Równanie przewodnictwa cieplnego

Transkrypt

1 SPIS TREŚCI 1 Równanie przewodnictwa ciepnego Spis treści 1 Przyładowe rozwiązania 2 2 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzienego 5

2 1 Przyładowe rozwiązania 2 1 Przyładowe rozwiązania Zadanie 1.1. Rozwiazać równanie przewodnictwa ciepnego u t = a 2 u xx, u(0, t) =0, u x (, t) =Ae t, u(x,0)=t, (1) da 0 x, t 0, a 0i A 0. Sens fizyczny tego zagadnienia jest nastepuj acy: u jest tepmeratura wprecie o długości imałym przeroju, tóry można zaniedbać; t oznacza czas, x mierzy odegłość od jednego z ońców preta. W chwii poczatowej temperatura w puntach preta jest stała i wynosi T, natomiast jeden z ońców ma ustaona temeperature środowisa równą 0, w drugim ońcu temeperatura zmienia sie adiabatycznie i jest dana przez funcje t Ae t. Musimy jeszcze ustaić warune zgodności. Wynia z niego, że jedyna możiwa stała w warunu poczatowym jest T =0. Ponieważ waruni brzegowe sa niejednorodne, to rozwiazania poszuujemy w postaci: u(x, t) =r 0 (x) 0+r 1 (x)ae t + V (x, t), żadaj ac, by funcja V spełniała równanie jednorodne i waruni brzegowe jednorodne, tzn. by V t = a 2 V xx oraz V (0, t) = V x (, t) = 0. Z warunów brzegowych da (1) wynia, że 0 = u(0, t) = r 1 (0)Ae t + V (0, t), czyi r 1 (0) = 0 oraz Ae t = u x (, t) =r 1()Ae t + V x (, t) impiuje r 1() =1. Wstawiajac terazu w danej postaci do równania (1) mamy: a 2 r 1 (x)ae t + a 2 V xx = r 1 (x)ae t + V t, a ponieważ V ma spełniać równanie jednorodne, to dostajemy a 2 r 1 (x)+r 1 (x) =0 z warunami r 1 (0) = 0 i r 1 () =1.Rozwi azaniami sa funcje r 1 (x) =α 1 sin a 2 x + α 2 cos a 2 x. Z warunu 0=r 1 (0) dostajemy α 2 =0,az1=r 1 () = a 2 α 1 cos a 2 wynia, że α 1 = Ostatecznie wiec funcja r 1 ma postać r 1 (x) = cos a 2 sin a 2 x. cos a 2.

3 1 Przyładowe rozwiązania 3 cos a 2 Wdaszymciagu na α 1 = bedziemy używai symbou α. Łatwo sprawdzić, że da ta znaezionego r 1 funcja V rzeczywiście spełnia równanie jednorodne z warunami brzegowymi jednorodnymi, a warune poczatowy można wyiczyć: 0=T = u(x,0)=r 1 (x)a + V (x,0)=αa sin a 2 x + V (x,0). Wtedy V (x,0)= αa sin a 2 x. Znajdziemy wiecrozwi azanie równania V t = a 2 V xx, V (0, t) =V x (, t) =0, V (x,0)= αa sin a 2 x. (2) Poszuujemy jego rozwiazań metoda Fouriera, czyi w postaci V (x, t) =v(x)w(t). Z poprzednich zadań wiemy już, że wtedy Stad mamy v (x) v(x = λ = w (t) a 2 w(t). v (x) λv(x) =0 z warunami 0=V (0, t) =v(0)w(t) = v(0) = 0, 0=V x (, t) =v ()w(t) = v () =0. Rozwiazaniem jest v(x) =B 1 cos λx + B 2 sin λx. ponieważ B 1 = 0 = v(0), to musi być λ = [ ( )] 2. Otrzymujemy wi ecci ag wartości własnych λ = [ ( )] 2 i odpowiadaj acy mu ciag funcji własnych v (x) =sin [ (1 + 2)x] 2 da =1,2,.... Zatem rozwiazaniem jest V (x, t) = w (t)sin 2 (1 + 2)x, (3) gdzie (z warunu poczatowego (2)) funcje w musza spełniać αa sin a 2 x = V (x,0)= w (0) sin 2 (1 + 2)x. Liczby w (0) sa wiec współczynniami rozwiniecia w szereg Fouriera wzgedem sinusów funcji x αa sin a 2 x, czyi w (0) = 2 = αa = αa ( 0 αa sin a 2 x ) sin [ ( )x] dx = 0 2sin a 2 x sin [ ( )x] dx = { 0 cos [( (1 + 2)+ ) ] a 2 2 x dx 0 cos [( (1 + 2) ) ] } a 2 2 x dx.

