Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
|
|
- Anna Kaźmierczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie ró»niczkowe postaci a 0 y (n) (x) + a 1 y (n 1) (x) + a 2 y (n 2) (x) a n 1 y (x) + a n y(x) = f(x), (1) gdzie wspóªczynniki a 0, a 1,... a n = const., a funkcja f jest ci gªa w pewnym przedziale (a, b) nazywamy równaniem ró»niczkowym liniowym n tego rz du o staªych wspóªczynnikach. Równanie (1), podobnie jak to byªo w przypadku równania liniowego pierwszego rz du, nazywamy równaniem jednorodnym, je»eli funkcja f(x) 0, w przeciwnym przypadku niejednorodnym. Tutaj te» znalezienie caªki ogólnej równania niejednorodnego (CORN) (1) opiera si na zasadzi superpozycji tzn. y(x) = y 0 (x)+ỹ(x), gdzie y 0 (x) to caªka ogólna równania jednorodnego (CORJ), a ỹ(x) to caªka szczególna równania niejednorodnego (CSRN). a) Rozwi zanie równania jednorodnego: Denicja 2. Równanie a 0 y (n) (x) + a 1 y (n 1) (x) + a 2 y (n 2) (x) a n 1 y (x) + a n y(x) = 0 (2) L(λ) a 0 λ n + a 1 λ n 1 + a n λ n a n 1 λ + a n = 0 (3) nazywamy równaniem charakterystycznym równania jednorodnego (2). Fakt 1. Funkcja e λx jest rozwi zaniem równania jednorodnego (2) wtedy i tylko wtedy, gdy λ jest pierwiastkiem równania L(λ) = 0. Twierdzenie 2. Niech wszystkie pierwiastki λ 1, λ 2,..., λ n równania charakterystycznego (3) s ró»ne tj. λ i λ m dla ka»dego i m, 1 i, m n. Wtedy dowolne rozwi zanie równania jednorodnego (2) ma posta : n y 0 (x) = C k e λkx, () k=1 gdzie C 1,..., C n = const. Ponadto dowolna funkcja postaci () jest rozwi zaniem równania (2). Uwaga 3. W przypadku gdy liczba zespolona λ i = a + bi jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (3) wówczas równanie to posiada tak»e pierwiastek zespolony sprz»ony tzn. λ m = a bi. Ponadto mo»na wykaza,»e gdzie A i, A m, C i, C m = const.. A i e (a+bi)x + A m e e(a bi)x = e ax( C i sin bx + C m cos sin bx ), Twierdzenie. Niech λ 1, λ 2,... λ s b d ró»nymi pierwiastkami równania charakterystycznego (3) krotno±ci odpowiednio k 1, k 2,..., k s, gdzie k 1, k 2,..., k s < n oraz k 1 + k k s = n. Wówczas dowolne rozwi zanie równania jednorodnego (2) ma posta : s y 0 (x) = P j (x)e λjx, (5) j=1 gdzie P j (x) jest wielomianem stopnia (k j 1). Ponadto dowolna funkcja postaci (5) jest rozwi - zaniem równania (2). 1
2 Uwaga 5. W przypadku gdy liczba zespolona λ i = α+βi jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego (3) wówczas równanie to posiada tak»e pierwiastek zespolony sprz»ony λ m = α βi o tej samej krotno±ci. Ponadto mo»na wykaza,»e P i (x)e (α+βi)x +P m (x)e (α βi)x = e αx( C 1 +C 2 x+...+c k x k) sin βx+e αx( c 1 +c 2 x+...+c k x k) cos sin βx. W przypadku szczególnym tj. równania ró»niczkowego drugiego rz du postaci ay (x) + by (x) + cy(x) = 0 (6) rozwi zanie równania jednorodnego zale»y od znaku wyró»nika = b 2 ac jego równania charakterystycznego aλ 2 + bλ + c = 0 : 1. je»eli > 0, to równanie (6) posiada dwa pierwiastki rzeczywiste λ 1, λ 2 i wówczas y 0 (x) jest postaci: y 0 (x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x ; (7) 2. je»eli = 0, to równanie (6) posiada jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty λ i wówczas y 0 (x) jest