Równania i nierówności trygonometryczne

Transkrypt

1 Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie za y podstaw x i wyznacz x, (b) Odczytaj wartość z tabelki, (c) Oblicz cos y = a następnie za y podstaw x + π i wyznacz x, (d) odczytaj z wykresu Szkic rozwiązania. a) Przypomnijmy, że cos t = 1 dla t = π + kπ, gdzie k Z. Stąd cos x = 1 x = π + kπ x = π + kπ dla k Z.. π π 5π 5π a b) Należy odczytać z tabeli (student powinien pamiętać), że tg π =. Ponieważ unkcja tg ma okres π dlatego dostajemy odpowiedź x = π + kπ, gdzie k Z. c) Ponieważ cos t = gdy t = π + kπ, dlatego mamy cos( x + π ) = x + π = π + kπ x = π + kπ dla k Z π π d) Odczytując z wykresu dostajemy, że x = π + kπ lub x = 7π a π 7π + kπ dla k Z. 1

2 Uwagi metodologiczne. Przed tym zadaniem warto jest przypomnieć wartości unkcji trygonometrycznych dla kątów,, 5,, 9, 18,. Odpowiedź: a) x = π +k π dla k Z, b) x = π +kπ, gdzie k Z, c) x = π+kπ dla k Z, d) x = π + kπ lub x = 7π + kπ dla k Z Zadanie. Rozwiązać równania: a) cos x + sin x = 5 b) sin x + cos x = c) sin x + cos x = d) sin x cos x = 1 Wskazówka: (a) Wprowadź nową zmienną sin x = t i rozwiąż równanie kwadratowe, a następnie wyznacz x, (b) Przenieś cos x na prawą stronę i podziel przez cos x i odczytaj rozwiązanie z wartości tg x, (c) analogicznie do (b), (d) skorzystaj z jedynki trygonometrycznej Szkic rozwiązania. a) Przekształcamy równanie w taki sposób, żeby występowała tylko jedna unkcja trygonometryczna. W tym celu skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej cos x = 1 sin x. Stąd dostajemy: sin x + sin x 1 = Wprowadzając nową zmienną t = sin x (zatem t [ 1, 1]) dostajemy równanie kwadratowe: t + t 1 = Rozwiązując równanie kwadratowe dostajemy, że t = 1. Stąd mamy sin x = 1 x = π + kπ x = 5 π + kπ dla k Z b) Zauważmy, że równanie to możemy przekształcić do postaci sin x + cos x = tg x = 1 dla x π + kπ gdzie k Z Zatem x = π + kπ dla k Z i to jest rozwiązanie równania, ponieważ wartości x = π + kπ nie spełniają równania. c) Podobnie jak w podpunkcie b) dostajemy π sin x + cos x = tg x = dla x π + kπ gdzie k Z Stąd dostajemy x = π + kπ gdzie k Z. d) Korzystając z jedynki trygonometrycznej sprowadzamy równanie do postaci 1 cos x 1 = cos x = 1

3 zatem cos x = 1 lub cos x = 1. Rozwiązując te równości dostajemy rozwiązanie: x = π + kπ x = π + kπ x = π + kπ x = π + kπ gdzie k Z, Odpowiedź: a) x = π + kπ x = 5 π + kπ dla k Z, b) x = π + kπ dla k Z, c) x = π + kπ gdzie k Z, d) x = π + kπ x = π + kπ dla k Z Zadanie. Rozwiązać równania: sin x +sin x = ; Wskazówka: Rozważ dwa przypadki sin x i sin x >. Szkic rozwiązania. Rozważ dwa przypadki : sin x < i sin x. 1 Gdy sin x, wtedy x [ + kπ, π + kπ] oraz równanie przyjmuje postać: sin x =. Stąd x = kπ gdzie k Z. Gdy sin x <, to ( π + kπ, + kπ) oraz równanie przyjmuje postać: sin x + sin x = Stąd jest ono prawdziwe dla każdego x ( π + kπ, + kπ).. Uwagi metodologiczne. Tu uwagi metodologiczne (o ile jest potrzeba). Odpowiedź: x [ π + kπ, + kπ] π π Zadanie. Rozwiązać nierówności: a) sin x > 1 b) tg x < c) sin x + cos x > d) cos x 5 cos x < Wskazówka: (a),(b),(c) odczytujemy z wykresu, 5) < i rozważ kiedy ten iloczyn będzie ujemny. Szkic rozwiązania. a) Odczytujemy z wykresu unkcji sinus. (d) Zapisz nierówność w postaci cos x(cos x π 5π