4 1 Przyładowe rozwiązania 4 Oznaczmy Wtedy c = 2 (1 + 2)+ a 2, c = 2 (1 + 2) a 2. w (0) = αa { ( 1 sin[c x] 1 c ) } sin[ c x] = αa ( 1 sin[c ] 1 c ) sin[ c ]. 0 Mamy wi ec warune w (0) = αa ( 1 sin[c ] 1 c ) sin[ c ], (4) a z (2) funcja (3) musi spełniać w (t)sin 2 (1 + 2)x = a 2 Porównujac wyrazy szeregu, mamy 2 2 (1 + 2) w (t)sin 2 (1 + 2)x. w (t) = a2 [ 2 (1 + 2) ] 2 w (t). Jest to równanie różniczowe zwyczajne pierwszego rzedu jednorodne, wiec w (t) 2 w (t) = a2 2 (1 + 2) wystarczy scałować stronami. Wtedy } 2 w (t) =βexp { a 2 2 (1 + 2) t. Z warunu (4) znajdziemy β : β = w (0) = αa ( 1 sin[c ] 1 c ) sin[ c ]. Ostatecznie otrzymujemy oejno: gdzie α = w (t) = αa { 1 sin[c ] 1 c } sin[ c ] exp V (x, t) = w (t)sin 2 (1 + 2)x, u(x, t) =αa sin ( a 2 x ) e t + V (x, t), { a 2 [ 2 (1 + 2) ] 2 t } cos a 2, c = 2 (1 + 2)+ a 2, c = 2 (1 + 2) a 2.,

5 2 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzienego 5 2 Zestaw zadań do ćwiczenia samodzienego 1. Rozwia zać zagadnienie mieszane da równania przewodnictwa ciepnego w ośrodu jednowymiarowym z warunami brzegowymi: u(0, t) =u(1, t) =0i waruniem pocza towym u(x,0)=x 3 x. 2. Znaeźć rozład temperatury w chwii t wprȩcie jednorodnym wypełniajcacym przedział 0, 1 osi x, jeśi rozład pocza towy oreśony jest funcja ϕ(x) =2x 3 3x Załadamy, że zjawiso rozchodzenia siȩ ciepła przebiega adiabatycznie. 3. Zastosować metodȩ Fouriera do rozwia zania zagadnienia mieszanego da równania przewodnictwa ciepnego (w prȩcie o stałej temperaturze na ońcach) z waruniem brzegowym u(0, t) =u(1, t) =0 i waruniem pocza towym: h (i) u(x,0)= x da x 0, b, b h x h da x (b,1 ; b 1 b 1 0 da x 0, α), (ii) u(x,0)= h da x α, β, 0 da x (β,1 ; 0 da x 0, a, h(x a) (iii) u(x,0)= da x (a, b), b a 0 da x b,1 ; gdzie h > 0. Sprawdzić, czy 1 0 ) otrzymany szereg jest zbieżny i przedstawia rozwia zanie równania, 2 0 ) jego suma spełnia we wszystich puntach przedziału 0, 1 warune pocza towy. 4. Wpółpasie0 < x <, t > 0 da równania u t = a 2 u xx rozwia zać zagadnienie mieszane przy nastȩpuja cych warunach: (i) u(0,t) =u(, t) =0, u(x, 0) =Ax, (ii) u(0, t) =u x (, t) =0, u(x,0)=ϕ(x), (iii) u x (0, t) =u(, t) =0, u(x,0)=a( x), (iv) u x (0, t) =u x (, t) =0, u(x,0)=u. 5. Wpółpasie0 < x <, t > 0 rozwia zać zagadnienie mieszane: (i) u t = a 2 u xx βu, u(0, t) =u(, t) =0, u(x,0)=ϕ(x), (ii) u t = a 2 u xx βu, u(0, t) =u x (, t) =0, u(x,0)=sin x 2