postaci: y 0 (x) = (C 1 x + C 2 )e λx ; (8) 3. je»eli < 0, to równanie (6) posiada dwa pierwiastki zespolone (sprz»one ) λ 1 = α + βi, λ 2 = α βi, wówczas y 0 (x) jest postaci: y 0 (x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x co na mocy wzoru e (α±βi)x = e αx (cos βx ± i sin βx) sprowadzamy do: y 0 (x) = e αx (c 1 cos βx + c 2 sin βx). (9) b) Rozwi zanie równania niejednorodnego (metoda przewidywa«) Rozwa»amy równanie ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach o prawej stronie w postaci quasi-wielomianu: y (n) (x) + a 1 y (n 1) (x) + a 2 y (n 2) (x) a n 1 y (x) + a n y(x) = P m (x)e µx. (10) Aby znale¹ (CSRN) ỹ(x) b dziemy stosowa metod przewidywa«opisan w nast puj cych dwóch twierdzeniach: Twierdzenie 6. (przypadek nierezonansowy) Je»eli µ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (3) tzn. (CSRN) równania (10) jest postaci: µ {λ 1, λ 2,..., λ n }, to ỹ(x) = Q m (x)e µx. Twierdzenie 7. (przypadek rezonansowy) Je»eli µ jest pierwiastkiem krotno±ci k (k n) równania charakterystycznego (3), to (CSRN) równania (10) jest postaci: ỹ(x) = x k Q m (x)e µx. 2
3 Lp. posta funkcji f(x) przewidywanie ỹ(x) posta funkcji ỹ(x) warunek Q n (x) λ 1 0, λ P n (x) x Q n (x) λ 1 = 0, λ 2 0 x 2 Q n (x) λ 1 = λ 2 = 0 2. Ae αx x Be αx λ 1 = α, λ 2 α Be αx λ 1 α, λ 2 α x 2 Be αx λ 1 = λ 2 = α e αx Q n (x) λ 1 α, λ 2 α 3. e αx P n (x) x e αx Q n (x) λ 1 = α, λ 2 α x 2 Q n (x) λ 1 = λ 2 = α. A cos βx + B sin βx C cos βx + D sin βx λ 1,2 ±βi x (C cos βx + D sin βx) λ 1,2 = ±βi 5. e αx [A cos βx + B sin βx] e αx [C cos βx + D sin βx] λ 1,2 α ± βi x e αx [C cos βx + D sin βx] λ 1,2 = α ± βi 6. P n (x) cos βx + W m (x) sin βx Q l (x) cos βx + R l (x) sin βx λ 1,2 ±βi x [Q l (x) cos βx + R l (x) sin βx] λ 1,2 = ±βi 7. e αx [P n (x) cos βx + W m (x) sin βx] e αx [Q l (x) cos βx + R l (x) sin βx] λ 1,2 α ± βi x e αx [Q l (x) cos βx + R l (x) sin βx] λ 1,2 = α ± βi Tablica 1: Tablica przewidywa«(csrn) drugiego rz du W powy»szych dwóch twierdzeniach Q m (x) oznacza wielomian stopnia m o nieoznaczonych wspóªczynnikach. Rozwa»my dokªadniej przypadek szczególny tj. równania drugiego rz du: ay + by + cy = P m (x)e µx. Niech λ 1, λ 2 b d pierwiastkami równania charakterystycznego aλ 2 + bλ + c = 0 oraz µ = α ± βi, gdzie α, β R. Wówczas na podstawie twierdze«6, 7 rozwi zania ỹ(x), w zale»no±ci od przypadku, poszukujemy zgodnie z tablic 1 (gdzie l = max{n, m}). Przykªad 1. Rozwi» równanie: x (V ) + x (IV ) x x = 0. (11) Rozwi zanie: Jest to jednorodne równanie drugiego rz du o staªych wspóªczynnikach. Zapisujemy odpowiednie równanie charakterystyczne: λ 5 + λ λ 3 λ 2 = 0 λ 2 (λ 2 1)(λ + 1) = 0. Pierwiastki to λ 1,2 = 0, λ 3, = 1, λ 5 = 1. Zatem, na mocy twierdze«2 i (CORJ) jest postaci: wi c Przykªad 2. Rozwi» równanie: y 0 (x) = (c 1 + c 2 x)e 0 x + (c 3 + c x)e x + c 5 e x, y 0 (x) = c 1 + c 2 x + (c 3 + c x)e x + c 5 e x, x (IV ) x = 0. (12) Rozwi zanie: Jest to jednorodne równanie drugiego rz du o staªych wspóªczynnikach. Zapisujemy odpowiednie równanie charakterystyczne: λ 1 = 0 (λ 1)(λ + 1)(λ + i)(λ i) = 0. 3
