Cel Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.31/33
32 Dziękuje za uwagę i proszę o pytania. Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.32/33
33 Źródła M. Hirvensalo, Algorytmy kwantowe, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne S.A., Warszawa 2004 J. E. Hopcroft, R. Motwani, J. D. Ullman, Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation, second edition, Addison-Wesley, 2001 J. Majewski, Teoria automatów i języków formalnych, teoria kompilacji, wykłady: C. Moore, J.P. Crutchfield, Quantum Automata and Quantum Grammars, Theoretical Computer Science, Vol. 237, No. 1 2, pp , 2000 A. Kondacs, J. Watrous, On the Power of Quantum Finite State Automata, Proceedings of the 38th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, pp , 1997 Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.33/33
Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura
Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Literatura Aho A. V., Sethi R., Ullman J. D.: Compilers. Principles, Techniques
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Automat ze stosem Automat ze stosem to szóstka
Bardziej szczegółowoJaki język zrozumie automat?
Jaki język zrozumie automat? Wojciech Dzik Instytut Matematyki Uniwersytet Śląski Katowice wojciech.dzik@us.edu.pl 7. Forum Matematyków Polskich, 12-17 września 2016, Olsztyn Prosty Automat do kawy Przemawiamy
Bardziej szczegółowoAutomat ze stosem. Języki formalne i automaty. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki
Automat ze stosem Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Automat ze stosem (1) dno stosu Stos wierzchołek stosu Wejście # B B A B A B A B a b b a b a b $ q i Automat ze
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii komputerów kwantowych
Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych mgr inż. Olga Siedlecka olga@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.1/35 Plan seminarium
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 7
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 7 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Automaty... 2 Cechy automatów... 4 Łączenie automatów... 4 Konwersja automatu do wyrażenia
Bardziej szczegółowoPrzykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
Bardziej szczegółowoHierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G = V skończony zbiór
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 9
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Maszyna Mealy'ego... 2 Maszyna Moore'a... 2 Automat ze stosem... 3 Konwersja gramatyki bezkontekstowej
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 9: Własności języków bezkontekstowych Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 27 kwietnia 2016 Plan 1 Pompowanie języków bezkontekstowych 2 Własności domknięcia 3 Obrazy
Bardziej szczegółowoSymbol, alfabet, łańcuch
Łańcuchy i zbiory łańcuchów Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Symbol, alfabet, łańcuch Symbol Symbol jest to pojęcie niedefiniowane (synonimy: znak, litera)
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga języki
Maszyna Turinga języki Teoria automatów i języków formalnych Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Maszyna Turinga (1) b b b A B C B D A B C b b Q Zależnie od symbolu obserwowanego przez głowicę
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Modele obliczeń Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 05/10/2016 1 / 33 1 2 3 4 5 6 2 / 33 Co to znaczy obliczać? Co to znaczy obliczać? Deterministyczna maszyna Turinga
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Stany równoważne Stany p i q są równoważne,
Bardziej szczegółowo1 Automaty niedeterministyczne
Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 1
Języki formalne i automaty Ćwiczenia Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... Wstęp teoretyczny... 2 Wprowadzenie do teorii języków formalnych... 2 Gramatyki... 5 Rodzaje gramatyk... 7 Zadania...
Bardziej szczegółowo(j, k) jeśli k j w przeciwnym przypadku.
Zadanie 1. (6 punktów) Rozważmy język słów nad alfabetem {1, 2, 3}, w których podciąg z pozycji parzystych i podciąg z pozycji nieparzystych są oba niemalejące. Na przykład 121333 należy do języka, a 2111
Bardziej szczegółowoJęzyki regularne, rozpoznawanie wzorców regularnych, automaty skończone, wyrażenia regularne
Języki regularne, rozpoznawanie wzorców regularnych, automaty skończone, wyrażenia regularne Automat skończony (AS), ang. Finite Automaton (FA) Automat skończony (automat czytający, maszyna Rabina-Scotta)
Bardziej szczegółowoGramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego. Gramatyka
Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G =
Bardziej szczegółowoMinimalizacja automatów niedeterministycznych na słowach skończonych i nieskończonych
Szczepan Hummel Minimalizacja automatów niedeterministycznych na słowach skończonych i nieskończonych 24.11.2005 1. Minimalizacja automatów deterministycznych na słowach skończonych (DFA) [HU] relacja
Bardziej szczegółowoAlgorytm Grovera. Kwantowe przeszukiwanie zbiorów. Robert Nowotniak
Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka 13 listopada 2007 Plan wystapienia 1 Informatyka Kwantowa podstawy 2 Opis problemu (przeszukiwanie zbioru) 3 Intuicyjna
Bardziej szczegółowoJAO - Języki, Automaty i Obliczenia - Wykład 2. JAO - Języki, Automaty i Obliczenia - Wykład 2
Dowodzenie nieregularności języka [lemat o pompowaniu] Jeśli L regularny to istnieje stała c spełniająca : jeżeli z L, z c to istnieje dekompozycja w = u v x tak, że uv i x L dla każdego i 0 [lemat o skończonej
Bardziej szczegółowoImię, nazwisko, nr indeksu
Imię, nazwisko, nr indeksu (kod) (9 punktów) Wybierz 9 z poniższych pytań i wybierz odpowiedź tak/nie (bez uzasadnienia). Za prawidłowe odpowiedzi dajemy +1 punkt, za złe -1 punkt. Punkty policzymy za
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też. A = (A, Q, q I, F, δ)
Zadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też L = {vw : vuw L dla pewnego u A takiego, że u = v + w } Rozwiązanie. Niech A =
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Gramatyki bezkontekstowe I Gramatyką bezkontekstową
Bardziej szczegółowoWykład5,str.1. Maszyny ze stosem ... 1,0 λ r. λ,z λ
Wykład5,str1 p 0,Z 0Z 0,0 00 q λ,z λ r Wykład5,str1 Słowo na wejściu: 0011 część nieprzeczytana Z p 0,Z 0Z 0,0 00 q λ,z λ r Wykład5,str1 Słowo na wejściu: 0011 część nieprzeczytana 0 Z p 0,Z 0Z 0,0 00
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Od maszyn Turinga do automatów komórkowych Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 03/03/2016 1 / 16 1 2 3 Krótka historia Znaczenie 2 / 16 Czego dowiedzieliśmy się
Bardziej szczegółowoKATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ. Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych. ćwiczenie 204
Opracował: prof. dr hab. inż. Jan Kazimierczak KATEDA INFOMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 204 Temat: Hardware'owa implementacja automatu skończonego pełniącego
Bardziej szczegółowoDopełnienie to można wyrazić w następujący sposób:
1. (6 punktów) Czy dla każdego regularnego L, język f(l) = {w : każdy prefiks w długości nieparzystej należy do L} też jest regularny? Odpowiedź. Tak, jęsli L jest regularny to też f(l). Niech A będzie
Bardziej szczegółowo2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego
2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną G = gdzie: N zbiór symboli nieterminalnych, T zbiór symboli terminalnych, P zbiór
Bardziej szczegółowoHierarchia Chomsky ego
Hierarchia Chomsky ego Gramatyki nieograniczone Def. Gramatyką nieograniczoną (albo typu 0) nazywamy uporządkowaną czwórkę G= gdzie: % Σ - skończony alfabet symboli końcowych (alfabet, nad którym
Bardziej szczegółowoTemat: Zastosowanie wyrażeń regularnych do syntezy i analizy automatów skończonych
Opracował: dr inż. Zbigniew Buchalski KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie Temat: Zastosowanie wyrażeń regularnych do syntezy i analizy automatów
Bardziej szczegółowoWyrażenie nawiasowe. Wyrażenie puste jest poprawnym wyrażeniem nawiasowym.
Wyrażenie nawiasowe Wyrażeniem nawiasowym nazywamy dowolny skończony ciąg nawiasów. Każdemu nawiasowi otwierającemu odpowiada dokładnie jeden nawias zamykający. Poprawne wyrażenie nawiasowe definiujemy
Bardziej szczegółowoDefinicja 2. Twierdzenie 1. Definicja 3
INSTYTUT CYBERNETYKI TECHNICZNEJ POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ ZAKŁAD SZTUCZNEJ INTELIGENCJI I AUTOMATÓW Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 205 temat: ZASTOSOWANIE JĘZYKA WYRAŻEŃ
Bardziej szczegółowoAutomat Moore a. Teoria układów logicznych
Automat Moore a Automatem Moore a nazywamy uporządkowaną piątkę (Q,X,Y,δ, λ )gdzie Qjestskończonym zbiorem niepustym, nazwanym zbiorem stanów automatu, Xjestskończonym zbiorem niepustym, nazwanym alfabetem
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 12: Gramatyki i inne modele równoważne maszynom Turinga. Wstęp do złożoności obliczeniowej Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 20 maja 2015 Plan 1 Gramatyki 2 Języki
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Bardziej szczegółowoWstęp do komputerów kwantowych
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność
Bardziej szczegółowo1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek
Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek. Grupa SU(N) Unitarne (zespolone) macierze N N można sparametryzować pzez N rzeczywistych parametrów. Ale detu =, unitarność: U U = narzucają dodatkowe warunki. Rozważmy
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 10: Maszyny Turinga Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 29 kwietnia 2015 Plan Maszyny Turinga (Niedeterministyczna) maszyna Turinga M = (A, Q, q 0, F, T, B, δ) A
Bardziej szczegółowoModele Obliczeń. Wykład 1 - Wprowadzenie. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski
Modele Obliczeń Wykład 1 - Wprowadzenie Marcin Szczuka Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski Wykład fakultatywny w semestrze zimowym 2014/2015 Marcin Szczuka (MIMUW) Modele Obliczeń 2014/2015 1 /
Bardziej szczegółowoTeoria układów logicznych
Automat Moore a Automatem Moore a nazywamy uporządkowaną piątkę ( Q, X,,, ) gdzie Q jest skończonym zbiorem niepustym, nazwanym zbiorem stanów automatu, X jest skończonym zbiorem niepustym, nazwanym alfabetem
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI Podstawowe pojęcia teorii automatów i języków Zbiór grupa obiektów, nazywanych elementami zbioru, traktowana jako całość {0,5,7,21,57,12,18} Ciąg lista obiektów nazywanych
Bardziej szczegółowoO informatyce kwantowej
O informatyce kwantowej Piotr Gawron Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN Posiedzenie PTM Gliwice Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 1 / 33 Plan wystąpienia
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoAUTOMATY SKOŃCZONE. Automat skończony przedstawiamy formalnie jako uporządkowaną piątkę:
AUTOMATY SKOŃCZONE DETERMINISTYCZNY AUTOMAT SKOŃCZONY - DAS Automat skończony jest modelem matematycznym systemu o dyskretnych wejściach i wyjściach. System taki w danej chwili może znajdować się w jednym
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoPeter W. Shor - Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. 19 listopada 2004 roku
Peter W. Shor - Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. 19 listopada 2004 roku Wstęp czyli (próba) odpowiedzi na pewne pytania (Silna) Teza Church
Bardziej szczegółowoParadygmaty i języki programowania. Analiza leksykalna Skaner, RE, DAS, NAS, ε- NAS
Paradygmaty i języki programowania Analiza leksykalna Skaner, RE, DAS, NAS, - NAS Etapy pracy kompilatora Character stream [Lexical Analyzer] token stream [Syntax Analyzer] syntax tree [SemanFc Analyzer]
Bardziej szczegółowoJęzyki i operacje na językach. Teoria automatów i języków formalnych. Definicja języka
Języki i operacje na językach Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Definicja języka Definicja języka Niech Σ będzie alfabetem, Σ* - zbiorem wszystkich łańcuchów
Bardziej szczegółowoAproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoAlgorytmy stochastyczne, wykład 05 Systemy Liendenmayera, modelowanie roślin
Algorytmy stochastyczne, wykład 5, modelowanie roślin Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 214-3-2 1 2 3 ze stosem Przypomnienie gramatyka to system (Σ, A, s,
Bardziej szczegółowoAutomaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki Kierunek Matematyka Paulina Barbara Rozwód Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń praca magisterska studia
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. Teoria automatów i języków formalnych. Literatura (1)
Wprowadzenie Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Literatura (1) 1. Aho A. V., Sethi R., Ullman J. D.: Compilers. Principles, Techniques and Tools, Addison-Wesley,
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 11: Obliczalność i nieobliczalność Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 6 maja 2015 Plan 1 Problemy częściowo rozstrzygalne 2 Problemy rozstrzygalne 3 Funkcje (częściowo)
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 8
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 8 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Konwersja NFA do DFA... 2 Minimalizacja liczby stanów DFA... 4 Konwersja automatu DFA do
Bardziej szczegółowoWykład nr 3 Techniki Mikroprocesorowe. dr inż. Artur Cichowski
Wykład nr 3 Techniki Mikroprocesorowe dr inż. Artur Cichowski Automat skończony jest przetwornikiem ciągu symboli wejściowych na ciąg symboli wyjściowych. Zbiory symboli wejściowych x X i wyjściowych y
Bardziej szczegółowoSeminarium: Efekty kwantowe w informatyce
Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce Aleksander Mądry Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Każdy kto będzie
Bardziej szczegółowo1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoWyrażenia regularne.
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład : Wyrażenia regularne. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs.2.202 Wyrażenia regularne Wyrażenia regularne (ang. regular expressions) stanowią algebraiczny sposób definiowania
Bardziej szczegółowoR n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoWstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga (Algorytmy Część III)
Maszyna Turinga (Algorytmy Część III) wer. 9 z drobnymi modyfikacjami! Wojciech Myszka 2018-12-18 08:22:34 +0100 Upraszczanie danych Komputery są coraz szybsze i sprawniejsze. Na potrzeby rozważań naukowych
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga. Algorytm. czy program???? Problem Hilberta: Przykłady algorytmów. Cechy algorytmu: Pojęcie algorytmu
Problem Hilberta: 9 Czy istnieje ogólna mechaniczna procedura, która w zasadzie pozwoliłaby nam po kolei rozwiązać wszystkie matematyczne problemy (należące do odpowiednio zdefiniowanej klasy)? 2 Przykłady
Bardziej szczegółowoRozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowo10110 =
1. (6 punktów) Niedeterministyczny automat skończony nazwiemy jednoznacznym, jeśli dla każdego akceptowanego słowa istnieje dokładnie jeden bieg akceptujący. Napisać algorytm sprawdzający, czy niedeterministyczny
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 6
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 6 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Wyrażenia regularne... 2 Standardy IEEE POSIX Basic Regular Expressions (BRE) oraz Extended
Bardziej szczegółowoLogika Temporalna i Automaty Czasowe
Modelowanie i Analiza Systemów Informatycznych Logika Temporalna i Automaty Czasowe (4) Modelowa weryfikacja systemu Paweł Głuchowski, Politechnika Wrocławska wersja 2.1 Treść wykładu Własności współbieżnych
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (6 punktów) Słowo w nazwiemy anagramem słowa v jeśli w można otrzymać z v poprzez zamianę kolejności liter. Niech
Zadanie 1. (6 punktów) Słowo w nazwiemy anagramem słowa v jeśli w można otrzymać z v poprzez zamianę kolejności liter. Niech anagram(l) = {w : w jest anagaramem v dla pewnego v L}. (a) Czy jeśli L jest
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 10: Opis wzorców - wyrażenia regularne. http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Wyrażenia regularne Wyrażenia
Bardziej szczegółowozłożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa
Zadanie 1. Rozważmy jezyk złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa równe. Narysować diagram minimalnego automatu deterministycznego akceptujacego
Bardziej szczegółowoWykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
Bardziej szczegółowoJĘZYKI FORMALNE I METODY KOMPILACJI
Stefan Sokołowski JĘZYKI FORMALNE I METODY KOMPILACJI Inst Informatyki Stosowanej, PWSZ Elbląg, 2015/2016 JĘZYKI FORMALNE reguły gry Wykład1,str1 Zasadnicze informacje: http://iispwszelblagpl/ stefan/dydaktyka/jezform
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowo1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga
. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoJĘZYKIFORMALNE IMETODYKOMPILACJI
Stefan Sokołowski JĘZYKIFORMALNE IMETODYKOMPILACJI Inst. Informatyki Stosowanej, PWSZ Elbląg, 2009/2010 JĘZYKI FORMALNE reguły gry Wykład1,2X2009,str.1 Zasadnicze informacje: http://iis.pwsz.elblag.pl/
Bardziej szczegółowoTeoria obliczeń czyli czego komputery zrobić nie mogą
Teoria obliczeń czyli czego komputery zrobić nie mogą Marek Zaionc Uniwersytet Jagielloński Materiały do wykładu: P. Odifreddi, Classical Recursion Theory, North Holland 1989. J.H. Hopcroft, J.D. Ullman
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoAUTOMATYKA INFORMATYKA
AUTOMATYKA INFORMATYKA Technologie Informacyjne Sieć Semantyczna Przetwarzanie Języka Naturalnego Internet Edytor Serii: Zdzisław Kowalczuk Inteligentne wydobywanie informacji z internetowych serwisów
Bardziej szczegółowoJAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych
JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych Definicja gramatyki bezkontekstowej Podstawowymi narzędziami abstrakcyjnymi do opisu języków formalnych są gramatyki i automaty. Gramatyka bezkontekstowa
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 05 Biologia i gramatyka Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 07/04/2016 1 / 40 1 Nieformalne określenie fraktali. 2 Wymiar pudełkowy/fraktalny. 3 Definicja fraktali.
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoSymulacja obliczeń kwantowych
Model kwantowych bramek logicznych w NumPy Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Sekcja Informatyki Kwantowej, 10 października 2007 Plan prezentacji 1 Python
Bardziej szczegółowo