4 b) Odczytujemy z wykresu unkcji tangens. c) Korzystając z wzoru cos x = sin( π x) oraz sumy sinusów dostajemy sin π cos(x π ) > Nierówność ta jest spełniona, gdy cos(x π ) >. Zatem x ( π + kπ, π + kπ), gdzie k Z sin(x) cos(x) π d) Zapiszmy nierówność w następującej postaci π cos x(cos x 5) < Zauważmy, że cos x 5 jest zawsze ujemne, dlatego powyższa nierówność jest spełniona gdy cos x >. Stąd dostajemy x ( π + kπ, π + kπ) dla k Z Odpowiedź: a) x ( π + kπ, 5 π + kπ) dla k Z, b) x ( π + kπ, π + kπ) dla k Z c) x ( π + kπ, π + kπ) dla k Z, d) x ( π + kπ, π + kπ) dla k Z Zadania dodatkowe Zadanie 5. Rozwiązać równanie sin x + cos x = 1 Wskazówka: Przemnóż równanie przez skorzystaj ze wzoru na sin(α + β). Szkic rozwiązania. Dzielimy równanie obustronnie przez i dostajemy i Zauważmy, że sin π = cos π =. Stąd sin x + Rozwiązując ostatnią równanie dostajemy: cos x = sin x cos π + cos x sin π = sin(π + x) = x = kπ x = π + kπ dla k Z Metoda ta działa dla każdego równania postaci a sin x + b cos x = c, dla takiego równania wykonujemy dzielenie przez a + b, a następnie postępujemy analogicznie. Odpowiedź: x = kπ x = π + kπ dla k Z Zadanie. Znajdź w zależności od wartości parametru m liczbę rozwiązań równania sin x = m, w przedziale [ π, π]. Wskazówka: Odczytaj z wykresu Szkic rozwiązania. Odczytujemy z wykresu

5 m = 1 (x) = sin(x) m = m = 1 Odpowiedź: dla m > 1 brak rozwiązań, dla m = 1, 1 dwa rozwiązania, dla m ( 1, 1)\{} cztery rozwiązania, dla m = pięć rozwiązań Zadanie 7. Rozwiązać równanie cos x + cos x + cos x + cos x =. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru na cos α + cos β. Szkic rozwiązania. Korzystając z tożsamości trygonometrycznych dostajemy: cos x + cos x = cos 5 x cos( x) cos x + cos x = cos 5 x cos( 1 x) Stąd równanie przyjmuje postać cos 5 x[cos x + cos x ] = cos 5 x cos x cos x = Zatem rozwiązania są postaci x = π kπ lub x = (k + 1)π lub x = π + kπ dla k Z Odpowiedź: x = π kπ lub x = (k + 1)π lub x = π + kπ dla k Z Zadanie 8. Rozwiązać równania: Zadania domowe a) sin x = sin x b) sin x + cos x sin 5x = tg x c) sin x + cos x = d) = 1 tg x Wskazówka: (a),(b) Skorzystaj z wzoru na różnicę sin α sin β, (c) Podziel równanie przez dwa i skorzystaj ze wzoru na sin α + β, (d) Skorzystaj ze wzoru na tg α. Odpowiedź: a) x = π kπ x = kπ, k Z b) x = π + kπ x = ± π 1π + kπ, k Z, c) x = π 1 + kπ x = 7 1π + kπ, k Z, d) kπ, k Z Zadanie 9. Rozwiązać nierówności: a) sin x cos x < 1 b) tg x > tg x c) sin x < 1 d) sin x > Wskazówka: Wykonaj rysunki dla podanych unkcji. Odpowiedź: a) x ( 5 1 1π + kπ, 1 π + kπ), k Z, b) x ( π + kπ, kπ) ( π π + kπ, π + kπ), k Z, c) x ( π 1 + k π, π + k π ), k Z, d) x ( π + kπ, π + kπ), k Z Literatura Literatura Literatura 5

6 M. Kurczab, E. Kurczab, E.Świda, Matematyka Podręcznik do liceów i techników klasa 1, Oicyna Edukacyjna, 1. M. Kurczab, E. Kurczab, E.Świda, Matematyka Zbiór zadań do liceów i techników klasa 1, Oicyna Edukacyjna, 1. M. Braun, M. Dobrowolska, M. Karpiński, J. Lech, E. Zamościńska,Matematyka II Zbiór zadań dla liceum i technikum, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, 5. N. Dróbka, K. Szymański, Zbiór zadań z matematyki dla kl. I i II liceum ogólnokształcącego, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 199.