4 Pierwiastki to λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3, = ±i. Zatem, na mocy twierdze«2 i (CORJ) jest postaci: Przykªad 3. Rozwi» równanie: y 0 (x) = c 1 e x + c 2 e x + c 3 sin x + c cos x. x (V I) + 6x = 0. (13) Rozwi zanie: Jest to jednorodne równanie drugiego rz du o staªych wspóªczynnikach. Zapisujemy odpowiednie równanie charakterystyczne: λ = 0 λ = 6 6. n Korzystaj c ze wzoru na pierwiastki w k liczby zespolonej z o argumencie ϕ : w k = n ( z cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ ), k = 0, 1,..., n 1, n n dostajemy pierwiastki λ 1,2 = ±2i, λ 3, = 3 ± i, λ 5,6 = 3 ± i. Zatem, na mocy twierdze«2 i (CORJ) jest postaci: y 0 (x) = c 1 sin 2x + c 2 cos 2x + (c 3 sin x + c cos x)e 3x + (c 5 sin x + c 6 cos x)e 3x. Przykªad. Rozwi» równanie: x (V ) + 8x + 16x = 0. (1) Rozwi zanie: Jest to jednorodne równanie drugiego rz du o staªych wspóªczynnikach. Zapisujemy odpowiednie równanie charakterystyczne: λ 5 + 8λ λ = 0 λ(λ 2 + ) 2 = 0. St d dostajemy pierwiastki λ 1 = 0, λ 2,3 = 2i, λ,5 = 2i. Zatem, na mocy twierdze«2 i (CORJ) jest postaci: y 0 (x) = c 1 e 0 x + (c 2 + c 3 x) cos 2x + (c + c 5 x) sin 2x, wi c Przykªad 5. Rozwi» równanie ró»niczkowe y 0 (x) = c 1 + (c 2 + c 3 x) cos 2x + (c + c 5 x) sin 2x. y y 5y = x 2 e 3x. (15) Rozwi zanie: Jest to niejednorodne równanie drugiego rz du o staªych wspóªczynnikach o prawej stronie w postaci quasi-wielomianu x 2 e 3x. Najpierw wyznaczamy (CORJ). Rozpatrujemy równanie jednorodne: y y 5y = 0. Zapisujemy odpowiednie dla niego równanie charakterystyczne: λ 2 λ 5 = 0. Szukamy pierwiastków: λ 1 = 5, λ 2 = 1. Zatem, mamy przypadek (7), wobec tego (CORJ) jest postaci: y 0 (x) = c 1 e 5x + c 2 e x. (16)
5 Teraz na podstawie Twierdze«6, 7 lub Tablicy 1 nale»y przewidzie posta ỹ(x). Tutaj mamy przypadek 3, ponadto poniewa» α = 3, λ 1 3 i λ 2 3, to Liczymy pierwsz i druga pochodn ỹ(x) : ỹ(x) = (Ax 2 + Bx + C)e 3x. (17) ỹ (x) =(2Ax + B)e 3x + 3(Ax 2 + Bx + C)e 3x = (3Ax 2 + 2Ax + 3Bx + B + 3C)e 3x ỹ (x) =(6Ax + 2A + 3B)e 3x + 3(3Ax 2 + 2Ax + 3Bx + B + 3C)e 3x = =(9Ax Ax + 9Bx + 2A + 6B + 9C)e 3x. (18) Podstawiaj c (17), (18) do równania (15), mamy: (9Ax 2 +12Ax+9Bx+2A+6B+9C)e 3x (3Ax 2 +2Ax+3Bx+B+3C)e 3x 5(Ax 2 +Bx+C)e 3x = x 2 e 3x Dziel c przez e 3x i przeprowadzaj c redukcje otrzymujemy: 8Ax 2 + Bx 8Bx + 2A + 2B 8C = x 2. St d porównuj c wspóªczynniki po prawej i lewej stronie równania otrzymujemy ukªad na wyznaczenie A, B, C: x 2 : 8A = 1 x 1 : A 8B = 0 x 0 : 2A + 2B 8C = 0. Rozwi zuj c dostajemy: A = 1, B = 1, C = 3, wi c ( ỹ(x) = 1 8 x x 3 ) e 3x. (19) 6 Ostatecznie, na mocy superpozycji, uwzgl dniaj c (16) oraz (19) caªka ogólna równania (15) ma posta : ( 1 y(x) = y 0 (x) + ỹ(x) = c 1 e 5x + c 2 e x 8 x x + 3 ) e 3x, c1,c 6 2 R. Przykªad 6. Rozwi» równanie: y + y = x cos 2x. (20) Rozwi zanie: Równie» jest to niejednorodne równanie drugiego rz du o staªych wspóªczynnikach o prawej stronie w postaci quasi-wielomianu x cos 2x. Aby wyznaczy (CORJ) rozpatrujemy równanie jednorodne: y + y = 0. Zapisujemy odpowiednie dla niego równanie charakterystyczne: λ 2 + = 0. Wyró»nik = 16 = i 2, zatem równanie posiada pierwiastki zespolone. Wynosz one: λ 1,2 = ±2i. Zatem, mamy przypadek (9) z α = 0, β = 2, wobec tego (CORJ) jest postaci: y 0 (x) = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x. (21) 5