6 BIBLIOGRAFIA 6 (iii) u t = a 2 u xx βu, u x (0, t) =u x (, t) =0, u(x,0)=ϕ(x), (iv) u t = a 2 u xx, u(0, t) =T, u(, t) =U, u(x,0)=0, (v) u t = a 2 u xx + f (x), u(0, t) =0, u x (, t) =q, u(x,0)=ϕ(x), (vi) u t = a 2 u xx, u x (0, t) =u x (0, ) =q, u(x,0)=ax, (vii) u t = a 2 u xx βu +sin x, u(0,t) =u(, t) =0, u(x, 0) =0, (viii) u t = a 2 u xx, u(0, t) =0, u x (, t) =Ae t, u(x,0)=t, (ix) u t = a 2 u xx, u x (0, t) =At, u x (, t) =T, u(x,0)=0. Bibiografia [1] W. I. Arnod, Metody matematyczne mechanii asycznej, PWN, Warszawa [2] W. I. Arnod, Równania różniczowe zwyczajne, PWN, Warszawa [3] W. I. Arnod, Teoria równań różniczowych, PWN, Warszawa [4] A. W. Bicadze, Równania fizyi matematycznej, PWN, Warszawa [5] A. W. Bicadze, D. F. Kainiczeno, Zbiór zadań z równań fizyi matematycznej, PWN, Warszawa [6] P. Bier Prof. dr hab.- redacja nauowa, Warsztaty z równań różniczowych czastowych, Toruń [7] Birhoc A. Anaiza matematyczna. Funcje wieu zmiennych, Wydawnictwo Nauowe PWN, Warszawa [8] D. Beeer, G. Csordas, Basic Partia Differentia Equations, Chapman & Ha, Oxford [9] L. Evans, Równania różniczowe czastowe, PWN, Warszawa [10] Fichtenhoz G.M. Rachune różniczowy i całowy, PWN, Warszawa [11] J. Jost, Postmodern Anaysis, Springer-Verag,Berin-Heideberg-New Yor [12] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały anaizy matematycznej, PWN, Warszawa [13] H. Marcinowsa, Wstep do teorii równań różniczowych czastowych, PWN, Warszawa [14] J. Musiea, Wst ep do anaizy funcjonanej, PWN, Warszawa [15] Oendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Appied Partia Differentia Equations, Oxford University Press, [16] J. Ombach, Wyłady z równań różniczowych wspomagane omputerowo -Mape, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagieońsiego, Kraów [17] B. Przeradzi, Równania różniczowe czastowe. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódziego, Łódź 2000.

7 BIBLIOGRAFIA 7 [18] B. Przeradzi, Teoria i pratya równań różniczowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódziego, Łódź [19] M. M. Smirnow, Zadania z równań różniczowych czastowych, PWN, Warszawa [20] P. Strzeei, Krótie wprowadzenie do równań różniczowych czastowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawsiego, Warszawa [21] B. W. Szabat, Wstęp do anaizy zespoonej, PWN, Warszawa [22] Whitham G.B., Lecture notes on wave propagation, Springer-Verag, Berin-Heideberg-New Yor [23] Zauderer, Partia Differentia Equations of Appied Mathemathics, John Wiey & Sons, Singapore-New Yor- Chichester-Brisbane-Toronto 1989.