6 Teraz na podstawie Twierdze«6, 7 (lub tablicy 1: mamy przypadek 6, ponadto poniewa» β = 2, λ 1,2 = ±βi) ỹ(x) ma posta ỹ(x) = x(ax + B) sin 2x + x(cx + D) cos 2x = ỹ = (Ax 2 + Bx) sin 2x + (Cx 2 + Dx) cos 2x. (22) Liczymy pierwsz i druga pochodn ỹ(x) : ỹ (x) =(2Ax + B) sin 2x + 2(Ax 2 + Bx) cos 2x + (2Cx + D) cos 2x 2(Cx 2 + Dx) sin 2x =( 2Cx 2 + 2Ax 2Dx + B) sin 2x + (2Ax 2 + 2Bx + 2Cx + D) cos 2x ỹ (x) =( Cx + 2A 2D) sin 2x + ( Cx 2 + Ax Dx + 2B) cos 2x + (Ax + 2B + 2C) cos 2x (Ax 2 + Bx + Cx + 2D) sin 2x =( Ax 2 Bx 8Cx + 2A D) sin 2x + ( Cx 2 + 8Ax Dx + B + 2C) cos 2x. (23) Podstawiaj c (22), (23) do równania (20), mamy: ( Ax 2 Bx 8Cx + 2A D) sin 2x + ( Cx 2 + 8Ax Dx + B + 2C) cos 2x Przeprowadzaj c redukcj otrzymujemy: + (Ax 2 + Bx) sin 2x + (Cx 2 + Dx) cos 2x = x cos 2x. ( 8Cx + 2A D) sin 2x + (8Ax + B + 2C) cos 2x = x cos 2x. St d porównuj c odpowiednie wspóªczynniki otrzymujemy ukªad na niewiadome A, B, C, D : x sin x : 8C = 0 sin x : 2A D = 0 x cos x : 8A = 1 cos x : B + 2C = 0, wi c A = 1 1, B = 0, C = 0, D =. Zatem (CSRN) ma posta : 8 16 ỹ(x) = 1 8 x2 sin 2x + 1 x cos 2x. (2) 16 Ostatecznie, na mocy superpozycji, uwzgl dniaj c (21) oraz (2) caªka ogólna równania (20) ma posta : y(x) = y 0 (x) + ỹ(x) = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x x2 sin 2x x cos 2x, c 1,c 2 R. Przykªad 7. Rozwi» równanie: y y y + y = 3e x + 5x sin x. (25) Rozwi zanie: Jest to niejednorodne równanie trzeciego rz du o staªych wspóªczynnikach o dwóch prawych stronach w postaci quasi-wielomianów. Aby wyznaczy (CORJ) rozpatrujemy równanie jednorodne: y y y + y = 0. 6
7 Zapisujemy odpowiednie dla niego równanie charakterystyczne: λ 3 λ 2 λ + λ = 0 (λ 1) 2 (λ + 1) = 0. Zatem pierwiastki równania charakterystycznego wynosz λ 1,2 = 1, λ 3 = 1. Wówczas na mocy odpowiednich twierdze«y 0 (x) = (C 1 + C 2 x)e x + C 3 e x. (26) Teraz znajdziemy (CSRN). Tak jak to byªo zauwa»one na pocz tku mamy dwie prawe strony. B dziemy oddzielnie szuka caªki szczególnej ỹ 1 (x) dla prawej strony 3e x, a oddzielnie caªki szczególnej ŷ 2 (x) dla prawej strony 5x sin x. Wówczas (CSRN) równania (25) ma posta ỹ(x) = ỹ 1 (x) + ỹ 2 (x). Dla prawej strony postaci e x mamy przypadek rezonansowy gdy» µ = 1 oraz λ 1,2 = 1. Wówczas przewidywana posta ỹ 1 (x) to: ỹ 1 (x) = Ax 2 e x, (27) wi c ỹ 1 (x) = (Ax 2 + 2Ax)e x ; ỹ 1 (x) = (Ax 2 + Ax + 2A)e x ; ỹ 1 (x) = (Ax 2 + A x+ A )e x. (28) Kªad c (27) oraz (28) w y y y + y = 3e x mamy równanie na wyznaczenie A : (Ax 2 + 6Ax + 6A)e x (Ax 2 + Ax + 2A)e x (Ax 2 + 2Ax)e x + Ax 2 e x = 3e x. St d po redukcji i dzieleniu przez e x : A = 3, wi c A = 3. Wówczas ỹ 1 (x) = 3 x2 e x. Dla prawej strony 5x sin x dostajemy przypadek nierezonansowy gdy» µ {λ 1, λ 2, λ 3 }. Wówczas przewidywana posta ỹ 2 (x) to: wi c ỹ 1 (x) = (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x, (29) ỹ 2 (x) = ( Cx + A D) sin x + (Ax + B + C) cos x; ỹ 2 (x) = ( Ax B 2C) sin x + ( Cx + 2A D) cos x; ỹ 2 (x) = (Cx 3A + D) sin x + ( Ax B 3C) cos x. (30) Wstawiamy (27) oraz (28) do y y y + y = 5x sin x (Cx 3A + D) sin x + ( Ax B 3C) cos x + (Ax + B + 2C) sin x + (Cx 2A + D) cos x + (Cx A + D) sin x + ( Ax B C) cos x + (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x = 5x sin x. Porównuj c odpowiednie wspóªczynniki dostajemy równania na wyznaczenie A, B, C.D : x sin x : 2A + 2C = 5; sin x : A + 2B + 2C + 2D = 0; x cos x : 2A + 2C = 0; cos x : 2A 2B C + 2D = 0. 7
8 Rozwi zuj c otrzymujemy: A = B = C = 5, D = 0. Wówczas: ỹ 2 (x) = 5 (x + 1) sin x + 5 x cos x. Poniewa» (CSRN) jest sum ỹ(x) = ỹ 1 (x) + ỹ 2 (x) to: ỹ(x) = 3 x2 e x + 5 (x + 1) sin x + 5 x cos x. Ostatecznie z zasady superpozycji rozwi zanie ogólne równania (25) wynosi: y(x) = (C 1 + C 2 x)e x + C 3 e x + 3 x2 e x + 5 (x + 1) sin x + 5 x cos x. 8
Wykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoLegalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoa) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Bardziej szczegółowoZastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a. Przykªad 1 Rozwi» jednorodne równanie ró»niczkowe liniowe. ÿ(t) + 5ẏ(t) + 6y(t) = 0 z warunkami pocz tkowymi
Zastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a Przykªad Rozwi» jednorodne równanie ró»niczkowe liniowe ÿ(t) + 5ẏ(t) + 6y(t) = 0 z warunkami pocz tkowymi y(0 + ) = a, ẏ(0 + ) = b. Rozwi zanie Dokonuj c transformacji
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoWielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowoWykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007
Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoSzkice rozwi za«zada«z egzaminu 1
Egzamin - szkic rozwi za«sem. zimowy 06/07 AM, Budownictwo, IL PW Szkice rozwi za«zada«z egzaminu. Poda denicj granicy oraz ci gªo±ci funkcji. Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f : D R w unkcie
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoWykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoOpis matematyczny ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Opis matematyczny ukªadów liniowych Autorzy: Alicja Golnik 1.1 Formy opisu ukªadów dynamicznych 1.1.1 Liniowe równanie ró»niczkowe Podstawow metod przedstawienia procesu dynamicznego jest zbiór
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/49 Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której
Bardziej szczegółowoReakcja Bielousowa-Żabotyńskiego
Reakcja Bielousowa-Żabotyńskiego 1 Kryteria pomocne przy badaniu stabilności punktów stacjonarnych Często badamy układy dynamiczne w pobliżu punktów stacjonarnych. Rozważamy wtedy ich postać zlinearyzowaną:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowo5 Równania ró»niczkowe cz stkowe liniowe drugiego
Równania ró»niczkowe cz stkowe drugiego rz du 51 5 Równania ró»niczkowe cz stkowe liniowe drugiego rz du. 5.1 Równania ró»niczkowe cz stkowe drugiego rz du dla funkcji dwóch zmiennych Dla funkcji u = u(x,
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoStrategie zabezpieczaj ce
04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech
Bardziej szczegółowoMacierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Automatyka i robotyka studia stacjonarne sem. I, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk
Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:
Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowo